（基础数学专业论文）brauer代数b7δ的表示理论.pdf

d i s s e r t a t i o no fm a s t e rc a n d i d a t ei n2 010 u n i v e r s i t yc o d e ：1 0 2 6 9 s t u d e n ti d ：51 0 6 0 6 0l0 4 2 e astc h i n an o r m a lu n i v e r si t y t h e r e p r e s e n t a t i o n so fb r a u e ra l g e b r a 踢( 6 ) d e p a r t m e n t ： m a j o r ： r e s e a r c hd i r e c t i o n ： s u p e r v i s o r ： c a n d i d a t e ： d e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c s p u r em a t h e m a t i c s r e p r e s e n t a t i o nt h e o r y p r o f h e b i n gr u i y u a n z h o n gx u c o m p l e t e di nm a y , 2 0 10 华东师范大学学位论文原创性声明 郑霞声明：本人呈交的学位论文( b r a u e r 代数霸( d 的表示理论，是在华东师范 大学攻读硕打博士( 请勾选) 学位期间，在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。除丈中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研 究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢 意。 作者签名： 日期：砌年鲰扣 华东师范大学学位论文著作权使用声明 ( b r a t e r 代数9 7 ( o ) 的表示理论系本人在华东师范大学攻读学位期间在导师指导下 完成的硕幻博士( 请勾选) 学位论文，本论文的研究成果归华东师范大学所有。本人同 意华东师范大学根据相关规定保留和使用此学位论文，并向主管部门和相关机构如国家 图书馆、中信所和”知网”送交学位论文的印刷版和电子版；允许学位论文进入华东师范 大学图书馆及数据库被查阅、借阅：同意学校将学位论文加入全国博士、硕士学位论文 共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇编出版，采用影印、缩印或者其 它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于( 请勾选) ( ) 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部”或“涉密”学位论文事，于年 月日解密，解密后适用上述授权。 ( 、j2 不保密，适用上述授权。 导师签名：虹 本人签名： 矽加年始【日 宰“涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会审定 过的学位论文( 需附获批的华东师范大学研究生申请学位论文“涉密”审批表方为 有效) ，未经上述部门审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认为 公开学位论文，均适用上述授权) 。 徐袁钟硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称 单位 备注 时俭益教授华东师范大学主席 胡乃红教授华东师范大学委员 谈胜利教授华东师范大学委员 陆俊讲师华东师范大学秘书 摘要 假设k 是特征零的域，6 是k 中的元素本文主要研究域k 上b r a u e r 代数 百巩( ，n 7 的胞腔模( c e l l 模) 的合成因子及其分解重数我们的结果说明代数 5 ( d ，n 7 的胞腔模( c e l l 模) 是重数自由的 关键词：b r a u e r 代数，c e l l 模，合成因子 a b s t r a c t l e tkb eaf i e l dw h i c hc o n t a i n st h ep a r a m e t e r 巧s u c ht h a tt h ec h a r a c t e r i s t i co fk i sz e r o i nt h i sp a p e r , w es t u d yt h ec o m p o s i t i o nf a c t o r so fc e l lm o d u l e sf o rb r a u e r a l g e b r a 玩( d ，n 7o v e rt h ef i e l dk o u rr e s u l t ss h o wt