（基础数学专业论文）一类非线性算子不动点定理的证明.pdf

摘要 本文主要是利用半序方法及单调迭代技巧来研究b a n a c h 空间中非紧非连 续的混和单调算子的不动点存在唯一性问题，以及这类混合单调算子方程组解 的存在唯一性 全文共分四章 第一章中主要介绍了在本文中要用到的一些基本知识和概念，以及混合单 调算子的研究背景和发展进程 第二章中利用半序方法和单调迭代方法与技巧并采用上下解方法，讨论了 这类算子的不动点的存在性和唯一性，给出在更为一般条件下这类混合单调算 子的不动点定理 第三章中用混合单调算子理论及单调迭代方法研究实b a n a c h 空间中混合 单调算子方程组解的存在唯一性，改进和拓展了混合单调算子方程组现有的某 些结果 第四章中进一步研究了混合单调算子的不动点，给出了带仿射扰动的混合 单调算子不动点的存在唯一性及迭代序列的收敛定理 关键词 锥与半序，混合单调算子，耦合不动点，t 一口凹凸混合单调算子，不动点 a b s t r a c t t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ff i x e dp o i n t sf o rac l a s so fm i x e dm o n o t o n e o p e r a t o r sw i t h o u ta s s u m i n gc o n t i n u o u so rc o m p a c th a v eb e e nd i s c u s s e di nt h e r e a lb a n a c hs p a c e ，b yu s i n gt h ep a r t i a lo r d e r i n gt h e o r ya n dm o n o t o n ei t e r a t i o n m e t h o d i ti sa l s oa n a l y s i s e dt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h i so p e r a t o r s e q u a t i o n s t h ef u l lt e x td i v i d e di n t of o u rc h a p t e r s f u n d a m e n t a lk n o w l e d g e 、c o n c e p ta n dr e s e a r c hs u m m a r yo fm i x e dm o n o - t o n eo p e r a t o r sh a v eb e e np r o v i d e di nc h a p t e r1 i nc h a p t e r2 ，t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ff i x e dp o i n t sf o rt h i so p e r a t o r a r eo b t a i n e db yu s i n gt h ec o n et h e o r ya n dm o n o t o n ei t e r a t i o nm e t h o di nt h e g e n e r a lc o n d i t i o n t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fs o l u t i o n sf o rac l a s so fm i x e dm o n o t o n e o p e r a t o r se q u a t i o n sh a v eb e e ns t u d i e di nt h er e a lb a n a c hs p a c ei t h ee r r o re $ - t i m a t ea l s og i v e ni nc h a p t e r3 t h er e s u l t sh a v eb e e ni m p r o v e ds o m er e s u l t sa r e o b t a i n e d i nc h a p t e r4 ，f i x e dp o i n t so fm i x e dm o n o t o n eo p e r a t o r sw e r ef u r t h e ri n v e s - t i g a t e d ，t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s st h e o r e mo ff i x e dp o i n t sf o rt h i so p e r a t o r s w i t ha f f i n ep e r t u r b a t i o nw a sg o t k e y w o r d s c o n ea n dp a r t i a lo r d e r i n g ，m i x e dm o n o t o n eo p e r a t o r ，c o u p l e df i x e dp o i n t ， t o lc o n c a v ec o n v e xm i x e dm o n o t o n eo p e r a t o r ，f i x e dp o i n t 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：至i 堕鑫指导教师签名： 油。年6 月、 7 日知口7 年f 月，7 日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研 究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和 致谢的地方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：王海霞 咖7 年厂月7 日 西北大学硕士学位论文 1 1 引言 第一章绪论 非线性泛函分析，作为非线性科学的重要基础理论和基本工具，已经越来越 受到世界各国学者的广泛关注作为非线性泛函分析的主要研究对象之一的非 线性算子，从上世纪六七十年代起至今，一直是国内外科学研究的一个热点 其基本方法及成果已经广泛渗透到数理、生化、医药、军事、核工业技术及经 济管理等诸多学科领域并且影响着它们的发展 在非线性算子的研究中，由于应用背景的广泛性，用到各种方法，例如半序 方法、单调迭代方法、h i l b e r t 投影距离方法、上下解方法、变分方法等对它 们进行了广泛深入的研究，成果丰富其中混和单调算子是继齐次算子、增算 子、p o - 凹( 凸) 算子( 1 9 7 5 年由m a k r a s n o s e l s k i i 提出的，见文 2 】) 、q 一凹( 凸) 算 子( 1 9 7 7 年由a j b p o t e r 提出，见文【3 】) 、以后兴起的一类算子，由于受到微分方 程、微分动力系统、概率统计、控制论、模式识别等学科的刺激，近年来有了 飞速的发展但是由于这些算子自身具有的复杂性，使得对它们的研究各有不 同程度的困难。事实表明，有一些重要的非线性算子理论问题还需要作进一步 深入细致的讨论 因此，本文的主要工作是：研究混和单调算子的不动点存在唯一性条件；给出 一类混合单调算子方程组解的存在唯一性的证明；讨论带仿射扰动的混合单调 算子不动点的存在唯一性和迭代序列收敛定理 1 2 基本概念与定义 本节及下一节中，对混合单调算子的定义及混合单调算子的研究背景和现 状进行了阐述，同时简明地简绍了我们将要做的主要工作 我们在后面的推导与证明过程中要用到下面的基础知识 设e 是一个实b a n a c h 空间，口是e 中的零元素 定义1 2 1非空闭凸子集尸ce 称为e 中的锥，若p 满足 l 第一章绪论 ( i ) x p ，入o ，贝0 有a z p ； ( i i ) x p 一z 尸，贝0 有x = 0 用尸。