（应用数学专业论文）计算机辅助几何设计（cagd）中若干问题研究.pdf

内容提要 本文研究了计算机辅助儿何设计( c a g d ) 中的儿个问题，具体内容和结果如。f ： 第一部分研究了参数曲线曲面的近似转化问题。首先，给出了把两相邻n ，次和”2 次 b e z i e r 曲线近似合并成一条n ( n2m a x 伽，) ) 次b 6 m e r 曲线的方法，得到合并b 6 z i e r 曲 线控制顶点的计算公式，并考虑了各种带约束条件的合并。其次，把所给曲线合并方法成功 地推广到两相邻张鬣积b e z i e r 曲面的情形。最后，给出了三角b 6 z i e r 曲面降多阶逼近的方 法，把降阶曲面用两个行列式的商表示，并考虑了带约束条件的降多阶逼近。 第二部分研究了平面参数曲线的等距曲线的有理逼近和圆及球面的多项式逼近问题。利 多项式逼近平面参数b 6 z i e r 曲线的参数速度模跃函数，从而得到了平面参数b 6 z i e r 曲线 的等距曲线的有理逼近式，并与已有方法做了比较。分别给出用一条多项式参数b 6 西e r 曲 线和一片张龋积多项式参数b a z i e r 曲面逼近摧圆和球面的方法，并把逼近式表示成两个行 列式的商。 第三部分构造了带有参数的二、三次均匀b - 样条基函数( 称为广义二、三次均匀b - 样 条基函数) ，指出它们是经典的二、三次均匀b 样条基函数的推广，讨论了这种基函数的性 质，并利用这些基函数构造了带有参数的二、三次均匀b - 样条曲线( 称为广义二、三次均 匀b 样条曲线) ，研究了参数对曲线形状的影响。 第四部分利州广义二、三次均匀b 样条基函数来解决带有给定切线多边形的具有一定光 t 滑度的保形曲线的构造问题。所构造的二次b 一样条曲线是g 1 连续的，并且带有一个整体可 罐 0 - 7 孓 调参数。所构造的两类三次b 样条曲线都是g 2 连续的，并且一类带有一个整体可调参数和 一组局部可调参数，另一类带有两组局部可调参数。在本部分中，我们所构造的曲线继承了 已有方法所构造曲线的优点，并增加了所构造曲线的可调性。 关键词：计算机辅助几何设计，b e z i e r 曲线曲面，合并，三角b e z i e r 曲面，降多阶，等 距曲线，倒，球面， 广义二三次均匀b 样条曲线，切线多边形。 a b s t r a c t s o m ep r o b l e m so f c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g n ( c a g d ) a r ei n v e s t i g a t e di nt h i sp a p e r t h e p a r t i c u l a rc o n t e n t sa n dr e s u l t sa r e f o l l o w i n g ： t h ea p p r o x i m a t ec o n v e r s i o no fp a r a m e t r i cc i l r v ea n ds u r f a c ei sd i s c u s s e di np m o n e f i r s t l y , t h em e t h o do fa p p r o x i m a t i n gt w oe d j a c e n t r ! d e g r e eb 6 z i e rc u r v ea n dn 2d e g r e eo n eb yas i n g l e o f b d z i e rc u r v eo f d e g r e e n ( n m a x n l ，玎2 ) ) i sp r o p o s e d t h e f o r m u l a o f c o n t r o lp o i n t s o f t h e m e r g e dc u r v ei sg i v e n e v e r ym e r g e n c ew i t hr e s t r i c tc o n d i t i o n si sc o n s i d e r e d t h e n ，t h ea p p r o a c h o fm e r g i n gb d z i e rc u r v e si sg e n e r