（固体力学专业论文）非比例循环加载下金属材料晶体塑性数值模拟.pdf

西南交通大学硕士学位论文 摘要 运用晶体塑性理论研究非比例循环本构特性，所需解决的有如下两方面 的问题。首先要建立适合于描述单晶循环硬化的单晶硬化律；其次是建立适用 于非比例循环加载条件下的多晶体模型计算方案。 单晶硬化律是晶体塑性理论的核心问题之一。对于单晶循环硬化的的研 究，目前还较少。由于非比例循环加载实际上是一个高度非线性的问题，因此 相应的多晶模型计算方案的建立是非常困难的。由于开动滑移系的预测是多晶 数值模拟的首要问题。因此这是计算方案中涉及到的主要问题。然而目前开动 滑移系的预测还有待于深入研究。 f f 本文的第一章从e s h b l e y 问题推出了在后面数值模拟中将要用到的k b w 自洽模型。 第二章重点讨论了单晶硬化律，首先介绍了加工硬化的基本机制和几种 典型的加工硬化理论。并对现有的单晶硬化律进行了分类和分析。在此基础上， 建立了本文数值模拟中要用到的适合于描述单晶循环硬化的单晶硬化律。 第三章介绍了与k b w 模型相应的数值模拟的实现，重点讨论了本 文建立的开动滑移系的预测方案。 第四章把通过数值模拟得到的结果与现有的实验结果进行比较，从而对 。 本文的数值模拟进行评价。， n _ 关键词；晶体塑性理论、单晶硬化律、非比例循环加载、数值模拟、丌动滑移 系预测、多晶体模型、自洽理论 西南交通大学硕士学位论文 y 3 1 8 9 0 7 u s i n gc r y s t a l l i n ep l a s t i c i t yt h e o r y t o s t u d y t h e h a r d e n i n gb e h a v i o r u n d e r n o n - - p r o p o r t i o n a lc y c l i cl o a d i n g s ，t w o i m p o r t a n tp r o b l e m ss h o u l d b es o l v e d f i r s t l y ，t h et h e o r y o f s i n g l ec r y s t a l l i n e c o n s t i t u t i v em o d e lw h i c h i sa b l e t od e s c r i b ec y c l i c h a r d e n i n g b e h a v i o ro f s i n g l ec r y s t a ls h o u l db ee s t a b l i s h e d s e c o n d l y ，t h ec a l c u l a t i n gp l a n w h i c hi sf i tt oc a l c u l a t et h e m u l t i c r y s t a l l i n e m o d e lu n d e r n o n - - p r o p o r t i o n a ll o a d i n g s s h o u l db ee s t a b l i s h e d t h e h a r d e n i n gt h e o r yo f t h es i n g l ec r y s t a li so n eo ft h ek e m e l p r o b l e m si n c r y s t a l l i n ep l a s t i c i t yt h e o r y t h es t u d ya b o u tc y c l i c h a r d e n i n g b e h a v i o ro f s i n g l e c r y s t a l i sl a c ko f i n f a c t ，t h e m a t e r i a lb e h a v i o ru n d e rn o n - - p r o p o r t i o n a l c y c l i cl o a d i n g s i sa h i g h l y n o n l i n e a r p r o b l e m ，s o i ti sd i f f i c u l tt oe s t a b l i s h t h e c a l c u l a t i n gp l a no f t h e m u l t i c r y s t a l l i n em o d e l e s p e c i a l l y ，p e o p l e s h o u l d d om o r er e s e a r c hi n p e r d i c t i n g t h ea c t i v es l i p s y s t e m si nc a l c u l a t i n g p l a n ， b e c a u s ei ti sp r i m a r yp r o b l e mi nn u m e r i cs i m u l a t i o na b o u tm u