（基础数学专业论文）banach空间中四阶常微分方程两点边值问题的正解及其应用.pdf

山东大学硕士学位论文 b a n a c h 空间中四阶常微分方程两点边值问题的正解及其应用 关永亮 ( 山东_ 人学数学与系统科学学院，济南，2 5 0 1 0 0 ) 摘要 近年来，在数学、物理学、化学、生物学、医学、经济学、工程学和控制 论等许多科学领域出现了各种各样的非线性问题，在解决这些非线性问题的过程 中，逐渐形成了现代数学中一个非常重要的分支一非线性泛函分析它主要包括 半序方法、拓扑度方法和变分方法等内容，为当今科技领域中层出不穷的非线性 问题提供了富有成效的理论工具，尤其在处理应用学科中提出的各种非线性方程 和偏微分方程问题中发挥了不可替代的作用 有关四阶微分方程边值问题解的存在性、正解的存在性和唯一性，近几年得 到了广泛研究，例如姚庆六等在 ，3 】、张炳根等在【4 】、韦忠礼在【5 】都取得了较好的 结果但很少有文献在b a n a c h 空间中讨论四阶微分方程正解的存在性问题本文 作者主要在b a n a c h 空间中研究四阶微分方程正解的存在性问题，尤其是两个正解 的存在性问题 本文共分两章 在第一章，作者在新的条件下，利用s a d o v s k i i 定理在b a n a c h 空间中研究如 下的四阶常微分方程正解的存在性： i x ( f ) = f ( t ，x ( f ) )v t ，= 【o ，l 】 a x ( o ) 一b x ( o ) = 0c x ( 1 ) + d x ( 1 ) = 0( 1 1 ) ld i x 。( o ) 一6 l x ”( o ) = 0c 1 z 。( 1 ) + d l x ”( 1 ) = 口 a 2 0 ，6 0 ，c 0 ，d 0 ，占= a c + a d + b c 0 ： q 0 ，岛0 ，c 、0 ，嗣0 ， 西= q q + q 4 + b l q 0 ， 其中厂【，p ，p 】，= 【0 ，1 】，尸是b a n a c h 空间e 中的锥 我们首先给出几个引理 引理1 1 设，c p ，p 】，定义算子：( a x ) ( f ) = c g ( t , s ) 厂( 5 ，x ( s ) ) 凼 这里 g ( t s ) = 【g ( f ，r ) g i ( ，s ) a r ， 弧一6 一- ( 。a 娜t + + 黧二端墨 艿之+ 甜+ b c 0 ，口2 0 ，b o ，c o ，d 0 ， 山东大学硕士学位论文 讯，= 嚣：篇然：渊眺t o ，口1 0 b l o ，c l o ，d 1 0 则x c 4 ，e n q 是问题( i 1 ) 的解的充分必要条件是x c e i n q 并且x 是算 子彳的不动点，这里q = x c z ，e l x ( t ) 曰，v t 引理1 2 设厂c i x p ，用，假定对任意， 0 ，f 在i x ( 尸n 耳) 上一致连续， 并且对任意的f ，d 尸n 乃，都有a ( ，( ，d ) ) 0 ，在，( p n 正) 上一致连续， 并且 口( 厂( r ，d ) ) s 壶口( d ) ，t e7 ，d 6 p a t , ( 蚓抓帅u 1 1 - + 碱皆关于- t e i - - 致趋博 ( 风) 存在o 口 i 1 ，使 得当x “o 时，厂0 ，x ) a ( t ) u o ，口，s 其中 所= 6 - 1 占j “( ；口口1 口3 + 去( 口b 1 + d l b ) a2 + b b l 口) ( c ( 1 一声) + d ) ( c i ( 1 一d + d i ) 易知当f ，s 陋，冈时，g ( t ，s ) m 本章的主要结论是： 定理1 1 如果条件( 日。) ，( 日：) ，( 也) 满足，则两点边值问题( 1 1 ) 至少有一 个解x c 4 【，e 】n q ，并且满足x ( t ) “。，x 陋，p 】 我们还把定理的结果应用到有限维微分方程组正解的存在性问题上去 倒1 1 考虑有限维微分方程组 i i 山东大学硕士学位论文 l x ，0 ) = x 。2 ( r ) + c o s ! ，x 3 n + l ( ，) f ， 1 。( 0 ) 一x ：( 0 ) = 0 ，x 。( 1 ) + ：( 1 ) = o ； l x ：( o ) 一x ? ( o ) = o ，x ：( 1 ) + x ：( 1 ) = 0 这里门= 1 , 2 3 一，m ，x 叫= x 。 结论上述微分边值问题至少有一个正解 在第二章，作者主要利用锥压缩和锥拉伸不动点理论，在b a n a c h 空间中研究 四阶微分方程( l 1 ) 解的存在眭问题，尤其是多重解的存在性问题 我们给出如下两个引理： 引理2 1 设k 是实b a n a c h 空间e 中的一个锥，k 哪= 扛k r 玉月 ， r ， 0 。