（应用数学专业论文）算子族的laplace变换反演与扰动.pdf

摘要 中文摘要 本文首先，研究了u m d 空间和b a n a c h 空间上c 正则预解算子族和k 正则预解算子族 的拉普拉斯变换反演，这两个空间上的主要区别是：前者在一定条件下可以作用在全空间 上而后者只能作用在算子a 的定义域上 其次，研究了后一卷积c 余弦函数和尼一卷积c 半群的乘积扰动证明了如 果( c _ 1 4 g 谚) 生成指数有界尼一卷积c 一余弦函数( g ( t ) ) t o ，贝i i ( a b ，p ) ，( b a ，p ) 或( 4 ( ，+ 曰) ，口) ，( ( ，+ b ) a ，口) 也生成一个指数有界的k 卷积c 余弦函数尼一卷积c 一半群也有类 似的结论 再次，研究了后一卷积解算子族的乘积扰动设忌c ( 0 ，o 。) ；c ) 和b 是一个有界线性算 子，在一定条件下，本文证明了如果a 生成一个指数有界的七一卷积算子族，那么( b a ，p ) ，( a b ，p ) 或( + b ) ，肛) ，( ( ，+ b ) a ，p ) 也生成一个指数有界的k 一卷积算子族此外，本文 也给出了忌一卷积算子族的加法扰动的结果，即如果( a ，p ) 生成x 指数有界的尼一卷积算子 族 r ( 亡) ) t o ，在一定条件下，那么( a + b ) ，p ) 生成x 上指数有界的k 一卷积算子族 关键词：u m d 空间，c 一正则预解算子族，k 一正则预解算子族，l a p l a c e 变换反演，k - 卷积c 一余 弦函数，k 一卷积c 一半群，k 一卷积解算子族，乘积扰动，加法扰动 第1 页 a b s t r a c t 上海师范大学硕士论文 i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h ei n v e r s i o n so ft h el a p l a c et r a n s f o r mf o rt h ec r e g u l a r i z e dr e s o l v e n t f a m i l i ya n dk r e g u l a r i z e dr e s o l v e n tf a m i l i e si nu m ds p a c e sa n db a n a c hs p a c e s t h ei m p o r t a n td i f - f e r e n c eo ft h ec - r e g u l a r i z e dr e s o l v e n tf a m i l i e sa n dk r e g u l a r i z e dr e s o l v e n tf a m i l i e si nt h i ss p a c e s a n dt h e md e f i n e di nb a n a c hs p a c e si st h a tt h ef o r m e rh o l d sf o ra l lx e xw h i l et h el a t e rh o l d so n l y f o rx e d ( a ) i na d d i t i o nit h ep a p e ra l s os t u d i e st h ea d d i t i v ea n dm u l t i p l i c a t i v ep e r t u r b a t i o no f k - c o n v o l u t e ds o l u t i o n so p e r a t o r 。 s e c o n d ，t h em u l t i p l i c a t i v ep e r t u r b a t i o n so fk c o n v o l u t e dc - c o s i n ef u n c t i o n sa n dk - c o n v o l u t e d c s e m i g r o u p sa r es t u d i e d w ew i l lp r o v et h a ti f ( c 一) a c ，0 ) g e n e r a t e sa ne x p o n e n t i a l l yb o u n d e d c o n v o l u t e dc c o s i n ef u n c t i o n so rc o n v o l u t e dc s