a l i z e dt ot e n s o rp r o d u c tp a r a m e t r i cb 6 z i e rs u r f a c e f i n a l l y , a m e t h o df o rm u l t i - d e g r e er e d u c t i o no f t r i a n g u l a rb e z i e rs u r f a c ei so b t a i n e d t h ee x p r e s s i o no f t h e r e d u c e ds u r f a c ei ss h o w nb yt h eq u o t i e n to f t w od e t e r m i n a n t s t h ec a s eo f m u l t i d e g r e er e d u c t i o n w i t hr e s t r i c tc o n d i t i o n si sc o n s i d e r e d i np a r tt w o 。w ed i s c u s st w op r o b l e m s o n ei st oa p p r o x i m a t et h eo f f s e tc u r v eo fap l a n e p a r a m e t r i cc b r v eb yu s i n gar a t i o n a lp a r a m e t r i cc u r v e t h eo t h e ri st oa p p r o x i m a t 9t h ec i r c l ea n d s p h e r eb yu s i n gp a r a m e t r i cp o l y n o m i a lc u r v ea n ds u r f a c e t h er a d o n a ia p p r o x i m a t i o no fo f f s e t c u r v eo fb 6 z i e rc u i w ei so b t a i n e dw h e nw eu s eap o l y n o m i a lt oa p p r o x i m a t ei t sp a r a m e t r i cs p e e d n o r mf u n c t i o n w ec o m p a r er e s u l t so fo u rm e t h o dw i t ho n e so fo t h e rm e t h o d s a na p p r o a c ht o a p p r o x i m a t eaf u l lc i r c l eb yu s i n gas e g m e n to fp a r a m e t r i cp o l y n o m i a lc u r v ei sg i v e n ，a n dt h e e x p r e s s i o no ft h ea p p r o x i m a t i n gc u r v ei sd e n o t e db yt h eq u o t i e n to ft w od e t e r m i n a n t s i ns p h e r e c a s e ，w ed ot h es a m et h i n g sa st h ec i r c l ec b s e ，b u tu s ep a r a m e t r i cp o l y n o m i a ls u r f a c e i np a r tt h r e e ，w ec o n s t r u c tq u a d r i c c u b i cu n i f o r mb s p l i n eb a s i sf u n c t i o n sw i t hp a r a m e t e r ( n a m e dt h e s eb a s i sf u n c t i o n sg e n e r a l i z e dq u a d r i c c u b i cu n i f o r mb - s p l i n eb a s i sf u n c t i o