（光学工程专业论文）边界元法与多散射法研究有限与无限周期结构的电磁特性.pdf

国防科学技术丈学研究生院学位论文 摘要 非均匀结构介质的电磁特性一直是电磁场理论研究的一个主要问题，尤其是近年 来光子晶体概念的出现和应用研究的深入，使得具有波长尺度的非均匀结构介质的电 磁特性和具有特定功能的介质结构的设计问题成为当前电磁场理论研究的一个热点。 本文重点将边界元法引入有限无限结构的复杂电磁散射特性的研究选择 皿，e ，譬，笔呈，譬，譬作为变量，应用边界积分方程和边界场连续条件建立了研 d nd ，ld n d n 究电磁散射问题的边界元算法，结合多散射方法研究了有限无限周期结构的电磁散 射特性问题并分析了参数对计算结果的影响。 有限结构的电磁散射特性：以介质圆柱和六角柱为例，计算结果显示，当圆柱的 边界离散步长小于击孺圭虿；六角柱边界以啬蕊每虿为主步长离散，在边界角 觥璐甑鼢翩账小于嘉志眈黼融肼髓削汗协坩算 结果收敛。 无限结构的电磁散射特性：详细讨论了多散射方法中截断误差对计算结果的影 响。计算得到散射系数矩阵的b e s s e l 截断【一，】有近似公式：h 。2 挈，其中p 为 圆柱的半径，h 一2 n + 1 ；入射场平面波个数截断( 光栅最高极衍射级数) 【一s , s 】的 经验公式：s 芑娑，口为晶格周期。按照上面的截断公式计算得到正方品格理想二维 介质金属光子晶体的能带结构与已知文献相符，证明结果正确。 论文计算结果显示，对有限结构和无限周期介质结构，边界元算法计算收敛快， 计算数据量较少。 关键词：光子晶体边界元法离散散射矩阵能带结构 国防科学技术大学研究生院学位论文 a b s t r a c t t h es c a t t e r i n gp r o p e r t yo fu n u n i f o r mm a t e r i a l si sa l w a y so n eo fm o s t l yi m p o r t a n t p r o b l e m s s t u d y i n gp r o p e r t yo f t h eu n u n i f o r mm a t e r i a l sw h i c hh a v et h ed i m e n s i o nn e a rt h e w a v e l e e i g t ha n dd e s i g n i n gt h es t r u c t u r eo fs p e c i a lf u n c t i o n si sa h o tt o p i c , w i t ht h ec o n c e p t o f p h o t o n i c c r y s t a l f p c 、b e i n g a d v a n c e da n d t h ea p p l i c a t i o n s o f p c b e i n g s t u d i e d i nt h i sp a p e r , w ew i l lu s eb o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ( b e dt os t u d yt h es c a t t e r i n g 卿e 舢州e a 刚；c - w c 曲皿恳警，等等，等鹬m e 倒龇s ， t h e nw ef o u n da l la r i t h m e t i cw i t h i nt h eb o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o na n dt h eb o u n d a r y c o n d i t i o n w eu s et h i sa r i t h m c t i ea n dk k rm e t h o dt os t u d yt h es c a t t e r i n gp r o p e r t yo f f m i t e i n f m i t es t r u c t u r e s t h es c a t t e r i n gp r o p e r t yo ff i n i t es t r u c t u r e ：w ec a l c u l a t et h es c a t t e r i n gm a t r i x e so f c y l i n d e ra n dh e x a g o n a lp o l e t h er e s u l ts h o w s t h a tt h ee i t o ri sl e s st h a no n ep e r c e n tw h e n t h es t e pi sl e s s t h a n 面2 丽k f o rc y l i n 如a n d 丽a 丽kf o rt h es t e pn e a rt h e c o m e ro fh e x a g o n a lp o l ew h e nb o