l t i c r y s t a l l i n e m o d e l i nt h ef i r s t c h a p t e r ，t h e k b w s e l f - 而d a p t i n gm o d e lw i l lb e o b t a i n e df r o m e s h e l l b yp r o b l e m ，t h i s m o d e lw i l lb eu s e di no u rn u m e r i c s i m u l a t i o n i nt h es e c o n d c h a p t e r ，t h eh a r d e n i n gt h e o r yo f t h es i n g l e c r y s l a tv a i l b e e m p h a t i c a l l yd i s c u s s e d t h e b a s i cm e c h a n i s mo f p r o c e s s i n gh a r d e n i n g a n d s o m e r e p r e s e n t a t i v et y p e s o f p r o c e s s i n gh a r d e n i n g t h e o r y a r ei n t r o d u c e d 西南交通大学硕士学位论文 a n dt h ee x i s t i n gh a r d e n i n gt h e o r i e so f t h e s i n g l ec r y s t a l a r ec l a s s i f i e da n d a n a l y z e d i nt h e e n d ，b a s e do nw e n gt h e o r ya n d b a s s a n i t h e o r y ，t h en e w c o n s t i t u t i v e m o d e lw h i c hi sa b l et o d e s c r i b e c y c l i ch a r d e n i n g b e h a v i o ro f s i n g l e c r y s t a l i se s t a b l i s h e d ， i nt h et h i r d c h a p t e r ，t h ep e r d i c t i o n o ft h ea c t i v e s l i ps y s t e m s i s p r o p o s e d ，a n d b a s e do nk _ b wm o d e l ，t h en u m e r i cs i m u l a t i o nf o rn o n p r o p o r t i o n a lc y c l i cl o a d i n g s i sc a r r i e d o u t ， i nt h el a s t c h a p t e r ，c o m p a r i n g t h e c a l c u l a t i n g r e s u l tw i t ht h e e x p e r i m e n t ，i ti ss h o w e dt h a tt h en u m e r i cs i m u l a t i o np r o p o s e db y t h i s p a p e r i s e f f e c t i v ea n ds u i t a b l e 1k e y w o r d l ：c r y s t a l l i n ep l a s t i c i t yt h e o r y ，h a r d e n i n gb e h a v i o ro f t h es i n g l ec r y s t a l ， n o n - - p r o p o r t i o n a lc y c l i cl o a d i n g s ，n u m e r i cs i m u l a t i o n ，p e r d i c t i o n o f t h ea c t i v es l i ps y s t e m s ，m u l t i c r y s t a l l i n em o d e l ，k b ws e l f a d a p t i n g m o d e l 西南交通大学硕士学位论文 刖菁 近年来由于疲劳引起的大量事故，使人们对多轴塑性、多轴疲劳进行实验 和理论研究【1 】。e t a n a k a 4 采用塑性应变控制对3 1 6 不锈钢进行了圆形、方 形、星形、十字型和比例路径的不同路径加载实验：高庆、杨显杰等人【5 】对 1 c r l8 n i 9 t i 不锈钢进行了高温非比例循环实验；许多学者对3 0 4 不锈钢、3 1 6 不锈钢、o f h c 铜等的非比例循环硬化行为进行了大量研究【6 9 】。