h a tt h ea n yc e l lm o d u l eo f s u c ha l g e b r a si sm u l t i p l i c i t y f r e e k e y w o r d s ：b r a u e ra l g e b r a ，c e l lm o d u l e ，c o m p o s i t i o nf a c t o r 6 目录 第一章前言 1 第二章b r a u e r 代数编( 回2 第三章锄( d 的c e l l 模的合成因子 7 3 1 玩( d = 4 ，5 ，6 ) 的c e l l 模的合成因子7 3 2 锄( d 的c e l l 模的合成因子 1 5 附录2 3 参考文献2 6 后记2 7 第一章前言 设r 是含有单位元的交换环，g r a h a m 和l e h r e r 【6 】定义了交换环r 上的 c e l l u l a r 代数这是一类定义在偏序集a 上的结合代数，有一组具有良好性质的基 一c e l l u l a r 基对每个a a ，g r a h a m 和l e h r e r 【6 】定义了一个模，称为c e l l 模 g r a h a m 和l e h r e r 证明了c e l l 模上有一个典范对称结合双线性型，这个双线性型 对应的度量矩阵称之为g r a m 矩阵研究这些g r a m 矩阵的行列式有助于研究相关 的c e l l 模的结构。这是表示论中基本而重要的问题 g r a h a m 和l e h r e r 【6 】证明了定义在交换环r 上的b r a u e r 代数【l 】是一个c e l l u l a r 代数。在论文【9 】9 中，芮和兵司梅给出了一个递推公式，计算b r a u e r 代数的c e l l 模上的g r a m 矩阵的行列式对芮和兵一司梅给出的上述递推公式，f r a n kl t i b e c k 写了一个g a p 程序利用这个g a p 程序，我们计算出了刀7 的b r a u e r 代数的所 有c e l l 模的g r a m 矩阵行列式( 具体结果，参见附录) 利用这些具体的公式，结 合d o r a n w a l e s h a n l o n 【3 】3 以及c o x d ev i s s c h e r - m a r t i n 2 】2 关于b r a u e 玳数的相关 结果，我们可以确定定义在域k 上的b r a u e r 代数巩( 0 3 ，n 7 的所有c e l l 模的合 成因子这里k 是特征为零的域我们的结果说明定义在域七上的玩( 6 ) ，以7 的 所有c e l l 模足重数自由的 本文的结构如下，在第二章我们简单的叙述了c e l l u l a r 代数的定义和c e l l u l a r 代数的表示理论中的基本结果，我们回忆了b r a u e r 代数的定义和一些基本结论 在第三章，我们确定特征零域上的百易( 6 ) 的c e l l 模的结构，这是本文的主要结果 第二章b r a u e r 代数玩( d 定义2 1 ，卯r 是一个含单位元l r 的交换环，a 是一个尺代我集合a = ( 人，皂) 是 一个有限偏序善羔对于任意的五人，都存在一个有限的指标集合丁( a ) ，对于所有 的l 人和最t t ( z 1 ) ，存在础，a ，使得 c ；，ia a ，s ，t 丁( a ) ) 是代数a 的一 组自由基如果 础，ia a ，文t t ( z 1 ) 满足下列条件，黝称这纽自由基为c e l l u l a r 基： f a ，存在一个尺一线性反自同构幸：a a ，使得( q ，) = 口，对所有的l a ，s ，t 丁( a ) 都成j 艺 f r 纠对所有的a a ，a 人，s r ( i ) ，以及t t ( i ) ，都存在一个与t 无关的元 素 ) r ，使得： 口c ；，= b 。( 口) 四，( m 。d a a ) ( 2 1 ) 睢7 ( ，1 ) 其中a 争l 是由 西ip a ，u ，b r ) ，l 生成a 的自由尺一子模 如果代数a 有一组c e l l u l a r 基，则称代数a 是c e l l u l a r 代数 设a 是一个尺上的c e l l u l a r 代数，对任意的a a ，g r a h a m 和l e h r e r 【6 】定义 了一个c e l l 模，记为( a ) g r a h a m 和l e h r e r 【6 】6 证明了存在一个典范对称结合双 线性型 ( ，) ：n ( a ) x ( 抑- r 定义r a d a ( 一1 ) = 1 ，( a ) l ( ，w = 0 ，任取w ( a ) 1 由于( ，) 是结合的，所以 r a d a ( a ) 是( t ) 的a 一子模g r a h a m 和l e h r e r 【6 】定义了 d a ：= a ( , t ) r a d a ( 1 ) ， 并证明了d a = 0 