u n d a r yo ft h eh e x a g o n a lp o l ei sf i r s t l yd i s p e r s e db y ak 1 0 i 酽一 t h es c a t t e r i n gp r o p e r t yo fi n f i n i t es t r u c t u r e ：w es t u d yt h ei n f l u e n c eo ft h ep a r a m e t e r t r u n c a t e d w j g e ta p p r o x i m a t e l y f o r m u l a st h a t h 驾，p t h e r a d i u so f c y l i n d e r , h 2 n + la n ds z _ 5 a ，4 一t h ep e r i o do fp h o t o n i cc r y s t a lw h e nw et r u n c a t e b e s s e lf u n c t i o nr a n k sa s 【- n ，】a n dp l a n ew a v en u m b e r sa si - s ，s 】w eg e te n e r g y b a n d g a p so fd i e l e c t r i ca n dm e t a l2 ds q u a r el a t t i c e s t h e ya g r e ew i t ht h er e f e r e n c e sv e r y w e l l t h er e s u l t ss h o wt h a tb e mi sm o r ec o n v e r g e n ta n da v a i l a b l ef o rs t u d y i n gt h ep r o p e r t y o ff i n i t ea n di n f m i t es t r u c t u r e s k e yw o r d s ：p h o t o n i cc r y s t a l b e m d i s p e r s es c a t t e r i n gm a t r i xe n e r g ys t r u c t u r e 国防科学技术大学研究生院学位论文 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得国防科学技术大学或其它教育机构的学 位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文 中作了明确的说明并表示谢意 学位论文题目：垫墨盂洼皇垒遨盟洼盈窒直医生丕呕题塑结垫鲍鱼垄盐丝 学位论文作者签名：彳拿悼 日期：和彳年夕月7 召日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解国防科学技术大学有关保留使用学位论文的规定本人授权国防 科学技术大学可以保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子文档，允许 论文被查阅和借闶；可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印，缩印或扫描等复制手段保存，汇编学位论文 ( 保密学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文题目：垫昼丞造皇垒熬牡洼丑窥直医生歪腿屈翘丝捡鲤鱼丝挂性 学位论文作者签名： 么：翌& 2日期：p f ，年，月必日 作者指导教师签名：_ = 襄驻乏一 日期：z 年，月2 日 国防科学技术大学研究生院学位论文 第一章绪论 非均匀结构介质的电磁特性一直是电磁场理论研究的一个主要问题，尤其是近年 来光子晶体概念的出现和应用研究的深入，使得具有波长尺度的非均匀结构介质的电 磁特性和具有特定功能的介质结构的设计问题成为当前电磁场理论研究的一个热点。 本章主要介绍三部分内容：光子晶体的概念和常用理论研究方法；研究非均匀结构常 用的边界元法；论文所要研究的主要内容 1 1 光子晶体简介 1 1 2 光子晶体 光子晶体【1 】【2 】( 又称光子禁带材料) 是美国科学家y a b l o n o v i t c h 和j o l l l l 于1 9 8 7 年各自独立地提出的，是人工设计和制造的在光学尺度上具有周期性结构的晶体，其 主要特征是具有光波禁带。 随着半导体精密加工工艺在微纳米结构制备中应用的深入，微电子技术逐渐向光 子技术过渡，至今已有多种基于光子晶体的全新光子器件被相继提出，包括无阈值的 激光器，无损耗的反射镜和弯曲光路，高品质因子的光学微腔，低驱动能量的非线性 开关和放大器，波长分辨率极高而体积极小的超棱镜，具有色散补偿作用的光予晶体 光纤，以及提高了效率的发光二极管等。光子晶体器件的出现和应用使信息处理技术 的“全光子化”和光子技术的微型化与集成化成为可能1 3 1 。 