（基础数学专业论文）pfaffian技巧在广义kdv和kp方程中的应用.pdf

摘要 本文利用h i r o t a 方法、w r o n s k i a n 技巧和p f a f f i a n 技巧研究了一些具有物 理意义的孤立子方程，得出了它们相应的多孤子解。本文共分为四章： 在第一章中，简单综述了孤立了理论的发展过程，特别是孤立了理论中的 h i r o t a 方法、w r o n s k i a n 技巧与p f a f f i a n 技巧的研究状况。 在第一二章中，对变系数的k d v 方程进行了研究，首先利用h i r o t a 方法， 将变系数k d v 方程转化为双线性形式，并利用w r o n s k i a n 技巧与p f a f f i a n 技巧 得出了该方程的w r o n s k i a n 与g r a m m i a n 行列式形式的解。 在第i 章中，对，变系数的k p 方程进行了研究，利用h i r o t a 方法，将受系 数k p 方程转化为双线性形式，并利用p f a f f i a n 技巧得到了该方程的g r a m m i a n 行列式形式的解；并给出了p f a f f i a n 化的变系数k p 方程的耦合方程组，以及 相应的w r o n s k i a n 型与g r a m m i a n 型的p f a f f i a n 解。 存第四章中，进一步地研究了3 + 1 维的k p 方程，首先利用h i r o t a 方法， 将3 + 1 维k p 方程转化为双线性形式，冉利用w r o n s k i a n 技巧p f a f f i a n 技巧 得到了该方程的w r o n s k i a n 与g r a m m i a n 行列式形式的解；并给出了p f a f f i a n 化的3 + 1 维k p 方程的耦合方程组，以及相应的w r o n s k i a n 犁与g r a m m i a n 裂 的p f a f i i a n 解。 关键词：孤立子方程；h i r o t a 方法：w r o n s k i a n 技巧；p f a f f i a n 技巧；变系数 k d v 方程；变系数k p 方程；3 + 1 维k p 方程。 中图分类号：o1 7 5 2 4 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w ew i l lc o n s i d e rt h en s o l i t o ns o l u t i o nf o rs o m es o l i t o ne q u a - t i o n so fp h ) ，s i c a li n t e r e s tb yh i r o t am e t h o d ，w r o n s k i a nt e c h n i q u ea n dp f a f f i a n t e c h n i q u e t h eo u t l i n eo ft h i st h e s i si s 蹈f o l l o w s ： i nc h a p t e r1 w ew i l lg i v eas i m p l ei n t r o d u c t i o no ft h ed e v e l o p m e n to fs o l i t o nt h e o r y ，e s p e c i a l l yt h ep r e s e n tr e s e a r c hs t a t u so fh i r o t am e t h o d ，w r o n s k i a n t e c h n i q u ea n dp f a f f i a nt e c h n i q u e i nc h a p t e r2 ，b yu s i n gt h eh i r o t am e t h o da n dw r o n s k i a nt e c h n i q u e ，w e w i l lg e tt h ew r o n s k i a na n dg r a m m i a ns o l u t i o n sf o rt h ev a r i a b l e - c o e f f i c i e n tk d v e q u a t i o n i nc h a p t e r3 ，w ew i l lc o n c e r na b o u tt h ev a r i a b l e - c o e f f i c i e n tk pe q u a t i o n b y u s i n gt h eh i r o t am e t h o d ，w r o n s k i a nt e c h n i q u ea n dp f a f f i a nt e c h n i q u e ，w ew i l lg