（应用数学专业论文）二维qg方程的非爆炸性和lax对.pdf

复目大学硕士学位论文 摘要 这篇文章主要通过讨论_ = _ 二维q u a s i g e o s t r o p h i c ( q g ) 方程在活动标量口下的 封闭水平集g 来分析方程的解在有限时间的爆炸性。在对上述水平集满足一 定的几何条件，即该水平集围成的区域在任一时刻为一凸紧集，并且该区域 的边界的曲率有上界，同时满足ij v - 。o l l 的大小沿着水平集c 与涡度在全空间 的最大值a ( t ) 可比的假设下，我们证明了二维q g 方程的解在有限时间内的 非爆炸性，最后给出了一个二维q g 方程的l a x 对表示，讨论- f l a x 对中算 子特征函数的积分表示。 关键词：二维q u a s i g e o s t r o p h i c 方程；l a x 对：有限时间爆炸 复旦大学硕士学位论文 a b s t r a c t u n d e rt h ea s s u m p t i o nt h a tt h e r ei sac l o s e dl e v e ls e to ft h ea c t i v es c a l a r0 i nt h e2 dq u a s i g e o s t r o p h i c ( q g le q u a t i o n w h i c he n c l o s e sa nu n i f o r mc o n v e x r e g i o nw i t hr e s p e c tt ot i m e ，a n dt h ec u r v a t u r eo ft h eb o u n d a r yo ft h er e g i o n i sb o u n d e da l lt h et i m e ，w ep r o v et h en o n b l o w u po ft h e2 dq ge q u a t i o ni na f i x e dt i m ei n t e r v a lf u r t h e r m o r e ，w eg i v eal a xp a i rr e p r e s e n t a t i o no ft h e2 d q oe q u a t i o n i nt h ee n d ，w eg i v eo u rm a i nr e s u l to fd i s c u s s i o na n dp o i n to u t t h a tw ec a na n a l y z e3 de u l e re q u a t i o nb ys t u d y i n gi t se q u i v a l e n tl a xp a i r k e y w o r d ：2 dq u a s i g e o s t r o p h i ce q u a t i o n ；l a xp a i r ；f i n i t e - t i m eb l o w u p 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除 了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的 研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中作了明确的声明 并表示了谢意。 作者签名：己冕日期：丛亟生l ! 论文使用授权声明 本人完全了解复旦大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此 规定。 作者签名：纪冕导师签名：日期：塑显，! 兰! 