（地球探测与信息技术专业论文）colecole模型等效模拟瞬变电磁响应.pdf

中南大学学位论文摘要 摘要 目前c o l e c o l e 模型主要用在激电和生物制药等方面。瞬变电磁 场的建立过程及其附加效应一集流效应、激发极化效应、磁张弛效应 等都具有张弛特征，而c o l e c o l e 模型是表征张弛效应最经典的数学 物理模型，因此研究基于c o l e c o l e 模型的瞬变电磁响应具有重要意 义。 !论文简单介绍了c o l e c o l e 模型的由来，并举实例说明了各个参 数的变化对c o l e c o l e 模型的影响。然后详细推导了水平层状介质条 件下，基于c o l e c o l e 模型中心回线瞬变电磁法阶跃响应的求解及计 算方法，并得出了圆回线中一t l , 磁场垂直分量的表达式。针对积分的核 函数，通过整体趋势和具体频率两个方面的比较，得出了c o l e c o l e 模型同实电阻率模型的核函数变化趋势相近，从而在实电阻率模型中 应用的数值算法同样可以应用到c o l e c o l e 电阻率模型中。又通过计 算时间和计算精度两个方面的比较，选择了更适合本论文的改进的数 值滤波法，并编写了基于c o l e 。c o l e 模型的一维正演程序。在所编正 演程序的基础上，分别计算了两层和三层两种地质模型中c o l e c o l e ：模型电阻率中各个参数的变化对瞬变电磁衰减曲线的影响。通过改变 c o l e c o l e 电阻率模型中同一个参数，比较同一参数不同情况下瞬变 电磁的衰减曲线，分析其特征和规律，得出了以下结论：充电率m 在0 1 o 9 之间变化时，基于c o l e c o l e 模型的瞬变电磁衰减曲线的 衰减趋势随着m 的增大而减小，但是变化不大；频率相关系数c 在 o 1 o 9 之间变化时，衰减曲线的衰减趋势随着c 值的增大而增大， 但是这种衰减趋势变化也不是很明显；f 值对c o l e c o l e 模型的瞬变 电磁衰减曲线趋势影响大，同时瞬变电磁衰减曲线的衰减趋势与时间 常数f 的变化并不是简单的正反比关系。 论文最后采用c o l e c o l e 电阻率模型和实电阻率模型对广西大厂 矿区，某测点实测瞬变电磁响应曲线进行了正演拟合，实电阻率模型 的拟合曲线自始自终都是正值衰减，而c o l e c o l e 电阻率模型不但能 够拟合的瞬变电磁衰减曲线而且能拟合负值现象，从而为实现定量解 释极化介质奠定基础。 关键词：c o l e c o l e 模型，张弛效应，瞬变电磁响应特征，改进的线 性滤波法 a bs t r a c t c o l e c o l em o d e l c u r r e n t l y u s e d p r i m 撕1 v i ni pa n d b i o p h a r m a c e u t i c a la s p e c t s t h e p r o c e s s o f b u i l d i n g t r a n s i e n t e l e c t r o m a g n e t i ca n di t s a d d i t i o n a le f f e c ts u c ha s g a l v a n i c i n d u c e d p o l a r i z a t i o n ，m a g n e t i cr e l a x a t i o ne f f e c t sa n ds oo n ，a r ea l lo fr e l a x a t i o n c h a r a c t e r i s t i c s c o l e c o l em o d e li st h em o s tc l a s s i c a lm a t h e m a t i c a la n d p h y s i c a lm o d e lt oe x p l a i nt h er e l a x a t i o ne f f e c t s ，t h e r e f o r e ，b a s e do n c o l e c o l em o d e lo ft r a n s i e n te l e c t r o m a g n e t i cr e s p o n s ei si m p o r t a n t p a p e rb r i e f l y d e s c r i b e st h eo r i g i no fc o l e - c o l em o d e l ，c i t i n g e x a m p l e so fv a r i o u sp