e m i g r o u p s ，t h e n ( b a ，口) ，( a b ，o ) o r ( a ( 1 + b ) ，p ) ，( ( j + b ) a ，o ) a l s og e n e r a t e sa ne x p o n e n t i a lb o u n d e d k - c o n v o l u t e dc c o s i n ef u n c t i o n sa n d k c o n v o l u t e dc s e m i g r o u p s t h i r d ，w es t u d yt h em u l t i p l i c a t i v ep e r t u r b a t i o n so fk - c o n v o l u t e ds o l u t i o no p e r a t o rf a m i l i e s l e tk ec ( r + ) a n dbb eal i n e a rb o u n d e d o p e r a t o rf a m i l i e s w ep r o v e t h a ti f ( a ，# ) g e n e r a t e sa ne x 。 p o n e n t i a lb o u n d e dk - c o n v o l u t e ds o l u t i o no p e r a t o rf a m i l i e su n d e r t h es o m ec o n d i t i o n ，t h e n ( b a ，p ) ，( a b ，i t ) ，o r ( a ( i + b ) ，p ) ，( ( ，+ b ) a ，i t ) a l s og e n e r a t ea ne x p o n e n t i a l b o u n d e dk - c o n v o l u t e ds o l u t i o no p e r a t o rf a m i l i e s i na d d i t i o n ，t h ea d d i t i v ep e r t u r b a t i o no fk c o n v o l u t e ds o l u t i o no p e r a t o r f a m i l i e si sp r o v e d ，i e i f ( a ，i t ) g e n e r a t e sa ne x p o n e n t i a lb o u n d e dk - c o n v o l u t e ds o l u t i o no p e r a t o rf a m i l i e su n d e rt h es o m ec o n d i t i o n ，t h e n ( a + b ，p ) a l s og e n e r a t ea ne x p o n e n t i a lb o u n d e d k c o n v o l u t e ds o l u t i o no p e r a t o rf a m i l i e s k e yw o r d s ： u m d s p a c e ，c r e g u l a r i z e dr e s o l v e n tf a m i l y , k - r e g u l a r i z e dr e s o l v e n tf a m i l y ，t h e i n v e r s i o n so ft h el a p l a c et r a n s f o r m ，k - c o n v o l u t e dc c o s i n ef u n c t i o n ，k - c o n v o l u t e dc - s e m i g r o u p ， k - c o n v o l u t e ds o l u t i o no p e r a t o rf a m i l y ，m u l t i p l i c a t i v ep e r t u r b a t i o n ，a d d i t i v ep e r t u r b a t i o n 第h 页 论文独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作所取 得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含任 何他人享有著作权的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均 已在文中以明确方式标明。 