这些研究 表明：在非比例循环加载条件下，材料的变形行为远比单调和比例循环加载下 复杂，它导致损伤发展加快、疲劳寿命降低等现象发生。 在非比例循环下材料的硬化和流动特性与其单轴循环特性明显不同，据前 人的研究成果表明对于层错能较低的材料( 如3 1 6 l 等) ，在相同的等效应变 幅下，非比例路径下的材料产生较比例路径的循环硬化更大的附加硬化。经典 的本构模型是基于单轴实验建立起来的，而用单轴循环应力一应变曲线和疲劳 寿命曲线来研究非比例循环加载下材料响应的基本特征是远不够的。因此，用 经典模型将无法较好地反映非比例循环变形特征的。近二十年来，非比例循环 加载本构关系的研究引起很多学者的浓厚的兴趣，b e n a l l a l 2 等人，杨显杰等 人【3 】引入的粘塑性模型中通过引入各向同性变形阻力对非比例度的依赖性来 反映非比例循环附加硬化特征。 但是从宏观角度引入非比例度的概念来表征非比例循环附加硬化的程度缺 乏必要的机理分析。如果能从微观的角度进行分析，引用合适的模型，就能够 较自然的解释和描述非比例循环的硬化特性和流动特性。 从微观的角度探讨金属材料的本构特性属于晶体塑性理论研究的范围。晶 体塑性理论直接基于塑性变形的微观机制，具有坚实的物理基础。t a y l o r 等人 西南交通大学硕士学位论文 的开创性工作【1 9 2 0 1 1 2 1 】为晶体塑性理论的发展奠定了良好的基础。目前， 完整的晶体塑性理论体系已经建立，从而成为研究材料本构特性的有力工具。 晶体塑性理论主要包含两方面的内容：多晶体模型和单晶本构关系。前者 描述的是多晶体中单晶之间的相互联系和相互制约；后者描述的是多晶体中单 晶的物理特性。对于前者，已提出不少理论模型【2 1 卜( 3 0 】。其中理论上相当完 善的当属自洽理论模型【2 7 卜 3 0 】。对于后者，也已提出了一些单晶硬化律的描 述方法 2 l 】，【2 8 】，【3 1 】【3 8 】，并已初步地用于本构特性和变形局部化问题的 研究。与多晶体模型相比，单晶硬化的描述尚不很完善，特别是缺乏复杂加载 条件下的深入验证。 为了能较好的描述非比例循环加载下的特性，本文首先在分析各种典型单 晶硬化律的基础上，提出了适合于非比例循环加载下的单晶循环硬化律。其次 采用晶体塑性理论中的l 卜b w 模型建立数值模拟迭代格式，并解决了数值 模拟中的难点开动滑移系的预测。最后对比例循环加载和各种不同的非比例循 环加载路径进行数值模拟，将得到的结果与实验比较，发现二者吻合良好。 应该指出，晶体塑性理论本身的发展也是固体力学领域中一个重要的问 题。由于现代科学技术的飞速发展，计算机的速度和容量迅速提高，这使得运 用晶体塑性理论研究材料的设计和材料的破坏成为可能。作为材料科学和固体 力学的结合点，这方面工作将越来越受到关注。 西南交通大学硕士学位论文 第一章晶体塑性理论 作为本文的基础，本章将系统地论述晶体塑性理论。晶体塑性理论主要包 括两个方面的内容：一、确定多晶体模型，就是计算多晶体中某一单晶的应力、 应变、以及建立它们与多晶体应力与应变的关系。二、确定单晶本构关系，即 单晶硬化率。 首先本章将首先介绍两个比较简单的模型：即t a y l o r 模型与林同骅模型。 而后通过e s h e l b y 问题的结论推导出适合于多晶体计算的k b w 自洽模型， 该模型是本文在数值模拟时将要采用的基本模型。 其次本章将简要介绍一下单晶本构关系的基本框架。但说明一点本文的讨 论仅限于小变形，晶体塑性变形机制仅限于滑移机制。 1 1 符号规定 为了以下讨论方便，先来介绍一下本文中的一些符号规定。除非特别说 明，黑体小写希腊字母或拉丁字母代表二阶张量，黑体大写字母代表四阶张量 实体。张量的分量指标均以下标表示，字母范围一般为小写拉丁字母i 到n i 除非特别说明，其他角标不作为张量分量指标；张量分量指标的取值范围为l 至3 ，并采用求和约定。以下张量的内积：b a u k l b k la u k l b 叫a 叫b k l 分别简 记为：a ba ba ba a b 。张量的并积如a i b k l 表示为a 圆b ，四阶张量的逆张量以a 。 表示，a a 。1 = i ，i 为单位张量。 1 2 简单滑移理论 当晶体塑性行为确定以后，金属多晶体的塑性行为依赖于微观物理量向宏 观物理量的转换，也依赖于晶界效应的适当处理。作为对后面一节将要介绍的 k b w 自洽模型的比较，我们来介绍两种比较简单的多晶体模型，t a y l o r 模 西南交通大学硕士学位论文 型与林同骅模型。 一、t a y l o r 模型 5 0 】 1 9 3 8 年t a y l o r 首先提出了一个比较现实的模型，用以分析多晶体应变关 系 t a y l o r 提出了如下简化假设： ( 1 ) 每个晶粒是刚塑性体，其弹性应变忽略不计； ( 2 ) 每个晶粒的应变率张量等于多晶集合体的宏观应变率张量； ( 3 ) 对于每个晶粒可以通过最小塑性功原理求得各个滑移系的滑移剪切 率： ( 4 ) 对于每个晶粒，作用在各个开动滑移系上的临界剪应力是相同的，它 是所有滑移系剪应变之和的确定函数 r ：盒r 芝，j( 1 刊 利用上述模型计算了多晶体的拉伸应力一应变曲线，得到了与实验曲线基 本一致的结果，这说明采用的基本假设并未带来重大偏差。