（基础数学专业论文）涉及分担小函数的亚纯函数的唯一性问题.pdf

福建师范大学张晓宇硕士学位论文 摘要 1 9 2 5 年，r n e v a n l i n n a 建立了亚纯函数的两个基本定理，开始了值分布理论 的近代研究亚纯函数唯性理论是值分布理论的一个重要研究方向几十年来，亚 纯函数的值分布理论的新发展都是以n e v a n l i n n a 理论为基础的国内外许多数学 家，如e m u e $ ，f g r o s s ，g g g u n d e r s e n ，g f r a n k ，n s t e i n m e t z ，w b e r g w e i l e r ， i l a i n e ，c c y a n g ，熊庆来，杨乐，仪洪勋和顾永兴等人，对亚纯函数的唯一性问 题进行了大量深入的研究。本文主要研究了涉及分担一个小函数的亚纯函数的唯一 性问题，并采用权分担的思想讨论亚纯函数与其导数或微分多项式权分担小函数的 唯性问题全文共分如下四章： 第一章为预备知识介绍n e v a n l i n n a 理论与亚纯函数唯一性理论的发展，以 及亚纯函数唯性理论中的几个结果 在第二章中，讨论了亚纯函数与其导数分担一个小函数的唯一性问题，推广了 方明亮，仪洪勋，林伟川，方彩云的结果 在第三章中，研究了亚纯函数与其微分多项式k 重内分担一个小函数的唯一性 问题，推广了方明亮，仪洪勋，林伟川，熊维玲等人的结果 在第四章中，探讨了亚纯函数与其微分多项式权分担一个小函数的唯一性问 题，推广了熊维玲，林伟j i l 等人的结果 关键词：亚纯函数， 整函数， 权分担，唯性，公共小函数，微分多项式 福建师范大学张晓宇硕士学位论文 中文文摘 1 9 2 5 年，r n e v a n l i n n a 建立了亚纯函数的两个基本定理，开始了值分布理论 的近代研究亚纯函数唯性理论是值分布理论的一个重要研究方向几十年来，亚 纯函数的值分布理论的新发展都是以n e v a n l i n n a 理论为基础的国内外许多数学 家，如e m u e s ，f g r o s s ，g g g u n d e r s e n ，g f r a n k ，n s t e i n m e t z ，w b e r g w c i l e r ， i l a i n e ，c c y a n g ，熊庆来，杨乐，仪洪勋和顾永兴等人，对亚纯函数的唯一性问 题进行了大量深入的研究本文主要研究了涉及分担一个小函数的亚纯函数的唯一 性问题，并采用权分担的思想讨论亚纯函数与其导数或微分多项式权分担小函数的 唯性问题全文共分如下四章t 第一章为绪论我们介绍n e v a n l i n n a 理论和亚纯函数唯一性理论的发展，以 及亚纯函数唯一性理论中的几个结果 在第二章中，我们主要讨论亚纯函数与其导数分担一个小函数的唯性问题 对亚纯函数与其导数具有公共值的唯性研究，由l a r u b e l 和c c y a n g 首开 先河尔后，数学工作者们分别从不同的角度将这一课题的研究不断引向深入其 中，2 0 0 3 年，k i t - w i n gy u 考虑整函数或亚纯函数与其七阶导数分担一个小函数 时的唯一性并提出了四个问题i l a h i r i 和a s a r k a r ，l p l i u 和顾永兴等人对该 四个问题进行研究，并且回答了部分问题在本章中我们推广了方明亮，仪洪勋， 林伟川和方彩云的结果 得到以下结果： 定理2 1 1 设f ( z ) 和9 ( z ) 是两个非常数亚纯函数，礼和m 是两个正整 数满足n m a x m + 1 0 ，3 m + 3 ) ，q ( z ) ( 0 ，。o ) 是一个亚纯函数满足t ( r ，a ) = o ( t ( r ，) ) ，t ( r ，q ) = o ( t ( r ，夕) ) p ( z ) = 口m + 一1 z m 一1 + + a l z + a o ，其中 a o o ，a 1 ，a m 一1 ，a m 0 是复常数如果，n p ( ，) ，7 和扩p ( g ) 9 7c m 分担 一个小函数q ( z ) ，则或者，( z ) 三t g ( z ) ，其中常数t 满足d = 1 ，d = g c d ( n + m + 1 ，n + m + 1 一t ，n + 1 ) ，a m i 0 ，i = 0 ，1 ，仇，或者_ 厂和g 满足 代数等式r ( f ，9 ) 三0 ，其中rw l 训2 ) = 叫? + 1 ( 三n + 篮m + l + 墅专芊鬟l 二+ + 票苦) 一 嵋+ 1 ( 业n + m + l + 辱+ + 希) 在第三章中，我们主要讨论亚纯函数与其微分多项式k 重内分担一个小函数的 唯一陛问题，推广了方明亮，仪洪勋，林伟川，熊维玲的结果 下面我们定义： i l l k ：= m a x ( 1 ， ) ，其中惫是一个正整数那么很容易得到t “i 牡：k ，七 十 = 1 ，；，3 ) 第三章我们得到以下主要结果。 