（固体力学专业论文）波传播的单位分解有限元法.pdf

摘要摘要弹性波传播问题的研究在许多科学和技术领域都有着广泛的应用。例如：通过研究弹性波传播中的衍射现象来解释和研究结构中的动应力集中问题；通过研究真实或人工地震产生的波动以了解地球的内部结构；通过研究地下间断的反射波可以大概地知道可能含油的地层；对材料和结构进行无损探伤；在土木工程领域对地基和地下建筑进行强度和结构分析；在医学上对人体物理信息探测所使用的最普遍的b 超和c t等等都与弹性波传播理论有着密切的关系。有限单元法是求解波传播问题的主要数值方法之一。虽然它有很多优点，并成功地模拟了很多波传播问题，但同样存在许多不足之处。事实上，z i e n k i e w i c z 把短波问题的数值模拟视为有限元法尚未解决的两个主要问题之一。例如，为使结果达到可接受的程度，一般说来低阶的有限单元每个波长需要至少布置1 0 个节点。由此导致计算时需要的内存较大，耗时较多，计算效率低下。并且，低阶的有限单元有比较严重的频散特性，高阶的有限单元则可能产生虚假的波动。单位分解有限元法( p u f e m ) 是近十年来发展起来的数值方法，它使得有限元插值空间中可以包含所求问题解的已知解析信息。因此它可以胜任许多传统有限元方法不能处理得很好或者需要非常大计算量的问题。本文首先回顾了p u f e m 的理论基础和现有工作，然后针对传统有限元法模拟短波传播问题的严重局限性，利用p u f e m 插值空间中可包含所求问题解的己知信息的特点，主要进行了以下工作：1 首次发展了一种用于瞬态弹性波传播数值模拟的单位分解有限元模型，有限元空间由形成单位分解的标准有限单元形函数乘以定义为局部子空间基函数的简谐振荡形函数构成。2 针对p u f e m 单元矩阵中的被积函数具有强烈的振荡特性，应用直角坐标下的标准有限元形函数和单元内的波动方向知识提出了一种新的单元矩阵解析积分方案。3 将p u f e m 应用于反平面剪切波的传播和散射问题中。对已知波传播方向时单位分解有限元如何选择局部子空间中的波数七给出了建议。4 在z i e n k i e w i c z 和s h i o m i 的用于高速动力过程分析的饱和多孔介质广义b i o t 理论1 1 一u 公式的基础上，推导和建立了基于p u f e m 的饱和多孔介质动力问题的离散方程。5 在大型通用有限元分析程序l a g a m i n e 的框架下，编制了用于二维波传播数值模拟的p u f e m 程序。数值例题显示在相同精度下，p u f e m 的计算效率明显高于传统的有限元法。解析积分在计算效率上也比高斯一勒让德数值积分有大幅度的提高。各章的内容安排如下：第一章首先对有限差分法、伪谱法、有限元法、无限元法、边界元法、谱单元法和格子法等各种用于波传播的数值方法做了简单的回顾，接下来着重介绍了以单位分摘要解为基础的p u f e m 的发展历程和最新进展，然后简单介绍了饱和多孔介质中的波传播研究现状。最后概述了本文的研究工作。第二章介绍p u f e m 的理论和应用。通过对传统有限元法逼近特性的讨论引入了p u f e m 的概念，介绍了该方法的数学基础，阐述了该方法与其它数值方法的关系，较详细地介绍了该方法在裂纹模拟和波传播方面的应用。第三章研究用于瞬态弹性波传播数值模拟的p u f e m 模型。以往的p u f e m 在波传播方面的工作都是针对稳态的标量波动问题。本章首先构造了用于瞬态波传播的单位分解有限元形函数。此形函数的形式使得本模型可像普通有限元一样简单地处理本征边界条件。此形函数的局部子空间中，不仅平面波方向角口是可以随意增减的，而且波数k 也可以根据需要选取多个。接下来对弹性动力方程进行了p u f e m 离散，给出了主要公式，说明了求解方程组的病态特性。最后给出了数值算例。第四章研究p u f e m 单元矩阵的解析积分。p u f e m 单元矩阵中的被积函数具有强烈的振荡特性，而大部分现有的数值积分过程在计算效率和计算精度上都还不能令人满意。本章应用直角坐标系下的标准有限元形函数和单元内的波动方向知识提出了一种新的单元矩阵解析积分方案，它对于平面三、四、六、八和九节点的直边单位分解有限单元是完全解析的，而对于相应的平面曲边单元则是半解析的。讨论了标准有限元形函数的构成，证明了标准有限元形函数的存在性，给出了解析积分的具体实现办法。最后的数值例题显示所提出的积分方案在计算效率上比高斯一勒让德数值积分有大幅度的提高。第五章研究p u f e m 应用于反平面剪切波的传播和散射，以及如何合理地选择局部子空间中的波数k 。对反平面剪切波方程进行了单位分解有限元离散，给出了形函数的形式。说明了若在局部简谐形函数子空间中波动方向口取为已知方向，而选取多个波数后，可以很大程度地减小有效刚度矩阵的条件数，甚至消除它的病态现象。通过一维问题对已知波传播方向时p u f e m 如何选择局部子空间中的波数k 进行了讨论。指出采用多个波数的p u f e m 不仅可以模拟特定波长的简谐波传播，而且也可以很好地模拟由不同波长的简谐波迭加而成的复杂波。最后给出了数值例题。第六章研究p u f e m 模拟饱和多孔介质中的瞬态波传播问题。首先给出了饱和多孔介质的基本概念。接下来回顾了z i e n k i e w i c z 和s h i o m i 的用于高速动力过程分析的饱和多孔介质广义b i o t 理论u u 公式。然后在该公式的基础上，推导和建立了基于p u f e m 的饱和多孔介质动力问题的离散方程，说明了方程中的相关参数。最后分别在不排水和排水条件下采用p u f e m 对饱和多孔介质中弹性波的传播进行了模拟。第七章给出了二维波传播数值模拟的p u f e m 程序说明。本文的程序是在大型通用有限元分析程序l a g a m i n e 的框架下编制的。在较少变动原有程序结构的情况下，i i摘要利用现有的程序，通过修改和添加相应的模块实现了p u f e m 对二维波传播的数值模拟。本章给出了主要子程序说明、程序流程图和数据格式及说明。