（基础数学专业论文）rogersramanujan型恒等式与q算子.pdf

摘要 在q 一级数两百多年的发展史中，r o g e r s r a m a n u j a n 型恒等式始终是q 级数的重要 研究课题，在q 一级数的发展中占有核心地位著名的r o g e r s r a m a n u j a n 恒等式由英国数 学家r o g e r s 和印度数学家r a m a n u j a n 各自独立发现在本文中，我们利用两个著名的 r o g e r s r a m a n u j a n 恒等式，并结合q - 超球多项式得到了若干r o g e r s r a m a n u j a n 型恒等 式，再利用s e a r s 变换推导出若干r o g e r s r a m a n u j a n 型恒等式 然后利用关于q 一微分算子的l e i b n i z 公式给出了一些重要变换公式新的证明，包 括q - z 项式定理，q c h u v a n d e r m o n d e 和 关键词：q 一超球多项式，r o g e r s r a m a n u j a n 恒等式，q 一级数，q - 微分算子，q _ - - 项式 定理，s e a r s 变换，l e i b n i z 法则 a b s t r a c t t h eh i s t o r yo fq - s e r i e sh a sb e e nm o r et h a nt w oh u n d r e d ，r o g e r s r a m a n u j a nt y p ei d e n t i t i e sa l w a y sp l a yac e n t r a lr o l ei nt h et h e o r yo fq s e r i e s b r i t i s hm a t h e m a t i c i a nr o g e r sa n d i n d i a nm a t h e m a t i c i a nr a m a n u j a nh a v ed i s c o v e r e df a m o u sr o g e r s - r a m a n u j a ni d e n t i t i e sr e - s p e c t i v e l y i nt h et h e s i s ，w es t a r tf r o mt w ow e l l - k n o w nr o g e r s - r a m a n u j a ni d e n t i t i e sa n d q u l t r a s p h e r i c a lp o l y n o m i a l s ，s o m er o g e r s - r a m a n u j a nt y p ei d e n t i t i e sc a l lb ea r r i v e d u s i n g s e a r s t r a n s f o r m a t i o n ，w ec a ng e ts o m er o g e r s r a m a n u j a nt y p ei d e n t i t i e s t h e n ，w eu s eq l e i b n i zr u l et op r o v es o m ei m p o r t a n tt r a n s f o r m a t i o n si nd i f f e r e n tw a y s ， i n c l u d i n gq - b i n o m i a lt h e o r e m ，q - c h u v a n d e r m o n d es u m m a t i o n k e yw o r d s ：q - u l t r a s p h e r i c a lp o l y n o m i a l s ；r o g e r s r a m a n u j a ni d e n t i t i e s ；q s e r i e s ； q - d i f f e r e n t i a l ；q - b i n o m i a lt h e o r e m ；s e a r s t r a n s f o r m a t i o n ；q - l e i b n i zr u l e 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写 过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说 明并表示谢意。 种 作者签名：二茏匠! 】亟 日期 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学位论 文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文 的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的 学位论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名：二鳌出! 