（基础数学专业论文）grobnershirshov基理论及其在某些群及模上的应用.pdf

华南师范大学博士学位论文 题目：g r s b n e r s h i r s h o v 基理论及其在某些群及模上的应用 学位申请人： 专业名称： 研究方向： 所在院系： 导师姓名及职称： 论文提交日期： 钟婵燕 基础数学 组合代数 数学科学学院 陈裕群教授 l a b o k u t 教授 2 0 1 0 年4 月 摘要 本文主要研究了结合代数及双自由模上的g r s b n e r s h i r s h o v 基理论得到辫子群b n ， b n 型辫子群b ( 玩) ，辫子幺半群砧，半单李代数s 1 2 上的既约模，k a c - m o o d y 代数上 的v e r m a 模及s a b i n i n 代数的泛包络模上的g r s b n e r s h i r s h o v 基，进而得到它们的一组正 规形式证明了由两个元生成的度不大于3 的一关系群可以嵌入到具有b o k u t 正规形式的 群的h n n 扩张塔中 全文分为五个部分 前言部分详细地介绍- 了g r s b n e r s h i r s h o v 基理论的研究情况，以及本文所解决的主要 问题，研究成果及意义 第一章是相关的基本概念和预备知识，主要给出自由结合代数上的g r s b n e r s h i r s h o v 基理论 第二章研究某类一关系群上的性质 m a g n u s 的方法及g r s b n e r s h i r s h o v 基理论，我 们证明由两个元生成的度不大于3 的一关系群能够嵌入到群的h n n 一扩张塔而扩张塔中 每个群都具有b o k u t 正规形式 第三章给出辫子群b n 的a d y a n t h u r s t o n 及b n 型辫子群b ( b 竹) 的表示，由g r s b n e r s h i r s h o v 基理论求出它们在这种新表示方法下的g r s b n e r s h i r s h o v 基，从而分别得到它们 的一组正规形式同时，还给出了辫子幺半群黠及b ( b j - ) 的希尔伯特序列 第四章研究了结合代数上的g r s b n e r s h i r s h o v 基理论，自由左模上的g r s b n e r s h i r s h o v 基 理论及双自由模上的g r 6 b n e r s h i r s h o v 基理论之间的关系作为应用，本文给出了半单李 代数s 1 2 上既约模，k a c m o o d y 代数 - _ 约v e r m a 模及s a b i n i n 代数上泛包络模的基底 关键词：g r 6 b n e r s h i r s h o v 基，正规形式，一关系群，辫子群，a d y a n - t h u r s t o n 生成元， 希尔伯特序列，双自由模，李代数，k a c m o o d y 代数，s a b i n i n 代数 a b s t r a c t t h em a i nt o p i co ft h i st h e s i si sg r s b n e r s h i r s h o vb a s e st h e o r i e sf o ra s s o c i a t i v ea l g e b r a s a n dm o d u l e s b yt h ec o m p o s i t i o n - d i a m o n dl e m m a ，w eg i v en o r m a lf o r m so fb r a i dg r o u p s 鼠，b r a i dg r o u p sb ( 鼠) o fd y n k i nd i a g r a mt y p eb na n dl i n e a rb a s e so ft h eh i g h e s tw e i g h t m o d u l eo v e ral i ea l g e b r as 1 2 ，t h ev e r m am o d u l eo v e rak a c - m o o d ya l g e b r a ，a n da u n i v e r s a le n v e l o p i n gm o d u l ef o ras a b i n i na l g e b r a w es h o wt h a ts o m eo n e - r e l a t o rg r o u p s c a nb ee m b e d d e di n t oat o w e ro fh n n e x t e n s i o n sw i t ht h es t a n d a r dg r s b n e r - s h i r s h o v b a s e s t h et h e s i sc o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s i nc h a p t e r1 ，w ec i t es o m el i t e r a t u r e s f r e ea s s o c i a t i v ea l g e b r a s a n dg i v et h eg r s b n e r - s h i r s h o vb a s e st h e o r yf o r i nc h a p t e r2 ，b yu s i n gt h em a g n u s m e t h o da n dc o m p o s i t i o n - d i a m o n dl e m m a ，w e s h o wt h a tt w o - g e n e r a t o ro n e - r e l a t o rg r o u p sw i t hd e p t hl e s st h a no r e q u a lt o3c a nb e e f f e c t i v e l ye m b e d d e di n t oat o w e ro fh n n e x t e n s i o n si nw h i c he a c hg r o u ph a st h ee f f e c t i v e b o k u ts t a n d a r dn o r m a lf o r m w eg i v ea l s oa ne x a m p l et os h o wh o wt od e a lw i t hs o m e g e n e r a lc a s e sf o ro n e - r e l a t o rg r o u p s i nc h a p t e r3 ，w eg i v eag r s b n e r s h i r s h o vb a s i so ft h eb r a i dg r o u pb n + 1i na d y a n t h u r s t o ng e n e r a t o r s 。