（基础数学专业论文）空间形式中的极小子流形及常均曲率超曲面.pdf

摘要 本文研究空间形式中的极小子流形和常均曲空超嶂面。 首先研究球空间s ”，中的紧致极小子流形，通过计算并估计g a u s s 映照的能 量密度的l a p l a c i a n ，给出了关于予流形的r i c c i 曲率及第二基本形式长度平方 的“夹击”定理，由此改进了潘养廉的一个结果。 其次考虑l o r e n t z 一妣n k o w s k i 空间r ? “中的类空旋转w 超曲面，获得了这种 超曲面的生成曲线所满足的微分方程，在给出这种超曲面的滚动构造后，将生成 曲线的微分方程的求解转化为对应的滚动曲线的微分方程的求解，这是三维欧式 空间中d e l a u n a y 滚动构造定理的推广。 再次考虑d es i t 旦空间中常均曲率的类空超曲面，获得了一个外在刚性定 理和两个内在刚性定理，这些定理部分地回答了g o d d a r d 猜测，即：d es i t t e r 空间中常均曲率的完各类空超曲面必是全脐的。我们还给出了d es i t t e r 空间中 类空旋转超曲面的一个存在眭定理。 最后考虑复双曲空间中的等参超曲面，对于n = 2 ，给出了两个定理，其一， 削弱了8 e r n d t 分类定理的条件。其二，解决了v e r n o n 遗漏的一个问题。另外， 我们获得：复双曲空间中的实超曲面为等参超曲面当且仅当它的每个平行超曲面 有常均曲率，这一结果是c a r t a n 在实空间形式中一个定理的推广。 a b s t r a c t t m s p a p c rs t i l d i e sm “血a ls u b m 越f o l d sa n dh y p e r s u 血c e sw i 血c o n s 眦m e a n c u r v a n l r 访s p a c ef o r m s f i r s yw e c o n s i d e rt h ec o r n p a c tm i n i r n a ls u b m a i l i f o l d si 1 1m eu n i ts p h e r cs 斛9 a f b e rc a l c u l a t i n ga n de s t 蚰a t i n gm e l 印l a c i a no f t h ee n e r g yd e n 8 时o f g a u s sm 印，w e 垂v ea p i n c h i n g ”也e o r e m 埘l i c hi n v o l v e st h er j c c ic l l a ：七i l r ea n dt h es q u a r eo f t 1 1 e l e n 甜ho f m e s e c o n d 丘m d 暑l m e n t a lf o n n ，m e r e f o r ei m p r o v e s 出ep a i l sr e s u l t s e c o n d l y ， w ec o n s i d e r也e s p a c e l 岫 r o 诅t i o n a l w h y p e r s u 如e s i i l l o r e n t z ，m i 士l k o w s h s p a c e 钟，o b t a i t l m ed i 脏r e n t i a l e q u a t i o n so f 妇g e n e 瑚咖g c u r v e so f 恤s e h y p e r s l l r f - a c e s ，a n dg i v e 也er o i i i n gc o n s 仃l 州o no f 血e s eh y p e r s u l 白c e s t l l i sd e m o n s t r a t e s 也a ti ti s a l w a y sp o s s i b l e t ou s em er o l l i n gc o n 蚶u c t i o nt 0 f o r mm e p r o b l c m o f s o l v m g 也ee q u a t i o i l so fg e n e r a t i n gc u e st 0 也ep r o