（基础数学专业论文）hopfπ余代数上的doihopf模及辫子t代数.pdf

h o p f 丌- 余代数上的d o i h o p f 模及辫子t - 代数 摘要 h o p f ，r 余代数是v g t u r a e v 在研究3 维流形及上链环上主一丛的h e n i n g s l i k e 与k u p e r b e r g - l i k e 不变最的基础上引进的一类代数结构，是h o p f 代数的推 广，其中”为一离散群本文主要讨论h o p f 丌- 余代数上的d o i - h o p f 模的m a s c h k e 型定理、f m b e n i u s 性质，同时把这两个结果推广到e n t w i n e d7 r 一模v g t u r a e v 引进了模的c r o s s e d7 r 一范畴( 根据m z u n i n o 简称为t _ 范畴) ，并且证明了这一范 畴能提升到带有目标空间( ，1 ) 的三维同伦量子场理论本文最后讨论了t 一 代数的性质，得到t 范畴的一个例子：t - 代数上的余表示范畴 第一节，引进本文用到的概念，记号及一些例子 第二节，首先引进了标准的丌- 积分的概念( 定义2 1 ) 由此给出了h o p f ” 余代数上的d o i - h o p f 模的m a s c h k e 型定理，即定理2 7 ：设( e a ，a ) 为d o i - h o p f ”一d a t u m ，如果存在一个( 日，a ，c ) 的标准丌- 积分 以：c a 一，o a l 一皖o a l ) 。， 那么下列结论成立 ( 1 ) c m 盖中态射“= “。：j m s 。e 。在范畴g 朋夏中有保核收缩( 截 面) ，如果a 一模同态u i ：a 一耽在范畴m a 。中有保核收缩( 截面) ； ( 2 ) 设m c 朋，如果蝇作为a l 模是半单的，那么m 作为g m 中的 对象也是半单的 容易得到以下结论；王栓宏的h o p f 丌- 余代数上的相关h o p f 模的m a s c h k e 型定理是定理2 7 的特例，是相关结论的推广 作为定理2 7 的应用，刻画了d o i - h c i p f 卅模中的投射a 一模f 推论2 9 ) ，同 时也刻画了遗忘函子f ：。m 互一m a 。的可分性( 定理2 1 2 ) 最后。把d o i - h o p f7 r 模的m a s c h k e 型定理推广到e n t w i n e d7 r 一模( 定理2 1 8 ) 第三节，给出了遗忘函子f ：c m 冀一m ，成为f r o b e n i u s 函子的几个等 价条件本节的个重要结果是定理3 3 ：设( 日，a ，c ) 为d o i h o p f ”数据，c 为 有限型的7 r 一余代数，那么下列等价 ( 1 ) 函子g = c o ) j 。：m a 1 一。m j 是遗忘函子f ：。m j m ，的 左伴随函子 ( 2 ) 存在z 一q 固a l c i o a l 满足：对任意口a 1 ， z 口= 即： q ( 一1 ，1 】 a i a ( o ，1 ) = q o o 口 t 同时存在一族线性映射妒一 ：戗一zo a l 一c k a l 。，为：( c 0 8 ) = q c o 口口i ，对任意a 丌，c + c ：- 1 】a a 1 使得对任意a i t ，妒。为双射 ( 3 ) 存在一族双射妒一 ：吃一， a 1 一c k o a i 。，使得妒是左d 丌一余 模同态，且对任意a 7 r ，妒。左a l - 模，右厶- 模 磺后，把d o i - h c p f 卅模的f r o b e n i u s 性质推广到e n t w i n e d 卅模( 定理3 5 ) 第四节，首先研究t - 代数的性质，得到定理4 , 7 ：当b 代数是辫子t - 代数 时，这个t - 代数的对极是双射的对偶t _ 余代数表示的概念得到t 代数余表 示的概念，同时得到了一个c r o s s e d 霄- 范畴：b 代数的余表示范畴接着得到定 理4 8 ，即t 代数的余表示范畴的性质：设日为t 代数，那么h 的余表示范 畴c o r e p ( h ) 是辫子的当且仅当日是辫子的晟后，受a v i r e l i z i e r 利用扭曲双 的方法构造拟三角h o p f ”余代数的启发，构造了辫子t - 代数的一个例子( 定 理4 9 ) 关键词：舟余摸，h o p f 仆余代数，d o i - h o p fd a t u m ，d o i h o p f9 - 模，e n t w i n e d 7 r 模，m a s c h k e 型定理，标准丌- 积分，f r o b e n i u s 性质，辫子t - 代数，辫子b 范 畴，p 代数的余表示 l l d o i _ h o p fm o d u l e sf o r h o p f 丌- c