（基础数学专业论文）kothebochner空间的点态性质的研究.pdf

苏州大学学位论文使用授权声明 l l l l lii l l liilll l l l li il 17 3 2 3 17 本人完全了解苏州大学关于收集、保存和使用学位论文的规定， 即：学位论文著作权归属苏州大学。本学位论文电子文档的内容和纸 质论文的内容相一致。苏州大学有权向国家图书馆、中国社科院文献 信息情报中心、中国科学技术信息研究所( 含万方数据电子出版社) 、 中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社送交本学位论文的复印件和电子 文档，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存和汇编学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索。 涉密论文口 本学位论文属 在年一月解密后适用本规定。 非涉密论文日 论文作者签名： 邀鏊焦e l 期：丛l q ：丝 导师签名： k s t h e - b o c h n e r 空间的点态性质的研究 摘要 摘要 令( q ，琶p ) 是完备的矿一有限测度空间，刀是定义在其上的k s t h e 空间，x 是 一个b a n a c h 空间，称一切强可测的向量值函数z ：q x ，且童= 忙( ) l l x e 的等价 类为k s t h e - b o c h n e r 空间，记为e ( x ) 赋以范数恻i = i i l l z ( ) l l x 怯时它是个b a n a c h 空间这是一类非常广泛和抽象的空间，它包含o r l i c z - l o r e n t z 空间，向量值m u s i e l a k - o r l i c z 空间等当人们发现了这些空间的共同性质后，就开始探索k s t h e - b o c h n e r 空间 中所蕴含的本质属性本文主要探讨k s t h e - b o c h n e r 空间的点态几何性质重点研究了 端点，局部一致凸点和强端点，主要结果有：( 一) 任丽伟等2 0 0 6 年证明了，当e 严格 单调时，若( a ) 孟= 忙( ) 恢是口旧) 的端点；( b ) 对几乎所有的t s u p p z ，蔽船是 b ( x ) 的端点则z 是b ( e ( x ) ) 的端点本文证明上述( a ) ( b ) 也恰好为z 是b ( e ( x ) ) 端点的必要条件作为应用，我们还建立了o r l i c z - l o r e n t z - b o c h n e r 空间，并得到了它为 严格凸的充要条件( 二) 给出了s ( e ( x ) ) 的局部一致凸点的充分条件和必要条件，改 进了r p l u c i e n n i k 的工作 ( 三) 关于强端点，h h u d z i k 等人已经给出很多不同形式 的充分条件和必要条件本文证明了一个较完美的必要条件，即若z 是s 陋) ) 的强 端点，则( a ) i i x ( t ) l l x 是s ( e ) 的强端点；( b ) 对几乎所有的t s u p p x ，横是s ( x ) 的强端点 关键词：k s t h e - b o c h n e r 空间；o r l i c z 空间；k s t h e 空间；端点；严格凸；局部一致凸 点；强端点 作者：潘敬红 指导老师。严亚强教授 a b s t r a c t k s t h e - b o c h n e r 空间的点态性质的研究 a b s t r a c t l e teb eak s t h es p a c ew h i c hi sd e f i n e do nt h ec o m p l e t ea - f i n i t em e a s u r e s p a c e ( q ，p ) a n dxb eab a n a c hs p a c e w ec a l la l ls t r o n gm e a s u r a b l ev e c t o r v a l u e d f u n c t i o nz ：q _ xa n di t se q u i v a l e n tc