b l e mo f s o l v i n g t l l ee q u a t b n so f c o r r c s p o n d i n gc u r v e s ，w h i c h i sa g e n e r a l i z a t i o no fd e l a u n a y s r 0 1 l i n gc o n s 咖c t i 曲i n3 d i l n e n s i o n a le u c l i d e a ns p a c e t h i r d l y w ec o t l s i d e r 也eh y p e r s l l d 沁e s 诵t hc o n s t a n tm e a nc u 栅e 址d es i t t e r s p a c e a ne x t r ar i 西d i 谚t h e o r e ma n dt w oi 衄e rr i 酉d i 母t h e o r e m sa r ed b t a i n e d t h e s e t 王i e o r e m sa i l s w e rp 删y 也eg o d d a 匝寸sc o 面e c n l r e ，i e c o m p l e t es p a c e i i k e h y p e r s u r f a c e i v i t l lc o n s t a n tm e a nc u a t u r em u s tb e 曲i l i c a l w ea l s o 百v e 柚e x i s t e n c e t h e o r e mo f s p a c e l i k er o 协t i o n a lw - h y p e r s u r f a c ei nd es i t 【e rs p a c e f i n a l l yw e c o n s 试c rm e i s o p a r a 玎1 e 越ch y p e r s u 血c ei nc o m p l e xh y p e r b o l i cs p a c e w h e n n - 2 ，w e o b t a i nt v m t 1 1 e o r e m s ， o n ew e a k e n st 1 1 e c o n d i t i o no fb e m d r s c l 船s i f k a t i o nt h e o r e m ，也eo 血e rs o l v e sm ev i 舶1 0 n ，sp r o b l e m a l s o ，w eo b t a i nt h er e a l h y p e r s l l r f 她ei nc o m p l e xh y p e r b 0 1 i cs p a c e ，w l l i c hi si s o p a r a m e t r i ci fa n do n l yi fe a c h p a m l l e lh y p e r s u r f h o fi th 嬲c o n s t a n tm e a i lc u r v 时眦e t 1 l i si sm e g e n e r a i i z a t i o no f c a r t a n ，st h e o r e mi nr e a l a c ef o m l s 第一章概论 近半个世纪以来，极小子流形的研究一直方兴未艾。1 9 6 8 年，s i m o n s 1 首先证明了：球面s ”，中的n 维紧致极小子流形m ，如果它的第二基本形式长 度平方s 门，( 2 1 p ) ( 等价地，数量曲率月以0 一1 ) 一订( 2 1 p ) ) ，则m 是 全测地的或者s = 刀“2 l p ) 。1 9 7 0 年，c h e r e d o c a r m o k o b a y a s h i 2 获得： 当s = n ( 2 1 p ) 时，m 是全测地的，或c l i f f o r d 环面，或s4 中的v e r o n e s s 曲面。同时，他们问：有s n ，( 2 一l p ) 的值吗? 若有，它是多少? 这就是“第 二空隙”问题。