e t t h eg r a m m i a ns o l u t i o nf o rt h ev k pa n dt h ew r o n s k i a n - t y p ea n dt h eg r a m m i a n t y p ep f a f f i a ns o l u t i o n sf o rt h ep f a f f i a n i z e dv k pc o u p l e ds y s t e m i nc h a p t e r4 ，b yu s i n gt h eh i r o t am e t h o d ，w r o n s k i a nt e c h n i q u ea n dp f a f - f i a nt e c h n i q u e ，w ew i l lg e tt h ew r o n s k i a na n dg r a m m i a ns o l u t i o n sf o rt h e3 + 1 d i m e n s i o n a lk pa n dt h ew r o n s k i a n - t y p ea n dt h eg r a m m i a n t y p ep f a f f i a nf o rt h e p f a f f i a n i z e d3 + 1d i m e n s i o n a lk pc o u p l e ds y s t e m k e y w o r d s ：s o l i t o ne q u a t i o n s ；h i r o t am e t h o d ；w r o n s k i a nt e c h n i q u e ；p f a f f i a n t e c h n i q u e ；v a r i a b l e - c o e f f i c i e n tk d ve q u a t i o n ；v a r i a b l e - c o e f f i c i e n tk pe q u a t i o n ； 3 + 1d i m e n s i o n a lk pe q u a t i o n 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除 了特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或其它机构已经发表或撰写过的 研究成果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中作了明确的声明 并表示了谢意。 作者签名：强喙畦 日期： 司：兰：! 占 论文使用授权声明 本人完全了解复旦大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此 规定。 作者签名 独瞌! 电 导师签名 锻噍孕蚪 第一章绪论 1 1 孤立子理论和双线性方法 孤立子的发展廊追溯到1 8 3 4 年，英国著名科学家s c o t tr u s s e l l 偶然观察到 了一种奇特的水波f 1 1 ，这种水波在行进的过程中形状与速度并无明显变化。他 在后来的“波动论”一义中称这种水波为“孤立波”，并认为这种孤立波足流 动运动的一个稳定解。但当时r u s s e l l 并术成功地给出使物理学家信服的数学证 明。直剑六十年后的1 8 9 5 年，荷兰著名数学家k o r t e w e g 和他的学生d ev r i e s 在研究浅水波的运动时提出一个描述一维长波在浅水沟中的传播运动j 钓非线性 方程，即著名的k d v 方程f 2 1 ， 砜+ 6 乜管+ 钍z z = 0 ， 并求出形如 乱( 。，t ) = i g - s e t h 2 ( 七z k a + ( o )( 1 1 2 ) 的行波解，其中k ，f ( o ) 为常数。这一结果为r u s s e l 的观察提供了完美的理论解 释。然面这种波相互作用时是否稳定? 即两个孤立波碰撞后能否变形? 这个问 题长期没有得到解决。 在二十世纪五十年代，著名物理学家f e r m i ，p a s t a 和u l a m ( f p u ) f 3 】在研 究有固定点的一维非谐振子链的能量分布时，发现经j f i 物理难以解释的现象： 随着时间的推移，能量并未像预期的那样均匀分布，而是最终又回到原始的分 布状态。 1 9 6 5 年，美国物理学家k r u s l m l 和z a b u s k yf 4 1 利用先进的计算机技术通过 数值计算详细研究了k d v 方程两波相互作用的全过程。通过对作用前后所得数 据进行分析后，他们发现孤波的形状和速度保持卜交，而且还具有弹性散射的 性质，他们把这些特殊的波称为“孤立子”。k r u s k a l 和z a b u s k y 的这项研究 工作，是孤立子理沦发展史中的一个重要里程碑，他们所揭示的孤立波的本质 已经被普遍的接受。