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关于p n 空间中算子理论若干问题的研究 摘要：1 9 4 2 年，k m e n g e r 引入厂概率度量空问，其基本思想是认 为空问中元素之间的距离具有随机性，从而不是用非负实数，而是用 分布函数度量之。显然，这更符合客观实际，而且通常的概念空间都 是概率度量空问的一个特殊情况。本文主要研究概率度量空间中算子 理论的若十问题。全文分为二二章。 存第一章t 一 l ，介绍了概率度量空问算子理论的历史背景、现状以 及概率度最窄间中的预备知识。 良第j 章中，研究了概率度量空问巾算子方程a x = x 的解，得到了 若干新的结果，并且在m e n g e rp n 一空问的基础上建立了一个新的空间 l ，一m p n 一窄问，同时在这个空间巾讨论了非线性算予力程a x = 彤( 1 ) 解的存在性。 恕第三章中，在a p r o p e l 映象拓扑度理论的基础上建立并讨论了 堆渊映象布概率度量空问巾的拓扑度，并且证明了它的一些性质。 关键词：m e n g e t lp n l 问，紧连续算子，拓扑度，算子方程，单 训映象。 r e s e a r c ho ns o m ep r o b l e m so f o p e r a t o r t h e o r yi nt h ep n - s p a c e a b s t r a c t ：i n19 4 2 ，k m e n g e ri n t r o d u c e dl h ec o n c e p to fp r o b a b i l i s t i cm e t r i c s p a c e 1 1 1h i sb a s et h o u g h t t h ed i s t a n c eb e t w e e nt w oe l e m e n t so ft h es p a c ew a s c o n s i d e r e dt ob er a n d o m s oi tw a sp r e s e n t e db yad i s t r i b u t i o nf u n c t i o na n dn o tb ya a o n n e g a t i v er e a ln u m b e r s o b v i o u s l y , i tf u r t h e rc o n f o r m e dt or e a l i t y m o r e o v e r , g e n e r a ll n e t li cs p a c ec a l lb el o o k e do na st h es p e c i a lc a s eo fp r o b a b i l i s t i cm e t r i cs p a c e 1 1 1t h ew h o l et h e s i sw ei n v e s t i g a t es o m ep r o b l e m so f o p e r a t o rt h e o r yi nt h ep n s p a c e i h i st h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e es e c t i o n s i nc b a p t e l o u e w ei n t r o d u c et h eb a c k g r o u n d p r e s e n ts t a t u so fo p e r a t o rt h e o r y a n dt i l ep l e p a m t o r yk n o w l e d g ei nt h ep n s p a c e i nc h a p t e rt w o w es t u d yt h es o l u t i o n so fo p e r a t o re q u a t i o n sa x = zi nt h e p n s p a c e m i d o b t a i ns o m en e wr e s u l t s m o r e o v e r , w ec r e a t ean e ws p a c e ， t 。