（基础数学专业论文）banach空间中的框架理论.pdf

b a n a c h 空间中的框架理论 李春艳 摘要本文引入了b a n a c h 空间中的拖框架，p 阶框架和算子框架的概念， 系统地研究了这三种框架的一系列性质，探讨了它们与原有的p 一框架，b a n a c h 框 架和j ，d 一框架和之间的关系，并借助于b a n a c h 框架和p 阶框架在b a n a c h 空间中 建立起较完整的重构理论本文共分三章： 第一章首先回顾了h i l b e r t 空间中的框架，p 一框架，b a n a c h 框架，弛一框架 及子空间框架等基本概念以及这些框架所具有的一些基本的性质，用算子论的方法 刻画了h i l b e r t 空间中的各种特殊框架 第二章引入了b a n a c h 空间中的施框架，弛b e s s e l 列，紧框架，独立框 架和r i e s z 基等概念，给出了j 0 框架和独立框架的算子等价刻画，b a n a c h 空间x 中存在框架或j ，dr i e s z 基的充要条件，施框架的对偶框架存在的充要 条件等，借助于b u n u c h 框架和一种特殊的勘框架：p 阶框架，在b a n a c h 空间中 建立起较完整的重构理论( 或框架展开理论) 第三章引入了b a n a c h 空间x 中的算子框架，算子b e s s e l 列，算子r i e s z 基和 对偶算子框架等概念，研究了算子框架的一系列性质，给出了算子框架和算子r i e s z 基的等价刻画以及b a n a c h 空间中存在箅子框架和算子r i e s z 基的充要条件，证明了 框架和施一框架实际上都为算子框架的特殊形式 关键词b a n a c h 空间；h i l b e r t 空间；框架；弛框架；算子框架；独立性； r i e s z 基；对偶框架；重构 t h e o r yo ff r a m e sf o rb a n a c hs p a c e s l ic h u n v 8 “ a b s t r a c t i nt h i sa r t i c l e ，w ei n t r o d u c et h ec o n c e p t so fx df r a m e s ，f l a m e so fo r d e rp a n do p e r a t o rf r a m e s ，g i v eas e r i e so fp r o p e r t i e so ft h e ma n dd i s c u s st h er e l a t i o n sb e t w e e n t h e ma n dp - f r a m e s ，b a n a c hf l a m e so r 一f r a m e s b yb a n c hf r a m e sa n df l a m e so fo r d e r p ，w ee s t a b l i s ht h et h e o r yo fr e c o n s t r u c t i o ni nb a n a c hs p a c e s t h ed e t a i l sa sf o l l o w s ： i nc h a p t e r1 ，w er e c a l lt h e s ec o n c e p t sa n dp r o p e r t i e so ff r a m e sf o rh i l b e r ts p a c e s ， p f r a m e s ，b a n a c hf r a m e sa n dr i e s zb a s e s b yu s i n gt h e o r yo fo p e r a t o r s ，w ec h a r a c t e r i z e s o m es p e c i a lf r a m e sf o rh i l b e r ts p a c e s i nc h a p t e r2 ，w ei n t r o d u c ea n ds t u d yx df l a m e s ，托b e s s e l ，t i g h tz df r a m e s ，i n d e - p e n d e n tx df r a m e sa n dx d r i e s zb a s e s w ea l s og i v ec h a r a c t e r i z a t i o n so ft h e m 。