l a s sk s t h e - b o c h n e rs p a c e ，d e n o t e db ye ( x ) i t i sab a n a c hs p a c ew h e ne n d o w e dw i t hn o r m 恻l = i x ( - ) l l x l l e t h i si sav e r y b r o a da n da b s t r a c tc a t e g o r i e so fs p a c e i ti n c l u d e so r l i c z - l o r e n t zs p a c e ，v e c t o r - v a l u e d 目录 第一章引言1 第二章k s t h e - b o c h n e r 空间的端点6 第三章k s t h e b o c h n e r 空间的局部一致凸点1 2 第四章k s t h e - b o c h n e r 空间的强端点1 8 参考文献2 2 攻读硕士期间发表和待发表的论文2 5 致谢：2 6 第一章 引言 引言 o r l i c z 函数，如果( 1 ) 妒是偶的，连续的， o r l i c z 函数妒称为n - 函数，如果它还满足 l i m 。掣= 0 ，h 平掣= o o 函数妒称为妒的余函数，如果妒( t ，) = s u p u l v i 一妒( 口) ) t i 0 + 讪 t + + ” - 、n 。 o r l i c z 函数妒称为对较大的变量u ( 一切让) 满足2 条件，记做妒a 2 ，如果存在 k 0 ，u o 0 ，当u u o 时( 对一切t ) ，有o ( 2 u ) k 妒( t ) 进而，若妒的余函数妒满足 2 条件，记做妒v 2 记g = f 0 ，7 ) ，- y o o ，用( g ，p ) 记g 上的l e b e s g u e 测度空间，m 为g 上的可测函 数全体，对于z m ，记模泛函为( z ) = ，妒( z ( t ) ) 舡( t ) 。0 由此可定义l u x e m b u r g 范数俐i 妒= i _ n f a 0 ：( 妥) 1 ) 集合 k = 【：存在入 0 ，使得( k ) 口) ) ， 秒0 ， 以及，的非增重排函数： ，( ) = m r 0 0 ：由( p ) t ，t 【o ，y ) 以上两个函数是右连续的，函数，g m 称为等可测的，如果对任意的9 0 ，d l ( 口) = d g ( p ) ，记为，一g ，显然，一，对于，m ，令 1 工 第一章引言 k s t h e 。b o c h n e r 空间的点态性质的研究 由，+ 的性质可以知道， ( ，) = 蚶邯) ) ) 舡垒蚶枷 一y7 p o ( f ) = 妒( i ，i ) u = s u p 妒( i f l ) v j 。u j 00 泛函：m 一【0 ，o 。】是一个正交的次可加的凸模，即t( ，) = 0 当且仅当 ，= o ；艮( ，) = ( 一，) p 妒( o f + 励) 口( ，) + 卢眦( 夕) ，这里口+ p = l ，a ，p 0 且当 m i n f l ，l g l = 0 时，( ，+ g ) ( ，) + ( g ) 记八垆一是由凸模脚生成的空间，即 八i p 一= 忙m ：存在入 o ，( 沁) 0 ：加( 詈) l ，称赋以l u x e m b u r g 范数 的八妒，为o r l i c z - l o r e n t z 空间，仍记为八p ，。 令( q ，p ) 是完备的口一有限的测度空间，对给定的b a n a c h 函数空间( x ，用 x n 记所有从q 到x 的p 强可测向量值函数，对任意的z = x ( t ) 墨1 ，设妒为n 函 数集合 工p ( g ，x ) = 茁：存在入 0 ，厂妒( a i l z ( t ) l i ) o ，m c t ，0 ) 0 ，使得f m ( t ，a i i x ( t ) 1 1 ) d t 0 ：肋( 妥) 1 】 2 k 6 t h e 。