（基础数学专业论文）不可约根系中子根系个数与chley群子群的联系.pdf

西南大学硕士学位论文中文摘要 不可约根系中子根系个数与c h e v a l l e y 群子群的联系 基础数学专业硕士研究生宋加友 指导教师曹洪平副教授 摘要 本文主要研究了由单李代数己确定的不可约根系西，给出了圣的秩为z 的不可 约子根系的个数，得到以下结果： 定理2 1 设西是z k m 4 ) 型的不可约根系，则圣中秩为z 的a l 型不可约 子根系的个数为 i4 碟 忙2 卯( d n ) = 2 3 铹+ 碟 f _ 3 【2 l c 1 4 f n 一1 定理2 2 设圣是上) n 4 ) 型不可约根系，则圣中秩为z 的d l ( f 4 ) 型不 可约子根系的个数为“( d n ) = c 三 定理2 3 设西是工k 型不可约根系，则圣中秩为f 的不可约子根系只有a ，d l 两种类型，且圣的秩为z 的不可约子根系的个数为 似咖p 砩善一1 定理3 1 设圣是上k 型不可约根系，则圣中秩为f 的且型不可约子根系的个 数为薪( 既) = 殴 定理3 2 设m 是j e k 4 ) 型的不可约根系，则圣中秩为f 的不可约子根系 西南大学硕士学位论文 中文摘要 的个数为 似驴3 定理3 3 设西是一个不可约根系，妒为圣的对偶根系，则垂中秩为z 的不 可约子根系与妒中秩为f 的不可约子根系一一对应，特别的有g l ( 正k ) = g l ( g ) 定理3 4 设1 ，s 2 ，e 。+ l 是欧氏空间j p + 1 的标准正交基，任选其中f + 1 个向量矗。，i ( 1 z n ) ，其中 i 1 ，i 2 ，t l + 1 ) 1 ，2 ，仃+ 1 ) ，则 圣= 西“。m j m ) = 一矗。，l 詹芒f + 1 ) 构成了a 型根系的一个不可约子 根系，且为a 型的特别地，g f ( a ) = 砩疆 定理4 1 一设西是型为的不可约根系，( k ) 为域k 上型为的c h 州a u e y 群，西：】是西中秩为z 的不可约子根系，则对每个不可约子根系圣黔( k ) 中存在 子群；1 ( k ) ，其中n 为西的型，i = l ，2 ，g l ( ) 关键词：不可约根系根系的基秩c h e v a u e y 群 n 西南大学硕士学位论文 英文摘要 t h e o r e m3 2l e t 圣b e 衄h e d u c i b l er o o ts y s t e mo ft y p e 上k ( n 4 ) ，t h e nt h e n u m b e r0 ft h ei r r e d u c i b l es u b 8 y s t e 蝉丽t hr a n kz0 f 圣i s i4 锑+ 砩 z = 2 g ( 玩) = 2 甜1 + 2 砩 3 f n 一1 i 2f ：n t h e o r e m3 3l e t 圣b ea ni r r e d u c i b l er o o ts y s t e m ，a n d 妒b et h ed u 胡r o o t 町僦e m0 f 西，t h e nt h e r ei 8ab i j e c t i o nb 咖陀t h ei r r e d u c i b l es u b s y s t e 塔丽t hr a n k z0 f 西锄dt h ei 玎e d u d b l es u b s ) 僦e 塔而t hr a 丑klo f 妒，8 p e c i a u y g l ( 上k ) = g l ( g ) t h e o r e m3 4l e t l ，2 ，e lb es t a 丑d 盯do r t h 0 9 0 n a lb a 8 i so fe u c n d e 粕s p a c e j 铲+ 1 ，a d yf + 1v e c t o r s l ，幻，e 旬+ l ( 1 z n ) o fe u c l i d e a ns p a j 。ej 妒+ 1 ，a n dt h e i 1 ，如，i f + l 1 ，2 ，佗+ 1 ，t h e n 圣= 西“。