n e c e s s a r y a n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rb a n a c hs p a c ext oh a v ex df r a m e so rx dr i e s zb a s e sa n d n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o raz df l a m et oh a v ed u a lf r a m e s w i t hb a n a c h f l a m e sa n df r a m e so fo r d e rp ，w h i c hi sas p e c i a lc a s eo fx df l a m e s ，w ee s t a b l i s hw o n d e r f u l t h e o r yo fr e c o n s t r u c t i o n ( o rt h e o r yo ff l a m ee x p a s i o n ) i nb a n a c hs p a c e s i nc h a p t e r3 ，w ei n t r o d u c ea n dd i s c u s so p e r a t o rf r a m e s ，o p e r a t o rb e s s e ls e q u e n c e s ， o p e r a t o rr i e s zb a s e sa n dd u a lf l a m e so fo p e r a t o rf r a m e s w eg i v et h ec b a r a c t i l i z a t i o n o fo p e r a t o rf r a m e sa n do p e r a t o rr i e s zb a s i sa n de s t a b l i s hs o m es u f f c e n ta n dn e c c e s s a r y c o n d i t i o nf o rb a n a c hs p a c e st oh a v eo p e r a t o rf l a m e sa n do p e r a t o rr i e s zb a s i s w ea l s o s h o wt h a tx df l a m e sa n dx d f l a m e sc a nb er e g a r d e da ss p e c i a lc a s e so fo p e r a t o r s k e y w o r d s b a n a c hs p a c e ；h i l b e r ts p a c e ；f l a m e ；弛f r a m e ；o p e r a t o rf l a m e ；i n d e - p e n d e n c e ；r i e s zb a s i s ；d u a lf l a m e ；r e c o n s t r u c t i o n i i 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知除文中已经注明引用韵内容外。论文中不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 作了明确说明并表示谢意。 作者签名：考耕怠 日期：塑 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西师 范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文的电 子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名：梦魄塑6 前言 1 9 4 6 年，d g a b o r 1 】在进行信号处理时，引入了信号关于基本信号的分解 他的这种方法很快成为了与时间一频率方法相伴的谱分析的范例1 9 5 2 年，r j d u f f i n 和a g s c h a e f f e r 2 】在研究非调和f o u r i e r 分析时进一步提炼了d g a b o r 进行 信号处理的思想，引入了h i l b e r t 空间中框架的概念遗憾的是r j d u f f i n 和a g s c h a e f f e r 的思想随后在非调和f o u r i e r 分析以外并没有引起人们的兴趣，直到1 9 8 6 年，i d a u b e c h