（基础数学专业论文）具有k理想的ar半环和乘法双单逆ω半环的结构.pdf

1 l a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，s o m ec l a s s e so fs e m i r i n g sw e r ed e f i n e d i tm a i n l ya c h i e v e di n t h ef o l l o w i n ga s p e c t s ： 1 w ec a l las e m i r i n g ( s ，+ ，) a na i s e m i r i n gi fi t sa d d i t i v er e d u c t ( s ，+ ) i sa n i n v e r s es e m i g r o u p b yt h eb - l a t t i c ec o n g r u e n c e 冗a n dt h el e a s ts k e w - r i n g c o n g r u e n c e ，w ec o n s t r u c tam c a l i s t e rt r i p l ew h i c hi s a na i - s e m i r i n gw i t ha k i d e a l a n d e v e r ya i s c m i r i n gw i t hk - i d e a li si s o m o r p h i ct os o m em c a l i s - t e rt r i p l e 、，ec a l l ( s ：+ ，) a na r - s e m i r i n gi f ( s ，+ ) i sar e g u l a rs e m i g r o u p a c c o r d i n gt op o s e m i g r o u p j w ec o n s t r u c tp o - s e m i r i n g s ，a n ds h o wt h a te v e r y p o s e m i r i n gi s a na r s e m i r i n gw i t hak - i d e a l w es h o wt h a te v e r ya r - s e m i r i n g ( s ，+ ，) w i t hk - i d e a le 十( s ) i si s o m o r p h i ct os o m ep o s e m i r i n g a n d t h e n ，w ed e f i n e do r t h o g r o u ps e m i r i n g sw h i c ha r ec o m p l e t er e g u l a rs e m i r i n g s w h o s ea d d i t i v ei d e m p o t e n t sf o r mb a n d s ：a n dp r o v e dt h a te v e r yo r t h o g r o u p s e m i r i n gi si s o m o r p h i ct oas p i n e dp r o d u c to fa ni d e m p o t e n ts e m i r i n ga n da n a d d i t i v ec l i 肋r ds e m i r i n g 2 w ed e f i n eam u l t i p l i c a t i v eb i c y c l i cs e m i r i n ga n dd e s c r i b eas t r u c t u r eo fm u l - t i p l i c a t i v eb i s i m p l ei n v e r s eu - s e m i r i n gw h i c hs a t i s f i e st h e 咒- c o n g r u e n c ec o n - d i t i o n 3 f i r s t ，w ec a l lsam u l t i p l i c a t i v er e c t a n g u l a rb a n di d e m p o t e n ts e m i r i n gi fs i sa ni d e m p o t e n ts e m i r i n gw i t har e c t a n g u l a rb a n dm u l t i p l i c a t i v er e d u c t ，a n d g i v es t r u c t u r et h e o r e m sf o rs u