签名：碡毒臻一e l 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、 交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅； 采用影印：+ 缩印或其他复制手段保存论文。 使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 学校可以公布论文的全部或部分内容，可以 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 作者签名： 日期： 詹熹岔吞 刁艘码“ 导师签名： 日期： 第一章前言 第一章前言 1 1引言 抽象空间的算子微分方程是现代数学的一个重要研究领域，它的特点是利用现代泛函 分析的思想，理论和方法来研究抽象的微分方程，这类方程是在具体问题中一般包括偏微 分方程，积分方程或泛函微分方程其中对偏微分方程和v o l t e r r a 方程的研究成果枚不胜 数 1 9 2 3 年，h a d a m a r d 首次提出线性偏微分方程c a u c h y 问题，4 0 年代，h i l l e 和y o s i d a 提出用 算子半群的方法处理线性偏微分方程c a u c h y i n - j 题他们两人各自独立的得到在一般的情况 下线性算子a 生成算子半群t ( t ) 的充分必要条件，即后人所说的h i l l e y o s i d a 定理并且以此 为标志，形成系统的有界线性算子半群理论，并且在深度及广度上不断得到发展根据这一 理论提供的方法，不仅可以处理一维热传导方程，而且可以用来研究相当广泛的一类发展 方程从此，人们便开始了对抽象空间微分方程的系统研究 然而，强连续半群理论对许多重要的偏微分方程并不适合因而，人们期待着有更 广，更一般的算子族理论来处理更多的微分方程1 9 8 7 年，a r e n d t 等人建立起两类更一般 的算子族理论一积分半群和c 一半群这两类算子族可以处理更多的病态方程1 9 8 0 年， p r a t o 和i a n n e l l i 2 7 1 提出预解算子族的概念他用这种算子族处理在物理，工程技术，生物等领 域应用广泛的v o l t e r r a 积分方程从此，预解族在v o l t e r r a 方程理论中起着重要作用因此， 近二十多年来，预解算子族得到了国内外许多学者的关注和研究( 【3 ，6 ，9 ，11 ，1 2 ，1 3 ，1 4 ) 然而，在研究算子族的性质中( 5 ，6 ，1 3 ，1 4 】) ，算子a 必须在b a n a c h 空间中稠密而在一 般的v o l t e r r a 方程中算子a 不一定稠密为了解决这个问题，2 0 0 0 年，l i z a m a 4 提出了应用更 广泛的k 一正则预解算子族的概念并研究了它的一些基本性质( 【6 ，7 ，1 4 ，】) 强连续半群，积分 半群，预解族等算子族都可纳入k 一正则预解算子族的框架例如，l i z a m a 5 j 除了研究k 一正则 预解算子族的存在性，生成定理及h i l l e y o s i d a 定理外，还分别研究了它的加法扰动，逼近与 表示( 6 ，1 4 】) 为k 一正则预解算子族的研究建立了理论基础2 0 0 5 年，张寄洲【7 】研究了k 正则 预解算子族的乘积扰动并讨论了扰动不变性因此研究k 正则预解算子族的一些基本性质 是很有意义的 然而，在k 正则预解算子族的应用中，要求a 的预解集是非空的为了解决这个问题， 在2 0 0 2 年，郑权【4 】等人提出c 正则预解算子族的概念c 一正则预解算子族是算子族另一个分 支，是c 一正则半群，c 正则余弦算子函数和预解算子族的自然推广关于c 正则预解算子族 可参看文献【4 ，2 0 ，2 1 ，分别研究了它的生成定理，解析性，h i u e y o s i d a 定理及左右乘积扰动 为了丰富完善k 正则预解算子族和c 一正则预解算子族理论，受文献【1 ，2 ，3 】启发，本 文分别在第二章和第三章中研究了k 一正则预解算子族和c 正则预解算子族在b a n a c h 空间 第1 页 上海麟范大学硕论文 和u m d 空间中的拉普拉斯变换反演，所得结果推广和包含了文献【l ，3 中结果我们知道拉 普拉颠变换是研究指数有界麴预解算子族，积分算子族移蠢正则预解算予族的有力工具 本文用这个工具研究了它们的拉普拉斯变换反演 然丽，尽管有k i f _ 则预解算子族和c 。