关于这一问题，首先取得突破的是p e n g t e r n g 3 ，他们指出： 如果s ”中的紧致极小超曲面m 的第二基本形式长度平方s ( 常数) n ，则 s 月+ 1 1 2 月。后来，许多几何学家继续攻克“第二空隙”问题( 见 4 、 5 、 6 、 7 、 8 、 9 ) ，但问题至今未能解决。关于r i c c i 曲率最好的“夹击” ( p i n c h i n g ) 是e j i r i 1 0 给出：如果s ”9 中n 维紧致极小子流形m 的r i c c i 曲率r 。胛一2 即4 ) ，则m 是全测地的，或即= 2 七，m = s 。( 1 2 ) s ( 1 2 ) ， 或订= 4 ，m = c p 2 ( 4 3 ) 是s 7 中的极小予流形，其中c 尸2 ( 4 3 ) 表示截面曲率为 4 3 的2 维复射影空间。对于n = 3 ，上述结论由沈一兵 1 1 获得。关于截面曲 率也有很好的“夹击”结果。 以上“夹击”问题均是通过计算某个量的l a p l a c i a n ( 或高阶共变导数) 并加以估计而得到相应结果。 另一方面，调和映照理论与子流形微分几何密切相关，例如：当m 是球 面s ”9 中的极小子流形时，它的g a u s s 映照g ：m 斗瓯+ l 。是调和映照( 见 1 2 ) ，我们通过计算g a u s s 映照g 的能量密度e ( g ) 的l a p l a c i a n 并加以估计， 获得 定理2 、2 设】l l 是球面s ”，中的n 维紧致极小子流形，s 表示m 的第二 基本形式长度的平方，q ( x ) 表示子流形m 在x 点处r i c c i 曲率的下确界，若对 v x m ，q ( x ) 2 一1 ) s ( 曲h ，且存在m ，使得q ( ) 2 0 1 ) s ( ) ，n ， 则m 是全测地的。 在过去三十年中，l o r e n t z m i n k o w s k i 空间r ? “和d es i t t e r 空间s 中 常均曲率类空超曲面的研究显得十分重要，原因之一是这些超曲面的研究在广 义相对论中十分有用( 见 1 3 、 1 4 、 1 5 、 1 6 ) ，另一个原因是这些超曲 面表现出很好的“b e r n s t e i n 类型”，即：它们是线性子空间、全脐的或是全 测地的( 见 1 7 、 1 8 、 1 9 、 2 0 、 2 1 、 2 2 、 2 3 ) 。证明“b e r n s t e i n 类型”问题，实际上是求解相应的偏微分方程，这是十分困难的分析问题。然 而，在某些情况下，有一定的对称性，利用这些对称性，可把偏微分方程问题 转化为常微分方程问题。开创这一方向的首算d e l a u n a y 2 4 ，1 8 4 1 年，他获 得如下著名的滚动构造定理：如果在平面上沿一条定直线滚动一个二次圆锥曲 线，然后绕那定直线旋转二次圆锥曲线焦点的轨迹，则获得r 1 中的旋转的常 均曲率曲面；反过来，所有这样的曲面( 除球面外) ，均可通过以上方式获得。 时隔1 0 0 多年，从1 9 8 1 年起，项武义等人对上述构造定理从各个方向上加以 推广( 见 2 5 、 2 6 、 2 7 、 2 8 、 2 9 、 3 0 、 3 1 ) 。 设m 是r ? “中的类空超曲面，如果m 的n 个主曲率 ，旯：，丑。的第m 阶 基本对称多项式盯，( ， 。) = r 丸是常数( 1 m n ) ，则称m 是吒型 的w 超曲面。我们获得 定理3 、1 设m 是五中盯。型类空的w 超曲面，则它的生成曲线q 由 下列方程确定 ( ：1 1 1 ( 量 ”；+ ( 二一1 量 ”= c 一，” ：一1 ) 一。， m 竹 厂o 、“o l 兰l = ( 一1 ) “吃 ，m = ” 这里“主”表示x 对弧长s 的导数。 通过滚动构造，我们给出q 的对应曲线r 的微分方程( 定理3 、2 ) 并明 晰地求出了它的解( 定理3 、3 ) 。 对于d es i t t e r 空间s 一( ，) 中的常均曲率超曲面，著名的g o d d a r d 猜测 1 4 是：s ? “( ，) 中的具有常均曲率完备类空超曲面必是全脐的。1 9 8 7 年， a k u t a g a w a 3 2 获得：当日2 2 ) 及2 1 ( 兀= 2 ) 时，g o d d a r d 猜测是正确的；1 9 8 8 年，m o n t i e l 3 3 在紧致条件下使用积分公式证明了 g o d d a r d 猜测是正确的，同时，他指出：当日2 4 0 1 ) n 2 时，上述猜测是错 2 误的。