或者是绝对不可约的，且 id a o ，五人l 构成了所有不同 构的不可约a 模的完全集合 下面我们回忆b r a u e r 代数的定义 定义2 2h ir 是一个含有单位元1 旯和元素6 的交换环，b r a u e r 代数百既( 回是由 s i ，e i ，1s is n 一1 ，生成的结合r - 代数，满足t 列关系式： 毋= 1 ，辞= f ， s i e i = e i 研= e i ， s i s j = s j 研，毋e j = e j s i ,e i e j2e j e i 酞政十1 & 2 政+ 1s t s “1 e k e k + 1 e k2e k ，e k + le k e k + 12e k + l s 七p 七+ 1 e k = & + l e k ，e k + 1 e k 政+ l = e k + ls k ， 其中1 f ，j 1 ，1 k 厂或 者k = 六五臣p ，则我们记为( k ，a ) 皂i t ) 如果 ，五) 皂饵i t ) ，( k ，a ) i t ) ，则记 为( k ，a 珍i t ) 记 j ( 厂a ) = 乡警埘( ) d i n 定义m = e f x , t ，其中e l = e l e 3 e 2 f - l ，翔= w e 6 。w ，这里的6 是对应于分划a 的y o u n g 子群，即6 = 6 。6 也6 山，其中允= ( 1 1 ，, t 2 ，儿) ， = 卜g 。m 黑了嬲篡：荔鬟：2 w 并且记： q 端，v ) = u - 1 d ( j ) 一m a d ( t ) v ，( j ，“) ，( f ，d ，抑 定理2 1 ，钾设百既( 回是交换环尺上的一个b r a u e r 代数则： r 口) 存在尺一线性反自同构0 ：玩( 6 ) 百既( 6 ) ，满足o ( s i ) = 毋，o ( e j ) = e j ，l lj n 1 r 剀= q 般f v ) j ( s ，“) ，以d 姒a ) ，a 卜刀一2 f , 0 f 【卸是玩( 回的一组自 由基 俐对所有的h 级( 回，( j ，功，以d j 抑，a 弹，都有： 咄孙兰a b , ，咄( m o d 留n ( 6 ) 州) ( 6 w ) e ，u m 其中编( 回) 是由所有满足( k , o f f , 抑的c ! t o , u 。) - 生成的自亩尺一檬 【j ，) ( ，” 根据定义2 i 可知，纸是一个c e l l u l a r 代数，对每个a ) a n ，用抑 表示由定理2 1 中级( 6 ) 的c e l l u l a r 基定义的c e l l 模 利用g r a h a m 和l e h r e r 证明的关于c e l l u l a r 代数的一般性结论可知，在巩( 回 的每个c e l l 模t ) 上，存在一个对称结合双线性型( ，) ：t ) t ) ，足 且( 譬，咄 r 的值由下面的等式确定： 删( s , u x 州嘴矿( 咄，嗍 噶i ，动嘲( 矿) ) ( ；m ；，功姒a ) ( 口黧，础) 的取值与( ；，五) ，( ；，乃i f f , a ) 无关i ) 的g r a m 矩阵g o , a ) 是个i x z 矩阵，其中z = r a n k ) ，矩阵中的第( s ，f ) 元素为、t t ( t ：, a ) ，罐：；) 记r a d a ) = x a ) i 仅) ， = 0 ，对所有的) ，a ) ，且d 【m ) = a f f , , 1 ) r a d a ( f , a ) 是0 或者是不可约模，而 灿a l 抗1 ) a n ，三肛0 是所有两 两不同构的不可约j 巩( d 一模组成的集合 下面的定义可以在论文【9 】中找到 定义2 3 对任意的t ( 栅，m a 定义c f ( 助r ，i k n 为： 一 霉：己薯笺淤基 定义： p = ( f ，力是a 的一个可加点， p = ( f ，力是a 的一个可去点 对于任意的一个分划a = ( a l ，, 1 2 ，) ，= ( 正，心，) 是a 的一个对偶分 划，则a ) 的维数可由下面公式计算得到： 4 ， 堂： = p兀 枷胪鬈， 其中h a u = a j + 乃一i j + 1 记留, ( 6 ) - - m o d 为右玩( 回模范畴，d o r a n h a n l o n w a l e s 在论文【3 】中定义了下 面两个函子： 兀：g 既( 分- m o d 一留，一2 ( 分- m o d ，玩一2 ：g 既一2 0 ) - - m o d _ 留，( 分- m o d ， 并证明了以下引理： 引理2 2 假设a ) a 。