假定a ：k 。寸k 是一个严格集压缩映像，并且下面两个条件之一满 足： ( c o a x 芷x ，v x k ，i i x l l = ，；4 x 芑x ，v x k l x ；l = 尺 ( b ) a x 兰x v x k ，i l x l l = r ；a x x ，v x k ，l l x l j = r 州a 在k ，。中至少存在一个不动点 引理2 2 设厂c ，p ，用，假定对任意， 0 ，f 在，x ( p n 正) 上一致连续， 并且存在常数工， o ，丽1 ) ，使得 a ( f ( t ，d ) ) 上，口( d ) 。，d p n 正 则对任何l 0 ，算子一是o n b ，上的严洛集压缩算子 其中m = 5 - 1 8 1 - 1 ( d + 6 ) ( c + d ) ( 口 + b 1 ) ( c 1 + d 1 ) 本章要用到如下条件： ( 曩。) f c t x p ，纠，f ( t ，毋) = 口对任何l 0 ，茫，( p n 乃) 上致连续， 并且存在常数上，e o 击) ，使得 a ( f ( t ，d ) ) l f 口( d ) ，d 尸n 正 ( ) 当工尸，j 0 时， ( ) 当x j d ，斗m 时 警翘一致趋于零 掣捅一致趋于零 山东大学硕士学位论文 ( h 4 ) 存在0 口 0 ，并且当 x e 尸，寸。时，塑瓮筹盟关于r e 陋，卢】一致趋于+ o 。 ( h 5 ) 存在和0 d 0 并且当 x e p ，删_ + 。时，丝舌兽产关于，s 陋声】一致趋于+ 。 ( 。) 存在_ ，7 0 ，使得 。，辫炒删 c j 鲁，j e p n 二j v 其中是锥p 的正规常数 本章的主要结论是： 定理21 设锥p 是币规的且条件( 日，) 满足，如果( h ：) 和( 日，) 满足或者 ( i t 、) 和( h 。) 满足，则两点边值问题l 1 1 ) 至少有一个正解 定理2 2 设p 是正规锥，并且条件( 日。) 、( 日。) 、( 风) 和( h 。) 满足，则两点边 值问题( 1 1 ) 至少有两个正解x ，x ，满足 0c 蚓 。c 叩c i x , 我们还把结论应用到如下的有限维微分方程组两个正解的存在性问题上去： 例2 ，1 考虑有限维微分方程组 二 1 = 1 1 二 x ) = x + 面r + 瓦。s ：x 3 一( ) - ，。 。( 0 ) 一x ：( 0 ) = o x 。( i ) + x i ( 1 ) = 0 ； x ：( 0 ) 一c ( 0 ) = o ，x f 1 ) + x ：( 1 ) = 0 这里n = 1 , 2 3 - ：m x l = x 。 结论上述微分边值问题至少存在两个正解 关键词b a n a c h 空间；锥：不动点：正解 一 生变态兰塑主堂堡堡塞 t h ep o sitiv es o l u tio n so ft w o p oin tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m o ff o u r o r d e rdif f e r d n t la le q u a tio n slnb a n a c hs p a c e sa n d l t sa p p l l c a t l 0 n g u a n y o n g l i a n g ( s c h o o lo f m a t h e m a t i c sa n ds y s t e ms c i e n c e ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n ，2 5 0 1 0 0 ) a b s t r a c t i nl a t ey e a r s a l ls o r t so fn o n l i n e a rp r o b l e m sh a v er e s u l t e df r o mm a t h e m a t i c s p h y s i c s ，c h e m i s t r y , b i o l o g y , m e d i c i n e ，e c o n o m i c s ，e n g i n e e r i n g ，c y b e r n e t i c sa n d s oo n d u r i n gt h ed e v e l o p m e n to fs o l v i n gs u c hp r o b l e m s ，n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i sh a s b e e no n eo ft h em o s ti m p o r t a n tr e s e a r c hf