c hs e m i r i n g s s e c o n d ，t h ek e yi d e ai nt h e d e s c r i p t i o no fb a n di st h a to fat r a n s l a t i o n ，i tm o t i v a t et h ed e f i n i t i o no ft h e t r a n s l a t i o n a lh u l lo fa ni d e m p o t e n ts e m i r i n gs b yt h et h et r a n s l a t i o n a lh u l l o fa ni d e m p o t e n ts e m i r i n gs ，w eg i v es t r u c t u r et h e o r e mf o rs u c hs e r n i r i n gs w h o s ed - r e l a t i o ni sac o n g r u e n c e ，a n ds a t i s f i e st h ei d e n t i t y , x y x + y x + x y + y x y = z + y ，f o ra l lz ，y s l a s t ，w ec a l la ni d e m p o t e n ts e m i r i n g ( s ，+ ，) a n a d d i t i v en o r m a li d e m p o t e n ts e m i r i n gi fi t sa d d i t i v er e d u c t ( s ，+ ) i san o r m a l b a n d b yt h es t r u c t u r eo ft h en o r m a lb a n d ，w es h a l lg i v es t r u c t u r et h e o r e m f o rt h ea d d i t i v en o r m a li d e m p o t e n ts e m i r i n g i n l v k e y w o r d s ：a r - s e m i r i n g ；k - i d e a l ；l a t t i c e ；b i c y c l i cs e m i g r o u p ；m u l t i p l i c a t i _ v e b i c y c l i cs e m i r i n g ；m u l t i p l i c a t i v eb i s i m p l ei n v e r s eu 一m i r i n g ；t r a n s l a t i o n a lhu l l ； i d e m p o t e n ts e m i r i n g 摘要 a b s t r a c t 前 言 第一章 1 1 1 2 1 3 目录 具有k _ 理想的a r - 半环 具有k - 理想的a i 一半环。 具有k - 理想的a r - 半环 纯整群半环 第二章乘法双单逆o 半环 2 1 准备知识 2 1 1 双循环半群的一些结果和b r u c k - r e i l l y 扩张 2 1 2 乘法幂等元是格的半环 2 2 乘法双循环半环 2 3 乘法双单逆u 一半环 第三章 3 1 3 2 3 3 3 4 参考文献 致谢 幂等半环 乘法矩形带幂等半环 幂等半环的平移壳 一类幂等半环的结构 加法正规幂等半环 v ； 嫩 1 7 8 埒船 四弘 船够弱 的 缸 v 1 目 录 象，该类半群中的逆半群和完全正则半群类有丰富的研究成果 1 4 ，c i t e p e t r i c h 2 ， 首先被应用与半环的研究，半群中的格林关系在半环的结构的研究中是一个重要 的工具 作为单半群、0 单半群、完全单半群和完全0 一单半群的应用，m i r e i l l e p g r i l l e t 和p i e r r ea n t o i n eg r i l l e t ( 1 1 ) 定义了半环的极小左( 右，双边) 理想，0 一极小 左( 右，双边) 理想，主左( 右，双边) 理想，从而引入了单半环、0 - 单半环、完 全单半环和完全0 - 单半环文中还给出了乘法完全单半环和完全阻单半环 结构m i r c i u e p g r i l l e t 在1 9 7 5 年研究了加法是完全阻单半群的半环s ， ( s + ) = m ( a ，i ，a ，p ) ( 12 ) 利用完全单半群的已知结构建立了加法是完全单 半环的结构 f p a s t i j n 等( 2 0 0 2 ) 考虑了加法半群是完全正则半群的半环簇c ，即环并半 环簇5 ( 5 ) ，刻画了环并半环的结构和环并半环子簇格特别关注了加法幂等元 成为其子半环的纯整半环，证明了纯整群半环是幂等半环和加法是c l i f f o r d 半环 的织积 m k s e n 和s k m a i t y 1 6 定义了完全正则半环：如果半环( s ，+ ，) 关 于加法是正则的，而且对( s ，+ ，) 中的每个元素a 都存在s 中的一个元素z ，满 足( i ) a + z + a = a ，( i i ) a + o = z + a ，和( i i i ) a ( a + z ) = a + z 他们给出了完 全正则半环的例子和等价条件，完全正则半环是s k e w 一环的无交并，它的每一个 咒类都是s k e w - 环，而且是加法完全单的半环的b 一格 c l i f f o r d 半群是有着漂亮结构的的一类重要半群，基本构建是群和半格b a n - d e l t 和p e t r i c h ( 7 ) ( 1 9 8 2 ) 用环和分配格构造了一类半环，证明了一个加法半群 是正则半群的半环它是分配格和环的次直积当且仅当加法半群是可交换的，而且 满足下列条件：( 1 ) ( a + a i ) 6 = b ( a + u p ) ， ( 2 ) 口( n + a 7 ) = a + a 7 ， ( 3 ) 对所有的a ，b s ，a + ( a + a i ) 6 = a ， ( 4 ) 如果o s ，对某一个b s ，有b + a = b ，那么a + a = a 在( 7 】) 的基础上，g h o s h ( 【1 9 ) ( 1 9 9 9 ) 定义了c l i f f o r d 半环，其加法半群足可 交换的逆半群，加法幂等元集e + ( s ) 是s 的k 一理想和分配子格证明了c l i f f o r d 1 2 前言 半环是环的强分配格不久，p m u k h o p a d h y a y 证明了一个加法是交换逆半群半 环s 满足上面的条件( 1 ) ，( 2 ) 和( 3 ) 当且仅当e + ( s ) 是s 分配格，满足条件( 4 ) 当且仅当e + ( s ) 是s 的k - 理想由此可见，半环s 的加法幂等元集e + ( s ) 是 k - 理想在研究半环的结构中起了很重要的作用 m k s e n 等( 2 0 0 5 ， 1 6 ) 考虑了加法没有要求交换，e + ( s ) 是理想，但不一 定是k 理想的情形重新定义加法半群是逆半群，e + ( s ) 是分配子格和k - 理想 的完全正则半环为c l i f f o r d 半环；称满足加法半群为逆半群，e + ( s ) 是k - 理想的 完全正则半环为广义c l i f f o r d 半环他们证明了c l i f f o r d 半环是s k e w - 环的强分 配格，广义c l i f f o r d 半环是s k e w - 环的强b 一格 幂等半环作为半环构造过程中的一个重要基本构件，半环学者对它做了大量 的研究p a s t i j n 和a r o m a n o w s k a 2 研究了幂等分配半环文( 2 ) 中给出了加法 是矩形带的幂等半环、幂等分配半环中的正规半环( 加法带和乘法带都是正规带 的幂等半环) 的结构证明了每一个幂等分配半环都是满足等式z ( z + y + z ) x = z 的幂等分配半环的半格在( 3 ) 中p a s t i j n 证明了每一个满足等式z ( z + y + z ) z = z 的幂等分配半环都是分配格和满足等式x y x + z + x y x = x y x 的半环的次直积 半环的最小格同余限制在加法上是半格同余，通常是包含了半环的加法半群 的最小半格同余m k s e n ，y q g u o 和k p s h u mf 1 7 考虑了满足二者相等的这 一类幂等半环，它们形成一个簇，研究了该类半环的一些子类，特别是加法半群为 正规带的幂等半环的结构 本文的第一章研究具有k - 理想的加法正则半环的结构 m c a l i s t e r 9 用m c a l i s t e r 三元组建立了e 一酉逆半群的结构利用m c a l i s t e r 的p 一定理，o c a r r o l l ol ( 1 8 ) 证明了每一个b 酉逆半群可以嵌入一个半格与 一个群的半直积 称加法是逆半群的半环为a i 一半环在每一个含k - 理想的a i 一半环中，它的 加法半群是b 酉逆半群，由于7 关系和c 一关系都是乘法半群的同余，而且在加 法逆半群中，其加法最小群同余是a i 半环的最小s k e w - 环同余借鉴m c a l i s t e r 构建p 一半群方法和m i r e i l l e p g r i l l e t 研究加法是完全零单半群的半环 1 2 的方 法，用b 