w ea l s od e a lw i t ht h eb r a i dg r o u po fd y n k i nd i a g r a mt y p eb n a sr e s u l t s ，w eo b t a i nan e w a l g o r i t h mf o rg e t t i n gt h ea d y a n - t h u r s t o nn o r m a lf o r m a h i l b e r ts e r i e so fb r a i dm o n o i db a n db ( 、b 言、) a r eg i v e nb yu s i n gg r 6 b n e r s h i r s h o vb a s e s i nc h a p t e r4 ，w ei n v e s t i g a t et h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h eg r s b n e r - s h i r s h o vb a s e si n f r e ea s s o c i a t i v ea l g e b r a s ，f r e el e f tm o d u l e sa n d “d o u b l e - f r e e ”1 e f tm o d u l e s ( t h a ti s ，f r e e m o d u l e so v e raf r e ea l g e b r a ) w ef i r s tg i v et h ec h i b r i k o v sc o m p o s i t i o n d i a m o n dl e m m a f o rm o d u l e sa n dt h e nw es h o wt h a tt h ek a n g - l e e sc o m p o s i t i o n d i a m o n dl e m m af o l l o w s f r o mt h i sl e m m a w eg i v eg r s b n e r s h i r s h o vb a s e sf o rt h ef o l l o w i n gm o d u l e s ：t h eh i g h e s t w e i g h tm o d u l eo v e ral i ea l g e b r as 1 2 ，t h ev e r m am o d u l eo v e rak a c m o o d ya l g e b r a a n d au n i v e r s a le n v e l o p i n gm o d u l ef o ras a b i n i na l g e b r a 1 1 1 f o r m ，o n e - r e l a t o rg r o u p ，b r a i dg r o u p ， f r e em o d u l e ，l i ea l g e b r a ，k a c m o o d y 摘要( a b s t r a c t ) a b s t r a c t p r e f a c e c o n t e n t s 1g r s b n e r - s h i r s h o vb a s e st h e o r yf o rf r e ea s s o c i a t i v ea l g e b r a s 1 1 c o m p o s i t i o n - d i a m o n dl e m m a f o rf r e ea s s o c i a t i v ea l g e b r a s - l 1 1 1 6 6 2g r 5 b n e r s h i r s h o vb a s e sf o rs o m eo n e - r e l a t o rg r o u p s 8 2 1i n t r o d u c t i o n 8 2 2b o k u ts t a n d a r dn o r m a lf o r m 9 2 3m a i nr e s u l t 1 2 2 3 2 k ：1 1 2 2 3 5 k ：2 1 4 2 3 6k ：3 ，1 7 2 4a ne x a m p l e 2 1 2 5 q u e s t i o n 2 4 2 6 r e g r e s s i o nt oe m b e d d i n gi n t ot w o - g e n e r a t o rg r o u p s 2 5 3g r s b n e r s h i r s h o vb a s i so fb r a i dg r o u p 风i na d y a n - t h u r s t o ng e n e r a - t o r s 2 8 3 1i n t r o d u c t i o n 2 8 3 2 g r s b n e r s h i r s h o vb a s i so ft h eb r a i dg r o u pb n + 1i na d y a n - t h u r s t o ng e n e r 。 a t o r s 3 0 3 3 g r s b n e r s h i r s h o vb a s i so ft h eb r a i dg r o u po ft y p eb n 3 3 3 4h i l b e r ts e r i e so fb 手a n db ( b ) 3 7 1 v 5 6 6 3 1 1 2 5 9 0 2缸组乾钙的娩 a h e p r e f a c e g r s b n e ra n dg r s b n e r s h i r s h o vb a s e st h e o r i e sa r eg e n e r a t i n gi n c r e a s i n gi n t e r e s tb e c a u s e o fi t su s e f u l n e s si np r o v i d i n gc o m p u t a t i o n a lt o o l sa n di