由于光子晶体器件主要通过结构控制光在其中的传播，因而拥有很多其它光学器 件所不具备的优点，所以光子晶体电磁特性和光子晶体器件结构设计是光子晶体理论 研究的重点，具有十分重要的意义。 1 1 2 光子晶体理论的研究方法 光子晶体理论研究的核心问题是非均匀结构中的电磁特性，包括有限无限周期 结构、缺陷结构和不规则边界等方面由于几何结构复杂，通常只能采用数值方法进 行研究。目前，研究光子晶体的理论方法主要有以下几种： l 、平面波展开法 国防科学技术大学研究生院学位论文 平面波展开法是光子晶体的理论研究方法中应用最早和最广的一种方法。在计 算光子晶体能带结构中，平面波展开法直接应用结构的周期性，通过b l o c h 波展开， 在频域内对m a x w e l l 方程进行求解。该方法的缺点是：对于不规则的结构，平面波展 开的个数比较多。 2 、时域有限差分法 有限时域差分法( f d t d ) 是在时域内直接处理所要研究的问题，其基本思想是： 首先将m a x w e l l 方程组离散差分，然后根据给定的初始状态及边界条件，可求得随时 间变化的场分布，最终得到光子晶体的能带结构。f d t d 方法能用于计算介质和金属 材料的光子晶体的能带结构。该方法的缺点是：为了提高计算精度，需要减少时间步 长，或者当所要计算的区域比较大，例如三维结构的问题，计算时河比较长。 3 、。传输散射矩阵方法 传输矩阵方法把计算光子晶体带隙的问题转化成为求解本征值的问题，应用 m a x w e l l 方程组，把相邻两层空间的场用传输矩阵联系起来。 散射矩阵法与传输矩阵法的基本原理相同，不同的是，散射矩阵在计算过程中将 平面波基下的散射场系数与入射场系数在运算的矩阵两侧交叉引用，所以实际数值计 算中散射矩阵法比传输矩阵法有更好的稳定性 上面介绍的方法在处理边界不规则的问题时都有不足之处。但在研究此类问题时 边界元法具有其它方法所不具备的优点。 1 2 边界元方法 边界元法【4 1 【5 l 【6 l ( b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d - - - - - b e m ) 是在有限元法之后发展起 来的一种数值计算方法。其基本思想是将描述研究问题的微分方程转换成边界上的积 分方程，然后引入位于边界上的有限个单元将积分方程离散转换成代数方程求解。 从1 0 0 年前的a b e l 、h e m h o l t z 等深入研究了边界元法的数学基础开始，至今边 界元方法已经发展成为一种较为成熟的计算方法8 0 年代以来，世界各国已从基本 理论与方法的研究向深广的领域发展，在波的传播、断裂力学、接触问题、耦合问题、 粘弹塑性、振动问题、电磁场、流体力学、渗流问题、生物力学、等离子运动等方面 都取得了不少成果。 2 国防科学技术大学研究生院学位论文 与目前常用的有限元、有限差分等方法相比，由于边界元法离散后的代数方程中 的只含有边界上节点的未知量，降低了问题的维数，因而计算的数据量减少，计算时 间缩短。另外，由于引入问题的基本解，因而边界元法具有解析与离散相结合的特点， 计算精度较高。 1 3 课题简介 本文重点将边界元法引入到有限结构和无限结构的电磁特性的研究。文中应用 边界积分方程及边界连续条件建立了研究电磁特性的边界元算法，应用该算法研究了 有限结构单体的散射特性并结合多散射方法研究了无限周期结构的能带结构具体内 容如下： 1 、建立研究电磁散射问题的边界元算法。 2 、将边界元法用于研究了有限结构的电磁散射特性问题，以单体介质圆柱和六 角柱为例，讨论了离散步长的选择并得到散射系数矩阵收敛的结果。 3 、应用多散射方法研究了无限周期结构的电磁散射特性问题，讨论了截断参数 的选择并计算了典型的光子晶体的能带结构，结果收敛正确。 3 国防科学技术大学研究生院学位论文 第二章边界元法 边界元法将区域内的微分方程变换成边界上的积分方程，然后将边界分割成有限 大小的边界单元，将边界积分方程离散5 j 成代数方程求解。本章介绍边界元法的基 本理论并且给出计算二维空间电磁场分布的封闭方程组 2 1g r e e n 函数和边界积分方程 边界元法将区域内的微分方程转换为边界上的积分方程，这个过程应用了微分方 程的基本解，即g r e e n 函数本节我们将介绍g r e e n 函数和边界积分方程。 2 1 1g r e e n 函数 g r e e n 函数是对应于算子的一种函数，又称为点源影响函数。g r e e n 函数代表的 是一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的场。已知g r e e n 函数即可解得空 间任意源所产生的场分布用。 在研究电磁场问题时，均匀无界空间的入射场及散射场均满足微分方程，即 h e m h o l t z 方程 ( v 2 + 七2 少口) 一0 c 1 1 1 ) 其中，v 2 为空间坐标微分算子，k 一埘万，y 口) 为点牙处的入射场或散射场 我们把满足方程 2 + 七2 ) g 口，矗) - 一6 ( 霄一x o )( 2 1 1 2 ) 的解g 口，蠡) 称为微分方程( 2 1 1 1 ) 的基本解，即g r e e n 函数。 