i e l d si nm o d e mm a t h e m a t i c s i tm a i n l y i n c l u d e s p a r t i a lo r d e r i n gm e t h o d ，t o p o l o g i c a ld e g r e e m e t h o da n dt h ev a r i a t i o n a l m e t h o d a l s oi t p r o v i d e sa ne r i e c t i v et h e o r e t i c a lt o o lf o rs o l v i n gm a n yn o n l i n e a r p r o b l e m si nt h ef i e l d so f t h es c i e n c ea n d t e c h n o l o g y a n dw h a t i sm o r e i ti sa ni m p o r - t a n ta p p r o a c hf o rs t u d y i n gn o n l i n e a ri n t e g r a le q u a t i o n s ，d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n d p a r - t i a ld i 舵r e n t i a le q u a t i o n sa r i s i n gf r o mm a n y a p p l i e d m a t h e m a t i c s t h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sh a sb e e ns t u d i e de x t e n s i v e l y i nl a t ey e a r s f o re x a m p l e ，y a oq i n g l i u 3 ，z h a n gb i n g g e n 4 ，w b iz h o n g l i 5 o b t a i n g o o dr e s u l t s b u tf e wr e s e a r c h e sp a yt h e i ra t t e n t i o n s t o 山ee x i s t e n c eo fp o s i t i v e s o l u t i o n so ff o t l r - o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n si nb a n a c hs p a c e t h ea u t h o rm a i n l y s t u d i e se x i s t e n c eo f p o s i t i v es o l u t i o n so f f o u r - o r d e rd i f i e r e n t i a le q u a t i o n si nb a n a c h s p a c e ，e s p e c i a l l yt h ee x i s t e n c eo f t w op o s i t i v es o l u t i o n s t h et h e s i sc o n s i s t so f t w o c h a p t e r s i n c h a p t e r 1 t 1 1 ea u t h o re m p l o y st h et h e o r e mo fs a d o v s k i ia n ds t u d i e st h e e x i s t e n c eo f p o s i t i v es o l u t i o n so f t h ef o l l o w i n gf o u r - o r d e rd i f i e r e n t i a le q u a t i o ni n b a n a c h s p a c eu n d e r n e wc o n d i t i o n s ： lx ( 4 ( ，) = 厂( f ，x ( f ) )v t i = 【o ，1 】 a x ( o ) 一b x ( o ) = 0c x ( 1 ) + d x ( 1 ) = 0、( 1 1 ) l 口l x ”( o ) 一6 l x ”( o ) = 0c l x 。