a r a m e t e r so nt h ec o l e c o l em o d e l s t h e nt h el e v e l o fl a y e r e dm e d i ai sd e r i v e di nd e t a i lu n d e rt h ec o n d i t i o n s b a s e do n c o l e c o l em o d e lo fc e n t r a ll o o pt r a n s i e n te l e c t r o m a g n e t i cm e t h o dt o s o l v et h es t e pr e s p o n s ea n dc a l c u l a t i o nm e t h o d s ，a n do b t a i n e dac i r c u l a r 1 0 0 pc e n t e ro ft h em a g n e t i cf i e l dv e r t i c a lc o m p o n e n to ft h ee x p r e s s i o n f o rt h e i n t e g r a l k e m e lf u n c t i o n 也eo v e r a l lt r e n d sa n ds p e c i f i c f r e q u e n c i e st h r o u g h 也et w oa r e a s a n do b t a i n st h ec o l e c o l em o d e lw i t h t h ea c t u a lt r e n do ft h ek e r n e lf u n c t i o ni ss i m i l a rt ot h er e s i s t i v i t ym o d e li n t h er e a la p p l i c a t i o n ，s on u m e r i c a la l g o r i t h m sc a l la l s ob ea p p l i e dt o c o l e c o l em o d e l a l s ot h ei m p r o v e dl i n e a rf i l t e rw a sc h o s e nb yt w o c o m p a r i s o n s o f c o m p u t a t i o n t i m ea n d a c c u r a c y , a n dp r e p a r e d o n e d i m e n s i o n a lf o r w a r dp r o g r a mo ft h ec o l e c o l em o d e l i nt h e c o m p i l a t i o np r o c e s si sp e r f o r m e db a s e do nt w oa n dt h r e ea r ec a l c u l a t e d g e o l o g i c a lm o d e lo ft w oc o l e c o l em o d e l i nt h er e s i s t i v i t yo f t h ev a r i o u s p a r a m e t e r so nt h et r a n s i e n te l e c t r o m a g n e t i cd e c a yc u r v e s b yc h a n g i n g c o l e c o l em o d e li nt h es a m ep a r a m e t e r st oc o m p a r et h es a m ep a r a m e t e r s u n d e rd i f f e r e n tc o n d i t i o n so ft r a n s i e n te l e c t r o m a g n e t i ca t t e n u a t i o nc u r v e o ft h ec h a r a c t e r i s t i c sa n d1 a w s r e a c h e dt h ef o l l o w i n gc o n c l u s i o n s ：t h e c h a r g e a b i l i t ym v a r i e db e t w e e n0 1a n d0 9 b a s e do nc o l e c o l em o