ng i v i n ga l g e b r a i c a ls t r u c t u r e s w h i c ha r ea p p l i c a b l et oaw i d er a n g eo fp r o b l e m si nm a t h e m a t i c s ，s c i e n c e ，e n g i n e e r i n g ， a n dc o m p u t e rs c i e n c e i np a r t i c u l a r ，g r 6 b n e ra n dg r s b n e r - s h i r s h o vb a s e st h e o r i e sa r e p o w e r f u lt o o l st od e a lw i t ht h en o r m a lf o r m ，w o r dp r o b l e m ，c o n j u g a c yp r o b l e m ，e m b e d d i n gp r o b l e m ，e x t e n s i o n so fa l g e b r a s ，h i l b e r ts e r i e s ，e t c o fa l g e b r a s t h e t r u es i g n i f i c a n c e o fg r s b n e r s h i r s h o vb a s e si st h ef a c tt h a tt h e yc a nb ec o m p u t e d t h ee a r l i e s tu s e ro fg r s b n e rb a s e sm a yb eg o r d a ni n1 9 0 0 ，w h ou s e dg r s b n e rb a s e s a n dt h ef i n i t eg e n e r a t i o no fm o n o m i a li d e a l st od e d u c eh i l b e r t sb a s i st h e o r e m b u th e o n l yi n t r o d u c e d ( i nt h el a n g u a g eo ft h a tt i m e ) t h en o t i o no fg r 6 b n e rb a s e s ( b a s e do nt h e d i v i s i o np r o c e s s ) a n ds h o w e dt h e i re x i s t e n c ea n dd i dn o tg i v ea na l g o r i t h mf o rc o n s t r u c t i n g t h e m l e d i c k s o n ，i n1 9 1 3 ，g a v eag e n e r a ll e m m ao nt h et e r m i n a t i o no fc e r t a i ns e q u e n c e s o ft u p l e so fn a t u r a ln u m b e r s f r o mt h i sl e m m a ，t h et e r m i n a t i o no ft h eg r s b n e rb a s e s a l g o r i t h mf o l l o w se a s i l y a n d ，t h e n ，h i l b e r t sb a s i st h e o r e mi s a ne a s yc o r o l l a r yo ft h e 、e x i s t e n c eo fg r s b n e rb a s e s m j a n e t ，i n1 9 2 0 5 5 1u s e dt h es i m i l a rn o t i o n sa n dm e t h o d sf o rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( v i e w e ds y m b o l i c a l l y ) h ep r o v i d e da na l g o r i t h m i cc o n s t r u c t i o no fa n i n v o l u t i v eb a s i sf o r a n yp o l y n o m i a li d e a la n da l s oa p p l i e dt h ep a r t i t i o no fi n d e p e n d e n tv a r i a b l e st oc o m p l e t e s y s t e m so fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( p d e s ) t o i n v o l u t i v o n g h e r m a n n ，i nh e rf a m o u s1 9 2 6p a p e r 5 1 ，s e to u tt os h o wt h a ta l ls t a n d a r do b j e c t s i nt h et h e o r yo fp o l y n o m i a li d e a l so v e rf i e l d s 七i n c l u d i n gt h ep r i m ei d e a l sa s s o c i a t e dt oa g i v e ni d e a l ，c a nb ed e t e r m i n e db ym e a n so fc o m p u t a t i o n si n v o l v i n gf i n i t e l ym a n ys t e p s ， i e f i e l do p e r a t i o n si n 七a 1 1 yr m o d u l ef o rr = k x l ，x 2 ，x n i sd e t e r m i n e db yg i v i n g af i n i t es e to fg e n e r a t o r s ，c a l l e dab a s i s h e r m a n ns t a t e se x p l i c i t l yt h a to n ec a ng i v ea n u p p e rb o u n df o rt h en u m b