第八章总结全文，并展望进一步的研究内容和工作。本文的工作是国家自然科学基金重点项目“含有液体的多孔介质在强动荷载作用下的力学行为”( 1 9 8 3 2 0 1o ) 和9 7 3 项目子课题“考虑功能蜕化的重大工程结构在地震作用下破坏过程模拟与控制方法”( 2 0 0 2 c b 4 1 2 7 0 9 ) 下的部分内容。关键词：波传播，瞬态分析，数值模拟，有限元法，单位分解有限元法，振荡函数解析积分，饱和多孔介质。a b s t r a c ta b s t r a c tt h et h e o r yo fe l a s t i cw a v ep r o p a g a t i o nc a nb ea p p l i e dt oav a r i e t yo ff i e l d so fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y , s u c ha sd y n a m i cs t r e s sc o n c e n t r a t i o ni nt h es t r u c t u r e ，e a r t h q u a k ei ns e i s m o l o g y , o i le x p l o r a t i o ni ng e o p h y s i c s ，n o n d e s t r u c t i v ee v a l u a t i o no fm a t e r i a l s ，s t r e n g t ha n ds t r u c t u r ea n a l y s i si nc i v i le n g i n e e r i n g c ti nm e d i c i n ee t c t h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o di so n eo ft h em o s te f f e c t i v en u m e r i c a lm e t h o d st os i m u l a t ew a v ep r o p a g a t i o np r o b l e m s b u tt h e r es t i l lh a v es o m eu n s o l v e dp r o b l e m s i n d e e dz i e n k i e w i c zr e g a r d e dt h en u m e r i c a ls i m u l a i o no ft h es h o r tw a v ep r o b l e ma so n eo ft h et w om a i nu n s o l v e dp r o b l e m so ff e m i ti sk n o w nt h a tt h ec h o i c eo fa r o u n dl0n o d np o i n t sp e rw a v e l e n g t hi su s u a l l yr e c o m m e n d e dt oo b t a i na na c c e p t a b l el e v e lo fa c c u r a c yi no r d e rt os o l v et h ee l a s t i cw a v ee q u a t i o n c o n s e q u e n t l y , t h i si s s u ep r e s e n t sas e v e r el i m i t a t i o no nt h ea p p l i c a t i o no ft h ef ep r o c e d u r et ot h en u m e r i c a ls i m u l a t i o no ft h es h o r tw a v ep r o b l e m si np r a c t i c es i n c et h ec o m p u t a t i o n a lt i m en e e d e di sp r o h i b i t i v e l ye x p e n s i v e i na d d i t i o n ，i tw a sr e p o r t e dt h a tl o w o r d e rf i n i t ee l e m e n t se x h i b i tp o o rd i s p e r s i o np r o p e r t i e s ，w h i l eh i g h e r o r d e rf i n i t ee l e m e n t sr a i s es o m et r o u b l e s o m ep r o b l e m sl i k et h eo c c u r r e n c eo f s p u r i o u sw a v e sp a r t i t i o no fu n i t yf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ( p u f e m ) ，w h i c hw a sd e v e l o p e da n ds t u d i e di nl a s td e c a d e ，h a st h ea b i l i t yt oi n c l u d eap r i o r ik n o w l e d g ea b o u tt h el o c a lb e h a v i o ro ft h es o l u t i o ni nt h ef i n i t ee l e m e n ts p a c e i te n a b l e su st oc o n s t r u c tf i n i t ee l e m e n ts p a c e st h a tp e r f o r mv e r yw