d e lo f t r a n s i e n te l e c t r o m a g n e t i cd e c a yc u r v eo ft h ea t t e n u a t i o nt r e n do fd e c r e a s e w i t ht h ei n c r e a s eo fm ，b u tl i t t l ec h a n g e ；t h ef r e q u e n c yd e p e n d e n c ec b e t w e e n0 1 o 9c h a n g e s t h ed e c a yc u r v eo ft h ea t t e n u a t i o nt r e n dw i t h t h ecv a l u ei n c r e a s e s b u tt h i sa t t e n u a t i o ni sn o tv e r yc l e a rt r e n do fc h a n g e ； i i 虫密丕堂亟堂僮论塞星s ! 鲢鳗 t h et i m ec o n s t a n tfv a l u eo ft h e c o l e c o l em o d e lo ft r a n s i e n t e l e c t r o m a g n e t i ct r e n d sa f f e c t i n gt h ed e c a yc u r v e ，b u tt h et i m ec o n s t a n tt a n d e l e c t r o m a g n e t i c d e c a y c u r v eo ft h e c h a n g e i sn o ta s i m p l e r e l a t i o n s h i pb e t w e e np o s i t i v ea n dn e g a t i v er a t i o f i n a l l yu s i n gc o l e c o l em o d e la n dt h er e a lr e s i s t i v i t ym o d e li n d a c h a n ga r e a ，m e a s u r e d i na m e a s u r i n gp o i n t o ft h et r a n s i e n t e l e c t r o m a g n e t i cr e s p o n s eo ft h ef o r w a r dc u r v ef i t t i n g ，t e a lr e s i s t i v i t y m o d e lc u r v e f i t t i n gf r o mb e g i n n i n gt oe n dp o s i t i v ea t t e n u a t i o n ，a n d c o l e - c o l em o d e lc a nf i tt h et r a n s i e n te l e c t r o m a g n e t i cd e c a yc u r v ea n d c a nt i ta n e g a t i v ep h e n o m e n o n ，s oa st oa c h i e v e q u a n t i t a t i v e i n t e r p r e t a t i o no fp o l a r i z e dm e d i ab a s i s k e yw o r d s ：c o l e c o l em o d e l ，r e l a x a t i o nc h a r a c t e r i s t i e s ，t r a n s i e n t e l e c t r o m a g n e t i cr e s p o n s ec h a r a c t e r i s t i c s ，i m p r o v e dl i n e a rf i l t e r i i i 中南大学硕士学位论文 第一章绪论 第一章绪论 瞬变电磁法( t r a n s i e n te l e c t r o m a g n e t i cm e t h o d s ) ，是一种建立在电磁感应 原理的基础上的时间域人工源电磁探测方法。它利用不接地回线( 磁源) 或接地 线源( 电偶源) 向地下发送一次脉冲磁场，在一次脉冲磁场的间歇期间测量地下 介质和目标体耦合效应的二次场【l 】【2 】【3 】【4 】。