表示p 的内点集如果p o p ，则称p 是一个体锥 由锥p 我们可以在e 中引入半序：即vz ，y e ，如果y x 尸则 称z ( 或等价地可记作y z ) 易知此序关系满足下面的半序三公理： ( i ) x y ，y z ，号z z ； ( i i ) x x ，比e ； ( i i i ) x y ，y z ，号x = y 从而使e 成为半序集 若z y ，x ，则可记作x o ，使得当x ，y p 7i i = 1 i = i i ? j l i = 1 时，恒有忙+ y l i 6 以下两个重要结果在后面将要被用到 定理1 2 1 1 1p 是正规锥的充分必要条件为：存在常数n 0 ，使得 当p z y 时，恒有i lxl l n0yi i n 称为p 的正规常数 定理1 2 2 【1 】尸是正规锥的充分必要条件为：任何区间【x l ，x 2 】= x el z 1 z x 2 都是有界的 定义1 2 3p 称为e 中的正规锥，如果对于e 中任何单调递增且有上界 的序列 x n ) 在e 中必有极限即存在y e 使得x l x 2 z n y ，则 存在z + e ，使得i lz n z + i i _ 0 ( n _ o o ) 易知，若p 为正则锥，则p 必为正规锥 设dce ，z e 若对vz d ，均有x z ；同时，从z z l ( 对vx d ) 可 推出z z l ，则称z 是d 的上确界，记为s u pd 若e 中任何有上界的集d 都 具有上确界s u pd ，则称p 是强极小的 对e 中元素x ，y 定义关系”一 ：若存在入 0 ，p 0 ，使得a z y p z ，则 称1 7 一y 可以验证”一”是一个等价关系 记h p 所在的等价类为r ，即 p h = z ：i z e ，| a ( z ) 0 ，p ( z ) 0 ，使得入( z ) z p ( z ) 九 2 西北大学硕士学位论文 显然p hcp 若p 为体锥，h p 。，则p h = p 。 以上诸概念、定理及关于锥的讨论、关于r 的讨论等详 见【l ，3 ，6 ，1 6 ，1 9 ，2 0 等】 郭大钧教授和l a k s h m i k a n t h a m v 教授早在1 9 8 7 年首次提出了混和单调算 子的概念( 见文【5 】) 并对它进行了一些研究，开创了一个新的研究方向，并且得到 了如下结论 设e 是实b a n a c h 空间，p 为e 中的锥，我们在e 中由锥p 引入了半 序乘积空间e e 是一个b a n a c h 空间，其中范数可取 i l ( 茁，y ) | i = m a x l l x l l ，| i 可1 1 ) ，v ( x ，y ) e e 定义1 2 4 i s 设dce 算子a ：d d e ( i ) a 称为混合单调算子，如果a ( x ，y ) 关于x 为增，关于y 为减，即x k ，y k d ，七= 1 ，2 ，当x l x 2 ，y 2 y l 时，必有a ( x l ，y 1 ) a ( x 2 ，y 2 ) ( i i ) ( x + ，y ) d d 称为a 的一个耦合不动点，若( z ，) 满足z = a ( x + ，圹) ，y 。= a ( y ，矿) ( i i i ) z d 称为a 的不动点，如果z + 满足z + = a ( x ，z ) 下面仅介绍文 5 ，6 】中的两个重要结论 定理1 2 3 【5 】设e 是实b a n a c h 空间，p 为e 中的锥，u o ，v o e ，u o v o ，a ： 2 0 ，v o 】 ? a o ，u o 】一e 为混合单调算子，满足u o a ( u o ，v o ) ，a ( v o ，u o ) 咖如果下列条件之一成立， ( i ) p 为e 中的正规锥，a 是凝聚的； ( i i ) p 为e 中的正则锥，a 是次连续的 则a 在 u 0 ，v 0 】 u 0 ，伽】中具有一个耦合不动点( z + ，可+ ) ，它具有如下的最 小最大性质： 对于a 在【u 0 ，u 0 】 u 0 ，伽】中任何耦合不动点( 牙，雪) ，都有z + 牙y ， z + 哥y ，且有l i r a n 。o ou n = z ，l i m ，1 o ov n = y + 其中，u n = a ( u n 一1 ，v n - 1 ) ，v n = a ( 一1 ，“n 一1 ) ，n = 1 ，2 ，3 且u o u l u n z y y n v l v o 定理1 2 4 【6 】设e 是实b a n a c h 空间，p 为e 中正规的体锥a ：p o p o _ 3 第一章绪论 p 。