i e s ，a g r o s s m a n 和y m e y e r 那篇具有里程碑意义的文章( 文献3 1 ) 发表他们发现了框架理论在小波分析和g a b o r 变换中的运用，从而开创了框架理 论的新时代此后，框架理论被广泛地应用于信号处理，图像处理，数据压缩，采 样理论等领域 h i l b e r t 空间中的框架理论有着丰富的内容h i l b e r t 空间中的框架是正规正交 基的一般推广，它是h i l b e r t 空间中满足一定条件的一个序列f x i ：h i l b e r t 空间中的 任何向量z 都可以写成z = c x l 的形式与正规正交基所不同的是，这里的系数 列 c d 不是唯一的由此可见，框架的条件较弱，所以它具有很多好的性质 算子论在框架理论研究中的应用使框架理论的研究进入了一个崭新的阶段 2 0 0 0 年，h d e g u a n g 和d r l m o n 4 1 把算子论运用到了框架理论的研究中，得 到了一系列令人注目的成果同年，h x c a o 5 1 引入并研究了一般h i l b e r t 空间h 中的b e s s e l 列对咒中的任一b e s s e l 列 巍 ，通过定义有界线性算子t r ：咒一2 ， 建立了日中的b e s s e l 列、框架、紧框架、独立框架，r i e s z 基、正规正交基与从h 到俨中的有界线性算子之间的关系，并给出了b e s s e l 列、框架、紧框架、独立框架 和r i e s z 基等的算子形式的等价刻画从此，算子论成为了框架研究中最重要的工 具之一它在研究框架的稳定性理论，框架的对偶理论及框架的展开理论等方面都 发挥了巨大的作用 上世纪8 0 年代末，h g f r e i c h t i n g e r 和k g r o c h e n i g 深入研究了与可积群 表示有关的b a n a c h 空间及其分解 1 9 9 1 年k g r o c h e n i g 6 1 把框架概念引入到了 b a n a c h 空间中，提出了b a u a c h 空间中原子分解和b a n a c h 框架的概念2 0 0 1 年， a a l d r o u b i ，q s u n 和w w a n g t 】又引入了p 一框架p 一框架是b a n a c h 空间关于 f p 的b a n a c h 框架的推广同样，运用算子论的方法研究p 一框架或b a n a c h 框架可 以得到许多与h i l b e r t 空间中的框架类似的性质o c h r i s t e n s e n ，h g f e i c h t i n g e r ， pg c a s a z z a ，h d e g u a n g 和d r l a r s o n 等在这方面都做了许多工作，参见文献 陋1 2 】国内的徐聪荣，朱玉灿，周家云等学者对b a n a c h 框架的稳定性等问题也做 了一些研究，参看文献【1 2 一l s l 然而，p 一框架或b a a l a c h 框架与h i l b e r t 空间中的 框架还是存在着很大的差别首先，并不是每一个b a n a e h 空间都有b a n a c h 框架 其次，b a n a c h 空间中的元素重构( 或框架展开) 都依赖于框架的对偶( 或对偶框架) 然而，并不是每一个p 一框架或b a n a c h 框架都具有对偶因此，围绕着“什么样的 b a n a c h 空间有p 一框架或b a n a c h 框架”及“在什么样的条件下，b a n a c h 空间的框 架存在对偶框架这两个问题，p c a s a z z a ，o c h r i s t e n s e n ，d t s t o e v a ，h d e g u a n g d r l s o n 和hx c a o 等又进行了深入的研究在这一过程中，b a n a c h 空间中一 些新的框架概念又被提出p c a s a z z a ，h d e g u a n g 和d r l m s o n 在文献【9 】中证 明了任意可分b a n a e h 空间一定有b a n a c h 框架而为了讨论不可分b a n h 空间中 的框架的存在性问题和对偶问题，pc a s a z z a ，0 c h r i s t e n s e n 和d t s t o e v a 1 9 将 p 一框架进行了推广，提出了托一框架的概念 2 0 0 4 年，h x c a o 2 0 1 在b a n a c h 空间中提出了p 阶框架的概念p 阶框架概念的出现为b a n ”h 空间中重构理论的 形成奠定了基础 2 0 0 3 年，p g c a s a z z a 和g k u t y u i o k 2 1 】提出了h i l b e r t 空间中的子空间框 架概念子空间框架的优点在于对某个权数列 v l i ，设h i l e r t 空间中的一些框架 序列 z 甜b e ，v i j 具有一致的框架上界和框架下界，如果各自所张成的子空间 暇) 叫= s p a n j 。