（光学工程专业论文）有限差分光束传输法的研究.pdf

摘要 摘要 随着集成光学技术的发展，诸多具有不同结构、功能各异的光波导器件应运 而生。通过计算机来对光波导器件进行预设计，不但省时省力，同时能直观反映 光波导器件特性。于是出现了用数值分析方法来分析光波导，光束传输法就是众 多方法之一。光束传输法描述的是整个介质上的场分布，广泛地应用于无源波导 器件和光纤中电磁场模式特性的分析中。现在已经出现多种光波导仿真软件可以 利用光束传输法实现对各种波导进行仿真，本文从研究源代码入手，编写出二维 和三维光束传输法代码，并对广角光束传输法在精度上进行改进。 文章首先介绍了光束传输法的现状及发展，比较了几种b p m 算法优劣性。由 于光束传输法的基础就是波动方程，对于波动方程的处理可以分为傍轴近似和广 角近似两种，于是文章在麦克斯韦方程的基础上，根据慢包络近似理论，利用有 限差分近似来代替偏微分方程，详细地推导了标量二维及三维有限差分光束传输 法( f d b p m ) 所使用的公式，并且对其建立了理论模型。在此模型的基础上，充 分地运用m a t l a b 的矩阵运算功能，编写交替方向隐式光束传输法( a d i b p m ) 程序。利用此算法完成了三维y 分支波导中的传播状况的模拟。接着采用二维和 三维有限差分光束传输法分别对定向耦合器进行模拟仿真，对得到的模拟结果进 行比较，发现两种算法得到的结果基本相符，验证了程序的正确性，文章中还讨 论了网格点数对算法精度的影响。 另外，文章讨论了广角近似光束传输法，运用m a t l a b 仿真工具对广角和傍 轴近似光束传输法进行仿真，发现在对大角度斜波导的光场分布进行模拟时，广 角算法有较高的精度。传统的广角近似光束传输法通过解波动方程得到平方根算 子，本文从平方根算子出发，重新推导了广角光束传输法计算公式，采用两种试 探性展开方法对平方根算子进行处理，然后用三种算法对y 分支波导进行仿真， 最后的模拟结果表明，这些方法都比同阶的传统广角光束传输法具有更高的精度， 并且没有增加计算时间，对优化现有光波导仿真软件具有一定的参考价值。 关键词：有限差分光束传输法，广角有限差分光束传输法，波导仿真，平方根算子 a b s t r a c t a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fi n t e g r a t e do p t i c s ，a l lk i n d so fo p t i c a lw a v eg u i d ed e v i c e s w i t hd i f f e r e n tf u n c t i o na n ds t r u c t u r eh a v ea p p e a r e d d e s i g n i n gaw a v eg u i d ew i t hc a d m e t h o dc a nn o to n l ys a v et i m eb u ta l s oa n a l y z et h ec h a r a c t e r so fi t t h e nn u m e r i c a l a l g o r i t h ma r eu s e dt oa n a l y z ei n t e g r a t e do p t i c a lw a v eg u i d e ，b e a mp r o p a g a t i o nm e t h o d ( b p m ) i sag o o dm e t h o dw h i c hi sw i d e l yu s e di nt h es t u d yo f 鲥d e dw a v eo p t i c sa n d t h em o d ep r o p e r t i e so fo p t i c a lf i b e r sl a r g e l yo w i n gt oi t sn u m e r i c a ls p e e da n ds i m p l i c i t y m a n yw a v eg u i d es i m u l a t i o ns o f t w a r eu s i n gb p m h a v ea p p e a r e dn o w , s oi t si m p o r t a n t t os t u d yt h es o u l c cc o d et oi m p r o v et h es o f t w a r e f i n i t ed i f f e r e n c eb e a mp r o p a g a t i o n m e t h o d ( f d b p i v l ) i si n t r o d u c e d ；t w on e ww i d e a n g l e f i n i t ed i f f e r e n c eb e a m p r o p a g a t i o nm e t h o d s ( w a - f d b p