为混合单调算子，满足刍0 1 ，使得a ( t x ， ) t p a ( x ，) ，v t ( 0 ，1 ) ，x ，y p 。 则a 在p 。中具有唯一不动点z + ，且对任意x o ，y o p 。，都有l i m n x n = z + = l i m ，1 o 。 其中，x n = a ( x n 一1 ，y n 一1 ) ，y n = a ( 一l ，x n - - 1 ) ，n = 1 ，2 ，3 ，且有收敛速率 l ix n x + i l = o ( 1 7 矿) ，0y n x + i i = o ( 1 一r 胪) 这里常数0 r 1 依赖于x 0 ，y o 此外，如果( 孟，雪) 是a 的任一个耦合不动点，则必有孟= 雪= x 之后，由于混合单调算子不仅对非线性泛函的理论研究有重要意义，更因为 它重要的理论价值在于结论可以直接解决工程技术，如核技术、生化技术、航 天技术、生态与经济等领域中的许多具体问题，而且对于核物理研究及传染病 模型研究等具体问题有着广泛的应用，因此关于它的研究引起了众多学者的兴 趣，国内外研究成果不断涌现现仅介绍几个主要结论 定理1 2 5 1 7 设p 是e 中的正规锥，札o ，? 3 0 e ，u o 0 ，a ： p hxp h _ r 又假定乱o ，v o p h ，0 入o 1 ，满足u o , 入o v o ，记u n + l = a ( u n ，v n ) ，v n + 1 = a ( v n ，) ，7 , = 1 ，2 ，3 如果存在数列 ) 满足0 a n = a o ( 1 + 吼) n 1 ，a n o n u n u n ，则称【叩礼) 是a 关于u o ， 0 0 ，入。的伴随列 定义1 2 6设a ：dxd _ e 为混合单调算子如果v 0 t 1 ，存 在0 q = q ( ) 1 使得 a ( t u ，i l u ) 垆( 2 ) a ( 牡，u ) ， 其中u ，v d ，u 则称a 为q t 型凹凸混合单调算子 定义1 2 7 设a ：d d e 为混合单调算子如果v 0 t 1 ，u ，v d ，存 在0 0 ，a ： r xr r 为广义q 一型凹凸混合单调算子贝i ja 在r 中存在唯一不动 点的充分必要条件是：3 u o ，伽r ，u osv o 使得 ( i ) t t o a ( u o ，v o ) ，a ( 伽，u o ) v o ； ( i i ) 若存在数a o o 有u o a o v o ，则存在关于a o ，仳o ，v o 的一个伴随 列 ) 满足l i m n 。n r n = i n1 沁 当不动点名唯一存在时，对于v x o ，y o 【u o ，v o ，都有l i m n 。o 。z n = x + ，l i m n _ y n = z + 其中，z n = a ( x n l ，一1 ) ，y n = a ( 一l ，z t l 1 ) ，礼= 1 ，2 ，3 本文第二章中，我们利用锥理论的知识，采用上下解方法和单调迭代技巧，给 出了一类凹凸混合单调算子存在唯一不动点的更为一般的充分必要条件 1 3 混合单调算子的研究背景及现况 上世纪五六十年代，非线性科学得到了飞速发展，至今始终是国内外研究的 热点非线性泛函分析作为非线性研究的基础理论和基本工具，它的基本方法 及成果被广泛应用于数理、生化、经管以及工程技术等方面，它所研究的核心 问题是非线性算子方程解的存在性问题我们现在来看一下下面的非线性算子 方程 a x = z 显然，它的解的存在性等价于非线性算子a 的不动点的存在性( 见文【1 2 0 】) 对于混合单调算子的耦合不动点和不动点的研究现已得到了许多结 果在1 9 8 7 年，郭大钧教授与l a k s h m i k a n t h a m v 教授在锥p 和算子a 满足一定 条件下得到了混合单调算子最大最小耦合不动点存在的充分条件，为进一步讨 论不动点提供了基础 定理1 3 1 【5 】 设e 是b a n a c h 空间，d = 【u o ，伽】是其中的序区间，算子a ： d d e 是一个混合单调算子，满足u o a ( u o ，v o ) ，a ( v o ，也o ) v o 并且下列 四条件之一成立时： ( 1 ) p 是强极小的； 6 西北大学硕士学位论文 ( 2 ) p 是正则的； ( 3 ) a ( d d ) 是相对紧的； ( 4 ) p 是正规的，a ( d d ) 是弱相对紧的 则a 在【o ，i j o 】 u o ，咖 中具有一个耦合不动点z ，! ，它具有如下的最大 最小性质：对于a 在 u o ，v o 】【u o ，伽】中任何耦合不动点( 孟，雪) 都有z + 孟 y + ，z + 雪y + 且有l i m n o 。