( 1 ) + d 【x ”( 1 ) = o a 0 ，b 0 ，c 0 ，d 0 ， a 1 0 ，6 1 0 ，c t 0 ，一2 0 ， 6 = 口c + a d + b c 0 ： 4 = a l c + q 碣4 - b t c l 0 w h e r e 厂【，p ，p ，= 0 ，1 】，a n d p i sac o n e i n b a n a c h s p a c e e f i r s tw eg i v es e v e r a ll e m m a s v 山东大学硕士学位论文 l e m m a1 1 s u p p o s e 厂c u p ，p ，d e f i n eo p e r a t o r a ( 一x ) ( f ) 2ig ( r ，s ) 厂( 5 ，x ( s ) ) d s w h e r e g ( 如) = f d ( t , r ) d ，( ) d r ， 讯，= 三：篇：篇t 0 ，盘0 ，b 0 ，c 0 ，d 0 ， 。，( r ，s ) = l 文一( 。，+ 6 1 x ) ( c q , ( ( 1 ，- 一s ，) ) 十+ d d i ；，t 0 ，i 0 ，b l o ，c 1 o ，d i 0 ， t h e n x c 4 ，e i n q i sas o l u t i o no f ( 1 1 ) i fa n do n l yi f x c 1 ，e o q a n dxi sa f i x e d p o i n t o fa ，w h e r e q = x c 1 ，e l l x ( t ) _ o ，v t ， l e m m a1 2 s u p p o s ef c z p ，p ，i f f o r a n yl 0 ，f i s u n i f o r m l y c o n t i n u o u s i n ，( j d n f ) a n d f o ra n yt ，d p n 正，w e h a v e ： “( 儿，d ) ) 壶口( d ) t h e n ，a i sa c 。n d e n s i n go p e r a t 。r i n q o b t w h e r e ，耳= 仁e i i i 工1 1 - 0 a n d 口( ，( ，d ) ) 击口( d ) ，t e i , d p n 巧 ( h ：) w h i l e x e p , i v ( r t , x ) 1 1 c o n v e r g e st n i f o r m l yw i t h ，a s 斗 v i ! ! ! 查查堂堡主兰垡笙塞 ( h 3 ) t h e r ee x i s t0 a 土，a n d ，u ，x ) d o ) 2 z 。w h e n x “。，a ，卢，w h e r e w m ， = j 。j 。1 ( ；“口盯3 + 互1 ( a b i + a t b ) a 2 + b b l a ) ( c ( 1 一) + d ) ( c t ( 1 一) + d - ) i t i se a s y t os e e g ( t ，s ) 删w h e nf ，s 【口，卢 t h em a i nr e s u l t so ft h i sc h a p t e r a r e ： t h e o r e m1 1i f ( h i ) ，( 日2 ) ，( h 3 ) a r es a t i s f i e d ，t w o p o i n tb o u n d a r y p r o b l e m ( 1 1 ) h a s a tl e a s t o n es o l u t i o nx c 4 ，e i ( i q ，w h i c h s a t i s n 。8 x ( t ) “o ，x a ， w ea p p l yt h er e s u l t s t ot h ee x i s t e n c e o f p o s i t i v e s o l u t i o no fd i f f e r e “t i 8 l e q u a t i o ng r o u p s i nf i n i t ed i m e n s i o n a ls p a c e s e x a m p ie1 1c o n s i d e r i n gt h ef o l l o w i n ge q u a t i o ng r o u p ： 倭 ( ，) = x ；( ，) + c o s ! ，x 3n + l ( r ) ， f ， o ) 一x ：( 0 ) = 0 x 。( 1 ) + x ：( 1 ) = 0 ； o ) 一x ? ( o ) = o ，x ：( 1 ) + x ：( 1 ) = 0 w h e r e 门= 1 , 2 ，3 ，小，x 卅i = 工。 