，2 ，j l + 1 ) = 旬k 一，1 七t z + 1 ) c o i l s i s t si r r e d u c i b kr 0 0 t8 u b s y s t e mo f 咖ea ，s p e c i a u y g l ( a n ) = c 丢譬 t h e o r e m4 1l e t 圣b e 锄i r r e d u c i b l er o o ts y s t e mo f t y p e ，( ) b ec h e 、，a l l e y f o u po f t y p e o nf i e l dk ，a n d 衅b ea ni 玎e d u c i b l er 0 0 ts u bs ：y s t e mo f 圣丽t hr a n l c f t h e nf o ra n yi r r e d u c i b l er 0 0 ts u b s y s t e m 西黔t h e r ei ss u b g r o u p ：( k ) i n ( k ) ，a n d ；b et h et y p eo f 西扎i = 1 ，2 ，g l ( ) k e yw o r d s ：i 】r r e d u c i b l er o o t8 y s t e mb 踮馏o fr o o t8 y s t 锄 r a n k c h e v l u e y g r o u p 独创性声明 学位论文题目：一丕互约揠丕生壬褪丕仝数生g 垒曼! 垒! ! 曼y 登壬 登鲍送丞 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中已加 了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 学位论文作者：欠加久签字日期：沙睥r 月 1 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密， 口保密期限至年月止) 学位论文作者签名：牝加久 导师签名： 礞唆歹 签字日期：抽。2 年r 月j 日签字日期： 训年厂月 日 西南大学硕士学位论文 引言 1引言 在w b y l 群和仿射w b y l 群的研究中，一个根系的子根系起着很重要的作用，文 献【1 ，2 】研究了任一不可约根系中秩2 和秩3 的不可约子根系，并且给出计数本文 对厶1 ) ，风( 佗2 ) ，g 3 ) ，风之4 ) 型不可约根系进行了研究，给出了 不可约根系圣中秩为f 的不可约子根系的个数，且每个秩为z 的不可约子根系嘲， 在域k 上的c h e 讪e y 群( k ) 中均可找到一个子群j ( k ) 与之对应，我们的计算 依赖于根系的构造关于根系的构造可见文献 3 】为了方便，在此我们仍沿用文献 【3 】中根系和基的定义 定义不可约根系西的c o x e t e r 图为具有1 个顶点的图，并且第t 个顶点与第j 个顶点t 歹用 条边连接起来 当面的c o x e t e r 图出现两条或三条边时。加上一个箭头指向两个根中较短的一 个，这样得到的图称为西的d y n l c i n 图 由经典的分类结果知圣有九种类型为下文引用方便，我们列出了文献 3 】中 不可约根系的d y 出n 图如图1 ，其中= 口1 ，q 2 ，q 。) 是西的基，用i 代表 如( 礼1 ) 型： 风( 扎2 ) 型t g 3 ) 型： 风( n 4 ) 型， 风型t 易型： 岛型： 蜀型： o _ ( ) _ o o 一。 l23n - 1 n o _ c 卜川a = 与o 123i l n o _ c 卜川a = 牟= 0 l23n - l n p n 1 o o o o l23 n 2 。n l3456 134567 13 45 6 78 123 0 _ ( f = o _ 。 1 西南大学硕士学位论文 引言 g 2 型： 图1 不可约根系的d y n l 【i n 图 下面将计算a 。1 ) ，与k m 2 ) ，g ( n 3 ) ，d 。4 ) 型的秩f 不可约子根 系的个数 本文中设e 是有限维的欧氏空间，( a ，p ) 为e 中的内积，记 = 2 ( p ，q ) ( 口，a ) ，设为e 中不可约根系圣的类型，记仇( ) ，9 ：( ) ，夕：，( ) 分别为 西中秩为2 的a ，d l ，岛型不可约子根系的个数，g f ( ) 为西中秩为z 的不可约子 根系的个数日为单李代数工的极大环面子代数，& 为n 次对称群 本文第一节首先探讨了队( n 4 ) ，a i 型的不可约根系的情形，得到了以下定 理。 定理2 1 设西是日。4 ) 型的不可约根系，则垂中秩为z 的a 型不可约 子根系的个数为 i 4 砩 f 2 仂( 队) = 2 3 碟+ 锈 j - 3 【2 礞1 4 z n 一1 定理2 2 设西是c k ( n 4 ) 型不可约根系，则圣中秩为z 的励( z 4 ) 型不 可约子根系的个数为五( 工k ) = 碟 定理2 3 设圣是上) n 型不可约根系，则圣中秩为l 的不可约子根系只有a l ，皿 两种类型。