让n = z ，l i m n - + v n = y + 其中，u 几= a ( u n 一1 ，v n - 1 ) ，v ，l = a ( 一l ，u n 一1 ) ，n = 1 ，2 ，3 1 9 8 8 年郭大钧教授在锥p 为正规锥和算子a 满足一定凹凸性的条件下得 到了混合单调算子存在唯一不动点的充分条件及不动点的迭代收敛和误差估 计 定理1 3 2 1 6 设p 是e 中的正规体锥，a ：p 。p 。_ p 。为混合单调算 子，满足了0 o ) 再若0 p ，则茁x 关于入强减( 0 入l 入2 兮z j 。z ；。) 并 且l i m a l iz 划= 0 l i m a 。0z ；l l = 0 ，l i m a 。o + 0z xi i = 。o 随后，众多学者对混合单调算子进行了广泛的研究，在1 9 9 1 年 文 8 、 9 、【l o 、 1 1 作者等人分别在不同的条件下讨论了此类算子，得到 一系列相关的结论 定理1 3 3i s 若e 为1 一型空间或2 一型空间，u o ，v 0 e ，乱o v o ，a ： 乱o ，v 0 】 u 0 ，v 0 】一e 为混合单调算子，又存在常数p ( 0 ，1 ) ，使 u + q ( ”一u ) a ( v ，u ) ( u o 1 1 , v a ( v o ，u o ) v o ) 则存在仳+ ( v o ，u o ) 使u = a ( u + ，仳+ ) 对于迭代u n + l = u o + a ( 一仳n ) ， n + 1 = a ( ，) ，n = 0 ，1 当e 为1 一型空间，有误差估计p v n u 幸( 1 一o l n ) ( 珈一牡o ) ，口 7 第一章绪论 u + 一仳n ( 1 一o z n ) ( 如一u 0 ) 当e 为2 一型空间，有误差估计i i 札n ( ) 一仳+ 0 n ( 1 一口n ) i iv 0 一u 0i i 定理1 3 4 【8 】设e 为完备的距离空间，a 是e 上的对称压缩算子，指存在 常数0 o t 1 ，使 d ( a ( v ，u ) ，a ( 札，u ) ) a d ( v ，u ) ( u o u ，u l l o ) 且满足u o a ( 咖，v o ) ，a ( v o ，u o ) 如 则a 在 u 0 ，v o 存在唯一不动点u + ，对于迭代 + l = a ( u n ，) ，v n + l = a ( ，t 正n ) ，n = 0 ，1 ，2 ， 有误差估计d ( u ， l z n ( ) ) o l n d ( v o ，咖) 任取x 0 【u 0 ，v o ，令z t l + l = a ( x n ，z n ) ，则有l i m n z n = 仳t 定理1 3 5 【1 1 】 设e 是b a n a c h 空f n - ，d = 【u ，秒】，算子a ：dxd e 为混 合单调算子且满足： ( i ) ( u ，v ) 是a 的耦合上下不动点； ( i i ) a ( d ，d ) 是可分的，且在e 弱序列紧， 则a 在d 中有耦合最小最大不动点 定理1 3 6 【9 】如果p 为正规的再生锥，算子a ：exe e ，若存在正线 性有界算子b ：e e ，l lbl l 0 ) ( a ( d ) 为d 的k u r a t o w s k i 非紧性测 度) 时，a ( a ( d 1 ，d 2 ) ) 口，c o ，使口 a ( v ，p ) u ，a ( o ， ) c a ( v ，p ) ； ( i i ) v o a b o 使a ( t x ，警) t x + r ( t ) a ( x ，可) ，其 中a o ，使p a ( 1 3 ，p ) u ，a ( o ， ) c a ( v ，口) ； ( i i ) v o o i 1 ，使p p ) 且v x o ，y o 