一m 一1 n s p a c e ，o nt h eb a s eo fm e n g e rp n s p a c e i nw h i c ht h ee x i s t e n c eo ft h e s o l u t i o n so i n o n l i n e a ro p e r a t o re q u a t i o n sa x = t l xf 1 0 i sd i s c u s s e d h + tc h a p t e rt h r o e ，b a s e do nt h et o p o l o g i c a ld e g r e et h e o r yo f a p r o p e rm a p p i n g s ， w eb u i l da n dd i s c u s st h et o p o l o g i c a ld e g r e eo fm o n o t o n em a p p i n g si nt h ep n - s p a c e ， a n de s t a b f i s hs o l r l ep r o p e r t yo l i t g u o l i n g ( a p p l i e dm a t h e m a t i c s ) d i r e c t e db yp r 0 6z h uc h u a n x i k e y w o r d s ：m c n g e rp n 。s p a c e ，c o m p a c tc o n t i n u o u so p e r a t o r , t o p o l o g i c a l d e g l e c 、o p e r a t o re q u a t i o n ，m o n o t o n em a p p i n g 独创性声明 本人声i w 所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成粜。据我所知l ，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰下孑过的研究成果，也不包含为获得南昌大学或其他教育机 构0 j 学位或证 辄i 使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献 均已存论文q 作了明确的说明并表示谢意。 铫论文作者签名：番镌 签字h 期 or 一 学位论文版权使用授权书 本! 羊位沦义作者完全了解 壹量叁鲎 有天保斟、使用学位论文的规定， 何权保留井向h 家自关部门或机构送交论文的复印件和磁撇，允许论文被查阅和 借刈。本人授权南昌大学_ j 以将学位论文的全部或部分内容编入有关数掘库进 行检索 r 以采_ = j 影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( f 裂密的学位论殳在解密后适川奉授权书) 学位沦史作肯簦名 酃礁 学位论文作肯毕业后去向 1 ， ：单位： 通m 地址： 别虢柴f 嬉 卜1签字h 期：z o d 史f 占月o | _ j 电话 邮编 硕十研究生学化论文 第一章前言与预备知识 1 1 概率度量空间算子理论的历史背景与现状 存传统意义的度量空间中，两点之间的距离均是用固定不变的量来表示，然 而山1 二i 自然界许多量的测量具有随机性，因此度量这些量时就不宜用固定不变的 量柬表示，而适合用分布雨数隶表示，显然这更符合客观实际i e 是基于这一思 想，1 9 4 2 年k m e n g e r 首先提出“概率度量空问i i ”的概念，在他的理论中用分 ，nj 函数表示窄州中两点的距离于是就产牛了一门泛函分析与概率论的边缘学科 在这力面做丁奠基性工作的有以首创序贯分析闻名r 世的a w a l d ”1 ，布拉格学派 的重露人物s p a c e k 1 和前苏联数学家a n s e r s t n o v 。1 二十世纪下半叶，美国学 名i ls c h w e i z e r ，a s k i a r 和i t s h e r w o o d ”。”等对概率度量空间理论的深入发展做 厂突出的贡献 找h m 匕十年代后期) 1 二始了在这个领域的研究工作，游兆永、张石生、龚怀 云、丁- j | ，、林熙、朱传喜、郭铁信等学扦在该领域都取得了不少深刻而独其特 色的成果 找国学者刈概率度量空间中的拓扑性质有界性，p n 窄i 、h ie 的算子方程 等都进行n 采入地研究拓扑度理论是研究非线性算子方程定性理论的有力 ： 具凶此文【1 4 建立了概率度量空间巾的拓扑度理论，把b a n a c h 空间中成立的某 4 ：b 结果推广到概率度量空间上，大大地推进了 l c 率度量窄间中非线性算子方程 解的存存。