“) 形成了关于权数列m ) 讵，的一个子空间框架，则将这些框 架序列放在一起就得到m 的一个框架这为构造框架提供一个很好的方法 综上所述，框架理论发展到今天已经具有了较完整的结构和非常丰富的内容 但是正如我们上面所叙述的那样，框架理论中也还有很多问题有待我们进一步的讨 论和研究在本文中，我们将以算子论为工具，在已有结论的基础上对b a n a c h 空 间的框架理论做更进一步的研究本文的工作将在以下几个方面展开： 为了研究b a n a c h 空间的框架展开或空间元素的重构问题，我们首先引入了 b a n a c h 空间中翰框架的概念在第二章中，我们将定义b a n a c h 空间中的x db e s s e l 列，框架，紧勘框架，独立扎框架和x a r i e s z 基等概念；讨论b a n a c h 空间的 基和弛框架，j ，dr i e s z 基之间的关系；给出施框架和独立框架的算子等价 刻画，b a n a e h 空间x 中存在弛框架或x ar i e s z 基的充要条件以及框架的对 偶框架存在的充要条件此外，我们将借助一种特殊的托框架一p 阶框架和关于 1 9 的b u n c h 框架在b a n a c h 空间中建立重构理论 在本文的第三章中，我们将引入并研究b a n a c h 空间x 中的算子框架算子框 架也具有很多好的框架性质我们将证明前面所提的b a n a c h 空间中的几种框架实 际上都可以看成算子框架的特殊形式 2 第一章预备知识 引言 h i l b e r t 空间中框架的概念是r j d u f l i n 和a g s c h a e f f e r 2 1 在研究非调和 f o u r i e r 分析时首先提出来的它是h i l b e r t 空间中正规正交基的一般推广随着算子 理论在框架理论研究中的运用，框架理论有了很大的发展1 9 9 1 年k g r o c h e n i g 【6 】 把框架概念引入到了b a n a c h 空间中，提出了b a n a c h 空间中原子分解和b a n a c h 框 架的概念b a n a c h 空间理论在框架研究中的应用推动了框架理论的进一步深入发 展，并使得框架理论有了更为丰富的内容为了后面研究工作的展开，本章将回顾 h i l b e r t 空间中框架和b a n a c h 空间中几种框架的概念，并给出关于框架理论一些已 有的基本结论 1 1h i l b e r t 空间中的框架 在本文中，用h 表示一个复的可分无限维h i l b e r t 空间，用b ( n ) 表示h 的 全体有界线性算子之集，a 是一个可数指标集n 或z ，c 是全体复数之集由文献 【2 2 ( p 4 ，e x l 7 ) 可知2 ( a ) 是一个h i l b e r t 空间，简记为f 2 用f 表示复数域c 或实数 域r ；用s ( f ) 表示定义在数域f 上的全体数列 q ) a 之集 定义1 1 1 设，= 饥) 迮a 是h 中的一族向量如果存在正常数a ，b 使得 a i i x h 2 ) | 2 b i i z i l 2 , 比7 - 1 ( 1 1 1 ) i e a 则称，为咒的一个框架，a ，b 为框架界如果不等式( 1 ，1 1 ) 中只有右边成立则称 ，为h 的一个b e s s e l 列，b 为b e s s e l 列的界若a = b ，则称，为h 的一个紧框 架若a = b 一1 ，称，为h 的一个正规化紧框架m 中的全体框架，b e s s e l 列，紧 框架，正规化紧框架，正规正交基之集分别简记为f n ，b h ，t j k ，n t 玩，o n 显然， b h ) f u t r ) t f h o n 定义1 1 2 设，= ) t a 为h 的序列，如果，满足以下条件： c ， = 0 ，泓s ( ，) q = o ，a ， i e a 3 则称，是独立的h 的全体独立框架之集记为既 有关h i l b e r t 空间中框架的各种基本性质可以参见文献 2 3 ，2 4 】 对任意，= y d 。