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p o l l a c z e k 多项式的一致渐近展开 专业：基础数学 姓名：周建荣 指导老师：赵育求教授 中文摘要 在本文中，对p o l l m z e k 多项式r ( c 。s 8 ，n ，b ) 我们得到了两个一致渐近展 开式。其中，在子区间目( o ，d 撕】，o d 佣，得到关于初等函数形式按 赢的降幂的一致渐近展开。对另一子区间日1 5 v 丽，n 2 ，得到关于一个与 修正的抛物柱面函数有关的特殊函数按n 的降幂的一致渐近展开。在此区间 口 6 何，”2 】内含有转折点江佩和p 0 1 h c z e k 多项式在日( o ，”2 的所有 零点。 关键字：p o l l a c z e k 多项式；一致渐近展开；抛物柱面函数；a i r y 函数。 u n i f o r ma s y m p t o t i ce x p a n s i o n so ft h ep o l l a c z e kp o l y n o m i a l s m a j o r ：p u r em a t h e m a t i c s n a m e j i a n r d n gz h o u s i l p e r v i s o r ：p r o f e s s o ry u q i uz h a o a b s t r a c t 1 1 1t l 】1 8p a p e r ，t w uu j f o r 皿a 5 y 珊p t o t j c 懿p a n s i o 雌a r e 。b t 8 i n e df o f 出ep o 儿a c z e kp 。】卜 删m i a l sr ( c o s 日：o ，b )o n ei sf o r 日( o ，d v 饲，o d o 固定。他导出了当o t ( 。+ 6 ) 女时的浙近公式。若记 r ( 叫n ，6 ) 的零点为c o s ( 目。) ，这里o 口1 。 日。 、，再百 5 从( 22 ) 式，很自然的我们想到用 驰，小一嘉弘 和 孤叩) = 嘉出叫_ + 昔弘+ 眠扣2 5 如 ( 2 5 ) 来展开r ( c o s 口) 。此处a = 2 ( 口) ，z = 2 痂，对j ( n ，z ) 的导数是关于z 来求的。 我们在后面的章节里会看到j ( n ，：) 与抛物柱面函数有密切的联系。 接下来，将r ( c o s 口) 展开成关于j ( a ，z ) 和其导数的组合形式。为此，先引 进个一致参数： t = 元- 口( 26 ) 记 一 ：辫，2 乏篇， ， 并定义如下的迭代关系： 垂( s ，口) = o k ( 目) + s m ( p ) 十0 8 + ) ( 8 一s 一) k ( s ，目) ( 2 8 ) 和 中k + 1 0 ，p ) =一( s i ) 一t ( 。( s + ) + 2 甘( 9 击i ( si ) + 矸( 9 ( s + i ) 一1 日( 8 ) 中k ( s ，d ) j = ( 8 2 + 1 ) 生里：6 盟一( s 一2 h ( 疗) ) ( s ，伊) f 2 ，9 、 a = o ，2 ，3 ，此处h ( 9 ) = ( 日) 一嘴是 ( 日) 的正则部分至此我们得到如下的 形式展开式t 驴m ，z 蓬器+ 如，z 萑器劬，既 嘣州) = 赢严熹叫删川) 。+ 旦圳畸4 净k d s ， ( 2 1 1 ) p ：1 ，2 ，3 ，其中的积分路径与( 22 ) 的积分路径一样。( 2 8 ) 式的系数可如下 确定： n ( 其中= o ，l ，2 ， 即l ，m s i o 是常数，n ( 。) 是一个待定的函数， e ( n ，= ) = 生鬻 ，。