e ro fo p e r a t i o n sn e c e s s a r yf o re a c hs o r to fc o m p u t a t i o n a m a j o rs t e pw a st a k e nb yf s m a c a u l a yi n1 9 2 7 6 7 ，w h oi n t r o d u c e dt o t a lo r d e r i n g s o ft h es e to fm o n o m i a l so far i n ga n du s e dt h e mt oc h a r a c t e r i z et h ep o s s i b l eh i l b e r t f u n c t i o n so fg r a d e di d e a l sb yc o m p a r i n gt h e mw i t hm o n o m i a li d e a l s w g r s b n e rp u b l i s h e da p p l i c a t i o n so fm a c a u l a y si d e ao fo r d e r i n gm o n o m i a l sa n d e x p l i c i t l yf i n d i n gab a s i sf o raz e r o - d i m e n s i o n a lf a c t o rr i n ga se a r l ya u s1 9 3 9 t h o u g hh i s u s eo ft h e ma p p a r e n t l yg o e sb a c ke v e ne a r l i e r ，p e r h a p st o1 9 3 2 ( s e ed e i s e n b u d 4 7 ) i nap a s s a g ef r o map a p e ro ne l i m i n a t i o nt h e o r y1 9 5 0 ，h ew r o t e ，“ih a v eu s e da n dt e s t e d t h e s em e t h o d sf o ra b o u t1 7y e a r si nt h em o s tv a r i e da n dc o m p l i c a t e dc a s e s ，a n dib e h e v e t h a tic a ns a yo nt h eb a s i so fm ye x p e r i e n c et h a tt h e yp r e s e n ti na l lc a s e sau s e f u la n d w o r t h w h i l et o o lf o rt h es o l u t i o no ft h e s ea n ds i m i l a ri d e a l - t h e o r e t i cp r o b l e m s i n1 9 6 4 ， h ep r o p o s e dt h a th i ss t u d e n t ，b r u n ob u c h b e r g e r ，c o m p u t es u c hb a s e sa sat h e s i sp r o b l e m a sg r s b n e rm u s th a v eh o p e d ，b u c h b e r g e r ss o l u t i o nt oh i st h e s i sp r o b l e mc o n t a i n e d i d e a sg o i n gw e l lb e y o n dw h a tg r s b n e rh i m s e l fh a dk n o w t h et h e s i sc o n t a i n sb u c h b e r g e r s c r i t e r i o na n da l g o r i t h mi ni m p l i c i tf o r m t h ee s s e n t i a la d d e di n g r e d i e n tw a st h en o t i o n o fc r i t i c a lp a i r s b u c h b e r g e rm a d eh i si d e a sm o r ee x p l i c i ta n du s a b l ei nh i s1 9 7 0 3 6 a n d 1 9 7 6 3 7 p a p e r s ，a n dh et o o kt h ei m p o r t a n ts t e po fp r o g r a m m i n gt h er e s u l t i n ga l g o r i t h m w h a ti sn o wc a l l e dt h eg r s b n e r s h i r s h o vm e t h o df o rl i ea l g e b r a si n v e n t e db ya i s h i r s h o vi n1 9 6 2 ( i s 6 ) a c t u a l l y ，t h a tp a p e rb a s e do nh i sp a p e r 【8 3 w h e r es h i r s h o v i n v e n t e dan e wl i n e a rb a s i sf o raf r e el i ea l g e b r an o wc a l l e dl y n d o n s h i r s h o vb a s i s ( i t w a sd e f i n e di n d e p e n d e n t l yi nt h ep a p e r 3 8 i nt h es a m ey e a r ) r e m a r kt h a tl y n d o n - s h i r s h o vb a s i si sap a r t i c u l a rc a s eo ft h es e r i e so fb a s e so faf r e el i ea l g e b r ai n v e n t e db ya i s h i r s h o vi nh i sc a n d i d a t es c i e n c et h e s i s ( m o s c o ws t a t eu n i v e r s i t y , 1 9 5 