（固体力学专业论文）局部微分求积法的研究及应用.pdf

上海大学硕士学位论文 摘要 微分求积法( o q m ) 的基本思想是通过网格线上所有节点函数值的加权线 性组合来近似表示某个节点的导函数，从而将偏微分方程转化为线性代数方程 组来获得数值解的过程，具有原理简单、计算精度和效率高的突出优点，并在 许多科学与工程问题中获得应用。但传统的微分求积法局限予几何规则区域( 如 平行四边形，扇形等) 的问题求解，其次，由于求积法则需要网格线上全体节 点上的信息，形成的系数矩阵为满阵，不适于大型工程问题的求解，因而限制 了其应用范围，为此本文对局部微分求积法( l d q ) 进行了研究与传统的微 分求积法不同，局部微分求积法通过局部区域节点函数值的加权线性组合来近 似表示某个节点的导函数，不仅适于几何不规则区域上的问题求解，而且形成 的系数矩阵为稀疏的带状，为大规模工程问题的微分求积法求解提供了可能。 在局部微分求积法思想的基础上，本文主要做了如下几方面的工作： 1 采用l a g r a n g e 插值函数，详细了推导了微分求积法和局部微分求积法的 基本公式，给出了误差估计公式。通过数值算例探讨了网格线上不同的节点分 布方式对计算误差的影响，比较了微分求积法和局部微分求积法的误差。 2 分别采用规则和半规则的节点分布方式，对几何不规则区域上的轴对称 热传导和几何不规则截面弹性直杆的扭转问题进行了数值模拟，推导了相应的 计算公式。算例表明l d q 方法解决几何不规则区域问题的有效性。 3 提出了不规则分布节点的局部微分求积法，推导了相应的求积公式，进 一步提高了对几何不规则区域的适应性，属于一种新的无网格法，计算格式的 形成简单方便，避免了一些无网格法处理本质边界条件的困难。对线性和非线 性偏微分方程进行了数值求解，算例表明不规则分布节点的l d q 方法的有效 性。 关键词：微分求积法，局部微分求积法，不规则区域，偏微分方程，l a g r a n g e 插值，节点分布，不规则节点分布 v 上海大学硕士学位论文 a b s t i 醯c t t h eb a s i ci d e ao f t h ed i f f e r e n t i a lq u a d r a t u r em e t h o d ( d q m ) i st h a ta n yd e r i v a t i v e a tam e s hp o i n tc a l lb ea p p r o x i m a t e db yaw e i 曲t e dl i n e a rs u mo fa l lt h ef u n c t i o n a l v a l u e sa l o n gam e s hl i n ew i t hw h i c ht h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o nc a nb er e a d i l y t r a n s f o r m e di n t ot h es y s t e mo fl i n e a ra l g e b r a i ce q u a t i o n s t h ed q mh a sb e e n r e c o g n i z e da san u m e r i c a l l ya c c u r a t ea n dc o m p u t a t i o n a l l ye f f i c i e n t n u m e r i c a l t e c h n i q u e ，a n dh a sb e e nu s e ds u c c e s s f u l l yt od e a lw i t hal a r g en u m b e ro f p r o b l e m so f p h y s i c a la n de n g i n e e r i n gs c i e n c e h o w e v e r ，t h es o l u t i o nd o m a i n i sl i m i t e dt or e g u l a r r e g i o n si nt h ec o n v e n t i o n a ld q m i na d d i t i o n ，t h ed q m i sn o ts u i t a b l ef o rs o l v i n g l a r g e s c a l ep r o b l e m ss i n c et h es y s t e mm a t r i xi sf u l l ，r e s u l t e df r o mt h a ta l lt h en o d a l i n f o r m a t i o ni sr e q u i r e da l o n gam e s hl i n ei nt h eq u a d r a t u r er u l e t oc i r c u m v e n t a f o r e m e n t i o n e dl i m i t a t i o n s ，t h el o c a ld