睫定理的研究 1 2 概率度量空间中的预备知识 n ：本义- t 我们处处用凡表示一切实数之集合，月+ 表示一切非负实数之集合 定义1 1 h 央象f ：尺呻r + 称为分布函数，如果它是非减的，友连续的，且 满足f 丽条仆：骠f ( f ) = s 。u p f ( f ) _ 1 塑! 型l ：堑竺堂! ：! 堡兰 以j 厅 j 5 毛f f j 处处用d 表示“切分布函数的集合，d 0 = 扩d i f ( o ) = 0 l ，并用 h g ) 表示一特殊的分伽函数，其定义如下： = 协拦 定义i 2 。慨率度量窄间( 简称为p m 一空间) 是一有序对( f ，门，其中e 是一 j 山象集， 1 是e e 到d 的映象( 记分和函数，( 工，) 为f 一又e 。( ，) 表示c 。在 f r f f h f f ) ，并假定f 。x ，y e 满足下面的条件： ( i m 一1 ) p ( o ) = 0 ： ( p m 一2 ) 、( ，) = 阿( r ) ，v t r ，当目仅当x = j ，； ( p m 一3 ) r = f ，； ( p m _ 4 ) 列任意的工，儿= 2 ，尔，2 矗，若，( ，1 ) = 1 ，只。( ) = 1 ，则有： f 一( ，1 十1 ，) = i ； 定义i 3 1 映像：o ，h i o ，1 】斗f o ，1 1 称为三角范数( 简称为f 一范数或，一 模) 果 i ；i i 足i j 面的条t ：刘。【刀的“，b ，c ，d 【o 、i i ( 一1 )a ( a ，i ) = “，( 0 ，0 ) = 0 ； ( 一2 ) a ( a b ) = a ( b ，a ) ； ( a 一3 ) a ( c ，d ) a ( a ，6 ) ，当c c ，d br l , j ： ( 一4 ) a ( a ( a ，6 ) ，c ) = a ( a ，a ( b ，c ) ) ： 定义1 “m e n g e r 概率度量空问( 简称m e n g e rp m 一守m ) 足一三兀组 ( 压r ) ，其。e ，7 ) 足p m - 空川t 足f 一范数，而且满足下面的m e n g e r 广 义不等，： ：( ，l + ，2 ) ( f j ( ，1 ) ，凡( ，2 ) ) ，v x ，y ，z e ，l i , ，2 0 定义1 5 1m e n g e r 概率线性赋范空间( 简称m e l l g e rp n 一空洲) 是一三元组 ( e - ，) t 其巾e 是一实线性空间，尸是e 到d 的映象( 记分布函数f ( x ) 为e ， 义f a t ) 表示在，r 的值) ，并刚限定c ，x e 满足下皿的条件： ( p n 一1 ) ，。，、( ) ) 20 ； ( p n 2 ) 只( ，) = ( ，) ，v t r ，当日仅当石= 0 ； ( p n 一3 ) 对任一粤：数口0 ，( r ) = 只( f 口i ) ； ( p n 一4 ) 对任意的x ，y e ，t l , f 2 r ，若一( f 1 ) = 1 ，e ( ，2 ) = 1 ，则有： f 。( ，i + r 2 ) = 1 ： ( p n 一5 ) 对仟意的x ，y e ，及一切的“，2 r + ，则有： 只。( ，+ f 2 ) ( f ( 。( r 2 ) ) 定义1 6 1 没( 历，f ，) 是具有连续f 一范数的m e n g e rp n 一空阃，则 1c - ef - j 改敛于x e 的充分必要条件是! 驷。一，o ) = h o ) 定义1 7 ”“设( e ，f ，) 是具有连续t 一范数的m e n g e r p n 空间， x 。 被称为 er l i | 1 qc a t m h y 列，如果划v c o 五 0 存在正整数n = n ( v ，a ) ，当卅， n 时， 鄙白k 1 。( f ) l - 五- 定义1 8 1 穿州( e ，f ，) 称为是完备的，如果对e 中的每一c a u c h y 列都收 敛j i e 。