o a l g e b r aa n d b r a i d e dt a l g e b r a a b s t r a c t t h en o t i o n so fh o p f 7 r - c o a l g e b r a s ，w h e r e7 i sad i s c r e t eg r o u p ，g e n e r a l i z et h o s e o f h o p fa l g e b r a s h o p f r - c o a l g e b r aw a s u s e db yv g t u r a e vt oc o n s t r u c th e n n i n g s l i k e a n dk u p e r b e r g a i k ei n v a r i a n t so fp r i n c i p a l 丌一b u n d l e so v e rl i n kc o m p l e m e n t sa n do v e r3 - m a n i f o l d s t h i sp a p e rm a i n l ys t u d i e sm a s c h k et y p et h e o r e ma n df r o b e n i u sp r o p e r t i e s o fd o i - h o p fm o d u l e sf o rh o p f _ ，r - a j g e b r a s a l s ow eg e n e r a l i z es u c hr e s u l t st oe n t w i n e d 一m o d u l e s v g 互h r a e vi n t r o d u c e dt h en o t i o no fam o d u l a rc r o s s e dv - c a t e g o r y ( o r c a l l e dt - c a t e g o r yf o l l o w i n gm z t m i n o 4 ) a n ds h o w e dt h a ts u c ha c a t e g o r yg i v e sr i s et o at h r e e - d i m e n s i o n a l h o m o t o p yq u a n t u m f i e l dt h e o r yw i t ht a r g e ts p a c e ( 霄，1 ) f i n a l l y w e s t u d yt h ep r o p e r t i e so f i - a l g e b r aa n dg e ta l le x a m p l eo ft - c a t e g o r y ：t h ec a t e g o r y o fc o r e p r e s e n t a t i o n t - a l g e b r a i ns e c t i o nl ，w er e v i e wt h eb a s i cd e f i n i t i o n s ，n o t i o n sa n de x a m p l e su s e di nt h i s p 印e r i ns e c t i o n 2 ，f i r s t l y , w ei n t r o d u c e t h ec o n c e p to fan o r m a l i z e d 7 r w i n t e g r a l ( s i n gi t ， w ep r o v eam a s c h k e t y p et h e o r e mo fd o i - h o p fm o d u l e sf o rh o p fr - c o a l g e b r a s t h a t i st h e o r e m2 7 ：l e t ( e a ，b ead o i - h o p f7 r - d a t u m ，i ft h e r ee x i s t san o r m a l i z e d 丌一i n t e g r a l 丸：q 固a i _ loa 1 ) 口自o f ( 日，a ，g ) ，t h e nt h ef o l l o w i n ga s s e r t i o n s h o l d ( 1 ) am o r p h i s m “= f t k ：心十 妃 口fi no f jh a sar e t r a c t i o n ( r e s p a s e c t i o n ) i na j ，i ft h ea 1 l i n e a rm a pu l ：口叶a 如h a sar e t r a c t i o n ( r e s p as e c t i o n ) i n m 山； ( 2 ) m 。