利用无穷远处的辐射边界条件i _ 7 】 。o _ 9 。+ k g 。o ，孚+ k v 。0 ( 2 1 1 3 ) r 解 r o t 即可得到均匀无界空间中g r e e n 函数的具体表达式。 2 1 2 边界积分方程 将g r e e n 函数g ( 霄，x o ) 代入到g r e e n 公式门，根据无穷远处的辐射边界条件 ( 2 1 1 3 ) 即可得到边界积分方程。不失一般性，我们研究二维单体场分布的边界积分 国防科学技术大学研究生院学位论文 方程。如图2 1 所示 边界 图2 1 二维散射体法向和切向的定义 将g r e e n 函数g ( j ，或) 代入到g r e e n 公式，得 妒) 鸶署鄙丙丽o v ( x o ) 巩 叫1 ) 一田v 佤) v 2 0 ( g ，g o ) 一g 口，蠡) v 杪阮) f q o 结合方程( 2 111 ) 和( 2 1 2 1 ) ，得到空间任意场量y 暖) 的边界积分方程为 旧一瞬愀同等警宁川矗) 笔巢孚弘r 0 ( 2 地2 ) 若场点j 在散射体内，则方程( 2 1 2 2 ) q a 的积分边界为只包括散射体的边界r ；若场 点j 位于散射体外，则方程( 2 1 2 2 ) 的积分边界包括散射体边界r 及无穷远边界，利 用无穷远处的辐射边界条件( 2 1 1 3 ) ，得到场矿暖) 的边界积分方程为 响- 噜瞰同肇宁一矿佤) 篙导f r o 3 ) 当所求场点j 位于边界r 上时，g r e e n 函数在零点处发散，边界积分奇异。因此为保 证g r e c a 函数可积，对积分围道的处理方法1 4 l 如下： 以点宕为中心，以半径r 一做圆弧，一0 ，如图2 2 所示 5 国防科学技术大学研究生院学位论文 体外 图2 2 勉界奇异积分围道的处理，左图取散射体内部g r e e n 函数，右图取外部g r e e n 函数 当我们考虑散射体内部的散射场时，如图2 2 中左图所示，为保证积分边界连续不奇 异，做小圆弧位于散射体内，边界外法向为元，r o ( e ) 一石，。 我们已知二维均匀无界空间中，柱函数基下的g r e e n 函数的表达式【8 】为 g 暖，矗) 一 砩” i k - 蠡i ) ( 2 1 2 4 ) 平面波基下的g r e e n 函数表达式为 g 俨饵，蜀) 5 丢善p 蚺嘞k 州刊1 互丢西 ( 2 1 2 5 ) 则根据方程( 2 1 2 4 ) ，g r e e n 函数有如下关系 豢一言唔日p 渺) 卜一等h p 似) 鲁- 季研1 陋) ( 2 1 2 6 ) 其中，。o r 一1 己知渐进公式嘲卵够) 一一车，一。 则方程( 2 1 2 3 ) 中的积分 粤观矿( j ) 型掣d r u i n # - , , o 丝4 j r r , s y ( 贾r ；l ，i 。r a - - 珥k ( 一羔少暖) 卵( ) ( 2 1 2 7 ) a 一吾矿口) 因此场分量矿( j ) 的边界积分方程为 6 国防科学技术大学研究生院学位论文 扣，一舜砸同鸶鬈宁d r o 啄嚼笔鬈宁d r 。 仁地 其中代表不包括g r e e n 函数零点的边界积分 值得注意的是，当我们计算散射体外部的散射场时，如图2 2 中右图所示，场矿( 雪) 的 边界积分方程为 扣，二哏毗忌) 鬈警d r o + 唾瞩，笔鬈铲d l m 。) 上面我们只分析t - - - 维单体场分布的边界积分方程。当空间中存在多个散射体 时，只需将空间坐标原点分别平移到每个散射体的中心坐标，直接利用单体场分布的 边界积分方程即可得到多个散射体场分布的边界积分方程。不失一般性，上面的分析 方法对三维单体散射的情况也成立。 根据上面的分析，满足一维无限周期结构h e m h o l t z 方程1 9 】 2 + 七2 ) g ”暖) 芝d 口一以a ) e x p ( i k ；n , o ( 2 1 2 1 0 ) 的g r e e n 函数g ”口) 的表达式为 g ( 口) 一4 塞u o ( ( k i x 一施i ) e x p q k ；厅万) 其中4 为周期结构中的晶格常数。瑶为入射场波矢在x 方向分量。 ( 2 1 2 1 1 ) 通过以上分析，我们得到了二维无限均匀空间中h c m h o l t z 方程的g r e e n 函数， 应用g r e e n 公式得到了边界积分方程并分析了边界奇异积分 2 2 二维空间电磁场计算方程组 根据得到的g r e e n 函数和边界积分方程。合理选择电磁场分型1 0 】，应用边界连续 条件可得到计算二维空间电磁分布的封闭方程组。