塞 竹 日期： a。一l 钰一 边 力 名 期 签 师 导 日 第一章引言及预备知识 q 一级数通常也被称为基本超几何级数或q - 超几何级数，是超几何级数的q - 模拟它 的研究始于1 7 4 8 年。以e u l e r 1 将无限乘积 ( g ；d ：= 1 1 ( 1 矿) 。 各f 看作一个正整数n 的分拆数p ) 的发生函数为标志，这里p ( n ) 是指把，l 表示成正整数和的 无序方法数但在此后的一百多年的时间里，基本超几何级数的发展一直停滞不前相 反，超几何级数却得到快速的发展，e u l e r 和p f a f f 研究了超几何级数 2 弼力= 砉警荽 的许多重要性质，其中升阶乘定义为( 口) o = l 和( 口k = a ( a + 1 ) ( 口+ k 1 ) 1 8 1 2 年，g a u s s 在其论文巾进一步对这个超几何级数( 现在我们称它为g a u s s 级数或一般超几何级 数) 进行了广泛的研究。此后，包括a c 。d i x o n ，j d o u g a l l ，l s a a l s c h i r z 等许多大数学家都 对超几何级数进行了大量的研究 直到1 8 4 6 年，h e i n e 【2 】【3 】【4 】通过引进q 数l i i 玛+ l 普= 口，对一般超几何级数的q - 模 拟形式q 超几何级数进行了大量的研究，基本超几何级数才获得了独立的地位，成为一 门独立的数学研究分支h e i n e 得到了与g a u s s 的一般超几何级数2 ，l 理论平行的基本 超几何级数2 d l 理论：包括h e i n e 变换公式，二项式定理的q 模拟，j a c o b i 三重积恒等式 等在此期间，j t h o m a e ，j r o g e r s 和s r a m a n u j a n 等也做了大量的工作，十九世纪后期， e h j a c k s o n 系统地研究了q 一微分，q 一积分理论，并得到了由d i x o n ，d o u g a l l ，s a a l s c h i r z 等人发现地超几何级数求和公式和变换公式的q 一模拟形式，得到了许多漂亮的组合恒 等式其中最著名的就有r o g e r s 和r a m a n u j a n 独立发现的r o g e r s - r a m a n u j a n 恒等式 二一 ! n = 一0 ( 留；g ) 一 ( g ，q 4 ；q 5 ) m 第一章引言及预备知识 2 笪! ： ! 爿( g ；留) 万 ( 留2 ，矿；q 5 ) 。 著名的r o g e r s r a m a n u j a n 恒等式首先是由r o g e r s 【5 】在1 8 9 4 年利用一个变换公式和 j a c o b i 三重积导出的，可惜当时没有引起人们的注意，而后在1 9 1 3 年印度天才数学家 r a m a n u j a n 也独立地发现了这两个恒等式1 9 1 7 年，r o g e r s 【6 】6 又用更为简单的方法给 出了上面两个式子的证明人们才开始关注这两个恒等式，并把它们命名为r o g e r s r a m a n u j a l l 恒等式这两个恒等式的特点是：等式一端都是关于留的有理分式的无穷和 形式，而另一端都是一个无穷乘积形式后人继续r o g e r s 的工作，陆续发现了许多新的 具有这种特点的恒等式。通称为r o g e r s r a m a n u j a n 型恒等式 由于r o g e r s r a m a n u j a l l 型恒等式在诸如数论，统计学，代数学以及组合理论中的广 泛应用，发现和证明新的r o g e r s r a m a n u j a l l 型恒等式始终是一个非常活跃的课题相关 文献也很多，见 7 1 1 8 9 1 0 1 11 1 2 1 3 1 4 】【1 5 1 6 1 7 1 8 1 研究q 级数的方法有很多，有组合的方法，有解析的方法，也有算子方法在众多 的研究方法中，算子方法一直备受推崇，如l j r o g e r s 1 9 】【2 0 】【2 l 】，g c r o t a 2 2 ，s r o m a n 2 3 2 4 2 5 ，m e h i s m a i l ，g e a n d r e w s 2 6 2 7 2 8 2 9 等人都曾先后应用算子 方法来研究q 级数 q 算子方法在数论，根系( m a c d o n a l d 恒等式) ，超越数理论，计算数学，组合学，差分方 程，l i e 代数和l i e 群，统计学，代数几何，h a r d h e x a g o n ，物理学等各个领域中起着非常 重要的作用尤其是在物理学领域巾，q 级数发挥着不可估量的作用，它在某种程度上搭 建了数学与物理的桥梁数学家及物理学家常常会将数学的其他分支及物理领域巾的 一些概念及性质都拿来q 模拟 我们首先介绍本文将会用到的符号： 记q 升阶乘符号为 0 ；q ) o 0 ；留) h 似；q ) 。 