c o n c lu s i o n a b o v ed i f f e r e n t i a ib o u n d a r yp r o b i a mh a s a ti e a s to n e p o s i t i v es o i u t i o n i n c h a p t e r 2 t h ea u t h o re m p l o y s t h et h e o r e mo ff i x e d p o i n t so fc o n e e x p a n s i o na n dc o m p r e s s i o na n ds t u d i e s t h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so ft h e f o u r o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( 1 1 ) i nb a n a c hs p a c e e s p e c i a l l yt h ee x i s t e n c e o f t w o p o s i t i v es o l u t i o n s w e g i v et h ef o l l o w i n g t w ol e m m a s ： l e m m a2 1s u p p o s eki sac o n e i n r e a lb a n a c hs p a c e e ，k ，月= k k ，r r 0 ，a ：k 邮斗k i sas t r i c t 。s e t _ c o n t r a c t i o n ，a n di fo “。 o f t h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n si ss a t i s f i e d ： ( a ) a x 甚x , v x k ，l 【x 4 = r ；爿x 王x ，v x k ，u x l l = r ( b ) a x 2x ，v x k ，= ，；a x 甚x ，v x k ，= r ah a sa tl e a s to n ef i x e dp o i n ti n k ，r l a m i n a2 2 s u p p o s e ，c 【，p f o r a n y ， 0 ，f i s u n i f o r m l y v 坐查奎兰堡主兰垡堡兰 一 c o n t i n u o u s i n ，( 尸n 正) ，a n d t h e r e e x i s t sac o n s t a l l t l f o ，亩) ，讪i 。h 5 砒i 8 融 a ( f ( t ，d ) ) 工，口( d ) ， ，d p n t , t h e nf o ra n yf 0 ，ai sas t r i c t s e t c o n t r a c t i o ni nqnb ，i nt h ea b o v e ， m = 8 - t j r l ( a + 6 ) ( c + d ) ( 口l + b 1 ) ( c l + d 1 ) w en e e dt h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n s ： ( h ，) f c u 尸，p f ( t ，目) 兰0fi s u n i f o r m l y c o n t i n u o u si nj ( p n 耳) f o ra n y ， 0 a n d 州( d ) ) 击邶) ，i e-dep n 正 ( h 2 ) w h i l e x p 侧寸o i i f ( t ，x ) l l c 帆h 哦皆 + c c c o n v e r g e s t oz e r ou n i f o r m l yw i t h t ，a s c o n v e r g e s t oz e r o u n i f o r m l y w i t hf ，a s ( 日j ) t h e r e e x i s t s 0 a 口，a n d 至掣c o n v e r g e st o + 。u n i f o r m l yw i t h f 口，卢】a si i x l l 斗0 口i x ) f o rx p ( h 5 ) t h e r e e x i s t s 0 口 0 ，a i l d 至掣c o n v e r g e st o + 。u n i f o r m l yw i t h r 【口， a s i i x l l 斗m 庐) f o rx 尸 ( h 6 ) t h e r e e x i s t s r 0 ，w h i c h s a t i s f i e s 。