i f f e r e n t i a lq u a d r a t u r e ( l o q ) m e t h o di s i n v e s t i g a t e di np r e s e n tw o r k d i f f e r e n tf r o mt h et r a d i t i o n a ld q m ，t h eb a s i ci d e ao f t h el d qm e t h o dl i e si nt h a ta n yd e r i v a t i v ea tap o i n ti sa p p r o x i m a t e db yaw e i g h t e d l i n e a rs u mo ft h en o d a lf u n c t i o n a lv a l u e so n l yi nal o c a lr e g i o na r o u n dt h i sp o i n t t h el d qi ss u i t a b l en o to n l yf o rs o l v i n gp r o b l e m so v e ri r r e g u l a rd o m a i n sb u ta l s o f o rs o l v i n gl a r g e s c a l ee n g i n e e r i n gp r o b l e m sb e c a u s eo f t h eb a n dm a t r i xi nt h el d q b a s e do nt h ei d e ao f t h el o qm e t h o d ，t h ef o l l o w i n gr e s e a r c h e sa r ec a r r i e do u ti n t h ep r e s e n tw o r k ： i t h e b a s i ce q u a t i o n s o f b o t h t h e d q ma n d t h e l d q m a h o d f i ed e r i v e d i n d e t a i l w i t ht h ea i do f l a g r a n g ei n t e r p o l a t i o n s t h ee r r o re s t i m a t i o nf o r m u l a ea l ep r e s e n t e d t h ee f f e c to ft h en o d ed i s t r i b u t i o na l o n gam e s hl i n eo nt h ec o m p u t a t i o n a le r r o r si s i n v e s t i g a t e dt h r o u g hn u m e r i c a le x a m p l e s t h ee r r o r sa r cc o m p a r e db e t w e e nt h e d q m a n dt h el d qm e t h o d 2 u s i n gt h er e g u l a ra n ds e m i r e g u l a r n o d ed i s t r i b u t i o n s , r e s p e c t i v e l y , t h e n u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa r ep e r f o r m e df o rt h ea x i s y m m e t r i c a lh e a tt r a n s f e ro v e r i r r e g u l a r d o m a i na n dt h et o l r s i o ns h a f tw i t h i r r e g u l a r c r o s s s e c t i o n t h e v i 上海大学硕士学位论文 c o m p u t a t i o n a lf o r m u l a t i o n sa r ed e r i v e dc o r r e s p o n d i n g l y i ti ss h o w nt h r o u g ht h e n u m e r i c a le x a m p l e st h ee f f e c t i v e n e s so f t h el d qm e t h o df u rs o l v i n gp r o b l e m so v e r i r r e g u l a rd o m a i n s 3 t h el d qm e t h o du s i n gi r r e g u l a r l yd i s t r i b u t e dn o d e si sp r o p o s e da n dt h e c o r r e s p o n d i n gf o r m u l