第一章引言及预备知识 为了方便起见，我们也使用如下的紧凑符号 ( a l ，a 2 a m ；鼋) 肛= ( 口l ；g ) 一( 口2 ；留) 开0 。；q k加= 0 ，1 ) ( a i ，a 2 ；鼋) 。= 0 l ；g ) 。( 口2 ；曰k 0 k ；g ) 。 q _ - - 项式系数 由上述定义，我们可得 q 一超几何级数 特别地， ”揣 嚣卟扩叫： ( g ；亦 、1 i 七l 洲”柏咖，力= 高尚淼【( _ 1 ) 蚋1 + ，5 ， n = o 、1 。 。1 7 椭h r 慨曲= 薹蹴 在本文中，常用到如下等式 ，叫= 甓箬 ( 口；留) 开+ t = ( 口；q ) n ( a q n ；留k ( 硝；鼋k = ( a ；q 矿) k ( a q k ；q ) n 0 ；鸟) 2 一 = ( 口；矿) 玎( 口g ；矿) n ( 口2 ；留2 k = 0 ；鸟) 。( 一口；留) 厅 q 一微分算子 d q f ( 口) l = f ( a _ ) - f ( a q ) 3 第一章引言及预备知识 4 球，= 薹鬻 这一定义首先由l e u l e r 给出，与e h j a c k s o n 3 0 1 在1 9 0 8 年所给的q 微分算子 o q f 口) = 1 f ( a 而) - f ( a q ) 略有不同相差一个常数因子若没有特别指明的话，本文中所有算子都是指对变量a 进行作用 在第一章中，我们主要介绍q - 级数的发展历史以及一些常用符号，并给出r o g e r s r a m a n u j a n 恒等式 在第二章中，我们利用r o g e r s - r a m a n u j a n 等式，并结合q - 超球多项式证明了两个命 题，并利用这两个命题得到了若干r o g e r s r a m a n u j a n 型恒等式，再利用s e a r s 变换推导 了若干r o g e r s r a m a n u j a n 型恒等式 在第三章中，我们给出了q 一微分算子的若干性质，并用它来证明q - - 项式定理，q - c h u v a n d e r m o n d e 和并在此基础上给出了q - p f a f f - s a a l s c h i i t z 公式，h e i n e 变换，q - g a u s s 定理 第二章r o g e r s r a m a n u j a n 型恒等式 英国数学家r o g e r s 和印度数学家r a m a n u j a n 各自独立发现了r o g e r s r a m a n u j a n 恒等式本章利用两个重要的r o g e r s r a m a n u j a n 恒等式，结合q 超球多项式推导出一些 新的r o g e r s - r a m a n u j a n 型恒等式 首先，我们给出q 交换二项式定理，它是q 一级数中一个非常重要的定理由 p o t t e r 3 1 】s c h i i t z e n b e r g e r 3 2 等人先后给出，利用它可以证明q 二项式定理的算子 形式 定理1 ( q 一交换二项式定理) 设0 q 1 ，对任何两个未定元五弘若满足? y x 2 q x y 则对f 任意非负整数n 均有 。+ 矽= 骞 ：p 接下来，我们给出该定理的算子形式 定理2 ( q - 交换二项式定理的算子形式) 设a ，b 是两个线性算子，如果满足? b a = q a b , 则对于任伺菲负整数n 均有 研k 荟【十矿七 ， 笛lkj 证明? 由b a = q a b 易知鼢七= q a k b 利用数学归纳法进行证明 当n = 1 时结论成立 设当n 时也成立，下讨论n + l 时的情况 5 第二章r o g e r s - r a m a n u j a n 型恒等式 似+ 8 广1 = 似+ 动k 争- - - o 甩k 】a 矿一七 由q - p a s c a l 等式 3 3 3 4 】 可得 k = 0 刀 k = 0 a k + l b | l - k + a 七+ 1 矽以+ = 萎 七一n 。】a 七矿+ 1 。+ 塞k = o 刀k 】a 七矽+ 1 【七二。】+ 矿 ：】= 【n ：1 】 似+ = 艺1 a k k = olj 吐 似+ 矽+ 1 = in ：1l 吐 ， 下面，我们用两种不同的方法来证明q - 二项式定理 定理3 ( q 一二项式定理) 设4 ，x 为复数且 l ，则有 器= z 薹a 蒜晌， ( 工；留k 。却( 仍g k ”引一7 特别地甬矿替换n 可得 证g q ( 叫令 乓与( g n ；g ) 。矿( x q 一”；留) 。 