许多几何学者在g 。d d a r d 猜测上做了大量工作( 见( 3 4 、 3 5 、 3 6 、 3 7 、 3 8 ) 。 我们先考虑群“( ，) 中的具有常均曲率紧致超曲面的外在刚性，获得 定理4 、1设m 是s ? “( ，) 中的具有常均曲率紧致类空超曲面， x ：m 斗s ，( ，) 仁f “是位置向量，p 。是m 在并“( ，) 中的单位法向量场，如 果存在一个固定向量v ，使得函数g = ( 8 。，矿) 保号，则m 是全脐的a 其次我们考虑m 的内在刚性，即有 定理4 、2 设m 是s ? “( ，) 中的具有常均曲率h 紧致类空超曲面，( 1 ) 如 果圳2 b 。，则m 是全脐的；( 2 ) 如果第二基本形式长度平方s 是常数且小于 等于2 6 2 ，则m 是全脐的或等距于h 。( 1 一c o 血2 f ) s ”2 ( 1 一t a n h 2 f ) ( t 为正 常数，1 k n ) ，这里的线性映射庐：已m 斗乙m 由以下关系式所确定 ( 垂z ，y ) = h ( x ，y ) 一( 丑x ，y ) 日h 是 ( x ) = x 2 一玎m 一2 ) 胁h 0 一1 ) + ”( 1 r 2 一日2 ) = o 的正根的平方。 对于s ? “( r ) 中的类空旋转w 超曲面，我们获得以下存在性定理 定理4 、4 给定r ”1 内开集( 0 ，) ”1 上个c 1 函数 。= ，( ，五。) m 2 ) ，一定存在田“( ，) 中的类空旋转超曲面m ，使得m 的主曲率 ，九恰 有上述函数关系。 若实空间形式”。( c ) 中的超曲面m 的主曲率 ，丑。都是常数，则m 称 为等参超曲面。胄”1 中的等参超曲面为球面s “或柱面s 月”( 1 k n ) 。 1 9 3 8 年，c a r t a n 3 9 获得一个基本恒等式 三：二m j ( c + 。 ) ( 一) = o ，1 f g ， ，t r 其中g 为不同主曲率的个数，删。为相应主曲率 ，兄。的重数。由 此可得：当c o 时m 最多有两个不同的主曲率，且m 是全脐的或是s 日”2 ( 1 月一2 伽4 ) ，则m 是全测地的；对于n = 3 ，上述结 论由沈一兵 1 1 获得。p e n g t e r n g 3 ，考虑第二空隙问题，获得：如果s ”1 中 的紧致极小超盐面m 的第二基本形式长度平方s ( 常数) 大于n ，则s 大于 n + l 1 2 n 。最近，d e s h u k h 5 0 考虑数量曲率r 大于n ( n 一2 ) 的夹击，得到了很 好的结果。 另一方面，我们知道，使用g a u s s 映照去研究子流形的性质是一个有力的 工具。当m 是球面s ”，中的极小子流形时，它的g a u s s 映照g ：m 呻g 。是 调和映照( 见 1 2 ) ，我们通过计算g a u s s 映照g 的能量密度e ( g ) 的l a p l a c i a n 并加以估计，获得了一个积分公式，由此得到一个夹击定理。 2 、1 基本公式 设m 和n 分别是m 维和n 维r i e a n n 流形，慨，p 。 和试，瓦) 分别是m 和n 的局部正交标架场，扫， 是k ，j 。) 的共轭标架场，硒，历。) 是 i ，瓦 的共轭标架场。约定指标范围： i ，j ，k ，= 1 ，2 ，m ：a ，b ，c ，= 1 ，2 ，n 重复指标表示求和。这样m 的结构方程是 d j = 珊f 珊，国f + 珊，r = o 如f = n + q ( 2 、i ) q 。= 一：胄茹。、珊。 这里。；，和o 。，分别是m 的联络形式和曲率形式。n 的结构方程是类似的。 设，：时寸是c 。映射，令 ，( 亩) = ，国。 ( 2 、2 ) 这里厂是f 的拉回映射。为了方便起见，在不引起混淆情况下，省去， 中的“ ”号。外微分( 2 、2 ) 并利用结构方程得到 d 口 珊。= o ( 2 、3 ) 其中d 口。表示口。的共变导数，定义如下 d 口出= 出 。+ 乜由珊一十d 日历肌 ( 2 、4 ) 令d a = 日u 脚j ，则( 2 、3 ) 及c a r t a n 引理表明 日栅= d 枷 ( 2 、5 ) f 的能量密度是 e ( ，) = 去( 口。