a ea r ep r e s e n t e ds ot h a tt h ef e a s i b i l i t yo ft h el o qt ot h e i r r e g u l a rd o m a i ni sf u r t h e ri m p r o v e d t h i sl d qm e t h o di san e w l yd e v e l o p e d m e s h l e s sm e t h o dc h a r a c t e r i z e db yt h es i m p l i c i t yi nu t h ed i f f i c u l t yi nt r e a t i n g e s s e n t i a lb o u n d a r yc o n d i t i o n se n c o u n t e r e di ns o m em e s h l e s sm e t h o d si sr e m o v e d c o m p l e t e l yi n t h i sl d qm e t h o d t h ee f f e c t i v e n e s so ft h el d qm e t h o du s i n g i r r e g u l a r l yd i s t r i b u t e dn o d e si sv e r i f i e dt h r o u g ht h en u m e r i c a lt e s t so fs o l u t i o n so f l i n e a ra n dn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s k e y w o r d s ：d i f f e r e n t i a lq u a d r a t u r em e t h o d ，l o c a ld i f f e r e n t i a lq u a d r a t u r em e t h o d , i r r e g u l a r l y g e o m e t r i cd o m a i n , p a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n , l a g r a n g em t e r p o l m i o n , n o d ed i s t r i b u t i o n ， i r r e g u l a r l yn o d ed i s t r i b t u i o n 1 上海人学硕士学位论文 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。 除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发 表或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的 任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：盟日期：鲨2 望6 旦硼 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅：学 校可以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：二泣导师签名：望血日期： u 上海大学硕士学位论文 1 1 前言 第一章绪论 对于工业，航空，地质等工程领域问题的研究一般有三种方法：科学实验 和观察，问题的理论分析和问题的数值解( 近似解) 的研耕”。这三种方法各 有优势，相互补充，相互渗透。近几十年，随着计算机的快速发展，对于工程 问题进行数值模拟越来越广泛，数值计算方法的研究取得了很大的进展。事实 上，很多复杂的大型的工程问题归根结底就是在一定的初始条件和边界条件下 求解偏微分方程的近似解。方程的近似解法有很多种，包括有限差分法，有限 元法，边界单元法，无网格法，微分求积方法等，下面逐个介绍，并对微分求 积方法详细说明。 1 1 1 有限差分法 有限差分法是一种经典的数值计算方法 2 1 ，它采用差分法将所考虑的区域 织成网格，以差分近似微分，把微分方程变换成差分方程。也就是通过数学上 的近似，把求解微分方程的问题变换成求解关于节点未知量的代数方程的问题。 建立差分方程时，可以用泰勒级数，积分法或变分法。它对边界规整，均质区 域问题求解方便，适用于流体力学领域，并对时间步长问题的求解行之有效。 但有限差分法对复杂边界和域内场的分布变化大的情况难于处理，针对这种缺 陷很多学者仍在不断的探索和发展这种方法，比如l g a v e t e 等学者 3 1 对广义有 限差分法进行了阐述。 1 1 2 有限元法 有限元法的研究已经相当成熟，相应的计算软件也得到了广泛的应用，比 如a n s y s ，m a r c ，n a s t r a n 等。尽管人们在不断地研究新的计算方法，但 有限元法作为一种成熟而强有力的工具，仍然在许多工程领域占主导地位。