考 ( 留；鼋) 一 ( 石；g ) * ， 一= 一 讹力= 砉甓 易知f ( a ，0 ) = 1 因为0 口 1 ， 1 ，所以上述级数收敛 6 口 矽 t 譬 胁 柑 。脚一脚 1i-_ij 1l-i_-j n 七 以七 r-_。_-。-l r_-_。-_l 第二章r o g e r s r a m a n u j a n 型恒等式 f ( a ，曲一f ( a ，q x ) = k = o k - - o ( 口；q ) k 一( a q ；口k x k ( 鸟；q ) k a ( a q ；q ) k l ( g ；q ) k 一1 = 一a x f ( a q ，曲 f ( a , x ) - m ，神= 砉警 = 缸l a ) f ( a q ，力 结合上述两式，化简可得 递推可得 f f g q ( - - ) 定义两个算子 令 易证 m ，力= ( 1 - 1 a x _ ) f ( a , x q ) ( 口工；q ) l f ( a ，川) ( j ；鼋) l m 加警篙竽 他曲= 器弛0 ) ( 口工；鼋) 。 = ：一 ( x ；留) 。 r l l l f ( a ，砷 = f c 以鸟，功 r 1 2 l f ( a ，力l = f ( a ，x q ) a = 1 一a ) r h ， b = ( 1 一曲刁2 b a = 弘b 1 口 第二章r o g e r s r a m a n u j a n 型恒等式 由定理2 知 c a + 曰广= 窆k = of 以k a 2 酽4 将似+ 砂作用到1 上，得 利用数学归纳法知 综上可知 令n _ o o 得 则 ( a + 动” l = 特别地，令a = 0 可得 万 k = o k = o 伊- 忡橛亦 似+ 两“ 1 l = ( 甜；鼋) n c 删扣骞【：卜亦咖k i 一= p 三 0 ；g k 惫( 留；鼋) 一 用一x a 替换x ，并令a o o 可得 ；加薹器 利用q 一二项式定理可以得到著名的h e i n e 变换 定理4 ( h e i n e 变换) 设i x l 1 ，l b l 1 ，则下式成立 2 讹如孙曲= 雠z 俐如；删 8 口 ( 2 2 ) ( 2 3 ) 紫甓 堕 。脚 脚 o i i i = n k 。气警 咖 竺葺 删 一 第二章r o g e r s r a m a n u j a n 型恒等式 证明? 因为 可得 9 ( 6 ；鼋) 。( b ，c 矿；留) 。 ( c ：q ) h( c ，6 矿；留) 。 2 洲咖；c ；，= 器茎糍， 亿4 ， 又由q 一二项式定理 黜= 薹器c ，m( 扫矿；g k 急( g ；留) m 驯 代入( 2 4 ) 并交换求和号得 2 州啪；c ；= 躲薹器矿薹器c 矿y 亿5 ， 再次利用q 一二项式定理，可得 砉器c 矿广= 警= 器器 代入( 2 5 ) 即得 下面我们给出h e i n e 变换的几种特殊形式 口 l 如( 口；一；毋x ) l 九( 易；- q ，a x ) = l o ( a b ；一；仍曲( 2 6 ) 而( 2 6 ) 是( 1 一z ) - 口( 1 一力而= ( 1 一z ) 叫一扫的q 模拟 1 d 尹o ( q 一行；- ；q ，曲= ( x q 吲；鼋k = ( 一曲聘g 叫斗+ 1 ) 2 ( q x ；q ) n 由定理4 ，我们可推导出q - g a u s s 定理 定理5 ( q - g a u s s 定理) 茎糍( c a b ) n = 丽( c a , c 丽b ；q ) 。 第二章r o g e r s r a m a n u j a n 型恒等式 证明? 由h e i n e 变换 1 0 2 驴- ( 口，6 ；c ；譬，曲= 专兰三耋杀2 驴( c b , x ；a x ；q , b ) ( 2 7 ) 在( 2 7 ) 中，令x = c a b ，可得 2 妒1 0 ，易；c ；q ，c a b ) = 由q - 二项式定理，可得 即 器：t ( c 易，c 口易；c 6 ；留，功 箍( c a b 篆薹觜c b ；q ) 扩，c ；留) * 考 ( q ， 一。 茎臀矿= 鬻 茎黜吲枷一= 钨貉 口 , 争, - - - o 卫( q ；q ) n = 丽1 互o o ( _ l 灼牛，一= 一，l l r 疗z ( 口；鼋k 急一一 证明? 因为 薹熹=耋c)k。伽(tr从；q)纠k(1，-以aq口2k；)口a，础磊口串箩m-0m以】矿陋l，嵩岩篆 骞鑫= 去 令n _ o o ，可得 茎器= 荟c 一竖瓮盖惹南2 k 景 2 k 鸟率 =赤砉c叫丽(tr；q)k(1-crq2k)ot2kg串 第二章r o g e r s r a m a n u j a n 型恒等式 令口= 1 ，可得 n 争= o 互( q ；q ) n = 去塞灼串幻；留k 台一川 定理6 ( j a c o b i 三重积恒等式) ( 仍x , q 。x ；q ) 。