朋a ，i fm i ss e m i s i m p l ea sar i g h ta 1 m o d u l e ，t h e nmi ss e r a i s i m p l e a s o b j e c t i nc 朋互 a s 蛐a p p l i c a t i o n ，w eo b t a i na c h a r a c t e r i z a t i o nf o r ( h ，a ，c ) d o i h o p f _ 7 r - m o d u l e s t ob ep r o j e c t i v ea s a m o d u l e s ( c o r o l l y2 9 ) m e a n w h i l e ，w ea p p l yo u rr e s u l t st o c h a r a c t e rt h es e p a r a b i l i t yo ft h e f o r g e t f u lf u n c t o rf 。朋a 朋 l ( t h e o r e m 2 1 2 ) a tt h ee n do ft h i ss e c t i o nw eg e n e r a l i z et h i sr e s u l tt oe n t w i n e dw m o d u l e sf t h e o r e m 2 ，i s ) i i j i ns e c t i o n3 ，w eg i v es o m ee q u i v a l e n tc o n d i t i o n sf o r t h ef o r g e t f u lf u n c t o rf ： 。朋jh it ob e af r o b e n i u sf u n c t o r t h e no u l m a i nr e s u l ti sn o w t h ef o l l o w i n g ( t h e o r e m33 ) ：l e t ( h ，a ，c ) b e ad o i - h o p fr - d a t u m a s s u m et h a tc i saf i n i t et y p e h o p f 丌- e o a l g e b r a t h e nt h ef o l l o w i n gs t a t e m e n t s a r ee q u i v a l e n t ： ( 1 ) t h e f u n c t o r g = 瓯固) 口”：m l + cm 互i s al e f ta d j o i n to ft h ef o r g e t f u l f u n c t o rf ：c 川j - - - - - - 4 川 1 ； ( 2 ) t h e r ee x i s t sz = c oa a a 1w h i c h s a t i s f i e df o ra n ya a 1 ，。n = a 2 ：( i e q - 。( 一1 1 ) o a t a ( o ，1 ) = c i a a o ，s u c h t h a t t h e m a p t t 妒一 妒。：c ：一l 圆a t - - - - 4 ( k o a l a 丌， d e f i n e db y f o ra n yo t 7 r ，e + g ：一1 ，a a 1 ，c 固a hc i lc + a a i i sb i j e c t i v e ； ( 3 ) t h e r ee x i s t sab i j e c t i v em a p 妒= ：g ：一lo a 1 - - - 4g 固a 1 口印s u c h t h a t 妒i sal e f tc - r - e o m o d u l em a p ，a n df o ra n y 口7 r ，妒口i sa l e f ta 1 - m o d u l e ，r i g h t a 。一m o d u l em a p a n dw eg e n e r a l i z et h i sr e s u l tt oe n t w i n e dr - m o d u l e sa tt h ee n do ft h i ss e c t i o n ( t h e o r e m3 5 ) i ns e c t i o n4 ，f i r s t l y , p r o p e r t i e so ft - a l g e b r a sa x es t u d i e dw i t hs o l t l ed e t a i l s i n p a r t i c u l a r ，w eg e ta sf o l l o w s ：l e th b eab r a i d e dt - a l g e