b o c h n e r 空间的点态性质的研究第一章引言 若z ，! ，l 0 ，zs 可表示对几乎所有的t q ，x ( t ) g ，( t ) l o 的子空间e 称为k s t h e 函数空间，如果t ( 1 ) z l o ，y e ，l z i j 可i ，蕴涵了z e ，i i x l l f i f y f l s ； ( 2 ) s u p pe = u s u p p x ：z e ) = q ，这里s u p p x = t q ：z ( t ) o ) k s t h e 空间是由可测函数构成的b a n a c h 格，o r l i c z - l o r e n t z 空间，r 上的m u s i e l a k - o r l i c z 空间都是k s t h e 空间 令e 是一个定义在( q ，p ) 上的k 6 t h e 函数空间，x 是一个b a n a c h 空间，称一 切p 强可测的向量值函数z ：q _ x ，且童= 忙( ) l l x e 的等价类为k 6 t h e - b o c h n e r 空 间，记为e 伍) 即 e ( x ) = z x o ：l i z ( ) l l x e ) 赋以范数恻l = i l l l x ( ) l l x l l e 时它是个b a n a c h 空间例如向量值的m u s i e l a k - o r l i c z 空间就是k s t h e - b o c h n e r 空间 上述空间有以下包含关系t e ( x ) ) m u s i e l a k - o r l i c z3o r l i c z - b o c h n e r3o r l i c z3 妒 二凸性和拓扑性质 设x 是b a n a c h 空间，s ( x ) ，b ( x ) 分别是单位球面和单位球体 z s ( x ) 称为x 的端点，如果对任何，z b ( x ) ，z ； + z ) 2 能推出y = 名，则z 就叫b ( x ) 的一个端点x 称为严格凸( r ) ，如果对任何z ，v s 伍) ，忙+ 训= 2 蕴涵 了z = | ，易知x 严格凸等价于s ( x ) 的每个点都是b ( x ) 的端点 z s ( x ) 称为局部一致凸点( l u r p ) ，如果对任何z n s ( x ) = 1 ，2 ，) ，熙忙+ z n i l = 2 蕴涵恕忙一z n l l = 0 继而，x 称为局部一致凸( l u r ) 若s ( x ) 的每一个 点都是局部一致凸点 $ s ( x ) 是强端点，如果z = 垃净( 7 7 , = 1 ，2 ，) 且1 i mi i 0 = l i mi i i l = 1 蕴涵 o n _ n 艘恐0 跏一0 = 0 x 称为中点局部一致凸( m l u r ) ，如果对任何z ，y n s ) m = 3 第一章引言k s t h e - b o c h n e r 空间的点态性质的研究 l ，2 ，) ，熙i i z n + 骱一2 z i | = 2 蕴涵熙i i z n 一i i = 0 从而，x 称为中点局部一致 凸等价于s ( x ) 的每一个点都是强端点 x 称为一致凸( u r ) ，如果对任意的序列 z n ) ， ) cs 僻) ，甚& l l z n + v n l l = 2 蕴 涵熙l i z n 一| | = 0 等价地，若对任何0 0 使得当z ，s ) ，忙一 洲e 时，| l 兰笋0 1 6 上述凸性有下列蕴含关系； u r 哼l u r 呻m l 矿r r 对于b a n a c h 函数格e ，称z e 为序连续，如果对任意序列 ) ce 且i i 一 0 ，i z n i ha e ，有i l z 。怯_ 0 玩表示j 5 7 中所有有序连续的元素组成的空间，e 称 为序连续，如果e = 玩 b a n a c h 函数格e 称为严格单调，如果0 y z e ，可z 蕴含i 蚓| b a n a c h 函数格e 称为有f a t o u 性质，如果对e ，z l 0 ，0 x n z ，s u p l l z 竹怕 n o o 药美含0 2 0 e = l i m0 z 竹i i e n o o 对于b a n a c h 空间x ，茁s ( x ) 称为h 点，如果【z n cs 僻) ，x n 弱收敛到z ，蕴含 _ z ( 依范数) 若s ( x ) 都是h 点，则称x 具有h 性质或k a d e c - k l e e 性质如果上 述定义中的弱收敛改为依测度收敛或点态收敛分别称z 具有玩j ( z 0 ) 性质 三背景 k 6 t h e - b o c h n e r 空间，作为一类很广泛的向量值函数空间早已被很多学者所关注( 见 【1 1 1 1 2 2 8 】等) 考虑的基本问题就是x 的几何性质是否可以提升到e ( x ) 问题的答案 。