m ) a r ep r e s e n t e dt oi m p r o v eo np r e c i s i o n s t a r tw i t hi n t r o d u c i n gt h ep r e s e n ts i t u a t i o na n dd e v e l o p m e n to fb p m ，t h i st h e s i s l a b o r sb p mw h i c hh a sb e e np e r f o r m e db ys o l v i n gt h eh e l m h o l t ze q u a t i o nu n d e rt h e p a r a x i a la p p r o x i m a t i o na n dw i d e - a n g l ea p p r o x i m a t i o n b a s e d o ns l o w l y v a r y i n g e n v e l o pa p p r o x i m a t i o n ，f i n i t ed i f f e r e n c ee q u a t i o ni su s e dt or e p l a c ep a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n t h i st h e s i sd e r i v e dt h ef o r m u l an e e d e di nc a l c u l a t i n gs c a l a rt w oa n dt h r e e d i m e n s i o n a lf d b p ms y s t e m a t i c a l l ya n db u i l tt h e o r e t i c a lm o d e l o nt h ef o u n d a t i o no f t h et h e o r e t i c a lm o d e l ，t h i st h e s i se x e r tt h em a t r i xf u n c t i o no fm a t l a b ，c o m p l e t e dt h e p r o g r a mo fa l t e r n a t i n gd i r e c t i o ni m p l i c i tb e a mp r o p a g a t i o nm e t h o dw h i c hi su s e dt o s i m u l a t et h r e ed i m e n s i o n a lyb r a n c hw a v eg u i d e t h er e s u l t so fd i r e c t i o n a lc o u p l e r s i m u l a t i o nu s i n gs c a l a rt w oa n dt h r e ed i m e n s i o n a lf d b p ma r ee x a c t l yt h es a m ew h i c h p r o v et h ec o r r e c t n e s so ft h ep r o g r a m , b e s i d e s ，t h et h e s i sa n a l y z et h ei n f l u e n c eo ft h e n u m b e ro f 酣dp o i n t so na l g o r i t h mp r e c i s i o n a f t e ri n t r o d u c i n gt h ef o r m u l au s e di nw a - f d b p m ，b o t hp a r a x i a la p p r o x i m a t i o n a n dw i d e a n g l ea p p r o x i m a t i o na l g o r i t h ma r cs i m u l a t e db ym a t l a bu s i n ga no b l i q u e w a v eg u i d e f r o mt h er e s u l t ，w ec a ns e ew a f d b p mi si m p r o v e do np r e c i s i o n f o r t h ep u r p o s et oo b t a i nh i g h e rp r e c i s i o na n ds h o r t e rc a l c u l a t i o nt i m e ，t w ot r i a lm e t h o d s w h i c he x p a n df r o mt h es q u a r er o o to p e r a t o rf o rw a f d - b p ma r ep m p o