e l li nc a s e sw h e r et h ec l a s s i c a lf i n i t ee l e m e n tm e t h o d sf a i lo ra r ep r o h i b i t i v e l ye x p e n s i v e i nt h ed i s s e r t a t i o n ，t h em a t h e m a t i c a lf o u n d a t i o na n dr e c e n tg o r ko fp u f e ma r er e v i e w e df i r s t l y t h e n p u f e mw a su s e dt os t u d yt h en u m e r i c a ls i m u l a t i o no fe l a s t i cw a v ep r o p a g a t i o na sf o l l o w s ( 1 ) ap u f e mm o d e li sd e v e l o p e df o rt h en u m e r i c a ls i m u l a t i o no ft r a n s i e n te l a s t i cw a v ep r o p a g a t i o n t h ef i n i t ee l e m e n ts p a c e sa r ec o n s t r u c t e db ym u l t i p l y i n gt h es t a n d a r df i n i t ee l e m e n ts h a p ef u n c t i o n s ，w h i c hf o r map a r t i t i o no fu n i t y , w i t ht h eh a r m o n i cs h a p ef u n c t i o n sd e f i n e da st h eb a s e so ft h es u b s p a c e s w h i c hc o n s i s to fas e to fp l a n ew a v e st r a v e l i n gi np r e s c r i b e dd i r e c t i o n s ( 2 ) as p e c i a li n t e g r a t i o ns c h e m e ，w h i c hi sa n a l y t i cf o rt h ed e m e n t sw i t hs t r a i g h te d g e sa n ds e m i - a n a l y t i cf o rt h ee l e m e n t sw i t hc u r v e de d g e s ，f o rc o m p u t i n ge l e m e n tm a t r i c e sw i t ht h eo s c i l l a t o r yn a t u r eo ft h ei n t e g r a n d si sd e v e l o p e d ( 3 ) t h ep u f e mm o d e lw a su s e dt os i m u l a t et h ew a v ep r o p a g a t i o na n ds c a t t e r i n gp r o b l e mo fa n t i p l a n ew a v e t h ep r o p e rc h o i c eo ft h ew a v en u m b e rki nt h es u b s p a c eo fd i s c r e t i z a t i o na p p r o x i m a t i o ni sd i s c u s s e dw h e nt h ed i r e c t i o n so fw a v ep r o p a g a t i o na r eva b s t r a c tk n o w n ( 4 ) ap u f e mm o d e li nt h ef r a m eo fg e n e r a l i z e db l o tu uf o r m u l a t i o n sp r o p o s e db yz i e n k i e w i c za n ds n o m ii sd e v e l o p e dt os i m u l a t et h ep r o b l e mo fw a v ep r o p a g a t i o ni nt h es a t u r a t e dp o r o u sm e d i aw h e nt h ef l u i di sc o m p r e s s i b l e ( 5 ) ap r o g r a mo fp u f e mw a sd e v e l o p e dt os i m u l a t et h ew a v ep r o p a g a t i o ni nt w od i m e n s i o n si nt h ef r a m e w o r ko fl a g a m i n e ，w h i c hi sag e n e r a lf e mc o d e t h er e s u l t so fn u m e r i c a le x a m p l e se x h i b i tt h a tp u f e mi sm o r ee f f i c i e n tt h a nf e ma n dt h ed e r i v e da n a l y t i ci n t e g r a t i o ns c h e m eu s e df o rp u f e ms a v e sag r e a td e a lo fc o m p u