它 通过变分原理把问题的泛函转化成代数问题进行求解。它的优点是系数矩阵具 有对称性稀疏性，更容易实现电算化处理，使高效的经济的解决大型科学与工 程问题成为可能。但它也有不完美之处，它依赖单元网格的划分，对于复杂的 上海大学硕士学位论文 三维问题划分网格耗时长且不经济，而且由于网格畸变不能处理大变形问题， 比如断裂力学中动态裂纹扩展问题和高速碰撞问题等。随着有限元软件的发展， 已经出现了很多针对网格重布的专门划分网格的软件。 1 1 3 边界单元法 边界单元法将区域的微分方程转化成边界上的积分方程，通过求解边界上 的未知量来求解整个域内的未知量，将区域的边界分割成边界单元，使所考虑 的问题的维数降低一维。即可以把三维问题转变成二维问题，二维问题转变成 一维问题来处理。相对于有限元法，它具有所需数据少，计算时间短，计算精 度高的特点，更适合解决无限域的三维问题【4 l 。但它有三方面缺点： 第一，它的系数矩阵是满的非对称的，对于大型的工程问题计算效率低， 也不适合解决非均质材料区域问题，针对这个缺点，z h u l 5 1 发展了局部边界积分 方程法，它综合了边界单元法，g a l e r k i n 有限单元法和无单元g a l e r k i n 法的优 点，积分方程建立在以节点为中心的局部边界上，得到带状的稀疏的系数矩阵。 更适合求解非线性问题和非均质区域问题。 第二，边界积分方程中的s o m i g l i a n a 等式 6 3 1 中的基本解含有奇异项，需对 域内的靠近边界的节点进行特殊处理，影响了近边界点的计算精度。针对奇异 性，学者们进行了很多新的研究，h a n gm a 等3 期提出用法向距离变换处理角点 奇性，用切向距离变换处理边界上的端点奇性，这样可以完全避免复杂的公式 推导，提高计算效率。 第三，运用边界积分方程须事先知道控制微分方程的基本解，而很多非线 性问题的基本解比较难求，限制了边界单元法的应用范围。 1 1 4 无网格法 无稠格法的研究近年来非常热门，它采用基于点的近似，可以彻底或部分 地消除网格，不需要网格的初始划分或重构，不仅可以保证计算的精度，而且 可以减小计算的难度【1 n ”l 。 无网格法基于加权残量法的原理。采用不同的试探函数( t r yf u n c t i o n ) 和检 验函数( t e s tf u n c t i o n ) 可以导出各种不同的无网格方法。近几年，各国学者做了 大量的研究。很多基于全局弱形式的无网格法需要背景网格计算积分，比如无 上海大学硕士学位论文 单元g a l e r k i n 法，这些并不是真正的无网格法，s a t y an a t l u r i i ”1 提出局部 p e t r o g a l e d d n 无网格法( m l p g ) 是基于局部弱形式的真正的无网格法之一， 它对试探函数和检验函数进行插值，不需背景网格进行积分计算。m l p g 是很 多其它无网格法的基础，比如有限点法，有限云团法，局部点插值法。x i nl i u 1 3 l 用径向点插值配点法( r p i c m ) 解决非线性泊松方程问题，插值函数采用薄板 样条函数，并对h e r m i t e 型插值和非h e r m i t e 型插值计算结果进行比较，进一步 验证了h e r m i t e 型配点法求解带有n e u m a n n 边界条件的微分方程能够减小误 差，避免边界数值结果的震荡。z h o u 1 4 1 对重构核粒子法的形函数进行了讨论。 r a o 【l 驯把g a l e r k i n 无网格法用于分析断裂力学中应力强度因子的导数计算，得 出它比有限元法更简单更精确的结论。j s l a d e k 等用局部p e t r o v g a l e r k i n 无 网格法对三维轴对称各向异性功能梯度材料的热传导进行了分析。a t l u r i 等 用局部p e t r o v g a l e r k i n 无网格法解决线弹性静力学问题，它是基于局部对称弱 形式和移动最小二乘法的近似方案。d e e k 1 8 1 在m p p g 方法的基础上提出局部 p e t r o v - g a l e r k i n 无网格比例法，它提高了形函数的光滑性和连续性。j l i t l 9 1 用径 向基函数对一维和二维地下水污染运输问题建立计算模型。 通过学者们的研究，不难看出这些无网格法之间的区别主要在于所采用的 近似形函数( 如m l s 、r b f 等) 和微分方程的等效形式( 如g a l e r k i n 方程、 p e t r o v - g a l e r k i n 方程、配点) 。建立近似形函数时不借助于网格，基于函数逼 近近似而非插值是域型无网格法与有限元法的主要区别。这也导致大部分域型 无网格法的近似形函数不具有插值特性( 6 函数性质) ，难于采用和有限元法 类似的过程处理本质边界条件”。 1 1 5 微分求积法 而现在受到广泛重视的一种数值方法一微分求积法( d q m ) 可以克服无网 格法的上述缺点。微分求积方法的主要思想是某节点的空间导数近似为全域物质 区域的节点的函数的加权线性和。