口，u 】迭代收敛成 立 定理1 3 1 2 1 4 1设e 是b a n a c h 空间，p 是e 中的正规锥，3 v 0 ，a ： 臼，v 】限u 】一 口，口】为混合单调算子，满足 ( i ) a ( o ， ) 丢1 1 ， t c ( u ，u ) ，u ，口q ，t ( 0 ，1 ) 存在定义在d 上的线性映射b 及e 尸+ ，b 映d 入c 且a = b c ； ( i i ) 存在a 的耦合上下不动点( u o ，v o ) q q 则a 有且仅有一个不动点z + 并且有迭代收敛程序 定理1 3 1 4 1 6 】设( x ，d ) 是完备的度量空间，妒：x _ r 是连续函数，” 是由妒导出的半序，x 0 ，y o x ，d = 【x 0 ，y 0 ，映射，：d d x 是连续的，且 1 0 西北大学硕士学位论文 满足下面的条件： ( i ) ，是混合单调的； ( i i ) ；t o ，( z o ，珈) ；，( 珈，x 0 ) y o 则存在，的耦合不动点( z + ，y + ) d d ，迭代序列z n = a ( x n l ，一1 ) ，y n = a ( 一1 ，x n - 1 ) 分别收敛于矿，旷且z o z 1 z n x + y + y n y l y o ，因此( x + ，矿) 是，的最大最小耦合不动点 近年来，文【1 7 】、【1 8 】、 1 9 的作者等人作了进一步的研究讨论，本文在上述 文献研究成果的基础上，参考并借鉴了关于算子研究的方法和技巧，讨论了一类 混合单调算子，给出了更为一般情况下它的不动点定理以及算子方程组的解的 唯一性 第二章一类混合单调算子的不动点定理 2 1 引言 第二章一类混合单调算子的不动点定理 本章利用锥理论给出t b a n a c h 空间中一类混合单调算子存在唯一不动点 的简洁的充分条件，改进了许多相关文献原有的条件和结论 在1 9 8 7 年，混合单调算子的概念被郭大钧教授和l a k s h m i k a n t h a m v 教授 首次提出并进行了一些研究后，由于混合单调算子对非线性泛函分析、非线性 微分方程和非线性积分方程的研究有重大意义，并已经广泛应用于诸如工程技 术、生化科学、航天技术、生态学和经济学等许多领域中，尤其对核物理研究 及传染病模型研究极为重要因此，有关混合单调算子的研究激起了众多学者的 兴趣国内外已有不少这方面的研究成果，可见文 1 1 1 9 】 设e 是实b a n a c h 空间，p 为e 中的锥，由锥p 在e 中引入了半序 定义2 1 1设dce 算子a ：d d e 如果a ( x ，y ) 关于x 为增，关于y 为减，即钒，y k d ，克= 1 ，2 ，当z l x 2 ，y 2 y t 时，必有a ( x t ，y t ) a ( x 2 ，沈) ，则称a 为混合单调算子 ( z + ，y ) d d 称为a 的一个耦合不动点，若( x + ，y + ) 满足z + = a ( x + ，+ ) ，y + = a ( y + ，z + ) z + 称为a 的一个不动点，如果z + 满足矿= a ( 茁。，矿) 定义2 1 - 2设算子a ：p p _ e 为混合单调算子如果对任意0 t 1 ，都存在0 q = 乜( 亡) 口假 设a ：p h p h _ r 是t q ( t ) 型凹凸混合单调算子 则a 在r 中存在唯一的不动点，记作z + 且对任意初值x o ，y o p h ，作迭代 z n = a ( x n 一1 ，y n 1 ) ，y n = 4 ( 可n 一1 ，x n - 1 ) ，佗= 1 ，2 ，( 2 2 ) 都有l i m n o o z n = z + = l i m n ，y n 证明： 由p h 的定义知h p h ，且可选取t o ( 0 ，1 ) 充分小，使得 t o h a ( h ，h ) t 0 1 h 注意到0 q ( 。) 