（基础数学专业论文）abel范畴的粘合.pdf

摘要 a b e l 范畴粘合的概念起源于k a z h d a n 与l a u m o n 在1 9 8 8 年的关于预层粘合 的工作，p o l i s h c h u k 做了进一步的研究我们知道，a b e l 范畴的粘合其实是构 造范畴的一种特殊方法，它在代数学，拓扑，代数几何都有着广泛的应用本 学位论文讨论了粘合的构造，证明了：设i - 1 ：够一i 。：一够是a b e l 范 畴的两个函子，若i 。是满嵌入且( 1 - 。，厶) 是伴随对，则可构造一个粘合 二够生；- - 1 k e r i o 一二一 丘够叠 全文共分成两章第一章介绍本学位论文的有关研究背景及相关的概念和 性质；第二章是主定理与证明 关键词：a b e l 范畴；粘合；伴随 a b s t r a c t t h en o t i o no fg l u i n go fa b e f i a nc a t e g o r i e sw a ni n t r o d u c e di nap a p e rb y k a z h d a na n dl a u m o ni n1 9 8 8a n ds t u d i e df u r t h e rb yp o l i s h c h u k n o t et h a t t h eg l u i n go fa b e l i a nc a t e g o r i e si so n ew a yt oc o n s t r u c tan e wa b e l i a nc a t e g o r y ， w h i c hi sw i d e l yu s e di na l g e b r a ，t o p o l o g y , g e o m e t r ya n ds oo n t h i sd e s e r t a t i o n d i s c u s st h eg l u i n go fa b e l i a nc a t e g o r i e s ，w es h o wt h a ti fi 一1 ：够叫。，a ： 砖- - - - - - 4 a r et w oe x a c tf u n c t o r so fa b e l i a nc a t e g o r i e s 、a n di i sf u l l ，f a i t h f u l a n di 一1i sal e f ta d j o i n to f 以，t h e nw ec a nc o n s t r u c tan e wg u l i n g 五i - 1 够生k e r i j五够生一j t h i sd e s e r t a t i o ni n c l u d e st w oc h a p t e r sa l t o g e t h e r i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w e i n t r o d u c es o m eb a c k g r o u d sa n dl i s ts o m ed e f i n i t i o n sa n dp r o p e r t i e sw h i c ha r e c l o s e l yr e l a t e dt ot h i st h e s i s t h es e c o n dc h a p t e ri n c l u d e sm a i nt h e o r e ma n d t h ep r o o f k e yw o r d s ：a b e l i a nc a t e g o r i e s ；g l u i n g ；a d j o i n t 厦门大学学位论文原创性声明 本人呈交的学位论文是本人在导师指导下，独立完成的研究成果。 本人在论文写作中参考其他个人或集体己经发表的研究成果，均在文 中以适当方式明确标明，并符合法律规范和厦门大学研究生学术活 动规范( 试行) 。 另外，该学位论文为() 课题( 组) 的研究成果，获得() 课题( 组) 经费或实验室的 资助，在() 实验室完成。( 请在以上括号内填写课 题或课题组负责人或实验室名称，未有此项声明内容的，可以不作特 别声明。) 声明人( 签名) ： 年月曰 厦门大学学位论文著作权使用声明 本人同意厦f - i x 学根据中华人民共和国学位条例暂行实施办法 等规定保留和使用此学位论文，并向主管部门或其指定机构送交学位 论文( 包括纸质版和电子版) ，允许学位论文进入厦f - 1 3 v 学图书馆及 其数据库被查阅、借阅。本人同意厦门大学将学位论文加入全国博士、 硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇 编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于： () 1 经厦门大学保密委员会审查核定的保密学位论文， 于年月日解密，解密后适用上述授权。 ( ) 2 不保密，适用上述授权。 ( 请在以上相应括号内打“ 或填上相应内容。保密学位论文 应是已经厦门大学保密委员会审定过的学位论文，未经厦门大学保密 委员会审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认 为公开学位论文，均适用上述授权。) 声明人( 签名) ： 年月日 第一章a b e l 范畴的粘合 第一章a b e l 范畴的粘合 1 1 引言 a b e l 范畴的粘合最早是基于拓扑和几何中对于开子集的粘合而提出来的方法 其概念最早起源于k a z h d a n 与l a u m o n 在1 9 8 8 年的工作 1 4 ，而p o l i s h c h u k 在【2 0 】中对k a z h d a n 与l a u m o n 的工作做了进步的介绍，并将其应用到a b e l 群层范畴上 a b e l 范畴的粘合其实是构造范畴的一种特殊方法它在代数、代数几何及复 分析中都有着广泛的应用如r o m a nb e z r u k a v n i k o v ，a l e x a n d e rb r a v e r m a n 和 l e o n i dp o s i t s e l s k i i 在 3 】中利用a b e l 范畴的粘合研究了仿射基空间上的完全微 分环； s e f il a d k a n i 在 1 6 】中利用a b e l 范畴的粘合构造了新的三角矩阵环等 等 设，留，够均为a b e l 范畴，称够允许关于与历的个粘合，若存在 a b e l 范畴的四个加法函子 i 。：_ 够；i 一1 ：够_ ；歹一1 ：够_ 勿；j ! ：劈_ 够 且满足若干必要条件记为 i 一1 彳f 五够生历 本学位论文考虑下面问题：设，够是两个a b e l 范畴，i ，i 。是两个函 子，在什么条件下，存在留，使得够允许关于与勿的粘合本文的主结论 是： 定理2 1 1 设i - 1 ：够一是a b e l 范畴的正合函子，并且有满嵌入正合右 伴随i + ：一汐，记留= k e r i ，则够允许有关于与留的个粘合 i 一1 彳i 互够生劈 由对偶性可得 第一章a b e l 范畴的粘合 2 定理2 1 2 设j ! ：留一够是a b e l 范畴的正合函子，并且有满嵌入正合右 伴随j - 1 ：够一留，记= c o k e r j ! ，则够允许有关于与留的个粘合 i 一1彳f 五够生国 a b e l 范畴粘合定义中的条件与函子伴随性密切相关，因此我们在1 2 中回顾 了伴随函子的定义与性质1 3 叙述a b e l 范畴粘合的定义，给出注记c o n l i n a 范畴是从已知a b e l 范畴与函子得到新的类a b e l 范畴，构造过程是a b e l 范畴 的粘合过程，我们在1 4 中给出介绍三角代数以单点扩张代数为特例，又与偏 序集的i n c i d e n c e 代数紧密相连，在1 5 中，我们介绍这方面的情况最后，三 角范畴的导出范畴r e c o l l e m e n t ，a b e l 范畴的r e c o l l e m e n t ，特别是左r e c o l l e m e n t 与a b e l 范畴的粘合的概念与思想非常接近，我们在1 6 中有专门阐述 论文的第二章，我们介绍主定理并给出主定理的证明 1 2 伴随函子的定义与性质 本节回顾伴随函子的相关定义及其性质范畴的基本理论可以参考文f 2 ，7 ， 1 2 ，1 9 】 ? 定义1 2 1 设钐，9 是两个范畴，f 是钐到勿的函子，g 是勿到够的 函子，如果对任意a o b 够，b o b 9 ， ，b ：h o m ( f a ，b ) 叫h o m ( a ，g b ) 是自然同构，则称( f g ) 是一对伴随函子，f 是g 的左伴随，g 是f 的右伴 随，记为7 - ：f g 定义1 2 2 【1 8 】设丁：f - tg ，对任意x 够，称 = e x i x = t x ，f ( x ) ( i d v ( x ) ) ：x g f ( x ) ) 为单位( u n i t ) ，x 称为前连接态射； 第一章a b e l 范畴的粘合 对任意y 勿，称 6 = s y l s y = 巧- ) ，y ( i d g ( y ) ) ：f g ( y ) _ y ) 为余单位( c o u n i t ) ，( i y 称为后连接态射 引理1 2 3 【1 7 】在自然等价的意义下，f 的右伴随函子g 是唯一确定的， 且g 的左伴随函子f 也是唯一确定的 引理1 2 4l l a l 设f ：汐一+ 勿是满嵌入函予 ( 1 ) 若( f g ) 是伴随对，则存在函子g 7 ，使得( eg ，) 是伴随对，且其单位 e 7 ：i d v _ g 7 f 是恒等； ( 2 ) 若( ef ) 是伴随对，则存在函子日7 ，使得( 日7 ，f ) 是伴随对，且其余单 位6 7 ：h 7 f 一i 屯是恒等 1 3a b e l 范畴粘合的定义与性质 定义1 3 1 【1 6 】设，留，够均为a b e l 范畴，则够允许关于与留的一 个粘合，记作 i 一1 磊 互够生历 是指a b e l 范畴的四个加法函子 i + ：一够；i 一1 ：够_ ；j 一1 ：够一留；五o 留一够 满足下列四个条件： ( a 1 ) i _ 1 是i 。