由于瞬变电磁法是在没有一次场背景情 况下观测二次场，克服了一次场诸多对测量结果的影响，且具有测深和剖面测量 工作同时完成、勘探深度大、分辨率高、穿透和分辨低阻覆盖能力强、无高阻屏 蔽等优点，已经广泛应用于矿产勘探、煤田探测、地热、水文、工程与环境地质 勘察等领域。随着瞬变电磁法的广泛应用，人们对瞬变电磁法的研究也越来越广 泛，正反演计算研究方面，从一维正反演发展到二维、2 5 维甚至有的学者尝试 三维正反演计算研究；野外数据采集、处理到解释等方法技术也取得了长足的发 展，特别是随着电子技术的飞速发展，瞬变电磁法仪器也越来越先进，测量精度 更高，抗干扰能力更强。 1 1 瞬变电磁法正演计算概况 目前瞬变电磁法的正演计算一般采用数值模拟技术，主要有一维滤波系数 法，三维积分方程法，二维、三维有限差分法，2 5 维有限元法等隋1 。k o uj t 和c h od a ( 1 9 8 0 ) 首次用有限元法解时域中的变分问题，求任意二维地电断 面的瞬变电磁响应并用中心差分来代替热传导方程中对时间的导数怕1 。g o l d m a n 等( 1 9 8 6 ) 用有限单元法求解任意二维电阻率分布的瞬变电磁响应，求解的是总 场而非二次场口1 。l e p p i n ( 1 9 9 2 ) 解决了长久以来未曾解决的二维非均质体、三 维源的时间域电磁模拟问题哺1 。s a nf i l p o 和h o n m a n n ( 1 9 8 4 ) 用积分方程法求 解了导电半空间三维体的瞬变电磁响应悖1 。w a n g 和h o n m a n n ( 1 9 9 3 ) 解决了“真 正意义 上的三维t e b t 正演问题u 们。 我国的瞬变电磁法研究在一维正演方法技术及理论上取得了大量的成果，长 期从事这种方法研究工作的有：方文藻、牛之链、朴化容、蒋邦远、罗延钟等。 随着电子计算机的发展，在多维正演模拟中也取得了很大的进展，殷长春、刘斌 ( 1 9 9 4 ) 利用并矢格林函数理论和积分方程方法计算了两层大地中三维异常体的 频率域电磁响应，并利用余弦变换方法将其转换为时间域电磁响应【1 l 】。闫述、陈 明生等( 2 0 0 2 ) 为了深入了解瞬变电磁场的勘探原理，直接在时间域对负阶跃脉 冲激发的二维瞬态场进行了数值分析【1 2 】。王华军、罗延钟( 2 0 0 3 ) 基于电磁场本 身的叠加原理，从麦克斯维方程组出发，导出了中心回线瞬变电磁2 5 维的有限 单元计算公式【1 3 】。熊彬、罗延钟( 2 0 0 6 ) 在吸收并修正部分前人工作的基础上， 中南大学硕士学位论文 第一章绪论 给出了电导率分块均匀的瞬变电磁2 5 维有限单元法正演算法【1 4 】。 1 2c o l e c o l e 模型正演计算研究及应用现状 上述瞬变电磁的正演算法基本上都是在实电阻率的基础上考虑的，因而所得 到的瞬变电磁衰减曲线都是正值。然而随着瞬变电磁方法应用范围的扩大，近几 年内出现了早期测道时间提前至几微妙，晚期测道延长至几秒的系统。观察到了 区别与地电断面感应涡流效应的瞬变电磁场，它们是：位移电流效应、接收线圈 固有的过渡过程、集流效应、磁张弛效应及激发极化效应等，这样瞬变电磁的衰 减不再是一成不变的正值，而是出现了正负符号反转的现象，这些现象使用常规 的实电阻率法是无法解释洲2 1 。 瞬变电磁产生二次场的过程，包括集流效应、激发极化效应、和磁张弛效应 等瞬变电磁的附加效应都具张弛特性。c o l e - c o l e 模型是表征张弛效应的最理想 模型。基于c o l e - c o l e 模型，m o r r i s o n ( 1 9 6 9 ) 等人指出激电效应在重叠回线瞬 变电磁测量中有可能表现为符号反转【”】。h o h m a n n ( 1 9 7 0 ) 对频率域电磁测量系 统的激电效应影响特征进行了理论和应用研究，得出的结论是仅仅由振幅响应， 不能反应激电效应的影响。接下来很多人做了大量的数值模拟来研究瞬变电磁响 应中的激电效应的影响f 1 6 】。l e e ( 1 9 7 5 ) 研究了自由空间中极化球体的瞬变电磁 响应【1 7 1 。s p i e s ( 1 9 8 0 ) 首先观测到重叠回线系统的瞬变电磁负响应【1 8 】【1 9 1 。l e e ( 1 9 8 1 ) 又研究了可极化的全空间和均匀半空间的瞬变电磁响趔2 0 1 。w e i d e l t ( 1 9 8 2 ) 从理 论上证明了如果大地电阻率不存在频散特性，则重叠回线系统的瞬变电磁响应在 任何时间都不改变符号，这就激发了人们在介质的极化特性对瞬变电磁响应的影 响方面做出研究【2 1 1 。