= ( - d ”q ( d x n ，= ： 证明? g a - - 项式定理 面( a x ；q ) o o = 薹鬻q i 1 ) ( 工；鼋) 。：爿( ，咖玎 ”1 7 令a = 纩，用对替换五化简可得 吲砌c 砌k = 鸯叫盯l + k 卜， 再令l 和k 一，即得 定理7 ( r o g e r s r a m a n u j a ni d e n t i t i e s ) 证明? 首先给出( 2 1 0 ) 的证明，在( 2 8 ) 中，用矿替换仍可得 ( x ；q b 。( 矿工；矿k ( 譬5 ；矿k = ( 一l y 留半矿 再令工= q 2 ，可得 又由( 2 9 ) ，可得 ( 口2 ；矿) 。( q 3 ；q 5 k ( 矿；矿k = ( 一1 ) 一日孛 ( 矿；矿k ( 9 3 ；矿) 。( 矿；9 5 ) 。虽矿2 ( q ；q ) o o 皇( 留；鼋) 开 =) 一 ( 2 9 ) 口 口 ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 空一 = = 一k ，一k丢去 。脚。脚 第二章r o g e r s r a m a n u j a n 型恒等式 化简左式司得 矿2 1 fg 台( 留；留) 玎( q ，q 4 ；q 5 k 接下来给出( 2 11 ) 的证明因为 薹篆丢= 薹c 一严告警鲁业q ) k 口牮台( 口；留) h 台一7 ( 口：g k ( g ；“鼍 令a = q ，化简可得 薹鑫=去。(-1)k-4-za z _ j ” 率) 一= 一l l 一，】广”。l 疗2 厅= o ( g ；叭白；g ) * l 脚 p川 j = 赤荟( - 1 ) 勺牛= 一，i l l 一，z ( 鼋；q k 急、1 由定理6 ，化简即得 矿2 相 1 fg z 脚a ( g ；积( q 2 ，矿；矿k 定义1 q 一超球多项式 可知其生成函数为 令x = 一1 ，可得 易知 咖，= 妻k = o 警涨 、1 1 ， 、1 ，1 ，几 妻。：。c n ( x ；o t q ) t n = 鬻刀= = o 、。”一1 ，叩 c , , ( - 1 ；a l q ) t n = o ( 口2 1 2 ；q 2 ) 。 ( t 2 ；q 2 ) 。 = 砉貉p + l ( 一1 ；a l q ) = 0 岫协= 黼 1 2 口 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 第二章r o g e r s r a m a n u j a n 型恒等式 在( 2 1 1 ) 中，令工= 鼋，q = 鼋2 ，可得 荟啪；口i q 2 ) r = 器n = 0 、1 ，o = 薹器， 易知 ；甜) = 器 命题1 鱼型。够；) ，一( 鲋，p x ；q 2 ) 。( 以f l ；q 2 ) n ( q x ) n z 疗卸a ( 鼋；g ) 刀( a p x ；q 2 ) n ( t r , s x , x ；q 2 ) 。寡( q 2 , f l x ；q 2 ) 证明? 由( 2 1 4 ) ，可得 戡= 薹；甜) 糍 =薹咝荟n(crflx；q2)n矿黜(q2；q = =， 一 ，r - 二二- - - 二二一 向台 2 ) t ( 9 2 ；留2 ) 厅4 一亡( 口，卢；矿) t ( q x ) t 够臼款，口；9 2 ) 。x m = = ， 一 ) - 二- 二二- - - = - 一 台( 留2 ，o t f l x ；q 2 k 急( ( r p x q 2 k ，q 2 ；q 2 ) m = 薹c 科器訾 = ( q x , f l x , q 2 ) o ( t y , f l ；q 2 ) k ( q k y 台( 啦，x ；q 2 k ( 鼋2 ，f l x ；q 2 k 一( 毗，f i x ；q 2 ) 。( 口，f l ；q 2 k ( q 七) 七= = 一 ) - - - - - - = - 一 ( a f l x ，x ；q 2 k 台( q 2 , f i x ；q 2 ) t 命题2 9 鲨翌蔓望! 堡堕：! 竺：壁兰堡生p f l 、玎! 竺：垒! 业! 惫( q 2 ；9 2 ) n ( c r f l x ；q ) 2 , x 2 ”( 啦x ，x ；g k 惫_ 7 ( 毋f i x ；q ) n 注记：以上命题首先由刘治国给出 接下来利用上述命题及定理7 来推导若干r o g e r s r a m a n u j a n 型恒等式 1 3 ( 2 1 4 ) 口 第二章r o g e r s - r a m a n u j a n 型恒等式 镪1 在命题l 中用x | | b 替换x 再令8 _ 可得 1 4 蚤o o 叫n 丽( a ；q ) n q ：( n - s ) ，= i ( x ；q 2 ) o o ( 1 ) 开滁， ( 2 1 5 ) 在f 2 1 5 ) 。