s e d ，a n dt h e i l a b s t r a c t n u m e r i c a ls i m u l a t i o n ss h o wt h a tt h ec o e f f i c i e n t so ft h o s en e ws e c o n do r d e rf o r m u l a sa r e m o r ep r e c i s et h a nt h a to ft h ec o n v e n t i o n a lo n ew h i l et h ec a l c u l a t i o nt i m ei s n tc h a n g e i t si m p o r t a n tt oi m p r o v et h ew a v e g u i d es i m u l a t i o ns o f t w a r e k e y w o r d ：f i n i t ed i f f e r e n c eb e a mp r o p a g a t i o nm e t h o d ，w i d e a n g l ef i n i t ed i f f e r e n c e b e a mp r o p a g a t i o nm e t h o d ，w a v eg u i d es i m u l a t i o n , s q u a r er o o to p e r a t o r i i i 缩略语列表 e i m b p m f d t d m f d b p m f f t f e 。b p m w a f d b p m t b c a b c p m l 缩略语列表 e f f e c t i v ei n d e xm e t h o d b e a mp r o p a g a t i o nm e t h o d f i n i t ed i f f e r e n c et u n ed o m f i n m e t h o d f i n i t ed i f f e r e n c eb e a mp r o p a g a t i o n m e t h o d f a s tf o u r i e rt r a n s f e r f i n i t ee l e m e mb e a mp r o p a g a t i o n m e t h o d w i d ea n g l ef i n i t ed i f f e r e n c e b e a mp r o p a g a t i o nm e t h o d t r a n s p a r e n tb o u n d a r yc o n d i t i o n a b s o r b i n gb o u n d a r yc o n d i t i o n p e r f e c t l ym a t c h e dl a y e r i x 有效折射率法 光束传输算法 时域有限差分法 有限差分光束传输法 快速傅立叶变换 有限元光束传输法 广角有限差分光束传输法 透明边界条件 吸收边界条件 完全匹配层 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 繇一一篮犁吼励g 年( 肌日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名：导师签名： 第一章绪论 1 1 集成光波导简介 第一章绪论 在光通信中集成光学是一个重要的分支，光波导作为集成光学器件中一种最基 本的元件有着十分重要的研究价值。光波导器件是靠芯层与包层折射率及结构上 的微小差异来实现其各种功能的。随着工艺水平的不断提高，现在可以实现的器 件截面结构以及折射率分布情况越来越复杂，这一方面满足了应用需求，但是同 时也给器件的设计带来了很大的困难，许多器件无法使用解析模型给予准确的描 述。使用计算机辅助手段，对光波导进行数值分析，可以直观有效的实现器件的 模拟，对光波导的设计起着重要作用。 在实际工作中，有效折射率法【l l ( e i m ) 、光束传输法【2 3 1 ( b e a mp r o p a g a t i o n m e t h o d ) 、时域有限差分法【4 】( f d t d m ) 等都有效的应用于光学器件的模拟与计 算。相比之下，时域有限差分法对计算机要求的内存和c p u 运算能力要求较高， 光束传输法的长处在于其简单有效、易用于复杂器件，部分或者全部使用b p m 方 法设计并可以实验证实的器件包括：光开关，新型y 分支结构 5 , 6 1 ，光延迟线，耦 合器【7 】等。由于光束传输法简单方便、计算速度快，准确性高，在现在的光波导数 值分析中，是主要的方法之一。 早期的光束传输法是利用分裂算子法和快速傅立叶变换技术建立了二维和三 维的算法，但是这种f f t - b p m 算法只能处理弱波导，并且这种方法收敛性差，只 能取较小的传播方向步长，极浪费时间。