定理3 1 1 设，和g 是两个超越整函数， m ，n ，南是三个正整数，q ( z ) ( 0 ，( 2 0 ) 是一个亚纯函数满足t ( r ，q ) = d ( t ( r ，) ) ，t ( r ，o t ) = d ( t ( 7 ，9 ) ) ，p ( z ) ： z ”+ a m 一1 z ”- 1 + + a l z - 4 - a o ，其中a o 0 ，a 1 ，a 竹l l ，a m 0 是复常数 如果e k ) ( q ，p p ( f ) f 7 ) = ) ( o ，g “p ( g ) g ) 且礼 ( m + 2 ) 护+ 3 ，那么 ( i ) 当m 2 时， ，州厶e m 脚n 栅a m 一- m kj f ”一知兰g n + l 翟。翮a m - - ky - - m 一七j ( i i ) 当m = 1 时，f 兰g 定理3 1 2 设，和g 是两个超越亚纯函数， m ，n ，七是三个正整数，q ( z ) ( o ，o o ) 是一个亚纯函数满足t ( r ，q ) = o ( 丁( 7 ，) ) ，t ( r ，q ) = o ( t ( r ，9 ) ) ，p ( 2 ) ： z m + 一1 z 一1 + + a l z + a o ，其中a t ) 0 ，口1 ，一1 ，0 是复常数 如果最) ( q ，户p ( f ) f 7 ) = & ) ( q ，9 “p ( 9 ) 夕7 ) 且n m a x ( 仇+ 4 ) 七+ 6 ，3 m + 3 ) ，则 ( i ) 当m 2 时， ，n + 1 丞。再赫，”一。兰g n + l 墨。磊赫夕m 一七j ( i i ) 当m = 1 时， ，三g 或者g = a 0 ( n + 2 ) ( 1 一h - + x ) 】【凸l ( 礼+ 1 ) ( 驴+ 2 1 ) 】， f = 【a o ( n + 2 ) h ( 1 一舻+ 1 ) j ( 8 l n + 1 ) ( 铲+ 2 1 ) 1 ，其中h 是一个非常数亚纯函 数 由上述定理即有下面的推论： 推论3 1 3 ，设，和g 是两个超越整函数， 仇，n ，南是三个正整数， a ( z ) ( o ，o 。) 是一个亚纯函数满足丁( r ，q ) = o ( t ( r ，) ) ，t ( r ，a ) = d ( t ( r ，9 ) ) ，尸( z ) ： 口m 严+ 口竹l l 扩一1 + + n l z + n o ，其中a o 0 ，n 1 ，g m l ，0 是复常数 如果取) ( 口，f n p ( f ) f ) = 取) ( o ，g n p ( g ) g ，) ，那么 ( 1 ) 如果k 3 ，佗 m + 5 ，则 ( i ) 当 ( i i ) 当 m 2 时， 广+ 1 r 静n = 0 。+ a 。m 一- k + 1j t e r n 一七兰g 叶1 是o a m - k g m 一膏j m = 1 时，f 兰9 i ( 2 ) 如果七= 2 ， 佗 ；m + 6 ，那么 ( i ) 当m 2 时， ，扎+ 1 器_ _ a r n 一k f m 一七兰g n + l 乏。g ”一是i i v 福建师范大学张晓字硕士学位论文 ( i i ) 当m = 1 时，厂三夕j ( 3 ) 如果k = l ，钆 3 m + 9 ，那么 ( i ) 当m 2 时，厂“+ 1 ” 再a m - k + f ? ”一兰g n + 1 ”再a m - k + 。( i k = om - k1j k = o m - k1 ”一七j j厶 n + 一z 一一 n +j j ( i i ) 当m = 1 时，f 兰g 推论3 1 4 设，和g 是两个超越亚纯函数，仇，n ，七是三个正整数，q ( z ) ( 0 ，o o ) 是一个亚纯函数满足t ( r ，口) = d ( t ( l ，) ) ，t ( t ，q ) = o ( t ( r ，g ) ) 。p ( z ) = 扩+ a m - l z 一1 + + a l z + a o ，其中a o 0 ，a 1 ，a m - 1 ，a m 0 是复常数 如果b ) ( 口，广p ( f ) f 7 ) = 取) ( q ，g n p ( g ) g ，) ，则 ( 1 ) 如果七3 ，讫 m a x m + 1 0 ，3 m + 3 ) ，那么 ( i ) 当m 2 时， ，n + 1 七m ：o n + 坠m - k + l ，”一七三g n + 1e 翟。