从此一个研究非线性发展方程与孤市子的热潮在学术界蓬 3 第一章绪论4 勃地开展起来。现在孤立子理论已经形成了自己独特的理沦框架，几乎在科学 研究的各个领域都看到他的踪迹。 孤市子理论利用数学方法从各个角度对孤市子方程进行了研究，其中重要 的一个方面就是如何求解孤立子方程以及讨论解的性质。近年来，寻求精确解 的方法一直是孤立子研究中的前沿问题。求解技巧取得了长足的进步，产生了 如反散射变换法【5 i - 1 0 】d a r b o u x 变化法【1 1 】- 【2 1 】，代数几何解法 2 2 1 一 2 8 1 、约 束流方法 2 9 1 、h i r o t a 双线性导数法【3 0 】 4 3 】、p f a f f i a n 技巧 4 6 h 5 7 】等多种方 法，而且还不断有新的方法出现。每种方法都产生了很丰富的数学理论。本 文主要涉及双线性导数法，所以卜面我们简单概述卜双线性导数的发展过程。 h i r o t a 在1 9 7 1 年提出了一种获得孤记子方程的孤子解的简单直接方法 f 3 0 1 。在这种方法中，h i r o t a 引入两个甬数的双线性导数的概念，通过位势u 的变换，将孤立子方程就转化为双线性导数方程，荐通过将摄动展开式代入方 程中，并在一定条件卜- 截断该展开式的方法，从而得到相应的线性指数函数形 式的单孤子解和双孤子解等的具体表达式，并南此猜测出多孤子解的一般表达 式。由于h i r o t a 方法所引进的位势u 的变换往往是以反散射，殳换的结果为基 础，再加之操作简便，使得h i r o t a 方法的使用范围几乎涵蔫了所有反散射变换 可解得的方程。近来，胡星标【3 5 】- 3 7 】、陈登远、张大军和邓淑芳 3 8 】- 【4 2 】等利 用h i r o t a 方法构造出了孤子方程的新解，他们的这- - t 作不仅极大地丰富了解 的类型更拓展了h i r o t a 方法的适用范围为该方法的完善做了大量工作。 但是由h i r o t a 方法所得到的n 孤了解是属于猜测性质的，无法对其解的止 确性进行验证。另一种直接方法是w r o n s k i a n 技巧，这是一种应用7 泛且赢效 的方法。在1 9 7 9 年s a t s u m a 4 4 1 首先将孤子解表示为了w r o n s k a i n 的形式。但 是他并没有将解得这种表示与孤了方程的舣线性形式联系起来。直到1 9 8 3 年。 由f r e e m a n 和n i m m o 4 5 1 提出并建立了一种求解孤子解方程的系统方法，即 w r o n s k i a n 技巧。该方法的优点在于q 。以进行解的直接验证，且证明的过程十 分的简洁。 在1 9 8 9 年，h i r o t a 提出了一种比w r o n s k i a n 解更为广泛的p f a f f i a n 解 f 4 6 1 。在1 9 9 1 年，h i r o t a 和o h t a 4 7 1 又提出了一种南k p 族生成新的耦合方 程的技巧，所得到的新的耦合系统方程具有p f a f f i a n 形式的解。这一过程也 就是现在所说的p f a m a l l 化。它从一个具有行列式解的孤立子方程出发，对 该行列式解用p f a 伍a n 行列式来替换，并要求p f a f f i a n 元素满足原行列式解的 约束关系，最后构造出一个有p f a f f i a n 形式解的新的耦合系统。与行列式相 比，p f a f f i a n 行列式的结构更为丰富，因此p f a f l i a n 化的过程所得到新的可积系 统有比原来系统更为一般的解。现在，这一p f 胡j a n 过程已经被成功的应用到 了d a v e y s t e w a r t s o n 方程组【4 9 】，自对偶y a n g - m i l l s 方程 5 0 | ，微分一差分k p 第一章绪论 5 方程【5 1 】，不连续的k p 方程【5 2 1 ，两维的t o d a 格方程【5 3 】等等许多的孤立子 方程中。 1 2 预备知识 1 2 1 h i r o t a 双线性导数性质 设f ( t ，x ) 与g ( t ，功是荧，变量t 与x 的两个可微函数，引入微分算子b 与仇，使对任意的非负整数i l l 和n ，定义双线性导数如下 d d ；，g = ( 统一a 0 ( 以一岛，) ，( ，z ) 9 ( 7 ，x ，) f t 一：t 一：； ( 1 2 3 ) 下面我们列举一些双线性算子的性质： ( 1 ) 函数f ( t ，1 与自身的奇数次双线性导数为零即m + n 为奇数时 d r 磁，= 0 ( 2 ) 交换f ( t ，x ) g ( t ，z ) 的双线性导数的顺序，有 ( 1 2 4 ) d p d ：厂g = ( - 1 ) m + n d ，_ d ：夕，( 1 2 5 ) ( 3 ) 函数f ( t ，z ) 与数l 的双线性导数是通常的导数，即 q “d ：，l = 刀田， ( 4 ) 对于两个指数函数形式的双线性导数有，设 岛= 岣+ z + 彰0 1 ， j = l ，2 其中屿，和0 = 1 ，2 ) 都是实数，则有 ( 1 2 6 ) d p d ：e 自毋= ( u l 一忱) m ( 尤i 一托2 ) “e 自+ 如( 1 2 7 ) l 2 2p f a f f i a n 结构 p f a f f i a n 是通过行列式来定义的假设a 是一个m m 阶的反对称行列式， 定义如下： l a i = d e t l i ，( 1 l ，j s m ) ( 1 2 8 ) 第一章绪论6 其中 一 = - a 3 ；j = l ，2 ，m )( 1 2 9 ) 如果m 是奇数，则a 的值为o ；如果m 是偶数，即存在一个正整数n ，使得 m = 2 n ，那么a 的值是一个p f a f f i a n 的、r 方，并称这个p f a f f i a n 是2 n 阶的对丁 一个2 n 阶的p f a f f l a n 可将其表示为 ( 1 ，2 ，2 n ) 例如，对于一个2 阶的反对称行列式 ( 1 2 1 0 ) 一三。乙2 卜。邓，z 产 。m ， 因此，一个2 n 阶的p f a f f i a n 口j 以展开表示为 ( 1 ，2 ，2 n ) = ( 1 ，2 ) ( 3 ，4 ，2 n ) 一( 1 ，3 ) ( 2 ，4 ，2 几) + ( 1 ，4 ) ( 2 ，3 ，5 ，2 n ) 一+ ( 1 ，2 n ) ( 2 ，3 ，2 n 一1 ) 2 n 一 = ( 一1 ) ( 1 ，角) ( 2 ，3 ，k ，2 n ) ， ( 1 2 1 2 ) 其中乏表示消去k 更进一步，如下的p f a f f i a n 展开公式成立 m“ ( 1 ，2 ，2 礼) ：k ( 一1 ) 件扣1 ( 17 2 3 加。，七 埘( 1 舢)k = 1 ，k i1 2 1 3 l ( i = 1 ，2 ，2 n ) 重复上述的展开过程，我们可以得到 ( 1 ，2 ，2 n ) = ，p ( 一1 ) p ( i l ，i 2 ) ( i 3 ，i a ) ( i 5 ，i 6 ) ( $ 2 n - - 1i 2 。) ( 1 2 1 4 ) 在上式( 1 2 1 4 ) 中，p 表示关于在 l ，2 ，2 n ) 中任意两两成对所得到的n 对数再排成一列的所有可能的组合的求和并且假设这些数的组合还须满足以f 的条件 i l i 2 ，i 3 i 4 ，i 5 i o ，i 2 n l i 2 n ， ( 1 2 1 5 ) i 1 i s i 5 l 孙一1 第一章绪论7 而( 一1 ) p 的值是+ 还是一取决于数列0 l ，t 2 ，i 2 。) 是 l ，2 ，2 n ) 的一个 偶置换还是奇置换 众所周知，p f a f f i a n 的性质是与行列式的性质密切相关的而关于行列式的 一些等式，如p 1 i k e r 恒等式和j a c o b i 恒等式，都町以扩充并统一为一个p f a 币a l l 恒等式实际上，p f a f f i a n 恒等式存在着很多种f i 同的形式这里，我们给出本文 将利用的其中两个，它们有如下的形式 与 ( 口l ，a 2 ，n 2 m ，1 ，2 ，2 扎) ( 1 ，2 ，2 礼) 2 。( 1 2 1 6 ) 一( 一1 ) 。( o l ，a ，1 ，2 ，轨) 池，a 3 ，菇，a 2 。，1 ，2 ，2 n ) ， k = 2 ( 口l ，a 2 ，a m ，i j 2 ，凯一1 ) 0 ，2 ，2 n ) m = ( 一1 ) 扣1 ( n k ，1 ，2 ，2 n 一1 ) ( n l ，a 2 ，硫，1 ，2 ，2 n ) ， ( 1 2 1 7 ) 其中东表示消去a k 1 3 本文的主要工作 1 、利用w r o n s k i a n 技巧与p f a f f i a n 技巧得出变系数k d v 方程的w r o n s k i a n 与g r a m m i a n 行列式形式的解 2 、利用p f a m a n 技巧得到了变系数k p 方程的g r a a n m i a n 行列式形式的解 3 、给出了p f a f f i a n 化的变系数k p 方程的耦合方程组，并得出了相应的 w r o n s k i a n 型与g r a m m i a n 型的p f a f f i a n 解 4 、利用w r o n s k i a n 技巧与p f a f f i a n 技巧得到了3 + 1 维k p 方程的w r o n - s k i a n 与g r a m m i a n 行列式形式的解 5 、给出了p f 狮a n 化的3 + l 维k p 方程的祸合方程组，并得出了相应的 w r o n s k i a n 型与g r a m m i a n 型的p f a f f i a n 解 第二章关于变系数k d v 方程 本章研究的内容足关于变系数的k d v 方程的，土要足利用h i r o t a 方法， w r o n s k i a n 技巧以及p f a f f i a n 技巧等来找出变系数k d v 方程的w r o n s k i a n 以及 g r a m m i a n 行列式形式的解 2 1 ，w r o n s k i a n 行列式形式的解 考虑变系数k d v 方程 砘+ h i ( 6 u u 。