嚣剞邝蚓c 赤， w h e r eni st h en o r m a lc o n s t a n to fp t h em a i nr e s u l t so ft h i sc h a p t e ra r e ： t h e o r e m2 1 s u p p o s e pi sn o r m a la n d ( h 1 ) i ss a t i s f i e d ，i f ( h 2 ) 山东大学硕士学位论文 a n d ( h 5 ) h o l do r ( h 3 ) a n d ( h 4 ) h o l d ，t w o - p o i n tb o u n d a r yp r o b l e m ( 1 1 ) h a sa tl e a s to n ep o s i t i v es o l u t i o n t h e o r e m2 2s u p p o s epi sn o r m a la n d ( h 1 ) ，( h 4 ) ，( 日5 ) ，( h 6 ) a r es a t i s f i e d ， t w o p o i n t b o u n d a r yp r o b l e m ( 1 1 ) h a s a t l e a s t t w op o s k i v e s o l u t i o n s x l ，x 2 w h i c h s a t i s f y 0 l l x 虬 0 ， 解的存在性问题 其中厂e ，j d ，p 】，= 【o ，1 ，是b a n a c h 空间e 中的锥对任何，如果 f u 口) ；口，则x ( t ) ；o 是边值问题( 1 1 ) 的平凡解显然 q = x c z ，】i x ( r ) 臼，v t ， 是b a n a c h 空蚓c z ，目中的锥x c 4 ，司是边值问题( 1 1 ) 的正解，如果它满足 ( i 1 ) 和x q ，x ( t ) 0 设x ( o ：【o ，1 斗e 连续，“ o ，l 】若卫。e ，使极限 鹪l 盟等型、 血叶o f f f 。0 则称x ( ，) 在卜，o 点可微，类似可以定义x ( f ) 在k “的其他各阶导数 山东大学硕士学位论文 1 2 几个引理 首先我们先给出几个引理 引理1 1 设厂c i p ，p 】，定义算子：( 爿) ( r ) = f g ( t , s ) j 1 ( s ，( ) ) 出 这里 g ( t s ) = l g ( r ，r ) g 1 ( s ) d r ， 二，、1 j 叫( 口r + 6 ) ( c ( 1 一j ) + d ) ，5 g o ，5 ) 2 1 占一，；册+ 6 ) i 。i l 一，；+ 。，) t s 占= a c + a d + b c 0 ，n 0 ，6 0 c 0 d 0 ， 矗o ，s ，= l a 艿t ，一n 。( a 。l ，t 。+ 十b 。l 。) ，( 。c 。i ( 1 ，- 一s 。) + + d 矗1 ：；：， 占= c c ，+ 盘+ ，c ，、，c ，, d b0a0b 00d0 则x e c 4 ，e n q 是问题( 1 1 ) 的解的充分必要条件是x c z ，e n q 并且x 是算 子爿的不动点，这里q = x c 1 明l x ( ，) 目，v f ) 证明充分性： 如果x c 1 ，e n q ，并且x ( r ) = f g ( ，s ) 厂( 5 ，( s ) ) 出， 令 y ( r ) = f a l l ( _ s ) ( 蹦( s ) ) 出， ( 1 2 ) 那么 x ( f ) = f ( f 弧r ) o ( 陟灿= f 讯r ) ( f 如，s ) 厂( ) ) d s ) d r = f 。( ，) y ( ，) 西4 下面我们证明y ”( ，) = 一f ( r ，( r ) ) ，且 口，y ( o ) 一b l y ( o ) = o ，c l y ( 1 ) + d l y ( 1 ) = o ( 1 3 ) x c y ( ，) = o ( ，s ) 厂( j ，x ( j ) ) 出两边求导，得 、 y p ) = - - c 。暖一1r ( 日占+ 6 ) 厂o ，x o ) ) 出+ a t 匹一。f ( q ( 1 5 ) + 吐) 厂( s ，工o ) ) 出 ( 1 4 ) y ”( r ) = 一f ( r ，x ( ，) ) 再把r ：0 和r = 1 分别代入( 1 2 ) 和( 1 4 ) ，可以验证( 1 3 ) 成立 类似地，我们可以得到 x ”( f ) = 一y ( o ，a x ( o ) 一b x ( o ) = 臼，c x ( 1 ) + d x ( 1 ) = 0 ( 1 5 ) 山东大学硕士学位论文 综合( 1 3 ) 和( 1 5 ) ，我们可以得到x ( t ) c 4 ，e 】，并且x ( r ) 是( 1 1 ) 的解 必要性： 令一- 。