总是很不平凡的，也许这方面最早的论文可以追溯到1 9 4 1 年m m d a y 6 】中，他证明 了l e b e s g u e - b o c h n e r 空间p ( 胁x ) ( 1 伊) ) ，p 0 ，的重排函数为，+ ( ) = i n f 8 0 ：d 1 ( e ) t ) ，t 【0 ，y ) 这两种函数 都是右连续的对于，f ( a ，x ) ，令： ( ，) = 妒( ，沁) ) u ( t ) 咖= 删l ，( 圳| ) u ( t ) 舡= 妒( 厂) 八妒，x 一= ，f ( a ，x ) ：存在入 0 ，使得乃( 入妒) 0 ：( 善) s1 ) 则a i p ，x 一是一个b a n a c h 空间，记为o r l i c z - l o r e n t z - b o c h n e r 空间，简称o l b 空间 当u 为非零常数时，o l b 就是o r l i c z - b o n c h n e r 空间；当x 为实数空间时，o l b 成为o r l i c z - l o r e n t z 空间在o l b 空间里，重排函数与权函数的出现使得相应的研究 第二章k s t h e - b o c h n e r 空间的端点k 5 t h e - b o c h n e r 空间的点态性质的研究 难度增加了，很多凸性的刻画显得十分困难， 这可从实值函数o r l i c z - l o r e n t z 空间中 反映出来所以研究o l b 空间不是简单的照搬实值函数的相应结论，它是需要发展一 些特殊技巧的 定理2 3 八妒，x ，u 称为严格凸当且仅当下列条件满足、 ( 1 ) 妒2 ；( 2 ) 妒严格凸；( 3 ) x 严格凸；( 4 ) w ( t ) 0t 【o ，y ) ；( 5 ) 一y 当7 = 。o 时，f o j = o o 0 我们首先用定理2 2 给出一个间接的证明： 证明：必要性。若人p ，x 一是严格凸，s ( a p ，x 一) 的每个点茁= z ( t ) 均是端点由定理 2 2 ( b ) 知道，对几乎所有的t s u p p z ，横是b ) 的端点，对任意的e s ( x ) ，可 以将其看作常值函数e ( t ) = e ，它是b ( x ) 端点，故x 是严格凸的，即( 3 ) 成立由定 理2 2 ( a ) 知道，矛= 忙( ) l l x 总是b ( a 妒，u ) 的端点，再由a k a m h i s k a 1 6 】中的定理7 3 及【19 】中的定理3 3 知道，( 1 ) ( 2 ) ( 4 ) ( 5 ) 是成立的 充分性；若( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 5 ) 满足，下面证八i p 。x 是严格凸即s ( a 妒，x 一) 的每个端 点均是端点由( 1 ) ( 2 ) ( 4 ) ( 5 ) 知道， 八妒是严格凸，( 见【1 9 】) ，即b ( a 妒，u ) 的每个点 均是端点，又x 严格凸，故对几乎所有的t s u p p x ，福陆是b ( x ) 的端点，且 八妒，x ，。= 人州( x ) ，再由命题2 1 ，s ( a 妒，x 一) 的每个端点均是端点证毕 现在让我们直接来证明o l b 空间的严格凸性的刻划，先介绍几个引理： 引理2 4 1 4 1 若妒a 2 ，人妒，x 则l i f l l 妒= 1 当且仅当p o ( f ) = 1 引理2 5 1 6 若存在t a ( p a 0 ) 上i i f ( t ) l i 0 有d f ( 口) 0 使得当亡b 时 ，。( t ) ( ，) 。i 2 n f u l | o ( f 幸) 善u ，而f u = o o ， 。i 2 n 。