f ) 2 ( 2 、6 ) d ，r ，j 定义2 、1 ( 见 5 2 ) 如果 口。= o ， a = 1 ，2 ，n ( 2 、7 ) j 则称f 是调和映照。 进一步，规定 m 却2 口卅吼 ( 2 、8 ) = 幽“+ 口脚“+ a 瞳c + d 占口历删 并对( 2 、4 ) 外微分得 因此 d 日口 国j = | 口k q “+ 口埘q 丘d a 噼一d 崛= 一d 雕r 鼍一n 8 一c k qd j r 岂c d 这样，口h ，的l a p l a c i a n ( 2 、9 ) ( 2 、1 0 ) 幽。= 口。谢= 口枷= o 彬一口r 善一口毋d 。r 盖) ：( 艺+ r 囊瑙。：印口a 亿1 1 6 如果f 是调和的，则 口山= r 多口冉一r 盖c d 口毋口口口删 ( 2 、1 2 ) f 能量密度e ( ，) 的l a p l a c i a n 是 p ( ，) = ( ( 口。) 2 ) 7 = ( 口叫) 2 + 口。口m 。 j 一， ( 2 、1 3 ) = ( n ) 2 + r 口， f r 盖c 口4 坷口。口埘口出 。f ，j 现在令n 是n + l 维球面s ”p ，：m 斗s ”9 是等距浸入。将s ”9 嵌入在 欧式空间r ”川中，使得球面的中心位于原点。设工：s ”9 斗r ”是位置向量， 则x 是s ”，在r ”川中的一个单位法向量场。用g 。，表示r ”p 1 中通过原点 所有的n + l 维平面组成的g r a s s m a n n 流形a m 的g a u s s 映照g ：村呻吒+ 1 ，规定 为：对于每个x e m ，g ( 表示由t m 与向量x 生成的n + 1 维平面。现在约 定 爿，口7 ，c ，= 0 ，1 ，2 ”，行+ p ；f ，_ ，7 ，七，= o ，1 ，2 ，珥口，卢，y ，= n + 1 ，甩+ p 设目表示特殊正交群s 0 0 + p + 1 ) 上的m a l l r e r c a n a n 标架，那么 d 目 ，= 乩， 岛 ( 2 、1 4 ) g ，的度量为( 见 5 3 ) ： 畦。= 。) 2 j ，f ( 2 、1 5 ) g 月+ 1 ，的联络形式是 8 i t 8 “= 5 r r 8 + 6 一i ，r ( 2 、1 6 ) 其中，当4 = 丑对，占= l ，当b 时，以f = 0 。 对于g a u s s 映照g ：吖呻g 扎，由( 2 、2 ) 知 g _ ) = 口町脚 ( 2 、1 7 ) 这样便有( 见【5 3 】) 口。o = o = 向。”，口砷= 耐，。o 业= 一吃非，4 删女= ，锄 ( 2 、1 8 ) 这里是m 在s ”9 中的第二基本形式的分量由此可得 定理 1 2 设厂：一+ 是等距浸入，g ：斗瓯“。是对应的g a u s s 映照，则f 极小充要条件是g 调和。 2 、2 夹击定理 定理2 、1 设m 是球面s ”9 中的n 维紧致极小子流形，s 表示m 的第二 基本形式长度的平方，q ( x ) 表示子流形m 在x 点处的r i c c i 曲率的下确界，那 么 l s ( q 一2 0 一1 ) s 刀) d s o ( 2 、1 9 ) 证明由于g a u s s 映照g 是调和的，对g 应用b o c h n e r 公式( 2 、1 3 ) 并 注意到口。= 0 ，得到 e ( g ) = 芝：口知+ r 口刖d 埘一j t ：；沾函口。口疗，口，蛔c z 西 ( 2 、 g ，f ，j 2 0 ) 现在逐项对( 2 、2 0 ) 式进行估计。 首先，从( 2 、1 8 ) 知 口知= 刚2 口，f ， 这里v 向表示m 的第二基本形式h 的梯度。 其次，由于( 硝) 是胛竹实对称矩阵， 即丑= 丑以，z ，f - 1 ，2 ，h 。这样 ( 2 、2 1 ) 故可取到特殊标架，使其对角化， 硝d 剧= 略2 q 略= 筘 ( 2 、2 2 ) p j i0j | 最后，对于m 上的局部正交标架场k ，。) 及共轭标架场扫，甜。) ，设 筢。) 和协。) 是g 。，上的相互共轭标架，令g ( 巳) = 屯。，则 6 。= 只k ( 6 * - 瓦，) = 砩。