r a i c h e ( 1 9 8 3 ) ，w a i t 和d e b r o u x ( 1 9 8 4 ) ，l e w i s 和l e e ( 1 9 8 4 ) 计算了均匀半空间中存在一个可极化的二维圆柱体时的瞬变电磁响应【2 2 】【2 3 】【2 4 1 。 w a l k e 和k a w a s a k i ( 1 9 8 8 ) 在瞬变电磁观测数据中发现了电场信号两次变号，认为 第一次变号是由于地表存在极化体，第二次变号是由于深部导电层的感应效应 2 5 1 。s m i t h 和w e s t ( 1 9 8 9 a ，b ) 以及f l i s ( 1 9 8 9 ) 等对时间域瞬变电磁法中激电 效应影响的物理机制进行了探讨，认为瞬变电磁响应中的反号现象可以被用来探 测是否地下有极化的矿化物存在【2 6 】【2 7 】【2 引。在f l i s 的基础上，h o h m a n n 和n e w m a n ( 1 9 9 0 ) 研究了强电阻围岩中地表的二维异常体的瞬变电磁响应 2 9 1 。l e e 和 t h o m a s ( 1 9 9 2 ) 讨论了导电半空间中极化球体的瞬变电磁响应，认为当极化体 具有很高的充电能力时才会出现负响应【3 0 】。h e s h a m 和e s s a m ( 2 0 0 4 ) 讨论了在 高电阻围岩中存在二维极化体时不同因素分别对正负效应的影响【3 l 】。 通常情况下，这种负效应被当成干扰来处理的，e l l i o t tp ( 1 9 9 1 ) 提出了 采用经验法消除瞬变电磁的激发极化效应m 1 。王隆平，温佩琳( 1 9 9 8 ) 讨论了瞬 2 中南大学硕士学位论文 第一章绪论 变电磁中的激发极化效应，并总结了一套削弱或消除瞬变电磁测量中这种激电效 应的实用方法技术引。2 0 0 6 年韩玉雷利用瞬变电磁中的极化效应寻找废弃铁轨 的埋藏位置，并取得了良好的效果m 1 。这些成果要么利用瞬变电磁附加效应 激发极化效应解释异常，要么消除激发极化效应解释瞬变电磁响应，但是，瞬变 电磁响应的过程和其附加效应都具有张弛特性，用c o l e - c o l e 模型等效模拟瞬变 电磁张弛特性，可以同时正演计算瞬变电磁响应和其附加效应。 1 3c o l e c o l e 模型正演计算的意义 如前所述，正是由于利用实电阻率对瞬变电磁响应的正反演计算不能反映野 外实际工作中，瞬变电磁衰减曲线的正负符号改变的想象，也就是瞬变电磁场的 各种附加效应，具有一定的局限性。而采用c o l e c o l e 电阻率模型等效模拟瞬变 电磁的张弛特性，可以同时正演计算瞬变电磁响应和其附加效应，因此对基于 c o l e - c o l e 电阻率模型的正演计算进行分析是有必要并具有重要意义。 1 c o l e c o l e 模型是表征张弛特性的最典型模型，采用c o l e - c o l e 电阻率模型 等效模拟瞬变电磁的张弛特性，可以同时正演计算瞬变电磁响应和其附加效应； 2 通过c o l e - c o l e 模型等效模拟瞬变电磁场附加效应的负值现象，实现定量 解释极化介质； 3 基于c o l e - c o l e 模型的正演计算更符合实际，更能反映真实的地电结构， 为反演打下基础。 1 4 当前研究存在的问题 归纳和总结前面的分析可知，存在如下几个方面的问题： 1 国内外没有详实的基于c o l e - c o l e 模型拟合瞬变电磁响应的数值计算方 法： 2 没有掌握c o l e - c o l e 模型参数对瞬变电磁响应曲线的影响规律； 3 在实践生产中，基于c o l e - c o l e 模型的瞬变电磁正反演还没有被广泛应 用。 1 5 论文主要研究内容及成果 主要研究内容： 1 推导了中心回线装置下，基于c o l e - c o l e 电阻率模型的瞬变电磁正演响应 的表达式； 2 采用对比的方法，选取适当的方法对圆回线中心处，垂直磁场进行数值 中南大学硕士学位论文 第一章绪论 计算； 3 计算了两层、三层两种结构c o l e c o l e 模型中充电率r n ，频率相关系数c ， 时间常数t 改变时的瞬变电磁衰减曲线； 4 结合野外地质资料，采用c o l e c o l e 模型正演拟合了野外实测曲线。 主要成果： 1 论文讨论了c o l e - c o l e 模型中，充电率m ，频率相关系数c ，时间常数t 的 变化对c o l e - c o l e 模型的影响。 2 在中心回线装置下，从麦克斯韦方程组出外，详细推导了基于c o l e c o l e 模型的均匀半空间和水平层状介质的瞬变电磁响应。 