的左伴随，歹! 是j 一1 的左伴随，即对任意a o b a 4 ，b o b 留，c o b 够，有h o m 彰( i 一1 c ，a ) 竺h o m 够( c ，乱a ) ，h o m 留( b ，j 一1 c ) 竺 h o r n y 劬b ，c ) ； ( a 2 ) i 一，缸，j - l , 互都为正合函子； ( a 3 ) 对任意c o b 够，有正合列0 _ 歹! 歹- 1 c _ c _ n i - 1 c _ 0 ； ( a 4 ) ( i ) i - l j , = 0 ，j i 。= 0 ； 3 第一章a b e l 范畴的粘合 ( i i ) i - l i 。! i d g ，j - 1 叠! i d a ； ( i i i ) h o m v ( i + a ，j ! b ) = 0 ，对任意a o b ，b o b 留 注：( 1 ) 由伴随对的性质，自然地有i - 1 , 互是右正合函子，n ，j _ 1 是左正合 函子 ( 2 ) 对任意a o b ，b o b b ，h o m v l ( j ! b ，i a ) 垡h o m 搿( b ，j i ，a ) = h o m a i ( b 0 1 = 0 注：够关于与留的个粘合亦可记作： 留毒够之 - - 1 1 4c o m m a 范畴的粘合 c o m m a 范畴( f ，留) 就是关于与历的粘合，下面我们给出c o m m a 范畴的定义及相关的刻画 定义1 4 1 【8 】设，历是范畴，f ：一留是共变函子，称范畴够是 关于函子a 留的c o m m a 范畴，记为( f ，留) ，若够的对象类是三元组 ( a ，b ，f ) ，其中a o b j a 4 ，b o b 秽，f h o m ( f a ，b ) ；舢= | 象( a ，b ，f ) 到又j 象 ( 4 7 ，b 7 ，7 ) 的态射形如( 口，卢) ，其中q h o m , ( a ，a ，) h o m 留( b ，b ，) 并且 下图可交换 f a 上b ，f q0i 3 ， f aj b 命题1 4 2 【2 2 】设，留是a b e l 范畴且f ：斗留是右正合加法函子， 则c o m m a 范畴够是a b e l 范畴 文献 1 6 】给出c o m m a 范畴是a b e l 范畴的粘合，并给出对应函子 4 第一章a b e l 范畴的粘合 命题1 4 31 1 6 设，留均为a b e l 范畴且f ：斗留是右正合加法函 子，则c o m m a 范畴够存在关于，留的个粘合 2 7 i 王够生历， 其中对任意的a o b ，b o b 勿有 以( a ) = ( a ，0 ，0 )a ( 口) = ( 口，o ) ；i - 1 ( 4 ，b ，f ) = ai - 1 ( n ，) = c e ； 歹! ( b ) = ( 0 ，b ，0 ) 歹! ( p ) = ( 0 ，p ) ；j - 1 ( a ，b ，f ) = bj - 1 ( n ，) = p 1 5 三角矩阵环 a = r 善) = t ( ：m ) s ：r er , ses , m e 名 注；记环r 上的右r - 模范畴为m o d r ，环s 上的右s 模范畴为m o d s ， 则张量函子一qm ：m o d - r 一m o d s 是右正合加法函子，由命题1 4 2 可知， c o m i i l a 范畴( pm ( m o d r ) ，m o d s ) 是a b e l 范畴 引理1 5 2m o d - a 竺( 一om ( m o d r t ) ，m o d - s ) 推论1 5 3 存在m o d a 关于m o d r 与m o d s 的个粘合 m o d rj m o d - a 壹m o d - s z 7 t 1 6a b e l 范畴的粘合与r e c o l l e m e n t 为了刻画拓扑环式空间x 上的层，x 上的闭子空间导出的层及x 的开补 导出的层之间的关系， g r o t h e n d i e c k 最先引入导出范畴的r e c o l l e m e n t 1 0 ，1 1 】； 作为推广， b e i l i n s o n ，b e r n s t e i n 和d e l i g u e 定义了三角范畴的r e c o l l e m e n t 1 ， 5 第一章a b e l 范畴的粘合6 类似于三角范畴的r e c o l l e m e n t ，v f r a n j o u 和t p i r a s h v i l i 又在a b e l 范畴引入 r e c o l l e m e n t 的概念，它在表示论【4 , 2 1 】和环论中都发挥着重要的作用下面我们 回顾下a b e l 范畴r e c o l l e m e n t 的定义 定义1 6 1 【9 】设，留和够都是a b e l 范畴，则够允许有关于和留的 个r e c o l l e m e n t 记作 乓乓 簪够：0 留， z ! 