( g 0 。) ) = g ( 啡。) 0 。) = ( d 。t 珊i ) ( p 。) = d 。_ 用盯( g 瓴) g ( b ，) ) 表示g 。，中由g 蛾) 与g 0 ，) 生成的二维平面，由于 r “4 ( g 。( 8 。) g 。( 8 ，) ，g 。( e 。) ，g ( e ，) ) = 口脚。口摩。口，h a h r ：写 上式关于u ，v 不求和。于是 口。口序，o 。( ，。r ：品= 七( 盯( g 。( g 。) ，g 。( p ，) ) ) i g ( 屯) g ( p ，) i 上式关于u ，v 不求和。由于0 j 【p ( g 。( 8 。) ，g ( e ，) ) ) 2 ( 见( 5 4 第3 7 页) ，从 而 口删口加口向d 跏r 茹函 = i ( 盯( g ( 屯) ，g ( q ) ) ) 【( 磕) ( 磕) 一( ) 2 】 2 【s 2 _ ( 虬。矗。) 2 1 令 k 。k 2 玩， 则( 五。，) 是h h 实对称矩阵，故可取到特殊标架，使其对角化，即存在n 个 函数“，凡，使得 。，= 以占。，u ，v = 1 ，2 ，n - 利用s c h w a r z 不等式可得 善昧= 善：( 莩以) 2 = 去( 莓吃= ：s 2 这样 口触目。r 2 伽一1 ) s ( z 。) h ， 则m 是全测地的。 证明因为对坛e m ，q ( 砷2 0 一l ( 工) ，月，所以从( 2 、2 4 ) 知e ( g ) 是m 上的非负次调和函数，另外m 是紧致的，故由h o p f 极值原理知，e ( g ) 是 常数。又存在m ，使得q ( x 。) 2 印一1 ) s ( ) ，月，从而由( 2 、1 9 ) 式知道 s ( x 。) = 0 ，由于s ( x ) = 2 e ( g ) ，故s = 0 ，即m 是全测地的。 9 、 2 、3 附注 使用上面的方法，可以改进潘养廉 5 5 中的结果为 l ，s ( q 一2 ( ，l 1 ) s h ) d 巧h o ( 2 、2 5 ) 其中m 是r “川中具有平行平均曲率向量的n 维紧致子流形。 现在设m 是球面s ”中的n 维紧致极小子流形，则( 2 、1 9 ) 式成立。注 意到m 也是r ”川中具有平行平均曲率向量的n 维紧致子流形，这样( 2 、2 5 ) 式也成立。自然要问：哪一个结果好些? 为了回答这个问题，用r 。、r 。，和s 分别表示m 在球面s ”，中的截面曲率、 r i c c i 曲率和第二基本形式长度的平方，用屯、豆。和j 表示m 在r 一+ 中的 对应量。由g a u s s 方程知 = 1 + ( k 一) ( 关于i j 不求和) r = 1 + 击署k ，一) ( 关于i 不求和) 令膏= 一。，则阮+ l ，f = 岛，并且毛= 且w ，冠= 咒，j = n + s 。这样( 2 、2 5 ) 变成 l 每( 互一2 0 1 ) 雪”) d = l ( s + ”) ( q 一2 一1 ) s ，z 一2 0 一1 ) ) d o 由此可见，( 2 、1 9 ) 比( 2 、2 5 ) 更加精细。 1 0 c 第三章l o r e n t z 叫i n k o w s k i 空间中旋转超曲面 1 8 4 1 年，d e l a u n a y 2 4 获得如下著名的滚动构造定理：如果在平面上沿 一条定直线滚动一个二次圆锥曲线，然后绕那定直线旋转二次圆锥曲线焦点的 轨迹，则获得矗3 中的旋转的常均曲率曲面；反过来，所有这样的曲面( 除球 面外) ，均可通过以上方式获得。1 9 8 1 年，h s i a n g y u 2 5 推广d e l a u n a y 定理 到尺”。中具有常数平均曲率的旋转超曲面。1 9 8 7 年s t e r l i n g 2 8 推广 d e l a u n a y 定理到实空间形式中的d 。型旋转w 超蓝面。对于( 1 ，2 ) 型 l o r e n t z m i n k o w s k i 空间群中的常均曲率曲面，h a n o n o 毗z u 3 0 获得了类似 的滚动构造定理。本章考虑高维l o r e n t z m i n k o w s k i 空间r f 中的旋转w 超 曲面( 见 5 6 ) 。 