z 一( a ) ， e ( n ，z ) = 1 ，= 口( n ) ， 其中( n ，z ) 和( o ，：) 是如下定义的模函数： l 七一 ( “) ( z ) = e 一1 ( n ，= ) m ( z ) s i n ( p ( d ，：) ) i 七 ( o ) t 矿( d ，一。) = e ( n ，z ) m ( o ，；) c 0 8 ( 日( o ，z ) ) f 七一 ( o ) i 矿，( a ，：) = e 一- ( a ，z ) - v ( o ，z ) s i n ( u ( o ，z ) ) i 矗 ( 。) i y ，( d ，一：) = 一e ( 。，：) v ( n ，。) 。s ( u ( 。，。) ) 在0 1 v e r 的记号中，一( 。) 是如下方程： k 一 ( d ) 7 ( n ，z ) = k ( d ) 矿【o ，一。) 8 f 36 1 f 3 7 1 的最小的正零点。上述估计，事实上每一步都可在 9 s e c 训中查到。很显然( 3 5 ) 的系数一去是不依赖于n 和p 的，应用f 9 s e c 9 3 】，取n ( z ) = 。1 邝，得到 咋，。，1 ( 坼1 ，。= ( 1 0 n 一奇 其中c 6 - 并且骗= 2 1 3 6 僻( - 7 3 d ( 由于对q ( 。) 的以上选取，我们得到对任意 的o ，如( 。) 总是有界的，参看o l v e r 9 ，( 97 ) 】因此，我们能加强0 1 v e r 在【9s 93 的结果如下： l ( n ，卢，) = f 一1 ( n ，z ) n 4 ( d ，z ) o ( n o ) ，( 38 ) e 2 ( n ，口( ) = e ( n ，。) 彳( n ，。) d ( 札一 ) ，( 3 9 ) 和 型型喜垫：e 一，( 。，；) ( 。，。) o ( 。一5 ) ( 31 0 ) d 2 墨逝雩型：e ( ) ( 叩) 。( 。一 ) ( 31 1 ) 以 。”。、 在前面的讨论中，我们总是限定( 是离开原点的。因为( = 以i ，要求( 6 。 等价于假定口【6 面，w 2 】，其中d o ，误差估计( 3 8 ) ( 3 1 1 ) 对这个区间里的口 是一致成立的由于e ( n ，z ) m ( “，z ) 的系数与 ( n ) ( a 一z ) ，除去在( n ，一z ) 在 零点的邻域，有同样大小的阶，同样，( 3 8 ) ( 3 1 1 ) 的余项与女 ( n ) w ( a ，一。) 有同 样大小的阶因此，( 36 ) 和( 3 7 ) 给出了( 35 ) 的解的一致逼近，从而也是( 3 1 ) 的解的一致逼近 对z 很大，而n 比较温和时，我们有： 垆厮c o s e + 。( 南) ，w ( 0 叫= 何丽s ；n e + 。( 刍) 和 叭叫) = 一厮s i n 。+ 。( 刍) ，( 旷扣一向两c o s e + 。( 刍) 对比 9 ，p 1 6 4 ，( 8 4 ) ( 85 ) 】，我们知道：在。一+ m 时，比较j 与( 士z ) 的性 质，如( 3 3 ) 和( 34 ) 所示，我们有j = 2 r e r ( n ) u - 一2 m r ( n 她因此 j = 2 一 r e f ( n ) = 一w ( n ，。) 一2 k & j m r ( a ) z w ( ，一z ) + e ( a ，z ) ，( 3 1 2 ) 其中 r ( qz ) = ( 兄e r ( n ) f z 一 e 1 ( a ，z ) m ( n ，：) + ，t ( n ) l z 一 e ( 。，；) f ( n ，# ) ) o ( n 一。) 。( 3 1 3 ) 9 因为；，z j - ；一2 ，( n ，z ) + 2 。一i ，( az ) ，所以我们也有 ；，f 。，z ) = 4 南一o r e r ( d ) 。一2 w 7 7 ( d ，z ) + 4 膏 ，m ，( 口) 。一 p i ，7 ( 口，一i ) + 砭。，5 ) ，( 3 ，1 4 ) 其中 可q 。) = j ，i o ( n 一5 ) + z 一2 v ( n ，。) ( | 月e r ( n ) i e 一1 ( n ，z ) + l ，m r ( n ) | e 恤，。) ) o ( n 一 ) ，( 31 5 ) 此时。