模型的第二个假设 条件使晶粒边界处的位移连续条件得到满足。但是随之而来的问题是晶粒边界 的应力平衡条件难以满足。另外，由于忽略了弹性应变，每个晶粒的应力状态 无法确定。再一个突出的问题是，依照模型，每个瞬时，哪个滑移系开动，哪 个滑移系不开动，( 对每个晶粒而言) ，完全取决于宏观应变率，而不依赖于应 力状态。这一点显然是与晶体塑性理论相违背的，依照晶体塑性理论哪个滑移 系丌动，哪个滑移系不开动只能从处于临界状态的滑移系中考虑，这自然依赖 于应力状态。 二、林同骅模型【5 1 】 西南交通大学硕士学位论文 林同骅对模型提出了改进，将弹性应变考虑在内，林同骅提出如下假设： ( 1 ) 每个晶粒的应变率张量等于多晶集合体的宏观应变率张量。 ( 2 ) 对于每个晶粒，各个滑移系的临界剪应力是相同的( 各向同性硬化) ， 是累积剪应变的确定函数： r=f r fj ( 1 2 ) f ：兰 i 出 林同骅模型采用了全量形式的硬化规范化率，因此，控制方程表现出全量 形式。虽然它比模型有了较大改进，但仍然是个非自洽的模型。 1 3 k b w 自洽理论 5 2 5 3 】 1 3 1 e s h e l b y 解 现在讨论无限大各向同性均匀介质，其局部区域q + 由于某种物理或化学 的原因产生均匀的局部应变i j 他可以是热膨胀、相应变、预应变、塑性应 交、孪晶应变等非弹性应变。这种不产生应力的均匀应变是在假想局部区域不 受周围介质的制约。我们将局部应变称之为本征应变。 图( 1 1 ) 子区域经受均匀本征应变 西南交通大学硕士学位论文 本征应变问题可以分解为三个问题叠加而成：、 ( 1 ) 割出子区域q + ，让其不受约束地经受本征应变，而余下的区域q 。不经 受任何变形。 ( 2 ) 在子区域外表面s 上加外力( - p i ) ，使子区域群回到原来的位置，再 将它与区域q 。熏新粘合起来，显然外力等于： p i = 一i j n j ( 1 3 ) 一j 2 九+ i j 6 i j + 2 1 x e + i j ( 1 4 ) 其中n ，是曲面s 的单位外法线，。是均匀本征应变，九是拉梅系数。“是 弹性剪切模量，经过动作( 2 ) 后，整个q 域未发生变形。 ( 3 ) 沿着曲面s 加上分布面积力p 。d s 的作用，使整个子区域甜与包围着它的 区域q 一起协调变形，这样就能得到我们欲求的应力应变场。 当子区域q + 是椭球体时，e s h e l b y 巧妙地证明，均匀本征应变。将在椭球 体内部产生均匀应变和应力场。 椭球体内部的应变可表示为：。= s i j m n 。 ( 1 5 ) 上式中的s n l 为e s h e l b y 张量。 1 3 2 椭球体夹杂 现在讨论一无限大均匀弹性介质，含有一个椭球体央杂，设夹杂的弹性模 量为l 。，而周围无限大基体的弹性模量张量l 。 图( 1 2 ) 无限大体中的椭球体夹杂 西南交通大学硕士学位论文 设想无穷远处，基体受到均匀应力场的作用 口：= l ，k 1 6 ； 设想总的位移场可表, 示为 r “ft o m f = “? + “r 这样夹杂问题就可归结为： 平衡方程：0 州o + c r 口j = 0 边界条件：仃：，j + 盯斗盯：j ，无穷远处 相容条件： r “? + 虬，+ = r “? + 1 2 i j 一，在s 上 r 口：+ 盯j + = r 仃：+ 盯v 厂h j ，在s 上 应力与应变关系： 盯：+ = 工口i ，r 占品+ e k l j 在q 内 仃：+ 盯f = 嘲f 占品+ j 在q + 内 上述公式中0 ，0 ，“? 分别表示无穷远处的应力、应变和位移。 类似地，我们可以写出本征应变问题所对应的边值问题： 平衡方程：仃f ，j = o 在q 内 边界条件：一0 ，无穷远处 相容条件： “j = “i 在s 上 仃；玎j = 仃i ”j 在s 上 应力与应变关系： 盯“= t ，丘，占 ，在q 。内 ( 1 7 ) ( 1 8 ) ( 1 9 ) ( 1 一1 0 ) ( 1 一1 1 ) ( 1 一1 2 ) ( 1 1 3 ) ( 1 一1 4 ) ( 1 1 5 ) ( 1 一1 6 ) ( 1 一1 7 ) ( 1 1 8 ) = ，r 铂一；j 在q 内 ( 1 一1 9 ) 现在用等效本征应变的方法来求解夹杂问题，夹杂问题与本征应变问题作 西南交通大学硕士学位论文 比较，发现只有最后两个方程不同，设想调整本征应变占：，使它们相等。 注意到 1 7 ：= 上噼，s 品 ( 1 2 0 ) 占，= s 棚s ：。 ( 1 2 1 ) 于是得 岛k l ( 或| + s ，屯) = ( 岛m l ) 武i 诅) 求出等效本征应变后，我们可得到夹杂问题在椭球内部产生的应变将是 白c 。s ：+ 勺2 白0 + 跏 ( 卜2 3 ) 1 3 3k b w 自洽模型 t a y l o r 模型和林同骅模型都未能考虑晶粒之间的交互作用，因此这些工作 未能满足微观应力和应变的体积平均等于宏观应力和宏观应变的要求 k r o n e r , b u d i a n s k y 和w u 提出了一个模型，以一种特殊的方式考虑了晶粒间的 交互作用，满足了微观应力和应变的体积平均等于宏观应力和宏观应变的要 求，所以称之为自治模型。 