3 、1 约化的常微分方程 在这一节，我们处理l o r e n t z - m i n k o w s k i 空间r ? “中类空的盯。型旋转w 超曲面的约化常微分方程。为此，首先给出丑? “中o ( 1 ，n 一1 ) 变换下轨道几 何的描述。为直观起见，以点? 为模型加以叙述( 见 5 7 ) 。 在r 3 中，选取一组自然基底p 。，q ，e ：。考虑非退化对称双线性形式 g ( x ，y ) = 一x o y o + x 。y 。+ x 2 _ y 2x ，y r 3 设o ( 1 ，2 ) 是g 的正交变换群，即 d ( 1 ，2 ) = ( 爿g z ( 3 ；r ) ；g ( 爿x ，4 y ) = g ( x ，) ，) ，x ，y 胄3 ) = ( 4 g z ( 3 ；r ) ；4 嘲= s ) 其中6 z r ) 表示实数域r 上的一般线性交换群，“表示a 的转置，s 是主 对角矩阵，主对角线上的元索是一1 ，l ，1 。一个矩阵a = ( 。：) ( o i ，j 2 ) 属 于o ( 1 ，2 ) 当且仅当三个列向量，q ，口：满足 g o ，口o ) = 一l ，g ( 吼，吼) = i ，g 2 ，a 2 ) = 1 ，g 。，口，) = o ，( o i o 。这里及以下“”表 示对口的导数。现在取r 的焦点( 二次圆锥曲线总是有焦点的) 作为极坐标系 的原点，当r 在x 轴上作无滑动的滚动时其焦点的轨迹形成一条曲线q ，且总 可使q 位于x 轴下方。于是q 的方程可以写成 x = 一 。一r s h 牵y = 一r c h 母 ( 3 、4 ) 其中= ( s ) 由以下事实决定：船 等于r 的位置向量厅= p ( 曲口，r p ) 曲口) 与r 的单位切向量五例= 1 ，2 一，“( r 锄日+ r 咖口，r 拍目十瑚 臼) 的l o r e n t z 内积。这样 幽庐= ，r 2 一，“，拍= ，、r2 一，“( 3 、5 ) 由于毋= 曲妒善，故q 的切向量( x ，y ) 正交于( 曲庐，如庐) ，即 x 0 而庐一y 拍庐= s 向庐- 善一，= o 因此q 是正则的且q 为类空曲线当且仅当r 的曲率不为零。以下总假设这个 条件。 现在选取q 的弧长s 作为参数，使得( 童，岁) = ( c 彬，幽) ，这里及以下 “”表示对弧长s 的导数。于是从( 3 、4 ) 得 ，= 一，c + y 咖 c h 2 庐2 一踊庐( 1 + ，庐) ( 3 、6 ) 毒= 量+ 打厅+ ，c 庐= ( 1 + r 庐) ，如庐 ( 3 、7 ) 由于善是r 的弧长，从而衅= r 2 一，“d 占，故d 臼= 蟛2 + 咖2 ，选取口增 加方向为。的弧长s 增加的方向，则从( 3 、6 ) 和( 3 、7 ) 得到 臼= ( 1 + r ) ，r ( 3 、8 ) 由于善 o ，结果( 1 + ，) o ，因此q 的曲率中心决不位于x 轴上。 反之，如果q 是类空的且位于下半平面，其曲率中心决不位于x 轴上， 则存在曲线r ，使得q 是r 沿x 轴滚动时其焦点的轨迹。事实上，在假设的条 件下，总有百= ( 1 + ，) ，r o ，因此它不变号。选择适当的起点( x 。，儿) ，使得 5 = 0 时口= o ，这样 占= 口( s ) = 【( ( 1 + r 庐) ，) 凼 是s 的严格单调函数，由此解出j = j p ) ，并把它代入y = 一陀自矿而得到一个极 坐标方程为，= ，( 口) 的曲线r ，直接验证可知：当人们在x 轴上滚动曲线r 时， 它所携带的极坐标系的原点( r 的焦点) 的轨迹恰是n 。总结以上，得到 性质3 、1 ( 见 3 0 )设r 是形如( 3 、3 ) 式的类空曲线，q 是r 沿x 轴滚动时其焦点的轨迹，如果r 的曲率决不为零，则q 是类空的且曲率中心决 不位于x 轴上：反之，如此n 总是一条给定类空曲线r 沿x 轴滚动时其焦点的 轨迹，且在x y 一平面上的l o r e n t z 变换下是唯一的。 设“是r ? “中类空的旋转超曲面，其轮廓曲线。如上所述，现在证明上 节的引理3 、l 。 设n 的弧长参数化为 z = z ( j ) ，= y ( j ) ( 3 、9 ) 令面= 0 ，y ) ，那么办= ( 膏，岁) 且未2 = 膏2 一户2 = 1 ( q 是类空的) 。