2 狮n ( ( 毗 接下来，我们对，给出后文要用到的一些进一步的渐近近似结果。其中大 部分结果能够在【1 】和 9 】中参阅到。对大的n ，我们有关于a 1 r y 函数的如下逼 近： 啦，小2 而( 删吨一 ( 南) 。p e 书碱( 刊咄珏删帅) 卜 f 3 1 6 1 其中= = ( 2 v 伍) ，p 一( 4 n ) 。x ，此时当1 时有 蜘；z 1 厄蕊s = 知一e 一；e 廊 并且当f 1 时有 x = ( 翔3 ，优= ；庐孔：拳历一扣 因为当a 大，并且口小时，有。 一个邻域内，x 是关于( 的解析函数 近： = ! 笋+ d ( 口) ，有必要指出r 在e = j 的 其中参数和p 能够通过如下式子来逼 一“= q 1 + o ( n 一4 胆) ) ，f 一而 1 + o ( a 一。) ) 其中q = n b 2 ( t ) 如( 5 1 4 ) 所定义，口( t ) 由( 5 7 ) 和( 5 8 ) 所定义。前述逼近式现 在可以写成 啪，小2 行( 4 矿分5 ( 古) 。p e 巾a m 倒( 沪2 也扣栅a ( _ ) ( 3 1 7 ) 我们也要指如：上述逼近，在某种意义上来说，可能是最好的形式了这 是因为我们不能将j 展开成关于抛物柱面函数的无限项渐近展开。关于这一 事实，读者仍可参看o l v e “9 】。 第四章系数估计 为了证明( 2 1 0 ) 是一个真正的渐近展开式，我们首先对其系数n 女( 目) 和仇( 目) 做出一些估计作为预备的一步，我们先考察中o ( s ，日) 在s 平面区域风内的估 计，其中d 。可以表成如下式子： j m s 号； ( 4 1 ) 其中图2 给出了d m 在上半平面的具体图象。 注意到：自o ( s ，日) 在d 。里是s 的解析函数，因此，只需要关注如下的区 域d ，： 一m ，口r e s m ，日，f j l s l 口， 尬是一个可以相应改变的大数区域d 州的上半边界可标记为万獗孬面? 万巧面 ，在此情况下，点g 和f 是看成彼此相同；即如图2 。因为壬关于s 是解析 的，由最大模原理知道，为了估计垂o ( s ，口) 在区域d 内模的大小，只需要估 计在其区域的边界上模的大小即可以了事实上，我们将会有如下估计式： 币0 口) j 叫o ( 1 + o 5 1 )( 4 2 ) 其中s a d 蚶，此时是一个与s 和目无关的常数，并且也不依赖胁因 此，由最大模原理知道，上面的不等式对s d m 都是成立的我们将给出其 细节性的证明如下 取了了作为例子来说明此时，其边界部分可以表述成； 且e s = m ，归，l ，m 8 i 归 注意到”= e “见( 2 1 ) 式，并考虑到如下的事实z “i e 一肌l ，等l ， 并且 n r 口( 1 一 e 讲) 一n 憎( 1 一州e 一坩) = 0 ( 口) ，n r 9 ( s 一 ) 一r 9 0 + i ) = 0 ( 目) 则直接证明可知： 1 壬o ( p ) i 墨g l 酬s 1 其中s 万。 7 酉和百召的情况是类似的。事实上，沿着7 耳我们有； i m 8 一阳 臣 一m | 旧| r e s | m f o 从而得到： i l 一e + 冲i 6 ， i s ；2 ， 此处的d 是一个正常数并且它不依赖于m ，同样的估计对河也成立因此对 垂。( s ，日) 估计的( 42 ) 式对万也成立类似的证明还可应用到丽并且也可以得 出：当s 丽时，( 4 2 ) 式的估计也是合理的，此时是不依赖于m ，的 余下的情况，也就是衍，此时处理起来有一些不大一样了。我们必须要 适当的选取其分支。事实上，在这种情况下有： 并且 n r 口( si ) 一n 叼( s + 1 ) =2 + 0 ( 日) 做了如上的分支选取后，前面的估计对边界丽也是成立的，并且对区域d 。 的下半边界来说，估计式( 42 ) 式也是同样成立的因此，解析函数( s ，p ) 在 s 平面的整个区域d m 内时，( 4 2 ) 式的估计式都是正确的，其中是不依赖 于s ，p 和m ，的 为了联系( 2 8 ) 和( 29 ) 的迭代过程，我们定义了两族有理函数，即 血( s ，p ) ) 和 风( s ，日) ) ，其定义如下，( 请参看 a 。