n s ) ，p o i n t o u tt h e ya g eg e n e r a l i z a t i o no ft h ec l a s s i c a lq v a d r i c c u b i cu n i f o r mb - s p l i n eb a s i sf u n c t i o n s ，a n d d i s c u s st h e i rp r o p e r t i e s a tt h es s l r l et i m e ，w es l n l c t u r eg e n e r a l i z e dq u a d r i c c u b i cu n i f o r mb - s p l i n e c u r v e ，n a m e l yq u a d r i c c u b i cu n i f o r mb s p l i n ec u r v ew i t hp a r a m e t e r , a n di n v e s t i g a t et h ep a r a m e t e r h o wt oa f f tt h es h a p e so f c u r v e s u s i n gt h eg e n e r a l i z e dq u a d r i c c u b i cu n i f o r mb - s p l i n eb a s i sf u n c t i o n ss o l v e st h ep r o b l e mo f c o n s t r u c t i n gs h a p e - p r e s e r v i n gs p l i n e sc u r v e sw i t hg i v e nt a n g e n tp o l y g o n sa n dc o n t i n u o u so r d e ri n p a r tf o u r t h ec o n s t r u c t e dq u a d r i cb - s p l i n ec u r v e s a r eg 1c o n t i n u o u sa n d h a v ea g l o b a l l y a d j u s t a b l ep a r a m e t e lt h ec o n s t r u c t e dt w ok i n d so fc u b i cb - s p l i n ec u r v e sa r ea l l g 2c o n t i n u o u s o n ek i n dh a sag l o b a l l ya d j u s t a b l ep a r a m e t e ra n das e to fl o c a l l ya d j u s e a b l ep a r a m e t e r s t h eo t h e r k i n dh a st w os e t so f l o c a l l ya d j u s t a b l ep a r a m e t e r s i nt h i sp a r t , t h ec o n s t r u c t e db s p l i n ec u r v e sn o t o n l yi n h e r i tt h ev i r t u e so f t h o s ec o n s t r u c t e db yc u r r e n tm e t h o d s ，b u ta l s oh a v em u c ha d j u s t a b i l i t y k e y w o r d s ：c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g n ( c a g d ) ，b 6 z i e rc u r v e s u r f a c e ，m e b i n g ， t r i a n g u l a rb 6 z i e rs u r f a c e ，m u l t i - d e g r e er e d u c t i o n , o f f s e t , c i r c l e ，s p h e r e ，g e n e r a l i z e dq u a d r i c j c u b i c u n i f o r mb - s p l i n ec u r v e s , t a n g e n tp o l y g o n 1b 6 z i e r 曲线曲面的近似转化 1 1 前言 由丁网络技术的高速发展，在产品设计和开发的过程中，不同系统之间的数据传输和交 换是不可避免的。