b r a ，t h e nt h ea n t i p o d eo fh i sb i j e c t i v e ( t h e o r e m4 7 1 w ed u a l i z et h ea x i o m so far e p r e s e n t a t i o nt c o a l g e b r aa n d o b t a i nt h en o t i o no fac o r e p r e s e n t a t i o no ft - a l g e b r a ，a n dt h e n ，w eg e ta ne x a m p l e o ft - c a t e g o r y ：t h ec a t e g o r yo fc o r e p r e s e n t a t i o no ft - a l g e b r a ，m o r e o v e r ，i ft h et - a l g e b r ai sb r a i d e d ，w eh a v et h a tt h ec a t e g o r yo fc o r e p r e s e n t a t i o no ft h et - a l g e b r ai s a l s ob r a i d e d ( t h e o r e m4 8 ) a v i r e l i z i e rc o n s t r u c t ( b ya “t w i s t e d ”d o u b l em e t h o d ) a q u a s i t r i a n g u l a xh o p f7 r c o a l g e b r a ，m o t i v a t e db yt h i s ，f i n a l l y , w eg i v ea ne x a m p l e o fa b r a i d e dt - a l g e b r a ( t h e o r e m4 9 1 k e y w o r d s ：r - c o m o d u l e s ，h o p f7 r c o a l g e b r a s ，d o i - h o p fd a t u m ，d o i - h o p f 7 r m o d u l e s ，e n t w i n e d 一m o d u l e s ，m a s c h k et y p et h e o r e m ，n o r m a l i z e d ”- i n t e g r a l s ，f r o b e - n i u sp r o p e r t i e s ，b r a i d e dt - a l g e b r a s ，b r a i d e dt - c a t e g o r i e s ，c o r e p r e s e n t a t i o no f t - a l g e b r a s l v 引言 h o p f 代数来源于h h o p f 对拓扑群的研究，他在研究拓扑群中的上链时构 造了既有代数结构又有余代数结构的代数系统1 9 6 , 5 年，m i l n o r 与m o o r e 的开拓 性文章【1 】的发表奠定了h o p f 代数的基础( 其中群代数，l i 代数的包络代数， 仿射的坐标环等均为其特例) 自此以后，h o p f 代数引起数学家的广泛关注，特 别是近二十年来，v d r i 蚶e l d 有关量子群的引入，伴随着k a p l a n s k y 某些猜想的 部分解决，h o p f 代数的结构日臻完善，其理论亦获得发展，逐渐发展成为成熟 的科学体系，广泛应用于表示论，流形，李代数，组合数学，拓扑量子场理论以 及算子代数前苏联数学物理学家d r i n f e l 深刻讨论并刻画了置子群、h o p f 代数 与y a n g - b a x t e r 方程的关系从那以后，量子群成为物理学家与数学家十分感兴 趣的研究领域 h o p f 群余代数是h o p f 代数的推广设口为群，v g t u r a e v 【2 】引进了模的 c r o s s e d7 l - 范畴，并且证明了这一范畴能提升到带有目标空间彭( 扎1 ) 的三维同 伦量子场理论c r o s s e d 卅范畴的一些例子能够从v g t a r a e v 引进的h o p f 丌- 余代数上得到比如，c r o s s e d h o p f 仆余代数上的表示范畴就是c r o s s e d 什范畴， h o p f 丌- 余代数与流形、拓扑纤维从及理论物理方面都有密切联系对于h o p f ”余代数的研究，近来引起许多数学工作者的兴趣，并取得了很多出色成果， a v i r e l i z i e rf 3 j 研究了h o p f 开余代数的代数性质及结构，得出i n t e g r a l 及迹的 