它本质上属于无网格法的一种，最初由r i c h a r d b e l l m a n 【2 0 】等学者提出，与传统的数值计算方法相比，比如有限差分法和有限单 元法，微分求积法( d q m ) 计算格式的形成不依赖于泛函变分原理，具有公式 简单，计算精度高，计算量和内存需求量少等优点，近年来获得了迅速的发展和 上海大学硕士学位论文 广泛的应用。目前的文献中经常见到把它用于生物科学，交通，流体力学，静力 学和动力学。比如，c s h u t 2 1 1 用拉格朗日插值多项式近似的d q m 研究了在水平 任意偏心环带中热对流的速度场的分布。w a n gl i n 等 2 2 1 用d q m 对非线性约束曲 管的霍夫支流的流场进行了数值模拟。在解决旋转壳丑】，铁木辛科梁0 5 1 的力学 问题中，微分求积法取得了可靠的结果。f l l i u 等 2 6 - 2 8 用微分求积法和微分求 积单元法对m i n d l i n 板进行了静力和动力的分析。s t c h o i t 2 9 】用d q m 对悬臂的曲 板进行了动力分析。 学者们对微分求积方法的研究一般集中在以下几个方面：节点的分布方式 对结果的影响；试函数的选择；如何施加边界条件；加权系数的确定；权系数 的性质以及对于不规则区域问题的处理等。这些因素都会影响计算的效率和结 果的精度。节点的选择可以采用均匀分布节点或者非均匀分布节点，尽管均匀 节点分布更容易确定节点位置，但b e r t 的文献【3 0 】中的几个简单算例可以看出 均布节点对于某些问题结果并不理想，可以采取g a u s s - l e g e n d r e ，g a u s s l o b a t t o 和g a u s s - c h e b ) ，s h e v 等非均匀分布节点。试函数可以采用谐函数，样条函数， 拉格朗日多项式或其他多项式。 尽管微分求积法成功地解决了很多问题，但它仍然有局限性：一是由于函 数的近似只能沿着直线进行，因而d q m 只适用于规则区域，比如矩形，平行 四边形，圆形，扇形等，对于具有复杂几何图形的问题则无法直接应用；二是 采用均匀节点分布的情况下，节点过多会造成方程病态及结果的不稳定 3 0 , 3 2 j ； 三是由于求积法则需要网格线上全体节点的信息，形成的系数矩阵为满阵，因 而不适于大型工程问题的求解。这些缺陷在很大程度上限制了它的应用范围。 如何利用d q m 的优点，克服d q m 的缺陷，对传统的d q m 进行改造引起了很 多学者的研究兴趣。 对于微分求积法难以解决复杂边界问题的局限性，c h e n 3 8 埂出了微分求积 单元法( d q e m ) 的概念，把求解区域离散成若干个规则子域来处理不规则边 界，通过映像技术把( 偏) 微分方程转换到规则区域，并对不同约束条件下的 单元角点进行处理，以热传导问题为例进行d q e m 的数值模拟，取得良好的收 敛性。p m a l e k z a d e h 4 0 1 用微分求积单元法对弹性基础上的t i m o s h e n k o 梁在不同 4 上海大学硕士学位论文 的边界条件下进行震动分析。微分求积单元法对容易分解成矩形的不规则区域 的情况更有效，比如可以成功分析绗架和杆件结构p 4 】，但是对于具有直线边界 或者任意曲线边界的边界不平行于坐标轴的情况则无能为力】。b e r t 等i r 3 4 , 3 5 1 提 出的坐标变换法可以突破这种局限，这种方法基于有限单元法中的单元映射技 术，通过凑形函数的办法把直角坐标系下的不规则区域映射到自然坐标系下的 规则区域上，然后把相应的微分方程和边界条件建立在规则区域上进行计算， 并对四边形和扇形等各向同性薄板进行震动分析来验证这种措施是可行的而 且采用三维形函数可以直接她把求积法则应用到三维问题上。j - b - l a n 3 s l 周坐 标变换法解决了具有曲边边界的r e i s s n c r m i n d l i n 板的闻题。虽然坐标变换法对 于复杂的几何图形问题可以得到比较好的结果，但是不得不承认这个方法的处 理过程很复杂，也不如有限单元法灵活。坐标变换技术是基于离散化沿直线进 行的思想而成的，本质上是由于d q m 中一维试函数的近似沿直线进行而成的， 于是人们提出用二维多项式作为试函数进行近似的想法，这样导数的近似可以 涉及二维区域中的任一点，就不需要坐标变换，这就是d c ( d i f f e r e n t i a lc u b a m r e ) 方法的思想来源，但是由于高次多项式的振荡性，d c 方法解决偏微分方程只 能用有限的网格节点才能获得稳定的结果1 3 l 】。既然多维函数作为试函数对于克 服d q m 的弊端并不是理想的办法，s h u d l 键出用径向基函数( r b f s ) 作为试 函数计算加权系数，因为径向基函数具有各向同性，形式简单，与空问维数无 关的特点。更适合于任意节点分布的情况和多维问题的应用，尽管r b f s 作为 试函数具有无网格特性，离散节点可以采用不规则分布节点，但它仍然克服不 了雄于处理本质边界条件的弊端，在边界附近仍须采用规则分布节点。丽且由 于计算精度不高往往需要更多的离散节点，影响了计算效率。