在数据传输和交换中，一般都遵循以下原则：( 1 ) 尽可能保证数据信息传 输的高度准确性，( 2 ) 在一定的误差允许范围内，尽可能减少数据信息传输姑。为了减少数 据传输最，h o s c h e k 提山了近似转化的思想。近似转化分降阶逼近和近似合并两个方面。 最近儿年米，在降阶逼近，特别是在b 6 z i m 曲线曲面、b 样条曲线、区间b 6 z i e r 曲线 曲面的降阶逼近方面，国内外许多学者做了大量的研究工作，给出了许多降阶逼近方法【。， 其中有许多方法一次可降多阶且能保端点高阶插值。关于曲线曲面的近似合并，迄今为止， 人们所做的一l 一作还很少，州事民等在文献 1 0 中根据两相邻n 次b e z i e r 曲线能够精确合并 成一条n 次b 6 z i e r 曲线的条件，利刚b 6 z i e r 曲线控制顶点扰动法和l 约束晟小二乘方法得 到控制顶点所需的扰动量，然后再利用外插法，确定出合并曲线的控制顶点，解决了把两相 邻n 次b e z i e r 曲线合并成一条n 次b e z i e r 曲线的问题，得到了很好的结果：文中还考虑 了合并曲线与原曲线在端点达到高阶连续以及合并曲线插值于原曲线上的一些点的合并；同 时指山若提高合并b e z i e r 曲线的次数，则可减小合并误差：郭清伟等在文献 1 1 中利用b 6 z i e r 曲线细分后的矩阵表示，根据所定义的原b e z i e r 曲线与合并b 6 z i e r 曲线间的距离函数 取最小值，得到了把两相邻n 次b e z i e r 曲线合并成一条n 次b 6 z i e r 曲线的方法，但没有 考虑合并b 6 z i e r 曲线插值于原b 6 z i e r 曲线上晌一些点的合并。在1 2 节中我们利刚文献 1 1 的思想，给出一种把次数分别为”，和n ，的两相邻b6z i e r 曲线合并成一条 ( m a x h ，”， ) 次b 6 z i e r 曲线的方法，疰合并过程中不仅考虑了合并b 6 z i e r 曲线与原 b 6 z i e r 曲线在端点达到高阶连续的情形，而且也考虑了合并b 6 z i e r 曲线插值于原b 6 z i e r 曲 线上的某些点的情形。此处所给方法是文献n 1 中方法的推广和扩展，与文献 1 0 中的方法 相比，所给方法具有以下的三个优点：( 1 ) 可直接得到合并b 6 z i e r 曲线的控制顶点：( 2 ) 不论待合并的两相邻b e z i e r 曲线的次数是否相同，均可直接合并；( 3 ) 不需对原b 6 z i e r 曲 线进行升阶变换，直接提高合并b 6 z i e r 曲线的次数，就可得到更高阶的合并b 6 z i e r 曲线。 在1 3 ：1 ，中我们把在1 2 ：仃中所给两相邻b e z i e r 曲线合并成一条b e z i e r 曲线的方法推广到 张耸积b 6 z i e r 曲面的情形，并获得了成功。 曲线曲面降阶逼近问题的研究，可追溯到b e z i e r 曲线产生的初期1 9 7 2 年，f o r r e s t 首 先提出b 6 z i e r 曲线的降阶问题，f a r i n ”1 以及w a t i k i n 和w o r s e y ”1 等人曾对b 6 z i e r 曲线的降 阶问题做了研究由于曲线曲面降阶不仅仅是c a g d 中的升阶公式在数学形式上的逆变换， 更重要的是它所具有的实际应用背景1 1 ，因此，曲线曲面降阶逼近的研究一直是c a g d 领域 中的一个研究热点，每年都有一些曲线曲面降阶逼近的新方法涌现出米1 9 9 8 年，胡事民等 利州b 网扰动幂约束优化法，给山b 6 z i e r 曲线的降阶逼近方法【l ”，井把它成功地推广到张 姑积b 6 z i e r 曲面1 ”1 和三角b 6 z i e r 曲面【”l ，但该方法每次只能降一阶，要实现降多阶，必须 进行逐次降阶：杨勤民等人利用线性规划的方法讨论了区间三角b g e z i e r 曲面降阶逼近的问 题【1 ”近年来，由于实际的需要，人们开始寻找曲线曲面的降多阶逼近方法，并在b 6 z i e r 曲 线f f , i l ；k 封积b 6 z i e r 曲面的降阶逼近方面，取得一些令人满意的结果口。