+ 1 1 , x 。) + 4 h ：一h s ( 2 u + z “。) = 0( 2 1 1 ) 其中h i = h l ( ) ，h 2 = h 2 ( t ) 还有h a = h a ( t ) 都是关于t 的任意函数 方程的解，先利用受量代换 札= 2 ( i n 丁) 。， 可将变系数k d v 方程( 2 1 1 ) 变为双线性形式 为了得到此 ( 2 1 2 ) d 。d t r r + 1 磁7 - 7 - + 4 ，妇d ：r r x h s 瑗_ 广，r 一2 h a r t 。= 0 ( 2 1 3 ) 将上式( 2 1 3 ) 展开，得 死。7 - 一丸+ 1 ( t h 。7 一4 亿。+ 3 色) + ( 4 h 2 - x h a ) ( t 。7 - 一) 一h 3 7 - = 0 ( 2 1 4 ) 下面，我们证明双线性型的变系数k d v 方程有下述的w r o n s k i a n 行列式形 式的解， l 劬l d 一1 妒l 仍a 赴o n - - i 锄 审n8 耷n - 护一、由n = i o ，1 ，n l l = i 矿j i ，( 2 1 5 ) 8 第二章关于变系数k d v 方程 9 其中九0 ；1 ，2 ，n ) 满足如下条件， 幅= 掣锄， ( 2 l 6 ) 九，t = 一4 l 奶口。4 h 2 j z + x h 3 d p j 利用行列式求导性质，可得 = l n 一2 ，n i ， 。= i n 一3 ，n 一1 ，n i + i n 一2 ，n + 1 1 ， 一= j n 一4 ，n 一2 ，n 一1 ，n i + 2 i n 一3 ，n 一1 ，n + 1 i + l n 一2 ，n + 2 1 ， 。= l 一5 ，n 一3 ，n 一2 ，n 一1 ，n i + 3 i n 一4 ，n 一2 ，n 一1 ，n + 1 i + 2 i 一3 ，n ，n + 1 l + 3 i n 一3 ，n 一1 ，n + 2 i + i 一2 ，n + a l ， ( 2 1 ，7 ) 以及 n = 一4 h 1 i n 一- 4 ，n 一2 ，n 一1 ，n i i n - 3 ，n 一1 ，n + 1 1 + i n 一- 2 ，n + 2 i 】 + ( - 4 h 2 + 士h 3 ) l n 一- 2 ，n i + 掣 3 i s l - - 5 1 ， t t 。= 一4 h l i n 一5 ，n 一3 ，n 一2 ，n 一1 ，i i 一3 ，n ，n + 1 i + i n 一2 ，n + 3 1 】 + ( 一4 h 2 + x h 3 ) n 一3 ，n 一1 ，n i + i n 一2 ，n + 1 1 】+ h 3 1 n 一2 ，n l + 掣 3 i 硒，虮 ( 2 1 8 ) 将式子( 2 1 7 ) 一( 2 1 8 ) 代入到( 2 1 4 ) 式，井利用一个等式 姜掣嘻掣i 稿吩l 稿h 姜掣i 稿| 2 ，埘， 也就是 i f f m i l i i n - - ，n 一3 ，n 一2 ，n 一1 ，n i i n - ： 4 ，n 一2 ，n 一1 ，n + 1 1 + 2 i 稿，n ，+ i i i d - ：囊，n 一1 ，n + 2 1 + i d 5 5 ，n + 3 l 】 = 卜l d l - 蠢，n 一1 ，g l + 硒，n + lj 】2 ， ( 2 1 1 0 ) 第二章关于变系数k d v 方程 1 0 有 7 k f 一凡7 ；+ 九l ( 。r 一4 7 j 。亿+ 3 色) + ( 4 2 一z h 3 ) ( r , z r 一) 一 3 r = 1 2 h i ( i n 一3 ，一2 ，一l l l g 一3 ，、r ，+ 1 l l 一3 ，v 一2 ，n i i 3 ，一1 ，n + 1 l + l n 一3 ，n l ，n i i n 一3 ，一2 ，+ l i ) = 0 ( 2 1 1 1 ) 这样，就证得了变系数k d v 方程( 2 1 1 ) 有w r o n s k i a n 行列式形式的解 2 2g r a m m i a n 行列式形式的解 这里，我们米考虑关手变系数k d v 力程( 2 1 1 ) 的g r a m m i a n 行列式形式的 解即要证明这个双线性形式的变系数的k d v 方程( 2 1 3 ) 有p f a f f i a n 形式的解 r = d e t i o o f l s t j s = ( 1 ，2 ，2 + ，l ) ，( 2 2 1 2 ) a l j = ( ，j ) 5 勺+ 五仍d s ， 为常数 ，z ( ，j ) = ( i + ，j ) = 0 其中厶毋( i ，j = 1 ，2 ，一，) 满足以下条什， 要o a 一“耍0 3 a 一4 九。