很多其他学者提 出的方法也值得关注，w c i l o n g c f 4 1 1 提出了求积单元法( q e m ) ，把微分求积 方法和有限单元法结合起来，处理高阶导数问题更有效。z h o n g 等心键出三角 微分求积法( t d q m ) ，通过基于点的变换的三角变换技术把曲边三角形区域映 射到等边直角三角形区域，对在均布荷载作用下的椭圆形m i n d l i n 扳进行了静 力分析，这种转换方法中点的选取原则是考虑曲边三角形边界上的点，而不是 内点，这样可以克服基于包括内点的三角形变换技术的微分求积法【4 3 l 的敏感性 上海大学硕士学位论文 弊端。h a n gm a t 卅用边界积分方程进行插值处理不规则边界，综合了边界积分 方程和微分求积法的优点，但这种方法的弊端是计算公式复杂，计算效率也不 高。c n c h e n l 4 4 1 9 微分求积法和有限差分法结合起来，提出微分求积有限差分 法( d q f d m ) 对各向异性非均质板的力学行为成功地进行了分析。 1 2 局部微分求积法 尽管为了克服传统微分求积法的缺陷，学者们作了很多研究。但上述的各种 改进方案和局部微分求积方法( l d q ) 相比都略嫌复杂，比如微分求积单元法只能 解决相对而言并不复杂的不规则边界问题，结合坐标变换技术的d q m 以及三角 形微分求积法的公式推导相对复杂。l d q 方法是微分求积法的一种新的研究方 向，它不仅保留了传统微分求积法的优点，公式简单计算效率高，还能够克服 d q m 的中节点过多出现的弊病，适用于复杂边界问题。这个方法的主要特点是， 在对控制方程进行离散化时，某个节点的微积分算子值只用其附近的局部的一些 节点信息表示，而非全域的节点。计算过程中，采用的是低次多项式的移动插值， 因而可以得出稀疏的带状的系数矩阵，不仅提高了计算效率同时为解决大型工程 问题提供了可能性。 很多学者对l d q 法的应用特点进行了有益的探索。针对微分求积法的第个 缺陷，z h e n g y o uz h u 以及他的学生j i a n a ns u n 和a s j 【4 5 斯】用局部微分求积方法解 决n a v i e r s t o k e s 方程和二维不可压缩粘性流和传热导的耦合问题，对于雷诺数较 大的流场仍能得出高精度的数值解，与有限差分法相比效率更高，结果更可靠， 实际上，这种方法采用的权系数推导公式是基于l a g r a n g e 插值多项式作为试函数 进行的。s h u 在文献 4 7 ，4 8 中提出把径向基函数( r b f s ) 作为试函数应用于局部 微分求积法中，节点的选择可以是非均匀的或者任意的，求解不可压缩n a v i e r - s t o k e s 方程，并模拟理想的可压缩流场 4 9 】，验证了对于多节点的流体力学问题可 以得出可靠的结果，但是这种改进仍然克服不了微分求积法中采用r b f s 作为试 函数出现的弊端。z o n g 和l 锄等人【如1 1 用简单的算例验证随着总节点数目的增 加，尽管d q m 的精度提高了，稳定性却降低了，而l d q 方法可以克n d q m 的这 种缺陷，并以一维和二维波在不同介质中的传播方程为例，验证局部微分求积法 6 上海大学硕士学位论文 的可靠性，与解析解相比它所得的结果具有足够的精度，与d q m 相比，尽管花 费在坐标转换及局部离散化的计算时间稍长，但计算结果的稳定性明显提高。 还有学者提出其他的局部微分求积法，对l d q 方法的研究是有益的补充。比 如，z h o n g 等【5 2 】在三角微分求积法( t d q m ) 的基础上提出局部三角形微分求积 法，对三角形微分求积法进行改造，既提高了精度又提高了收敛速度，也扩大了 三角微分求积法的应用范围。z h a n g 【5 3 1 提出局部适应微分求积法( l a d q m ) ，对 柱形壳的震动进行了分析，计算结果表明只要少量的包括外点的网格点来调节适 应边界条件就可以得到比较精确的自然频率。d i n g 5 4 1 提出局部基于高次微分求积 法( l m q d q ) ，这种方法是以高次径向基函数进行插值，该文作者认为此方法 的精度由局部节点的密度，自由形参数和支撑节点数决定，并通过泊松方程的数 值实验分析这几个因素对该方法的精度的影响。 1 3 论文的主要研究内容 目前对局部微分求积方法的研究仍处于探索阶段，在工程中的应用并不多 见，在前辈工作的基础上，笔者打算从解决热传导和弹性力学扭转的位势问题 以及线性和非线性偏微分方程的应用做进一步研究。以窥局部微分求积法在这 些领域中的应用规律。本文的结构如下： 第一章概述了几种数值计算方法的特点，对各种方法的优点和缺陷进行了 比较，着重叙述了微分求积法的发展现状以及在传统微分求积法的基础上发展 起来的局部微分求积法的特点和研究意义，并简要介绍了本文的研究工作。 第二章介绍了d q m 和l d q 方法的基本原理，以l a g r a n g e 插值多项式为 试函数推导了权函数的计算公式，给出了高阶导数的求积误差公式，并以插值 的观点对误差进行了理论分析，讨论了节点分布对d q m 误差的影响。