j 其中，关于张量积b 6 z i e r 曲面的降多阶逼近方法，基本上都是相应b 6 z i e r 曲线降多阶逼近方法的推广由于从线 到面的复杂性，许多关于b z i e r 曲线的降阶方法无法成功地推广到张最积b 6 z i e r 曲面，成 功地推广到非张量积曲面就更加困难由于三角b ：z i e r 曲面是非张最积曲面，因此要想把b e z i e r 曲线降多阶逼近方法成功地摊广到三角b 6 z i e r 曲面，得到三角b 6 z i e r 曲面降多阶逼近 方法，是一个极具挑战性的问题本部分在14 。 1 7 中给出可实现三角b 6 z i e r 曲面一次降多阶 逼近的一种方法，该方法可得到刚两行列式的商表示的降阶三角b 6 z i e r 曲面 1 2 两相邻b 6 z i e r 曲线的近似合并 1 2 1 定义与引理 h 1 定义设只( f ) = p ，b ? 1 ( f ) l 制顶点的两相邻b 6 z i e r 曲线( p 。= q o ) ，所谓两相邻b 6 z i e r 曲线只( f ) 和q 。：( f ) 的近似 合并，系指寻求一条n m a x n ，”：) ) 次l j 6 z i e r 曲线4 。( f ) ，使得曲线爿。( f ) 和j ( f ) 之 间的距离d ( j ( f ) ，爿。( f ) ) 在区问 o ，1 上最小。这里 l 主咿八) j卢o l 胁砂( 篙) 0 t 五t l ( 1 2 1 ) 其中五是一个细分参数，掣。( f ) = c ：t ( 1 一f ) ”， o 1 ( i = 0 ，l ，h ，) 和占? 2 ( t ) = c ：，t ( 1 一f ) ”。分别为月l j ( ；f r ln 2 次b e r n s t e i n 基函数。距离d ( 4 ( f ) ，爿。( f ) ) 可根据需要选 取适当的定义。 在计算合并b 6 z i e r 曲线的控制顶点时，需川到以下引理。 控为 o建 g ，ji 0捷 p ，l 是别分 )( 8 g 3 乙 i i )ohq 设爿。( f ) = 口。b ? ( f ) 是以 q 二为控制顶点的n 次b 6 z i e r 曲线，兄是开区间( o ，1 ) 中的任一吲定常数，a 。( 丑) 把n 次b 6 z i e r 曲线a 。( f ) 分成左右两段n 次b 6 z i e r 曲线，分 别记为a 。蛳o ) 和a 。计，( f ) 则 h , e o ) = a 。( 兄f ) ；m n r i g h t ( f ) 。a 。( + f ( 1 一a ) ) ， o ，1 引理 设爿。蚴( f ) 与a n r i g h t ( r ) 的控制顶点分别为 垃。和 口：，垃。e 爿。： n 。，n ，a 。 r ，爿，： 口。，a 。n ，r ，爿：= k ：。a ：，一a ：。y 则 这里 d ( 五) = d ：( 兄) = a = d ，( t ) a 。 a2 = d 2 ( 2 ) a 。 1 碟( 五) b ：( 五) 联( 五) 彤( 五) 0 b f ( 五) b ? ( a ) 口( 旯) 口? ( 五) 0 0 b ；( 旯) 趟( ) b ；( 五) b ；( 丑)b ? ( 旯)b ：( 旯) 0 鹾。1 ( 丑) b r l ( 五) b = ( 丑) b ( a ) 0 彤( ) b 0 。( 旯)b ：( 五) 曰三( 旯) b - i ( 五) b 2 ( a ) b 2 ( 兄) b ：( 五)b ? ( 兄) ol 证明：引入记号a 。，a 。，a ：，d ，( 兄) ，d ：( a ) 并利用以下四个等式，即可得引理。 a t e f , ( f ) = 4 b ? o ) = 爿。( 五f ) = 口，阜? ( 五f ) ；t o ，1 ，a r 旧n卢0 爿删( f ) = 口：，b 7 ( t ) = a 。