复臣大学硕十学位论文 1 1 三维不可压缩欧拉方程 第一章绪论 描述三维不可压缩理想流体运动的欧拉方程是流体力学研究的几个基本方程之一，对此方 程的深入了解，比如它的存在唯一性，适定性，以及解所具有的几何结构，方程的守恒量对方 程性质的影响，不论是在理论探索还是在实际应用中都有重要的意义，这是因为流体运动涉及 的范围极广，从大气运动，天气预报，海洋流动，到近二十年来新出现的研究血管中血液流 动，微循环过程的生物流体力学，可以说流体的研究在各个层次和尺度上，都深刻影响到人们 的生活，在美国数学学会对数学学科的分类中，流体力学已经成为应用数学的一个独立分支， 充分证明了流体运动研究的重要。 从v i a r n o l d 七十年代的工作以来，人们已经认识到欧拉方程具有良好的几何性质和变 分结构，流体运动可以被描述成在无穷维的不可压缩可微变换群上的一条测地线，而流体的动 能给出了不可压缩可微变换群的切空间上的一个右不变黎曼度量。而加州理工学院的m a r s d e n 和u cb e r k e l e y 的w e i n s t e i n 在八十年代初的工作则是将欧拉方程写成一个哈密尔顿系统，哈 密尔顿函数由流体动能给出。他们还阐明了欧拉方程的变分结构跟流体涡度之间的关系，并说 明了经典的c l e b s c h 变量可以从哈密尔顿系统的典则变换的角度来理解，对于欧拉方程的变分 原理和守恒量，p h i l i pm o r r i s o n 也做了大量的工作。 不可压缩流体可由下面的方程决定： f 塞一即u 出 ( u ) = 0 ，( 。，t ) r v 【o ，o o ) ( 1 1 ) i “i t = 0 2 u o ，z r 这里t ( ，t ) ；( u 1 ，u 2 ，) 是流体的速度，n = 2 ，3 表示空间维度，p ( z ，t ) g 压力变 量。尝是物质导数，即是伴随着流体运动轨线的导数，具体形式为： da 兰 a d t5 瓦+ 二嘶瓦 d i v 是向量场的散度函数， 出口( “) = r 丝 梯度算子v = ( 击，去，击) ，拉普拉斯算i - 子, c 3 x j nm _ 萎螽 在式( 1 1 冲若 0 ，那么相应方程称为n a v i e r - s t o k e s 方程，若p = 0 ，相应方程则称为欧 拉方程。 复日大学硕十学位论文 1 2 二维不可压缩q g 方程 不可压缩流体方程的解在有限时间内是否具有奇性，换句话说，解在有限时间是否会爆炸 是我们关心的问题。对于二维的欧拉方程和n a i v e r - s t o r k s 方程，相关问题的结论已经得出，即 相应方程的解在有限时间内不会爆炸，但是在三维中这还是一个开放问题，我们对不可压缩流 体方程解的奇性是否存在的研究对理解湍流很有帮助。二维q g 方程与三维不可压缩欧拉方程 具有很多相似的地方，这样我们对二维q g 方程的研究可以给三维欧拉方程的相关问题的解决 带来启示。在这方面已经有人做了很多工作。接下来我们简单介绍一下二维q g 方程以及三维 不可压缩欧拉方程和二维q g 方程的相似性。 二维q g 方程来源于对大气流动中潜温度p 随不可压缩流体演变的模型的研究。下面是方 程的具体形式： 型：祟抓v口：0(1-2)dt一2 瓦十“。9 2 其中初始条件为：ee b 0 = 8 0 。同时活动标量e 和速度t 的关系由下式给出： 1 1 = v 上妒，妒= ( 一) 一 ( 一口)( 1 - 3 ) 其中 v 机( 一差，差) ( ，4 ) 和 ( 删_ 妒= e 2 1 t l z k 南g ( k ) 积 ( 1 - 5 ) 满足 妒( z ) = e 2 。讧。每( k ) d ( 1 - 6 ) c o a t t i n ，m a j d a 和t a b a k ( 【2 ) 发现二维q g 方程与三维不可压缩欧拉方程有着惊人的数 学和物理相似性，并且它们具有相似的几何和分析结构。 首先，单从形式上看，用涡度表示的三维不可压缩欧拉方程为： 而相应的二维q g 方程为 丝：u v 。 d t ” 蜘，= 去上。芈由 d v j 8 ：v o v u d t 。 蝴) 一上。坐箐型白 一2 一 ( 1 7 ) ( 1 - 8 ) ( 1 - 9 ) ( 1 1 0 ) 复日大学硕十学位论文 这里芸是物质导数。