0 ) = y ( t ) ，贝l j 有 f 一_ y ”( r ) = f ( t ，x ( f ) ) f ， ( 1 6 ) l a l y ( o ) 一b t y ( o ) = 6 ic l y o ) + d x y7 ( 1 ) = 0 ( 1 7 ) 对( 1 6 ) 积分得 4 一y 7 ( f ) + y ( o ) = f ( ( 5 ) ) 幽， ( 1 8 ) 对( 1 8 ) 积分，可得 一y ( f ) + y ( o ) + y ( o ) 仁f ( t - s ) f ( ( s ) ) 丞， ( 1 9 ) 把t = l 代入( 1 8 ) 和( 1 9 ) ，得 一y ( 1 ) + _ y ( o ) = c 厂( s ，x ( s ) ) 出， ( 1 1 0 ) 和， 一y ( 1 ) + y ( o ) + y ( o ) = f ( 1 - s ) f ( ( s ) ) 出， ( 1 i i ) 由( 1 7 ) 和( i 1 0 ) ，得 y ( 1 ) = 一孚( y ，l o ) 一f 邝，m ) ) 出) ， ( 11 2 ) y ( o ) ：蔓，( o ) ( 1 1 3 ) “i 把( i 1 2 ) 和( 1 i 3 ) 代入( i 1 i ) ，得 y 7 ( o ) = a l s t - 1f ( c t ( 1 一s ) + d o f ( 蹦( s ) ) 出 ( 1 | 1 4 ) 根据( 1 1 4 ) 和( 1 9 ) ，我们可以得到 y ( r ) = ( 鲁+ ，) d 霄f ( 州1 一s ) + 4 ) ，( s ，x ( 啪出一f ( ，一s ) 厂( s ，x ( 啪出 = 4 - 1f ( 日。h b ) ( c ，( 1 一s ) + d 。) ，( ( s ) ) 出一f ( 卜j ) 厂( 蹦( j ) ) 出 + 订1f ( q r + b o ( q ( 1 一j ) + d 。) _ ，( 埘( 5 ) ) 出 = 盯1f ( d 。s + b 。) ( c ( 1 一f ) ，( s ，x ( j ) ) ) 出+ 5 , - f ( 口。h - 岛) ( c 。( 1 5 ) + d i ) f ( s ，x ( j ) ) 出 = f o 。( f ，5 ) ，( ( s ) ) 幽 ( 1 1 5 ) 类似蛐由 东大学硕士学位论文 卜x ”( f ) = y l r ) l ( “( o ) 一b x ( o ) = 0c x ( 1 ) + d x7 ( 1 ) = 0 我们可以推出 x ( r ) = f 讯s ) y ( s ) d s ， ( 1 1 6 ) 所以 x ( f ) 。i g ( t ，r ) y ( r ) d r = f 讯r ) ( 水( ) 厂l 埘l s ) ) 西) 办 = f ( f 瓯，4 ) 如，s ) 西+ ) x ( s ) ) 出 = g ( t 一5 l ，1 ( s ，x ( s ) ) 出， 必要性得证 证完 因为0 ( ，r ) j 一1 ( a r + 6 ) ( c t l 7 ) + c f ) ，e ，( r 5 ) d l - | ( “l ，十b 1 ) ( c 1 ( 1 + ，) + d 1 ) ， 所以 g ( ，：s ) = j 昏r ，。妨l ( ) d rs 占一1 j ，。( 日h 6 ) ( c ( 卜，) + d ) ( d l s + b ，) ( c i ( 1 一s ) + d ，) 兰占万l ( 。+ 6 ) ( c + d ) ( 口l + b 1 ) ( c l + d 1 ) = m 引理1 2 设c z p ，p 】，假定对任意b0 ，厂在n ：( p n 正) 上一致连续 并且对任意的f ，d p n t , ，都有口( ( f ，d ) ) 壶口( d ) ，则算子一是g n 马 上的凝聚映像 这里一：x e 耻i l f ) ，b ，= ie c i 砷x 炉嘴x ) 4 ， 证明从在，( 尸n 正) 上的一致连续性可推出f 在其上的有界性，从而根 据 6 第一章系1 1 1 以及口( 厂( t , d ) ) 丽l 口( 。) ，得 ，o t ( f ( 1 d ) ) = m 吲a x 口( d ) ) 丽1 a ( d ) ，d c p n 正_ 、 ( 1 1 7 ) -tl，m 因f 在，( p n 正) 上有界并且一致连续，易知算子a 在q n b ，上是连续有界的 任给s c q n b ，易知函数族臼x k s ) 是一致有界且等度连续的，于是根据 6 第一耄定理1 1 2 知 生垄查堂堡主主垡堡三 一 口( 爿( s ) ) = s u p a ( a ( s ( t ) ) ) ， l 1 1 8 ) f e i 其中一( s ( f ) ) = 臼h 叫x s r 是固定的 cp n z ， 利用显然的公式 f x ( t ) d te 历瞻， x c ，明， 我们可以得到 。