二维空间中，可以选择z 向磁场皿 和电场t 或切向磁场q 和电场局为变量，但应用h ，和e 作为变量计算比较简便 设定叫”，砭”，叫埘，芝耐分别代表散射体内部的磁场和电场及散射体外部的散射 7 磁场和散射蝴相鳓啪导数用言a h o ，警，言o e o ) ，譬标 根据方程( 2 1 2 8 ) 和( 2 1 2 9 ) ，边界上任意一点有 l 掣h o g i 萼脚畔鼍m 三2 掣呼g 2 警舢俨鲁椰 1 ) 丢矽一乎g l 警加咿鲁讲 ，字色譬舢中，鲁讲 其中g ，q 分别代表散射体内部和外部的g 僦函数口 因为均匀空间的入射场h ，霹也满足边界积分方程五1 2 8 ) 和( 2 1 2 9 ) 得到1 1 1 1 2 掣。一孵譬彬+ 俨鲁扰 秒。于q 譬椰+ 咿挚 结合方程( 2 2 1 ) 和( 2 2 2 ) ，定义 矽彬傅警一等+ 警 根据边界连续条件 日夕日p ，掣一矽 扛。乎g l 譬加可也鲁椰 1 ，h ，o h m m 2 - - - , ) m + p s h | 鼍a t + h 与e z | g 。畜o e ( 1 m p l e ；鼍m 。母g ：等l h t 鼍m + 掣 其中h ：。h ，一一h ( 2 ) ，e ：一矽一磋q 由局部直角正交坐标系中的m a x w e l l 8 ( 2 2 2 ) 【2 2 3 ) ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 以= 专c 勘鲁+ 啦争 q 一嘉陋鲁+ 啦等) e - 专。掣等+ 啦争 局；专( - f 螂鲁+ 噍争 ( 2 2 6 ) 其中t 2 - k 2 碍，以，e 代表边界上外法向磁场和电场，q ，蜀代表边界上切向磁场 和电场，导表示切向偏导。 优 根据边界连续条件钟- 研2 ，三： 1 ) 一e ( 舶，可得 辜眺警+ 噍争一毒慨：警+ 吃争 毒c 却警+ 以争。毒c 一娜警+ 也争 与寺程( 2 2 5 ) 联合可得 遍t 嗲g l 等m - p f j h ，垫o n d z 札一母g 2 等m + p 障鼍n 掣 毛e zt g 1 ：m 等e o ) m p 睡鼍d t 毛e ：t 母g 2 譬f h z 鼍叭e p 屯呼一t ，a 2 o h ，2 叫珊 警+ 砰删：等- 。 t ( 砰一砭) 鲁+ 咖警一枷譬o ( 2 ，2 7 ) ( 2 2 8 ) 这就是边界元法计算二维空间电磁场分布的方程组，其中日，e ，o h 1 1 ) ， o n a ；z h ( 2 ) ，警，o 蒿e ( 2 一j 是方程组的六个变量。给定t 和散射体的边界及介电常数即可计 研曲咖 一。” 算得到边界上节点的场，进而求得二维空间中的电磁场分布。 9 国防科学技术大学研究生院学位论文 方程( 2 2 8 ) 中出现了磁场也和电场巨的切向导数旦拿，! 车，应用差分公式代替 d ld l 切向偏导，使得方程组封闭。根据不同的边界，应用差分方法有以下两种情况： 1 光滑边界的差分方法如图2 3 所示 仍+ i 边 散射体外 图2 3 边界场点差分方法 用场妒代表场也或e ，如图2 3 所示，仍。仍，识一。代表边界离散后节点处的场量， 世代表场识。仍一。所在节点之间的距离。则有近似公式 ! l 里k ，里! 与；组 ( 2 2 9 ) 0 1 9 - 竹 、 这就是差分的方法。差分方法将关于变量等，鲁的问题转化成关于变量也，e 的 问题。 2 边界存在角点时，场在切向不可导，所以需要光滑化处理。如图2 4 所示 图2 4 边界角点的光滑处理 当节点处于角点上时，如图2 4 所示用光滑曲线连接节点。和识1 ，同时将节点仍取 在光滑曲线上。这样带有角点的边界转换成光滑边界，即可应用方程( 2 2 9 ) 计算。 国防科学技术大学研究生院学位论文 本章小结 本章将g r e e n 函数代入g r e e n 公式得到了边界积分方程并处理了边界上g r e e n 函数奇异积分的问题。根据边界元方法的思想，应用边界积分方程和边界连续条件及 差分方法构建了用于计算二维空间电磁场分布的封闭方程组。 国防科学技术大学研究生院学位论文 第三章二维介质单体散射系数矩阵 边界元方法可用于研究有限结构的电磁散射特性问题，本章以二维单体介质圆柱 和六角柱为例，应用第二章构建的封闭方程组计算了它们的散射系数矩阵，分析了离 散步长对计算精度的影响。 3 1 边界元法计算单体介质圆柱散射系数矩阵 本节以圆柱为例，研究了边界元算法处理光滑边界的电磁散射特性问题。计算圆 柱的散射系数矩阵需要离散1 4 j 1 5 1 边界，选取入射场，应用方程( 2 2 8 ) 计算得到边界单 元节点处的场，然后利用散射系数的积分公式得到介质圆柱的散射系数矩阵。通过与 解析结果比较，得到满足计算精度的离散步长。 边界离散 我们将整个圆周均等分，用与圆周相切的直线段代替圆弧，相邻直线的交点称为 离散单元的端点，直线与圆周的切点就是离散单元的节点。单元上任意点处的场等于 节点处的场，这就是所谓的常单元法。如图3 1 所示 y o 厂。 ? 弋一j 图3 1 圆周边界的离散方法 理论上入射场频率越高，边界需要离散的数目就越多。如果在高频情况下能够保 证计算结果是收敛的，那么在低频情况下也必然能保证计算结果收敛。 散射系数矩阵 下面将给出计算圆柱散射系数矩阵元的积分方程。二维空间中，我们以单位幅 值的b e s s e l 函数作为入射场曙( 重) 一j 。 