a b h ，定义算子 t j ：“- f 2 ，砰。= ( z ，f d h a 可以验证耳是有界线性算子且其伴随算子为： 巧：1 2 - - - - - 4 咒，巧( l e a ) = c l a 对任意，= y d ae 岛t ，再定义映射 o ：b 咒。b ( 7 ，2 2 ) ，q ( ，) = t f ， 则d 是一个线性等距映射，即i i 巧| | = i i f l l 这样，我们就建立起h i l b e r t 空间中的 b e s s e i 列与b ，i 2 ) 中元素之间的关系从而为我们用算子论的方法研究框架奠定 了基础这正是h x c a o 在文献【5 】5 中所做的重要工作主要结论如下： 定理1 1 3 【5 1 设，= ( 矗) ；a b h ，则 ( 1 ) ，f n = 争t s 下有界； ( 2 ) ，t f a 车 巧为数乘等距( 即存在等距算子s 及非零常数使得t s = 七s ) ； ( 3 ) se k 乍= t s 可逆； ( 4 ) ，d 州骨t s 是酉算子( 即巧巧= t s 耳= n 设，= 五 i e “，五= ( 霉巧) 1 ，则有 z = 如， ) 五= 扛，五) ，v xe h 1 e a l e a 此时，我们称厂为，的典型对偶框架因此，h i l b e r t 空间中的框架一定存在对偶 框架 pg c a s a z z a 和g k u t y u i o k 提出了h i l b e r t 空间中的子空间框架概念定义如 下： 定义1 1 4 1 2 1 1 设似) 。a 是一个正权族， 嘶) a 为h 的一列闭子空间，如 果存在常数a ，b 0 使得 a l l z i l 2s u 孙m 1 1 2sb 2 ，v i h ( 1 1 2 ) 讵a 4 其中7 r w i 是从h 到m 的正交投影则称 胍) l a 为h 中关于h ) a 的子空间框 架 下面定理给出了子空间框架的优良性质 定理1 1 5 【2 l l 设m ) ；a 是一个正权族，对每个i a ， 岛b 是爿中的一个 以a ，岛为框架界的框架列定义眦= s - f g f i j 岛) ，v i a 并假设 e “b 是眦 的正规正交基如果0 a = i n f l a a is = s u p l a 鼠= b o 。，则下列命题等价： ( 1 ) 如岛b ，i 是h 的一个框架； ( 2 ) v , e o j j i , i e a 是州的一个框架； ( 3 ) ( 眦) 讵a 是 中的一个关于札 ，e a 的子空间框架 在文献【2 1 】中，p g c a s a z z a 和g k u t y u i o k 还定义了同伦子空间框架和子空 间小波，它们都是对原有概念的推广在本文中我们不去讨论有关同伦子空间框架 和子空间小波的内容 框架的扰动问题也是框架理论研究的一个重要方面关于h i l b e r t 空间中框架 的扰动问题，许多学者对其进行了深入的研究，得到了一些好的结果相关的结论 可以参见文献【2 5 2 7 】 1 2b a n a c h 空间中的框架 b m a o c h 空间中b a n a c h 框架的概念首先由g r o c h e n i g 6 】提出之后，为了研究 b a n a c h 空间中框架的存在性问题和对偶问题，一些学者先后在b a n a c h 空间中提出 了一些其它的框架概念，如：a a l d r o u b i ，q s u n g 和w t a n g ? 引入了p 一框架， pc a s a z z a ，o c h r i s t e n s e n 和d t s t o e v a 1 9 】引入了弛一框架，h x c a o 2 0 l 提出 了p 阶框架的概念本节将对这些概念做简单的回顾我们用x 表示一个定义在数 域f 上的b a n a c h 空间，用x + 表示其对偶空间 定义1 2 1 1 1 9 1 设x d 是一个序列空间，如果弛上的坐标线性泛函c ：( 勺) e ) = 盘，v b ) j a x d ，i a 是连续的，则称为一个b k 一空间 显然，当1 0 ，使得v x x ，有a l l x l l 墨l i g g ( x ) i a | | 扎bh x h ； ( c ) 存在有界线性算子s ：凰一x ，使得v x x ，有s ( 蛘( z ) h ) = z ， 则称( 薪k a ，s ) 为x 关于弛的b a n a c h 框架，s 称为重构算子，a ，b 为框架界 x 关于托的以s 为重构算子的全体b a n a c h 框架之集记为b f ( x ，勘，s ) 定义1 2 4设x 是b a n a c h 空问，9 + = g ；) cx + ，( 旷，s ) 是x 关于l 口的 b a n a c h 框架，如果9 4 满足： q 贫= o ， c d 蹦s ( f ) jc = o ，v ie a a 称( g + ，s ) 为x 的独立b a n a c h 框架或称( 9 + ，s ) 是独立的x 关于一以s 为重构算 子的全体独立b a n a c h 框架之集记为i b f ( x ，z q ，s ) 定义1 2 5 1 1 9 】设x 为b a n a c h 空间， 醇) 迮ac x ，x d 为b k - 空间，如果 ( a ) 露( z ) ) t a x d ，v z x ； ( b ) 存在常数a ，b 0 ，使得忱x ，有a l l x i i l 雠( z ) ) 0 托b l l x l ； 则称 蝣) 讵a 为x 的j b 一框架，a ，b 为框架界如果条件( 2 ) 的不等式只有右边 成立，则称 露) 讵a 为x 的x d - b e s s e l 列 如果取= n 则得到p 一框架 定义1 2 6 1 7 】 设x 为b a n a c h 空间， 露) 埏 c x + ，如果 ( a ) 酊( z ) k a 1 9 ，v x x ，1 0 ， 使得 a i i x 4 l | l l z ( ) k i l p b i x + u ，v z + x ，( 1 2 ，1 ) 则称 ) 锄为x 的一个p 阶框架，a ，b 为框架界如果不等式( 1 2 1 ) 只有右边 成立，则称 ) l 为x 的一个p 阶b e s s e l 列若a = b ，则称 k 是x 的p 阶 紧框架分别用磙，f 呈与t f 呈表示x 的全体p 阶b e s s e l 列，p 阶框架与全体p 阶紧框架之集显然，t f 殳c 磺c b 殳 定义1 2 8 1 2 q 如果x 中的序列z = f i ，。a 满足以下条件： ( a ) i f 丽 ：n a ) = x ； ( b ) 3 c ，d 0 使得 g 毗墨峪q 雌砒，v 幔 z 锄 则称它是x 的一个p 阶r i e s z 基用磺表示x 的全体p 阶r i e s z 基之集 定义1 2 9 【2 0 】 如果x 中的序列，= 满足以下条件： c f = 0 ， q ) i s ( ，) jc i = o ( v i a ) ，( 1 2 ，3 ) 则称它是独立的用嚷表示x 中的全体独立p 阶框架之集 容易验证j 磺= 磺 事实上，尽管b a n a c h 空间中的p 阶框架，p 一框架和b a n a c h 框架是三种不同 的框架概念，但在一定的条件下它们是可以相互转换的 定理1 2 1 0b a n a c h 空间x 的p 阶框架是x 对偶空间x + 的p 一框架，即 磺c f ( x + ，曲 证明 设，= ) i 是b a n a d l 空间x 的p 阶框架，则比+ x 4 ，有 a l l = + i i 曼1 | z + ( ) ) i a ，兰b i i = + m 而，= i d 。acx cx ”，由定义1 2 知，= f d ， 是x + 的p 一框架证毕 定理1 2 1 1 设，= k 是b a n a c h 空间x 的p 阶框架，框架界为a ，b ，矸 是引言中所定义的有界线性算子， t i l ：r ( t ，) 一x + ( r ( 巧) 为d 的值域) ，则 ( k ，t i l ) 为x + 关于r ( 巧) 的b e m a c h 框架，框架界为a ，b 证明设，= ， ) ； 是b m a e h 空间x 的p 阶框架，框架界为a ，b ，则比 x ，矿x + ，有a i i x + | | 曼| | 矿( ， ) i i z ，sb i i x + 叭由定理2l 知 ， ) i 是x + 的 p 一框架下证t i l 为重构算子由t f 的定义t i 矿= 矿( ) ) 。a l 和上面的不 等式可知矸为单射且t ，的值域r ( 矸) 为2 ，的闭子空间因此根据逆映射定理得 t f l ：r ( 巧) 一x + 存在且线性有界，并且满足t i l ( 矿( d h a ) = 矿，比+ x + 故 ( ，i k ，t i l ) 是x + 关于r ( 巧) 的b a n a c h 框架，框架界为a ，b 证毕 推论1 2 1 2设，= ，i k a 是b a n a c h 空间x 的p 阶框架，框架界为a ，b ，巧 是引言中所定义的有界线性算子，如果t i l ：r ( 巧) 一x ( r ( 巧) 为矸的值域) 可 以等距线性扩张成算子v ：f p x + ，则( ，i k a ，v ) 是x + 关于l p 的b a n a c h 框架， 框架界为以，b ， 引理1 2 1 3 8 若 岔) i a 是b a n a c h 空间x 的p 一框架，则x 是自反空间 定理1 2 1 4 若 贫) 。 