这样卉= ( 幽矿， 曲矿) 且单位法向量打= ( 曲砂，曲) 。又因为舀上五，由此可得姑一弦= 0 。 于是膏j = | = 歹j = ，其中是q 的一个曲率。 直线 ( 工，) + ，( ，膏) = o + 眵，+ 腑) 与旋转轴y = 0 相交于t = 一y 宕，因此n 的另一个 主曲率是一l t = 膏y 。由于”是o ( 1 ，n 1 ) 不变的，它只有两个不同的主曲率， 于是“的主曲率为i j = l ( 1 重) 和j ，( n l 重) 。 现将。的微分方程( 3 、1 ) 或( 3 、2 ) 转化为它的对应曲线r 所满足的微 分方程。 定理3 、2 假设类空的轮廓曲线n 的曲率中心决不位于x 轴上，那么q 满 足微分方程( 3 、1 ) 或( 3 、2 ) 当且仅当它的对应曲线r 满足 ( d 2 d 口2 ) 1 1 1 ， = ( ( d d 目) l n ，) 2 一l 】l r ” ，】k ( 以一m ) 一r m 。】 ，1 m n 一1 ，( 3 1 0 ) q 2 ，d 口2 ) l i l r = 【( _ ，盯口) h ，) 2 1 】r “吃 ，4 。一1 ，m = n ( 3 1 1 ) 证明毋一f 庐( 1 + ，妒) 西，d 口2 ( 1 + r ) 凼，r d r7 d e x l h 西 即 ( d d 印l n ，= 捕妒 注意到j f ，= 茹，童y = 一l r 。于是从( 3 、1 ) 可得 r = l r “ 。】( n m ) ，m i + r # = l + 【1 一，” 。 ( n m ) m 这样 d ，d 口= ( d 声，出) ( 凼d 口) = r ( 1 + r ) = l r 。】b ，( 力一聊) 一r “ 微分( d 枷) l n ，= 踊庐得到 ( d 2 d 目2 ) l n r = ( 1 c 厅2 庐) ( d d 口) 于是 ( d 2 d 目2 ) l n ， = 【( ( d 脚) l i l r ) 2 1 】【1 一，”k 】k 如一m ) 一r ”】 反过来，假设r 是由( 3 、1 0 ) 决定的极坐标图，n 是当r 在x 轴上滚动时原 点的轨迹。由于 d 声，d 目= r 多( 1 + r ) ( d 2 ，d 口2 ) 1 1 1 ，= k ( d d 臼) l n r ) 2 1 】d 庐d 口 所以 r 乒( 1 + r ) = 【1 一，” 。】k 如一研) 一，”以】 即 r 乒= 【l 一，”k 】( n 洳 这表明q 是( 3 、1 ) 的解。( 3 、1 1 ) 可以类似的证明。 结合性质3 、1 和定理3 、2 ，我们看到，通过滚动构造，人们总可以将寻 ， 求( 3 、1 ) 和( 3 、2 ) 的解转化为寻求( 3 、1 0 ) 和( 3 、1 1 ) 的解。由于( 3 、 1 ) 和( 3 、2 ) 的明确解相当难求，因此，寻求( 3 、1 0 ) 和( 3 、1 1 ) 的明确 解是相当有意义的。 定理3 、3( 3 、1 0 ) 和( 3 、n ) 的解分别是 口= f 6 ( 川“2 咖 和 口= p 6 1 ( ，) 办 其中6 ( w ) = 口f 以w “( n 一柳) 一 。f 2 “+ w 2 ，w = i ，6 。( r ) = r ( 1 + p 一2 ，”1 “一) 1 ”。 证明令“= i n ，v = 出d 口= ( 1 ，) ( 毋d 口) ，则 ( d 2 卯2 ) h ，= 西d 曰= ( 咖卯) ( 咖出) = v ( 西幽) 因此，( 3 、l o ) 变成 v ( d v d h ) ；( v 2 一1 ) ( 1 。e “。) ，( 九( n m ) 一k e ”) ( 3 、1 2 ) 即 ( d d h ) l i l ( v 2 1 ) = 2 ( 1 。p “。) ( n ( n 一加) 一 。p ”“) ( 3 、1 3 ) 两边积分得 1 n ( v 2 一1 ) = 2 ( 阿一m ) “，+ l n f 疗( h 一肌) 一 。p ”“ 2 “+ c h 即 ( 1 ，) ( 卉，d 占) = c 矿2 ( m ，”f 一( 竹一，”) 一 。，“i2 “+ 1 “2 ( 3 、1 4 ) 令w = 1 ，则 新脚= 千w 训一k 卜吖2 ( 3 、1 5 ) 记上式右