t a t i o n a lt i m ea sc o m p a r e dw i t hs t a n d a r dg a u s s l e g e n d r ei n t e g r a t i o ns c h e m e t h ep r e s e n td i s s e r t a t i o ni so u t l i n e dw i t ht h ef o l l o w i n gc h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，t h en u m e r i c a lm e t h o d sf o rs i m u l a t i n gw a v ep r o p a g a t i o na r es u r v e y e d ，s u c ha sf i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ，p s e u d o - s p e c t r a lm e t h o d ，f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，i n f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ，s p e c t r a le l e m e n tm e t h o da n dg r i dm e t h o de t c t h ep u f e ma n di t sr e c e n td e v e l o p m e n t sa r ed i s c u s s e d s o m ee x i s t i n gw o r ku s e dt os i m u l a t ew a v ep r o p a g a t i o ni nt h es a t u r a t e dp o r o u sm e d i ai sa l s ob r i e f l yr e v i e w e d a tt h el a s to ft h ec h a p t e r , t h ec o n t e n t so f t h ed i s s e r t a t i o na r eo u t l i n e d i nc h a p t e r2 ，t h et h e o r ya n da p p l i c a t i o no fp u f e ma r es u r v e y e db r i e f l y t h ec o n c e p to fp u f e mi si n t r o d u c e da f t e rt h ed i s c u s s i o no nt h ep r o p e r t yo ff e ma p p r o x i m a t i o n t h em a t h e m a t i c a lf o u n d a t i o no fp u f e ma n dt h er e l a t i o no fp u f e mt oo t h e rn u m e r i c a lm e t h o d sa r ep r e s e n t e d t h ea p p l i c a t i o n so fp u f e mt ob o t hc r a c ka n dt h ew a v ep r o p a g a t i o np r o b l e m sa r ei n t r o d u c e di nd e t a i l i nc h a p t e r3 ，t h ep u f e mm o d e lf o rs i m u l a t i n gt r a n s i e n te l a s t i cw a v ep r o p a g a t i o ni si n v e s t i g a t e d i ti sr e m a r k e dt h a tt h ee x i s t i n gw o r ko np u f e mf o rs i m u l a t i o n so fw a v ep r o p a g a t i o n sa r eo n l yl i m i t e dt os t e a d y s t a t es c a l a rp r o b l e m s t h es h a p ef u n c t i o ns p a c e so fp u f e mf o rt r a n s i e n ta n a l y s i sa r ec o n s t r u c t e d ，t h a tm a k e st h em o d e la b l et od i r e c t l yh a n d l et h ee s s e n t i a lb o u n d a r yc o n d i t i o n sa si td o e si nf e m i ne a c hl o c a ls h a p ef u n c t i o ns u b s p a c e ，t h ew a v ed i r e c t i o na n dt h ew a v en u n t h e rc a nb es p e c i f i e di n d i v i d u a l l yf o ran o d a lp o i n t t h ei l l c o n d i t i o n i n gp r o b l e mo ft h ee f f e c t i v es t i f f n e s sm a t r i xi sa l s od i s c u s s e di nt h i sc h a p t e r i nc h a p t e r4 a na n a l y t i ci n t