且圣的秩为f 的不可约子根系的个数为 i 4 砩 k2 g f ( d n ) = 2 l c 1 + 砩 3 z n 一1 【1 z = 竹 本文第二节对占0 ，g 型的不可约根系情形进行了讨论，证明了： 定理3 1 设圣是风型不可约根系，则圣中秩为z 的且型不可约子根系的个 数为硝( 风) = 晓 2 西南大学硕士学位论文 引言 定理3 2 设垂是上k 4 ) 型的不可约根系，则圣中秩为z 的不可约子根系 的个数为 刨驴 3 誊 定理3 3 设西是一个不可约根系，妒为西的对偶根系。则圣中秩为2 的不 可约子根系与妒中秩为f 的不可约子根系一对应，特别的有q ( 三k ) = q ( g ) 定理3 4 已知e l ，e 2 ，e n + l 是欧氏空间j p + 1 的标准正交基，任选其中z + 1 个向量岛，i 2 ，e 旬+ 。( 1 z n ) ，其中 t l ，t 2 ，i 件1 ) 1 ，2 ，礼+ 1 ) ，则 西= 圣o “” + 。) = 他。一“，1 老t z + 1 ) 构成了厶型根系的一个不可约子 根系，且为a l 型的特别地，g f ( a 。) = c 暑姥 本文第三节继续对厶，岛，g ，z k 型的不可约根系进行了讨论，并结合c h e v 吐l e y 群的有关知识给出了： 定理4 1t 设圣是型为的不可约根系，( k ) 为域k 上型为的c h e v m l e y 群，西；4 ，是圣中秩为f 的不可约子根系，则对每个不可约子根系西( k ) 中存在 子群 ”( k ) ，其中n ； ) 为圣的型，l = 1 ，2 ，g ( ) 3 西南大学硕士学位论文 主要结果 即可设圣7 是垂的任一秩2 的岛型不可约子根系，7 = q l ，q 2 ，a d 为其一个 基，令q l = a l e 1 一a 2 i 2 ，口2 = a 2 i 2 一a 3 e t 3 ，q l l2a l 一1 s t l l 一入i e i ，q l = a z e 却，其 中凡= 1 或一1 ，i = 1 ，2 ，f 易知西= ( 么q l + z q 2 + + z q l ) n 圣= 圣( n ，i 2 ，曲) 所以垂中秩z 的皿型不可约子根系的个数为卯( 三k ) = 砩证毕 定理3 2 设圣是上k 4 ) 型的不可约根系，则垂中秩为f 的不可约子根系的 个数为 i4 砩+ 暖 f - 2 g l ( 风) = 2 l c 1 + 2 碟 3 z 礼一1 【2 z ：n 证明由引理3 3 ，3 4 及定理3 1 ，显然上k m 之4 ) 型的不可约根系西中含有 a ，皿，最型的不可约子根系，故只需证西中仅含有这三种类型的子根系即可对 a 型根系( g ) = 仕幺士勺；士2 厶l1 t 歹s 佗 ，由于士2 l ( g ) ，但是 士2 e i 毛垂，所以圣中没有局型不可约子根系；对丹型不可约根系圣( 日) 由【3 】中第 1 2 节知，q = ( l e 2 一3 一鼠) 西( 只) ，但西，所以圣中不含只型不可约子根 系；对g 2 型根系( g 2 ) 有p = 一2 e l + 2 + 3 ( g 2 ) ，但是腥圣，所以圣中不含 g 2 型不可约子根系；对于屁型不可约根系西( 风) ，取风型不可约根系的一阻基， 3 一4 ，e 4 一5 ，e 5 一e 6 ，岛一7 ，s 6 + 7 ，一；警la 岛，且警1 九= 1 ，a l = a 2 = 入8 ，显 然r = 一警1 入i e i 勘，所以圣中不含风型不可约子根系，又易知历，晶型不可约 根系分别以晶型不可约根系为其子根系，从上面证明中知圣中不可能含有岛，b 型不可约子根系故西中仅含有a l ，d l ，岛型的不可约子根系从而垂中秩为f 的 不可约子根系的个数为 i4 砩+ 碟 l - 2 g l ( 风) = c 1 + 2 c 暑 3 f 佗一1 【2 f _ n 定理3 3 设圣是一个不可约根系，妒为币的对偶根系，则垂中秩为f 的不 可约子根系与妒中秩为f 的不可约子根系一一对应，特别的有g z ( 五 n ) = g l ( g ) 证明设不可约根系圣中秩为f 的不可约子根系的全体为m = 圣1 ，圣2 ，吼) ， 妒中秩为f 的不可约子根系的全体= 圣( x 西南大学硕士学位论文 主要结果 型的不可约根系与c k 