i j 的某一点 为了第i 章巾m e n g e rp n 空问单调映象的拓扑度建立的需要，下面我们介 绍】jm e n g e rp n 空间中a p r o p e r 映象的拓扑度的有关概念和性质，参见 l 【_ 2 2 称( p ，f ，、) 为个投影完备的m e n g m p n 一空问，其中是一个连续的f 一范 数，如果它满足下列条件： fi ) h 是一个呵分的实h i l b e r t 空m ： ( 2 ) 存在，的一串有限维子空间，= 1 , 2 ，) ，并存在从h 到h 。的投影算子 圮( ，7 = 1 2 ) ，p ，：i f 斗i t 。是线性有界算予，满足只) = h 一且群 ( ： ) x t - f l ! + o x h ，! 妫：，( ，) = h o ) ，v ，r ； ( 4 ) ( h ，r ) 为一个m e n g e rp n 一卒问； 这时1 ，r = ，只 称为( h ，f ，) 的一个概率度量的逼近格式 设f h ，f ) 为一个投影完备的m e n g e rp n 一空间，是一个连续的t ：p ，； 范数 硕_ f = 研究生学位论文 r = ，p ， 是( ，f ，a ) 的一个概率度量的逼近格式，q 是中的有界开集，映 象，：q 寸是连续有界的令q 。= q n h 。0 = l ，2 ，) ，如果对于任何序列 x 。q * ，使! i 。m 。f j ；。小。- 托。b ) ( f ) = h ( f ) ，v ，r ( 其中y ) ( 1 - 1 ) 部必有h ， 的收敛子列 】c 。，j 存在，使x 。斗x 五，厂( x ) = y ，则称厂关于概率 度量的逼近格式f 是a p r o p e r 的，当r 固定时，简称是a p r o p e r 的 以l i 总假定r 是固定的 设( h ，f ，) 为一个投影完备的m e n g e rp n 空问，是一个连续的，一范数，q 是，巾的有界开集，映象厂：五寸是a p r o p e r 映象，y 茌厂( 弛) ，用z 表示扩 充的( 即包含。) 整数幕，定- s ( j “义拓扑度d e g 。杪，q ，一) 为： d e g 一( ，q ，y ) 2 杪e z i 存在砷j 的子列慨 ，使d 曙( 只。厂，q p ，。y j 斗y 其中d c g ( r ，厂，q 。p ，y ) 0 ) 表示有限维空间。中的连续映象尸，厂：五。寸h 。 的b r o u w e 】度。 定理1 14 e e l 设( f ，a ) 为一个投影完备的m e n g e r p n 一空间，是一个连续 的，一范数，q 是h 中的有界丌集，映象，：n 。h 是a p r o p e r 映象，则广义拓扑 度d e g 。( 厂，q ，y ) 具有下列性质： ( 1 ) 正规性：d e g “( ，q ，y ) = 1 ，v y q ，其中，表示恒等映象，即，( x ) ：工， v x h ： ( 2 ) 可解性：若d e g 。( 厂，q ，y ) 0 ，则方程厂( x ) = y 在q 内有解： ( 3 ) i , q4 f i - 不变性：设g ：【o ，i 】五寸连续，并且对每个固定的，e 【0 ，i 】， g ( ，) ：q j ，彳是a - p lo p e r 映象，设y g ，( 硷) ，t 0 4 ，这里g ，g ) = g ( f ，x ) ， 姒l jd c g g ，2 j ，) = d e g _ ( 冀o ，q ，y ) ，v t f o ，1 】： ( 4 ) 切除性：设q 。是q 的丌子集，- e l y ，瞄q 。) ，则 d e g ( ，_ ，q ，y ) = d e g ( 厂，q 。，y ) ： ( 5 ) 广义可加性：设q ，q 2 是q 的两个互不相交的丌子集，且 一。一堡墼型至! ! 生一一一 y 硭心iu q2 ) ) ，则d e g 。驴，q ，y ) d e g 。( 厂，q 1 ，y ) + d e g 。杪，q 2 ，y ) ， 当 d c g 。q 1 ，j ，) ，d e g 。( 厂，f 2 z , y ) 中至少有一个是单元素集时，必有等号成立 ( 6 ) 名：y 荏r ( o n ) ，贝0 d e g 。( 厂，q ，y ) = d e g 。( 厂一，q 。0 ) ； ( 7 ) 连通区性质：当y 在h f ( o o ) 的连通区中变动时，d e g 。