k b w 模型认为，由于每个晶粒的定向各不相同，每个晶粒的应变也 不可能是相同的。问题的关键是如何求得每个晶粒的应变。宏观元素是由大量 晶粒组成的，每个晶粒都受相邻晶粒的约束，如下图所示，严格地分析每个晶 粒的应变只能借助于数值分析的方法。 图( i 一3 ) 无穷大体中晶粒的互相约束 - 8 - 西南交通大学硕士学位论文 k r o n e r ，b u d i s n d k y 和w u 提出了一个简化的物理模型来分析每个晶粒的应 变，把每个晶粒假想为球形晶粒。这个球形晶粒深埋在无限大的均匀介质内部， 球形晶粒的定向与原晶粒相同，晶粒和基体介质都是弹性各向同性的。 a 图( 1 4 ) 深埋在无穷大体中的球形晶粒 另外假设基体介质内各点的塑性应变恰好等于宏观塑性应变， 如下的应力一应变关系： 盯d = l v k t ( e t ，一层瘩 在q 。内 仃= l c k t r s “一占嚣， 在q + 内 式中酩是宏观塑性应变，s 是是微观塑性应变。 令：s u = s ；+ e l + j u 仃口= 口：+ 仃矿 o ；= l 州 那么方程( 1 2 6 ) 和( 1 2 7 ) 可改写为 6 u = l l 黼q 这样我们有 ( 1 2 4 ) ( 1 2 5 ) ( 1 2 6 ) ( 1 2 7 ) ( 1 2 8 ) 在q 。内 ( 1 2 9 ) 西南交通大学硕士学位论文 仃口= l v , k l ( e g s f ；+ 磁， 在q + 内( 1 3 0 ) 显然应力一应变场式( 1 2 9 ) 相应的本征应变占；，为 s ；= 占嚣一e f 因此，在球形晶粒内部将有 对于各向同性介质，我们有 如：= s 3 3 3 3 - 揣 ( 1 3 0 ) 所对应的问题是本征应变问题。 ( 1 3 1 ) 占扩= s ，r g 嚣一e 嚣j ( 1 3 2 ) ( 1 3 3 ) 呐z ，s 2 8 3 3 1 1 - s 1 1 3 3 = $ 2 2 1 1 = $ 3 3 2 2 - 嵩 ( 1 _ 3 4 ) 呐：。：碣粥= $ 3 1 3 1 - 篙 ( 1 _ 3 5 ) 未列出系数的s 叫其下标可用，1 ，2 ，3 置换方法得到置换后的s 值 如果用方阵表示4 阶矩i w - ，那么有 i s = a i u 0 7 + # ( i l l 一，f ，f ，7 j ( 1 3 6 ) 其中，f ，是单位向量 ，f ，7 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 方阵【i l 的元素是由4 阶张量去r 以，+ f i i ，6 业， 转换而来。 口= - 一，卢= ；i ：号芋 i o ( 1 3 7 ) 堕童奎望奎堂堡主堂垡堡奎 公式( 1 3 2 ) 写成矩阵形式，将是，孑，= s n s 一e ， ( 1 3 8 ) 将( 1 3 6 ) 代入上式得 = ( 一p ) i j i p e p + 8 p e p ( 、3 9 ) 注意至0 ，f ，7 ，9 一e 9 ，= 3 ( c e ：j = 0 ( 1 4 0 ： 公式( 1 3 8 ) 改写成 l5 j = p l 5 p e pj ：l 一4 k i u = p ( ；一e ；) 由此，立即得到晶粒内部的应变为 q = s 口o + ；b ( 战一e i ) + e ； ；= q 0 + p ( e c - e c ) + e 一s ： 晶粒内部的应力将是 o g = l o e ；= o ；- 2 # 0 8 ) ；一e c ) ( 1 4 2 ) ( 1 4 3 ) 其增量形式是 d 盯f = d 盯f 一2 u ( 1 一f 1 ) ( d e o d e o ， ( 1 _ 4 5 ) 如果我们定义 e 孑= ( 1 4 6 ) 符号( ) 表示在整个大区域内的平均值 那么从( 1 4 4 ) 我们得到 0 = ( 1 4 7 ) 从( 1 3 6 ) 式我们可推得 = s ：+ e 岁= ( 1 _ 4 8 ) 公式( 1 _ 4 7 ) 和( 1 _ 4 8 ) 满足了微观应力和应变的体积平均等于宏观应 西南交通大学硕士学位论文 力和宏观应变的要求，表述了自洽模型的基本特征。 1 4 晶体学基础 晶体结构与空间点阵：晶体结构指组成晶体的物质点，在三维空间作有规 律的周期性排列的方式。整个晶体结构可以看作是基本单元的周期性的重复。 我们对晶体结构进行几何抽象，抽象的方法是把结构单元化成一个单纯的几何 点，它们有规律的周期性重复排列所组成的空间几何图形成为空间点阵。构成 空间点阵的每一个点称为结点。 晶胞和晶系：可以在空间点阵中取出一个平行六面体，整个点阵可以看成 是这样一个平行六面体在空间堆砌而成，我们称此平行六面体为晶胞。晶胞可 以用三条边a 、b 、c 及各边之间的夹角o t 、p 、y 来描述。 