存在性，把拟三角h o p f 代数，r i b b o n h o p f 代数的相应性质推广到c r o s s e d h o p f 7 r 一余代数上m z u n i n o 【4 】，【5 l 在h o p f 丌一余代数上构造出了d r i n f e i dq u a n t u m d o u b l e 并研究了c r o s s e d 群余代数上的y e t t e r d r i n f e l d 横，建立了c r o s s e di f - 范畴 和r i b b o n 丌- 范畴等， 若日为一具有双射对极s 的h o p f 代数，以为左弘余模代数，g 为右弘模 余代数，则根据文献【6 j 称( 日，a ，c ) 为d o i - h o p f d a t u m d o i 7 1 引进了( 日，a c ) d o i - h o p f 模概念从那以后d o i - h o p f 模受到广泛关注如文献 6 】，【8 】，【9 】，【1 0 】 其中些模结构如模余模，h o p f 模，相关h o p f 梗，分次模，y e t t e r - d r i n f e i ，d 模 等均为d o i h o p f 模的特例，而e n t w i n e d 模为代数上的模与余代数上的余模，其 作用与余作用满足某些相容条件e n t w i n e d 模的定义仅仅利用代数与余代数的 性质结合e n t w i n i n g 结构。而不需要在d o i h o p f 模定义中不可避免的作为基础 的双代数这样就使得d o i h o p f 模类可推广为e n t w i n e d 模且其较d o i h o p f 模更 1 自然，换句话说，d o i h o p f 模又成为e n t w i n e d 模的一种特例，这种推广是真推 广，我们可以找到一些模属于e n t w i n e d 模而不属于d o i - h o p f 模( 例2 1 5 ) 事实 上，关于d o i 。h o p f 模的很多结论可以推广到e n t w i n e d 模 s c a e n e p e e l ，t o m a s zb r z e z i n s k i ，g m i l i t a r u ，s h e n g l i n gz h u 等在文献f 6 l ，【8 】， 9 】，【l o 】，【1 1 】中对d o i - h o p f 模，进而对e n t w i n e d 模的有关f r o b e n i u s 性质与m a s c h k e 型定理进行了一系列研究王栓宏【1 2 】研究了h o p f 丌- 余代数上相关h o p f 模的 m a s c h k e 型定理，把d o i 7 】的相关h o p f 模的m a s c h k e 型定理推广到h o p fn 余代数上，同时王栓宏【1 3 】，【1 4 】提出了h o p f 孙余代数上的模余代数，余模代 数，d o i - h o p f 模。e n t w i n e d 模等相应概念( 分别称为n 余模代数，n 模余代数及 d o i - h o p f 霄- 模，e n t w i n e d 弘模等) 受这些文章启发，本文把有关d o i - h o p f 模， e n t w i n e d 模关于f o b e n i u s 性质与m a s c h k e 型定理的结论推广到d o i - h o p f 7 r 模 e n t w i n e d7 r - 模上 2 1 基本概念 本文中，所有的线性空间指域七上的线性空间，张量积a 。 b 记为a 。b ，映 射均为如线性的，h o m k ( a ，b ) 记为h o m ( a ，b ) ，为离散群，即7 r = p ，7 ，) 并采用文献【3 】与l i s l 的记号下面先给出一些概念和基本性质- 定义1 i i s c ；( g 口) 。，) 称为”余代数，其中 g ) n 臼为一族向量空 间，赋予一族映射= 郇：c 缸一g o o 。，口e 。( 余结合) 及映射5 ：口一( 余 单位1 ，满足：对任意n ，口，1 ， ( 。月oi d 。) 卵，t # ( t d 。o p ，7 ) a ，口1 ； ( 1 ) ( 1 d c ：圆) 。1 = d c 二= 忙oi d c o ) a 1 p ( 2 ) 注意到( 口，a 1 1 e ) 即为通常的余代数【1 5 j 以后张量积中的号省略，用文献【3 1 中的s w e e d l e r s 记号表示为，对任 意o ，卢仃，c c 妇， 。，卢( c ) 垒c ( 1 ，。) 。c ( 2 一) 那么余结合公理( 1 ) 可以表示为，对任意a ，卢， r ，c q 所 c ( 1 芦口) ( 1 ，a ) 0c ( 1 ，。舶( 2 ) oc ( 2 订) = c ( i 卢) o c ( 2 ，口( 1 日) oc ( 2 。