( ，q ，y ) 保持不 蛮 硕十硼1 ：究生学位论文 第二章概率度量空间中两类算子方程的解 木章在概率度量空间中研究算子方程a x = x 的解，得到了若干新的结果，并 且在m e n g c r 概率度量空间的基础上引入逆元，建立了一个新的空间，同时在这个 空削中讨论丁非线性算子方程a x = u x 解的存在性，推广了概率度量空间中的某 些重要定理 征本章中，处处表示连续的卜范数 2 1p n - 空间中算子方程a x = x 的解 有 定义2 1 ”如果m e n g e rp n 空m 满足下列条件：f 是实数集露上的代数且 ( 1 ) e 对乘法封闭，即：v x y e 则x y e ( 2 ) 刺任意口r ，v x ，y e 有( a t ) y = x ( a t ) = a ( x y ) 则称( e ，f ，) 为z m ，p n 空间 在z m p n 空间中记x x x = x ”则有： ( ： ) 对任意的口，2 r ，v x ，y e 有僦砂= ( 献) ( x - 少) 因此刘任意见r ，v x e ，均有刀x “e 以及厶叫，d 引理2 1 如果0 ， 0 ( 因为x 1 ，0 1 时 颁士研究生学位论义 r ( x ) ，( 1 ) ，即有 r 、i “一1 一( x 一1 ) o 0即x 。一1 g 一1 ) “ 其中甜2 ，甜为常数故( 2 1 ) 式成立 即一向 因为( ) ， 1 ，令x ：! 代入( 2 1 ) 式得 虻坐。丛 f “f “ 1 “ w 一 l tl f p , p0 一，) “ 1 一r “，又因j , 0 f 1 ，所以f 0 一f ) “ ( 1 一f ) “ 0 ，口2 ( 2 2 ) 那么d e g ( 1 一爿，w ，0 1 = 1 ，即算予方程a x = x 在w 中必有解 证明令b ，( x ) = x t a x ，v te 【0 ，1 ，x 矿下证0 仨 ，p ) ，v t 【0 ，1 】事实 上，假设0 h ，( a ) ，目防在f 。 o ，l l x 。o ，使得：矽= 一l o a x 。，即= t o , 4 x 。， 则1 0 0 ( 否则f o = o ，= 0 o w ，与0 w 矛盾) ：又，o 1 ( 否则r o = 1 ，即有 x 。= a x 。，a 矿这与a x x ，v x a 缈矛盾) ，故，。( o ，1 ) 因而可得a x 。= 鱼， 代入( 2 - 2 ) 式得： 砧。，卜o 椎，n h ，。，矿 e 、。，兰铂枷。“。 嵩h 扩。滢 出气圳，、d 的非减性可得： 堕 型 ( 1 一t oo i f 。“ 7 硕 。研究生学位论文 即南寺，一，引。( i - t o ) 躬睫2 _ 糯_ 刚 0eh ，( o w ) ，v t 【o ，1 ，根据文0 4 中拓扑度的同伦不变性知： d e g ( 1 一爿，w ，口1 = d e g ( 1 ，w ，日) = l 0 又根据文 1 d 州。拓扑度的i j 解性知：方程a x = x 在w 中有解 引理2 2 如果0 ， i + ，。，其中甜2 ，a 为常数 证明令厂( ) = ( 1 - t - t ) a - - 1 一，“，0 ， 0 ( 因为o o ，o r _ 2 ，所以 ( 1 + ，) ”l t “) 因此，厂( ，) 在区间( o ，1 ) 内是严格单调递增函数，于是，当f 0 时，厂( ，) 厂( o ) = 0 ，即有：( 1 + 矿一0 + f 4 ) 0 ，即( 1 + ，) 8 i + ，“，其中a 2 推论如果0 ， r 【1 + ，“) ，其中a 2 ，口为常数 证明因为0 一 、l，o ，k k i n h 4 得工” 一 入 f 堡主塑窒竺竺堕堕壅 一 即雠h ，。m 话卜，、”。h ( 器h r 惴 由f 。d 的非减性可得： 1 1 n l1 0 旦竺堕， ( 1 + t oo 一1 + f o “1 即t o o 。上i + t o a ，( 1 + 惮“这与推论相矛盾_ 因此 吕诺h ，( 。矽) ，v f 【o ，1 】，根据文 1 4 中拓扑度的同伦不变性知 d e g ( 1 一一，w ，目) = d e g ( 1 ，w ，目) = 1 0 脓 1 4 3 中拓扑度的可解性知：方程a x = x 在w 中有解 定理2 3 设w 是z m p n 空问( e ，f ，) 的开子集，a ( t ，f ) ，v ， o ，1 ，又设 血，f ，) 是z m p n 空m 彳：形斗e 紧连续，口，a x x ，慨ea ，如果a 满 足f 列条件( 当口2 ，d 为常数时) ： 、o ) + i 。