3 采用实电阻率模型同c o l e c o l e 电阻率模型相对比的办法，从宏观上和典 型频率两个方面比较了二者积分核函数的变化趋势，得出了二者的整体形态相 似，变化形态相同的结论，从中可知，在实电阻中应用的数值算法可以应用到 c o l e c o l e 电阻率模型中。 4 由于实电阻率中的数值算法可以应用到c o l e c o l e 电阻率模型中，论文比 较了求解一阶贝赛尔函数积分的线性滤波法和改进的线性滤波法，从计算时间和 计算精度两个方面综合对比，得出了改进的线性滤波法优于线性滤波法；在从频 率域向时间域转换的算法中，选择了折线逼近法，从而得到了更有利于基于 c o l e c o l e 模型的瞬变电磁响应的求解的数值算法。 5 论文通过利用基于c o l e c o l e 电阻率模型的正演程序，计算了两层介质和 三层介质c o l e c o l e 模型中充电率r n ，频率相关系数c ，时间常数t 改变时的瞬变 电磁衰减曲线。对比不同曲线，c o l e - c o l e 模型中充电率m ，频率相关系数c ，时间 常数t 的变化都能引起瞬变电磁衰减曲线衰减幅度的变化，但是时间常数t 与瞬 变电磁衰减曲线的变化并不是简单的正反比关系。 6 论文通过c o l e c o l e 模型正演拟合了野外瞬变电磁的实测衰减曲线，说明 c o l e c o l e 模型更符合实际，更能反映真实的地电结构。 4 中南大学硕士学位论文第二章基于c o l e c o l e 模型水平层状介质瞬变电磁正演 第二章基于c o l e c o l e 模型的水平层状介质的瞬变电磁正演 地下介质的导电模型一直是进行固体地球物理勘察工作关心与研究的内容 之一，但是采用实电阻率模拟只能模拟瞬变电磁响应的衰减特征，不能用来解释 其符号改变的现象，而在这一方面c o l e c o l e 模型应用的最为广泛。 2 1 c o l e c o l e 模型模拟瞬变电磁的可行性论证 2 1 1c o l e c o l e 模型的由来 c o l e c o l e 模型原本是c o l e 兄弟模拟电解质的介电性质与1 9 4 1 年提出来发 表在j c h e m p h y s 上f 3 5 】，2 0 世纪7 0 年代w h p e l t o n 通过大量的实验得出c o l e c o l e 模型非常适合描述复电阻率的行为，将该模型应用到勘察地球物理学中。表达式 如下【3 6 】【3 7 】： 咖h h 一高 其中风为频率为零的岩矿石的电阻率；m 为充电率；c 表征复电阻率随频率 变化程度的参数，称为频率相关系数；f 为时间常数【3 8 1 。 2 1 2 不同参数下c o l e c o l e 模型的变化 由公式( 2 1 1 ) 可知，c o l e - c o l e 电阻率模型与角频率彩，充电率m ，时间 常数f ，频率向关系数c 密切相关，图2 1 反映了不同充电率m 情况下p ( i c o ) 的变 化，图中p o = i o o c 2 m ，频率厂的变化范围为1 0 e 一1 0 厂1 0 e + 1 0 ，时间常数 f 的值为f = 0 0 0 1 s ，频率相关系数c = 0 5 5 ，从图中可以看出：当m 值固定时， 础缈) 随着厂的变化有一种衰减的趋势，当1 0 e 一1 0 厂 1 0 e 一2 时，p o 国) 基本 上保持不变，等于频率为0 时电阻率的值p o ；1 0 e 一2 1 0 e + 5 时，已经衰减到了1 0 q m 左右，可见m 值的不同， 对p ( f 彩) 的影响是十分巨大的。 中南大学硕士学位论文第二章基于c o l e c o l e 模型水平层状介质瞬变电磁正演 c 3 。 n 图2 - 1 不同m 情况下电阻率p 的变化 图2 2 反映了不同时间常数f 情况下p ( f 国) 的变化，具体的参数除m = 0 4 外， 其它参数的取值相同。从图中可以看出：当f 值固定时，p ( f 缈) 随着f 的变化有 一种衰减的趋势，最后随着厂的增大，p ( f 彩) 不再衰减，为一固定值；当f 值改 变时，p o 国) 的衰减趋势随着f 的不变，但是衰减的起始频率发生了改变。具体 表现为p o 缈) 随着f 的增大，不断的沿着坐标x 轴向右平移。虽然f 值的改变也 能引起p o 缈) 的变化，但是这种趋势没有m 所引起的变化明显。 e c ￥ 3 o a 图2 - 2 不同f 情况下电阻率p 的变化 图2 3 反映了不同时间常数m 情况下p ( f 缈) 的变化，具体的参数除m = 0 4 ， f = 0 0 0 1 s 外，其它参数的取值相同。从图中可以看出：当c t g 固定时，户o 国) 随 着厂的变化有一种衰减的趋势，最终趋近于一个稳定值。