2 f 五洒，m = 和 b o = f 南 习取= f 南p 删警忡+ 嘲舡小，。) r 4 3 1 两嘉雨卜，) 等+ ( s 瑚阢一) r 44 1 其中= 1 ，2 ，3 ， 则其系数。* ( 口) 和仇( 口) 能表达成如下的函数形式： 雠( 日) = 去f ( s ，目) 取( s ，目) d s ， ( 4 5 ) 和 a k ( 日) 2 焘( s ，9 ) 凡( s ，。) 如， ( 46 ) 其中女= o ，l ，2 ，这里我们用到了以下的事实：对大的i s i ，当= 1 2 ，3 ，时， 有m ( s ，p ) 风( s ，p ) = o ( s3 ) 在( 45 ) 和( 46 ) 里，其积分路径是围绕点s = s 的一个简单闭曲线注意到壬o ( s ，口) 在区域l ，m s i ”归内是解析的也是一致有 界的，并且有m ( s ，p ) = o ( s “- 1 ) 和最( s ，p ) = o ( s “。) 因此，变形积分路径 使得点s + 是保持着远离所选的积分路径的尺度大小为o ( 1 p ) ，( 其中这种 积分路径的选择总是可行的) ，我们就有t 协( 口) l 靠日2 + 1 且l 口k ( 日) f 靠矿 其中k = o ，1 2 ，因此我们现在可以写( 2 1 0 ) 成如下的形式： 肌刚h ：) 薹警十孔，。) 薹学峋 r ( c 。s 日) = ，：) 罢孚十孤。，z ) 竺掣+ 卸( n ，口) k = 0k = 0 此处的e 如( 2 1 1 ) 中所给出，并且 n 女( 口) = 目n 女( 靠( 口) = 口一一1 觑( 砷， 它们满足如下的不等式： i o k ( 目) hi h ( 日) i 曼慨， 在这里帆是不依赖于日和n 的常数 1 3 ( 48 ) 49 】 第五章当日j 元，6 0 时的误差估计 正如第三章中所提到的那样，在日d v 伍，d o 时，函数j ( n ，z ) 能由修 正的抛物柱面函数来一致逼近在本章里，我们对目在不同区问里，给出其误 差项的界估计从而得出( 4 8 ) 就是p o l l a c z e k 多项式在日 6 何，”2 1 关于特殊 函数j ( a ，z ) 的一致渐近展开式 5 1 西，( s ，目) 的估计 我们想对岛进行估计，其中昂的表达式就是( 2 1 1 ) 式。为此，我们首先 对在f j m s l 茎n 声区域里解析的函数垂，( s ，口) 做出估计，再次我们求助于有理函 数族 骗( ，s ，日) ) 其定义如下 嗽印) ：击心h 印，：盟竖誊祟等堕剑江， 其中p = 1 ，2 ，3 ，一对于这些有理函数族，它们成立如下的等式； 唪( s ，e ) 2 赤币o ( 。，9 ) ( ，8 ) 8 e ， ( 52 ) 其中积分路径是围绕点 = s 和( = s + 的条简单闭曲线在得出( 5 2 ) 的过 程中，我们用到了一个事实：( ，日) = o ( “) 是对 撕再巧元其中口小时的误差估计 在当前的条件下，n 是大的，主要想法在于：j ( n ，。( n ，z ) 和如的渐近 逼近的主要贡献来自于点s = s t 的作用当口一、原再可万时，其鞍点s t 将 会趋于重合通过将它与a i r y 函数作比较我们间接性的得出s ，( n ，口) 的一个估 计。 