瓦o a + 巩夏o f , ，c = 1 ，2 ，1 。肌。， 鲁m 。磐一4 ：瓦0 9 j + 砒鲁，。= l ，z ，) 。 允毋一 毋z = ( ) ( 1 ，j + ) ( 1 ，j = 1 ，2 ，n )( 2 2 1 4 ) 我们很容易得到下面的结果 击瓴 = ( 南，线，汀j ) ， 孙门= ( d 1 锏 ( ，列) ， 。2 1 5 第二章关于变系数k d v 方程 1 1 其中 ( d n ) = 知，忙知 ( 伽= 0 1 ) ( “，厶) = ( 嚷，) = ( ，) = ，i ) = ( 嚷，i + ) = 0 通过直接运算，得 晏( ，j ) = 一4 1 【( 疵，蠕， ，j + ) 一( d t ，前， ，j ) + ( 而，t ，j ( 2 2 1 6 ) + ( 一4 九2 + = h 3 ) ( d o ，簖，l ，j + ) 一h 3 ( i ，j + ) 所以可得到以下的微分运算法则 r = ( ) ， 亿= ( d o ，磁，) ， = ( d l ，磁，) + ( d o ，d 7 ，) ， ( 2 2 1 7 ) 。= ( d 2 ，塌，) + 2 ( d l ，前，) + ( d o ，呓，) ， 。= ( d 3 ，磁，) + 3 ( d 2 ，) + 2 ( d o ，簖，d l ，磷，) + 3 ( d l ，) + ( d o ，呓，) ； 和 凡= 一4 h ，l ( d 2 ，瑶，) 一( d l ，d ，) + ( d o ，d i ，) 】 一4 ( d d ，磁，) + x h 3 ( d o ，蝣，) 一 3 ( ) ， 瓦。= 一4 h l 【( 如，瑶，) 一( d o ，喵，d l ，啦，) + ( d o ，磁，) 】 ( 2 2 1 8 ) 一4 2 【( d 1 ，噶，) + ( d 0 ，d ，) 】+ x h 3 ( d l ，瞄，) + ( 南，田，) 】 其中，对于每一个p f a f f i a n ( ) 均代表元素( 1 ，2 ，+ ，2 ，l ) 第二章关于变系数k d v 方程 1 2 将式子( 2 2 1 7 ) 和( 2 2 1 8 ) 代入方程( 2 1 4 ) 的左式，得 1 2 h f ( d o ，蝣，d - ，啦，o ) c - ) 一( d l ，啦，) ( d 0 ，喀，) + ( d l ，d 4 ，o ) ( d o ，前，) 1 + 3 h 1 ( ) 【( d 3 ，磁，) 一( d 2 ，田，) + 2 ( d o ，d ；，d l ，d ，) 一( d l ，d 4 ，) + ( 4 0 ，嵫，) l 一3 1 【一( d l ，瑶，) + ( d 0 ，d ：，) 】2 ( 2 2 1 9 ) 又由于 ( t ) 7 _ = 一( d - ，蠕，) + ( d o ，盔，) t j = l 0 0 ( t ) ( ( t ) r ) = e , a t ) 【一( d ，蠕，) + ( d o ，啦，) 】( 2 2 2 0 1 z , 3 = lt d = ll j = l = ( d z ，瑶，) 一( d 2 ，d ，) + 2 ( 幽，噶，d l ，d * l ，) 我们有下述等式成立 - ( d r ，龙，) + ( 幽，磁，) = ( ) ( 如，磁，) 一( d 2 ，磁，) + 2 ( d o ，蛎，d l ，嘶，) 一( d 1 ，噶，) + ( d 0 ，呓，) 】 一【一( d l ，d ；，) + ( d o ，田，) 1 2 三0 ( 2 2 2 1 ) 利用( 2 2 2 1 ) 的结果，式子( 2 2 1 9 ) 等于 1 2 h l ( d o ，d l ，啦，) ( ) 一( d l ，前，) ( d 0 ，瑶，) + ( d l ，弼，) ( 面，啦，) 】( 2 2 2 2 ) 很容易发现式子( 2 2 2 2 ) 就足关于行列式的j a c o b i 恒等式，同时也足 p f a f f i a n 恒等式的特殊彤式 ( 南，瑶，d l ，) ( ) = ( d l ，磁，- ) c d o ，舔，) 一( d ，磁，) ( 奶，d ，) 一( d 0 ，d l ，) ( 噶，磁，) ， ( 2 2 2 3 ) 因为 ( d o ，d l ，) ( 瑶，前，) 三0 ( 2 2 2 4 ) r ”姒 州 一r 力以 纵 州 第二章关于变系数k d v 方程 1 3 这样，就证得p f a f f i a n ( 2 2 1 2 ) 就是双线性方程( 