与此同时，这两个方程中相对应的速度的散度都为零，即v “= 0 。同 样的道理，对于熟知的b e a l e - k a t o - m a j d a 判别准则：即对于有限时间t ，有 ，t 忪( ，t ) f l o o d t = + o 。( 1 - 1 1 ) j 0 那么相应的三维不可压缩欧拉方程在有限时间t 必定会爆炸。我们只须把u 换为v j 。口，那么 对于二维q g 方程有同样的结论成立。 从上面的方程中我们可以看出二维q g 方程中口的水平集和三维不可压缩欧拉方程的“涡 线”具有相似性。这样，在下面我们用0 来记v 1 口，并称其为“涡度”，同时把口的水平集称 做“涡线”。 1 3 方法概述 为了讨论二维q g 方程的全局存在性，人们对p 的水平集的几何特性的演变作了各种假 定。在f 2 1 中被指出，只要方向场 = v 1 口在一个区域内保持光滑，那么在有限时间内在该区 域内方程的解就不可能发生爆炸，而且在一种特殊情况下，即如果在该区域上存在最大涡度， 那么方程的解在整个空间上都不会有爆炸发生。 在6 1 中，通过充分考虑“涡度”的不可压缩条件，同时有效利用指定涡线拉伸变化和其 上涡度最大值变化之间的关系，在涡线上涡度最大值与全局涡度最大值相容假设下，解决了方 程解的全局奇性，并且指出若涡线的长度如果被o ( c c 下：盯一) 控制住，这样v f 就会被 o ( 1 , 1 1 1 1i p ( ，t ) 1 i 。) 控制住，这里f 是单位切向量v 1 e i v l 0 1 ，这样i i u ( t ) l l o o 的增长阶数最多是 三次指数阶，这样有限时间的奇性不会发生，也就是不会在有限时间内爆炸。 我们对二维和三维欧拉方程解的全局性质还可以通过l a x 对进行讨论。l a x 对是可积系统 中的一种特殊结构，非线性的偏微分方程可以被表示成两个算子的形式，即l a x 对。l a x 对 中的l 算子的谱具有很多不变性，这样可以为构造一致界提供启示。a r n o l d 发现二维欧拉方程 是个h a m i l t i o n 系统，m a r s d e n 和r a t i ue ta l ( 【9 】) 进而研究了其中的对偶结构，f r i e d l a n d e r 和 v i s h 蹦f 1 0 ，1 1 ) 在l a g r a n g e 坐标下找到了二维和三维欧拉方程的l a x 对。在欧氏坐标下，l i 找 到二维欧拉方程的一个l a x 对，c h i l d r e 找到了三维欧拉方程的一个l a x 对。在【8 】中l i 找到 了二维欧拉方程的l a x 对及其d a r b o u x 变换。在【7 | 中建立了关于欧拉方程的l a x 对的等谱理 论，通过定义k o o p m a n 群，特征函数能通过一个遍历积分得到。 在本文中我们讨论二维q g 方程具有相对比较大涡度的闭合涡线，也就是说，在这条涡线 上的涡度最大值和全局涡度最大值是相容的，并且该闭合曲线围成的区域为凸紧集，且随时 间直保持凸性。在上述假定下，如果涡线的曲率k 和v f 被0 ( 1 n | | u ( ，圳i 。) 控制住，其 中是单位切向量v j 。o v 1 口i ，那么怕( 圳o 。就是有界的，也即方程的解不会在有限时间内爆 炸。这里利用了凸紧集的边界在一定假设下的几何性质，并且使用了【5 1 里的研究涡量的不可 压缩条件和增长方式的相似方法。 有可能满足条件涡线上最大值与全局涡度最大值相容的涡线并不唯一，换句话说，即涡度 的最大值可能在不同涡线上跳动。我们知道相同闭合涡线所包围的区域的面积是随时间不变 一3 复且大学硕七学位论文 的，我们假设随着涡度的最大值可能在不同闭涡线上跳动，并且当时间趋于某一固定时间点 时，相应涡线所包围的区域的面积s ( t ) 趋于零。在这种情况下，如果如上所述的k 和v f 被 o ( ( i 雨百可话) a ) 控制住，这里0 a l ，用s ( t ) 表示在时间t 时的封闭区域面积，并且 s ( t ) 被d ( ( i 雨百万恬) n 一9 ) 控制住，那么当0 k 时，a ( m k ，n k ) d e 。