一 _ j ! 是指六个加法函子 i = i ! ：叶够；j = j5 ：够一留；i + ，i ：够_ ；矗，j ! ：留_ 够 满足如下三个条件： ( r 1 ) ( i + ，蟊) ，( i ! ，n ( 死j ) ，0 ，矗) 是伴随对； ( r 2 ) j * i 。= o ； ( r 3 ) n ，负和矗是满嵌入函子 随后，b p a r s h a l l 将r e c o l l e m e n t 弱化，引入左r e c o l l e m e n t 及右r e c o l l e m e n t 这两个概念，从范畴角度来说，它们相当于c o l o c a l i z a t i o n 及l o c a l i z a t i o n 相应 地，在a b e l 范畴上，同样可引入左( 右) r e c o l l e m e n t 的定义 定义1 6 2a b e l 范畴够允许有关于a b e l 范畴和历的左r e c o l l e m e n t ， 记作 z7 ， 五够生留 是指四个正合函子 i + ：一够，j2 ：够_ 留，i + ：够_ ，j ! ：纺_ 够 满足如下三个条件： ( r 1 ) ( i + ，i + ) 和0 1 ，j5 ) 是伴随对； ( r 2 ) j ! i ，= o ； 第一章a b e l 范畴的粘合 7 ( r 3 ) 奴，互是满嵌入函子 对偶地，a b e l 范畴够允许有关于a b e l 范畴和留的右r e c o u e m e n t ，记 作 圭够壬留 是指四个正合函子 i ! ：一够，j + ：够一历，i 2 ：够_ ，五：留_ 够 满足如下三个条件： ( r 1 ) ( i ! ，i2 ) 和( j 4 ，j 。) 是伴随对； ( r 2 ) j i t = 0 ； ( r 3 ) i ! ，j + 是满嵌入函子 由粘合的定义可知，够关于和留的个粘合实质是个特殊的左r e c - o l l e m e n t 从a b e l 范畴的r e c o l l e m e n t 的定义我们知 引理1 6 3 【9 】存在自然变换的正合列 j ! j 卫z 如与i , i 一0 其中，e 是单位，7 7 是余单位 注：三角范畴的r e c o l l e m e n t 定义与a b e l 范畴的r e c o l l e m e n t 定义非常相 似，所不同的是：六个函子 i 。= i ! ：_ 够；j = j5 ：够_ 留；i + ，i 1 ：够_ ；矗，j ! ：勿_ 够 不但要满足定义1 6 1 中的条件，还需满足：对够中的任意对象x ，可确定够中 两个三角 i , i2 x x 一夯2 x _ t ( i ，i2 x ) 和j ! j 4 x _ x _ i ! i x t ( j ! j + x ) 其中i , i2 x x ，j ! 歹+ x _ x 是前连接态射，x 一矗歹2 x ，x i ! 矿x 是后连 接态射 一笙二主垒型整茎塑整全 8 _ _ - _ _ _ _ - 一一 一 范畴的r e c o l l e m e n t 的构造是r e c o u e m e n t 研究的个基本问题c l i n e ，p a 卜 s h a l l 和s c o t t 先后给出三角范畴的r e c o l l e m e n t 的两种基本构造： 定理1 6 41 5 设i 。：啐汐是三角范畴的满嵌入函子，并且有左伴随i 4 和左伴随一令s = i m ( i 。) 则是够的有厚度子范畴，并且三角范畴够允许 有关于三角范畴衫和够的r e c o l l e m e n t 定理1 6 51 4 设j + ：够一留是三角范畴的正合函子，并且有满嵌入右伴 随a 和满嵌入左伴随j ! ，令= k e r ( j + ) 则三角范畴够允许有关于三角范畴 和留的r e c o l l e m e n t 受定理1 6 5 的启发，我们考虑关于a b e l 范畴的相应结论并给出详细的证 明证明的思路来源于 4 】 g ：- 章粘合的一种构造：主定理与证明 9 第二章粘合的一种构造：主定理与证明 2 1 主定理 本论文的主要结论是 定理2 1 1 设i - 1 ：钐_ 是a b e l 范畴的正合函子，并且有满嵌入正合右 伴随i 。