之后c h u n g 等人以有限元和变分理论为 依据，利用有限差分技术建立了一种新的二维有限差分光束传输法【s j ，这种算法在 收敛性、运算速度以及精度上有了很大提高，可以处理折射率突变的情况。后来 他们又实现了三维有限差分光束传输法。对于折射率分布较为复杂的情况，当部 分区域的折射率低于基底折射率时，并且折射率较小，可以求出有效折射率，但 是当折射率较大时，这种等效会引入很大的误差，于是不能便利的用有效折射率 法来将三维的问题转变n - 维。对于后者，只能利用三维的光束传输法来对光波 导进行分析。三维标量f d b p m 方法已经提出，并且成为高价商品，国外公司为 了获取利益，出售光波导分析软件但是不提供源代码，因此研究源代码成为开发 电子科技大学硕士学位论文 和推进分析波导软件的必经之路。 另外，光束传输法根据光束传播方向和计算方向的夹角不同情况，可以分为傍 轴近似和广角光束传输法。传统的二维以及三维标量f d b p m 算法都是基于傍轴 近似的基础上，而对于广角光束传输法，很多文献中提出了不同变型：l a n c z o s 矢 量光束传输法1 9 1 是利用本征函数展开的光束传输法，以及使用p a d 6 近似算子【1 o 1 1 】 的光束传输法。但是l a n c z o s 的方法已经被发现收敛性上有很大的问题。因此，现 在常用的是改进后的基于p a d 6 近似算子的光束传输法，该方法简单、方便，同之 前的傍轴光束传输法相比，在几乎不增加计算量的情况下，使计算精度、稳定性 有很大的提高。如何进一步提高广角光束传输法的精度成为近年来光波导仿真算 法研究领域颇为关注的问题之一。 1 2 常见的光束传输法介绍 对光波导的分析有两种方法：解析法和数值方法。虽然解析法可以计算出精确 的数值结果，但是对于光波导复杂的结构，只有少量波导可以通过解析法得到表 达式，因此更多波导分析应用数值法。光束传输法就是一种被广泛应用到光波导 仿真中的数值方法。光束传输法最早f l e c k 等人于1 9 7 8 年提出，当时是为了模拟 大气中的激光传输，不久之后他们就将光束传输法应用到计算波导中的光传输上 了，现在被广泛的应用到无源波导器件和光纤【1 2 】中的模式特性分析中，并且逐渐 发展了很多计算方法。 1 ) 快速傅立叶变换光束传输法( f f t - b p m ) 最初的光束传输法都是基于快速傅立叶变换，称为快速傅立叶变换光束传输法 0 2 1 ( f a s t 。f o u r i e rt r a n s f o r i l lb e a mp r o p a g a t i o nm e t h o d ，简称f f t - b p m ) 。由于 f f t - b p m 源于标量波动方程，因此只能得到标量场( 即只处理一个极化分量) ，不 能分辨出场的不同极化( t e 模或t m 模) 以及场之间的耦合。f f t - b p m 所采用的 网格是等间隔的，所以在处理劈形、弯曲波导时不适合，若采用，需要网格数量 够多才能达到一定的精度要求。但是f f t - b p m 比较简单，在处理平板波导时，精 度足够，速度也比较快。f f t - b p m 已经被用于分析光栅、非均匀介质，还可以被 用于分析二阶线性波导。f f t - b p m 由于处理复杂波导时效率低、精度差，所以这 方面的应用现在很少，还在研究之中。 2 ) 有限元光束传输法【l3 】( f e b p m ) 2 第一章绪论 f e - b p m 的计算过程为：波导横截面被分为很多个三角形( 元) ，在每一元内 的场用多项式来表达，然后加入不同元间场的连续条件，就可以得到整个横截面 的场分布情况。f e b p m 采用的是不规则的节点元，这样在处理复杂几何曲面( 如 弯曲波导、劈形波导) 时，它比f f t - b p m 采用的方格有效得多。但是由于很难得 到f e b p m 的矢量公式，所以很少使用这种方法来计算三维波导。f e b p m 的优 点是在设置分析元的大小以及形状的时候很方便。因此，矩阵的维数小，计算时 间少。f e b p m 在p a d 6 近似下，即使在大角度光线传输下，也可以不增加计算量， 而得到准确的结果。 3 ) 有限差分光束传输法( f d b p m ) 由于f f t - b p m 存在诸多缺点，促使y e v i e k 等人在1 9 8 9 年提出了新方法：有 限差分光束传输法【1 4 】( f d b p m ) 。f d b p m 就是把波导横截面被分为很多方格， 在每一个格内用差分方程来表示，然后加入边界条件，就可以得到整个横截面的 场分布，重复前面的步骤，最后可以得到整个波导中的场分布。 这种方法已经被成功的应用于分析y 分支波导以及弯曲波导中的光传输，且 对于损耗得到了准确的结果。f d b p m 还被应用于分析条形波导、三维弯曲波导 【1 5 1 、二阶非线性效应【1 6 ，1 刀以及有源器件。在f d b p m 中，传播就是解有限差分方 程，由于而y 极化边界条件可以被合并到f d b p m 方程中，f d b p m 可以是半矢 量( 即可处理一个极化分量与纵向分量) 。