口p 令口= o 可得 驴c o ，”焉o n 2n 咄；执争，开焘 再令工= - q , 工= 一鼋2 ，可= 分别得到以下式子，参见1 3 5 1 ： 台( 9 2 ；留2 ) 一( 一q 2 ；口2 ) h 1 = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 一 ( - q 2 ；q 2 ) 。( 口，留4 ；口5 ) 。 争兰= ! 差右( q 4 ；q 4 ) 库。( - q 2 ；9 2 ) 。( q 2 ，q 3 ；q s ) 。 在2 1 5 ) 中用矛替换q 可得 驴，疗舞2 n 叱a 如n = oy 淼 亿旧 在f 2 1 6 ) 令x = 一矿，可得 薹焘斗m 茎两q 2 n 2 丽+ 2 n q鲁( 窖2 ；矿k、m 鼍脚台( 鼋4 ，一2 ；矿k 化筒可得 1 砌 (q2,qs；qlo)oo(_q2q4)o。=白(q4,_q2；q4)n 在2 1 6 ) 令x = 一窖可得 1 q 2 n 2 砌 两石历孓石瓦= 台( q s ；q s ) n 秭2 在命题2 中用x l a , 8 替换x 再令q _ 0 0 ，8 _ 0 0 , 可得 扣，一蒜淼= 去争，甩蒜 亿聊 第二章r o g e r s r a m a n u j a n 型恒等式 在命题2 中，用x p 替换工，再令p o o ，口= 0 ，可得 耋赫吨咖。茎舞x ；q ) n台( 留2 ；q 2 kv b w ”台( 鸟， 在( 2 1 8 ) 中，令工= q l 2 ，可得 ( q 2 , q s ；q j l o ) 。一( q l 2 ；q ) * * = q , ：2 磊 在( 2 1 8 ) 巾，令x = 口3 ，2 ，可得 ： ! ：争窆：! ( 矿，鼋6 ；鼋1 0 k ( 9 3 7 2 ；q k 台( g ，q 3 2 ；鼋) 一 刘治国给出了石= - q 及工= 一矿时的情况，参见【3 5 】 善o o ( - 1 ) 雄雨采蕊= 葡丽1 驴o o ，”而鑫毛 l = = - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 一 ( - - q ；鼋) 。( 9 2 ，q 3 ；一q s ) 。 1 5 ( 2 1 8 ) 接下来，我们将利用s e a r s - 变换来得到若干r o g e r s r a m a n u j a n 型恒等式首先，我们 给出如下引理 引理2 ( q - 升阶乘的若干性质) ： ( 一譬；g ) 。( g ；矿) 。= l ( x ；q ) 。( 一工；鼋k = ( ；矿k 0 ；鸟) 。( 一工；g ) 。= ( x 2 ；矿) 。 ( 工；譬2 ) 。( 柳；矿) 。= ( z ；口) 。 接下来，我们给出s e a r s 变换 定理8 ( s e a r s 变换) 3 妒2 ( q - 一，6 ，c ；d ，p ；鼋，d e q n b c ) ：( e 7 ：c _ = ；x q 一) n 2 ( q - n , c , d b ；d , q l - n c p ；鼋，g ) ( 2 1 9 ) ；口k3 。 第二章r o g e r s r a m a n u j a n 型恒等式 1 6 特别地，令n o o ，取极限可得 2 纵玩g 么以缈d e b c ) = 等2 讹d b ；d ；q , e c ) ( 2 2 0 ) l p ：口k 最后，我们通过几个例子来看看s e a r s - 变换在获得r o g e r s r a m a n u j a n 型恒等式中 所发挥的作用 铣3 在2 2 0 ) 中用矛替换q 可得 茎茄c d e ) = 鬻茎器吲c y 亿2 - ， 萄2 2 j j 中令b - mc = q ，d = 一鼋2 ，e = q 4 ，可得 争鱼! 生星坚：兰= 鲨塑笙争( q ；q 2 ) n ( - q ；q 2 ) n 。，3 n 台( q 2 ；q 2 ) n ( _ q 2 ；q 2 ) n ( q 4 ；q 2 ) n = 丽刍雨丽而q 一( 留3 ；矿k ( q 2 ；q 4 ) 。 a 3 n ( 矿；q 2 ) 。台( 矿；矿k 1 = 盟她 仞4 任似z 叫尸j - 右1g 督浃鼋，纠得 茎甭菩吾(一瓦de，“户沪。一(e(pc；矿；qk4)oo鲁,o(c矿；q；4矿)nk(d(db；矿q4k)n如c)一(2忽) 商2 2 2 ) q 0 令b = c = 曰2 ，d = 一矿，e = 9 4 ，可得 ! 生i 星空! ：三 一( 矿；矿k ( q 2 ；q 4 ) 。( 一q 2 ；q 4 ) 。 白雨而而砺丽= 硒瓦台雨而丽鼍, 7 2 n 一( q 2 ；q 4 ) 。( q 4 ；q 4 ) 。栩 ( q 4 ；q 4 ) 。台( q 8 ；矿) 以 ：垫继 ( 矿；q 4 ) 。( q 2 ；9 8 ) 。 