n阶行列式ppt课件

第二章行列式,2.1n阶行列式的定义,一、n阶排列、逆序数,二、对换,三、2，3阶行列式的定义,四、n阶行列式的定义,五、小结,1,一、n阶排列、逆序数,引例,用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？,解,123,1,2,3,百位,3种放法,十位,1,2,3,1,个位,1,2,3,2种放法,1种放法,种放法.,共有,1、概念的引入,Page2,2、全排列及其逆序数,问题,定义,把个不同的元素排成一列，叫做这个元素的全排列（或排列）.,个不同的元素的所有排列的种数，通常用表示.,由引例,同理,Page3,逆序数,逆序：设,是一个n阶排列，如果ij时，,构成一个逆序;,则称,则构成一个顺序。,此排列中的逆序总数叫排列的逆序数，记为,逆序数为偶数的排列叫偶排列，逆序数为奇数的排列叫奇排列。,Page4,例如排列32514中，,32514,Page5,例子：（1）1，2，3，4和3，4，2，1是两个四阶排列，而1，1，3，4不是。（2）n阶排列共有n!个，其中排列1,2,n由小到大按自然顺序排列，叫做n阶自然排列，排列中的逆序数为0。,Page6,例1排列32514中，,32514,逆序数为2,故此排列的逆序数为2+1+2+0+0=5.,Page7,例2计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.,解,此排列为偶排列.,Page8,解,当时为偶排列；,当时为奇排列.,Page9,首先我们看：,现在来分析逆序数：,Page10,当为偶数时，排列为偶排列，,当为奇数时，排列为奇排列.,Page11,二、对换,定义,在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换,将相邻两个元素对调，叫做相邻对换,例如,1、对换的定义,Page12,2、对换与排列的奇偶性的关系,定理1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性,证明,设排列为,除外，其它元素的逆序数不改变.,Page13,当时，,经对换后的逆序数不变，的逆序数减少1.,因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性.,设排列为,当时，,现来对换与,Page14,所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.,Page15,推论,奇排列调成自然排列的对换次数为奇数，偶排列调成自然排列的对换次数为偶数.,证明,由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的变化次数,而自然排列是偶排列(逆序数为0),因此,知推论成立.,Page16,在全部阶排列中,奇偶排列各占一半.为n!/2。,定理2,将个奇排列的前两个数对换,则这个奇排列全变成偶排列,并且它们彼此不同,所以,故必有,注：不同的奇排列变成的偶排列应该包含在已经存在的所有偶排列内。,Page17,用消元法解二元线性方程组,三、2，3阶行列式的定义,1、二阶行列式的引入,Page18,方程组的解为,由方程组的四个系数确定.,Page19,由四个数排成二行二列（横排称行、竖排称列）的数表,定义,即,Page20,主对角线,副对角线,对角线法则,二阶行列式的计算,若记,对于二元线性方程组,系数行列式,Page21,Page22,Page23,Page24,则二元线性方程组的解为,注意分母都为原方程组的系数行列式.,Page25,例3,解,Page26,2、三阶行列式,定义,记,（6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式.,Page27,(1)沙路法,三阶行列式的计算,Page28,(2)对角线法则,注意红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号,说明1对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,Page29,例3,解,按对角线法则，有,Page30,例4,解,方程左端,Page31,如果三元线性方程组,的系数行列式,利用三阶行列式求解三元线性方程组,Page32,若记,或,Page33,Page34,得,Page35,得,Page36,则三元线性方程组的解为:,Page37,例5解线性方程组,解,由于方程组的系数行列式,Page38,同理可得,故方程组的解为:,Page39,四、n阶行列式的定义,三阶行列式,说明,（1）三阶行列式共有项，即项,（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积,1、概念的引入,Page40,（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列,例如,列标排列的逆序数为,列标排列的逆序数为,偶排列,奇排列,Page41,2、n阶行列式的定义,定义,Page42,Page43,说明,1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;,2、阶行列式是项的代数和;,3、阶行列式的每项都是位于不同行、不同列个元素的乘积;,4、一阶行列式不要与绝对值记号相混淆;,5、的符号为,Page44,例6计算对角行列式,分析,展开式中项的一般形式是,从而这个项为零，,所以只能等于,同理可得,解,Page45,即行列式中不为零的项为,例7计算上三角行列式,Page46,分析,展开式中项的一般形式是,所以不为零的项只有,解,Page47,例8,Page48,同理可得下三角行列式,Page49,例9证明对角行列式,Page50,证明,第一式是显然的,下面证第二式.,若记,则依行列式定义,证毕,Page51,例10,设,证明,证,由行列式定义有,Page52,和的关系是i-j=k,Page53,由于,所以,故,Page54,Page55,Page56,例12用行列式定义计算,Page57,解,Page58,评注本例是从一般项入手，将行标按标准顺序排列，讨论列标的所有可能取到的值，并注意每一项的符号，这是用定义计算行列式的一般方法,注意,Page59,例13.证明：乘积是5阶行列式的项，该项前面的符号由行标排列与列标排列的逆序数之和决定：,证明：由数的乘法交换律可得，,且1,5,2,3,4是一个5阶排列，,故是5,阶行列式可能的项，,按照行列式的定义它的符号为,又,所以结论成立。,Page60,事实上，上述结果可推广到n阶行列式的任意一项。我们给出下面的一个引理。,Page61,Page62,由引理可得到下面的推论：,推论1设是一个确定的n阶排列，则,推论2,Page63,解,下标的逆序数为,所以是六阶行列式中的项.,下标的逆序数为,所以不是六阶行列式中的项.,因为所带符号不一致,Page64,例15在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号.,解,431265的逆序数为,所以前边应带正号.,Page65,行标排列341562的逆序数为,列标排列234165的逆序数为,所以前边应带正号.,Page66,例16用行列式的定义计算,Page67,解,Page68,2排列具有奇偶性.,3计算排列逆序数常用的方法.,1个不同的元素的所有排列种数为,五、小结,4.一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性,(1)排列、逆序数,Page69,二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.,(2)2,3阶行列式,Page70,1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的.,2、阶行列式共有项，每项都是位于不同行、不同列的个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定.,(3)n阶行列式,Page71,思考题,解,设所求的二次多项式为,