e g r a t i o ns c h e m ef o rt h ee l e m e n tm a t r i xi np u f e mi ss t u d i e dt h ei n t e g r a n do ft h em a t r i xh a sh i g h l yo s c i l l a t o r yp r o p e r t y ；f e we x i s t i n gi n t e g r a t i o ns c h e m e sa r es u c c e s s f u li nv i e wo fb o t ha c c u r a c ya n de f f i c i e n c yi nc o m p u t a t i o n h e r e ，as p e c i a li n t e g r a t i o ns c h e m ef o rc o m p u t i n gt h eo s c i l l a t o r yf u n c t i o ni sd e v e l o p e d t h ei n t e g r a t i o ns c h e m ei sa n a l y t i cf o rt h ee l e m e n t s 、v i ms t r a i g h te d g e sa n ds e m i a n a l y t i cf o rt h ee l e m e n t sw i t hc u r v e de d g e s t h e r e f o r e t h ec o m p u t a t i o n a le f f i c i e n c yo ft h ep u f e mi sf a r t h e re n h a n c e da sc o m p a r e dw i t ht h ep u f e mu s i n gs t a n d a r dg a u s s - l e g e n d r ei n t e g r a t i o ns c h e m eva b s t r a c ti nc h a p t e r5 ，p u f e mi su s e dt os i m u l a t et h ep r o p a g a t i o na n ds c a t t e r i n gp r o b l e mo fa n t i p l a n ew a v e ，a n dt h ec h o i c eo ft h ew a v en u m b e r ski nt h eh a r m o n i cs u b s p a c e si ss u g g e s t e dw h e nt h ed i r e c t i o n so fw a v ep r o p a g a t i o na r ek n o w n w h e nt h ed i r e c t i o n so ft h ew a v ep r o p a g a t i o na r ek n o w n ，t h eh a r m o n i cs h a p ef u n c t i o ns u b s p a c e so fp u f e mc a nb ee n r i c h e db yt a k i n gd i f f e r e n tv a l u e so ft h ew a v en u m b e ri nt h eg i v e nf e wd i r e c t i o n st oo b t a i nt h en u m e r i c a lr e s u l t ss u p e r i o rt ot h o s e o b t a i n e db yt h es t a n d a r df e mi na c c u r a c ya n de f f i c i e n c y , w h i l et h ei i i - c o n d i t i o n i n go ft h ee f f e c t i v es t i f f n e s sm a t r i xc a nb ea l l e v i a t e da n de v e na v o i d e d ，i ti sn o t e dt h a tt h ep u f e mc a l ln o to n l yw e l ls i m u l a t et h ep r o p a g a t i o no fas i n g l eh a r m o n i cw a v eb u ta l s os i m u l a t et h a to ft h ec o m p l e xw a v ec o m p o s e do fan u m b e ro fh a r m o n i cw a v e s i nc h a p t e r6 ，t h ep u f e mi su s e dt os i m u l a t et h ew a v ep r o p a g a t i o np r o b l e mi nt h es a t u r a t e dp o r o u sm e d i a ap u f e mm o d e li nt h ef r a m eo fg e n e r a l i z e db i o tu - uf o r m u l a t i o n sp r o p o s e db yz i e n k i e w i c za n ds h i o m ii sd e v e l o p e dt os i m u l a t et h ep r o b l e mo fw a v ep r o p a g a t i o ni nt h es a t u r a t e dp o r o u sm e d i aw h e nt h ef l u