雨a m - - k g m “j ( i i ) 当m = 1 时，厂三g 或者g = 【a o ( n + 2 ) 0 一护+ 1 ) 】【n 1 ( n + 1 ) ( 扩+ 2 1 ) 】， f = a o ( n + 2 ) h ( 1 一 叶1 ) 】 口1 ( n + 1 ) ( 护+ 2 1 ) 】，其中h 是一个非常数亚纯 函数； ( 2 ) 如果七= 2 ，n m a x ；m + 1 2 ，3 m + 3 ) ，那么 ( i ) 当m 2 时， ，n+1mn+m坠-kl+l，m也兰g1m磊arrt-k丽y“mk=o 1 k = o m - k1 “； j厶j一厶 n + 了 ( i i ) 当m = 1 时， 厂三g 或者g = a o ( n + 2 ) ( 1 一h n + 1 ) 】【0 1 ( n + 1 ) ( n + 2 1 ) 】， f = 【a o ( n + 2 ) h ( 1 一h n + 1 ) 】【0 1 ( n + 1 ) ( h n + 2 1 ) 】，其中h 是一个非常数亚纯 函数； ( 3 ) 如果k = 1 ，礼 3 m + 1 8 ，那么 ( i ) 当m 2 时，尸+ 1 墨。再a 。, , , 一- 七k + l ，f ”一兰g ”+ 1 是。再a 而m - - k扩 j ( i i ) 当m = 1 时，兰g 或者g = 【a o ( n + 2 ) ( 1 一扩+ 1 ) 】 n 1n + 1 ) ( n + 一1 ) 】， ，= 【a o ( n + 2 ) h ( 1 一九n + 1 ) 】【o l ( 凡+ 1 ) ( 时2 1 ) 】，其中h 是一个非常数亚纯 函数 在第四章中，我们主要讨论亚纯函数与其微分多项式权分担一个小函数的唯一 性问题，推广了林伟川，熊维玲等人的结果 得到以下结果； v 定理4 1 1 设，( z ) 和g ( z ) 是两个超越亚纯函数，m ，礼，七是三个正整数， a ( z ) ( 0 ，o o ) 是一个亚纯函数且满足t ( r ，口) = o c t c r ，) ) ，t ( r ，口) = o ( t ( r ，夕) ) ， p ( z ) = 彳m + n m l z “一1 + - 4 - a s z + a o ，其中q o 0 ，a 1 ，o m l ，口m 0 是复 常数如果f p ( f ) f 7 一q 和g p ( g ) 9 7 一口分担( o ，2 ) 且n m a x m + 1 0 ，3 m + 3 ， 那么 ( i ) 当仇2 时， ，州e t _ - o 再i m - k f “一哇g 州啬雨a r r t - k , g ”一七j ( i i ) 当仇= 1 时， ，三g 或者g = a o ( n + 2 ) ( 1 一h n + 1 ) j 陋1 m + 1 ) ( 计2 1 ) j ， ，= 【a o ( n + 2 ) h ( 1 一驴+ 1 ) 】【o l ( n + 1 ) ( n 帕一1 ) ，其中h 是一个非常数亚纯函 数 定理4 1 2 设，( z ) 和g ( z ) 是两个超越亚纯函数，m ，n ，k 是三个正整数， q ( z ) ( 0 ，。o ) 是一个亚纯函数且满足t ( t ，口) = o ( 丁( 7 ，) ) ，t ( r ，q ) = o ( t ( r ，9 ) ) ， 尸( z ) = z m + a m - l z ”一1 + + o l z + a o ，其中幻0 ，口1 ，口仇一1 ，口竹t 0 是复 常数如果f n p ( f ) f 7 一q 和g n 尸( 9 ) 夕7 0 ：分担( o ，1 ) 且佗 m a x m - 4 - 萼，3 m + 3 ， 那么 ( i ) 当m 2 时， ，1 翟。再a r r t - k f “一三g n + 1 墨。再a 百m 石- k 玎夕m 一j ( i i ) 当m = 1 时， ，三g 或者g = 【n o ( 凡+ 2 ) ( 1 一 ”+ 1 ) 】【口1 ( n + 1 ) ( 护+ 2 1 ) 】， ，= a o ( n + 2 ) h ( 1 一h n + 1 ) 】( n l ( n + 1 ) ( ”州1 ) j ，其中h 是一个非常数亚纯函 数 定理4 1 3 设厂z ) 和gz ) 是两个超越亚纯函数，m ，n ，k 是三个正整数， q ( z ) ( o ，o 。) 是一个亚纯函数且满足t ( r ，q ) = o c t ( r ，厂) ) ，t ( r ，q ) = d ( 丁( r ，夕) ) ， j p ( z ) = a m z m + 一l z m 一1 + + a l z + n o ，其中o o 0 ，口1 ，n 。一1 ，0 是复 常数如果f n p ( f ) f 7 一口和g n p ( g ) 9 7 一乜分担( o ，o ) 且佗 m a x m + 2 5 ，3 m + 3 ， 那么 ( i ) 当m 2 时， ，n + 1 墨。而t l m - k f m 一七三夕n + 1 乏。