b 图( 1 5 ) 晶胞及晶格常数 如图所示，晶胞的三个棱边长度a 、b 、c 和它们之间的夹角称为点阵常数， 或晶格常数。三个点阵矢量a 、b 、c 描述晶胞的形状和大小，也确定了整个空 问点阵。 在后面进行数值模拟将要涉及到的大部份是f c c 晶体，这类f c c 晶体除 了8 个顶点外，六面体的每个面中心都各有一个结点。 1 5 单晶塑性应变率与单晶本构关系 西南交通大学硕士学位论文 1 5 1 单晶塑性应变率 下面介绍小变形条件下单晶塑性应变率的数学表示。在滑移机制下单晶的 塑性变形产生于晶格的相对滑移，由于晶格的物理特性，一般说来，品格只能 在特定的晶面( 称之为滑移面) 上，沿着特定的晶向( 称为滑移方向) 产生滑 移。滑移面和滑移方向表征了滑移系的特征，因此它们合在一起称为滑移系。 如以n 和s ”( 1 3 。和s “为矢量) 分别表示第个滑移面法线和滑移方向，任意某 一滑移系m 可表示为 口m ：当r 行m s m + s m 固n m j ( 不求和) 、 7 则晶体的塑性应变率可表示为 ；c = ，a ” ( 1 5 0 ) 由于n m 和s “正交苗( 1 4 2 ) 易见 口鼬r t l = 0 ( 1 5 1 ) 由式( 1 9 ) 和式( 1 5 0 ) 知，塑性应变率满足 1 5 2 单晶本构关系 p 占c 七i = 0 ( 1 5 2 ) 晶体的加工硬化表现出明显的各向异性。分解剪应力f 川与滑移剪应变 y 陋之问的加工硬化曲线对晶粒的种类、纯度、变形温度和速度十分敏感，而 且对试样大小、形状、表面条件以及晶粒的定向、晶粒的变形历史均有明显的 西南交通大学硕士学位论文 依赖关系。 为了得到确定的硬化规律，我们限于讨论晶粒尺寸和形状相同的一类晶粒。同 时设想材料是完全相同的。 采用s c h m i d 定律来描述流变应力是比较方便的，一个滑移系a 处于塑性 屈服状态的必要条件是作用在这个滑移系上的分解剪应力l - ( 刮必须达到临界值 f ! “，这个临界值就是由当前构形的位错密度和位错组态所决定。这样的滑移 系可能有n 个，我们称这n 个滑移系为处于i 临界状态的滑移系。对于进一步的 增量变形，为了使滑移系继续开动，其分解剪应力r 似j 的变化率必须跟上临界 剪应力f ! 叫的变化率。 因此，晶体材料的硬化规律可表示为 刚 c a ) f = f 。，g 0( 1 5 3 ) i d i d l q ) f t c ，= 0 ( 卜一5 4 ) r 口j 以上公式适用于临界滑移系，其中y 0 表示滑移系继续开动 ，= 0 表示该滑移系停止开动。 对于非临界滑移系d ，恒有 lp 1 f 川 o ( 1 - - 5 6 1 占= l f 口r 口jn epjt a ) c = ，= o ( 1 - - 5 7 ) 对不处于临界状态的滑移系p f 9 f ! 川，y = 0( 1 5 8 ) ( 1 5 6 ) 、( 1 5 7 ) 和( 1 5 8 ) 合在一起，构成了单晶的本构关系，确 定单晶的本构关系就是确定( 1 5 6 ) 和( 1 5 7 ) 中的 叩，是瞬时的滑 移硬化系数，它取决与当前的位错密度和位错组态。当= p 时，称为自身 硬化系数，当a p 时，称为潜在硬化系数或耦合硬化系数。一般情况下， r d 不仅依赖于y，而且依赖于有多少个滑移继续开动。对于的问题在 第二章还要重点介绍。 1 6 小结 本章系统的介绍了晶体塑性理论，从e 问题推导出k b w 模型，得到 了第三章数值模拟中将要采用的一个重要公式( 1 4 4 ) ，并比较了自洽模型和 非自洽模型的区别。最后简要介绍了单晶塑性应变率与单晶本构关系。 西南交通大学硕士学位论文 第二章单晶硬化 本章首先简要介绍了晶体滑移机制和晶体位错。对位错的基本特征、位错 的增值和交互作用作了描述。其次介绍了几种基本的位错运动障碍、典型的加 工硬化理论和单晶硬化的实验研究。然后通过对几种典型的单晶硬化率的分析 得出在本文数值模拟中将要用到的单晶循环硬化率。单晶循环硬化率是描述非 比例循环加载的核心问题之一，但目前对单晶循环硬化率方面的研究作得较 少，还需要深入地探讨。 2 1 晶体滑移机制 2 1 1 晶体滑移试验的观察 在1 8 9 8 年至1 9 0 0 年之间，e w i n g 和k o s e n h a i n 对金属多晶体的变形规律 作了一系列的研究。他们对于塑性变形的机制作了相当精确的描述，在试样表 面清楚地观察到滑移线的痕迹，并指出滑移是一种晶体学现象。 2 0 世纪初，晶体学研究有了重大发展。1 9 1 2 年v o n l a u e 的晶体x 射线衍 射实验，证实了晶体就是原予有规则地排列起来的状态。 在此基础上，t a y l o r 和e l a m 3 9 对晶体塑性变形作了开创性的定量研究工 作。他们利用x 射线。证实了滑移的晶体学性质，他们对铝单晶进行了细致 的研究，对变形运动学作了晶体学的解释。 同一个时间，在德国m a r k ，p o l a n y ，以及o r o w a n 对晶体塑性变形作了系 统的研究。s c h m i d 4 0 提出了有名的分解剪应力定律。 实验观察表明滑移具有显著的晶体学特征，它不受外加负载的影响，而仅 于晶体结构有关。