2 1 3 ) 一的解，同时说明了变 系数的k d v 方程有g r a m m i a n 行列式形式的解 为了证明p f a f f i a a 解( 2 , 2 1 2 ) 的存在性，下面我们给出 和毋个明确的 形式，它满足条件( 2 2 1 3 ) 和( 2 2 1 4 ) = n 5 1 ( t ) e x p k i ( t ) x + 彰o + ( 一1 ) 一1 厦1 ( t ) e x p 一砬( t ) z + o ) 毋= 2 ( t ) e x p k j ( t ) x + o ) + ( 一1 ，- 1 巧2 ( t ) e x p 一码o ) z + 谚o ) ( t ，j = 1 ，2 ，) n ：( ) = c f e x p r ( 一4 h l ( ) 霹( ) 一4 h 2 ( t ) 0 ) ) d t ， 孱( t ) = 毋e x p f ( 4 h l ( t ) 酱( ) + 4 h 2 ( f ) 岛( ) ) 出) ， 晚( t ) = c 3e x p fh a ( t ) d t ，( t ) = 砰( t ) 一k y ( t ) ( 2 2 2 5 ) ( 2 2 2 6 ) ( 1 = 1 ，2 ；i ，j = 1 ，2 ，一，) 其中，m ，m ，谚。( t ，j = l ，2 ，) ，c ，毋，c 3 ( f = l ，2 ) 是仟意的常 数 第三章关于变系数k p 方程 本章将研究变系数的k p 方程，土要是应用h i r o t a 方法和p f a f f i a n 技巧等 方法得到变系数k p 方程的解 3 1g r a m m i a n 行列式形式的解 考虑变系数k p 方程 缸h ( u z + 6 u u + 3 a 2 0 1 u w ) b l u = + k ( x u z - f2 u + 2 y u ，) ( 3 ，1 1 ) + a b l x u ，+ 2 a b l 0 1 = 0 通过变换 方程( 3 1 1 ) 可以转换为如下的双线性形式方程 d 。d ( r ，下 ( d ：7 - 7 + 3 a 2 d ；7 _ 丁) 一b l d 2 - 7 - 叮+ k c x d ：_ r 7 - + 2 r = v + 2 y d z d p 下- 7 ) + a b l x d x 仇r 一下+ 2 a b l 勺下= 0 展开卜述第( 3 1 3 ) 式，我们可得 ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 2 ( 龟7 - 一几) 一2 ( 兀咄。z 7 - 一4 + 3 色+ 3 a 2 勺v 7 - 一3 a 2 霄) 一2 b l ( 丁如r 一) + 2 。老( _ r 一) + 2 k v x r + 4 y k ( 掣f 一7 勺) + 2 x a b l ( t 。掣丁一勺) + 2 a b l 勺7 | = 0 ( 3 1 4 ) 下面将运用p f a f f i a n 技巧得到变系数k p 方程的g r a m m i a n 行列式形式的 多孤子解即证明方程( 3 1 4 ) 有如下的g r a m m i a n 行列式形式的解 r = d e t i a z j 1 ，j s = ( 1 ，2 ，2 ，1 + ) ， ( 3 1 5 ) 1 4 第三章关于变系数k p 方程 1 5 。玎= ( ，j + ) 5 + f i g j d s ，( ，j ) = ( t j ) = o ，。常数， 其中 ，缈( i ，j 一1 ，2 ，n ) 满足以下条件， o 西f , = 8 lo 掰a f , ， ( 2 ，1 舭6 1 蔷= a n 警+ i 2 k 可等+ 曲t 等一z 七丽o f , + 2 6 - 瓦o f , ， 。 哿2 五1 面0 2 9 j ， 2 ，1 ( 3 ”) 警= 她貉一警分貉埘。磐一z 七罄 。 塾，) _ 属幻1 ( 3 1 8 ) 暴门( d 。，略， ，门懈，味幻气 。 r j 、一扩。，矿n 一伊j ( d n ，+ ) 2 南毋，( 靠，i ) 2 南 ， ( d 。，d 。) = ( d 麓，d ：) = ( d m ，d ：) = ( d 。，i ) = ( d ，i + ) = 0 同时通过商接运算，还可以得到 南门一磊1 【- ( d 1 j 咏幻计( d 0 鲥，m ( 3 1 9 ) 羞( 1 ，j + ) = 4 h ( d 2 ，靠， ，j 。) 一( d l ，d i ，i ，广) + ( d o ，啦，t ，j ) 】+ 詈暑，【- ( d 1 ，蝣， ，j ) ao l + ( 如，嘶，j + ) j + x b z - ( d i ，岛，i ，j ) + ( 南，d ，i ，j + ) ) + h i ( 如，瞄，i ，广) - x k ( d o ，蠕， ，j + ) + k ( i ，j + ) ( 3 1 1 0 ) 第三章关于变系数k p 方程 1 6 利用( 3 1 8 ) 一( 3 1 1 0 ) 式的结果，有 下= ( ) ， = ( d 0 ，瞄，) ， = ( d x ，蠕，) + ( d o ，d ，) ， ( 3 1 1 1 ) 7 x x 。