f q o ( f ) = o ，这导 致对一切0 0 有d 妒c f ) ( 0 ) 0 ，使得当亡b 时，2 f + ( t ) i i f ( t ) l l ，则 p c = p d 这是因为，显然dcd 另一方面，若t 垂d ，则i i g ( t ) l l i i f ( t ) l l ，l i h ( t ) l l i i f ( t ) l l ，就有i i g ( t ) l l = i i f ( t ) l l = i i h ( t ) l l ，从而2 编= 蹁+ 编，由于龋s ( x ) ，由x 的 严格凸性，g ( t ) = 危( t ) ，故t 垂c ，所以胪= p c 现在由妒的严格凸性及引理2 4 ，知道 1 = 舢，= “掣卜 = ；卜c 华，卜 作( 舢 l i ) 圳砸) 1 1 ) 卜 三k ( 卅( 危) _ 1 矛盾 综上所述，g c t ) = h ( t ) 在【0 ，7 ) 上几乎处处成立，故，是端点 必要性：( 1 ) 妒2 任取一点饷 0 令o = fu 若妒不满足2 条件，则存在严格递增的序列 t 七) 使得u 七to o ，赤可 0 ，使得t i l + e u 2 于是 6 = 壹k - - - - 2 高+ 丽1 雨 丽1 1 ) 任取一个向量孟s ( x ) 定义 9 第二章k s t h e - b o c h n e r 空间的端点k s t h e - b o c h n e r 空间的点态性质的研究 ，= ，= u k 孟x t “l ， 七= 1 g = 矿= u 庙x j + ( t 1 托) 敢t o ， k = 2 h = h = u k 牙x t “】+ ( u l e ) 甄【t l ，t o p 驴c 动加c ，加。，= 薹妒c 钍知，t k - 1 u + 妒c “。+ e ，? u = 三o o 西1 + 互1 = 1 ， p 驴( ) 加( ，) 加( 夕) = 妒( 钍知) u + 妒( “1 + e ) u = 西+ 互= 1 ， = 2 五 矗 = 2 一 一 然而对于r 1 ，存在自然数，k o 1 ，使得1 + 0 ，使得妒( 鳖笋) = ) + 妒) ) 令饷 o 满足妒( v o ) 7 u ： 能 伽，满足尬：妒) 7 u + 妒( t 0 ) 7 u l m o ；再选取口如，使得妒( 口) ， y o u + 蛆：1 ，由于存在1 ，e 2 o ，使得伽一1 咖+ e 2 ， 且妒一e 1 ) 7 u + 妒( t 。+ e 2 ) 7 u ：尬现在取一个牙s 僻) ，定义； 9 = g = 面x 【0 加】+ v o 孟x b o ，竹】+ u o f f ：x i n ，讥1 ， h = h = 丽x 【o ，加】+ ( 伽一1 ) 童x i 加，】+ ( u o + 2 ) 孟x m ，讥】 则( 9 ) = ( ) = 1 ，( 学) = 学，因为妒在，伽】区间上是线性的，故 加( 生笋) ：妒( 口) 7 u + 0 一号) - 7 u + 妒( 撕+ 暑) y l u ：互1 ( 加( 夕) + 艮( 危) ) ：1 ， 这说明i l g l l i p = i i p = i i 学峙= 1 ，而g h ，这与八妒，x 的严格凸性矛盾 ( 3 ) x 严格凸否则，设有牙，雪，乏s ( x ) ，雪露，牙：警，取o 加 7 ，令w m ) ：7 u ， o 1 0 k s t h e - b o c h n e r 空间的点态性质的研究第二章k s t h e - b o c h n e r 空间的端点 再令 1 ( 加) 1 ( 加) 1 w ( - r o ) x x o ，7 0 】 y x o ， t o 】 z x l o ，m 】 、加 则s ，名，且知( z ) 2 妒( 妒- 1 ( 刀b ) ) f u = l ，故 i x l l 妒21 ，同理，i l u l l p2i 2 l l 妒3l ，但是 z = 訾，故z 不是端点，矛盾 ( 4 ) w ( t ) 在【0 ，卅上恒正否则，存在0 2 一翱( t ) 一础) 恢去) 则uua m = a ，故存在m o ，1 ，使得肛( b ) 0 ，令6 = 而1 ，即在集合 七：上t ，l = 上 b = 硒上，当n 时，0 ( t ) + 