铫5 襁2 2 0 ) 中用矛替换q 可得 砉群卜口d c e ) n q 3 n ( n - 1 ) _ 瓣薹器矽亿2 3 ， 第二章r o g e r s r a m a n u j a n 型恒等式 在f 2 2 3 ) 中令b = 矿，e = 鼋4 ，d = 一q 6 ，e = q 6 ，可得 ( 9 2 ；q 6 ) 。( q 4 ；q 6 ) 行矿咖“) 白弋磊两面而2 一( q 一2 ；q 6 ) o 。( q 4 ；q 6 ) 。( 一矿；矿) 。力 ( q 6 ；q 6 ) * 台( 旷；旷) n ( 一矿；矿) 一鼍 = 瓣薹瀚尹 = 一二_ 一，- ( 矿；矿k 惫( 鼋1 2 ；留1 2 ) n y ( q 2 ；q 6 ) 。( q 1 0 ；q 1 2 ) 。 = = 一一 ( 旷；q 6 ) 。( q 2 ；q 1 2 ) 。 1 7 第三章q 算子及其应用 q - 算子具有极其良好的性质，利用q 算子及其性质，我们可以证明一些重要变换公 式 引理3 设n 为整数，则 蛔小燃 r i 口，口：口j 矗 证明? 对任意复数职有 可得 驴蔫 ( 口；留) 一再= o 塑乓 c a q - n ；鼋j * l ( 1 一口留一1 ) ( 1 一钾一2 ) ( 1 一a q 一厅) l ( 1 口一l q ) ( 1 a l q 2 ) ( 1 a 一1 q n ) ( 一1 ) 行q ( 肘1 ) w ( 1 一q a ) ( 1 一矿口) ( 1 一矿a ) 特别地，用a q c 替换a ，可得 a n ( c 口；q ) n ：( 一c ) 行g g n ，二 a - l - _ n 三t c _ 二“竺x ( a q c ；g j * 引理4 灼囝粕= 鬻 1 8 口 ( 3 1 ) 第三章q 一算子及其应用 引理5 c q 一微分算子的若干性质) 珐 赤) = 瓦t 瓦 叫k 丽1 ) = 去 m d q ) 石杀) = 石( 面a b s 而t ；q ) 丽o 证局乳利用巩的定义，易得( 3 2 ) ，由数学归纳法可得( 3 3 ) 下证( 3 4 ) 1 9 ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) 嗍) 赤) = 薹志岛赤) “= 妻去( q ；q ) nq 颤k 飞i 去弦七 丽1 n = oq ) n - k ( a t q k ；)么一( 留；鼋) 仃 。q i ( 口s ：鸟) * 厂孽 i g ) 。j 由( 3 3 ) 可得 叫k 两1 瓦) = 而s k 云 岛n _ k i t 丽i ) = 凝 丁c 慨， 丽1 ) e 薹b ”砉邺”忡s k t 。- ，k 丽 1 ( a b s t ；q ) 。 ( a s ，a t ；鼋) 。( b s ；g ) 。( 6 f ；鸟) 。 ： ! 竺垒! ! ! 里! 竺 ( a s ，a t ，b s ，b t ；g ) 。 特别地，令s = 0 ，可得 丁c 易岛， 赤) = 丽1 下面，我们将给出微分算子岛的一条重要性质 口 第三章q 一算子及其应用 定理9 ( q - l e i b n i z 法则) 设n 为非负整觌则有 d q n f ( 咖c 日) ) = 砉【： 卅抓训珐枞敞口矿，l 这一定理由许多证明方法，s r o m a n 2 3 就曾给出过它的证明 引理6 岛器) = 等c 开矿 利用定理7 和引理6 ，可以得到一些常见的恒等式，如我们在上一章中见到的q 一二项 式定理，在本章中，我们将利用q 算子给出证明 定理1 0 ( q - 二项式定理) 设口，石为复我且l 卅 l ，则有 器= 妻篆他，n = o 一= ，一l i 打l ( 1 i ( 工；g ) mj 厶j ( 留，g k ”1 7 证明? 由定理7 ，令 m = 丽丽1如) _ 警警 q ) g ( 口) l = 瑶 去) = 蠢 另一方面 w f 加以训= 砉【：】矿硝( 面杀瓦) 珐础饩是警) ( c d f g c - k ( d f , q ) n t ( a c d f 矿；q ) 。 ( a c d f ；留) 。( a c q i ；2 ) 。 = 孔】踹黥 =上(ac；,)。上(acdf；q)nk=okac；acdf； k 珊蚴( w 沏“蟛亦 =一一7li i ，ll nr ：打l _ ，lr 仃。：仃ll i 皿p ：疗， i 、。7 、一。1 7 ”、”。1 1 7 一、一1 7 结合上述两式可得 砉珊w 渤“蟛加面( a c d f 而；q ) 1llil_lj n 七 r-。-。-_-_l n 脚 = 第三章q 算子及其应用 = 丽( q - n ；q ) k ( 1 彬- ( 勿 ( 州；鼋) 。= 百( - q 丽d f q ) k q ( * , ) 代入可得 妻k 糍= 髻警 = o 、- a 1 一j 1 7 。、一j 17 令t i c = a ，d f = x ，n _ 即得 薹涨= 器 引理7 ( q - c h u v a n d e r m o n d e 和) 2 妒l ，口；c ；= 百a n ( c a ；q ) n 证明? 由定理7 。