在处理极化问题上，它比f f t - b p m 好， 可以分辨出t e 、t m 模。在处理弯曲波导时，为了模拟光传输，可以用二维圆柱 坐标的标量场来分析。这种方法不仅体现了在靠近介质界面处的极化特性，而且 很准确的模拟了在半径很小的情况下的波传输。可以很准确的估计散射损耗与传 播损耗，优化波导结构。 f d b p m 将隐式差分格式应用于基于缓变包络近似【1 8 】的亥姆霍兹方程，得到的 方程是无条件稳定的。由于该算法在计算过程中涉及的矩阵是三对角矩阵，可以 通过优化算法大大降低算法所需的计算机存储量和计算时问，而且由于该算法是 在c r a n k - n i c h o l s o n 条件下离散化的，因此该算法无条件稳定，从而可以选用较大 的纵向的步长。由于之前的算法都是以傍轴为前提条件，直到广角光束传输法 ( w i d e a n g l ef d b p m ) 1 9 ，2 0 】的提出，使得f d b p m 逐渐摆脱了傍轴的束缚。半矢量 光束传输法( s e m i v e c t o rf d b p m ) 1 2 1 2 2 1 、全矢量光束传输法1 2 3 2 4 l ( f u l l v e c t o r f d b p m ) 的提出，使f d b p m 可以分析各种耦合问题。f d b p m 己经成为光波导 3 电子科技大学硕士学位论文 分析中一种重要的仿真方法。 1 3 本文的工作 本文对二维标量有限差分光束传输法( f d b p m ) 原理进行了详细的推导，计算 出了二维标量f d b p m 的理论模型，详细推导了边界条件以及添加边界条件之后 的方程求解过程。分析了二维标量有限差分光束传输法在二维结构y 分支波导中 的应用，模拟出了y 分支波导的光场传播图。 从波动方程入手，利用有限差分近似来代替偏微分方程，推出了标量三维有限 差分光束传输法所需要的方程。给出了标量三维有限差分光束传输法的理论模型。 在此模型的基础上，我们充分地运用m a t l a b 的矩阵运算功能，成功地编写了交 替方向隐式光束传输法( a d i b p m ) 程序，利用此算法来模拟y 分支波导中的光 传播情况。接着分别用二维和三维光束传输法来模拟定向耦合器，验证了二维及 三维算法程序的正确性，对模拟结果进行分析比较，讨论了传播过程中耦合率的 变化以及网格点数对算法精度的影响。 另外，本文对于传统的广角光束传输法也作了理论推导，并且以斜直波导为例， 同时用广角和傍轴光束传输法对其进行模拟。对波动方程中平方根算子进行了分 析，并运用了一些试探性的展开方法对平方根算子进行处理，得到了两种二阶广 角光束传输法计算公式，用三种方法对y 分支波导进行模拟，得到的结果表明这 些公式比传统广角光束传输法的二阶计算公式有更高的精度。这个改进的广角光 束传输法对优化现有光波导仿真软件具有一定的参考价值。 4 第二章光束传输法基础 2 1 概述 第二章光束传输法基础 光束传输法主要用于模拟光在光波导中的传播情况。光波导是一种能够将光波 限制在其内部或者表面附近，引导光波沿确定方向传播的几何结构。光波导在光 波导器件和集成光路中限制和传导光，进而来传输光信号。不管什么类型的光波 导，都是由一个折射率相对高的区域，与其周围折射率相对低的区域组成，将光 波限制在其中进行传播【2 5 j 。 介质平板波导图2 1 所示，它由三层组成，中间一层是折射率为抛的波导薄膜 层，下面是折射率为哟的衬底层，波导薄膜上面是折射率为嚣l 的覆盖层。薄膜的 厚度一般为微米数量级，可与光波波长相比较。波导薄膜层对光有较高的折射率， 要构成波导，要求沈大于珂l 和哟，另外因为某些光波之间会发生相消干涉，造成 导波出现轴向不均匀，因而要使波导中传播均匀导波，还必须满足横向相位匹配 条件。 工 牟v l + ， 图2 - 1 介质平板波导结构 在平板光波导中，光沿着z 方向传播。如果光只在一个方向受到限制，即折射 率只在x 方向发生变化，波导的形状与结构均与y 无关，这种波导称为平板光波导： 如果光在x 和y 方向均受到限制，即折射率在x 和y 方向均发生变化，这种波导称 为三维光波导，其结构有多种，从截面看来，有凸条形，掩埋形，脊形等【2 6 】。 光束传输法最初是用来模拟激光在大气中的传播【2 7 1 ，后来进一步将此方法运用 到光纤研究中，并逐渐发展出很多计算方法。光束传输方法是处理光波在非均匀 介质中传播的重要方法之一，是目前光波导器件研究与设计领域最流行的方法， 也是最适合开发通用光波导器件c a d 软件【2 8 】的方法。其基本思想是将入射光束沿 气 电子科技大学硕士学位论文 传播方向，将所要传播的距离分成若干个步长h ，光在每个步长h 中的传播都先看 成是在均匀介质中的传播，通过第，步的场的分布，得出第l + l 步的场的分布， 如图2 2 所示。步长可以等长，也可以根据实际要求进行变步长的模拟计算。 材，+ ， 图2 - 2 光束传输法的基本原理 光束传输法从标量或矢量波动方程出发，可以通过如快速傅立叶变换、有限元、 有限差分法等多种方法给出数值计算模型。