所】( 2 一】 ( 3 ) 上面的量记为q 1 ，口) 。( 2 劫。【3 m 以此类推，对任意c q ，。一。，定义g 篇，“( c ) 垒 c f l ，1 ) 0c ( 2 a 2 ) o oc ( n ，) 定义1 2 f 3 】给定一个开余代数g ，一族向量空间m = 尥 。霄称为c 上 的右丌l 余模，若赋予一族映射p = p 。，口： z 如一o o ) 。口e 霄，满足：对任意 口，p ，1 7 r ， ( 儿口ot d 。) 儿口，7 = ( i d m o 口h ) p 口，口7 ； ( 4 ) ( 诹帆oe ) p 。1 = i d 地 ( 5 ) 类似地，俨余作用用s w e e d l e r s 记号表示为，对任意o ，卢7 r ，m 心口， 陆，口( m ) 垒m ( o ，。】。”( i ，纠 3 那么( q 可以表示为，对任意q ，盆，y w ，m m 二却， m ( 0 1 。国( o 口) om ( o ，。卢) ( 1 ，卢) om ( 1 7 ) = m ( o ) of t 。( 1 芦计( 1 一) oc ( 1 ，芦计( 7 t ) ( 6 ) 上面的量记为”( o ，。) o “( 1 口) 固m ( 2 m 以此类推，对任意m 珏，a 。t 记 风i r 。( m ) 兰m ( o ，a o ) 0m ( 1 m ) 0 0m _ m ) 注意到m 赋予结构映射p 。，1 为通常的右q 一余模 1 5 】， 设m = ( 毛) 。p ) ，m = ( 磁) 。，p ) 为右d r 一余模，一族线性映射 ，= ( 厶： 厶一磁k 。若对任意p 7 r ，满足蠢，口加= ( 厶0 1 4 唧) 几，p ，则称 ，为右d 丌一余模同态【3 1 类似地，可以定义左d n 余模与( q g ) 霄- 双余模 右g - 卅余模范畴记为朋一- 。，态射为右d ”一余模同态类似地，可以记 t c m 为左c 4 r 余模范畴，一。川t o 为d 卅双余模范畴设m 一一c 川，采用 $ w e e d l e r 记号，对任意a ，口7 r ，m 8 ， m 口( 仇) 垒m 卜1 。0 ) o m ( 0 1 p ) c 0 固m j ， 定义1 3 【3 l 打= ( 点k ，m 。，l 风 。咖，e ，s ) 称为t t o p f r - 余代数，其中( 点 。 a ，) 是n 余代数，s 为一族映射8 ； s a ：甄一日：一t 。苣丌( 对极) ，满足：对任意 a ，卢，r ， 吼是代数，乘法为m 。，单位元为1 如； ：日l 一，o ，口：日a p 一巩。郫为代数同态； m 。( s 。一ioi d ) 。一l 肛= l 骨o = m d ( d 玩o 一1 ) a ，。一i 称h o p f 卅余代数日= ( 矾，m 。，1 凰) 。钿，s ) 有限型，是指对任意n ”，风是有限维的 命题1 4 【3 1 设日= ( ( f k ，m 。，1 j = r 。 。，s ) 为h o p f ，r 一余代数，那么下列 成立 对任意口丌， ，g 。e 一，s 。一- ( h g ) = s 。- ( g ) s 。一l ( ) ； 对任意a 7 r ，s 口( 1 吼) = 1 以一l ； 对任意口，卢7 r ，卢，口一p i = 砜，巩( s 。一l 固5 卢一1 ) 。，舟州 e s l ：= e 4 定义1 5 1 3 1 设日为h o p f ”余代数， 。( k ) 。日兀。日日：称为h 的左( 右) ”积分，如果满足：对任意o ，p 7 r ， ( i d ko 芦) 。，芦= ) , a o l , u 。( ( 入a 矗z 咖) a ，口= a a 卢1 片口) 、 ( 7 ) 注意到a 1 是h o p f 代数日上通常的左( 右) 积分 定义1 6 1 3 ，1 4 j 设冒为h o p fn 余代数，a = ( 如k 。为一族代数a 称为 左m 丌余模代数，记为( a ，p a ) ，如果存在族线性映射p “= p 。a ，口：a 卵一 e ko 如，。雎。满足下列条件 ( a ，) 为左瓯订余模； 对任意a ，卢丌a ，b a 口芦，p 叠日( 凸6 ) = ( 一1 o 6 ( 一1 ，。) o a ( 0 ，口) 6 ( o 月) ： 对任意口，卢丌，砖口( 1 。口) 一1 乩0 1 a 口 注意到4 1 赋予结构映射碰，是通常的左竭一余模代数( 7 j 类似地，可以定义右皿7 一余梗代数，皿开双余模代数 显然，日是左弘卅余模代数，其中7 r 一余模结构为其余乘法= a 。, v 口 。，p 定义1 7 【1 4 】设日一( 占k ) 。e 。，e ) 为h o p f ”余代数c = ( c n 。，c ，) 为n 余代数a 被称为右矾n 模余代数，记为( g ，妒c ) ，如果存在一族线性映射 砂口= 妒2 ：c 麓。