不再随厂的增大而变化； 当c 值改变时，p o 缈) 的衰减趋势随着c 的增大而增大，但是衰减的幅度不变，其 次衰减的起始频率也随着c 的增大而增大，不同c 值的曲线在图中交于一点。虽 6 中南大学硕士学位论文第二章基于c o l e c o l e 模型水平层状介质瞬变电磁正演 然c 值的改变也能引起p ( f 缈) 的变化，但是这种趋势没有m 所引起的变化明显。 e c x 3 。 a 图2 - 4 不同m 情况下电阻率的变化 综合观察图2 1 2 3 ，无论c o l e - c o l e 模型中哪个参数的变化都使的 c o l e c o l e 模型电阻率p ( i d o ) ，随频率厂的增大而衰减，其中m 的变化所引起的衰 减幅度最大，r 值和c 值的改变所引起的衰减幅度类似，但是当c 值较小时，衰 减的频率段比较长。这些参数的变化都会对瞬变电磁响应趋势造成影响，从而研 究基于c o l e c o l e 模型的瞬变电磁响应是有必要的，进而为下文基于c o l e - c o l e 模型的正演计算打下了基础。 2 2 基于c o l e c o l e 模型水平层状介质表面上圆回线源的谐变场 在磁源瞬变电磁法勘探中，多采用磁源和大回线源两种工作装置，计算大回 线源辐射的电磁场时，由于该电磁场具有柱对称性，采用柱坐标求解场的分布。 为使求解方便，引用标量赫兹势f 。在电磁场理论中，一般首先研究均匀半空间 下电磁场的分布，然后引入水平层状模型求解，在本节也采用这种方法对基于 c o l e c o l e 模型的水平层状介质的瞬变电磁响应进行分析求解【3 9 】。 2 2 1 基于c o l e - c o l e 模型均匀大地表面上水平圆回线的谐变场 设空气中的波数为k o ，地下均匀半空间的波数为k 。，在地表上方j i l 处有一个 半径为口的圆回线，回线中通以电流为i o ，柱坐标( ，z ) 的原点位于圆回线的中 心在地方的投影处，三轴向下为正( 见图2 - 5 ) ，为了方便求解，引入标量赫兹位磊 7 中南大学硕士学位论文第二章基于c o l e c o l e 模型水平层状介质瞬变电磁正演 a 一一一一 h p0 pl ( i ) po i m l t1 e lh i r z 在波数为的上半空间( _ j i l z 七厶似) 以 ( 2 2 4 ) ( 2 2 2 ) 式中指数取负是一次场昂p 随h 的增大而减小所致。而( 2 2 4 ) 式中指数为正 是二次场昂，随z 增大在o z h 的域内接近正异常源，故r ，随之增大。 式中 彳= 坐26 0 掣 ” 见 其币6 0 为待定系数，于是 ( 2 2 5 ) 中南大学硕士学位论文 第二章基于c o l e c o l e 模型水平层状介质瞬变电磁正演 届( r ，z ) = t i o af 掣印m i + 6 0 p 七k 似如 ( 2 2 6 ) 在波数为k 。的下半空间，f 函数用e 表示，它满足亥姆霍兹方程 v 2 e 一砰鼻= 0 该方程在柱坐标中的表达式为 塑c 3 r 2 + ! r 堕o r 罩塑c 3 2 2 一砰e = 。 i l u 利用分离变量法求解( 2 2 8 ) 式，得到其通解 互一i 。o af b l 掣似p 以 式中 “。= 0 f i 亭，砰= 一( f 国址，2 j l 为待定系数。 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 可以根据边界条件求待定系数6 0 和6 l 。在边界上( z = 0 ) ，, u o = 。时，由 解得 玩。= b l 。1 h o t = h b 飞 得 堡fo：=盟f,0zgz 堡：盟 j ( 2 2 1 0 ) ( 2 2 1 1 ) 卜) = 等f 掣p m l + 等p 叫山脚他2 舵) i 互( ，z ) = - - 2 - f l 。a 2 + u - - - - - - 百2 e - u j ( 2 a ) 。( b ) e 一唧2 烈 、。1 。 鼻，z ) 2 丁l o af 石2 - 似讥似伽 求得，函数后，即可得电磁场的各个分量。分别为 ( 2 2 1 3 ) 岛= 一z 掣等= z 鹕口j c o 丢似p 。协m ( 2 2 4 以= 塞= 一厶口j c o 芸。似n 协m 9 ( 2 2 1 5 ) l l l”一“乇一坛 二+杉一+ 等羔 l i = 加 夙 轨 呐一 地蝴 珊 触 p 舻 ，。l r 中南大学硕士学位论文 第二章基于c o l e c o l e 模型水平层状介质瞬变电磁正演 皿= 一吾导( ，- 等) = 厶口f 芸乩似肌 c 2 2 6 ， 当在中心接收时，r = 0 ，由于厶( 0 ) = l ，j 。