而赫9 一七j ( i i ) 当m = 1 时， ，兰g 或者g = a o ( t t + 2 ) ( 1 一九n + 1 ) 】 0 1 ( 死+ 1 ) ( n + 2 一1 ) 】， ，= 【a o ( n + 2 ) h ( 1 一 叶1 ) 】f 口1 ( 凡+ 1 ) ( 九叶2 1 ) 】，其中h 是一个非常数亚纯函 数 v i 福建师范大学张晓宇硕士学位论文 _ j _ _ _ _ _ | _ _ _ 目；_ j _ _ - - _ | = _ | |i i e = = | - 目= 目- _ - - _ _ _ - _ _ _ - _ _ _ - e _ 目_ _ _ _ a b s t r a c t i n1 9 2 5 ，r n e v a n l i n n ae s t a b l i s h e dt w of u n d a m e n t a lt h e o r e m so fm e r o m o r p h i c f u n c t i o n sa n dt h es t u d yo ft h ev a l u ed i s t r i b u t i o nt h e o r yo fm o d e r nt i m e ss t a r t e d t h e u n i q u e n e s st h e o r yo fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n si sa l li m p o r t a n ts u b j e c ti nv a l u ed i s - t r i b u t i o nt h e o r y s e v e r a ld e c a d e s ，t h ef u r t h e ra n dn e wd e v e l o p m e n to ft h ev a l u e d i s t r i b u t i o no fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n sw o u l da l w a y sb eb a s e do nn e v a n l i n n a st h e - o r y m a n ym a t h e m a t i c i a n ss u c ha se m u e s ，f g r o s s ，g g g u n d e r s e n ，g f r a n k ， n s t e i n m e t z ，w b e r g w e i l e r ，i l a i n e ，c c y a n g ，q l x i o n g ，l y a n g ，h x y i a n dy x g uh a dd o n eal o to fw o r ko nt h er e s e a r c ho ft h eu n i q u e n e s st h e o r y i n t h i sp a p e r ，w em a i n l ys t u d yt h eu n i q u e n e s so fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n sc o n c e r n i n g s h a r i n go n es m a l lf u n c t i o n ，a n du s i n gt h en o t i o no fw e i g h t e ds h a r i n g ，w es t u d yt h e u n i q u e n e s sp r o b l e m so nam e r o m o r p h i cf u n c t i o na n di t sd e r i v a t i v eo rd i f f e r e n t i a l p o l y n o m i a l sw e i g h t e ds h a r i n go n es m a l lf u n c t i o n t h i sp a p e ri sd i v i d e di n t of i v e s e c t i o n s ： i ns e c t i o no n e ，w em a i n l yi n t r o d u c et h ed e v e l o p m e n to fn e v a n l i n n at h e o r y a n dt h eu n i q u e n e s st h e o r yo fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s ，a n ds o m er e s u l t sa b o u tt h e u n i q u e n e s st h