= ( 4 2 ，d ：，) + 2 ( d x ，d ，) + ( d o ，呓，) ， 。= ( 如，瞄，) + 3 ( d 2 ，d ，) + 2 ( d o ，瞄，d l ，) + 3 ( d l ，噬，) + ( d o ，呓，) ； 勺= 一丢【一( ? - ，瞄，) + ( d d ，哦，) 】， 嘞= 壶【( d 3 ，d 古，) 一( d 2 ，西，) + 2 ( d 0 ，蝣，d l ，d l ，) ( 3 1 1 2 ) - ( d l ，啦，) + ( d o ，磁，) 】； 和 吒= 4 【( d 。，蝣，) 一( c f ，嫒，) + ( 如，噶，) + i 2 k 可 _ ( d 1 ，蝣，) + ( d o ，d 7 ，) 】+ x b l 卜一( d l ，d ；，) + ( d o ，d ：，) + b l ( d o ，d ；，) ( 3 ，1 1 3 ) 一x k ( d o ，d 5 ，) + 七( ) ， 其中，对于每个p f a f f i a n ( ) 均代表( 1 ，2 ，+ ，2 + ，1 + ) 将上述微分公式( 3 i i i ) 一( 3 1 1 3 ) 代入( 3 i4 ) 式的左边，得到耍f f 下的行列 式的j a c o b i 恒等式，即p f a f f i a n 恒等式的一个特殊的形式 一2 4 h i ( d o ，x o ，d l ，d i ，) ( ) 一( d l ，噬，- ) ( d o ，噶，) + ( d l ，蝣，- ) ( d o ，磁，) ) 】= 0 ( 3 1 1 4 ) 所以就证得了这个p f a f f i a n ( 3 1 5 ) 是双线性方程( 3 1 3 ) 的解 第三章关于变系数k p 方程1 7 3 2w r o n s k i a n 型的p f a f f i a n 解 首先，我们先给出变系数k p 方程的耦合系统 d = d 丁r 一 ( 磁r 。r + 3 。2 d ；2 7 r ) 一6 l 噬7 r + 七( 以哩7 。丁 f 3 2 1 5 ) + 2 r + 2 y k d 7 - 下) + a b l x d z d r 7 + 2 n 6 l 勺1 - = 一2 4 h 孑a ， 。 【2 谚+ 玩一6 c h d , d v + ( 2 k v + x o & 1 ) 巩+ ( z k b 1 ) d = a 7 - = 0 ， ( 3 2 1 6 ) 【2 珑+ d t + 6 0 & d = d v + ( 2 k y + x a b l ) d u + ( z k 一6 1 ) d 。】孑r = 0 ( 3r 2 1 7 ) 在后面的叙述中，我们会发现( 3 2 1 5 ) ，( 3 2 1 6 ) 和( 3 2 1 7 ) 就是变系数k p 方程 的p f a f f i a n 化 通过变量代换 ， u = 2 ( 1 0 9 1 - ) 。， 口= 盯7 - ，石= 孑下 方程( 3 2 1 5 ) ，( 3 2 1 6 ) 和( 3 2 1 7 ) 可以分别表述为 饥一h ( u z 。z + 6 u u + 3 0 2 0 1 u v ) 一b l u f + k ( x u z + 2 u + 2 y u 可) + o & l x u v + 2 0 l b l o 一1 t 正+ 2 4 v 葡 = 0 ， ，z 仇+ 2 h v z 。+ ( 2 k y + z a 6 1 ) + ( x k 一6 1 + r u b ) v = 一6 n ( p + u t p d x ) = 0 ， ， 玩+ 2 玩。+ ( 2 k y + x o r b l ) 玩+ ( x k b l + 6 u h ) 玩+ 6 a h ( + 移u y d x ) = 0 ( 3 2 1 8 ) 我们可以看到，当口= 方= 0 时，卜述方程就是变系数的k p 方程 下面来证明p f a f f i a n 化的变系数k p 方程有w r o n s k i a n 型的p f a f f i a n 解 实质上，p f a f f i a n 化的变系数k p 方程( 3 2 1 5 ) 一( 3 2 1 7 ) 的w r o n s k i a n 型 p f a f f i a n 解可以表示为 r w = ( 0 ，1 ，2 n 一1 ) ，( 3 2 1 9 ) 口w = ( 0 ，1 ，2 n 一3 ) ， ( 3 2 2 0 ) y w = ( 0 ，1 ，- 一，2 n + 1 ) 满足下述条件的w r o n s k i a n 型p f a f f i a n 是存在的， 去，