我们有不等式 d e d ( 帆，) d ，令k o 。，并利用距离函数的连续性，可得：d e sd ( m ，n ) sd 。 最后由e 的任意性，可得e ( m ，n ) = d 。 口 记引理3 。1 中得到的a 的直径为d 。 引理3 2 对于一凸紧集a ，若满足o a c i ，那么在其直径d 的两个端点处的切线互相平 行，且这两条平行线与d 垂直。 证明：取m ，为我们在引理3 1 中所取的m ，即丽= d ，是a 的直径。我们把o a 用 向量表示，并- l i i ge ( o ) = m ，i e d ( t ) = ( e ( t ) 一) ( 贰t ) 一) 。因为丽丙是最长弦，所以 有d 7 ( o ) = 0 ，即 d 7 ( o ) = 2 ，( ) ( ) 一v ) i # o = 0 这样就得到丽与0 , 4 在m 处的切线相垂直。同理可得丽与0 , 4 在处的切线相垂直。口 7 复黾大学硕十学位论文 j f 1 mn 竺 图3 - 1 记引理3 2 中o a 在m 处的切线为l l ，在m 处的切线为1 2 ，其中直径d 把4 分成上下两部 分，把它们分别记为a 1 和a 2 相应的面积记为& 和岛。 以m 为坐标原点0 ，丽万所在直线为o x 轴，1 1 为o y 轴，建立直角坐标系，参见图3 _ l 。 不失一般性，现在我们只考虑a 的上半部分，即a i 。在这里我们用一元函数y = ”( z ) 表示曲 线a a n o a l 。 在a l 的边界上存在唯一的一点- p ( x h ，姚) ，x h ( 0 ，d ) ，使得”( 。 ) = 0 ，并且有 轨=孚(3-2) 事实上，方面由p ( z ) 的凸性，有( z ) 0 ，7 扛) 在其定义域中单调下降。注意到 ( o ) = + o 。，矿( 田= 一o 。，我们可知在( 0 ，固上存在唯一一点p ( 瓤，鲰) ，使得矿扛) = 0 。另一 方面由于口( $ ) 0 ，y h = y ( z h ) 为极大值，并注意到a 1 的凸性，我们得到三角形a m p n 包含 在a 1 中，并且s 么m p ns5 1 ( 参见图3 - 1 ) ，这样我们就可从中得到不等式( 3 - 2 ) 。 如果我们记凸紧集a 的面积为s 。我们有关于d 的以下不等式： 引理3 3 如果边界a a 满足蚓sk ，对于直径d ，存在如下不等式： 店娜譬+ 宰 c 删 证明：我们首先对( 3 3 ) 的左边进行证明 中，可得面积不等式：s s ”d 2 ，即有 以m 为圆心，d 为半径作圆，这样a 就包含在这个圆 ；s a 一8 ( 3 - 4 ) 复日j 大学硕士学位论文 现在我们证明( 3 3 ) 的右边，记r o = ，即在a a 上在m 处确定的曲率圆的半径。令- m - 研 在直线为x 轴，在丽丙上距离m 点r o 的点为坐标原点0 ，过0 点垂直于x 轴作o y 轴，建立直 角坐标系，图形参见图3 - 2 。 在区间【- - r 0 ，0 1 上，把a a n a a l 记为一元函数y = ( z ) 。 飞少 4 1 、0 。 q 1 肛 。 。 _ | = 压z m 0 n 图3 2 下面我们考察y = y 仁) 表示的曲线与圆弧y = 石f = 在左半平面的位置关系。 首先g ( z ) 满足下列条件： ( 一t o ) = 0 ，口7 ( 一r o ) = + o 。( 3 - 5 ) 口( z ) 2o ，y ”( ) s0 衙舞s m f a - r o ，( 。) 出= 毋 j - - 0 由( 3 - 7 ) 式并注意到r o = ；我们可得： 乐铸一磊1 。 b k - r o 多j $ o ) 积分上式并注意到( 3 - 5 ) 可得： ( 丽- y 一玑o 。 ( 3 - 6 ) ( 3 - 7 ) ( 3 - 8 ) ( 3 - 9 ) ( 3 - 1 0 ) 复日| 大学硕士学位论文 注意到矿0 ( 因为z 【一r o ，o ) ，否则上试左端会为正，矛盾! ) ，这样我们就有： 2 南( 3 - 1 1 ) 上面的不等式对z 【一r 0 ，o ) 成立，利用函数的连续性，可把区间延拓到。