( + f ( 1 一 ) ) i = 0 ( 122 ) ( 1 2 3 ) 口，群( + f ( 1 一班f o ，1 ，旯r h o ) 五 ( ： 0 o n o 日 o0 o 00 o 鲜( m ) = b ? ( 丑归：j ( f n ) ”：f ，五r 研( 五+ f ( 1 _ ) ) = 曰( ( 1 一硼一f ) ) = 占，棚一五) 彤( 卜f ) = 孽。( d b 0 ) 一女 j - n 一 l 0 ，1 ，旯r 1 2 2 不带端点插值条件的合并 殴p ，( r ) = 艺n b ( f ) 雨q ( f ) = 艺吼b j n ( f ) 分别是以 只也。雨 吼捷。为控制项 忙0i = o 点的两相邻b 6 z i e r 曲线( p 。= q 。) ，现在把它们合并成一条n 0 m a x n i ， 12 ) ) 次b 6 z i e r 曲线爿。( r ) 。设爿。( f ) ：窆q 彤( f ) ，其中控制顶点 q 挺。待定。以下将给出确定控制顶 i = 0 点 q 拉。的方法。 今五= 肥( f ) l d t 肥( t ) l d t + f | q ：l ：( ，) 陋 ( 12 4 ) 把合并曲线爿。( f ) 在爿。( ) 处分成左u ( = 两段r 分别为爿。妒( f ) 和a n r i g h t ( f ) ，若定义 d ( 彳( f ) ，爿。( ) ) = f 1 只( f ) 一爿。坳( ，) 1 2 矾+ l i q 。( f ) 一爿。( f ) l 2 出，则由b 6 z i e r 曲线合并 的描述，这时应有 d ( 万( f ) ，爿f ) ) = f l p ，( f ) 一爿。蛳( f ) f 2 m + l q 。) 一爿。甜，o ) f 2 d t ：m i n( 1 2 5 ) 把式( 1 2 2 ) 与式( 12 3 ) 代到式( 125 ) 中，然后式( 125 ) 左端关于a ，求偏导， 并令偏导数等于零，这样就得关于 口，) ：。的n + 1 个线性方程，把这些方程写成矩阵乘积的 形式，可得 ( d i ( ) c d ( 丑) + d j ( a ) c d ：( a ) ) 爿= d i r 、，p 。+ d ；( 五) e 幺： ( 12 6 ) 。2i b 弛归抛肛熹筹 4 吣触 、，l 卜 | i c 中其 三，噍，= 觚小肛南嚣 吨，慨o ，如彤肛击等n + n 2 ； j = 0 1 ，n 2 z一 p p b p ，哪p 】7 ：q 矿q 0 舭旭，r 令m 鹏叫c d 2 ( 饥黼啪l ，黜d 2 ( a ) ) 为列满秩矩阵，故i d j ( 五) 。；( 五) k l o 。d 1 a x ) j = d i r ( 五) c 。，( 五) + 。；( 五) c 嘎( 五) = ，为 止定方阵，则由式( 126 ) 得合并曲线爿。( f ) = a ，彤( r ) 的控制顶点的矩阵表达式为 i = 0 a = f 。( j d j ( ) d 只+ d ；( a ) e q 。：) ( 12 7 ) 注1 ： 冈为c 是正定矩阵，d r l j 利d ! r 旯j 均为非奇异三角矩阵，所以f 是正定 矩阵，其逆矩阵f “可用高斯若当法递归求得，故由式( 12 7 ) 可得不带端点插值条件的 台并曲线爿。( f ) = ：q b ? ( f ) 的控制顶点的解析表示式。 i = 0 1 2 3 具有端点高阶插值条件的合并 在l2 2 ：1 ，中，所得的合井b e z i e r 曲! 一般不能保证在第一条b 6 z i e r 曲线只( f ) 的 左端点处和1 第二条b 6 z i e r 曲线q q ( r ) 的右端点处插值，更不能保证在端点处高阶插值。 f 面将给出求与第一条b e z i e r 曲线j ：( f ) 在左端点处达到k 阶插值、与第二条b 4 z i e r 曲线q 。：( f ) 在右端点处达到，阶插值的合并b 6 z i e r 曲线a 。( f ) 的控制顶点的方法。 这里0 k ”】，0 ，“2 且k + ，+ 1 n ，k ，n 。 设合并曲线为一。( ，) = a ，彤( ，) ，由于这时合并b 6 2 1e r 曲线满足一定的插值条 i = o 什，故必有 a m ( 0 。1 0 ， 、= 。