i di sc o m p r e s s i b l e t h ep u f e mm o d e li su s e dt os i m u l a t et h ee l a s t i cw a v ep r o p a g a t i o np r o b l e m si nd r a i n e da n du n d r a i n e ds a t u r a t e dp o r o u sm e d i a i nc h a p t e r7 ，t h ep u f e mp r o g r a ma n dd a t as t r u c t u r e so ft h ep u f e mc o d ef o rs i m u l a t i n gt h ew a v ep r o p a g a t i o ni nt w od i m e n s i o n sa r ed e s c r i b e d t h ep r o g r a mw a sd e v e l o p e di nt h ef r a m e w o r ko ft h eg e n e r a lf e mc o d el a g a m i n e p a r t i c u l a r l y t h eh m c t i o n so fm a i ns u b r o u t i n e s ，t h ef l o wc h a r t so ft h ep u f e ma n a l y s i s ，a n dt h ef o r m a to ft h ed a t af l o wa r ee x p l a i n e da n dp r e s e n t e d t h em a i nc o n t r i b u t i o n so ft h ed i s s e r t a t i o na r es u m m a r i z e da n dt h ef u r t h e rw o r ki ss u g g e s t e di nt h ec h a p t e r8 n l ew o r kc a r r i e do u ti nt h ed i s s e r t a t i o ni ss u p p o r t e db yn a t i o n a lk e yb a s i cr e s e a r c ha n dd e v e l o p m e n tp r o g r a m ( 9 7 3p r o g r a n a ，n o 2 0 0 2 c b 4 1 2 7 0 9 ) a n dt h en a t i o n a ln a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o no f c h i n a ( n o 1 9 8 3 2 0 1 0 1 k e yw o r d s ：w a v ep r o p a g a t i o n ，t r a n s i e n ta n a l y s i s ，n u m e r i c a ls i m u l a t i o n ，f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，p a r t i t i o no fu n i t yf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，o s c i l l a t o r yf u n c t i o n ，a n a l y t i ci n t e g r a t i o n ，s a t u r a t e dp o r o u sm e d i a v独创性说明作者郑重声明：本博士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理工大学或其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。作者签名盟日期：舻只p2 。大连理工大学学位论文版权使用授权书本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。作者签名导师签名2 虱! 垒逢磁年里月业日第一章绪论1 1 引言第一章绪论在我们的身边，波传播现象无所不在，声波，光波，电磁波，水波，地震波等等都和我们的日常生活密切相关。如果没有波的存在，恐怕我们既听不到各种美妙的声音也看不到这个五彩缤纷的世界。波是自然界中物质运动的一种重要存在形式，每种波总是包含源和传播介质物理特性的信息，但是又很难对各种波统一地下一个精确的定义。黎在良和刘殿魁【l 】认为直观地说“波是以可以识别的传播速度从介质的一部分传到介质的另一部分的任何可以识别的讯号。这个讯号可以是时空中某个物理量( 例如位移，应变，应力等等) 的扰动的任何可识别的特征。在一般情况下，这个讯号可以发生畸变，它的大小和传播速度都可以改变，只要这个讯号仍然可以识别就行。”固体中的波可以粗糙地分为弹性波，粘弹性波和塑性波1 2 j 。均匀各向同性弹性介质是最基本也是最经典的一种介质模型，而建立在此基础之上的弹性波传播问题可以说是波传播问题中的基础。虽然此时的力学模型相对比较简单，但往往能抓住问题的关键，可以阐明波的基本物理概念，可以明确波传播现象的根本特征，有利于掌握建立波动力学模型的基本思路等等。可以说对弹性波传播问题的研究有助于对其它更复杂波动问题的理解和研究。同时，虽然在大多数实际问题中波动现象都是非弹性的，但很多实际问题通过简化为弹性波动问题来求解都可以得到满意的解答。因此，对弹性波传播问题的研究具有很高的理论和应用价值。弹性波传播问题的研究在许多科学和技术领域都有着广泛的应用。