丑二一c 么) 。日满足下列条件 对任意q w 。( c ：，母g ) 为右h - 模； 对任意o ，8 丌，c c 叩，h 日妇星口( c h ) = c ( 1 ，呻 ( 1 ，口) oc ( 2 ，口) h ( 2 月) ； 对任意c c 1 。h i - 1 ，西( c - h ) = ( c ) 5 ( ) 注意到q 赋予结构映射奸是通常的右日1 模余代数1 7 】 类似地，可以定义左m n 模余代数与豇开双模余代数 显然，日为皿n 模余代数，结构映射为其i l l 身乘法 定义1 8 1 1 q 设h = ( 日；) 。，e ) 为h o p f7 r 一余代数，a 一( a 。，。，p “) 为 右m 7 r 一余模代数，一族线性映射毋= 以：日口一a 。) 。e 丌称为完全积分，如果 满足：对任意，7 r ，p 盆口如一( 札o f d 琊) 。，九( 1 风) = 1 a 。 定义1 9 设h = ( 日二) 。，e ) 为h o p f ”余代数，a = ( a 。) 。，p 4 ) 为 5 左h 一7 r 一余模代数，c = ( 瓯) 。g ，) 为右蟊n 模余代数，( m ，) 称为 f 日，a ，e ) d o i - h o p f 丌- 模，如果满足下列条件 m = ( 如) 。，p ”) 为左c - t r - 余模； 对任意q 7 r ，帆为右a 。- 模； 对任意o ，卢丌，m 地口，a 厶占， 硝口( m 口) = m ( 一1 ，。) 。( - 1 ，a ) om ( o 芦) a ( o ，所( 8 ) 设a 彳，为( 日，a e ) 一d o i - h o p f7 r 一模，映射，：m 一称为( 日，a ，g ) - d o i - h o p f 7 r 一模同态是指，= 厶：坂一亿 。为右c - t r 一余模同态，同时对任意q ， 为右a 。- 模同态( 只a ，g ) 一d o i - h o p f 丌- 模范畴记为g 朋盖 定义1 1 0 如定义1 9 所定义的h ，a ，e 称为d o i - h o p f l r - d a t u m ，记为( 日，a ，q 例1 1 设日为h o p f ”余代数，取a = g = h ，则( 圩，a ，g ) 一d o i h o p f 丌_ 模 就是h o p f 丌余代数上的h o p f 模【2 】 例1 , 2 设置为h o p f _ 7 r - 余代数，a 为左日- 7 r 余模代数，取c = h ，则( 嚣，a ，c ) d o i h o p f 卅模就是h o p f 卅余代数上的( a ，日) - 相关h o p f 模【1 2 】 仔i 1 3 设( 日，a ，c ) 为d o i h o p f ”- d a t u m ，m c h i ，则m o a = ( m o a ) 。) 。e 亓= 肘j 固a 。) 。“c 朋互，其结构映射定义如下：对任意的m 厶，o ，b a 。，m ! 地p ，d a 神， ( m 固n ) 6 = m o a b ； ( 9 ) 户嚣1 ( m o 口7 ) = 仇，一i 。】a 、i l ，。】 m 2 0 ，口) o 口 o ，所( 1 0 ) 事实上，容易得到，对任意o t ”，尥0 a 。为右a 。一模，且对任意a 7 r ， 0 0 i d ( m 。 ) 。) 卢警1 一i d ( m 窟 ) 。，同时对任意q ，芦，7 霄，m 地肌，n a 卵，有 ( i d v 。o 旃 ) 磁掣o 。) = m ( - 1 ，口) o ( 一1 ，a ) om ( o ，口，) ( 一1 芦) o ( o ，卢1 ) ( 一1 口】om ( o ，所) ( o ，1 ) 0a ( o 所) ( o ，1 ) = m ( - i ，口口) ( 1 犀) 盘( 一1 ，口卢) ( 1 ，) om ( 一1 ，口p ) ( 2 卢) 口( 一1 ，n 口) ( 2 p ) om ( o 。，) oa ( o 1 ) = ( 三4 0 i 8 q ) 砖钟( m oo ) r 这就蕴含了m o a 为左g 胃一余模由a 是左h - r - 余模代数的性质可以得到相 容条件( 8 ) 因此可得m o a 口m j 倒1 4 设( 日，a ，c ) 为d o i h o p f7 r d a t u m ，m 为右a l 横，则g o m = “c p m ) 。) 。霄= q o m ) 。e 丌为。朋j 中的对象，结构映射定义如下：对任意c c 0 ，c ，c 幻，m m ，b a o ， ( com ) 6 = c 6 ( 一l ，a ) om 6 ( o ，】) ； ( 1 1 ) 翻mc i o m ) = 1 4 ) c ；2 。p ) m ， ( 1 2 ) 特别地，c o a l = ( c o a l k ) 。臼= c ：o a l ) 。钉是。