正则预解算子族这样有力的工具，仍然不能解决一 类病态的v o l t e r r a 方程为此，1 9 9 7 年，m i h i 磷m f 2 3 】提出了k 一卷积解算子族的概念，并研究 了k - 卷积解算子族的一些基本性质包括k - 卷积解算子族的性质，生成定理，逼近及解析性 德是，它的理论还不完善，需要进一步的丰富。在许多的实际背景中，v o l t e r r a 方程被一些具 有不同物理意义和不同数学性质的若干项或乘积所刻两对每一项的研究可能是简单的， 但是他们相加或相乘之后，性质就复杂了因此，考查算子b 对a 的加法扰动a + b 与乘积扰 动a b 或b a 和左右乘积扰动a ( i + b ) ，( i + b ) a 就十分重要了如2 0 0 3 年，l i z a m a l 6 】研究了k 一正 则预解算子族的加法扰动在假设扰动算子b 是有界算子时，前人巴经讨论了经典半群即强 连续半群和强连续余弦函数的加法扰动( 【5 ，8 】) 。 此外，对乘积扰动性质的研究也所进展随着算子族概念的不断提出，相应的扰动理 论不断得到完善。2 0 0 1 年，肖体俊和粱进i 1 7 研究了g 一歪剩半群的的乘积扰动。2 0 0 2 年，李 芳f 1 8 】研究了e 一正则半群和g 一正则余弦算子函数的乘积扰动2 0 0 4 年，予欣f 2 】研究了正则 预解算子族的乘积扰动2 0 0 7 年，李甄 2 1 】研究了正则预解算子族的左乘积扰动。2 0 0 5 年， 文l 嫂1 2 嗣研究了绍一次积分e 一半群的扰动在此基础上，本文研究了k 一卷积g 一半群和老一卷 积g 一余弦算子函数的乘积扰动并讨论了扰动不变性1 9 8 6 年，s e r i z a w a l l 1 5 】研究了余弦算 予函数的扰动。1 9 9 5 年，p i s k a r e v i s 研究了q 一半群的乘积扰动。1 9 9 6 年，c h a n g 和s h a w l 9 研 究了预解算子族的乘积扰动和加法扰动2 0 0 3 年，l i z a m a 和s a n c h e z 6 】研究了尼一正则预 解算子族的加法扰动。2 0 0 5 年张寄洲【7 】研究了匙正则预解算予族的乘积扰动2 0 0 7 年， l i z a m a 2 s 】研究了积分预解算子族的乘积扰动。在此基硝上，本文研究了卷积解算子族的乘 积扰动和加法扰动所得结果推广和包含了相应文章的结果 1 2 本文的主要内容 本文主要研究了两类算子族的拉普拉斯反演和另夕 鹾类算子族的扰动，宥以下三个部 分： ( 一) 为进一步丰富完罄c 正则预解算予族和k 一正则预解算予族的基础理论，本文研 究了c 正则预解算子族和k 迮煲| j 预解算子族的在b a n a c h 空间上的l a p l a c e 反演在一定条件 下只能作用在算子生成元的定义域上，而在u m d 空间上的拉普拉斯变换反演在更强的条件 下可以终用在全空间上 ( 二) 本文还研究了k 一卷积g 一余弦算子函数和k 卷积g 一半群的乘积扰动，包括乘 积扰动左，右乘积扰动及关于汐条件的扰动不变性 ( 三) 此外还研究了惫一卷积解算予族的扰动，包括乘积扰动，左，右乘积扰动及关于z 条 件的扰动不变性，还有它的加法扰动 第2 贾 第二章算子族的l a p l a c e 变换反演 第二章算子族f l j l a p l a c e 变换反演 众所周知，b a n a c h 空间上的g 半群的l a p l a c e 变换的反演只能作用在生成元的定义 域上1 9 9 9 年，a d r i o u i c h 和m e n n a o u i 1 】研究了u m d 空间上的g 半群的l a p l a c e 变换反演 不仅可以作用在生成元的定义域上而且还可以作用在全空间上，并且指出这是u m d 空 间与b a n a c h 空间的本质区别2 0 0 1 年，c i o r a n e s c u 和i o a n a c i o r a n e s c u 2 】研究了c 一余弦函数 在u m d 空间上的l a p l a c e 变换的反演也有相同的性质2 0 0 3 年，i o a n a c i o r a n e s c a 继续研究 了预解族在u m d 空间上的l a p l a c e 变换的反演也有相同的性质在此基础上，本文研究 7 c 正则预解算子族和k 一正则预解算子族在u m d 空间上的l a p l a c e 变换的反演在一定条件 下也有相同的性质，并且推广了前面的结论 2 1预备知识 为了证明本章的主要定理，本节给出了一些预备知识，主要包括c 一正则预解算子族 和k 一正则预解算子族的定义，生成定理及相关的概念，引理及本章中用到的一些记号 2 1 1 记号 设x 是b a n a c h 空间，e 是u m d 空间，a 是稠定闭线性算子，b ( x ) 表示x 上的有界 线性算子全体口( ) 三( 忍+ ) ，。