1 选择充分大的自然数k 使得 ( 譬烃去 令u o = t 3 ，v 0 = t o 七h ，作迭代序列 ( 2 3 ) ( 2 4 ) u n = a ( u n 一1 ，v n 一1 ) ，v n = a ( v n 一1 ，u n - 1 ) ，n = 1 ，2 ，( 2 5 ) 很显然，u 0 ，v o p h ，u o 0 ：u n t ，n = 0 ，1 ，2 则乱n t n v n ，礼= 1 ，2 从而有 u n + 1 u n t n v n t n + 1 ，n = 0 ，1 ，2 ， 于是t n t n + 1 ，t n 是单调不减序列，从而 0 t o t x t n 1 设t = l i m n o 。t n 我们可以证明 事实上，如果0 + ，n n 这是一个矛盾 ( i i ) 对所有自然数1 1 ，t n 矿，这也是一个矛盾 因此，t 。= 1 也即l i m n 。t n = 1 于是，对所有的自然数p ，有 0 u n + p u ，i v n u n v n t n v n 冬( 1 + t n ) v n ( 1 + t n ) 0 v n v n + p v n u n u n k v n ( 1 + t n ) 御n ( 1 + t n ) ，n = 0 ，1 ，2 由锥p 的正规性，可得当n _ o o 时 i i u n 十p u n 0 y ( 1 一t ) j l , o l i _ 0 i i 十p 一i i g ( 1 一t n ) l l v o l i _ 0 其中n 为p 的正规常数因此， u n ) 和 ) 均为柯西序列 由e 的完备性，存在仳，v e 使得u n - 让。，v n 呻矿注意到 是单 调不减序列， ) 是单调不增序列，v n 及p 的正规性和闭性，我们可得 到仳n u v n 从而有，u ，v p h 及 0 u 一u + v n u n ( 1 一t n ) o 因为i i 一u + | | y ( 1 一t ) l l v o i 一0 ，( 礼_ 。o ) ，因此有v = 矿 1 5 第二章一类混合单调算子的不动点定理 令 z 全仳宰= u 下面来证z + 【u 0 ，- o 茭ja 在r 中的不动点 事实上，由 u n + l = a ( u n ，v n ) a ( u ，u ) = a ( x + ，z + ) a ( ，u f l ) = 1 ) n + 1 所以令7 1 , _ 我们可得4 ( z + ，x + ) = z + ，z + 是a 的不动点 再证不动点的唯一性设y 也是a 在r 中的不动点 令r n = s u p o r 1 ：r y + z + r - l y + ) 则0 r t i 1 ，r n y z r 9 1 y + 若0 1 ，则 z = a ( z ，z ) a ( r n 夥，r i l y + ) 碟( h ) a ( 掣，y ) = r 芸( r n ) 可事 同时，我们也有 z 事= 4 ( z ，z ) 月( 7 二1 可，r n y ) 7 孑口( ) 4 ( 可簟，y ) ：r ：口( ) 秒 这表明7 ( ，w ，这是一个矛盾因此，7 n ：1 ，：z 即a 在r 中的不 动点是唯一的 由上面的定理不难得到下面的推论： 推论2 2 设e 是实b a n a c h 空间，p 是e 的正规体锥，a ：尸p p 是 混合单调算子，如果对任意的0 t 1 ，存在0 p 1 ，使得对任意“，口p ，都 有 a ( t u ，t - i v ) t z a ( u ，秽) 成立，则a 在p 中存在不动点x 注2 2 定理2 1 去掉文献【5 中相应结果的上下解的条件， 存在u o ，v 0 p h ，u 0sv 0 ，使得u o a ( u o ，v o ) ，a ( 珈，仳o ) ”因此本文改进和推广了现有的 结果 1 6 西北大学硕士学位论文 第三章一类混合单调算子方程组解的存在唯一性 3 1 引言 关于b a n a c h 空间中混合单调算子方程a ( x ，z ) = z 的迭代求解问题已有许 多研究，而且取得了丰硕成果( 见j 2 1 - 2 6 1 等) 但是对算子方程组的可解性研究 却不多本文讨论了由两个混合单调算子构成的算子方程组的迭代解法，并给出 了几种迭代序列收敛于解的误差估计，所得结果改进和推广了一些相关结论 在1 9 9 5 年，文【2 6 】对序b a n a c h 空间e 中的算子方程组进行了研究，得到以下 结论 设e 是实b a n a c h 空间，p 是e 的锥，在e 中引入半序 定义3 1 1 设x 是b a n a c h 空间，p 是x 中的锥，s 是x 中的一个子集，如 果对s 中的任一全序序列 ) 都存在 z n ) 的子列 x n i ) 及牙x ，使得z n 。