渺v x a 彤，v ， o 2 4 那么算子方程a x = x 在w 中必有解 证明从已知条件巾得到： e 山r 与d ，记f 舡0 ) 为_ q ，且有_ ，4 e d ，又q ；心) 表示蜀。在re 尺吲 的值4 h ，( x ) - - - - x - - t a x ，v t 0 ，l 】，x 形下证口 ，p ) ， 0 4 事实上，假 设口啊p 缈) ，即存在r 。【o ，1 l x 。e 。，使得：臼= x o 一“a ，即2 ，o 一，则 f n 0 ( 否则，。：0 ，：口8 w ，与臼矛盾) ：又“1 ( 否则“2 1 ，即有 ：爿x 。a 形这与爿x x ，v x 8 w x r 6 ) ，故，。( o ，1 ) 因而可得爿2 詈， 代入( 2 - 4 ) 式得： 即 气。，+ 。，o 气i i i 。+ n 。，。“ o 佴y h o ( o 倍灿o 硕士研究生学位论文 即 叫赤引 ( 等 s ， 山于( r ，f ，) 是z - m - p n 空间，( 5 ) 式中g 坩e d ，又由分布函数的非减性可以从 ( 2 - 5 ) 式中得到： 而l i o a 等， 即1 + ；。“ ( 1 + f 。) “，这与引理2 2 桐矛盾因此p 岳 ，p 缈) ，v t 【0 1 】，根据 文 1 4 ，i f i 拓扑度的同俭不变性知： d e g ( 1 一爿，w ，口) = d e g ( 1 ，w ，口) = 1 0 又根据文 1 4 中拓扑度的可解性知：方程a x = x 在w 中有解 定理2 4 设w 是z - m p n 空间( e ，f ，) 的开子集，( f ，t ) - t ，v t 【o ，1 】，又 设a ：一w 寸e 紧连续，0 w ，a x x ，v x o w ，如果a 满足下列条件： 1 月。r ( f ) 气m 。，h d ) ，v x o w ，v t 0 ( 2 6 ) 那么算子方程a x = x 在w 中必有解 证明令_ 0 ) = x t a x ，v t 【o ，1 】，x 矿下证0 芒 p ) ，v r 【0 ，l 】事实 卜，假设目 ，p 形) ，即存在f 。 o ，1 l x 。o w ，使得：0 = 一t o a x 。，即x 。= t o a x 。， 则t 。0 ( 否! j 1 0 ，o = o ，= 0 o w ，与0 w 矛盾) ：又f o l ( 否则，o = 1 ，即有 t 。= a x o , x o a 这与爿x x ，帆a 矛盾) ，i o ( o ，1 ) 因而可得血。2 x a ，。_ o 代入( 2 2 6 ) ，e 得： 褂。卜协斗o ， 即卜) 一_ “2 ) 氏z ( 等 ， 由f ，d 的非减性可得： 。2 兰 即，。2 一，。+ 1 o ) 因此口茌啊p ) ，v t o ，1 】 0 硕七研究生学位论文 根掘文1 4 中拓扑度的同伦不变性知： d e g ( i 一爿，w ，目) = d e g ( i ，w ，目) = 1 0 又根据文 1 4 中拓扑度的可解性知：方程a x = x 在中有解 2 2l - m p n 空间中算子方程a x = 肛，缸1 ) 的解 定义2 2 如果m e n g e r p n 空间满足f ，0 条件：e 是实数集r 上的代数，e 中的每个非零元素石都有逆元。，日有 ( 1 ) x , t - 任意非零元素x ，y e ，有x - j ，。e ： ( 2 ) 刘任意非零“tr ，任意非零元素x ，ye e ，沁一1 ) y = x 一1 ) = a 1 ) ，则称( f ，f ，) 为l - m p n 空间 在l m p n 空间中，记x x x = x 1 定理2 5 设w 是l - m - p n 空间( e ，f ，) 的丌子集，a ( t ，f ) f ，v t 【o ，l 】，又设 4 ：旷斗e 紧连续，0 w ，如果a 满足下列条件： 川。o ) 0 ， 1 , n 为自然数 ( 2 7 ) 那么非线性算子方程a x = 肛，( 1 ) 在矿中必有解 证明可设a x t l x ，v x o w ，i t 1 ( 否则，定理的结论得证) 山已知条件爿：矿砷e 是紧连续算一t - ，显然对于“2i ，三彳：万斗e 也是 紧连续算予令 ，g ) = z 一爿x ，v t 0 ，吐v x 旷wf i i e o 盛自，0 矽l v f 0 ，l 】事 i f 实 ：，假波口，7 j p l v ， o ，l 】，即存在，。 