，( z ，1 1 ) a n + 2 ，则 a ) 于g = 1 r 缈缪( ( 工a ) ) = a ( 厂+ 1 ，a ) f 力厂( t ) ) = a ( 厂一1 ，a ) f 印h o m 厨, 轭( 回( 莎( a ) ) ，a ( ，p ) ) 兰日a m g ( 回( ，；1 ) ，厂( ( z ，p ) ) ) 仰沩七一槐 给定两个分划l , p ，如果对所有可能的f 都有也似，则记a ) p 令【a # 】为 斜y o u n g 图，即从 棚中去掉阻】中所有对应的点记p = ( i ，d ，p 一= ( f + 1 ，力 下面的定义源于c o x v i s s c h e r - m a r t i n 的工作 定义2 4 给定a a + 研) ，p a + 一2 1 3 ，称( l , g ) 是一个b a l a n c e d p a i r 如果下面条 件成立： 1 1 ) 1 ；l ) 弘 例斜y o u n g 图队肛】中的格子p ，p ，能两两配对，使得c a ( p ) + c a ( p ) = 0 3 ) 在配对中，如果sp 配对的是p 一，郡么- v 歹! 2 4y o u n g 图中的歹l j 数必须为偶 数 对一个级( 6 ) 一模m 和一个不可约统( 回一模，令【m ：m 为在m 的合成 列中的重数 下面这个定理是c o x ，d e - v i s s c h e r , m a r t i n 在【2 】中证明的 5 定理2 3 假设a 人+ ( 甩) ，p 人+ 一2 1 ) ，则有： 似j 如果【) ：a ( o ，1 ) 】0 ，则( a ，p ) 是一个b a l a n c e d p a i r f 剀如果( a ，p ) 是一个b a l a n c e d p a i r ，且不存在分划寿，a ，7 ，使得( a ，7 ) 是 一个b a l a n c e d p a i r ，则n ( o ，硒一定是埘，沁的合成因子 我们还需要用到下面的定理，它是g r a h a m 和l e h r e r 证明的关于b r a u e r 代数 不可约表示分类定理的特例 定理2 4 设k 是特征零的域 f j ，当6 0 ，或艿= 0 且n 是奇数肘，对任意的抑a 。，a t f , a ) 都有一个 单头( s i m p l eh e a d ) 讲棚，并且i d i a ) a 。l 构成所有不可构的不o - - i 约 弱n 一模的完全集合： f 2 j 当6 = 0 且以为偶数时，如果则u a ) 都有单头( s i m p l eh e a d ) 当且仅当 a ) ( ，o ) ，并且 d t t , a ) lu a ) ，五) ( n 2 ，o ) j 构成所有不可构的不 可约级( 回一模序皖全集合 d o r a n h a n l o n w a l e s 【3 】证明了以下定理 定理2 5 假设( 0 ，a ) ，( 1 ，p ) a 肿则( o ， ) 是a ( 1 ，) 的合成因子，当且仅当a 定 可以由讳增加两个格子得到并且这两个格子不在同一列 6 第三章踢( 6 ) 的c e l l 模的合成因子 3 1 玩( 回= 4 ，5 ，6 ) 的c e l l 模的合成因子 在计算踢( d 的c e l l 模的合成因子前，我们先要求出编 = 4 ，5 ，6 ) 的c e l l 模的合成因子 引理3 6 设( 2 ，【o 】) 是留4 ( 0 3 的c e l l 模，则： f j j如果6 隹( 1 ，0 ，一2 j ，则( 2 ，【o 】) = d ( 2 ，【o 】) 例如果6 = 0 ，则( 2 ，【o 】) 兰1 ，【2 】) 例如果6 = 一2 ，则r a d a ( 2 ，【0 】) 兰( 0 ，【4 】) 例 如果6 = 1 ，则r a d a ( 2 ，【o 】) 兰( 0 ，【2 ，2 】) 证明： ( 1 ) 如果6 茌i l ，0 ，- 2 ，则如fg ( 2 ，【0 1 ) o ( 见附录) ，从而( 2 ，【0 】) 是不可约模， 且r a d ( 2 ，【o 】) = 0 ，所以( 2 ，【0 】) = d ( z t o ) ( 2 )如果6 = 0 ，利用定理2 5 可知，( o ，【2 】) 是a ( 1 ，【0 】) 的合成因子，所以有 非零模同态叩：a ( o ，【2 】) _ a ( 1 ， o 】) ，利用右正合函子g 作用在a ( 0 ，【2 】) 和 a ( 1 ，【0 】) 上，可得到非零模同态g ( 叩) ：a ( 1 ，【2 】) 一a ( 2 ，【0 】) 因为( 1 ，【2 】) q ( 2 ， o 】) ，所以i mg ( c o ) r o da ( 2 ，【o 】) ，d mi mg ( c o ) d i mr a da ( 2 ，【0 】) 3 ( 见 附录) 类似上述证明，a ( o ，【3 ，1 】) 是a ( 1 ，【2 】) 的合成因子，有非零模同态妒： a ( 0 ，【3 ，l 】) 一a ( 1 ，【2 】) ，m 妒gr o da ( 1 ，【2 1 ) ，因为a ( 0 ，【3 ，l 】) 是不可约模， 所以i m 兰a ( o ，【3 ，l 】) ，3 = d i ma ( o ，【3 ，l 】) d i mr o da ( i ，【2 】) 3 ( 见附 录) ，可以得到d