是b a n a c h 空间x 以a ，b 为界的p 一框架，则饼) 为x + 的p 阶框架，框架界为a ，b ，即f ( x ，p ) c 磺。 证明若雠) 讵 是x 以a ，b 为界的p 一框架，则v x x ，有 a i i xl i i i g ；( z ) k a l i , p b i i x l l 而由引理1 2 1 3 知x = x ”因此地“x ”= x ，有 1 l z + | | 1 1 茁( 9 ；) ) a i l i p b 0 茁柑0 成立故由定义1 2 7 知 露 。a 为x + 的p 阶框架，且框架界为a ，b 证毕 推论1 2 1 5 若( 薪) 讵 ，s ) 为x 关于驴的b a n a c h 框架，则 醇) i 为x + 的 p 阶框架 推论1 2 1 6 当x = x “时，f ( x ，p ) = 碟 8 第二章b a n a c h 空间中的框架理论 引言 从上世纪9 0 年代开始，尽管人们在b a n a c h 空间中已经引入了各种各样的框架 概念，但人们似乎只注重对每种框架本身的研究，并围绕这种框架去构建一个独立 的系统而每一种框架本身所具有的缺陷使得人们在b a n a c h 空间中始终无法得到 个类似于h i l b e r t 空间中的框架理论那样完整的理论这种不完整性体现在两个最 重要的方面，一是无论对哪种框架而言，这种框架在b a n a c h 空间中都不一定存在， 这是由b a r m c h 空间理论本身的性质所决定的，这种缺陷我们似乎也很难克服；二 是无论对那种框架而言，都不能由其来独立地构建一个好的重构理论p c a s a z z a ， 0 c h r i s t e n s e n 和d t s t o e v a 1 9 l 的工作也仅仅只是找到了能用j ，d 一框架去重构x 和x + 的充要条件，而这恰恰体现了施一框架本身的不足h x c a o ，h k d u 和 j h z h a n g 在文献f 2 0 1 中引入p 阶框架的概念是重要的，但他们没有更进一步地去 讨论x 和x + 的重构问题，只是系统地讨论了p 阶框架本身的一系耐性质 在本章中，我们将在b a n a c h 空间中引入并研究一种新的框架框架我们的 目的是希望在b a n a c h 空间x 本身中找到一列元素，并通过这列元素来重构x 这 种思想来源于”h i l b e r t 空间中的框架是正规正交基的一般推广”这样一个事实容 易发现，p 阶框架实际上是取均= i p 时的特殊弛框架在本章的第三节中，我 们将定义b a n a c h 空间中p 阶框架的对偶框架，b a n a c h 框架的对偶框架以及对偶框 架对的概念，并讨论它们的存在性问题，从而利用p 阶框架和b a n a c h 框架来研究 b a n a c h 空间中的重构问题( 或框架展开理论) 2 1b a n a c h 空间中的框架的定义 用x ”表示x + 的对偶空间，将x 视同二次对偶空间x ”的闭子空间；，( a ) 表示a 的所有非空有限子集之集；l p ：= l p ( a ) 表示数域f 中的所有满足条件 l q l 0 ，使得 a i i z 4 l isl i x 4 ( ) l e a i i x 。s l l x + 1 | ，v z + x + ， 则称，为x 的弛框架， ，b 为框架界若a = b ，则称，是x 的紧均框架分 别用磺4 与t 砭“表示x 的全体框架与全体紧扎框架之集上述不等式若只 有右边成立，则称，为x 的b e s s e l 列x 的全体x db e s s e l 列之集记为b 显然，b df dt f 定义2 1 2 设x 是b a n a c h 空间，施是b k 一空间，f = ) ； 磅，若下 列条件成立： 二c i 20 ， c i i e a s ( f ) ；c ；= o ，a ， 讵a 则称，为x 的独立框架或称，是独立的x 的全体独立拖框架之集记为 i f 弛 例2 1 3设x = j 1 ，x e = p ，则k ) ， 是x 的托框架事实上，+ = q ) l a x + = f o 。