3 ，a d v i s e rw a s a g k u r o s h ) a n dp u b l i s h e d i n1 9 6 2 8 4 】( c f 8 2 w h e r et h e s eb a s e sa r ec a l l e dh a l lb a s e s ) l e tu sc i t et h ez b lr e v i e wb yp m c o h n 4 5 】o ft h ep a p e r 8 3 ：“t h ea u t h o rv a r i e st h e u s u a lc o n s t r u c t i o no fb a s i cc o m m u t a t o r si nl i er i n g sb yo r d e r i n gw o r d sl e x i c o g r a p h i c a l l y a n dn o tb yl e n g t h t h i si su s e dt og i v eav e r ys h o r tp r o o fo ft h et h e o r e m ( m a g n u s 6 9 ， w i t t 【s s ) t h a tt h el i ea l g e b r ao b t a i n e df r o maf r e ea s s o c i a t i v ea l g e b r ai sf r e e s e c o n d l y h ed e r i v e sf r i e d r i c h sc r i t e r i o n ( t h i sz b l5 2 ，4 5 ) f o rl i ee l e m e n t s a st h et h i r da p p l i c a t i o n h ep r o v e st h a te v e r yl i ea l g e b r alc a nb ee m b e d d e di nal i ea l g e b r ams u c ht h a ti n m a n ys u b a l g e b r ao fc o u n t a b l ed i m e n s i o ni sc o n t a i n e di na2 - g e n e r a t e ds u b a l g e b r a w e w o u l dl i k et oa d dt h a ti tw a sab e g i n n i n go fg r s b n e r s h i r s h o vb a s e st h e o r yf o rl i ea n d a s s o c i a t i v ea l g e b r a s l e m m a4o ft h ep a p e r ，o ns p e c i a lb r a c k e t i n go far e g u l a r ( l y n d o n s h i r s h o v ) a s s o c i a t i v ew o r dw i t haf i xr e g u l a rs u b w o r d ，l e a d st ot h ea l g o r i t h mo fe l i m i n a t i o n o ft h el e a d i n gw o r do fo n el i ep o l y n o m i a li no t h e rl i ep o l y n o m i a l ，i e ，t ot h er e d u c t i o n 2 p r o c e d u r et h a ti sv e r yf a m i l i a ri nt h ec a s e so fa s s o c i a t i v ea n da s s o c i a t i v e - c o m m u t a t i v e p o l y n o m i a l s a l s ot h i sl e m m a4l e a d st ot h ec r u c i a ln o t i o no fc o m p o s i t i o no ft w ol i e p o l y n o m i a l st h a tw i l lb ed e f i n e dl a t e l yi nt h ep a p e rf s 6 a sf o rp a p e r 8 6 i t s e k ，i ti sa f u l l yp i o n e e rp a p e ri nt h es u b j e c t h ed e f i n e sa n o t i o no ft h ec o m p o s i t i o n ( ，夕) 叫o ft w o l i e ( a s s o c i a t i v e ) p o l y n o m i a l sr e l a t i v et oa na s s o c i a t i v ew o r dw ( i tw a sc a l l e dl a t e l yb ys - p o l y n o m i a lf o rc o m m u t a t i v ep o l y n o m i a l sb yb b u c h b e r g e r 3 5 a n d 3 6 ) i tl e a d st ot h e a l g o r i t h mf o rc o n s t r u c t i o no fag r s b n e r - s h i r s h o vb a s i s ( g s b ( s ) ) o fl i e ( a s s o c i a t i v e ) i d e a l g e n e r a t e db ys o m es e ts ：t oj o i n tt osa l ln o n t r i v i a lc o m p o s i t i o n sa n dt oe l i m i n a t el e a d i n g m o n o m i a l so fo n ep o l y n o m i a lo fsi no t h e r s s h i r s h o vp r o v e st h el e m m a ，n o wk n o w na st h e c o m p o s i t i o n ，o rc o m p o s i t i o n d i a m o n dl e m m a ，t h a ti f i d