若 收敛于孟，则称s 是x 中的拟弱紧集 定理3 1 1 【2 6 】 设e ，五，巧都是序b a n a c h 空j f i ；d = 【仳o ，v o 】ce ；p ic 咒，cy j ( i = l ，2 ，m ，j = 1 ，2 ，f ) 都是正规锥只g 可表示为 f ( u ，v ) = f ( a x ( u ，u ) ，a 2 ( 仳， ) ，a m ( u ，u ) ) ， c ( u ，v ) = g ( b l ( u ，u ) ，b 2 ( “， ) ，b t ( 仳，u ) ) 假定 ( i ) u o f ( u o ，v o ) ，f ( v o ，u o ) v o ；u 0 g ( u o ，v o ) ，g ( v o ，i t 0 ) v o ( i i ) a i ：dxd _ k ，b j ：d d _ 巧都是次连续的混合单调算子，a i ( dx d ) ，岛( d d ) 分别是x ，巧中的拟弱紧集，i = 1 ，2 ，m ，j = 1 ，2 ，2 ( i i i ) 锥pce 是正规的，：x xxx 2 x - e ，9 ：m k m _ e 是次连续的，且关于每个变元都是单调增加的则方程组 瞄_ 有解( 乱+ ， 4 ) d d ，u + = l i r a n 。u 几， + = l i m n y n 1 7 第三章一类混合单调算子方程组解的存在唯一性 其中 u n = f ( n 一1 ，一1 ) ，1 ) n = g ( v n 一1 ，u n - 1 ) ，礼= l ，2 在1 9 9 6 年文 2 3 1 得到了如下结论，假设e 是实b a n a c h 空间，p 是e 的正规 体锥，在e 中引入半序 定理3 1 2 【2 3 】 设算子a ，b ： u o ，v 0 】 咖，如】一e 是两个混合单调算 子，a 是连续的，且满足下列条件： ( i ) 存在常数p ( 0 ，1 ) ，使得 i la ( ，u ) 一b ( u ， ) i i - - - pi lu 一让i | ( u o t 亩一仳n to ( 3 4 ) 由于u 螈i 是任取的，故由( 4 ) 式知： d ( u ，；) 斋 其中d ( ，) 是点集间的距离，由于m 也是任意给定的，故d ( 钍+ ，m ) 斋，从 而d ( u + ，厨) = d ( u ，m ) 南 o ，此与u + 府矛盾。因此必存在i 的子 列u n i k 使得札n ；k u 由( 3 1 ) ( 3 2 ) 知当礼n 奴时，0 仳率一u n u + 一u n 证 由p 的正规性，i fu 一仳ni l l lu + 一u i i ，即l i m n 。o o n = u + 其中( 3 4 ) 式 中的收敛是依范数收敛 用完全类似的方法可以证明 ) 收敛于u + d 由于a ，b 是次连续算子，因为u n u + ，v n _ + ，( 扎一o 。) 故u n = a ( u n l ，v n 一1 ) 弱收敛于a ( u + ，u + ) 同时，= b ( 一1 ，u n 一1 ) 弱收敛于b ( u + ，u ) ，根 据弱极限的唯一性可知a ( u 幸，口+ ) = 乱+ 且b ( v 宰，u 事) = v 搴 由a ，b 的混合单调性及( 1 ) 式，我们可以得到： u o 叫l w 2 z n z n l z l v o 用类似于上面的证明方法我们可以证得u + = b ( 让+ ，u + ) ，u = a ( v + ，乱+ ) 因而 有a ( 乱+ ，v + ) = u + = b ( u + ，u + ) ，a ( v + ，让) = u = b ( u + ，u + ) 2 0 两北大学硕士学位论文 因此( u + ，u + ) 是方程组的耦合不动点 定理3 2 2设e 是实b a n a c h 空间，p 是e 的正规锥，为其正规常 数，u o ，1 ) 0 e ，u o 1 ) 0 ，设a ，b ：【u 0 ，v 0 】【u 0 ，v o 】叫e 为混合单调算子且满足 下列条件： ( a ) 存在常数q ( 0