o ，l l o w ，使得： 妇1 ) ，即有：鱼爿，则岛0 ( 否则f 。：0 ，：0 o w 矛盾于0 w ) ：又 f 。1 ( 否则，。= 1 ，x 。= 上彳艽。，日i j ，优。= 爿，工。o w 这与a x p x , v x o w ，l 工f 硕士聊f 究生学伉论文 矛盾) ，故，。( 0 1 ) 因而可得a x 。：生x 。代入( 2 7 ) 式得 。0 名矿一o t i m 川巩( 0 1 ) 眠。( 等 ，f ”，h l ， 为自然数，这与 l 。盯，( f ) ，v x o w ，v ， 0 ，”l ，h 为自然数 ( 2 8 ) 那么非线性算予方程a x = t t r ，( 1 l 1 ) 在矿中必有解 证明可设a x 肼，v x o w ，f i ( 否则，定理的结论得证) 山已矢条件爿：矿呻是紧连续算子，显然对于“1 ，l a ：形呻e 也是 紧连续算予令啊( x ) = x t “a x , v t 【0 ，1 l 地e 矿下证臼诺啊p ) ，v f 【o ，l 】事实 上，假设口曩p l v ，【o ，1 ，即存在，。 0 4 ，。a ，使得：0 ：x 。一生瓜。 “，1 )则矗0 ( 否则1 。= o ，t 。= 0 a 矛盾于拶w ) ：又 4 b 一 一一 茸 即 硕 ：研究生学位论文 ，。1 ( 否0 f n ：1 x 。：l a x 。，即，“。：爿x f ) ，x 。8 w 这与a x 肛x ，v x 8 w ，2 1 矛盾) ，故，。( 0 , t ) 山厂。d 的非减性可得! v 0 。，( 等q 因为f o ( o ，1 ) ，f 1 ，f 0 ，所 以一，。) ” + ，。) ”，”l ，n 为自然数，这与一“) ” 一 ： 得 ， 式 o f ， 人 ， 忆 b 一名 i | 1，( 出 净 得 心 叮 ) ， 一 h ， 而 i 断 ，睁 硕士研究生学位论文 实上，假设目自，p ) ，v ，【o ，l 】，即存在b 【0 ，1 l o w ，使得：0 ：一生爿 ( 1 )即有x 。：鱼爿，则f 。0 ( 否则，。：0 ，：0 o w 矛盾于0 w ) ：又 l f o 1 ( 否吼4 “= 1 x 1 ) = 二爿x o ，即工o = a x n ，x o o w 这与a x t x ，v x o w ，1 , t t 矛盾) ，故( o a - 凼而可得爿x 。2 等，代入( 2 9 ) 式得 即 彳蚶、。( ，) o ， 1 ，f 0 ( o ，1 ) l ， 。( 品卜。( 爵 由l i 。e d 的非减性可得 一上墨一 0 ，所以，f 1 + f 。1 77 屯矛盾 囚此硅_ ( 0 w ) , v t o ，l 】由文 1 4 中拓扑度的同伦不变性和正规性可知： 眈g ( ，一万1 删，口卜魄哪) = ，。 又根据文 1 4 中拓扑度的可解性知：非线性算子方程a x = 肛，铷1 ) 在矿中必有 解 定理2 8 设w 是l - m p n 空问( e ，f ，) 的开子集，o ，) ，v t o ，l 】，又设 彳：莎je 紧连续，0 w ，如果a 满足下列条件： 气。m 。r o ) o , n 1 ， 为自然数 ( 2 1 0 ) 硕七研究生学位论文 刃l v z , 非线性算子方程a x = 雕，1 ) 在形中必有解 证明可设a x i ，v x ：o w ，1 ( 否则，定理的结论得证) 由已知条件a ：一w _ e 是紧连续算子，显然对于i ，! 爿：一w _ 争e 也是 紧连续算子令h ，0 ) = x ta x ，v te o ，l l v x 矿下证0 诺 ，( a ) ，v t o ，1 事 “ 实上，假设臼 ，( c o w ) , v t o 1 】，即存在“【o ，1 l o w ，使得：0 ：x 。一鱼爿。 0 1 ) 即有：t 卫a x 。，则f 。0 ( 否则，。：0 ，x 。：0 o w 矛盾于0 w ) ：又 ，f f 。1 ( 否j j l 0 ，。= 1 ，x 。= 土i x n ，目| 户口。= 爿x 。，x 。o w 这与a x l a x , v x o w ，1 矛盾) ，故，。