i 露i 扣”，其中m 【o ，m 1 ，0 为宏的幅角。 1 2 国防科学技术大学研究生院学位论文 应用边界积分方程( 2 1 2 3 ) 可知，二维空间中任意散射场p 可表示为 k ：c ( 磊) 一舜d r p 以- l 五- t j l u l 五- p ，五- j ) v j ，k ( 贾，) 一v m 肝- t ) v 膏g 僻- t ，五- i ) 】 ( 3 i 1 ) 其中r 表示二维散射单体的边界，元为边界r 的外法向，g 暖：x 0 ) 为二维空间中的 g r e e n 函数。 由坐标变换 g 暖，x o ) - o d x 一矗i ) - g ( i 口一丘) 一阮一疋) i ) 0 1 2 ) 将坐标原点平移到散射体的中心坐标丘。 将方程( 3 1 2 ) 代入到方程( 3 1 1 ) 得 曙瓴) 。唾d 饬暖，) 【g 僻：丘一r c ) v j ，曙暖，) ( 3 1 3 ) 一曙) 已，o ( g ：蜀一以) 】 柱函数基下的g r e e n 函数为 g ( 需，x o ) = 丢h 5 1 ) l 重一瓦i ) t 言础 i 暖一丘) 一佤一丘) 1 ) ( 3 1 4 ) 一三4 o a i 毒一阮一丘) i ) 其中重：一露| 一重r 在计算散射体外部分散射场时，x 。o 一丘，露，应用g r a f 公式【9 1 可得 g 暖，丘) 。；磊。x p i q 日( x o 一最) 聊 i 矗一丘| ) ( 3 1 5 ) j q i 露1 ) e x p - i q o ( , 矛c ) 将方程( 3 1 5 ) 代入到方程( 3 1 3 ) 得到均匀空间中单体散射场表达式为 曙阮) 一彤 矗一丘i ) e x p i q o ( g o 一丘) 】 ( 3 1 6 ) 其中表示第m 种入射情况下得到的第q 阶散射系数，b 0 的具体表达式为 p 驴”峨煳铆睡) 1 鬻 啪 一曙( 是j 南氓 i 霞c i ) e x p - q 口晤；) m 截断散射场， 吏 l q a o , q l ，即可得到散射系数矩阵h 】椰( 口+ 1 ) 收敛性分析 对于圆柱这种简单结构，散射系数矩阵中只有对角元素 启二，j ，l 【o m 】，才不为 零。我们已知圆柱的散射系数解析表达式为 鲣【鱼盐：二鱼是! 篮地些；= 当如基组 口1 2 口2 1 - - a l i a 2 2 ( 3 1 8 ) 旷，! 鱼! 塾! ：竺2 ! 丝l ! l 如二丝z 鹾j 。” a 1 2 a 2 l - a 1 1 a 其中 一酱一一，：+ t ) z 2 一瓦t e o # ( 础- 一础- 以 一( 专一。fm - - 代h u 一i 巧( ”9 2 、- u 4 0 ) 一础- 以一寄_ l - 以，) 础 a 2 1 。a 1 2 b - 署r e + - 娥一薏以一一e “以 b 1 2 畴专警以 如i 夏w i 5 2v 一2 一+ - ) e 一等u k 一+ 娥 6 2 ，一 群，毋二，礁分别表示也，e 的入射场系数和散射场系数。 依次入射y “( 牙) - j ( k l x i ) e ”，在给定离墼单元个数，l 时，应用方程( 2 2 8 ) 和( 3 1 7 ) 计算得到散射系数矩阵【】( 。椰( 。+ 1 ) ，根据方程( 3 l 8 ) 计算得到误差 薹瞥和耋瞥增加离散单元个数疗，若误差减小，则计算结 国防科学技术大学研究生院学位论文 果收敛。 根据以上分析，下面计算单体圆柱的散射系数矩阵并分析其收敛性。计算中我们人为 的截断入射场和散射场系数的阶数，令肘。9 ，q 一9 ，得到结果如下： 当后：一0 时，设定介质圆柱的半径为r ，相对介电常数t 3 4 4 ，入射场无量纲 化频率口一乏一2 ，入射场波长为a ，七。等。计算得到误差的收敛曲线如下： t e 模场分量日，的散射系数的误差收敛曲线 图3 2 圆柱，哎一0 ，以散射系数误差的收敛曲线，每次增加一个离散单元 1 m 模场分量e 的散射系数的误差收敛曲线 薹脬 图3 3 圆柱，t 一0 ，e 散射系数误差的收敛曲线，每次增加一个离散单元 由计算结果可知，t e 模离散1 1 7 份和t m 模离散1 1 9 份后散射系数误差均小于 国防科学技术大学研究生院学位论文 1 。即约离散步长小于击时，散射系数误差小于1 。由此得到乞；o 时的单体圆 柱的t e 模场分量也和t m 模场分量e 的散射系数矩阵( 见附录1 ) 。 当t 一0 的时，设定t - 0 3 k ，其它条件与t o 时相同，得到计算得到散射系 数的误差收敛曲线如下： 场分量皿散射系数的误差收敛曲线 薹脬 甩 图3 4 圆柱，丘- o 3 k ，皿散射系数误差的收敛曲线，每次增加一个离散单元 场分量e 散射系数的误差收敛曲线 幺v i b 彘i 砝- b i _ ：i z n 图3 5 圆柱，也一0 3 k ，e 散射系数误差的收敛曲线，每次增加一个离散单元 由计算结果可知，计算场分量皿时离散1 1 5 份后和计算场分量t 时离散1 1 6 份 国防科学技术大学研究生院学位论文 后的散射系数误差均小于1 即约离散步长，j 、于击忐时，散射系数误差，j 、于 1 。