4 0 1 i x 2 一元1 ，且一致的有i l ( t ) 一z ( t l l x 占 0 由于( t ) 不一定是可测的，我们还要对b 做进一步处理 因为z c t ) 可测，且除去一个零测度集外是可测值函数列的一致极限，存在b 的子 集合d ，p g = p j e i 0 ，在c 上铷( t ) 一致收敛于z ( 0 ，设有七1 n ，使得n 七1 时； 0 ( t ) 一2 ( t ) l l x o ) ，在c 上是单值函数， i = l ( ) 三e 伽，( t q n ) ，令k = m a x ，硒) ，当n 七时， i i 钿( t ) + z c t ) l l x 2 一击， 且l i ( t ) 一z ( 0 1 1 x j 任取一个定点r i o q n ，令。n ( 亡) = ( 如。n ) x ，则( t ) 是可 i = l 测函数列 对一切t c ， ( i = 1 ，2 ，。) ，则佗 时， 2 i i z 竹( t ) + z c t ) l l x i l ( ) + z ( ) l l x 1 1 4 1 t o ) 一( t t 。) l l z 一0 ( t ) 一4 t ) l l x 2 一三一三一! ：2 一一3 _ 2 ， n佗nn 1 5 第三章k 6 t h 争b 。c h n e r 空间的局塑二鍪苎塞 竺! 竺里! 竺! 竺皇塑竺皇查竺垦! 墅堕 一一 而当佗 时， 忙n ( t ) 一孙) | i x i i 锁t t 0 ) 一z ( t ；0 ) l l x 1 1 名( ) 一鼽( ) 1 1 x 1 1 w ( 旷都) l l x 6 - 去一 乏 现在定义g 上的函数列如下， 砍 ) = x i i z c t ( ) 功l i x z n ( 幻t te g c c 则 i l i = ( t ) l l x l l e = i i i l = ( t ) l i x x g c + i i i l a ；( t ) l t x z n ( t ) 1 1 ) ( c l l e ；i i i l = ( t ) l i x x c c + l l = ( t ) l l x l l = n ( t ) l l x x c l l e = ( 圳x l i e = 1 1 = 1 i = 1 ， i l i l 乞( t ) + z ( t ) 0 x l i e = 1 1 1 1 2 = ( t ) l l x x g 、, c + i i z ( t ) + i i z ( 。) l l x 0 ) l l x x 4 1 e ：11 1 2 x ( t ) i i x x g c + 懈) i l xo 瑞恼( t ) l l x x c l l e 蚓帆g c + ( 2 一挑恢) ( e 忆 ( 2 - 驯3 ) 圳e ；2 一昙嵋 而 忪荆一z ( t ) l l x i i e = ( t ) 一i i z o ) 1 1 柏删圳e = 忙赢叫以) i l 蚓e 2 孙酬i x l l x c k 这与z 为局部一致凸点矛盾所以条件( b ) 成立证毕 推论3 4e ( x ) 为局部一致凸的充要条件是e 和x 均为局部一致凸的 1 6 k s t h e - b o c h n e r 空间的点态性质的研究第三章k 5 t h e - b o c h n e r 空间的局部一致凸点 证明：若e 为局部一致凸的，则刀是序连续的 1 2 2 4 1 ，且有关于依测度收敛的h 性 质，而在序连续的b a a a c h 函数格中，依测度收敛的h 性质与丑蠢性质等价【1 2 】从而 e 有性质再由定理3 3 知道，结论成立证毕 注3 5 ：定理3 3 的必要性部分较大地简化了r p l u c i e n n i l 【( 3 0 1 的证明过程。