舻e 叫j 口( ) fd t 0 ，使 得i i r ( t ) l i m e “，t 0 ，则称r ( t ) 指数有界k ( t ) l l ( r + ) ，凸( t ) ，r ( 亡) 均指数有界， 即存在常数m 1 ，u o 使得l a ( t ) l m e 优，l 尼( z ) i m e “，i r ( ) i m e a ，后( a ) ， 和r ( a ) 分别表示尼( 亡) ，r ( t ) 的l a p l a c e 变换 2 1 2 主要概念 考虑b a n a c h 空间x 上v o l t e r r a 的方程 ，t u ( t ) = ，( t ) + o ( 亡一s ) a u ( s ) d s ，t z ( 2 1 ) j o 其中a 无界闭线性算子，a ( t ) 三k ( r + ) j t a ( t ) 0 ，j p o ，使得铲e 一肛l a ( t ) d t 0 ，使得l 入竹艿( n ) l c l a ( a ) t ，r e a 0 ，l 曼扎彪 定义2 1 4 【1 l b a n a c h 空间x 被称为u m d 空闯，如果定义在s c h w a r t z 空闯s ( r ，x ) 上 的日i 胁e r 亡变换h 厂( t ) 一；1 丘一。i 肛磐如可延拓为护( r ，x ) 上一个有界线性算子 2 1 3 主要引理 引理2 1 1 1 4 3 设a 生成b 8 孢o e 毳空间x 上的c 一正则预解族 y ( ) ) ocb ( x ) 是指数有界 的强连续算子族，即存在常数m l ，甜o 使褥i i v ( t ) t l m e 觇，那么 y ( ) t o 是由a 生成 的g 一正则预解算子族的充要条件是 ( i ) a = c 一1 a c ( z z ) 矗p c ( a ) ，r e a u ，荭( 入) 0 巍i ) 入一天鑫( 爻) 众) 一1 e 。= l 产e - m v ( t ) d t ，v x x ，冗a 口 引理2 1 2 【5 】设i r ( ) ) oc 口( x ) 是指数有界的强连续算子族，即存在常数m 1 ，u o 使得i n ( t ) | 凹e 以，那么 冗( ) t o 是由a 生成的惫一正则预解算子族的充要条件是 ( 1 ) 鑫( a ) 0 ，1 鑫( a ) p ( a ) ，v r e a u ( 2 ) 毒( a ) ( ，一鑫( 入) a ) 一1 z 一点产e 一：、t r ( t ) x d t 一蔗( a ) ，v r e a u ，v 。x 引理2 1 3 潮如果8 ( 丢) 是3 一正则函数，那么存在有界函数b ( t ) c 1 ( 置+ ) 使得 b ( a ) 一歹( 砷，r e a 0 ( 2 - 3 ) 引理2 1 4 【2 5 】如果c ( ) 是c 窜上一个局部解析函数，那么有七l 7 ( r + ) 使得 馥爻) = e ( 。) 莓( 爻) ( 2 引理2 1 5 1 3 1u m d 空间中l 娜l a c e 变换的汐一估计 嘶i1 ，2 ， 弓( ) t 2 0cb ( x ) 是强连续的，并且指数有界，即l | 乃( 刚m e 蛐2 玛( ) 的l 印z n c e 变换存在b ( 2 ) = fe 一矗乃( 亡) ，r e z 蛐 第4 页 g - i t 算子族的l a p l a c e 变换反演 那么讪 蛐，b + i a ) b ( x ) ，e + i a ) ，a r 是强连续的，并且 s a u r p l l f j ( t ) l l ( 9 0 , 附l i m 。f j ( u + 纰= o ，z x ( 2 - 5 ) 对t r ，7 0 ，使得 ( c ) l l & ( t ，7 ，7 7 ) 1 1 l ，( r ，x ) c l l x l l ，( d ) l l l 2 ( t ，7 ，y 7 ) z i l l 一( r ，x ) c l l x l l ，v x x ，y 7 7 。 