与其他光波导仿真方法不同的是，光 束传播法同时处理波导模和辐射模，描述的是整个介质上( 包括波导区和非波导区) 的场分布。 2 2 波动方程 在线性、均匀、非磁性无源媒质的中，m a x w e l i 方程组司写为 f v e j 毗日 lv h = i 国占e v 日：j ( 2 - 1 ) 【v e ：o 式中，晟t t 分别是电场强度矢量和磁场强度矢量，c o = 2 7 c f 是角频率，厂是波的频率， o = 4 兀1 0 刁h m 是真空磁导率，e * = e o e ，是介电常数，9 0 是真空中介电常数，r 是相 对介电常数。将( 2 1 ) 式中前两式在直角坐标中展开为分量形式 孕一冬：一j 以 o y 叱 ( 2 2 ) 堡o z 一堡o x2 一j 幽。髟 ( 2 3 ) 。， r ， 、 6 第二章光束传输法基础 誓一誓= _ j 皿 ( 2 - 4 ) 冬一譬咖s e ( 2 - 5 ) 堡一丝：j 缈s e ，( 2 - 6 ) o z0 x 。 7 堡一_ a h , ：j 彩s 巨( 2 - 7 ) 0 x办 2 2 2 1 波动方程的二维形式 先考虑二维t e 模的倍况，如图2 - 3 所示，t e 模场分量对y 的偏导数为零，工 向和z 向的电场分量为零，y 向的磁场分量为零，即 旦= 0 ，e = e = 日，= 0 (28)o y 31 3 衬底 图2 - 3 二维波导的t e 模场分量 将( 2 8 ) 式代入( 2 - 2 ) r ( 2 7 ) 式，则在直角坐标系中i e 模的力程为 一拿：一j 毗致 孕：一j 掣。哆 a h 。a h ， ， 。 一彳2j 彩s 己y o z c ( 2 9 ) ( 2 一l o ) ( 2 - 1 1 ) 将( 2 9 ) 式和( 2 1 0 ) 式中的母分别表示成风和h z 的函数，并代入式( 2 - 1 1 ) 中得到 7 电子科技大学硕士学位论文 磐+ c 匀2 e ：y 坛。e ：o (2-12)3x 2 。3 2 2 。i 0 。r a 。y 。 、。7 式中，瑶= f _ d 2 岛硒。同理，若光波导的折射率满足在传播方向上即z 方向缓慢变 化，即孕0 ，则可推导出t e 模方程用皿表示为 等+ 粤+ 瑶q 以：o ( 2 - 1 3 ) a ) c |a z 2 ”1 从后面对b p m 的分析可知，上述近似关系在光波导仿真中是满足的。 再考虑二维t m 模情况，如图2 _ 4 所示，t m 模场分量对y 的偏导数为零，x 向和z 向的磁场分量为零，y 向的电场分量为零，即 昙= o ，q = 皿= e ，= o ( 2 1 4 ) 衬底 将( 2 - 1 4 ) 式代入( 2 - 2 ) 式( 2 7 ) 式，则在直角坐标系中t m 模的方程为 堡一堡=一jco,uo-y3zi g x 一孕：j c o e - o e , g 警= j 缈s o g e ： ( 2 一1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 将式( 2 一1 6 ) 和式( 2 1 7 ) 中的马分别表示成最和最的函数，并代入式( 2 1 5 ) ，同样利 用近似关系式o e r 0 得到 等+ 。采等h 鼻q = 。( 2 - 1 8 ，玄+ 0 瓦【i 1 j + 符鼻月y 2 0 ) 8 第二章光束传输法基础 同理，可推导出t m 模方程用e 表示为 等+ 采丢( 删 椎 a z 2 苏【占绌广纠j 旷7 利用介质折射率刀与相对介电常数e r 的关系n 2 = g r ，重写( 2 1 2 ) 为 等+ 等嘞z 髟：。 a x z 龙。 。 ， ( 2 - 1 9 ) ( 2 - 2 0 ) 根据缓变包络近似( s l o w l yv a r y i n ge n v e l o pa p p r o x i m a t i o n , s v e a ) ，, - ip a 将光 波的表达形式分解为缓变包络函数( x ，y ，z ) 和缓变包络( - j f l z ) 部分，即 日( x ，y ，z ) = ( x ，y ，z ) e x p ( - j f lz ) ( 2 - 2 1 ) z 图2 - 5 包珞函效不葸图 式中，夕= ，玎。行为参考折射率，通常其值为有效折射率，为真空中的波数。 毋对z 的二阶偏导数可表示为 等= 窘e x p ( - j 脚- 2 j 夕老e x p ( 邢垆2 # e x p ( - j f l z ) ( 2 - 2 2 ) 将式( 2 2 1 ) 代入式( 2 - 2 0 ) ，并结合式( 2 - 2 2 ) ，可得到 髻- 2 j 警+ 窘删 们倒 ( 2 - 2 3 ) 或 2 j 薯一警= 等瑚 埘 ( 2 - 2 4 ) 9 皇至型垫奎堂堡主堂垡垒茎 一一 如果包络函数矽随z 的变化足够缓慢即傍轴近似方法，在得害。，( 2 - 2 4 ) 式可写 2 j 老= 等+ 瑶一略) 矽 凹) 对于t m 模式，基本常分量为马，利用介质折射率聆与相对介电常数r 的关系 甩2 ，重写为 娶+ 玎2 j 01 1 o h , ) o z + 藤栉2 q = 。 