滑移通常沿着一定的结晶学平面和结晶学方向发生。这一定 1 7 西南交通大学硕士学位论文 的结晶学平面称为滑移面，通常总是原子最密排的面。这一定的晶体学方向称 为滑移方向，通常总是原子密度最大的方向。一个滑移面及在其上的一个滑移 方向组成一个滑移系。晶体的主要滑移系，对于不同的晶体结构是不相同的。 【0 1 1 】 1 01 】 【1 1 0 】 图( 2 1 ) 面心立方晶 体的一个滑面及其所对 应的三个滑移方向 因为后面数值计算中涉及到的主要是面心立方体晶体，这里对它作详细介 绍。对面一t j , v r 方晶体( f c c ) ，主滑移面为 1 1 1 ) ，而滑移方向为( 1 1o ) 的 有四个 1 1 1 ) 平面，每个 1 1 l 平面有三个( 1 10 ) 滑移方向，总共有1 2 个 这样的滑移系。 2 1 2 晶体滑移动力学 滑移面 1 8 滑移方向 西南交通大学硕士学位论文 图( 2 2 ) 滑移面和滑移方向相对于加载轴方位的示意图 如图示，p 为轴向载荷，氏为单晶试样的横载面积，则滑移面积为 d a o c o s p o ，作用在滑移方向的分解剪应力r = c o s p o c o s 2 0 ( 2 - - 1 ) 爿0 这里c o s p 。，c o s 九。代表方位因子，也称为s c h m i d 因子。 大量的试验证明不同取向的金属单晶体屈服强度很不相同，但作用在滑移 面和滑移方向上初始临界分解剪应力却是相同的：也就是说，在一定温度、一 定形变速度及一定滑移系的情况下，对于一定晶体，初始临界分解剪应力是恒 定的。这就是临界分解剪应力定律，或称为s c h m i d 定律。 临界剪应力受下列因素的影响： ( 1 )化学成分 ( 2 )温度，温度增高时，临界剪应力减小。 ( 3 ) 表面情况和介质情况。 ( 4 ) 形变速度，提高形变速度，使金属滑移的临界剪应力增高，同时 使晶体的加工硬化率提高。 ( 5 )滑移程度，随着滑移程度的增加，晶体继续形变所需的临界剪应 力增高，这种情况称为加工硬化。 2 1 3 晶体应力一应变曲线 下面着重介绍面心立方晶体的形变。 采用纯度高的晶体金属和非常精细的试验技术，可以得到一条比较完整的 面心立方体的加工硬化曲线，如下图所示，该曲线明显分为三个阶段。 1 9 西南交通大学硕士学位论文 图( 2 - - 3 ) 面心立方晶体的加工硬化曲线 y j ， 丫 第一阶段是易滑移阶段，硬化系数0 很小，一般对应单滑移，只有一个滑 移系开动。 第二阶段的硬化系数0 ：为最大，且为一常数，故又称为线性硬化区，转入 第二阶段由于次滑移系的开动，林位错密度增大，导致加工硬化系数急剧上升。 第三阶段中硬化系数0 ，随着应变增加而减小，故又称为抛物线硬化区，实 验表明此时位错呈胞状组织。 应该强调的是三个阶段并非总是存在的，如果环境发生变化，则第一阶段 乃至第二阶段可能会消失，例如变形温度足够高时，第三阶段占主导地位。 晶体的应力应变曲线受很多可变因素的影响，这些因素中最主要的是：会 属类别，纯度，形变温度和速度，表面状况，晶体的大小和形状，及晶体的位 向。 2 2 晶体位错1 4 1 一 4 3 】 2 0 西南交通大学硕士学位论文 位错作为一种晶体缺陷，是人们对于晶体塑性变形长期研究中推断出来 的。早在本世纪2 0 年代，科学家就发现理想晶体的理论强度比实验测得高出 三个数量级。这就促使人们提出晶体缺陷的设想，即认为晶体滑移是位错运动 造成的，位错机制使滑移很多特征得到说明，并使以此为基础的晶体理论强度 与实验数值基本相符。 2 2 1 位错的基本特征 位错是晶体中原子排列的线缺陷，其物理涵义是晶体中已滑移区域与未滑 移区域的分界线。在位错中，t l , 原子间有强烈的畸变，这些畸变造成了原子问有 规律的错排。而在离位错中心较远的地方，原子间的畸变依然存在。 位错的存在改变了晶体的滑移机制，如下图所示晶体的滑移过程。 1234 5678 t _ oo o o o ooo o ooo o o oo + 一t 图( 2 4 ) 晶体的滑移过程 滑移并不是在整个滑移面上一次完成的，而是通过位错线上的一排原子逐 2 1 t 一 。 o 叶 ， o o o o o ， o o o o o o ： o o ， o of o 西南交通大学硕士学位论文 步完成的。每次只需破坏位错线上那排原子的原子健，因此可以在很低的应力 下开始滑移。 存在两种基本不同的位错： 一、刃型位错在晶体中有一个刀刃状的多余的半片原予晶面，所以叫 刃型位错，它的位错线是多余的半片原子晶面与滑移丽的交线。 由于在晶体中标插入了半片原子晶面，使得晶体上半部受到压缩，而 下半部受到膨胀。它的b u r g e r s 矢量与位错线垂直。 二、另一种线缺陷是螺型位错，这种位错是由位错线一侧晶体上，上下两 作相对运动而形成的，其b u r g e r s 回路是螺旋形式，因而叫螺型位错。 螺型位错的b u r g e r s 矢量是与位错线平行的。 2 2 2 位错的增殖 刚从熔体中生长出来的晶体或充分退火的晶体都存在着大量的位错，此时 为错密度约为1 0 4 毫米，以三维网络形式存在。