卜7 0 ，o 】 我们对 上“ 矿南(3-12)ro 、一z 两边从一g o 到z 积分可得： ( z ) 2 r 0 2 一z 2 ，z 【- t o ，0 ) ( 3 - 1 3 ) 用上面同样的方法可使不等式对$ 【一r o ，o 都成立。在i # 意2 2 ，这就说明了点口1 ( o ，r o ) 在 a 1 中，d 8 m ，的相似性可知点q 2 ( d r o ，r o ) 也在a l 中，同时注意到a l 的凸性，可知曲边梯 形q 1 q 2 n m 在a l 中，即得面积不等式： 。口：n m s i ( 3 - 1 4 ) s q 。刚m = 孚+ ( d 一2 r o ) r o 岛 同理对a 2 有类似的不等式： 把两式相加可得 d s 1 + 2 r o 2 - - 一 r o d b 2 + 2 t o 2 - - 一 r o 2 d 曼! 壁二! ! ! ： 一 r o ( 3 - 1 5 ) ( 3 - 1 6 ) ( 3 - 1 7 ) ( 3 - 1 8 ) 口 现在我们开始证明命题3 1 。同样首先考虑a 1 中的上边界a a n o a l ，并把其长度记为z a 。 那么有 2 l = z 4 伍而小m ) 如 ：i “( 1 + ，恤+ “ 1 + ( 一，) l 出= ( + ，7 ) d z + + ( 一，) l d z j 0j o = d + 2 y h - - d + 4 d s _ 2 1 1 0 ( 3 - 1 9 ) ( 3 - 2 0 ) ( 3 - 2 1 ) h - - h 2 卅字 s m + - 坠： 0 ，使得n f ( t ) 2c 0 1 2 ( t ) 成立。进一步，我们把在时刻t i ，从位置q 出发的流体微粒在时刻t 2 的位置记为x ( n ，t i ，t 2 ) ，而f ( t ) 是i t 的弧长。记m ( t ) 三i i v 。 i i l - i 。) ， k ( ) ii i c i i l * ( 1 。) ，这里k 是该涡线的曲率 定理3 ，l 假设存在某个0 c 0 1 ，使得n l ( t ) c o n ( t ) ，对t t o ，丁) 成立，其中而为初始 时刻，t 为之后任意选定的时刻。并且口的水平集中存在一条闭合曲线0 = 如，它的边界围成 区域为一凸紧集，且随时阃变化它所围成的区域仍为凸紧集。把这个凸紧集记为a ，其面积记 为s ，并且我们假定其边界o a c 。，那么如果曲率k ( t ) 和切向量v ， ( t ) 被 石面币丽控 制住，其中常数0 c 1 0 ，那么有u ( t ) 在任意有限时间段t t o ，t ) 内被控制住， ) 即不会爆炸。 注3 1在定理3 1 中，曲率k ( t ) 和切向量v - f ( ) 被 i 西百丽控制住，即m a 。 s ( ) ，v ( t ) 撕五币丽而成立。 定理3 1 的证明：用反证法，设t 一丁，j 2 【t ) 一十o o ，由引理3 6 可得： n f ( t ) e m ( t ) l ( t ) 1 2 黑 由假设条件f 2 t ( t ) 2c o o ( t ) ，可得 q s1 e m ( t - ) l ( t ) n ( 幻) 怒 由定理假设条件可知存在正数c 1 ，c 2 。使得m n z 一( t ) ，v ( ) ) 、i i 币i 西而 3 1 中关于t ( t ) 的不等式( 3 - 1 ) ，可得当t 充分靠近t 时，总有 f t ( t ) c e s ( c 1 l nc 2 q ( t ) ) 2 ( 3 - 3 6 ) 再结合命题 ( 3 - 3 7 ) 其中，c 为一正常数，雪= s + 6 ，5 为事先取好的小正数。可得 o ( t ) sg ( n ( t ) ) 。l o( 3 - 3 8 ) 1 ，。 