，我们有 i i x + ( e ) i i = i i c 1 ) l i f 一= s u p l q l = i | z + 因此， e i i a 是x 的施框架 例2 1 4 取托= i p 时的弛框架称为x 的p 阶框架 定义2 1 5 设x 是b a n a c h 空间，函是以 e 。) 。e a 为无条件基的b k - 空间， ，= ) i c x ，如果 ( 1 ) 嚣蕊 五) i a = x ； ( 2 ) 存在常数c ，d 0 ，使得v c + z a ，有 g 1 到c + ( e t ) k l l ) l i e 叭 a 则称，为x 的弛r i e s z 基x 的全体x dp d e s z 基之集记为r 不难验证， r 静= i f 命题2 1 6 设弱是b k 一空间， e t ) a 构成了的无条件基，则弼与 b a n a c h 空间( 虼，l i ) 等距同构，并且是b k - 空间，其中 = “c + ( e t ) ) 正a i c + x a ，i i c + ( q ) ) l | = l i c * l l x ： 证明设从秘到k 的映射为r r 为满射和等距是显然的，因此，只需要证 r 是单射如果味c ；弼使得 c ；( e ) ) i a = 翰( e ) ) f a ，则有v i a ，c i ( e ) = ( 8 t ) 由于 e i i 是托的无条件基，所以c i = 噶故r 是单射证毕 1 0 因此，对任意的矿弼，我们定义 c + ( 臼 t a ) = c + ( 岛) ) t ，( q ) i ) = c + ( 岛) 岛，v ( q ， x o 惟 定义2 1 7 设x 是b a n a c h 空间，是以f e ) 。a 为无条件基的b k 一空间， 如命题2 16 中所定义，g = f g t 。 c x + ，如果 ( 1 ) 池x ， g t ( z ) ；ae 虼； ( 2 ) 存在常数4 ，b 0 ，使得 a l i b i ls | | 藓( x ) a l l u b i i i ，v z x ， 则称旷为x 的弼一框架，a ，b 为框架界上述不等式若只有右边成立，则称g + 为x 的x ab e s s e l 列 定义2 1 8 设，= ( k 是b , a , m t e h 空间x 的框架，g + = ( 鲒 ，“为x 的 一框架，如果 3 - - ： ( 矿) g t ，v 矿x + 则称( ，旷) 为b a n a e h 空间x 中的一个对偶框架对此时，称，和矿互为对偶框 架 2 2b a n a c h 空间中的弱框架的性质 为了研究j 如框架性质的方便，首先定义一个算子 对b a n a c h 空间中的任意x db e s s e l 列，= ) 。定义算子 巧：x + + 扎，矿= 矿( ) ) m 容易验证是有界线性算子 引理2 , 2 1设x 是b a n a c h 空间， ncx ， 日。】。n 为符号序列，即吼 士1 ，n ，则矗无条件收敛当且仅当p m 无条件收敛 t hl h 证明 若观无条件收敛，则对任意的重排口，。卟) 无条件收敛- 取 l = 扣l ，n 2 ，n t ，n 件l ， i n t “计1 ，d 口( n ，) = 1 ) ， 2 一 n 1 ，n 2 ，n ，r l i + l ，l n i o ，存在日5 ，( a ) 使得i i 。e l c + ( e 1 ) e t i i 施兰言, v l n h = a ，l ，( a ) 对任意m y ( a ) 且甘n m = a ，则 三以q m | | 。忙s 刈u p 。i 赢，( e 加1 删 = s u pl ( 倾c 。( 曲) 迮 ， z ( ) ) t a ) l i l o | | s 1 m 日t c + ( e 1 ) i e a i i v 。- s u pl i x + ( ) ) 。 l l x 。 l l s l = b l | 矿( e , ) e d l i 6 m 0 ，存在f ，( a ) ，使得v l ，( a ) ，l n f = 啦有1 1 露( z ) e i 言 i 6 l 对任意的z x ，存在矿弼，使得 9 ；( z ) ) 诞n = p ( e ：) h n 任取m ，( a ) ，m n 1 5 f = o ，则有 j i 贫( z ) 剑= s 。u p 。 j 露( 咖+ ( 五) j i e m 。+ x ，忙1 1 = 1i e m = s u pf c + ( e ) 矿( ) l z x + 1 l 1 1 = 1 i e m = s u p l ( o w ( 日) ， ， z + 侦) ) ；a ) i 。j x ，i i 。+ i = 1 sl