e o r yo fm e r o m o r p h i cf u n c t i o n s i ns e c t i o nt w o ，w ea r em a i n l yc o n c e r n e dw i t ht h eu n i q u e n e s sp r o b l e m so fa m e r o m o r p h i cf u n c t i o na n di t sd i f f e r e n t i a lp o l y n o m i a l ss h a r i n go n es m a l lf u n c t i o n w ei m p r o v es o m ef o r m e rr e s u l t sg i v e nb ym l f a n g ，w l i n ，h x y ia n dc y f a n g i ns e c t i o nt h r e e ，w ea r em a i n l yd e v o t e dt ot h eu n i q u e n e s sp r o b l e m so nam e r o - m o r p h i cf u n c t i o na n di t sd i f f e r e n t i a lp o l y n o m i a l sw i t hm u l t i p l i c i t y 七s h a r i n go n e s m a l lf u n c t i o n ，w h i c hg e n e r a l i z et h er e s u l t so ff a n ga n dh o n g ，l i na n dy i ，x i o n g a n dl i n i ns e c t i o nf o u r ，w em a i n l ys t u d yt h eu n i q u e n e s sp r o b l e m so ns o m ec e r t a i nt y p e s o fd i f f e r e n t i a lp o l y n o m i a l sw e i g h t e ds h a r i n go n es m a l lf u n c t i o n ，w h i c hg e n e r a l i z et h e r e s u l t so fw l x i o n g ，w l i n ，a n ds oo n k e y w o r d s ：m e r o m o r p h i c ，e n t i r ef u n c t i o n ，w e i g h t e ds h a r i n g ，u n i q u e n e s s ， s h a r e ds m a l lf u n c t i o n d i f f e r e n t i a lp o l y n o m i a l i i 福建师范大学硕士学位论文独创性和使用授权声明 福建师范大学硕士学位论文独创性和使用授权声明 本人( 姓名 交的学位论文( 本人在导师指导 除论文中已特别标明引用和致谢的内容外，本论文不包含任何其他个人 或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本论文的研究工作做出贡献的 个人或集体，均已在论文中作了明确说明并表示谢意，由此产生的一切 法律结果均由本人承担。 本人完全了解福建师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 福建师范大学有权保留学位论文( 含纸质版和电子版) ，并允许论文被 查阅和借阅：本人授权福建师范大学可以将本学位论文的全部或部分内 容采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文，并按国家 有关规定，向有关部门或机构( 如国家图书馆、中国科学技术信息研究 所等) 送交学位论文( 含纸质版和电子版) 。 ( 保密的学位论文在解密后亦遵守本声明) 学作一：久彬 答字醐：1 年归妒 指导教师签名：吞辱谚- 1 签字嗍加严眵 绪论 1 研究背景 绪论 二十世纪二十年代，芬兰数学家r n e v a n l i n n a 引进了亚纯函数的特征函数， 建立了两个基本定理，被称为n e v a n l i n n a 理论自n c v a n l i n n a 建立了亚纯函数理 论，值分布理论便是复分析中的重要分支1 9 2 9 年，n e v a n l i n n a l 5 】曾提出能否 将第二基本定理( 定理1 1 2 ) 中的常数a j ( j = 1 ，2 ，g ) 换为f ( z ) 的小函数 a j ( z ) ( j = 1 ，2 ，q ) 的问题? 