引理2 1 6 1 3 1 设 r ( t ) 】o 是指数有界的强连续算子族，即存在常数m o ，蛐0 ，使 彳导l l r ( t ) l i m e u ，6 ( ) c 7 ( 咒+ ) ，1 6 ( ) l k e u 舭，那么 ( 6 ，- c 酬= 飘1f w + i o o ( 瓣) ( 岫灿 u 。 ( 2 6 ) 并且( o ，。) 的任- - 煳k - - 致收敛 引理2 1 7 【3 q 设 r ( ) ) 仑。是指数有界的强连续算子族，i i r ( t ) l l m e 。，b ( t ) c 1 ( r + ) ， 则 r 脚拈熹e e 她( 翻凇) z 警，妇懿 ( 2 - 7 ) 引理2 1 8 如果o ( t ) ，k ( t ) l - 强3 一正则函数，那么存在有界函数6 ( 亡) c 1 ( r + ) 使得 ( a ) = ，( a ) ，r e a 0 ( 2 8 ) 证明：由o ( ) ，昆( t ) 是3 正则函数，则存在常数c o 使得 i a n 舒n i c l 岔( a ) l ，l 入n 东( n l c l 蠢( a ) l ，r e a o ，n = 1 ，2 ，3 又由 上海师范大学硕士论文 所以 m 胚刊2 c ”) = 瓣一( 鬻) 2 错+ ( 裂) 2 i 八划l 瓣鬻1 2 + l 勰i + | 裂| 2 0 引理2 1 9 如果o ( 亡) l ( r + ) ，a ( a ) 存在，矿( 入) = ( x s a 3 ( a ) a ) c ，v r e a 0 ， 那么 矿7 ( 入) = ，( a ) 矿( a ) + 夕( 入) 矿2 ( 入) c 一1 ( 2 9 ) 其坝婷弋1 + 裂加= 入器 证明：由 彤( 入，a ) = ( 一1 ) n n ! r ( a ，a ) 卅1 可知 1 冗( 赢，a ) 7 = 【( j 岔( 入) a ) 。瞅a ) ( 2 一l o ) 对矿( 入) = ( a i 一赡( 入) a ) c ，v r e a 0 ，关于入求导得到 矿7 ( 入) = 【( ，一a ( 入) a ) 一1 c 】7 = 【竺紫】7 = 竺鱼壶卫兰兰釜鍪妻芝；参等逖c 【( ，一a ( 入) a ) 一1 】2 岔( a ) 婉( 入) 一r ( 磊1 可，a ) ( a ( 入) + 埘( 入) ) 一 = = ：- - 二：- - - - - - - 一j = 裂阶卜狲胪c 2 c - 1 _ ( 天1 + 裂凇，叫坩1 c = 裂炽a c 1 _ ( x 1 + 裂帆 第二章算子族的l a p l a c e 变换反演 令朋) _ _ ( x 1 + 裂加= 入裂，则 矿7 ( 入) = ，( 入) 矿( 入) + 夕( 入) 矿2 ( 入) c 一1 引理2 1 1 0 如果o ( ) ，k ( t ) l ：。( r + ) ，a ( a ) ，意( a ) 均存在且 五( a ) = 茏( a ) ( ，a ( a ) a ) ，v r e a 0 ， 那么 。 君( 入) = e ( 入) 五( 入) + h ( 入) 2 ( 入) ( 2 11 ) 鼽= 器一裂州砷= 端 证明：由 五( a ) = 嚣( a ) ( ，一a ( a ) a ) 一1 z ，v r e a 0 ， 所以 ：舢) = 躺r 丽1 关于a 求导 即) = ( 器m ( 高卅+ 器( r ( 泰驯 铲( 入)c 矗叫。1 + 黟c 志叫。2 器 = ( 器一裂) ( 州妒1 + 蒜枷们2 = c 器一器鼬+ 器砌 令 哪，= 器一器州胪耥 则 五7 ( a ) = e ( a ) 盈( 入) + 九( 入) 五2 ( a ) 2 2 l a p l a c e 变换反演证明 本节在第一节的基础上给出了c 正则预解算子族和k 正则预解算子族分别 在b o n n c 九空间和u m d 空间上的l a p l a c e 变换反演的的证明 第7 页 上海师范大学硕士论文 2 2 1 c 正则预解算子族的l a p l a c e 变换反演 定理2 2 1 如果 0 ，使得l o ( 驯k e ，那 么vz d ( a ) ，0 u ，和t 0 有 1r o + i o o y ( 亡) z5 壶z 珈e 她( 入一炮( a ) a ) 。