通过数 值算例探讨了d q m 采用不同的节点分布方式对计算误差的影响，比较了l d q 方法和d q m 方法的误差，并讨论了不同总节点数对l d q 方法和d q m 方法的 误差影响。 第三章用f o r t r a n 语言编制计算程序，分别采用规则和半规则的节点分布 方式，对几何不规则区域上的轴对称热传导和几何不规则截面弹性直杆的扭转 上海大学硕士学位论文 问题进行了数值模拟，并推导了半规则节点的l d q 计算公式，与问题的解析解 或者有限元方法的结果进行比较，考察l d q 方法的计算效率和结果精度，验证 l d q 方法在非规则边界区域问题的应用效果。 第四章提出了不规则分布节点的局部微分求积法，推导了相应的求积公 式，不规则分布节点的选择进一步提高了对几何不规则区域的适应性，属于一 种新的无网格法，计算格式的形成简单方便，避免了一些无网格法处理本质边 界条件的困难。用f o r t r a n 语言编制计算程序，对线性和非线性偏微分方程进行 了数值求解，与问题的解析解进行比较，验证l d q 方法在非规则边界区域的偏 微分方程的应用特点。 第五章是对全文的总结，总结了l d q 方法的一些研究结果。 上海大学硕士学位论文 第二章微分求积法( d q m ) 及局部微分求积法 ( l d q ) 的基本原理 第一章已经概述了几种数值计算方法的特点，并着重介绍了局部微分求积 法( l d q ) 的发展背景和研究热点。本章将详细说明本文工作的理论基础，首先 介绍微分求积法( d q m ) 的基本原理，d q m 的主要思想是某节点的导数近似 表示成全域节点的函数的加权线性和，以l a g r a n g e 多项式为试函数推导了权函 数的计算公式，给出了高阶导数的求积误差公式，并以插值的观点对误差进行 了理论分析，讨论了节点分布对d q m 误差的影响。然后介绍局部微分求积法 方法( l d q ) 的基本算法，比较l d q 和d q m 方法的误差，由于l d q 对函数的 空间导数采用局部节点的低阶移动插值近似，它形成的系数矩阵为稀疏的带状， 因而l d q 可以解决d q m 难于解决的复杂边界问题，不仅提高了计算效率还为 解决大型工程问题提供了可能。最后用简单算例对o q m 和l d q 方法的误差进 行比较，观察采用不同节点分布对d q m 结果的影响，以及采用不同总节点数 对d q m 和l d q 方法结果误差的影响。 2 1 微分求积法( d q m ) 的基本原理 2 1 1d q m 的基本公式 微分求积法是近似求解下述形式微分方程组的数值方法 上( “) = 0 在q 内 ( 2 1 a ) 边界条件为 本质边界条件r ( “) = p ( 在r 上) ( 2 1 b ) 自然边界条件s ( u ) = q ( 在r 2 上) ( 2 1 c ) r = f 。+ r 2 表示区域q 的外表面，上是微分算子。 考虑“为一维函数“( 曲的情况，定义域为区间k ，6 】。仿照对积分进行近似 求值的方法，如f ，o ) d x z 窆w 厂( ) ，函数“( x ) 的导数可以近似表示为整个区 上海大学硕士学位论文 域内的所有离散节点的函数值和相应的加权系数的乘积之和【5 7 i ： ”鹎) z 万d r “( x ) l ，= 骞破k “) ( ，= 0 l ，”) ( 2 2 ) 其中薯是定义域内不同的节点，定义为d = x o x i 以= 6 ，有两个边界节 点= a f f c j x , , = 6 和 一1 个内点口 x l 2 ) ， 即 以“= 一以“) ， 忙= o ，l ，- ，功 ，= n t i ( 2 6 ) 考虑“为二维函数“( x ，j ，) 的情况。试函数可以表示成两个一维函数的积p 川， u ( x , y ) = f o ) g0 ，) ( 2 7 ) 带入，巧，有“f = 群，巧) = f ) g ( ) = e g ，x 方向的，阶偏导数为 y 巩塑飞- u i = f j ) g j = 喜4 ( ，巧q = 粪鸳 j ，方向的j 阶偏导数为 爿卅f 蚤m 蟛2 瓯= 善m 帆 ( 2 8 ) ( 2 9 ) 上海大学硕士学位论文 r + s 阶混合导数为 mnm = e 9 q 砷= 钟巧础瓯= 毋础 ( 2 1 0 ) ，；lji z lm - i 从( 2 8 ) 式一( 2 1 0 ) 式，不难看出二维函数的权系数与一维函数的权系数相 同，因而只要求出一维函数的权系数就可得出二维函数的权系数。同样的求积 法则可以推广到多维函数上。 下面从试函数的选择，系数多项式的性质，节点的分布，误差的分析等几 方面介绍微分求积法的特点。 2 1 2 试函数的选择 试函数( 基函数) 的选择可以采用多项式，比如l a g r a n g e 多项式，c h e b y s h e v 多项式，b e r n o u l l i 多项式，h e r m i t e 多项式，e u l e r 多项式：或者采用三角函数 和有理函数吲。本文的试函数采用l a g r a n g e 插值多项式厶( 力。假设函数”( x ) 定义在k ，胡区间并且n + l 阶可导，试函数采用n + 1 个不同节点 矗( d = x o 而 2 的情况本文首次给出。