i ma ( o ，【3 ，1 】) = d i mr o da ( 1 ，【2 】) = 3 ，所以d i md ( 1 ，【2 】) = d i ma ( 1 ，【2 】) 一d i mr o da ( 1 ，【2 】) = 6 3 = 3 另_ 方面，i mg ( 叩) 皇a ( 1 ，【2 ) k e r g ( c o ) ，利用定理2 4 可知，r o da ( 1 ，【2 】) 是a ( 1 ，【2 】) 的唯一极大真子模，从而k e rg ( 叩) r o da ( 1 ，【2 】) ，因此1 ， 是i mg ( c o ) 的合成因子，d i mi mg ( c o ) d i m 1 【2 】) = 3 ，所以我们得到3 d i mr a da ( 2 ，【o 】) d i mi mg ( 叩) d i md ( 1 ，【2 j ) = 3 ，因而有d mr o d ( 2 ，【o 】) = d i mi mg ( c o ) = d i md ( 1 ，【2 】) = 3 又因为d i ma ( 2 ，【o 】) = 四x311 = 3 ，所以 a ( 2 ，【o 】) = r a da ( 2 ，【o 】) = l mg ( 叩) 兰d 【1 ，1 2 j ) 7 ( 3 )如果6 = 一2 ，则( 【4 】，【o 】) 是一个b a l a n c e dp a i r ，且不存在r 卜2 ，使得 ( 【4 】，7 ) 是一个b a l a n c e dp a i r ，利用定理2 3 可以得到，( o ，【4 】) 是( 2 ，【o 】) 的合成因子，所以有非零模同态叩：( o ，【4 】) 一( 2 ，【o 】) 因为( 0 ，【4 】) q ( 2 ，【o 】) ，所以i m 叩r a d ( 2 ，【o 】) 因为( o ，【4 】) 是不可约模，所以i m 叩皇 ( o ， 4 】) ，l = d i m ( o ，【4 】) d i m r a d l ( 2 ，【0 】) l ( 见附录) ，所以d i m r a d a ( 2 ，【0 】) = d i m a ( o ， 4 】) = 1 ，可以得到r a , t l ( 2 ，【o 】) 兰( o ，【4 】) 利用定理2 4 可知，r a d a ( 2 ，【o 】) 是a ( 2 ，【o 】) 的唯一极大真子模，所以( 2 ，【o 】) 的合成因子是d ( 2 ，【0 1 ) 和 ( o ，【4 】) ( 4 )如果6 = 1 ，类似( 3 ) 的证明，r a d ( 2 ，【o 】) 兰( 0 ，【2 ，2 】) a ( 2 ，【0 】) 的合成因 子是2 【0 j ) 和a ( o 【2 ，2 】) 引理3 7 设a ( 2 ，【l 】) 是玩( d 的c e l l 模，则： r j j如果6 霉 2 ，1 ，一2 ，一4 ，则( 2 ，【1 】) = d ( 2 ，【1 】) f 2 j 如果6 = 一2 ，贝j r o d ( 2 ， 1 】) 兰d ( 1 ，【3 】) 例如果6 = l ，则r a d ( 2 ，【l 】) 兰d ( 1 ，【2 l 】) 例如果6 = 2 ，则r a da ( 2 ，【l 】) 兰( o ，【2 ，2 ，1 】) 仰如果6 = - 4 ，则r a d ( 2 ，【1 】) 兰( 0 ，【5 】) 证明： ( 1 )如果6 萑 2 ，l ，- 2 ，- 4 ，则d e tg ( 2 ，【l 】) 0 ( 见附录) ，从而a ( 2 ，【l 】) 是不可约 模，且r a d ( 2 ，【l 】) = 0 ，所以( 2 ，【l 】) = d ( 2 ，【1 】) ( 2 )如果6 = 一2 ，利用定理2 5 可知，( 0 ， 3 】) 是( 1 ，【1 】) 的合成因子，所以 有非零模同态叩：a ( o ，【3 】) ( 1 ，【l 】) ，利用右正合函子g 作用在( o ，【3 】) 和a ( 1 ，【l 】) 上，可得到非零模同态g ( 叩) ：a ( 1 ，【3 】) _ ( 2 ，【l 】) 因为( 1 ，【3 】) q ( 2 ，【l 】) ，所以i mg ( 叩) r a d ( 2 ，【l 】) ，d i mi mg ( 叩) d i mr o d ( 2 ，1 1 1 ) 1 0 ( 见附录) 当6 = 一2 时，a ( 1 ，【3 】) 是不可约模( 见附录) ，且r o da ( 1 ，【3 】) = 0 ，所以 a ( 1 ，【3 】) = 1 捌，因此d i m d 1 d 1 = d i m ( 1 ，【3 】) = q = 1 0 另一方面，因为a ( 1 ， 3 】) 是不可约模，所以i mg ( 甲) 兰a ( 1 ，【3 】) ，从而有 d i ml mg ( 叩) = d i ma ( 1 ，【3 】) = 1 0 所以我f 门得至01 0 d i mr o da ( 2 ，i 1 1 ) d mi mg ( 叩) = d i md ( 1 【3 】) = 1 