( o ) 爿j 岛m ) = 叫夕( 1 ) ( f = 0 , 1 ，k ) ( = 0 , 1 ，f ) ( 12 8 ) ( 1 2 9 ) 却卸 、 = d j 把式( 12 8 ) 年式( 1 29 ) 写成矩阵乘积的形式，可得 d i a g ( 1 ，j ， ，盯( n k + 1 ) ) 丁d l i ( 五) 爿1 = d i a g ( 1 ，h l ，- 一，n i( 胛l k + 1 ) ) z 只 ( 1 2l o ) d i a g ( n ( n 一，+ 1 ) ，一，月，1 ) h d 2 2 ( 旯) 爿3 = d i a g ( n2 ( h 2 一l + 1 ) ，一，n2 , 1 ) h q 3 ( 1 2 1 1 ) 其中爿i ：【口。，a 一，吼】7 ：爿，：k 。，n 。， ，：q ，= k 。：一，g 。：一。，g 。： 7 只= p o , n ，p 7 ：d ( ) 是d ，( 五) 右上角的( k + 1 ) ( k + 1 ) 阶子矩阵，d 2 ，2 ( ) 是 d ：( a ) 左下角的( 1 + 1 ) ( 1 + 1 ) 阶子矩阵；t = 0 ，) j t ：h = 协u ) j h 这甄，= o c 侔i ，j 显然d i a g ( 1 ，”， ( 一k + 1 ) ) 、d i a g ( n ( 一k + 1 ) ，n , 1 ) 、d 1 1 ( 丑) 以及 d ! ! ( ) 均可逆，而c 雨i d 分别为一f 三角阵和上三角阵，且对角线元素均不为零，c 、d 也可逆，所以由式( 12 1 0 ) 平i j 式( 121 1 ) 可分别得 爿：( t d 。( 五) ) 一d i a g ( 1 ，n _ l n ( n 一1 ) h ( n 一1 ) ( n k + 1 ) ) 耻 小( h d ：“彻“蜊絮等等等，等等，等，) h q 川z 令 l ，。：d i ( 五) ，2 ，+ 1 1 ，、：= d ( 旯) 陋+ 2 ，一，”一，l i ，= d i ( 五) k l + 1 ，一，h + 1 】 ，。：d 2 ( 五) 口2 一，k + 1 1 ，! ，：= d 2 ( 五) 碑+ 2 ，月一，1 ，：，= d 2 ( 旯) k l + l ， a 二= k 。：，一， 7 符号d ，( ) d ，2 】表示由d ，( 旯) 的第一，：列构成的矩阵。 显然这时要确定合并曲线a 。( r ) ，只需再确定出a ：即可。 首先仿照122 ：仃中的推导过程，然后利_ l l ；| 分块矩阵的运算法则可得爿2 满足的矩阵 方程为 g a 2 = jr ( d p 一c j 。，a i c j l 3 a 3 ) + j 。r ，2 ( e q 。：一c j 2 i a 一c j 2 ，3 a 3 ) ( 1 2 1 4 ) 其甲g ：，5 c j 。峨t ：。因为c 为川阶正定旃臣 删满秩腓所以 i ，f ：2 ，；：k l f 吒j , 2 ：7 j = 嵋“啦+ ，：t c j ：= g 可逆，踟，a ) 可得一：的僻表达劫 ， a ：= g 一( t ，雌t ( d p ，一c j a 。一c j a 3 ) + j ；r ，：( e q 儿一c j 2 。a 1 一c j 2 ，3 a 3 ) ) ( 1 2 1 5 ) 由上可知，若取爿。( f ) = 口b j 7 ( f ) 的控制顶点为由式( 1 21 2 ) 、式( 121 3 ) 、式 = 0 ( i21 5 ) 所确定的点，则a ，( f ) 即为保端点( 女，) 阶插值的合并曲线。 1 2 4 合并b 6 z i e r 曲线插值于原b 6 z i e r 曲线上的某些点的合并 在把两相邻b 6 z i e r 曲线尸，( t ) 平q 。，( t ) 合并成一条n ( n m a x ( ”，n 2 ) ) 次b 6 z i e r 曲 线a 。( f ) 时，有时要求合并b 6 z i e r 曲线插值于原b z i e r 曲线上的某些点。下面给出具有这种 限制条什的合并b 6 z i e r 曲线a 。( f ) 的控制顶点的计算公式 驶原曲线p 、( f ) 上所需插值的s + 1 个点对应的参数为 l 疑。且 ，原曲 线q 。( f ) 上所需插值的h + 1 个点对应的参数为 ，。托。且f 。 t t ，这里 0 s j ，0 h ”2 且s + h + i h ，s ，h n 令，= 五。