z i 。 考虑缓变包络近似，马可以沿z 向分成缓变包络函数( x ，y ，z ) 部分和快变振荡周期 e x p ( - j p z ) 部分，即 q ( x ，y ，z ) = ( x ，y ，z ) e x p ( 一j p z ) ( 2 - 2 7 ) 将( 2 2 7 ) 式代入( 2 2 6 ) 式，等号两边同时略去e x p ( - j f l z ) 项，整理后得到 2 j 卢警一窘= 聆2 昙( 吉警) + 瑶( n 2 一略) ( 2 - 2 8 ) 如果包络函数随z 的变化足够缓慢，使得警o ，( 2 2 8 ) 式可重写为 2 j 警= 力2 昙( 吉尝) + 磅( 玎2 一略) ( 2 - 2 9 ) 2 2 2 波动方程的三维形式 由( 2 1 ) 式m a x 、c n 方程可得电场f 所满足的矢量波动方程为 v z e + v r 堕露1 + 爵q e ：o ( 2 。3 0 ) 6 ， 若折射率在z 方向无变化，相对介电常数对z 的偏导数为0 ，即鼍= 0 ，则式( 2 。3 0 ) 中第二项可写为 v 降e = v ( 卷e + 去等b ) 将式( 2 3 1 ) 代入式( 2 3 0 ) ，同时把电场分为x 分量和少分量，式( 2 3 1 ) 可变为如下 两式 第二章光束传输法基础 由于 和 等+ 昙b 鼍寸等+ 等+ 瑶。t + 昙b 等毛 - o 陋3 2 ， 等+ 粜等弓 + 等+ a 2 e y 她+ 如芸巨 引2 弼， 丢传昙c 硼) - 等+ 采鲁叫 陋3 4 ， 导传导c 例) _ 等坝a ( 丽1a 叫 采丢( 删卜等+ 等盹巨+ 孤0 f ，1 0 砂占, e ，) _ 0 p 3 6 ， 和 等+ 采茜( 训心c ：3 2 e y 侬髟+ 船鲁巨 - o p 3 7 ， 若用磁场分量表示矢量波动方程，可写为 等+ 船等) + 等镌z + 毒号警= 。 p 3 8 ， 和 船警 + 等+ 等椎以+ 毒等等= 。 p 3 9 ， 式( 2 3 6 广( 2 3 9 ) 式即为矢量波动方程。若忽略其中晟和母、以及风和耳之间的 相互作用项可写为半矢量波动方程 丢传昙( 圳 + 等+ 等椎删 等+ 砥o jl 砂a ( 圳等椎删 ( 2 - 4 ) 电子科技大学硕士学位论文 等+ e 品怯警 + 等椎以= 。( 2 - 4 2 )玄鸲万l i 亏j + 玄瞒删j 刊 。如警 + 可8 2 - , , + 8 2 h y 碍马= 。 ( 2 4 3 ) 在式( 2 4 0 ) 、( 2 - 4 1 ) 的基础上，根据缓变包络近似即式( 2 2 1 ) ，如果介电常数在x 和 y 方向变化缓慢，可以从微分号内提出。于是得到t e 模波动方程包络函数的三维 标量形式有 塑0 2 2 - 2 j 警+ 害+ 窘+ ( 彬舻。 ( 2 - 4 4 ) t m 模波动方程包络函数的三维标量形式为 窘艳，+ 吉警+ 窘+ 等+ c 鬈 2 + ，p 去鲁胪。c 2 彤， 2 3 有效折射率法 有效折射率法( e f f e c t i v ei n d e xm e t h o d ，e i m ) 属于一种近似的解法，可以用 来简化脊形、条形或者掩埋形等三维波导结构的光波导。如图2 - 6 所示，这样可以 将在x ，少方向均受到限制的三维波导简化为只在x 方向受限制的二维波导，然后 根据二维光束传输法，就可以得到光波导中光的传输情况。 图2 - 6 脊形波导结构截面图 首先可以将这种三维波导简化为几个纵向折射率变化的二维结构，然后分别求 出各个区域的有效折射率( 或者称等效折射率) ，再将所得到的有效折射率投影到 横向的轴上，构成一个虚拟的二维结构。 1 2 第二章光束传输法基础 刀j 砌 乃 丝巴 图2 7 三个独立的二维结构 n e f f i 丝 m 乃 竺五 ，f f 3 引入n c f f i 、n e f f 2 和r e f t 3 分别为图2 8 的三个独立平板波导计算出来的有效折射 率。现在以第一个等效平板波导为例，详细说明如何得到有效折射率n 。f n 。 由 e f f l = ，他 伤啊，可以得到平板波导t e 模式本征方程为2 6 1 ) 2 巧p + q ( 2 - 4 6 ) 其中k 表示波导层中导波的横向相位常数，q 和p 分别是覆盖层和衬底中导波的振 幅衰减系数，三者都是1 3 的函数，h 为x 方向计算窗i ：1 。 方程( 2 - 4 6 ) 还可以写成 ( k 2 - q p ) s i n ( k h ) - ( k p + q k ) e o s ( k h ) = 0 ( 2 - 4 7 ) 同理，由t m 模的本征方程可以得到 ( 碍彳忌2 - n ；p q ) s i n ( k h ) 一七( 砰p + 碍g ) c o s ( 砌) = o ( 2 4 8 ) 式中 k = ( 2 伤2 一2 ) 1 胆= 七。( 一喀。) 