l 记( s ) ，t h e n ，t h el e a d i n g a s s o c i a t i v ew o r do f ，h a saf o r m ，= u 勖，w h e r e8 g s b ( s ) ，u ，口x + s e v e r a ly e a r s l a t e rl a b o k u t 9 f o r m u l a t e dt h i sl e m m ai nt h em o d e r nf o r m l e tsb eas e to fl i e p o l y n o m i a l st h a ti sc o m p l e t eu n d e rc o m p o s i t i o n ( i e ，a n yc o m p o s i t i o no fp o l y n o m i a l s o fsi st r i v i a l ；o nt h eo t h e rw o r d ，si sag r s b n e r - s h i r s h o vb a s i s ) t h e ni f ，i d l i e ( s ) ， t h e nf = 让勖，w h e r es s “，v x + o fc o u r s e ，f r o ms h i r s h o v sc o m p o s i t i o n - d i a m o n d l e m m ai tf o l l o w st h a tt h es e ti r r ( s ) o fs - r e d u c e dl y n d o n - s h i r s h o vw o r d sc o n s t i t u t e sa l i n e a rb a s i so ft h eq u o t i e n ta l g e b r al i e ( x ) i d ( s ) t h ec o n v e r s ei sa l s ot r u e l a t e l ye x p l i c i t l ys h i r s h o v sc o m p o s i t i o n - d i a m o n dl e m m af o ra s s o c i a t i v ea l g e b r aw a s f o r m u l a t e db yl a b o k u t 【1 0 i n1 9 7 6a n dg b e r g m a n 【6 】i n1 9 7 8 b o k u tp r o v e dt h a tf o r as u b s e tso fl i ep o l y n o m i a l s ，si sag r s b n e r - s h i r s h o vb a s i si nt h es e n s eo fl i ea l g e b r a i fa n do n l yi fs ( 一) i sag r s b n e r s h i r s h o vb a s i si nt h es e n s eo fa s s o c i a t i v ea l g e b r aw h e r e s ( 一) i sj u s tsb u ts u b s t i t u t ea l l x y 】b yx y y x f o rt h i sr e a s o n ，s h i r s h o v sa l g o r i t h mf o r l i ea l g e b r a s ，a s s o c i a t i v ea l g e b r a sa n da l s oc o m m u t a t i v ea l g e b r a si sc a l l e dt h eg r s b n e r - s h i r s h o vb a s e st h e o r y t h e r ew e r es e v e r a li n d e p e n d e n ts t r e a m so fa c t i v i t yt h a tp r o d u c e ds i m i l a rm e t h o d sa n d a l g o r i t h m s h i r o n a k a ，af i e l d sm e d a l i s t ，u s e da d i v i s i o na l g o r i t h mc l o s e l yr e l a t e dt ot h e o n ew eh a v ep r e s e n t e di nh i sl a n d m a r kp a p e ro nr e s o l u t i o no fs i n g u l a r i t i e si n1 9 6 4 5 3 h ei n t r o d u c e d “s t a n d a r db a s e s ”w h i c ha r ea n a l o g o u st ow h a tw eh a v ec a l l e d “g r s b n e r s h i r s h o vb a s e s ”，f o l l o w i n gan e wm o r ec o m m o nu s a g e i ti sw o r t hn o t i n gt h a th i r o n a k a s w o r kw a sd o n ef o rp o w e rs e r i e sw i t hq u e s t i o n so fc o n v e r g e n c et r e a t e d ，w h i c hi ns o m ew a y s i sad e e p e rf o r mo ft h ed i v i s i o na l g o r i t h mt h a nt h eo n et r e a t e dh e r e h et h o u g h to fi ta s g e n e r a l i z i n gt h ec l a s s i c a lw e i e r s t r s a s sp r e s e n t a t i o na n dd i v i s i o nt h e o r e m sf o rc o n v e r g e n t p o w e rs e r i e si no n ev a r i a b l e h g r a u e r t1 9 7 2 5 0 i n d e p e n d e n t l yi n