注意到c 1 去，这样只要取6 足够小，总有c 1 雪 1 ，即得o ( t ) c 1 一c l s 。这与n ( t ) 一 + ，t t 矛盾。故原来的假设不成立，q ( ) 在有限区间t 【t o ，t ) 内不会爆炸。 在定理3 1 中我们只考虑对一固定的口的水平集，现在我们考虑这样一种情况，即全局涡 度的最大值会随时间在口的不同水平集上跳动。 推论3 1 假设全局涡度最大值a ( t ) 在不同封闭涡线上跳动，相应涡线所包围区域也在随时间 发生改变，但保证它是凸紧集，记其在时间t 时为a ( t ) ，并且把它的面积记为s ( t ) ，当t 趋于r 时，我们假设s ( t ) 趋于零。那么下面的假设和结论与定理3 1 是类似的，具体如下：同样假设 存在某个0 c o s l ，使得f t d t ) c o o ( t ) ，对t 【t o ，t ) 成立，其中为初始时刻，t 为之后 任意选定的时刻，并且a ( t ) 的边界满足a c 2 ，那么当k 和v 被o ( ( i 丽百可瓜) o ) 控 制住时，设s ( ) 被d ( ( l n i l u ( ，驯i 。) o 一4 ) 控制住，这里参数满足0 o t ，卢 l ，如果有 口 时，u ( t ) 在有限时间段t t o ，丁) 内不会发生爆炸。 1 4 ， 复日大学硕十学位论文 注3 2 这里曲率被d ( ( i 丽i 百恬) 。) 控制住，而在【6 】中曲率被o ( 1 n l n n ( t ) ) 控制住，其 中o ( t ) 是全局涡度最大值。这样我们可以知道这里对曲率的要求要低一些，但是这里要求对 于时间来说的一致凸性又显得要强一些。 推论3 1 的证明：与上面定理3 1 的证明类似，可以得到，当t 充分靠近t 时， n ( t ) se e ( c 11 n 她n ( 堋叶口， 注意到假设s ( ) 一o o 一卵，为了使s ( ) 一0 ( t 一刃，需要a 一 0 ，结合假设p ；， 我们有n4 - 口 1 。这样就可得出当t 充分靠近t 时， n ( 曼e ( n ( t ) ) o + 9( 3 - 3 9 ) 即得n ( ) 有界，在有限时间内不会爆炸，即结论成立。 到目前为止，我们通过研究二维q g 方程的闭涡线，讨论了二维q g 方程在有限时间里的非 爆炸性。首先这样的闭涡线要存在，其次由这一涡线所包围的区域要关于时间保持一致凸紧 性，下面我们可以从另外一个角度，即l a x 对来考虑二维q g 方程。 一1 5 复臣大学硕十学位论文 第四章二维q g 方程的一个l a x 对表示 4 1 对三维欧拉方程l a x 对的回顾 i ，a x 对是在研究孤立子理论和可积性理论中发展起来的，现在我们回顾一下对三维欧拉方 程l a x 对的讨论。 在( 【1 0 _ 1 2 】) 中给出了三维e u l e r 方程的l a x 对。 三维欧拉方程可以用涡度来表示： 魂n + m v ) a 一( n t v ) u = 0 ( 4 - 1 ) 这里= ( t 1 ，u 2 ，姆) 是速度场，n = ( n l ，n 2 ，q 3 ) 是涡度场。v = ( 如，吼，以) ，n = v t ，v u = 0 ，其中t 可通过b i o t - s a v a r t 定律来用q 表示。 对三维欧拉方程( 4 - - 1 ) ，其l a ) 【对可用下式表示： 嚣i 笔：。( 4 - 2 ， 其中l 妒= ( n v ) 妒一( 妒v ) n ，a 妒= ( 乱v ) 妒一v ) u 。这里a 是一复常数，妒= ( 妒i ，忱，妒3 ) 是 一个三维复值函数。 关于三维欧拉方程洚1 ) 的另一个l a x 对表示为： 嚣i 艺：0 c 档， i 巩妒+ a 毋= 、 其中l = ( q - v ) 咖，a 咖= m v ) 咖，这里a 是一复常数，咖是一复值函数。上式中的a 是n 的 函数，但是随着时间不变，这样就发展了所谓的“等谱”理论，找到t - - 维欧拉方程的一个不 变量。 现在考虑l a x 对方程组的特征值和特征函数的演化性质。 