由此得到也= 0 3 k 时的单体圆柱的场分量也和疋的散射系数矩阵( 见附录2 ) 。 从上面的计算可知边界元算法可以处理光滑边界的电磁散射问题。 以六角柱作为一般结构的例子，下面将研究不光滑边界的电磁散射特性问题。 3 2 边界元法计算单体介质六角柱散射系数矩阵 电磁场在六角柱的边界角剧4 】【5 1 处切向不可导，所以要特殊处理。仍采用常单元 离散边界根据3 1 节得到的舱将六角柱的边界先以击南作为主步离散， 然后再对角点处的单元细等分，最后将细分得到的角点附近的两个节点用光滑曲线连 接并将曲线中点取为离散单元的端点。如图3 6 所示 图3 6 边界上角点附近的离散及光滑处理 若增加细分单元后得到的散射系数与增加前得到的散射系数的误差小于l ，我们认 为计算结果收敛且正确。 我们仍应用方程( 2 2 8 ) 和( 3 1 7 ) ，计算可得在细分单元个数为i + 1 ( 称为第i 种细 分) 的情况下，依次入射曙仰( j ) 一l ( 七i 贾i 弘”，m c o , m 】，得到的六角柱的散射 系数矩阵为【】叫仲( 口+ l ，q 【o ，q 】。入射场为曙( 玄) 时，计算可得第f + 1 种细分 与第i 种细分下的散射系数矩阵元的误差为 1 7 ，变化入射场曙僻) 即 旦堕塾兰丝垄盔兰塑塞生堡兰堡垒茎 可得到不同的入射情况下的散射系数的误差收敛曲线。以下分析中，我们都人为截断 入射场系数和散射场系数的阶数，令m - 9 ，q 一9 。 当七，。0 时，设定在空气中的单个六角柱的介电常数，- 1 3 ，每条边长为口，入 射场的无量纲化频率玎- 盖一1 ，入射波波长为a ，七。等。计算t e 模场分量日c 时， 角点处单元最多细等分为1 9 个小单元；计算t m 模场分量e 时，最多细等分为1 5 个小单元。 t e 模场分量h ：散射系数的误差收敛曲线 圄3 7 六角柱，也一0 ，h ：散射系数误差的收敛曲线，横坐标为“- 1 个细分单元 t m 模场分量e 散射系数的误差收敛曲线 图3 8 六角柱，t - 0 ，e 散射系数误差的收敛曲线，横坐标为“1 个细分单元 由此可以看出，当角点处单元离散个数不少于8 ，即嘉时，计算得到的t e 模场 国防科学技术大学研究生院学位论文 分量以和1 m 模场分量e 的散射系数均收敛，得到场分量以和疋的散射系数矩阵 ( 见附录3 ) 。 当t ；0 2 k 时，参数相上，应用同样的方法可得 场分量日：散射系数的误差收敛曲线 图3 9 六角柱，t o 2 t ，也散射系数误差的收敛曲线，横坐标为“1 个细分单元 场分量疋散射系数的误差收敛曲线 口 薹1 i + 1 一f 图3 1 0 六角柱，也- o 2 k ，丘散射系数误差的收敛曲线，横坐标为f + 1 个细分单元 由图3 9 和3 1 0 可知，当角点处初始单元离散不少于3 个小单元即嘉志 1 9 国防科学技术大学研究生院学位论文 时，即可保证散射系数收敛，得到场分量日：和e 的散射系数矩阵( 见附录4 ) 。 计算圆柱t a 0 和t 一0 时的散射系数在满足精度情况下的离散步长只相差一个 修正系数7 ；兰；专，而计算六角柱时得到的结果却不是这样，这主要因为我们每次细 以2 一鬈 分都是把最靠近角点的节点用光滑曲线过渡，所以在不同细分情况下的计算边界不再 相同。 图3 2 3 1 0 中的收敛曲线都出现抖动的情况，这是由于我们计算误差时将所有 的b e s s e l 函数混在了一起，但最终结果收敛，所以并不影响我们得到的结论。 通过研究六角柱的散射系数收敛性可知边界元算法都能用于研究场边界不光滑 的电磁散射问题。 本章小结 本蕈证明边界兀算法就够处理有限绪构的电磁散射l 可趑。以圆柱和六角柱为 例，应用第二章得到的封闭方程组，计算得到了满足计算精度的离散步长及散射系数 矩阵。具体结果如下： 1 设定入射场波长鼽等对于圆柱，当边界离散步长，j 、于意志i - l u 限一 时，误差小于1 ，结果收敛正确。 2 堋黜醐凇挑舶鼢娇以去志懒捞黼凯耐蝴 觚姗捞铷销翔缈刮汗未了南吼黼张误差小于 1 结栗牧赞诈确。 国防科学技术大学研究生院学位论文 第四章正方晶格二维光子晶体能带结构 本章应用多散射方法处理无限周期结构的电磁散射特性问题。以正方晶格理想二 维光子晶体为例，应用多散射方法和b l o c h 定理，计算了正方晶格理想二维介质，金 属光子晶体的能带结构，分析了截断参数对计算结果的影响。 4 1 正方晶格理想二维光子晶体的本征方程 本节应用多散射方法和b l o c h 定理，得到了正方晶格理想二维光子晶体的本征方 程。为了得到本征方程的具体表达式，我们将正方晶格理想二维光子晶体划分为周期 排列的层，利用多散射方法得到单层结构的散射矩阵，然后应用b l o c h 定理并旋转晶 体后得到正方晶格理想二维光子晶体的本征方程。如图4 1 所示 y jl oo()oo oo( )oo oo( )oo 厂、厂、 ，、 厂、厂、 。 uvvur oo()oo 。 