为此，我们对( 2 1 1 ) 式引进变换s z u ，其定义关系式如下t 耶叭= 等池未+ 拈= z = 扣一即) 2 u + 叫) = ：州 ( 5 ，5 ) 且满足：f ( s ，t ) = _ p ( u ) ，在这里s ( 就如前面的定义一样) ，和 “= 士b ( t ) 它们分别是f ( $ ) 和妒( u ) 的鞍点其系数可以通过将鞍点s 和“代入到( 55 ) 式得到事实上，我们有： ，= 书即，= 澎耋篆 慨， 其中 郇，= 瑟：篇鬻：嚣 晦s ， l ： 一 )、c l oj l ， l b j 图3 a 和图3 b z 甲面， 厕 1 5 容易看出当t 一、，石而时，这两对鞍点中的每一对都会重合在一起，并且也 易证明当石而时口( z ) o 这个事实 前面引进的记号是对一般的t 和d 来说的然而，在这个小节的余下 的部分我们仅仅关注于p 小而口 佩v 丽的情况在第一步中，我们通 过中间变量z 和边界对应可以证明：映射s n 是一一的并且在区域 j ，h g o ( c ) d e f a ( a 1 ) j 和其下半平面的对称区域里都是解析的，其图形可以 参看图2 ，3 a ，3 b 和4 其中在图2 和图4 里凇分别是f ( s ，t ) 和p ( “) 的最陡下 降线部分对此映射共形性质的证明，读者可以参看64 5 m 2 ，p 3 7 5 l 和 1 4 1 。 在( 5 5 ) 的变换下我们有： ( ；) 2 ”s ，( n ，一) 在这里 ( ) 其中 u ( 8 ，t ) 刍蟛( 咖侗扣3 w ) 如 ( ，v 丽，z ) = 垂p ( s ，p ) ( s ) 。日( 日) ! 兰二! 生2 丝 ( s 一8 + ) 0 f 5 9 ) f 5 1 0 1 并且此处的r 是最初r 在变换( 55 ) 下的象为了简单起见，我们仍然标记它 为r 这个新的r 在图4 中已经标出其上半部分，其中面i z 丽就是r 在上半平 面的象，其方向为正方向。 现在我们考察函数u ( “，t ) 从映射s 一“的共形性质，我们知道u ( “，t ) 在 区域d u 内是u 的解析函数，其中d u 是由上半平面，h g 0 1 ( o ) d e f a ( ，) j 和下半平面的对称部分构成的，请读者参看图4 和割开的s 平面如图2 我们 想对u ( u ，f ) 在u d 。里给出一一个估计为了达到这个目的，我们再次求助于 边界估计，从而由最大模原理来达到整体的估计并且在此我们仅考虑上半平 面，即在万面死讯魂面瓦珏五厩的情况，对于下半平面的情况我们可以通过 对称性来得到。 取“丽这个边界部分作为例子来说明，这个部分对应于在图2 中以 s = i 为圆心的小圆。为了排除鞍点s = 斗，很自然的就要要求对s 丽至少 有i s 一 l = of 1 t 。) 的尺度大小，我们想具体化砸成如下的曲线； l s i i = e 一吖t 8 t g ( 5 一i ) 一，】 其中m 是一大的常数则很容易证明：沿着此曲线有缸1 z 一4 1 f 成立 由于有公式： z 一4 一；( “一卵+ ( “一卵b ， 此处4 = z ( t 斗) ，和事实：l b ( t ) i 。( # ) 1 归，我们就有 疵1 3 5j 一”j 至t 1 3 ，j 5 一副= e m r j s + 刘2 ，j s 一8 + f 扣+ 6 ) ( 2 2 ) ， s s j 2 此时“丽因此，从( 55 ) 我们有 u ( u ，t ) l 一1 3 e 麓翁 。 | | b 、 f j f k0 图4 * 平面， 佣 沿睦线w ，掰，丽和瓦玎町耳的估计也可以类似的得到。并且沿着 这些曲线我们甚至可以获得一个更强的界估计，即对u 属于上述曲线时，有 矿( “，) i n 一，6 然而对蕊五面渺和可；的分析就有一些技术性的困难了 例如，在s 丽，为方便起见，我们记s = 一 + z 并且分三种情况对其讨论： ( 1 ) a m 2 ，吩日 ，( i i ) i t 2 ，m t 2 】和( i i i ) i e 一2 ，e 2 f 然而，( 5 1 2 ) 的 估计对每个情况都是成立的因此，我们就得出( 51 2 ) 在u a d v 是合理的， 从而由解析函数的最大模原理知道，对“d u ( 5 1 2 ) 也是正确的因此，我们 就有： i 巧( u ) l 珥眦1 3 ( 1 + “3 而) ，( 51 3 ) 其中最后一个因式的出现是因为；在( 54 ) 里的项目例对= d ( 1 口) 是有界的 并且从( 55 ) 式可以看出：对s ( 因此也对u ) 大时，有拈。 “3 。 