对于上述n e v a n l i n n a 提出的一般问题，庄圻泰1 6 】 曾进行了研究，并在整函数的情况下给出了涉及小函数的第二基本定理直到1 9 8 6 年，对于该问题的研究才有本质的发展， f r a n k 与w e i s s e n b o r n 7 1 【8 ，o s g o o d g l 1 0 l 及s t e i n m c t z l l l 】等人都发表了相关的研究论文，其中s t e i n m e t z 的结果是二十世纪 八十年代最重大成果之一；1 9 9 8 年李玉华1 1 2 1 去掉了s t e i n m e t z 定理中的，从而 涉及带非精简密指量的n e v a n l i n n a 问题已完全被解决2 0 0 4 年，k y a m a n o i 1 3 j 把带精简密指量的n c v a n l i n n a 第二基本定理近似地推广到小函数情形，从而使得 n e v a n l i n n a 问题基本上被解决了 n e v a n l i n n a 应用他所建立的两个基本定理首先研究决定一个亚纯函数所需要的 条件，得到了涉及公共值的亚纯函数唯性方面的如下两个著名定理：这两个唯一陛 定理通常被称为n e v a n l i n n a 五值定理，n e v a n l i n n a 四值定理那么五值定理、四值定 理中的条件是否能减弱，减弱后是否需要附加条件以及附加什么样的条件，甚至考虑 是否还有其他形式的唯一性条件国内外数学工作者对这些方面进行深入研究且建 立了各种各样的唯一性定理，并提出了新的问题使得亚纯函数唯一性理论的研究充 满了活力与唯一性理论有关的结果可参看e m u e s 1 4 】【1 5 | ，g g g u n d e r s e n 1 6 】【1 7 】【1 8 】， g f r a n k 【1 驯，n s t e i n m e t z 2 0 l ，w b e r g w e i l e r 2 1 1 ，j a n k - v o l k m a n n 2 2 1 ，h u e d a 2 ：1 1 【24 | ， 王书培【2 5 j 和仪洪勋1 4 9 】等 2 研究的主要问题 涉及公共值和公共小函数的亚纯函数唯性理论是亚纯函数论的一个重要组成 部分，是一个富有研究价值的数学课题 1 9 5 9 年，h a y m a n 1 j 的一个重要结果吸引了不少数学工作者，他的结果是； 设，为复平面上的超越整函数，n 为正整数，则广，取可能除零以外的任意 福建师范大学张晓宇硕士学位论文 复数无穷多次 c c y a n g 和华歆厚，林伟川【3 5 】【3 7 1 ，方明亮【3 8 l 【3 9 】等人对该结果进行 研究并建立一系列有趣的唯一性定理 基于对仪洪勋，方明亮，林伟川，熊维玲和方彩云等人所建立的一系列唯性 定理的深入研究，我们发现在这些唯一性定理中，都是涉及广( z ) ( ，( z ) 一1 ) ，7 ( z ) 和 g n ( z ) ( 夕( z ) 一1 ) 9 7 ( z ) 分担1c m 等类似这样特殊的情况，为此，我们提出了以下问 题： 1 对于一般形式情况下分担一个值时是否成立? 有什么样的结果? 2 对于一般形式情况下k 重内分担一个值时是否成立? 有什么样的结果? 针对我们提出的问题，在2 0 0 7 年，我们主要研究了对于两个非常数整函数 f ( z ) ，g ( z ) 和一般多项式p ( f ) ，当 ，“p ( ，) 】( 七) 和【g n p ( 9 ) p 分担1c m 时 的情形，并得到了相应的唯一性定理1 5 2 】【5 3 l 【圳【5 5 】 本文中，我们进一步提出以下问题。 1 对于一般形式情况下分担一个小函数时是否成立? 有什么样的结果? 2 ，对于一般形式情况下k 重内分担一个小函数时是否成立? 有什么样的结 果? 3 采用权分担的思想讨论亚纯函数与其导数或微分多项式权分担小函数会得 到什么样的结果? 2 第1 章预备知识 第1 章预备知识 n e v a n l i n n a 理论是研究亚纯函数唯一性理论的一个主要工具在本章中，我们 将介绍n e v a n l i n n a 理论和亚纯函数唯一性理论的发展、以及亚纯函数唯一性理论 中的几个结果详情可参阅 e 4 9 1 1 n e v a n l i n n a 理论简介 如无特别声明，本文中的亚纯函数指的都是开平面c 中的亚纯函数，扩充复 平面ct j 。 以虿记之 对于z 0 ，定义z 的正对数 l 。g + 舻l o g x , x _ l ：1 定义1 1 1 设，( 名) ( 0 0 ) 为亚纯函数，对0 r + o 。，规定 m ( “) 2 嘉z 1 。