1 c 胁( 2 - 1 2 ) 并且积分【o ，+ ) 在上的任一紧区间上关于t 是一致收敛的 证明：由( c 1 ) 及- j i t n 2 1 6 ，w d ( a ) ，伊 ，t 0 ，有 y ) z = c z + t a ( 一s ) y ( s ) a z d s = 熹e c z 安+ 熹z = e c 龠m 扒 5 素z 嘲e ( 入，一赡( 入) a ) 。c 融， 并且积分在f 0 ，+ ) 上的任一紧区间上关于t 是一致收敛的 定理2 2 2 如果 y ( 亡) t o 是u m d 空间e 上指数有界的c 正则预解族，且存在常数m 1 ，w 一0 ，使得t l v ( t ) l l m e 优，t 0 ，o ( t ) 是一个3 - 正则的函数，a 涨局部解析，并且 1 ， l 鑫( a ) i 鬲，冗( c ) 在x 中稠密，则比x ，0 u ，和t 0 ，有 l 、l 1t o + i o o y ( ) z2 壶z 咖e ( a ，一施( a ) a ) 。1 c 撒- ( 2 - 1 3 ) 证明： 0 0 ，和忱x ，v o , ) = ( 入j 一施( a ) a ) c x ， 由分部积分 l ( 亡，q ，q 7 ) z = 互1 ，。，f 口+ o + i q i a e ( a p ) t 矿( a ) z d a l ( t , o r , o j ) = 去“矿( 0 + i a 7 ) x - - e i r a 印棚m 一点e 7 卅哪脚a 由引理2 1 5 中u m d 空间上的p 估计可知 2 i mv ( o + i a ) x = j i mv ( o + i q 7 1 z = 0 a + 一o oa 。+ 十0 0 由引理2 1 9 和o ( 亡) 是3 一正则函数可知 伫一卅哪m k 蚺0 + i o d 卜班m 帆棚+ 蚺f o o + 缸i a p 卅钡妒2 g 执 ( 2 1 4 ) 第8 页 第二章算子族的l a p l a c e 变换反演 其中s u pi a f ( a ) f w , t o ， 在 o ，+ ) 的任有界紧区间上关于一致收敛由2 1 7 可知对妇x 办咖拈熹z ? e m 卜a a ( 坩1 阮d - , v x ex 第9 页 ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 上海辉蓬大学硕壬论文 在【0 ，+ 。) 的任有界紧区间上关于致收敛对( 2 一1 7 ) 两边关于棚之导 咻一熹仁( m - m d 旷1 m x , 5 w , t 独 因此 y ( ) 茁= r ( t ) x ，v z 巨x 注：当c f ，托= 0 ，a ( t ) = l 稠嚣= 0 ，可得文献【l 】和【2 】中结果 2 2 2 奄。正则预解族的l a p l a c e 变换反演 定理2 2 3 如果 冗( 幻 o 是b o 乳8 娩空间x 上指数有界的奄一正则预解算子族，存在常 数m 1 ，u o 使得l r ( 亡) l m e w 。，a ( t ) c 7 ( r + ) ，k ( t ) c ( r + ) 即存在常数k 0 ，使得 瞰) | 必，陬丢) | 掰，那z , v 髫7 9 ( a ) ，艿 彩和t o 有 冗( ) 髫：i 1 一+ i o o e她嚣(a)(j一翁(a)a)-ixll 烈，( 2 1 8 ) 冗( ) 髫。荟 e a 。莓( a ) ( j 一 烈，( 2 _ 1 8 ) 其中积分 o ，+ o 。) 在上的任一紧k f 司_ k 关于t 是一致收敛的 迁羁：良引理2 ，1 ，3 可知袁( 入) = 套( a ) ( 歹一截入) a ) 一1 髫，地x ，t20 。盘( 2 ) 及2 1 。6 可知 对vz 移( a ) ，d u 和t o 有 踯) 茹= 酢) 髫+ z 2 叫酶玉 = 刍z = e 懒棚十熹 广e 沁( 两( 入) 加献 j 6 - i z 。 = 熹e 似咖翻缈膨 = 熹z = e 砖枞妒天， 并且积分在! o ，+ 。) 上的任紧区间上关于t 是致收敛的 定理2 2 4 如果 冗( t ) ) t o 是u m d 空闻e 上指数有界的惫一正则预解算子族，即存在常 数m 芝1 ，w 2 0 ，使得l i r ( t ) l l m e ，t 之0 ，穗( ) ，( 亡) 均是3 一正则的函数，且均指数有界，即 存在常数使得，l a ( t ) l 必，| 走( ) | m e “坛，且 1 ，l 鑫( a ) | e l 蠢( 爻) | ，茹局部解 析，那么v x x ，d u ，t 0 ，有 删嚣= 丽1m f 6 + ；。