( 爿( s ( f ) ) ) 盘( 历 g l ，s ) ( s ，x ( s ) ) 1 s ，x s ) 胁( 石l ，( 蹦l s ) ) u o l s ，x 曲 m a ( j ( s ，x ( s ) ) u 酬s ，x s ) m a ( j ( x ( s ) ) l s ，r s b m a ( f ( i 脚1 o ，存在s 的分法s ：os ，使得 d i a m ( s ，) 口( s ) + 詈，= 1 2 3 n ( 1 2 0 取x ，s ，j = 1 , 2 3 ，订) 及，的分法 0 = ，o f l f 。一1 f 。= l 使得 l p ，( ，) - - x ( i ) i lc 三，2 1 ，2 ，3 ，一，”；f ，i f “， ，f = 1 ，2 ，3 ，n j 1 2 1 显然， ：”b。其中b。：k(f)l。，f。，xs，对于任何x(r)，x(i)bb uub b ts 。，由显然， = 其中，= 扛( f ) i f h ，f 。 ，x j j 对于任1 司x ( r ) ，x ( ) u ，田 ( 1 2 0 ) 和( i 2 1 ) 式，我们有 l k ( ，) 一i ( i ) l l t l x ( r ) - - x ( f + x j ( t ) - - x ( i ) 4 + l l x ，( f ) 一i ( i ) 1 i s l l x - x , + ；+ i x j - - i 8 。 兰2 d i a m ( s 詈 山东大学硕士学位论文 2 a ( s ) + s ， 从而 d i a m ( b 。) 2 a ( s ) + e ， 于是 a ( 日) 2 c f ( s ) + 占， 根据s 的随意性，即得 口( b ) 2 c f ( s ) ( 1 - 2 2 ) 于是，根据( 1 1 8 ) ，( 1 1 9 ) 以及( 1 2 2 ) 得 口( 爿( s ) ) o ，f 在，( p n 正) 上一致连续， 并且 口( 们，d ) ) 面1 口( d ) ，t e 。，de 尸n r , ( 蚴抓川h 卜时，警翔“一致趋臻 ( 也) 存在o 岱 去，使 得当x “o 时，厂( f ，x ) ( f ) “o ，口，卢其中 m ：8 - t 占1 - 1 ( ；口口，口，+ i 1 ( 口6 。+ d 。6 ) 口：+ 6 6 ，口) ( c ( 1 一) + d ) ( c ( 1 一卢) + d ，) 易知当f ，j 瞳， 时，g ( f ，s ) m 定理1 1 如果条件( ，) ，( h ：) ，( h 3 ) 满足，则两点边值问题( 1 1 ) 至少有一 个解z c4 【，e 】n q ，并且满足x ( t ) ，x 【口，】 山东大学硕士学位论文 证明 由条件( h ：) 知，存在， 。，使得当忙i i r 时，1 | 厂( r ，x ) 悟丽1 1 4 再由条 件t 月) 知 a ( f ( i ( p n ) ) ) = 口 ，( f ，x ) i f ，x p n l =m梦a(f(t,pn)面1口(pn) - “。，口f 卢j 因为x ( f ) ；“。w ，所以w 非空，并且容易看出w 是q 中的有界凸闭集 下面证明a ( w ) c n 显然a o t ，1 c q 如果x h ，当a r 时，我们有 ( 小) ( r ) = fg ( s ，f ) 厂( 蹦( s ) 灿fg ( s ，r ) ，( 蹦( s ) ) r 卅口( 咖。d s - - h t o 另外，当肛i i ，时，妙( r ，。) | 1 ：当m r 时，1 ，( f ，x ) i 1 糌所以 郴+ 粤 故 川m j ：i i f ( 蹦糨m 沁砦) = 訾+ 讹鲰 综上a ( w ) c w 因为w c q n b 。亡c i ，司，根据引理l 2 可以知道a 是w 上的凝聚映像由 引理1 3 知算子a 在w 上有一个不动点再根据引理1 1 ，此不动点即是边值问题 ( 1 1 ) 的正解 证完 山东大学硕士学位i 哙文 1 4 应用 例1 1 考虑有限维微分方程组 4 鬻蔓；黔0 黑；渊1 整。： 托7 ( 1z 。) 工。( 0 ) 一x ：( o ) = ，工。( 1 ) + x ：( ) = o ； 、1 。， x ：( o ) 一x ：( 0 ) = 0 ，x ：( 1 ) + x ? ( 1 ) = 0 这里h = 1 , 2 ，3 ，m ，x = x 。 v 结论微分边值问题( 1 2 3 ) 至少有一个正勰 证明令，= o 1 ，e = r ”，并赋予范数= 燃 _