：一够，记历= k e r i ，则够允许有关于与勿的一个粘合 主一1而 玉够二；毒留 由对偶性0 - i j | 4 定理2 1 2 设a ：勿一够是a b e l 范畴的正合函子，并且有满嵌入正合右 伴随j 一1 ：够一留，记= c o k e r j ! ，则够允许有关于与历的个粘合 i 一1 j i 互够2 历 2 2 主定理的证明 在证明主定理之前，我们需要以下几个引理： 引理2 2 1 ( 九引理) 旧若在a b e l 范畴够中有如下交换图： 000 上上 l o _ a 7 一a 一一o 上上土 o _ b r b b i i _ o 1l l 0 呻c f _ c _ c l i 叶。 上上上 000 g - _ 章粘合的一种构造：主定理与证明 ( 1 ) 若每一列均为正合列，且下面( 或上面) 两行是正合列，则第三行也是正 合列； ( 2 ) 若每行均为正合列，目左边( 或右边) 两列是正合列，则第三列也是正 合列 引理2 2 2 【1 3 】若函子f ：够斗勿存在左( - - f 4 i ) 伴随函子g ，则f 是满 嵌入函子当且仅当有自然等价g f 垡i 如 引理2 2 3 【1 5 】设f ：够一勿，g ：勿叶够，则 ( 1 ) 若：f g ，则单位e 和撇6 是自然变换，且满足( g 6 ) ( g ) = i d g ， ( 5 f ) ( f e ) = i d f ，即交换图 f 譬f g f 、 卜 l d 一 i d ， + f ： ( 2 ) 若存在两个自然变换：i 如_ g f 和6 ：f g _ i d 9 满足( g 6 ) ( g ) = i d a ，( 5 f ) ( f s ) = i d f ，则f g 此时，e 是单位，5 是余单位 定理2 1 1 的证明：因为留= k e r i - 1 是够的个满子范畴，故自然地有满 嵌入函子五：留_ 够 下面我们分成四部分来证明本定理 ( 1 ) 给出j _ 1 的定义，并证明j - 1 是正合函子 因为i - 1 - ti + ，所以对任意x o b 够，存在前连接态射：e x ：x i , i _ 1 x ； 对任意y o b ，存在后连接态射：6 y ：i - l i 。y 呻y 下面证明k e r 6 x k e r i 事实上，由于够是a b e l 范畴，故存在正合列 0 一k e r s x _ x 马i , i x ， 又i 1 是正合函子，故作用在上述正合列可得正合列 0 一i - 1 ( k e 聒x ) 一i 一1 x 垫i - l i 。i 一1 x 1 0 粥卜z伽心g 旦、小 一 ； g g o - 章粘合的一种构造：主定理与证明 因为i 。是满嵌入函子，由引理2 2 2 知，i - t i 。冬i d ，故6 ：i - l i 。一i d 是 自然等价即屯一- x ：i - l i 。i - 1 x ，i - 1 x 是同构另外，由引理2 2 3 知，存 在下列交换图 i 一1 x 垫卜1 i 。i 一1 x |、。、6z-xxidi-lx i - a x ， 即瓯一，x i - a ( e x ) = i d i 一x ，从而i - 1 ( e x ) 是同构，于是 _ 1 ( k e r c x ) = 0 ，即 k e r e x k e r i 现在我们可定义函子 j 一1 ：汐_ k e r i 一1 = 留 对任意x o b 够，定义 j - 1 ( x ) = k e r x ； 对够中态射f ：x _ y ，定义 j - 1 ( ，) ：k e r e x _ k e r e y 这里j - 1 ( ，) 的定义是合理的事实上。对够中任意态射f ：x y ，因为x 是自然变换，故有如下交换图 由于 0 一k e r 5 x 鳖x 譬i , i 一1 x 上厂j ，i , i f 0 _ k e r e y 譬y _ s yi , i 一1 y e y f a x = i , i 一1 f e x 口x = 0 由k e m a l 的泛性知，存在唯一的g ：k e r c x k e r e y ，使得f a x = a v g 这里 定义j - 1 ( ，) = g 第二章粘合的一种构造：主定理与证明 进步对钐中任意态射，：x y ；g ：y _ 互有如下交换图 0 _k e r e x_ x _ i , i 一1 x j ，j - 1 ( 厂) ，上 0 _k e r e y_ y _ n i y ， 【j - x ( 9 ) i9j ， 0 _k e r e z_ z a i 一1 z 由k e r n a l 的泛性知：j - 1 ( g f ) = j - 1 ( 9 b _ ( 厂) 同时，对任意的x o b 纸由下图 0 一k e r e x x 一以i 一1 x i ii i1 1 0 _ k e r e x _ x _ 以i 一1 x 可得j - a ( i d x ) = i 也一，( x ) ，这样j - 1 是个函子 下证j _ 1 是加法函子 对任意，9 h o m 够( x ，y ) ，有下列交换图 0 _ j - 1 x 譬x譬i i 一1 x ij - a ( 厂+ g ) 上，+ gj ， ， 0 一j 一1 y 譬y 譬i i 