首先可以把欧拉方程写成一个l a x 对的形式： 譬：j ( 4 4 ) 出 一1 、7 这里算子对l = u v ，a = “v 。t ( z ，t ) 是流体的速度场，而。= v 是流体的涡度场，利 用涡度场和速度场的不可压缩性，可以证明算子l 和a 都是反自伴算子。 性质4 ，1算子l = u v ，a = t v 是反自伴算子。 证明：以算子l 为例，若要证明l 为反自伴算子，只需证明对在工定义域内的函数妒l ，妒2 ，都 有( a 妒l ，忱) = 一( 妒1 ，a 妒2 ) ，若要表示成积分的形式，就是要考虑是否有下式成立： f ( w - v 机) 忱如= 一上妒- v 妒。) 出 1 6 ( 4 - 5 ) 复日大学硕十学位论文 实际上，由简单计算可知： ( u v 妒1 ) i 晚= u - v ( 妒1 妒2 ) 一妒1 ( u v 妒2 )( 4 - 6 ) 那么只要能说明厶u v ( 妒1 妒2 ) 出= 0 即可证明命题a 可是通过s t o k e 公式我们可以得知： 上v ( 钆忱) 出2 上v ( u 忧忱) 如一厶也 ( u ) 饥忱如( 4 - 7 ) = 元( 妒l 妒2 ) d s 一威可( u ) 妒l 妒2 d ( 4 - 8 ) j 扰2 j 1 2 在上式中注意到不可压缩条件d i v ( a j ) = 0 ，又在边界处a q 可以有假定忱i 铀= 0 ，i = 1 ，2 ，那 么就有岛u v ( 妒1 妒2 ) 出= 0 ，也就是说l 是反自伴算子。可以看出，对于算子a ，由不可压缩 条件d i v ( u ) = 0 ，用相似的方法可以说明a 也是反自伴算子。 口 二维q g 方程和三维欧拉方程的相似性很早以前就被发现，但是对于二维q g 方程是否存 在l a x 对，如果存在，是否与三维欧拉方程的相应l a x 对是相类似的，这些问题还是未知的。 我们在首先给出二维q g 方程的一个类似于三维欧拉方程中的l a x 对表示，然后我们给出这 个l a x 对特征函数的遍历积分表示。 4 2 一个二维q g 方程的l a x 对表示 首先我们介绍一下l a x 对的定义。 定义4 1 l ( t ) ，a ( t ) 是两个时间相关的算子，对于任何落在l ( t ) 和a ( t ) 定义域交集中的函数 妒，如果我们有下式成立： 面d l 妒= ( l a a l ) 妒 ( 4 - 9 ) 那么就把算子三( ) ，a ( ) 称为一个l a x 对。 一个l a x 对具有以下性质：令 ( 茚( t ) ix ( t ) f ( t ) ( 4 - 1 0 ) 这里a ( t ) 是l ( t ) 的特征值，f ( t ) 是相应a ( t ) 的特征函数。那么可知a ( t ) 是与时间无关的。换句话 说，即： 掣：0 ( 4 - 1 1 ) 出 关于( t ) 的演变规律，我们有以下结果： 掣：一a ( 批) ( 4 - 1 2 ) 出一7 性质4 2 如果工( ) ，a ( t ) f # 成- - + l a x x f f ，那么算子l ( t ) 的特征值是与时间t 无关的，即有 己( ) f ( t ) in ( 吼 。1 7 复臣大学硕士学位论文 证明： 对上式关于t 求导可得 l ( t ) ( 幻= a ( t x ( t ) 陋，a 】f + 工= f + a l a 一a 联+ l = 矩+ a 叠i ( 4 - 1 3 ) 厶a 一入a f + 工喜= a + a f( 4 - 1 4 ) 假设厶黾自伴算子，那么a 是实数。现在用上式( 4 - 1 4 ) 与f 作内积可得： ( ( 工一a ) a f ) + ( ( l a ) ) = ( a f ，f ) a & ( l a ) + 0 + ( 亭，( l a ) + 亭) = a 幅，毒) 注意到( l a ) 。 = 0 ，我们就得到结论 i0 。对于一般算子厶用类似的方法可以证明。 口 性质4 3 ) 满足篆= 一a f 。 