g + i f ( r e o ) l d o ， ( r ，) ：厂监掣d f + 礼( o ，f ) l o g r 丙( 吖) ：厂韭掣瓦( o ，f ) 1 0 9 r ， t ( nf ) = m ( r ，f ) + ( r ，) ， 其中的n ( t ，) ( - ( ，) ) 表示f ( z ) 在h t 上的计算( 不计算) 重级的极点个数， n ( o ，f ) 表示f ( z ) 在原点处极点的重数( 当f ( o ) 0 0 时n ( o ，f ) = 瓦( 0 ，f ) = 0 ； 当f ( o ) = 0 0 时，瓦( o ，f ) = 1 ) g ( r ，f ) 和丙( r ，f ) 分别称为f ( z ) 的极点的 计数函数和精简计数函数；t ( r ，) 称为f ( z ) 的n e v a n l i n n a 特征函数，简称f ( z ) 的特征函数 定理1 1 1 ( n e v a n l i n n a 第一基本定理)设f ( z ) 于 p ( + o o ) 内亚 纯若a 为任一有穷复数，而且f ( z ) a 则对于0 r p 有 丁( r ，万1 ) = 毗f ) + l o g l c a i + ( ) ，( 1 1 1 1 ) 3 福建师范大学张晓字硕士学位论文 _- _ l _ l _ _ l _ - l j l = 目= = ；= = = = = = 目_ _ 目；= = = = 目e - _ _ l i l i _ i i i _ _ _ _ l _ _ _ l _ _ _ 其中c 为氕才；在原点的l n 乱代扎展式( 按升幂排列) 中的第一个非零系数， 而且有 i ( 口，r ) i l o g 十l a + l 0 9 2 通常我们将( 1 1 1 ) 简写为t ( r ，而1 ) = t ( r ，) + d ( 1 ) 定理1 1 2 ( n e v a n l i n n a 第二基本定理)设i ( z ) 为非常数亚纯函数，叼0 = 1 ，2 ，q ) 为g ( 3 ) 个虿中的判别元素，则 ( q - 2 ) t ( r ，s ) - z ( r ，南卜1 ( r ) ( r ，) 舯 州：( ，f ) - n ( r , 2 n ( rf y ( r ，) ) + n ( r ，瓤 l ( r ) = (，厂，) ) + ，云) ， 跗，肛嘶，等) 州r 善q 再f , ) + 0 ( 1 ) ( 1 1 2 ) 关于n e v a n l i n n a 第二基本定理中的余项s ( t ，) ，我们有如下估计： 定理1 1 3 设f ( z ) 为非常数亚纯函数，s ( t ，f ) 由定理1 1 2 中的( 1 1 2 ) 确定，则当f ( z ) 为有穷级时有 s ( r ，) = 0 ( 1 0 9 r ) ( r _ + 。) ； 当f ( z ) 为无穷级时有 s ( r ，) = o l o g ( r t ( r ，) 】( r 一+ o 。，r 譬e ) ， 其中e 是一线性测度为有穷的集合 定理1 1 4 设f ( z ) 为非常数亚纯函数， s ( r ，) 由定理1 1 2 中的( 1 1 2 ) 确定，则当f ( z ) 为有穷级时有 s ( r ，) = o t ( r ，) ( r 一+ 。o ) ； 当f ( z ) 为无穷级时有 s ( r ，厂) = o t ( r ，) ( 7 _ + 。o ，rge ) ， 其中e 是一线性测度为有穷的集合 第l f 2 预备知识 对于非常数亚纯函数，一般我们用s ( r ，) 表示满足 s ( r ，) = o 【丁( n ，) ) 0 _ + 。o ，rge ) 的量，e 是一线性测度为有穷的集合，但e 每次出现时不一定完全相同 通过对定理中项1 ( r ) 估计，我们有n e v a n l i n n a 第二基本定理如下常用形式： 定理1 1 5 设i 厂( z ) 为非常数亚纯函数，0 = 1 ，2 ，q ) 为g ( 3 ) 个 虿中的判别元素，则 再1 ) 一0 ( r ，专) + s ( 吖) ， ( 1 1 - 3 ) 其中0 ( r ，乡) 表示对应，7 的零点但不是，一吩o = 1 ，2 ，q ) 的零点的计数 函数 定义1 1 2 设f ( z ) 为非常数亚纯函数，a ( z ) 为亚纯函数，若t ( r ，n ( z ) ) 三 s ( r ，) ，则称a ( z ) 为( z ) 的小函数( 或慢增长函数) 记f ( z ) 的小函数集合为 s ( ，) 定理1 1 6 ( 三密度不等式) 设( z ) 为非常数亚纯函数，a j ( z ) 0 = 1 ，2 ，3 ) ( 其中之一可以恒等于o o ) 为l ( z ) 的三个判别小函数，则 丁胚妾砸，击忡n ， 定理1 1 7 ( s t e i n m e t z 定理) 设( z ) 为非常数亚纯函数， a j ( z ) ，( j = 1 ，2 ，g ) 为厂( z ) 的g ( 3 ) 个判别的小函数，则对任意给定的正数e ， ( q - 2 - e 胚喜嘶，击) 他( r n ( 1 ) j = 1 o j 其中& ( r ，) = o 【丁( 7 ，厂) ) ( 7 _ + 。