一1 y 0 一歹一1 x 譬x 骂i i 一1 x 【j - 1 ( ，) 上， 上 ， 0 一歹一1 y 譬y骂厶i 一1 y 0 _ 歹一1 x o _ t xx 譬i i 一1 x j - 1 ( 9 ) 上9 、【 ， 0 _ 歹一1 y 2y譬五i 一1 y 1 2 第二章粘合的一种构造：主定理与证明 由上图可碍 故 而 f a x = a y j 一1 ( ，) ，9 a x = q y j 一1 ( 夕) ， ( ，+ 夕) n x = o z y ( 歹一1 ( ，) + 歹一1 ( 夕) ) ( 厂+ 9 ) o x = c , v j 一1 ( ，+ 9 ) 由k e r n a l 泛性的唯性可知：j - 1 ( ，+ 9 ) = j - 1 ( 厂) + j - 1 ( 夕) 所以j _ 1 是加法 函子 下证j q 是正合函子 设 0 叫x _ y z 叫0 是汐中的正合列，则只需证 0 一j - i x j 一1 y j - 1 z 叫0 是正合列：易知，有如下交换图 0 0 0 上 、ll q _ j t j 一1 x _ j t j 一1 y _ j t j 一1z _ 0 上土 j ， 0 _x_y_z _0 ， 上j ，l 0 _ i i 一1 x _ 及i 1 y _ 乱i 一1 z _ 0 上土j ， 000 1 3 第二章粘合的一种构造：主定理与证明 1 4 由i i - 1 是正合函子，故下面两行是正合列根据引理1 6 3 ，知每一列均为正合 列于是利用引理2 2 1 ( 九引理) ，可得第行是正合列又因为互是嵌入函子， 故j - 1 是正合函子 ( 2 ) 证明( aj _ 1 ) 是伴随对 要证( 奠，j 。) 是伴随对，只需证明对任意x k e r i ，y 够，有自然同构 丁：h o m v ( j ! x ，y ) 一h o m 留( x ，j 。1 y ) ， 因为五是自然嵌入，故h o m ( j , x ，j ：j - 1 y ) = h o m ( x ，j - x y ) 对任意，h o m ( j ! x ，y ) ，我们要定义7 - ( 厂) h o m ( j ! x ，j 1 j 。y ) 首先，对任意y 够，由前连接态射y ：y 斗以i - 1 y 可导出正合列 0 叫j l j 一1 y 三y 马i i 一1 y 叫0 因为x k e r i ，所以i - l j ! x = 0 故 h o m ( j ! x ，i i - 1 y ) 竺h o m ( i - 1 歹! x ，i - 1 y ) = h o m ( 0 ，i - x y ) = 0 ， 所以6 r f h o m ( j ! x ，i i 一1 y ) = 0 ，即y ，= 0 接下来考虑下图 j , x t 、 0 一j ! j 一1 y 三y 骂i i 一1 y 叫0 由k e r n a l 的泛陛，存在唯一的态射f 7 ：j ：x 一叠歹q y ，使得厂= a t 厂，于是定 义 丁( ，) = ，7 h o m ( j ! x ，j ! j 一1 y ) = h o m ( x ，j 一1 y ) 若7 - ( ，) = 7 ( 夕) ，贝0 由e t 寸论有厂= a ，7 = o 7 - ( ，) = 口。丁( g ) = a 9 7 = g 故 丁是单射 任取f 7 h o m ( j ! x ，歹! 歹- 1 y ) ，有o , f 7 h o m ( j ! x ，y ) ，由下图所示 第二章粘合的一种构造：主定理与证明 j t x | 0 一j 1 j 一1 y 0 4 7 y 可验证得 r ( a f ) = f 7 ，故丁是满射 综上，7 是双射 下面再证明丁是自然变换 三o i , i 一1 y 一0 ( i ) 对留中任意态射o r ：x x 7 ，有曩p ) = 盯任取f h o m ( j i x ，y ) ， 则f j ! ( 盯) = f a h o m ( j ! x ，y ) 如下图所示 j ! x 仃 乱x | t 0 叫j ! j 一1 y 三y 马以z 一1 y 一0 可知r ( f ) = f 7 ，且f = a ，故，盯= a 厂b ，由k e r n a l 泛性的唯性，可知 r ( f a ) = 厂b 于是考虑下图 由于 h o m ( j ! x 7 ，y ) 霉 上盯+ h o m ( j ! x ，y ) 驾 h o m ( j ! x , j ! j _ 1 y ) j ，矿 h o m ( j ! x ，j ! j 一1 y ) b 譬 丁丁 3 0 b f f o 、 仃吹，y ( f ) = 盯4 ，7 = f o - ，取y 盯4 ( 厂) = 研y ( ，盯) = ，7 仃， ， 1 5 第二章粘合的一种构造：主定理与证明 从而 即上图可交换 矿t x ，y ( f ) = t x y t 7 + ( 厂) ( i i ) 对够中任意态射：y 寸y 7 ，任取f h o m ( j ! x 7 ，y ) ，则v f h o m ( j ! x ，y ，) 如下图所示 乱x t 0 叫j ! j 一1 y 三y 马i i 一1 y 一0 ， 上j - 1 ( z ) 上z j ， 0 叫j ! j 一1 y 7 三y ，皇3i , i 一1 y 7 0 因为t ( f ) = f 且满足f = a 厂7 ，故，= a ，7 = a 坳_ 1 ( ) 厂，) ，同上理可知 丁( ，) = j - x ( z ，) ，7 于是考虑下图 由 h o m ( j ! x ，y ) 玛h o m ( j ! x ，j ! j 一1 y ) 上以 上j - 1 ( ) 。 