1 7 前面分析的一个附带结果是；在区域d u 里，我们有一个圆盘，其尺寸 大小是j nb ( ) l 皿一z 3 边界丽五t 虿面和茸f 就限定了此圆盘的半径不能变 为更大基于上面的讨论，我们可以利用在【4 】中的方法和结果对接近转折点 时，或者更精确地说，对日( 佣) 西， 纠面) 时的误差项做出估计，并且在 日聊、元时，我们应用最经典的最陡下降方法来处理在每一种情况下，我 们都有； 吲s 珥 j 辔h 华1 ) 嘉e 佛【 1 睁均 在这里q - 。一n e 口( t ) ，并且慨是一个不依赖于n 和目的常数。对n 大时，在 ( 31 2 ) 和( 31 4 ) 分别对w ( n ，土z ) 和协，土z ) 的渐近逼近是通过a - 函数和其导 数来给出的，并且将( 54 ) 式和( 31 7 ) 中所示的逼近公式做比较，我们就有： h i 箬m ，卅胁刮 慨1 5 j 在获得( 5 1 5 ) 式中，我们必须考虑如下的两种情况，即是；( i ) f 一1 + o 和 ( i i ) 1 + 如其中南( o 、2 ) 在第一种情况时，我们必须注意一个事实： 南= 。( n 2 7 3 ) ，目= 。( 1 而) 和p 一”，在第二种情况时，我们必须清楚： = ( ) ( ( n e ) 2 3 ) 5 3 口i d 元， n + 6 佤i 的误差估计 这种情况的讨论，事实上包含于b o 和w o n g 所写的论文里面因此一 种处理的方式是我们可以直接使用他们的结果，但是在本文中，我们是从一个 略微不同的积分表达式出发的，并且得到一个不同形式的展开式为了方便起 见，我们只简略的列出我们估计过程的提纲部分 在这种情况下，我们重新从同样的变换式( 5 5 ) 开始，像在t 佣的情况 一样，我们通过使用边界对应很容易证明：变换s u 在区域j 日g ( 脚s ( l ) k j 里面是一一的并且是解析的，正如( 4 1 ) 式后面所讨论的那样。 这次的积分路径的形变不同予前面那次的情况事实上，首先我们仍有表 达式( 21 1 ) 的这个误差项，其中s 平面里的积分路径r 可以选取为石游丽， 其中的g 和l 是趋向于无穷大；( 读者可以参看图5 ) 并且然后我们就将其形 变成而丽，此时的丽和i 可是水平的并且w 和v 是趋向于无穷大的； 在图5 里这些曲线是很清楚地画出来了映射( 5 5 ) 在z 平面的图象是由z 的 三个不同分支所构成，读者可以参看图6 a ，图6 b 和6 c 。很明显的，其多值性 本质是由鞍点s + 所引起的我们选取的割线是由沿着经过点s + 的最陡下降 1 8 线和从s 散发开的最陡上升线构成的通过( 5 5 ) 式的后面部分的方程式，我 们能将z 的三个不同分支区域映射成t 平面里的一个单一的区域，正如图7 所 画出的那样从而( 5 9 ) 式里的积分路径r 就映射成了u 平面里所对应的部分 雨而而读者可以参看图7 只需要通过一个微小的修正，我们就会发现对 v f 可的误差估计的情况因此，对 日f d v 瓦撕茸_ 、，司时，我们仍有( 54 ) 式成立，从而有( 5 1 5 ) 也相应的成立 引用的图5 和图7 如下。 ： 磊 t l 8 -1 + 0 j s q - ! 厂 v j 。 k f h h p 创 1 n 1 图5 5 平面，f v 仁阿 j h l 一 f i l c “ i l i 1 匹一! i 图6 a ，图6 b 和图6 c 二平面，z 砺了i 1 9 5 4 p 温和时的误差估计 在这种情况下，为了得到其误差的界，我们可以应用w a t s o n 引理来得到 我们很容易看到在( 21 1 ) 和( 2 4 ) 中的被积函数是具有相同阶的尺度大小的，并 且( 51 5 ) 在当前情况下是合理的 综合第五章里的所有的结果，我们得到：当日【6 面，”2 】时，其误差估 计( 5 l5 1 式是成立的 t 食。 玢 bj “+ f 心 | ” 图7 “平面，t 一； 读者可参阅【1 0 ，p3 9 4 】_ a = 时即得到p o l l a c e k 多项式。我们注意到，当 = ； 时，修正的抛物柱面函数对，( z ) 的逼近是最好的。