在变形过程中，位错不断从 晶体内部滑移到晶体表面，形成台阶。但在晶体变形过程中，其内部的位错密 度不但未减少，反而随着变形量的增加而增加，位错密度可以增加到1 0 8 毫米一 2 l o ”毫米，这表明在塑性变形过程中，位错以某种机制增殖了。 下面介绍位错的增殖一f r a n k r e a d 源 在变形过程中，可以有多种机制使位错增殖，其中比较简单而又重要的是 f r a n k - - r e a d 源。 f r a n k - - r e a d 源： 如图( 2 6 ) 设想纯刃型位错d a b c ，在空间形成三维位错网络。a b 段 位于滑移面内，而d a ，b c 段不在滑移面内，当柏氏矢量与外加应力都平行 于滑移面时，位错线a b 各处受到大小相等，且与位错垂直的滑移力f = x b 的 作用而向前滑移。但因a b 两端固定，故a b 弯曲成曲线，继而在a ，b 两点 2 2 西南交通大学硕士学位论文 处卷曲，达到一定程度后，如图( 2 7 ) 示。 dc 图( 2 6 ) f r 源的结构 如图( 2 7 ) 所示，两点柏氏矢量相同，而位错方向相反，互相抵消，结 果放出一个位错环，并重新得到一个位错线a b ，如果上述过程不断重复，便 产生一个位错环，a b 位错线段成为一个位错增殖源。 a冉b 浓 l k 一 ( a )( c ) 图( 2 7 ) f r 源的动作过程 2 3 ， ( e ) 西南交通大学硕士学位论文 为了使位错源开动，外加切应力t 必须与曲率半径成反比。 r = 1 a g r b ( g 为剪切模量) ( 2 - - 2 ) 位错线开始弯曲时，所需外加应力值逐渐增大，到达图( 2 - - 7 ) 的( b ) 位置时，r = 考( l 是a b 长度) ，t 达到最大值 2 a g b 7 m “。t ( 2 3 ) 之后位错线继续弯曲，t 又逐渐下降，但在a ，b 两端发生卷曲，局部剪 应力t 又有可能超过t ，因此t 不再均匀分布，总的平均剪应力在减小，位错 线变得不稳定，继续弯曲扩大。 2 3 几种基本的位错运动障碍 2 3 1 晶界 由于晶乔两侧晶体的取向不同，一般说来，滑移系上的开动位错难以穿过 晶界继续运动，因而，当位错运动至晶界前时，将不可避免地产生塞积。下图 显示了晶界塞积的典型情况，由于位错之间的弹性相互作用，位错塞积将产生 阻碍后续运动的应力场，晶界对于位错运动构成了强有力的障碍，因而在金属 加工硬化诸因素中占有重要地位。 b - ”开 _ l 上_ l _ l 图( 2 8 ) 晶界前的位错塞积 2 4 西南交通大学硕士学位论文 2 3 2 空位、问隙原子 金属中除了含有线缺陷( 位错) 外，还包含大量的点缺陷。空位、间隙原 子便是常见的点缺陷形式。在位错的运动过程中，由于位错和空位、间隙原子 的排斥或吸引，以及空位、间隙原子的扩散速度较位错运动为慢，在位错前方 将引起空位、间隙原子堆积，相反在位错后方，空位、间隙原子浓度将低于位 错运动前方的浓度。位错与空位、间隙原子之间的弹性应力场将对位错的继续 运动起阻碍作用。 避b 十芩蛙星搬b 。删0 0 。b i 7 黾。 图( 2 9 ) 空位和间隙原子在运动位错前的堆积 2 - 3 3 杂质 金属，特别是合金中含有大量的异相原予( 杂质) ，当杂质比较大时，位 错难以克服杂质的弹性应力场而越过杂质。相应地位错将以下图的形式绕过质 点，并留下一个围绕杂质的位错环( o r o n a n 位错环) ，位错绕过质点，需一定 的外加应力。 2 5 西南交通大学硕士学位论文 图( 2 1 0 ) 位错与杂质的相互作用 2 3 4l o m e r _ - c o t t r e l l 锁 c b l a b 2e 图( 2 1 1 ) l o m e r - - - c o t t r e l l 锁 杂质 如图，和为f c c 单晶的两个相邻滑移面；c d 和e f 分别为冗和啦上的位 错，其中b u r g e r s 向量分别为b 和b ，当c d 和e f 在a b 处相遇时，两位错 将发生反应而生成一稳定的新位错，新生成的位错的b u r g e r s 向量与a b 垂直， 但不在两个滑移面的任一面上，因而为不可动位错。该位错称为l o m e r - - - c o t t r e l l 锁。对于后续运动，l o m e r - - c o t t r e l l 锁构成一有效的障碍，从而导致位错在 l o m e r - - - c o t t r e l l 锁前塞积，阻碍位错进一步地运动，l o m e r - - c o t t r e l l 锁是导致 f c c 金属加工硬化的一种重要因素。 西南交通大学硕士学位论文 2 3 5 林位错 c ge | b | 父 一! 月| f da f 图( 2 1 2 ) 林位错 兀 凡是穿过主滑移面的位错均称为林位错，在图2 4 中，7 c 平面表示主滑移 面，c d 、e f 和g h 位错都是林位错。当主滑移面上的运动遇到林位错时，将 发生位错反应。典型的反应如位错之间的相互缠结形成割阶等。由于形成的位 错网络，位错交割形成割阶