，r 叠e ( f ，) cr + ，e ( f ，e ) 与及，有关， 且m e s e ( f ，) + o o ) 2 0 0 4 年，k 、r a m a j l o i 【1 3 】把带精简密指量的n e v a n l i n n a 第二基本定理近似地 推广到小函数情形，证明了如下结果， 5 r一 。m 一 ，j r丁2一 g 福建师范大学张晓宇硕士学位论文 定理1 1 8 设( z ) 为非常数亚纯函数，a j ( z ) ( j = 1 ，2 ，q ) 为( z ) 的 口( 3 ) 个互相判别的小函数，则对于任意实数，有 ( q - 2 - e ，) k ) 重零点当且仅当是知 是夕一a 的n ( k ) 重零点，其中仇，n 不一定相等 这里记厂，夕分担( a ，k ) 表示f ，g 以权七分担a 显然，如果f ，g 分担( a ，七) ， 那么对于任意的整数p ( o p 1 9 + 2 k ，则，兰，( 扪 作者在文中提出了四个问题t 问题1 ：定理b ，c 中的c 肘能否减弱为i m ? 问题2 ：定理b 中的6 ( o ，) 差是否是精确的? 问题3 ：定理c 中的4 6 ( 0 ，) + 2 ( 8 + k ) e ( o o ，- 厂) 1 9 + 2 k 是否是精确的? 问题4 ：定理c 中的“，与a 没有公共极点”能否去掉? k i t w i n gy u 的四个问题吸引了国内外不少数学工作者进行深入的研究其中， 2 0 0 4 年，i l a h i r i 和a s a r k a r 4 1j 采用权分担值的思想讨论这四个问题，并且回答 了部分问题方明亮，李平【3 2 】分别从亚纯函数与其微分多项式或导数分担公 共小函数的角度去研究唯一性问题最近，李效敏1 3 3 也给出对亚纯函数与其齐次 微分多项式分担两个小函数的唯一性问题的研究 8 第2 章关于亚纯函数分担一个小函数的唯一性问题 第2 章关于亚纯函数分担一个小函数的唯一 性问题 2 1 引言以及主要结果 对亚纯函数与其导数具有公共值的唯一性研究，由l a r u b e l 和c c y a n g 首开先河尔后，数学工作者们分别从不同的角度将这一课题的研究不断引向深入 在2 0 0 1 年，方明亮和w h o n g 4 0 l 证明了下面的定理 定理d 设( z ) 和g ( z ) 是两个超越整函数， 佗1 1 是一个正整数如果 ，“( z ) ( ，( z ) 一1 ) f 7 ( z ) 和g n ( z ) ( 夕( z ) 一1 ) 9 7 ( z ) 分担jc m , 那么f ( z ) 三夕( z ) ， 之后，林伟川和仪洪勋 3 6 】改进了定理d ，得到了下面的结果 定理e 设f ( z ) 和g ( z ) 是两个超越整函数， n 7 是一个正整数如果 广( z ) f f ( z ) 一1 ) f 7z ) 和9 ”( z ) ( 9 ( z ) 一1 ) 9 7 ( z ) 分担1c m ，那么f ( z ) 三9 ( z ) 定理f 设f ( z ) 和g ( z ) 是两个超越亚纯函数，n21 2 是一个正整数如果 广( z ) ( ，( z ) 一1 ) ，( z ) 和旷( z ) ( 9 ( z ) 一1 ) 9 7 ( z ) 分担1c m ，那么或者f ( z ) 三_ 9 ( z ) 或者 g = 【( 几+ 2 ) ( 1 - h n + 1 ) 【( 几+ 1 ) ( 1 一舻+ 2 ) ，f = 【( 礼+ 2 ) ( 1 - h n + 1 ) i l l ( n + 1 ) ( 1 - h n + 2 ) 】， 其中h 是一个非常亚纯函数 本文我们得到以下主要结果t 定理2 1 1 设( z ) 和g ( z ) 是两个非常数亚纯函数，几和m 是两个正整 数满足礼 m a x 【m + 1 0 ，3 m + 3 ，q ( z ) ( 0 ，。) 是一个亚纯函数满足t ( t ，q ) = o ( t ( r ，) ) ，t ( r ，o l ) = o ( t ( r ，9 ) ) ，p ( z ) = z m + a m - l z ”一1 + + a l z + a o ，其中 a o 0 ，a 1 ，a m 一1 ，a m 0 是复常数如果f n p ( f ) f 和g n p ( 夕) 9 7c m 分担 一个小函数q ( z ) ，则或者f ( z ) 兰t g ( z ) ，其中常数t 满足t 4 = 1 ，d = g c d ( n + m + 1 ，几+ m + 1 一i ，n + 1 ) ，a m i 0 ，i = 0 ，1 ，m ，或者，和9