l ，i = 0 , i ，s ，y ，= 五+ ( 1 一五) f ，= 0 , 1 ，h ，这时问题变为在条件 hf ，求 f 1 只。( f ) 一爿。坳( 叫2 矾+ f 1 q 。：( f ) 一爿。( o i 2 矾的最小值，为此，利用拉格朗日乘数法 构造拉格朗日函数上( o ，a ，a 。，o ，。l ，一，? ，叩0 ，聃，一，玑) 为 舭蛳( f ) 一只( f ) i2 d t + 肌恸( f ) - 引刮2 d t 郎m 仇卜+ 知北) 一只( ) ) + 圭q j ( a 川一啪瑚1 2 1 6 + ( 4 。( j ，) 一只( ) ) + 。( y ，) 一q n ：( 川 式( 121 6 ) 分别关于o ，。，o ，e s , ，巩求偏导数，并令偏导数为零，同时 把所得方程绷写成矩阵乘积的形式得 f a 一( d r ，p 。+ d ；( 2 ) e q 。，) + k 7 w = 0 ( 1 21 7 ) 以及 其中 丘= 工 w = k 。，一，s ，口。，叩，一，口。r ( 1 2 1 8 ) o = ，) 也 邵g 3 乙 = )抄邵 口 。y 智 jo = ) ( b p j = ) x ( 女 口 口 。 k = 8 0 ( x o ) 掰( x ，) 倒( t ) 酬( y 。) b o ( y ) b ? ( ) 研( 置) 口“) 研( y 。) b n m ) 掰( y ) b ? ( y 。) 彤( x 。) 彤( x ，) 彤( t ) 彤( y 。) 彤( y ) ： 彤( _ y 。) 冈为f 为n + l 阶可逆矩阵，所以由式( 121 7 ) 可得 a = f 一1 ( ( d r 、，p 。+ d ；( a ) e q 。：) 一k 7 ) 把式( 1 21 9 ) 代入式( 121 8 ) 可得 k f 一1 ( d 。r ，p 。+ d j ( 2 ) e q 。：) 一k f “k 7 w = l 冈为k 是( s + h + 2 ) ( n + 1 ) 阶行满秩矩阵，f 为n + 1 阶可逆矩阵，所以k f 一1 k 7 是 s + h + 2 阶可逆方阵，由式( 12 2 0 ) 可得 ( 1 2 2 0 ) w = 0 r f ，一1 k7 ) _ ( k f ( d j ( 五) d 尸+ d f ( a ) e q 。：) 一上) ( 1 2 2 1 ) 令n = d i ( 五) d p 。+ d ；( a ) e q ，把式、1 22 1 ) 代入到式( 121 7 ) 可得 f a n + k 7 ( k f 叫k 7 ) 一( k f 叫一三) = 0 冈为f 为n + l 阶可逆矩阵，所以由式( 1 2 2 2 ) 可得 爿= ，。( 一k 7 ( k f “k 7 ) 。( k f n 一三) ) ( 1 2 2 2 ) ( 1 2 2 3 ) 式( 1 2 2 3 ) 给出了具有插值于原b 6 z i e r 曲线上的某些点的约束条件限制下的合并b 6 z i e r 曲线a 。( t ) 的控制顶点的计算公式。 1 2 5 合并误差及其界 定义合并曲线爿。( f ) 与待合并曲线p 。( f ) 、q 。( f ) 之间的合并误差为 s = f ( 瞰r ) 一爿。妒( r ) ；2 + i q n , ( f ) 一爿删( r ) 1 2 ) a t 8 ( 1 2 2 4 ) r 叫 ( 彤叮 兰 )( n f 口 g h ) 0 ( 8 叮 h ) j ( 8 p j ) ( 日 p j )( 日 p j l = l 其中曲线爿，蛳( f ) 平爿。，鲋，( f ) 分别表示合并b 6 z i e r 曲线4 。( f ) 在点爿。( 见) 处被细分后 所得的左段和右段子曲线。 由式( 122 4 ) 可得 m a x i 2m a x i - 2 o 髓o 逛 l 两- 1 1 , ，1 + o f o ，甜+ v + c o = 1 ， ( 1 4 1 ) i + j + k - n 为三角域t 上的 次参数b e m s t e i n b 6 z i e r 曲面，简称为三角b 6 z i e r 曲面 9 勰小，v ，妒盎u i v j k , i + “一，叭+ v “，称为”次 b e m s t e i n 基函数，正，似称为曲面(