例如：通过研究弹性波传播中的衍射现象来解释和研究结构中的动应力集中问题；通过研究真实或人工地震产生的波动以了解地球的内部结构；通过研究地下间断的反射波可以大概地知道可能含油的地层；对材料和结构进行无损探伤；在土木工程领域对地基和地下建筑进行强度和结构分析；在医学上对人体物理信息探测所使用的最普遍的b 超和c t等等都与弹性波传播理论有着密切的关系。弹性波传播的研究有着悠久的历史，在上世纪中叶以前，人们主要进行理论上的研究 m j 。1 8 2 1 年法国人n a v i e r 建立了弹性固体和弹性振动的一般方程，这在力学史上占有重要的地位。1 8 2 2 年c a u c h y 对包括动力学方程在内的经典弹性理论做出了非常大的贡献，从而为固体中弹性波传播理论的发展奠定了基础。1 8 2 8 年p o i s s o n 首先指出了弹性固体中位移波动方程的解由两部分组成，一部分是一个标量势函数的梯度，另一部分代表了一个无散的矢量场。这就揭示了在弹性介质内部扰动的传播由两类基本的位移波组成，即我们现在熟知的纵波和横波。1 8 3 0 年c a u c h y 研究了晶体介质中平面第一章绪论波的传播，得到了波前传播的速度方程。1 8 3 1 年p o i s s o n 和o s t r o g r a d s k y 求解了初值问题，他们根据初始的位移和速度分布，利用简谐波解的迭加得到了在任意时间和任意点的位移。1 8 4 9 年s t o k e s 首次研究了体力引起的波动问题，后来l o v e ( 1 9 0 3 年) 对s t o k e s解进行了一些推广。1 8 7 6 年p o c h h a m m e r 利用弹性方程得到了杆中波传播的频率方程。1 8 7 7 年c h r i s t o f f e l 讨论了间断面在弹性介质中的传播问题。1 8 8 7 年r a y l e i 吐有了一个重大的发现，这就是众所周知的表面波( r a y l e i 咖波) 。1 9 0 4 年l a m b 首次研究了一个脉冲在弹性半空间中的传播，这是一项有着非常重要价值的工作。1 8 9 9 年k n o t t 首次研究了两个弹性半空间交界面处的平面简谐波的反射和折射。1 9 1 1 年l o v e 的研究表明当一个弹性半空间表面覆有一层不同物质时，在层中还存在一种类似r a y l e i g h 面波的另一种面波( l o v e 波) 。1 9 2 4 年s t o n e l e y 在l o v e 研究基础上的进一步工作表明在两个弹性半空间的交界面处也可能存在一种与r a y l e i g h 波相似的交界面波( s t o n e l e y 波1 。至此弹性波理论已经非常的完善了。自上世纪中叶起，随着电子计算机技术的发展，数值方法逐渐成为求解波传播问题的重要手段。因为只有少数的一些简单问题可以通过解析的办法来求得问题的精确解，所以很早以前，人们就非常重视对数值方法和近似方法的研究，从而获得接近于真实的近似解答。例如：非线性方程的求解，曲线拟合，数值微分和积分等等。但在计算机技术出现以前，人们对于需要大规模计算的复杂问题显得无能为力。计算机技术的发展给人类社会带来了革命性的变化，在波传播的研究领域也同样如此。几十年来，有关波传播数值计算方面的文献和论著是汗牛充栋、浩如烟海，大量的专家和学者为此做出了巨大的贡献。目前，数值计算方法在波传播的研究和应用领域已经被广泛地采用，并且在不断地完善之中。本文所研究的用于波传播的单位分解有限元法是数值方法之一有限元法的一种扩展，它针对传统有限元法在模拟波传播时存在的困难，通过在插值空间中添加以平面波为基底的局部予空间，极大地提高了单元描述波型的能力，使得总体求解自由度大大减少。并且可以采用p 类自适应策略，避免繁琐的网格重构工作。本文后续的篇幅将对此作详尽的介绍。1 2 用于波传播问题的数值解法介绍目前用于波传播问题的数值解法主要可分为以下几类：有限差分法( f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ) ，伪谱法( p s e u d o - s p e c t r a lm e t h o d ) ，有限元法( f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ) ，无限元法( i n f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ) ，边界元法( b o u n d a r ye l e m e n tm e t h o d ) ，谱单元法( s p e c t r a le l e m e n tm e t h o d ) 。其它还有离散单：元i 去( d i s c r e t ee l e m e n tm e t h o d ) ，格子法( g r i dm e t h o d ) 等等。下面分别对这几种方法作简单地介绍。一2 第一章绪论1 - 21 有限差分法( f i n i t ed i f f e r e n t c em e t h o d )有限差分法的思想是一种反璞归真的方法，它利用对空间和时间的差商来代替微商，然后通过求解该差分方程来逼近微分方程的解。a l t e r m a n 等人口】将有限差分法用于层状介质中的波传播，a 1 t e m a n 【6 】和b o o r e ”将该方法用于地震波传播问题。a l f o r d 8 】等人对该方法的精度进行了研究，指出差分网格必须明显小于最小波长的一半，且只要网格足够精细，就能够得到精确的结果。v i r i e u x 9 lo 】提出了一种基于应力、速度混合变量的一阶弹性波方程的交错网格差分法，它可适用于任何泊松比的介质。l e v a n d e r n 对v i r i e u x 的方法进行了改进，使其在空间上具有四阶精度，在时间上具有二阶精度。c r a s e 1 2 】贝0 发展了精度可以达到任意阶的高阶交错网格法，但其计算量和对内存的要求比低阶有限差分法有大幅度的增加。g r a v e s 1 3 贝0 将交错网格差分法用于模拟3 维弹性介质中的波传播问题。m a g n