实际上，( 2 5 0 ) 式 与s h u 等人唧, 6 q 提出的余项表达式( 2 - 2 7 ) 完全不同，它们是以l a g r a n g e 插值 节点表示的，而不是余项的根。以前者表示的余项适合对网格分布进行数值解 的研究而非解析解的研究。另外，用s h u 等人的方法很难明确表示高阶导数的 余项。 从( 2 5 0 ) 式很明显可以看出余项在它们的零点x 妒处为零，即 r ( 7 ) = o ， ( ，= o ，l ，一，”一，) ( 2 5 4 ) 确定节点后，由求积法则( 2 2 ) ，微分方程很容易转变成代数方程组。从 插值节点的角度看，人们自然希望减小相应微分方程的各阶导数的余项。对于 固定数目的节点而言，通过调整节点的分布方式能够减小余项( 这一点也可以 从( 2 5 4 ) 式看出) ，这主要是由于减小了多项式零点的乘积误差。如果插值点 的数目是固定的，从近似值的鞍点的意义上说【矧，可以通过选择l a g r a n g e 插值 节点的分布来实现l a g r a n g e 插值的零次余项的极小化。根据c h e b y s h e v 交错点 组原理，“( x ) 的最佳近似多项式存在并且唯一。采用最佳近似多项式，误差在 整个区域内均匀分布。 这里所说的最佳近似函数，并不能保证它的导函数也能最佳逼近。因为如 果，1 ，多项式零点的位置并不确定。函数误差的均匀分布并不意味着导函数 误差的分布也均匀。如前所述，对于固定的节点数目而言，零点分布不仅取决 于l a g r a n g e 插值节点的分布，也和函数g ) 自身有关。不过从( 2 5 0 ) 式可以 看出，余项的根的分布随着导数阶数的增加倾向于向区间中心移动。从插值节 点的角度看，这种中心移动的倾向对于高阶导数而言不仅影响它的误差大小， 也影响求积法则的稳定性。 上海大学硕士学位论文 以【o ，l 】区间的函数e 。和【o ，2 石】区问的函数s i n ( 功为例，分别按照均匀节点分布 和l o b a r o 点的分布方式，取节点数为7 ，画出不同阶导数的插值余项，如图2 5 2 6 所示。可以看出，随着导数阶数的增加插值误差的绝对值逐渐增大，插值误差函 数的零点个数逐渐减少，零点的位置趋向于低阶导数的零点区间分布，并且在整 个区域内l o b a r o 点的误差分布比均匀点的误差分布均匀得多，因而d q m 中采用 非均匀节点分布是更好的选择。同时插值误差的分布和函数本身有关，函数e 1 比 s i n ( x ) 的插值误差的绝对值小，而且分布相对均匀。这些特点和上面的误差理论分 析相符。 000 20 40 80 810 x0 a - - ? o 。 一 墨，o o s 芒 是俐 s 磊 o 。 1 0 d a23 456 x 撙研 图2 5 af 1 采用均匀节点的各阶导数的插值误差 图2 6 as i n ( x ) 采用均匀节点的各阶导数的插值误差 1 。 享付 邑 喜 1 。 1 0 。 o2345e x 州研 图2 5 b ，采用l o b a t t o 点的各阶导数的插值误差 图2 6 bs i n ( x ) 采用l o b a t t o 点的各阶导数的插值误差 2 l 舻 舻 ” 一口量一0量錾8c箜t一鼍击 上海大学硕士学位论文 2 2 局部微分求积法( l d q ) 的基本原理 2 2 1l d q 方法的基本公式 仍然考虑一维函数”( x ) ，定义域为区间k ，6 】，进行离散化时，试函数为以 z 附近的局部节点的l a g r a n g e 多项式进行移动插值，因而它是分段函数。节点 定义为a = x o x t 而= 6 ，有两个边界节点而= 口和= b 和月一1 个内点 a 五 x n - i b 。对于任意x 【口，b 】，试函数可以表示成离x 最近的m 个节 点进行插值的l a g r a n g e 多项式，这m 个节点按照顺序重新编号为1 1 ，i 2 ， i j ，i m ，即h 2 ，x 与这m 个节点的最大距离设为d ，则 d 满足d = 肘舐卜一i ，( = n ，i 2 ，i m ) ，x 点的导数可以写成 其中 7 ( x ) = ( x ) u ( x d ，( o f 1 ，i m - n ，卜一毛f sd ) ( 2 5 5 ) 砟扛) ：万d r 鬈g ) ， ( 女：订，f 2 ，妒，砌) 积 陀5 6 ) 同样，用节点附近的m 个节点( 包括玉节点在内) 进行局部插值来表示 f 节点的导函数的求积法则，薯与这m 个节点的最大距离设为磊那么 肺 1 ( r ) 如) = 雒，( o s f l ，砌玛k 一 j s 刃 ( 2 5 7 ) i 剐l 如果把( 2 3 ) - ( 2 ，6 ) 式中的节点标号换成n ，i 2 ，驴，i m ，则上式中的权系 数雒的计算方法与d q 方法中相同。 如果考虑边界及其附近节点选取的局部插值节点数( 设为p ) 和除此之外 的内部节点选取的局部插值节点数( 设为q ，q 一般取奇数) 并不相同，则根据 ( 2 5 7 ) 式，节点置导函数的求积法则具体地可以写成 、 上海大学硕士学位论文 ( _ ) ：芝巧；k ，