0 ，因而有d i mr o da ( 2 ，【1 】) = d i mi mg ( 叩) = 8 d i md ( 1 ，1 3 】) = 1 0 所以r a da ( 2 ，【1 】) = i mg ( 叩) 兰d ( 1 【3 】) 利用定理2 4 可 知，r a da ( 2 ，【l 】) 是a ( 2 ，【l 】) 的唯一极大真子模，所以a ( 2 ，【l 】) 的合成因子是 d ( 2 ，【l 】) 和d o ，1 3 1 ) ( 3 )如果石= 1 ，利用定理2 5 可知，a ( o ，【2 ，l 】) 是a ( 1 ，【l 】) 的合成因子， 所以有非零模同态c p ：a ( 0 ，【2 ，l 】) 一a ( 1 ，【l 】) 利用右正合函子g 作 用在a ( o ， 2 ，1 】) 和a ( 1 ， 1 1 ) 上，可得到非零模同态g ( t p ) ：a ( 1 ， 2 ，l 】) 一 a ( 2 ，【l 】) 因为( 1 ，【2 ，l 】) 司( 2 ，【l 】) ，所以i r ag ( q ) ) r a d a ( 2 ，【l 】) ，d i m i mg ( q ) ) d i mr a da ( 2 ，【l 】) 1 4 ( 见附录) 类似上述证明，a ( o ，【3 ，l ，l 】) 是a ( 1 ，【2 ，1 】) 的合成因子，有非零模同态毋： a ( o ，【3 ，1 ，l 】) 一a ( 1 ，【2 ，1 】) ，l m gr a da ( 1 ，【2 ，1 1 ) ，因为a ( o ，【3 ，l ，l 】) 是不 可约模，所以l m 兰a ( 0 ，【3 ，l ，1 1 ) ，6 = d i ma ( o ，f 3 ，1 ，l 】) d i mr a d a ( 1 ，【2 ，l 】) 6 ( 见附录) ，可以得到d i ma ( o ，【3 ，l ，1 】) = d mr a da ( 1 ，【2 ，l 】) = 6 ，所以 d i m 1 2 1 d = d i ma ( 1 ，【2 ，l 】) 一d 砌r a da ( 1 ，【2 ，1 】) = q 2 6 = 1 4 另一方面，i m g ( c p ) 兰a ( 1 ，【2 ，1 ) k e r g ( q 2 ) ，利用定理2 4 可知，r o d a ( 1 ，【2 ， l 】) 是a ( 1 ，【2 ，l 】) 的唯一极大真子模，从而k e rg ( 印) r o da ( 1 ，【2 ，l 】) ，因 此d 【1 ，l 2 ，1 】) 是i mg ( 叩) 的合成因子，d i mi mg ( 叩) d i m1 ：1 ，1 2 , 1 1 ) = 1 4 ，所以 我们得到1 4 d mr a t a ( 2 ，f l 】) d b ni mg ( 平) d i md ( 1 ，1 2 a 】) = 1 4 ，因而 有d mr a da ( 2 ，【l 】) = d i mi mg ( 叩) = d i md ( 1 ，1 2 , 1 1 ) = 1 4 所以r a da ( 2 ，【l 】) = i mg ( 叩) 岂d ( 1 ，【2 1 1 ) 利用定理2 4 可知，r o da ( 2 ，【l 】) 是a ( 2 ，【1 1 ) 的唯一极大真 子模，所以a ( 2 ，【1 】) 的合成因子是d ( 2 【t 】) 和d ( 1 ，1 2 1 】) ( 4 ) 如果6 = 2 ，则( 【2 ，2 ，1 】，【l 】) 是一个b a l a n c e dp a i r ，且不存在，7 卜3 ，使得 ( 【2 ，2 ，1 】，r 1 ) 是一个b a l a n c e dp a i r ，利用定理2 3 可以得到，a ( o ，【2 ，2 ，1 】) 是 a ( 2 ，【l 】) 的合成因子，所以有非零模同态叩：a ( o ，【2 ，2 ，1 】) 一a ( 2 ，【l 】) 因为 ( 0 【2 ，2 ，l 】) q ( 2 ，【1 】) ，所以i m 叩r a da ( 2 ，【l 】) 因为( 0 【2 ，2 ，l 】) 是不可约 模，所以i m 叩兰a ( o ，【2 ，2 ，l 】) ，5 = d i m a ( o ，【2 ，2 ，l 】) d i m r a d a ( 2 ，【l 】) 5 ( 见 附录) ，所以d i mr a da ( 2 ，【l 】) = d i ma ( o ，【2 ，2 ，l 】) = 5 ，可以得到r a da ( 2 ， 1 】) 兰a ( o ，【2 ，2 ，1 】) 利用定理2 4 可知，r o da ( 2 ，【i i ) 是a ( 2 ，【l 】) 的唯一极大真子 模，所以a ( 2 ，【l 】) 的合成因子是硝2 ，【1 】) 和a ( o ，【2 ，2 ，l 】) ( 5 ) 如果6 = - 4 ，类似( 4 ) 的证明，r o d a ( 2 ，【l 】) 兰a ( o ，【5 】) a ( 2 ，【l 】) 的合成因 子是d ( 2 ，【1 】) 和a ( o ，【5 