令 m = 罢警g 却c ；机 一方面 d q 一 ，( 口) 占( 口) l = 岛开 ( a c d f ；q ) 。i = ( 一l r 留g ) ( c 厦，) “( a c a f q n ；q ) 。 另一方面 d 0 ” 八口) g ( 口) = 骞【：】产w 器d q 胁陋劫0 砉【：】扩卅警c 玎；挑，c 一r _ c 嘭，枞q c 口时；g k = 骞 ：】i 磊姜c 彤；譬，t ，c 一- y 一七留c ， = 器如k = o 丽( d f ；q ) k k ( 8 c ；留，万二一 ll t 口c 露歹；窖) 露 结合上述两式可得 扣，七囝一q , 。哪( d f ；q ；矿) k 篙等 2 1 口 第三章q 一算子及其应用 由引理3 ，可得 争鲨垫! 坐巫矿= ! 塑：丝业 厶k = o ( g ；鸟k ( a c d f ；q ) k1 ( a c d f ；q ) 一 令a t = 口，a c d f = a ，可得 l 砉j 鬻器矿= 型( a c d f 鬻； t ：o 幻；留k ( c ；g ) t 1 g ) 将q 算于作用刽已知恒等式两边司以得到一些常见的变换公式，参见【3 6 】 定理1 1 ( q - p f a f f - s a a l s c h t i t z 从式) 3 嘶，玩矿壕口扩l q i - n ；q , q ) = 船 证明? 由( 3 1 ) 可将定理9 改写为 f n ( q - n ；q ) t 矿 ( 一矽g ( ：) 台( q ；q ) k ( c ；q ) k ( a q k ，a q l 。n c ；q ) m ( c ；咖。( a q c ，口；g k 7 = ：一 对等式两边同时作用t ( b d q ) ，可得 砉镶m 蚴 ( a q k , 1 丽) = 蹀嗍， ( a q c , l a ；q ) o , 同时注意到 丁 d q ) a - a i n , c 一 = 葡丽( 呵a b q 面t - n + k 丽c ；q 丽) o o 丁( b d q ) ( a q c ! a ；q ) o o = 而瓦( a b 面q c ；可q ) ”蕊 口 口 在上一章中，我们用q 一二项式定理证明了h e i n e 变换和q - g a u s s 定理在本章中，我们 将利用q 一算子来证明 定理1 2 ( h e i n e 变换) 2 妒t ( 口，易：c ；口，力= 专兰喾2 驴- ( c b , x ；a x ；q , b ) ( 1 卅 l ，i 纠 1 ) ( 3 5 ) 第三章q 一算子及其应用 证明? 因为 两边同乘 薹鬻，= 器砉鬻矿 l ( 口6 ；口) 疗( 口易矿，a x ；鼋) 。 可得 争 ! = 堕丛争 竺 。n 乙= 一o ( g ；留) 一( a b q ，口工；鼋) * o ；留) * 看( 鸟：q ) 一( 口j c 矿，d 6 ；g ) m 对等式两边同时作用t ( c d q ) ，可得 ) = 器薹去弛， ( a x q , l b ；q ) o o 丁c 峨，( 志) = 两尝 、7 ( 咄) ( 两未丽) = 丽而( a b 瓦c x q 而 ；q ) 石o o 瓦 2 州a b b c ；a 溉仍曲= 器却l 口搬；咖) 令a = c b x , b = a b x c ，c = c c x , 可得 2 柏，纺力= 弋( a b x 丽c ；_ q ) o o 2 m 口，c b ；c ；q , a b x c ) 利用对称性，可以得到h e i n e 变换的另外两种表达形式，如下 口 r 。 2 如；删= 等：烈删c , b ；b x ；q , c 功 ( 3 6 ) 2 驴l ( a ，6 ；c ；q ，曲= ( a b x c ；留) 。 o l ( c b ，c a ；c ；q ，a b x c )( 3 7 ) 利用h e i n e 变换，我们可以得到很多重要的公式在( 3 5 ) 中令x = c a b ，即得q - g a u s s 求和公式，再令a = q - n ，即得定理9 在( 3 7 ) 中比较，的系数，可得趔j ! l o 定理1 3 ( q - g a u s s 定理) 2 纵a , b ；c ；q , c 脚) = 鬻 第三章q 算子及其应用 f f 且j l ：由q _ - - 项式定理 两边同乘 可得 篙i 警= 薹篆他， 一= ，一i l 仃f ( 1 i ( 工；口k 鲁( 留，鸟k ”1 7 l 0 ；g ) 。( 口x ；留) 。 1晶妒 = f 苎： ( 工；鼋) m ( 口；口) m 篆蠹( 口矿；g ) m ( 留；留) ( 口j ；留) m 对等式两边同时作用t ( b d q ) ，可得 同时注意到 两边同乘 去z c 蛾) 去) = 薹赤啪，1 丽) m 珐) ( 去) = 丽1 r e 蛾) ( 志 = d 警蒜蒜 如，b ，a x , b x ；q ) 。 ( a b x ；留) 。 2 讹6 ；咖；删= 鬻 令z = 1 a b ，即得q - g