h o m ( j ! x ，y ，) 鸳h o m ( j ! x ，j ! j 一1 y 7 ) b p 了 丁 p ，b 歹一1 ( p ) ，7 ， j - 1 ( ) + ，。又y ( ，) = j - 1 ( ) 。( ，) = j - 1 ( ) ， t x y ，( ) + ( ，) = t x y ，( ，) = j - 1 ( ) ，7 ， 从而j - 1 ( ) 。 r x r ( f ) = z x y ，( ) 。( 厂) ，即上图可交换 综上所述，( j r ，j _ 1 ) 是对伴随函子 ( 3 ) 对任意x o b 够，有正合列 0 一圹1 x x 叫i i 一1 x 一0 1 6 g - _ 章粘合的一种构造：主定理与证明 事实上，从( 1 ) 中我们有正合列 0 一k e r e x x 马i i x ， 根据引理1 6 3 ，c x 是满的且j - 1 x = k e r e x ，又奠是满嵌入函子，固有 0 叫矿1 x x 叫i i 一1 x 叫0 ( 4 ) 下证i ，n ，j - l , 歹! 满足定义1 3 1 条件( a 4 ) 显然有i - l j ! = 0 又对任意x ，i 。( x ) 够，有正合列 0 一j - 1 i + ( x ) 一缸( x ) 霉i i i 。( x ) 一0 ， 因为i i i 。( x ) 竺以( x ) ，即厶( x ) 是同构，于是j - 1 i 。( x ) = 0 ，从而j - 1 i = 0 而厶，歹! 均为满嵌入函子，故z 一1 以竺i d ，j - l j ! 垒i d 最后还需证明h o m ( i 。x ，j ! y ) = 0 ， 对任意x ，y k e r i 一1 够，h o m ( i 。x ，负y ) ，则令z = c o k e r f ，于 是有正合列 a x 二j ! y 与z 一0 从而有下列交换图 o0 0 j ，j ， j ， ( 汁。x ) ：0 一歹一1 y 二歹一1 z 一0 j ，j ，o l上妒 扎x j ! y 与 z 一0 ， 土j ，上 a i 一1 i 。x 一0一厶i - 1 z 叫0 l o 上上 00 1 7 第二章粘合的一种构造：主定理与证明 由于i i - 1 是正合函子，故第三行是正合列，显然每一列是正合列，再由引理2 2 1 ( 九 引理) 得第行是正合列，因为n 是0 态射的k e r n a l ，所以q 同构；又j 是0 态射的c o k e r n a l ，则p 是同构，因为艘= 妒卢，故p = 妒p q _ 1 是单射，又p 是 满射，故p 是同构，于是j ：y = y = z ，又只有0 态射的c o k e r n a l 是同构，从 而f = 0 定理证毕 1 8 参考文献 参考文献 1 9 1 】a b e l i n s o n ，j b e r n s t e i n ，p d e l i g n e ，f a i s c e a u xp e r v e r s ，a s t e r i s q u e1 0 0 ，s o c i e t m a t h m a t i q u ed ef r a n c e ，p a i r s ，1 9 8 2 ，1 0 0 ：5 1 7 2 【2 】2d a b u c h s b a u m ，e x a c tc a t e g o r i e sa n dd u a l i t y , t r a n s a m s ，1 9 5 5 ，8 0 ：1 3 4 3 r b e z r u k a v n i k o v ，a b r a v e r m a na n dl p o s i t s e l s k i i ，g l u i n go fa b e l i a nc a t e g o r i e s a n dd i f f e r e n t i a lo p e r a t o r so nt h eb a s i ca f f i n es p a c e ，j o u r n a lo ft h ei n s t o fm a t h ， j u s s i e u2 0 0 2 ，l ( 4 ) ：5 4 3 - 5 5 7 4e c l i n e ，b p a r s h a l l ，l s c o t t ，f i