2 ( 2 - 4 9 ) p = ( 2 一瑶) 2 = ( ，z 矗一芬) 2( 2 - 5 0 ) 1 3 电子科技大学硕士学位论文 q = ( 2 一砖彳) 2 = k o ( n 翥一彳) “2 ( 2 - 5 1 ) 求解出t e 模和t m 模的本征方程就是求解本征方程( 2 4 7 ) 和方程( 2 - 4 8 ) 中的n e f f l ， 其计算的流程图为图2 - 9 其中a 为每次迭代前后有效折射率产生的差，为有效折 射率允许的最大误差。 图2 - 9 求解有效折射率的流程图 用编写的程序计算出波导中的有效折射率，求出传播常数，就可以得到波导中 1 4 第二章光束传输法基础 的光波模式。表2 1 给出了计算传播常数而设定的计算常数和平板波导的结构参数 以及求解出来的传播常数。 表2 - 1 平板波导的结构参数和计算参数 实线代表的波导 虚线代表的波导 覆盖层折射率玎l 1 8 1 5 7 波导层折射率境 1 91 6 衬底折射率玎3 1 8 51 5 7 波长 1 5 5l a i n 1 i , t m 计算窗口 81 t m8l a , m 计算步长( 缸) 0 0 11 t m 0 0 1 n 有效折射率 1 8 9 01 5 9 5 图2 1 0 是相应的介质平板波导t e 基模场分布图。这个结果可以作为输入波导 的初始光波。从图中可以看出，传播常数受到折射率影响，有效折射率和实际波 导层折射率略有差异。 图2 1 0t e 基模输入光波沿z 方向传播的光场分布 1 5 电子科技大学硕士学位论文 第三章二维及三维有限差分光束传输法 3 1 二维f d b p m 的基本原理 3 1 1t e 模的f d b p m 格式 对于波动方程的处理方法可以分为傍轴近似和广角近似两种，首先以上一章推 导出的二维波动方程为基础，分析较简单的情况，假定光束是沿z 轴方向传播，阐 述在傍轴近似中使用有限差分的光束传输法数值方法，即有限差分光束传输法 ( f d b p m ) 。 有限差分光束传输法的简要过程为：波导横截面被分为很多个方格，在每个方 格内的场用差分方程来表示，然后加入边界条件，就可以得到整个横截面的场分 布，重复前面的步骤，通过逐步迭代计算最后可以得到整个波导中的场分布。 为了获得可求解的方程组，可用有限差分对波动方程( 2 2 5 ) 进行网格离散化。 若x 和z 方向的离散步长分别为缸和& ，则离散化方程为 x = m a x z = l a z 计算的网格示意图如图3 - 1 所示 图3 1 差分网格示意图 式中，m 和z 均为正整数，包络函数和光波导的折射率可表示为 1 6 ( 3 - 1 ) ( 3 2 ) 第三章二维及三维有限差分光束传输法 矽黑寸呼 ( 3 3 ) 胛【x ，z ) - 9 吃 下一步对式( 2 2 5 ) 离i r g ，先对z 方向离散化，等号右边第一项可用差分格式表示 为 髻= 皆a x ) 仔4 ， 苏2( 2 、 等号右边第二项用差分格式表示为 碍( ，1 2 一2 ) = 碍【( ) 2 一略】丸( 3 - 5 ) 将( 3 - 4 ) 式和( 3 5 ) 式代入( 2 - 2 5 ) 式，可得 2 j 哮= 警蝴( 蝴丸 ( 3 6 ) 整理可得 2 j 哮= 击+ _ 击砌劬卜+ 丽i “( 3 - 7 ) 在1 + 1 2 处对( 3 7 ) 式在z 方向离散化，其差分格式可表示为 2 ，掣= 志华 + 啬蝴c 华2 确 华仔8 ， 。1 站+ 以， ( 血) 2 2 使等号左边包含所有的l + l 项，等号右边包含所有的z 项，并对折射率作近似 处理，萤写匕式为 一堪妲一f 碟1 一掣，站1 一。塌 幺巾每以。：以 。9 式中 口：一。= l ，i = l ，醵= 之+ 碍( 缸) 2 ( 兹) 2 一略 ，( f = z ，+ 1 ) ( 3 - 1 0 ) 1 7 电子科技大学硕士学位论文 ( 3 9 ) 式& 为二维t e 模b p m 的有限差分格式。 3 1 2t m 模的f d b p m 格式 为了获得可求解的方程组，可用有限差分对( 2 2 9 ) 进行离散化。若x 和z 方向 的离散步长分别为a x 和a z ，则离散化方程为 x = m a x ( 3 1 1 ) z = i a z ( 3 - 1 2 ) 式中，m 和，均为正整数，包络函数和光波导的折射率可表示为 认n ( 絮x - - - y 笼 p ，z ) 吃 。 下一步对f r c s n e l 方程( 2 2 9 ) 式离散化，先对x 方向离散化，等号右边第一项可用 差分格式表示为 聆2 昙( 矧2 茜 d 旨 一 南+ 南卜 p + 南靠- ( + 一。) ”。j 等号右边第二项用差分格式表示为 砖0 2 一恢2 行) = 瑶【( ) 2 - 4 】九 ( 3 1 5 ) 将( 3 1 4 ) 式和( 3 1 5 ) 式代入( 2 2 9 ) 式，可得 2 ，哮2 赤“ 一 i + 百焉一碍c 一，z 备， 九c 3 一t 6 ， + 丽赫“ 对( 3 - 1 6 ) 式在z 方向离散化，其差分格式可表示为 第三章二维及三维有限差分光束传输法 2 ，掣= 研一华弋丽