而充分性 部分中，【3 0 】是在序连续的前提下，本文是在玩，前提下，二者互不包含 1 7 第四章k s t h e - b o c h n e r 空间的强端点k s t h e - b o c h n e r 空间的点态性质的研究 第四章k s t h e - b o c h n e r 空间的强端点 1 9 9 3 年，h h u d z i k ，m m a s t y l o 1 2 】给出了k s t h e - b o c h n e r 空间关于强端点的刻划， 在j c , e r d a ，h h u d z i k 与m m a s t y l o 1 】关于几何性质的描述中，也给出了k s t h e - b o c h n e r 空间的强端点的刻划具体结果如下： 命理4 1 1 2 若e 是局部一致凸的，对几乎所有的t s u p p x ，横是s ( x ) 的强端 点，则z 是s ( e c x ) ) 的强端点 命理4 2 1 1 2 】设e 是局部一致凸的，x 是可分的，若z s ( e ) ) 是一个强端点，则 对几乎所有的t s u p p x ，横是s 僻) 的强端点 命理4 3 【1 】设e 是序连续的b a a a e h 格，若 ( a ) 童= 忙( ) l l x 是s ( e ) 的强端点； ( b ) 对几乎所有的t s u p p x ，横黯是s 僻) 的强端点， 则z 是s ( e 伍) ) 的强端点 - 下面我们给出一种关于k s t h e - b o c h n e r 空间的强端点的必要条件，从而较大地改进了 命题4 2 定理4 4 设z 是s ( e ( x ) ) 的强端点，则( a ) l i z ( t ) l i x 是s ( 刀) 的强端点；( b ) 对几乎所 有的t s u p p m ，横是s c x ) 的强端点 证明：( a ) 设z 是s c e ( x ) ) 的强端点，实值函数列= z n ( t ) ，且使得。i i z ( t ) l l x 士 z n ( t ) 忆51 ，令 卵，= 黔矗i 知只他 1 8 e i 空间的强端点 即一l i m i i x n ( t ) l b = 0 ，所以i i z ( t ) l i x 是s ( e ) 的强端点条件( a ) 成立 ( b ) 令名( t ) = 横，a = p g ：名( t ) 不是s ) 的强端点) ，我们来证弘( a ) = 0 ， 若不然设p ( a ) 0 令= t a ：存在序列( t ) ，使得，当佗k 时，1 一杀 l l ( 亡) 士z ( t ) 恢 1 + 1 - i i z ( t ) l l x 磊1 ) 则uua 诎= a ，故存在m 0 ，k o 1 ，使得p ( 厶加粕) ，0 ，令占= 击，即在集合 拧= 1 m = b = b 上，当n 时，l 一元1 0 ，在c 上( t ) 一致收敛于z ( t ) ，设有k 1 n ，使得竹 七l 时， i l y ( t ) 一z ( 圳i x o ) ，在c k 上是单值函数， ( t ) 三e i n ， c ；f n ) ，令k = m a x k o ，七1 ，当n k 时，1 一再1 七时， 而 ( ) = o ， z 幺( t ) 士z ( t ) l l xl l e = i i i i x ( t ) l l x x g c + 1 1 z ( ) 士o 。( t ) l l x ( t ) i i x x c l l e = 忙l | x 砥c 州洲) 1 1i 瑞士砒) 1 1 脚忆 l i l i z ( t ) l l x ) ( g c + ( 1 一要) i i z ( t ) l l x x c l i e ( 1 - 舢删e ；l 一要吨 7 1 一佗 一 1 一竹 1 一 _ 1 一n 3 一行 一 一，上1 上 = k s t h e b o c h n e r 空间的点态性质的研究第四章k s t h e - b o c h n e r 空间的强端点 同理 ( t ) 土z ( t ) 1 1 x i l e 0 i i z ) l l x x a c + ( 1 + 罢川z ) 1 1 x x c i l e ( 1 + 要) l | i i z ( t ) i i x l l e ：1 + 要_ l ， 住 这与z 为强端点矛盾所以条件( b ) 成立证毕 2 1 参考文献 k s t h e - b a n a c h 空间的点态性质的研究 参考文献 、 【1 】1j c e r d a ，h h u d z i k ，m m a s t y l o ，g e o m e t r i cp r o p e