1 ) 引理3 8 设a ( 2 ，【2 】) 是玩( 6 ) 的c e l l 模，则： r j j 如果巧岳1 3 ，2 ，0 ，一1 ，- - 4 ，一6 ，则a ( 2 ，【2 】) = d ( 2 ，【2 d 9 如果6 = 一4 ，则r o d a ( 2 ，【2 】) 兰1 ，【4 】) 如果6 = 0 ，则r a d ( 2 ， 2 】) 兰d ( 1 ，【3 ，1 】) 如果6 = 2 ，则r a da ( 2 ，【2 】) 兰d ( 1 【2 ，2 】) 耍口果艿= 一6 ，则r a d ( 2 ，【2 】) 兰( o ，【6 】) 3 幻果6 = - 1 ，则r a d ( 2 ，【2 】) 兰( 0 ，【4 ，2 】) 如果6 = 3 ，则r a d ( 2 ，【2 】) 兰( o ，【2 ，2 ，2 】) ( 1 ) 如果6 叠 3 ，2 ，0 ，- 1 ，- 4 ，- 6 ，则d e t g ( 2 1 2 1 ) 0 ( 见附录) ，从而( 2 ，【2 】) 是不 可约模，且r a da ( 2 ，【2 】) = 0 ，所以( 2 ，【2 】) = d ( 2 ，【2 】) ( 2 )如果6 = 一4 ，利用定理2 5 可知，( 0 ，【4 】) 是( 1 ，【2 】) 的合成因子，所以 有非零模同态叩：a ( o ，【4 】) 叫( 1 ，【2 】) ，利用右正合函子g 作用在a ( o ，【4 】) 和( 1 ，【2 】) 上，可得到非零模同态g ( 印) ：( 1 ，【4 】) 一a ( 2 ， 2 】) 因为( 1 ，【4 】) 司 ( 2 ，【2 】) ，所以i mg ( 叩) r a da ( 2 ， 2 9 ，d i mi mg ( 叩) sd i mr a da ( 2 ，【2 】) 1 5 ( 见附录) 当6 = 一4 时，a ( 1 ，【4 】) 是不可约模( 见附录) ，且r o d ( 1 ，【4 】) = 0 ，所以 a ( 1 ，【4 】) = d ( 1 ，因此d i md ( 1 吲= d o n a ( 1 ，【4 】) = 嚷= 1 5 另一方面，因为( 1 ，【4 】) 是不可约模，所以i mg ( 午) 兰a ( 1 ，【4 】) ，从而有 d i mi mg ( 叩) = d i ma ( 1 ，【4 】) = 1 5 所以我1 门得到1 5 d i mr a d ( 2 ，【2 】) d i mi mg ( 叩) = d i md ( 1 ，【4 1 ) = 1 5 ，因而有d i mr o da ( 2 ，【2 】) = d i mi mg ( c o ) = d i m 1 ，【4 j ) = 1 5 所以r o da ( 2 ，【2 】) = i mg ( 叩) 兰d ( 1 【4 】) 利用定理2 4 可 知，r a da ( 2 ，【2 】) 是a ( 2 ， 2 】) 的唯一极大真子模，所以a ( 2 ，【2 】) 的合成因子是 2 ，【2 】) 和d ( 1 ，【4 1 ) ( 3 ) 如果6 = 0 ，利用定理2 5 可知，a ( o ，【3 ，l 】) 是a ( 1 ，【2 】) 的合成因子， 所以有非零模同态叩：( o 3 ，l 】) 一a ( 1 ，【2 】) 利用右正合函子g 作 用在a ( 0 ，【3 ，l 】) 和a ( 1 ，【2 】) 上，可得到非零模同态g ( 叩) ：a ( 1 ，【3 ，l 】) _ a ( 2 ，【2 】) 因为( 1 ，【3 ，l 】) q ( 2 ， 2 】) ，所以i mg ( c o ) r 以a ( 2 ，【2 】) ，d i mi mg ( o o ) d i mr o d a ( 2 ，【2 】) 3 0 ( 见附录) 类似上述证明，a ( o ，【4 ，l ，1 】) ，a ( o ，【3 ，3 】) 是a ( 1 ，【3 ，l 】) 的合成因子，有非 零模同态l ：a ( 0 ，【4 ，l ，l 】) 一a ( i ，【3 ，1 】) ，晚：( 0 ，【3 ，3 】) 一a ( 1 ，【3 ，l 】) ， 1 0 j ， ， j ， ) a 口 仰例何仰仂 嗍二_ h i m 妒1 r a da ( 1 ，【3 ，l 】) ，i m 2 r a da ( 1 ，【3 ，l 】) ，i 因为n ( o ，【4 ，1 ，1 1 ) 和a ( o ，【3 ， 3 】) 是不可约模，所以砌驴1 兰a ( 0 ，【4 ，l ，l 】) ，砌九ga ( 0 ，【3 ，3 】) ，1 5 = d i ma ( o ，【4 ，l ，l 】) + d i ma ( o ，【3 ，3 】) d i mr a da ( 1 ，【3 ，l 】) 1 5 ( 见附录) ，可以得 到d i m r a da ( 1 ， 3 ，l 】) = 1 5 ，所以d i md ( 1 ，1 3 , 1 1 ) = d i ma ( 1 ，【3 ，l 】) 一d i m r a d a ( 1 ，【3 ， 1 1 ) = 嚷3 1 5 = 