( o ，1 ) 凼而可得爿= 竺粕，代入( 2 一t o ) 式得： 0 铭。( “”。 t o n ( j 1 一岛) ”，。1 ，。为自然数 ( 1 ) 当”= 1 刚，显然，f o f 一，。) t o “f l o ) ( 2 ) 假殴当n = k 时，不等式成立当h = t + 1 时，利用归纳假设，我们有 ，。“( ，卜f 。) “1 叫“1 - “1 一i o t * 1 ) = i o k + l - f o y “) 一“) “，i k “，一1 0 * i 一，。) 一i k + 1 “1 一i o k + 1 ) 气。n 。n 川。( r ) ，v x a ，v ， o , n l ，”为自然数 ( 2 1 1 ) 那么非线性算子方程a x = 肛，0 1 ) 在矿中必有解 证明完全仿照定理2 8 的证明故从略 硕士研究生学位论文 第三章概率度量空间中单调映象的拓扑度 本章中讨论了单调映象在概率度量空间中的拓扑度，这种广义拓扑度是在 a p r o p e ri 映象拓扑度理论的基础上建立起来的，同时，我们在本章证明了这种拓 扑度的一些性质 3 1 单调映象的拓扑度概念 定义3 1 1 7 1 概率内积空间是一三元组( e ，f ，) ，其中e 是线性空间，：= 为弱，一模i 0 ，b ) _ m i n ( a ，6 l v d ，b 【0 ，1 】 ，f 是e e 到d 的映象，且协，y ，z e ，下述条件满足： ( p i 一1 ) 曩。) = 曩) ： ( p l 一2 ) 巧w ) d o ：吃，) ( f ) = h ( f ) ，v t r ，当且仅当x = 0 ( p 1 3 ) 若曩。) = h ，则曩缸，) o ) = h ( f x v 丑r ：若曩。) h ，则 ) ( f ) 钒l 甜胁o ) 叫； ( r l qj 右一i 。+ y ：) ，产( ，：) ，f ；y ，) d o ，且v t r ，v 口，卢 o ，口+ = 1 ，贝0 琵x + y ：) z 缘| f 溉鬈溉糊一o ， 当曩) o ) 0 一【。【曩。) 忉l 曩。) ( 肛) l 当曩。) ( f ) = 0 其中a o ( “，6 ) = m i j l 0 ，6 l s 0 ，6 ) = 1 一( 1 - a , 1 6 l 氐0 ，b ) - l 一。( 1 一日，1 6 ) 定义3 2 称( h ，f ，) 为h m p n 空间，其中h 是一个可分的完备实线性空 l j ，- ：i i h d ，厶是一个连续的卜范数并满足下列条件，o 硕士研究生学位论文 ( 1 ) ( ，f ，) 是一个完备的概率内积空间 ( 2 ) ( h ，f ，) 是一个投影完备的m e n g e r p n - 空间 根据参考文献 1 4 可知：概率度量空间中拓扑度定理在h m p n 空间中成立， 且m e n g e rp n 一空问中a p r o p e r 映象的拓扑度也在h m p n 空间中成立 引理3 1 “”设( ，f ，) 是一个概率内积空间，则可赋予h 上- n n # n 半内 积： x ，y ) ，i ，一e ( o , i ) ，b p x 寸v re ( 0 ，1 ) ，有： ( x ，x ) ，= 0 ，v r ( 0 ，1 ) x = 0 o ，y ) ，= ，x ) ，： ( m ，y ) ，= 五b ，y ) ，v r 又若曩。) d o ，则0 ，y ) ，o ，r ( 0 ，1 ) ：且，2j g ，y l g ，y ) 引理3 2 “7 1 设( ，f ，) 是一个概率内积空问，且= m a x ，则可由概率内积 导h 一个内积0 y ) ，使( 仃，( ，) ) 成为内积空问：反之，若，- ) ) 为内积空间，则i q 拍内平5 - k l 、导i j r i 个概率内积f ，使( ，f ，) 是一个概率内积空问，其中a = m a x 为便利起见，在h m p n 空间( h ，f ，a ) 中，其中a = m a x ，取定r = ，h 为( o ，1 ) 区f l l l 内的一个常数，并记b ，y ) 。= g ，_ y ) ，v x ，y h 。则由空间( h ，f ，) 导出的内积 都刚，) 表刁i ，并令= 网，v x e 定义3 3 设( ，f ) 是一个h m p n 空间，其中a = m a x ，i 映g a f ：- f fh 称