此时我们有 其中。和z 与在第二章里所定义的是一样的，j = ( 。，。) 这个函数与在( 24 ) 式所定义的函数的唯一4 差别是：在( 2 4 ) 式时的幂一 ，此处用一i 代替。从上 述方程，显然可知j ( n ，：) 是w ( a ，士z ) 的线性组合，即 ，( n ，。) = 2 七一1 2 ( d ) r e n ( 目) w 7 ( o ，z ) 一2 七1 2 ( n ) j m n ( 口) 矿( o ，一= ) 其中 n ( 一) = 。ez 一2 e 专e 一 一 22 i r ( ；一；t ) 一1 ， ( c v ) 和也与在第三章的定义相同这个公式启发我们用修正的抛物柱面函数 来近似，( n ，z ) 参考文献 1 1m a b r a o w l t z8 n dias t 。g u n ，h a n d b o o ko fm 砒h e m a t j c a ln l 儿c t i 呻日，d o v e r n e w1 如f k ， 1 9 7 2 2 1 m v b 盯ya i l ( ej h o w l s ，h y p e r a 鼎m p t o t j 岱f o ri n t 。g r a kw i t hs 日d d l e s ，p r o c rs o c l o n da 4 3 4 ( 1 9 9 1 ) ，6 5 7 - 6 7 5 【3 】nb l c i s t e 皿u n j f o r i l l 臼s y m p t o t i ce x p a n s j o n so fm t e g r a i sw l t hm 柚yn e 8 r b ys t 砒i o “吖p o j n t s a n d “g 幽t a l c 矗n g u l 钳m 铝，e o m m p u r ea p p lm 啦h ，1 0 ( 1 9 6 6 ) ，3 5 3 - 3 7 0 4 】b or l l ia n drw 。n g a s y m p t o t j cb c h a v i o ro ft h ep 0 1 l a c z e kp o 】y i l o m i “s 龇l dt h e 打z e r o s ，s t u d a p p lm a t h ，9 6 ( 1 9 9 6 ) ，3 0 7 _ 3 3 8 5 lcc h e s t e r ，bf 订c d m a i la n dfu r s e j l ，a ne x t e n s j o no ft h c | n c t h o d0 fs t e e p e s td e s c e n t s ，p r o c c a m b i d g ep l i l o ss o c ，5 3 ( 1 9 5 7 ) ，5 9 9 6 1 l 【6 】me hi s m a l l ，a s y m p t o t l cb e h a v i o ro ft h ep 0 1 1 a c z e kp 0 1 y n o m i a l sa n dt l l e 打z e r o s ，s i a m jm a t ha n a l ，2 5 ( 1 9 9 4 ) ，4 6 2 4 7 3 an o v i k o ，o i las p e c i a l 蹄s t e l o fp 。l y n o m l a l s ，p hdd i 韶e r t a t i o n ，s t a n f o r du n j v e f 8 j t hs t a n f o r d c a 1 9 4 5 【8 】a b0 1 d ed a “h u i s 柚dm mt e m n l e ，u i f o r ma j 旷y p ee x p a i l s i 0 so fh l t o g f a 】s ，s i a mj m a t ha n a l ，2 5 ( 1 4 ) ，3 0 4 3 2 1 fo l v c r ，s “0 d