3 0 另一方面，i m g ( e p ) 兰a ( 1 ，【3 ，1 1 ) k e r g ( ( p ) ，利用定理2 4 可知，r a d ( 1 ，【3 ， 1 1 ) 是( 1 ，【3 ，l 】) 的唯一极大真子模，从而k e rg ( 叩) r a da ( 1 ，【3 ，l 】) ，因 此d ( 1 ，【3 ，1 1 ) 是l mg ( c p ) 的合成因子，d i mi mg ( c p ) d i md c l ，1 3 ，l 】) = 3 0 ，所以 我们得到3 0 d i mr a da ( 2 ，【2 1 ) d i mi mg ( 叩) d i md ( 1 ，1 3 a ) = 3 0 ，因而 有d i mr a da ( 2 ，【2 】) = d i mi mg ( c p ) = d i md 【1 1 3 , 1 1 ) = 3 0 所以r a da ( 2 ，【2 】) = i mg ( e p ) 兰l 1 3 , 1 1 ) 利用定理2 4 可知，r a da ( 2 ，【2 1 ) 是a ( 2 ，f 2 1 ) 的唯一极大真 子模，所以a ( 2 ，【2 】) 的合成因子是d ( 2 , 1 2 1 ) 和d 【l 【3 ，1 j ) ( 4 )如果5 = 2 ，类似( 2 ) 的证明可以得到r a da ( 2 ，【2 】) 兰y 1 ，1 2 2 d ，a ( 2 ，【2 】) 的 合成因子是d ( 2 ，【2 】) 和1 t 2 , 2 1 ) ( 5 ) 如果5 = 一6 ，则( 【6 】，f 2 】) 是一个b a l a n c e dp a i r ，且不存在r 卜4 ，【6 】62 r 【2 】，使得( 【6 】，功是一个b a l a n c e dp a i r ，利用定理2 3 可以得到，( 0 ，【6 】) 是a ( 2 ，【2 】) 的合成因子，所以有非零模同态甲：a ( o ，【6 】) 一a ( 2 ，【2 】) 因为 ( 0 ，【6 】) 司( 2 ，【2 1 ) ，所以m 叩r a da ( 2 ，【2 】) 因为a ( o ，【6 1 ) 是不可约模，所 以l m 叩兰a ( o ，【6 1 ) ，1 = d i ma ( o ， 6 1 ) d i mr a da ( 2 ，【2 】) 1 ( 见附录) ，所以 d i m r a d a ( 2 ，【2 1 ) = d i ma ( o ，【6 】) = 1 ，可以得到r a d a ( 2 ，【2 】) 兰a ( o ，【6 】) 利用 定理2 4 可知，r a da ( 2 ， 2 】) 是a ( 2 ，【2 1 ) 的唯一极大真子模，所以a ( 2 ，【2 】) 的 合成因子是d 【2 ，1 2 】) 和a ( 0 ，【6 】) ( 6 )如果6 = - 1 ，类似( 5 ) 的证明可以得到r a da ( 2 ，【2 】) 垒a ( o ，【4 ，2 】) ，a ( 2 ，【2 】) 的合成因子是d ( 2 , 1 2 1 ) 和a ( o ， 4 ，2 1 ) ( 7 ) 如果6 = 2 ，类似( 5 ) 的证明可以得到r a da ( 2 ，【2 】) 望a ( o ，【2 ，2 ，2 】) ，a ( 2 ，【2 】) 的合成因子是d ( 2 ，【2 】) 和a ( o ，【2 ，2 ，2 】) 引理3 9 设a ( 2 ， 1 ，1 1 ) 是) 的c e l l 模，则： f j ，如果6 譬 3 ，2 ，一1 ，- 2 ，- 4 ，则a ( 2 ，【1 ，l 】) = d a 1 a d 仨j如果6 = 一2 ，则r a da ( 2 ，【1 ，l 】) 兰d ( 1 ，【3 ，1 】) 纠如果6 = 2 ，则r a t a ( 2 ，【1 ，l 】) 兰d ( 1 【2 l 1 】) p )如果6 = 3 ，则r a da ( 2 ，【1 ，l 】) 兰a ( 0 ，【2 ，2 ，1 ，l 】) 1 1 伪如果6 = 一1 ，则r a d a ( 2 ，【l ，1 】) 兰a ( 0 ，【3 ，3 】) 仰如果6 = 一4 ，则r a da ( 2 ，【1 ，l 】) 兰a ( 0 ，【5 ，1 】) 证明： ( i )如果6 隹 3 ，2 ，一l ，- 2 ，- 4 ，则d e tg ( 2 ，【1 ，1 1 ) o ( 见附录) ，从而a ( 2 ，【i ，l 】) 是 不可约模，且r a da ( 2 ，【1 ，l 】) = 0 ，所以a ( 2 ，【1 ，l 】) = ：2 , 【1 1 】) ( 2 )如果6 = 一2 ，利用定理2 5 可知，a ( o ，【3 ，l 】) 是a ( 1 ，【l ，l 】) 的合成因子， 所以有非零模同态叩：a ( o ，【3 ，l 】) 一a ( 1 ，【1 ，l 】) ，利用右正合函子g 作 用在a ( o ，【3 ，l 】) 和a ( 1 ，【1 ，l 】) 上，可得到非零模同态g ( 叩) ：a ( 1 ，【3 ，l 】) 一 a (