i e a 。衲( j 一删矿鬈献 ( 2 一1 9 ) 证明：耶 0 ，秘v x x 鼬( a ) - i x , l m z = 去虎卅鳓础 第l o 贾 第二章算子族的l a p l a c e 变换反演 田分邵积分j 得 地m = 丽1 ( 五( 6 + 跏一椭( 6 删z ) 一1j p 6 + i f l 7 e ( m 嘲删入 由2 1 5 中u m d 空间上的汐估计可知 。l i r ar ( 6 + i f l ) x = 。，l i mr ( j + i f l 7 ) z = 0 ，s 即i l 冗( 入) l | 州 o 在【0 ，+ o 。) 的任有界紧区间上关于亡一致收敛嘲2 1 7 可知对比有 f o 。r ( 啦拈刍z ? 狮z 警雕x 弘2 t ， 崔p ，+ ) 的任有界紧区闻上关于丢一致收敛对( 2 2 1 ) 两边关于t 求导可得 聊= 熹e e 嗡狮扒vz 呱6 州 0 因此 s ( t ) x = r ( ) 彩，vz x 当凳0 ) = l f t g l a ( t ) 一1 n a ( t ) 一t ，后( 砖一王，我们可以得到文献f 4 ，5 ，6 】中结果。 第1 2 贾 第三章卷积c 一余弦函数的乘积扰动 第三章卷积c 一余弦函数的乘积扰动 算子族的扰动是一个经典的研究课题随着算子族概念的不断提出，相应的扰动理论不 断得到完善2 0 0 1 年，肖体俊和梁进【17 】研究了c 一正则半群的的乘积扰动2 0 0 2 年，李芳1 1 8 】研 究了c 一正则半群和c 一正则余弦算子函数的乘积扰动2 0 0 4 年，于欣【2 研究了正则预解算子 族的乘积扰动2 0 0 7 年，李亚【2 1 】研究了正则预解算子族的左乘积扰动2 0 0 5 年，刘嫂【2 2 】研究 了n 一次积分c 一半群的扰动在此基础上，本节研究七一卷积c 一半群和k 一卷积c 一余弦算子 函数的乘积扰动 3 1预备知识 为了证明本章的主要定理，本节给出了一些预备知识，包括卷积c 一余玄函数和卷 积c 一半群的定义，相关的概念，假设及记号 3 1 1 记号 设x 是b a n a c h 空间，a 是稠定闭线性算子，b ( x ) 表示x 到自身的有界线性算子全 体，口( a ) ，冗( a ) 分别表示a 的定义域和值域冗+ = o ，。) 和c 表示全体复数集七( 入) 表 示克( 亡) c ( r 十，c ) 的l a p l a c e 变换且r e 入p ，莓( a ) 0 e ( t ) = s ok ( s ) d 8 c b ( x ) 是单射 算子且c aca c p c ) = 入c ：a a 是单射算子，冗( c ) c 冗( a a ) ) 是4 的c 一预解集 3 1 2 主要概念 考虑柯西问题 i 钍c ( o ，7 - ) ：口( a ) ) n c 2 ( o ，7 - ) ：x ) ， ( a c p 2 ) ：钆”( t ) = a u ( t ) ， iu ( o ) = z ，乱0 ) = y 和 ， iu c ( 【o ，7 - ) ：d ( a ) ) n c l ( 【o ，丁) ：x ) ， ( 0 c ) ： i t ( ) = a u ( t ) + e ( t ) c x ， i 让( o ) = 0 定义3 1 1 1 2 2 】设4 是b o n o c 九空间x 上的闭线性算子，u r ，2 ，o o ) cp c ( a ) ，强连续算 子族 g ( ；) ) 眨ocb ( x ) 称为由( c a c ，p ) 生成的指数有界尼一卷积g 一余弦函数，如果它满 足 ( a 1 ) l l g ( ) i l m e 以，v t 0 ( 6 1 ) 东( a ) a ( a 2 一a ) 一1 c x = c 7 、k ( a ) z = s oe a c k ( t ) x d t ，v 入 m a x ( w ，p ) z x 第1 3 页 上海师范大学硕士论文 其中a 称为它的次生成元，c - 1 a c 称为它的生成元 定义3 1 2 【2 2 】设a 是b a n a c h 空间x 上的闭线性算子，p u “，z x 其中朋尔为它的次生成元，c 1 a c 称为它的生成元 ( 日：) 设尼( t ) c ( r + ) ，9 ( ) = k ( s ) d s 6 ( t ) l l ( r + ) 使得6 ( a ) = 丽