川j 中一对象 例1 5 设( 且a ，e ) 为d o i - h o p f r - d a t u m ，m 为向量空间，则e 0 a i o m = g o a l o m ) 。日为c m 互中一对象，其d o i h o p f7 r - 模结构由e o a l = c 二。以1 。日 诱导即d o i - h o p f 一模结构为，对任意口，p r ，c c 0 d ，8 a l ，b a 口，m m ， ( c 固固m ) b = ( c o a ) b o m = c b ( 一1 口】oa b ( o ，1 1 0 m ；( 1 3 ) p 器 1 。m ( c ，0 8 0 m ) = 正舻1 ( c ，o o ) o 仇= l ，。) o 2 。所o d o m ( 1 4 ) 7 2d o i h o p f 模和e n t w i n e d 模的m a s c h k e 型定理 文献【6 】给出了( 日，a ，c ) d o i h o p f 模的m a s c h k e 型定理；如果存在一个标准 积分妒：g o a c o a ，那么( e a ，g ) d o i h o p f 模范畴c m 中的态射有保核 收缩( 截面) ，如果在范畴朋a 中有保核收缩( 截面) ，推广了文献【7 】的m a s c h k e 型定理 设日为h o p f7 r 余代数，a 为右口”余模代数，王栓宏 1 2 】得到了朋r “ 中的一个单态射，= 厶：耽一晚) 。在m r h 中分裂的充分条件：如果a i 一 模单同态 ：尬一1 在a 1 模范畴中分裂把文献【7 】的m a s c h k e 型定理推广 到了h o p f 丌- 余代数上 自然的一个问题是否能把文献f 6 】中的m a s c h k e 型定理推广到h o p f 丌- 余代 数在这一节肯定地回答了这个问题，m a s c h k e 型定理成立的一个充分条件： 存在一个d o i - h o p fr - d a t u m 的标准丌- 积分这一节的最后把d o i - h o p f 丌- 模的 m 够c h k e 型定理推广到更广的模类e n t w i n e d 丌- 模上 2 1 丌一积分 考虑d o i - h o p f7 r - d a t u m ( 鼠a ，g ) 从例子1 4 可得 c o o a l 。丌为( 日，a ，e ) d o i - h o p f 卅模对任意a 霄，c 二o a l ，嚷一- o a l 分别通过如下结构映射成为左 a 1 _ 模，右a 。- 模 对任意a ，b a 1 ，c ，矿- l ， a ( c 0b ) = c o a b ，口( ，固b ) = 一0 0 3 ，( 1 5 ) 对任意a a 1 ，b a 。，c c 0 ，矿c ：一z ， ( coa ) b = c b ( 一l ，。) oa b ( o ，1 ) ，( c + 固a ) b = 8 。- - 一1 l ( 6 ( 一1 4 ) ) j ，oa b o ，1 )( 1 6 ) 其中对任意o ，r ，h 甄，c c 0 ，c c 0 一i ，记 垒 而g o a l = c r 口一- o a l ) 。，口o a l = 钱o a l 。臼分别通过如下结构映 射成为右c + = 优) 。一分次模( 其中口o a l ，c 0 a 1 ，c + 的第a 分支分别为 q t 0 a h 皖o a h 皎) 对任意a ，卢7 r ，a a 1 ，d + c 苗，c g 二一l ，c + c 苫， ( c o a ) d + = c 一矿o a = 。( 2 ，3 - l o , - 1 ) o a ，( c o a ) d = c * d + 圆a( 1 7 ) 8 定义2 1d o i h o p f n d a t u m ( 只a ，c ) 的n 积分是指一族线性映射币= ( 丸： c o 一- o a l c ：圆a 1 ) 。，满足：西为右c 一分次模同态，同时对任意吐”， 为左a l ，右a 。一模同态 什积分曲称为标准丌积分，如果满足：对任意a ，r ，c c i ， ( ( c ( 1 ，a 一) ) 归1 ) ( 0 1 。一z ，= ( c ) 1 。一。 ( 1 8 ) 其中对任意o t ，c c ：一， 札( c ol 。) 垒c - l lo c 1 0 1 ( 1 9 ) 例2 2 设日为有限型h o p f ，r 一余代数，a 为左矾仃余模代数设a = ( 。) 。 为日的非零右丌积分，考虑下面这个映射，对任意q 丌，h 风- l n a 1 ， 妒 。：日0 一- 固a t - - 4 月：固a 1 ，妒 。( o ) 篇s 二1 ( ) - a oo 口( 2 0 ) 则扒= ( 妒h 畦，是d o i - h o p f7 r - d a t u m ( 只a ，h ) 的卅积分 事实上 ( 1 ) 对任意口，r ，d ，b a