( o ) = 0 ，于是 h ：= i o a r 南似m 2 2 2 基于c o l e - c o l e 模型水平层状介质表面上水平圆回线的谐变场 本节将导出基于c o l e - c o l e 模型的水平层状介质表面上水平圆回线的谐变场 表达式。设半径为a 的圆回线位于水平介质表面，各层厚度及参数如图3 1 所示。 建立柱坐标系，原点位于回线中心。 ， 。i ) 谛iopi ) k面r 一t1c lh l h 1 f p2 ( i ( i ) ) p0 2 m 2 t2 c 2h 2 1 ib il - ； ； pi ( i ( i ) ) p0 i m i ti c ih i ： ： ： r pn ( i ( - ) ) po n m n tn c nh n 1 图2 - 6 水平层状c o l e - c o l e 等效大地圆回线模型 求解的基本方程为 v 2 f 一砰f = 0 ( 2 2 1 7 ) 在上半空间参照( 2 2 6 ) 式半空间的情况，得到r 的通解为 1 0 r ：等j c 0 掣p + p 七k 似m ( 2 2 1 8 ) 地下第_ ，层介质中，满足亥姆霍兹方程，其通解参照( 2 2 9 ) 式，为 ：警j c d 掣【口j e - u j zq - 矿2 m 眨2 舯， 式中，：1 2 ，疗一1 ；“，= 肛可；七；= 砌仃，g 国址 地下第n 层介质的解为 c ：，i 。- - - - 竺a 2 f j i ( a a ) a e - j o 似m ( 2 。2 2 。) 为确定方程中的待定系数口，口2 ，口，口。及6 0 ，6 l ，b 2 ，b j ，吃一t ，必须利用界 面处的边界条件，建立2 以个方程，其边界上的连续特性有： o = 0 , 1 ，2 ，以一1 ) ( 2 2 2 1 ) 下面以三层介质为例进行推导，由( 2 2 1 8 ) ( 2 2 2 0 ) 式，各地层中的尸函数 具有如下形势式： 瓦 e 疋 e ( 2 2 2 2 ) 可见共有6 个待定系数，a l , 口：，口3 ，6 0 ，6 1 ，b 2 ，为此由边界条件( 2 2 2 1 ) 得下列6 个代数方程 1 + = a l + b 一名+ 肋= 一u l a l + u i 6 l 口l e 一呐+ 岛p h l l = 口2 9 一呐+ b 2 e ”2 一“1 口l e 一均 + “l b l e i i = 一“2 口2 e 一牡2 + ”2 6 2 p 甜办 口2 e 一“2 如+ 如p “2 2 = 口3 p 一蚝 2 一“2 口2 e 一。幽+ “2 如p “挖= - - u 3 口3 p 一”加 式中“j = 厢，后j 2 = 一i c o o ( f c o ) l t ，j = m 23 堋 ( 2 2 2 3 ) 坠昆 i i = 弓吗i 淼 刊 即 哗 邮 咖以嚣 、_-，一、i-，一、i，一、_，二 一一一 以一 一 以一 以一 d力 中南大学硕士学位论文第二章基于c o l e - c o l e 模型水平层状介质瞬变电磁正演 j i l l = h 。，为第一层的厚度，h 2 = h 。+ 日：为第一层和第二层的总厚度。 由( 5 ) ( 6 ) 式消去a 3 得 ( 3 ) ( 4 ) 式得 以：丝二兰2 e - 2 u 2 屯口， u 2 + 1 1 a l e l + 6 1 p “l u la l e 飞 一岛p ” 两边同乘以一f 掣。得 式中 z l = 一i 0 9 1 ：o p j ，= 1 ，2 ( 2 2 2 4 ) ( 2 2 2 5 ) = z 坐兰垫嬖(222 2 6 ) 口e - u 2 一b , e “2 l ( 2 2 2 4 ) 代入上式，消去口2 ，经整理得 z 。= 筹剁 式中 z ( 2 ) - z z 历z 3 + 厕z 2 t h ( u 2 h 2 ) 由( 2 2 2 7 ) 式得 岛= 躲1 1 e 也屹 厶- r 厶 ( 2 2 2 3 ) 中( 1 ) 式( 2 ) 式，并将上式代入，经整理得 z o 面1 + b o = z 。雨z ( 2 ) 羽+ z l 丽t h ( u 葡i h l ) 由此求得 钆= 麓 式中 z ( 1 ) = z 。雨z ( 2 ) 羽+ z t 硒t h ( u i h 了1 ) z 。+ z j 珈i “1 日1j ( 2 2 2 7 ) ( 2 2 2 8 ) ( 2 2 2 9 ) ( 2 2 3 0 ) ( 2 2 - 3 1 ) ( 2 2 3 2 ) 对比( 2 2 2 8 ) 和( 2 2 3 2 ) 式，可由数学归纳法，求得n 层介质情况下z ( ，) 的递推 公式为 1 2 一屹一屹 e p 包一吃 + 一一