型的不可约根系是相互对偶的，故只需证明m ，之间存在 一个双射即可对任意的饥m ，易知包的对偶根系哗妒，所以哪为妒的 不可约子根系，因此存在唯一的圣u ) ，使得中= 掣因此在m ，之间存在 一个映射妒 下面我们证明映射妒为双射，对蛾，啦m 且吼呜，若存在一个垂( 七) 使得圣( 七) = 哪，圣( 知) = 吖，则掣= 嘭，进而可得啦= 呜，矛盾所以妒为单射 又由西( m ) ，显然有( 垂( m ) ) ”西，所以存在蛾m 使得哦= ( 圣( m ) ) ，也即 掣= 圣( m 所以映射妒为个双射 对忍型0 = 6 ，7 ，8 ) 根系的讨论： 在文献【1 ，2 】研究了置( i _ 6 ，7 ，8 ) 型不可约根系中秩为2 和秩为3 的不可约子 根系，并且给出计数对秩为4 的情况我们能否用同样方法得到呢? 下面的讨论仍 采用文献【1 】的记号 设圣为不可约根系，垂+ ，垂一分别是相应的正根系和负根系q 垂，定义 d ( q ) = 垂iq + p 西) ，d + ( q ) = d ( q ) n 圣+ ，d + ( 口) 的基数记为d ( q ) 可由引理 3 6 得到，q 的高度记为胁( q ) ，即胁( 口) = 胀n | b ，如果q = 庆口若q 圣+ ， 对任意的，y ，d + ( q ) ，记子集q ，p ，y ，的个数记为( 圣) h 为根系的c o x e t e r 数 由圣是单配边的，在文献【1 】中，对q 西+ ，任取p d + ( q ) ，则q ，p 线形无 关且只属于唯一的a 2 型根系，且子集d ，p 可以用同样的方法得到两次，所以圣中 秩为2 的不可约子根系的个数可由下式得到- g 。( 风) = 三( 圣) = 丢触+ d ( q ) 在文献f 2 】中，对q 圣+ ，任取p ，7 d + ( 口) 则a ，p ，y 线性无关，且只属于唯 一的a 3 型根系，而每个a 3 型根系对( 垂) 的作用为3 ，所以圣中秩为3 的不可约 子根系的个数可由下式得到- g 3 ( 晶) = 丢( 圣) = 丢砌+ d ( q ) ( 讹) 一1 ) 由文献【1 ，2 】易知西的秩f ( z = 2 ，3 ) 的子根系个数等于圣中秩为f 的正根系圣+ 的 个数 1 2 婴杲凿些 西南大学硕士学位论文主要结果 令西= 仕q ，士卢) ，则圣中秩为1 的不可约子根系为西i 1 ) = 仕口) ，圣i 2 ) = 土所，且 存在a l 型的单李代数分别以圣i ，圣；2 作为它的根系由定义4 1 域k 上a 1 型的 c h e v 出l e y 群分别为： a i l ( k ) = ， a ( 2 ( k ) = ， 而a ，( k ) 是最简单的c h e 、，a u e y 群且a # ( k ) 竺l 2 ( k ) 5 】 当不可约根系圣的类型为a 3 型时，对圣中秩为l 的子根系垂f 都存在a l 型的单李代数以圣作为它的根系，由定义4 1 和引理4 2 ，知在域k 上a l 型的 c h e v a 1 】e y 群为， a f ( = 竺l 2 ( k ) 对垂中秩为2 的不可约子根系西g 存在a 2 型的单李代数以西g 作为它的根系，且 在域k 上a 2 型的c h e v a h 呵群为 a 箩( k ) = 笺l 3 ( k ) 当不可约根系圣的类型为厶型时，对圣中秩为z 的子根系圣：都存在a 型 的单李代数以西 作为它的根系，且在域k 上a 型的c h e v a l l e y 群为， a ：( k ) = 型l l + l ( k ) 相仿的，当不可约根系雪的类型分别为b 。，g ，队型时，对圣中秩为z 的子 根系圣；都存在扇，a ，日型的单李代数以西；作为它的根系。且在域k 上的型为 b l ，a ，现的c 酬l e y 群分别为， 硝( k ) = 竺d 盈+ 1 ( k ) c ：；：( k ) = 鲁( k ) d ( k ) = 型d 刍( k ) 注：由上面的定理知，对不可约根系圣的秩为z 的不可约子根系圣”在c h e v a l l e y 群( k ) 中至少可以找到一个子群l ( k ) 1 5 西南大学硕士学位论文问题与思考 问题与思考 前面我们讨论了型的不可约根系西的不可约子根系，并给出其计数，又由本 文第四节我们知道不可约根系西中每个秩为2 的不可约子根系奶都可以找到一个 c h 训l e y 群( k ) 的子群f ( k ) 与之对应 问题1 任意两个不同的不可约子根系所对应的c h e v a l l e y 群( k ) ( i =