证明：从式1 4 ) 中我们可以知道： l + f ) = a + a ) ( l a ) 幢+ a f ) = 0 不失一般性，我们可以设： f + a 毒= c ( t ) 亭 进一步，我们还可以假定c ( t ) i0 ，否则，我们可以利f f j a ( t ) 一e ( t ) i 代替算- t a ( t ) 的地位即可 得到结论。 口 从【1 2 】中我们可以知道三维欧拉方程具有如下形式的l a ) 【对： 巨蔓 s ， 这里l = v ) ，a = ( “v ) ，a 是一个复数，而f 是一个复值函数。我们指出对于二维q g 方 程，它具有一个类似结构的l a x 对。 下面我们定义二维q g 方程的l a x 对如下： 定义4 2 记 工p = ( v 上0 v ) 妒，a 妒= ( “v ) 妒( 4 - 1 6 ) 这里v 上“= ( 一国“，国“) 。 我们接着证明它是二维q g 方程的一个l a x 对。 定理4 1 令l 妒= ( v j 。0 v ) 仍a 妒= 托v ) 妒，那么算子l 和a 是二维q g 方程的一 个l a x x 寸。 复日| 大学硕士学位论文 注4 i 注意到上面的二维q g 方程和三维欧拉方程的l a x 对有着惊人的相似性。 证明：用算子v 1 作用在二维q g 方程( 参见式子( 1 2 ) ) ，这里v 上u = ( 一a 2 “，a l ) ，这样我们可 以得到 掣= ( ( m 吵v 扣0 - 1 7 ) v 面广2 i 。9 ，v 归 其实它与二维q g 方程( 参见( 1 2 ) ) 是等价的。接下来我们证明净1 7 ) 和( 4 - 9 ) 是等价的 ( 4 1 t ) = = ( 4 9 ) ：为了简化记号，我们把v 切记为。，通过计算我们可以得到： 坐d 盟t = ( 面d v ) 妒 = f p v ) 一( - v ) 叫v 妒 = 【( u v ) 叫，v 妒一【( u v ) u v 妒 2 姚i q d 一地q 妒j 同时我们注意到 ( l a a 三) 妒= “，- v ( 。v 妒) 一t v ( u v 妒) = 哟( “印， ) j 一嘶协) ， = 畸札l ，妒，i + 畸弛妒商一吩咄j 妒， 一纰妒，巧 2 岫嘶 妒j 一畸， 妒j 这样就可以得到 i d l i 妒= ( l a a l ) 妒 ( 4 9 ) ( 4 一l 砷：由上面计算过程可得，若( 4 - 9 ) 成立，那么有： 1 1 d v r 上0 + ( - v ) v 上口一( v 上口v ) t 正】v 妒= o 对任何函数妒g 1 都成立。i ep ( z ，t ) = 堕字+ m v ) v 口一( v 上口v ) u ，如果我们有 p ( o ，t ) i0 ，那么就有0 - 1 7 ) 成立。 这样我们就可以对某个指定的点o ( 胡，蠼) - 撬选不同的妒分别满足； f 筹乩篆= 。 ( 4 - 1 8 ) 【筹- o ，差= 这样我们就可以得知p ( 扩，t ) 的两个分量都为零，又x 0 是任意指定的，那么就有p ( z ，t ) 2 0 成立，这样我们就得到了净1 7 ) 。我们知道l 和a 是一个l a x 对，并且通过l a x 对的一般性 质可以知道算子l 的特征函数是与时间无关的。口 1 9 复且大学硕+ 学位沧文 4 3l a x 对特征函数的遍历积分表示 如同在m 一样，我们能给出( 4 - 1 6 ) 中特征函数的一个遍历积分表示。实际上， v ) 是 日o ( s ) 中h e r n l i t i a n 内积下的自伴算子( 其中s = r 2 或t 2 ) 。对某个固定时间t ，把下面方程的 解记为z ( p ，5 ) ： 偿) 刊啪战) iz ( p ，o ) = 卢 对洚1 6 ) 中算子二的某个固定特征值a ，我们可以定义一个k o o p m a n 群如下： 定义4 3 吩( 国= e - i a s ，( ( p ，j ) ) ，z ( 卢，0 ) = p 对于h o ( s ) 中的，。 ( 4 - 1 9 ) ( 4 - 2 0