n i t e - d i m e n s i o n a la l g e b r a sa n dh i g h t e sw e i g h t c a t e g o r i e s ，j r e i n ea n g e w ，m a t h ，1 9 8 8 ，3 9 1 ：8 5 9 9 【5 e c l i n e ，b p a r s h a l l ，l s c o t t ，a l g e b r a i cs t r a t i f i c a t i o ni nr e p r e s e n t a t i o ni nr e p r e - s e n t a t i o nc a t e g o r i e s ，j a l g e b r a ，1 9 8 8 ，1 1 7 ：5 0 4 5 2 1 【6 】6 h c a r t a n ，a n ds e i l e n b e r g ，h o m o l o g i c a la l g e b r a ，p r i n c e t o n ，1 9 5 6 【7 】p f r e d ，a b e l i a nc a t e g o r i e s ，n e wy o r k ，h a r p e ra n dr o w ，1 9 6 4 f 8 】r m f o s s u m ，p a g r i f f i t h ，i r e i t e n ，t r i v i a le x t e n s i o n so fa b i l i a nc a t e g o r i e s ， l n m4 5 6 ，b e r l i n - h e i d e l b e r g - n e wy o r k ：s p r i n g e r v e r l a g ，1 9 7 5 【9 】9v f r a n j o u ，t p i r a s h v i l i ，c o m p a r i s o no fa b e l i a nc a t e g o r i e sr e c o l l e m e n t ，d o c m a t h ，2 0 0 4 ，9 ：4 1 5 6 【l o 】a g r o t h e n d i c k ，g r o u p sa n dc l a s s e sd e sc a t e g o r i e sa b e l i a n se tt r i a n g u l i e r sc o i n - p l e x ep a r f a i t s ，l n m 5 8 9 ，b e r l i n - h e i d e l b e r g - n e wy o r k ：s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 7 7 ， 3 5 1 3 7 1 【1 l 】a g r o t h e n d i c k ，j l v e r d i e r ，t o p o s ，e x p o s e i v ，l n m 2 6 9 ，b e r l i n h e i d e l b e r g - n e w y o r k ：s p r i n g e r - v e r l a g ，1 9 7 2 ，2 9 9 5 1 9 参考文献 【1 2 】s i g e l f a n d ，y i m a n i n ，m e t h o d so fh o m o l o g i c a la l g e b r a ，s e c o n de d i t i o n ，s p - i n g e rm o n o g r a p h si nm a t h e m a t i c s ，s p r i n g e r v e r l a g ，b e r l i n ，2 0 0 3 1 3 】p j h i t o n ，u s t a m m b a c h ，ac o u r s ei nh o m o l o g i c a la l g e b r a ，2 n de d n e wy o r k ： s p r i n g e r - v e r l a g ，2 0 0 3 1 4 】d k a z h d a na n dg l a u m o n ，g l u i n go fp e r v e r s es h e a v e sa n dd i s c r e t es e r i e sr e p - r e s e n t a t i o n s ，j g e o m p h y s 1 9 8 8 ，5 ：6 3 - 1 2 0 【1 5 】m k a s h i w a r a ，p s c h a p i r a ，c a t e g o r i e sa n ds h e a v e s ? s p r i n g e r ，a c a d e m i cp r e s