oo( )oo oo()oo 圈4 1 正方晶格理想二维光子晶体周期排列层的划分 下面我们将根据上面的分析思路逐步推导得到理想二维光子晶体的本征方程。 平面波基下散射场分布 下面分析二维空间中存在多个散射体时的散射场分布。二维g r e e n 函数在平面波 基下可表示为 g 妒暖，赢) 。i 1 善。1 p 盹舻州1 乏急 ( 4 1 1 ) 国防科学技术大学研究生院学位论文 引入散射体中心坐标毛，则散射体边界上点牙相对中心坐标的坐标为霉。足一黾 对所有散射体上方的场点) ，。，毙，g r e e n 函数的表达式为 一 g , x oly o y o 。圭善幽飞伊玳”蝴叫1 高 ( 4 1 2 ) 哺卜w = 藩响祭m 固霓群协讹埘等等扩锑一 e a - i x ) y ；= p 琥嘶唧一 l 霹护蝴e 州 ( 4 1 4 ) 其中f t 瓦+ z ( k ) 弓= 七( s i n 气瓦+ c o s 气弓) 宴z l 霉l ( s i n t + c o s 弓) - 蝮+ y 砖 班一言跎虮 i g ；i ) e x p m 鬻 ( 4 ”) 一矿”( 劫面南n o i 需d e x p 【f 口口固】 珐稚一鬻妒( 劫镣 。莩芦跎她峭i ) c x p 【却鳓需 ) 矿暖) 翥西峨 i 宴脚【却鳓】 。；舻掣 重堕型兰壑查查兰堑塞当堕耋堡丝塞一 _ - - _ _ 目_ 目i l ；j = ；l 目l ；一 y ”( x o ，y 0 妒善赤军( 莩黔以”彬以胁嘞( 4 1 刀 同理，对所有散射体下方的场点c _ ，白，得散射场y ”的表达式为 旷c 妒善志w ( 啪咱辨吨帆伊鼽嘶 单层结构的散射矩阵 通过上面的分析，我们得到了一般情况下的二维结构中平面波基下的散射场分 布。下面我们计算单层结构的散射矩阵如图4 2 所示 l 五。 9 ( 鎏f ；( | l ( l 一， i t ， 图4 2 单层结构的各参量的定义 图中沿x 方向是单层结构中周期排列的柱托一n 口，y c ) ，a 为光子晶体的周期a 由于 系统在x 方向具有平移对称性，由b 1 0 c h 定理可得西一f 鳓4 b 在y 儿的空间中，由方程( 4 1 刀可知散射场矿“为 肌强) = 善赤陟眠色) 。刚m 扩咖 已知圭鼽卜一圭扩吨卜_ 三t 睁 则散射场y ”也可以表示为 ( 4 1 1 0 ) p 小差葫砑阿& p 似b 叫d 一。 垦堕塾兰垫垄盔兰里蜜生竖兰堡笙塞一 j 自= j ；= _ 女； 。4 。9 一一 其中巧t k + 孚础) 一局一厢s i n 巳等 同理，在y t y 。的空间中，由方程( 4 1 8 ) 得散射场矿”为 咋y t 小差南妊芦h 叫删蜉b 叫动 由图4 2 可知，在离开柱的区域( y ，o ，_ ) t o ) 均为均匀介质，且柱子具有对口t 的平移 不变性，所以在此区域内入射场和散射场的平面波展开的完备基为 散射场 入射场 l f y 。嚣 篇： 叫 y o ) 吲毗薹赤采莎& p 矽 叫6 ， 一* + 南陟& 护y 同弹可得在v 0 空间中的总场y 息为 垦堕型兰垫查奎兰堡垒生堡兰堡鎏茎 胪“( ) ，t o ) - 炉。( 石，y o ) + 矿“( 五y t o ) 咖p + 薹南痧叫吖中哪 l 切 由此得散射矩阵s s 。( ；：s s 一+ - ) 刚鬈：蚓 ，s ( + i s 一，s t + - ) - s ( 叶) ( 4 1 1 8 ) ( 4 1 1 9 ) 如图4 2 所示，将相位零点分别移到入射面和出射面，即d 、c 面上，则总场y 总为 伊x , y o ) 一【o 峰+ 广k 。“而沪广 ， + 0 峰+ 嘞c - g ( x - , e ) 7 1 + 】 皇【口；e a g o - x * ) x o - y * ) + a j ：g 蟛“。砟o 】 y 簋x ，yt o ) 一【o 峰。砟7 ) 彤p o 。m 孙o - ， ， + ( p “；l 。如) p 。一7 l 皇畛 哪( y - f ) + b p e a ；c x - , , - ) - l x , c y - y - ) ， 则可得 即哆瞄：h 习 其中 卟引0 蜘甜卟：嘞弓。】 ( 4 1 2 0 ) “1 2 1 ) 由图4 2 所示，柱子在x o y 平面内具体a ：毛平移不变性的，由b l o c h 定理可知，任 ，j引 蹦 峨 协 w 了 嘲 妒 。气 上。 + 一，巾三 i i 蛩 蛩 ，iiij、-_-l 中其 即 国防科学技术大学研究生院学位论文 意场量v ( g ) 满足如下关系 矿( 玩+ 口2 毛) 一扩啦y ( 宕o ) ( 4 1 2 a ) 其中g 为b l o c h 波矢。 将扁一丘+ a 2 e z 代入到方程( 4 1 2 0 ) ，比较可得 附0 郴】 s ， 结合方程( 4 1 2 1 ) 和( 4 1 2 3 ) 可得【1 s l p c 奶，】【：】。【8 ：磊。三。而】 乏 工2 4 ) 定义形。p ，k ，卜 8 ：磊。三。磊】，石。 ：】，得到 w xa 0 ( 4 1 2 5 ) 通过旋转晶体，使得k o