一格和s k e w 一环构造一个半环的m ( r ，疋，y ) ，这里( 疋，) 是一个偏序集， ( y ，) 是b 一格，而且石的加法理想第一节证明了每一个含k - 理想e + ( s ) ，且 e + ( s ) 是b 一格的a i 一半环都同构于这样的一个半环m c a l i s t e rm ( r ，石，y ) 加法半群是正则半群的半环为a r - 半环第二节研究具有k 一理想e + ( s ) 的 a r - 半环i m a o k a ，y o k o y a m a 和i n a t a ( i s ) 用半格，群和投射元集构造了e 一酉 前言 3 正则木一半群文 2 0 ，用半格、群和投射元集构造p o 半群在此，将p o 一半群 的构造思想应用到半环，构造了p o 一半环；证明了如此构造的p o 半环是具有 k - 理想e + ( s ) 的a r - 半环，而且每个具有k 理想e + ( s ) 的a r - 半环能用这种 方式构造 完全正则半群是群并半群专著 1 5 阐述了完全正则半群极为丰富的成果 在文 5 中，研究了环并半环，该类半环的加法半群是交换群并，作者给出环并半 环的结构定理m k s e n ，s k m a i t ya n dk 。p s h u m 1 6 1 定义了完全正则 半环，即如果半环( s ，+ ，) 中的每个元素a ，都存在s 中的一个元素x ，满足( i ) a + z + a = a ，( i i ) a + z = z + a ，和( i i i ) a ( a + z ) = a + x ，则称s 是完全正则半 环在此基础上本文考虑一类s k e w - 环并半环，该类半环的加法半群是纯整半群 ( 即群并，且幂等元集合是带，不要求是交换群并) ，证明了纯整群半环是幂等半环 和c l i f f o r d 半环的织积 第二章刻画了乘法双循环半环和乘法双单逆u 半环结构设e 是半格， m u n n 半群7 _ ( 1 3 ) 在逆半群的表示理论中扮演了重要的角色乘法半群是逆半 群的半环称为乘法逆半环作为m u n n 半群在半环中的应用，考虑格( e ，+ ，) ，对 于每一个e e ，e e = z e ：z e 】是格e 的主理想( 1 ) ，在e 上定义 u n r m i t y 关系甜，甜= ( e ，f ) e e ：e e 竺e f ，对于所有的( e ，) 1 4 ，定 义疋，是主理想e e 到e f 上的所有格同构的集合令 珏= u t e ，：( e ，) 甜) 乘法是映射的复合，加法是通常的点点加，证明了是个半环特别地，( ，) 是一个基本逆半群，( 如，+ ) 是带有例子表明珏与( e ，+ ，- ) 可能不同构半 环珏称为格e 的m u n n 半环进而证明了，如果e 是格，s 是乘法逆半环， 满足e = e + ( s ) ，对所有的a ，b s ，e e ，a a l b b 以= ( a + 6 ) ( n + 6 ) - 1 和 a - 1 e b b - 1 a + b - 1 e a a _ 1 b = ( a + 6 ) _ 1 e ( a + b ) 成立，那么存在s 到了乙的半环同态 与双循环半群对应，考虑链e = 既= e o ，e 1 ，e 2 ， ，其中e o e 1 e 2 对所有的e 仇，e 。e ，加法，乘法定义如下：e m + e 。= e 。ve 。，e m e n = e mae 。 t e = o l m ，n ：m ，礼n o ) ， 这里口。是e e m 到e e 。的唯一同构， e k o l m ，n = e k m + 。，( 七r n ) 4 并且， o t m ，n + o l p ，g2o m ( m ，p ) ，m a x m ，p + m i n n m ，q p ， o l m ，n a p ，q = o ：m n + m a l z n ，p ) ，q p + m a x n ，p ) 在半环n o n o 中，定义加法，乘法如下面， ( m ，礼) + 0 ，q ) = ( m a x m ，p ) ，m a x m ，p ) + m i n n m ，q p ) ) ， ( m ，n ) 0 ，q ) = ( m n + m a x ( n ，p ) ，q p + m a x ( n ，p ) ) 前言 那么链e = g 的m u n n 半环码与半环n o n o 同构，称半环( n o n o ，+ ，) 为乘法双循环半环 每一个双单逆u 半群 9 都同构于一个b r u c k - r c i l l y 扩张b r ( g ，日) 在本 章中，考虑乘法半群是双单逆u 半环保留乘法双单逆u 半环的乘法半群的结 构，也希望通过乘法半群的结构来确定乘法双单逆u 半环的结构如果日是s 的同余关系，h = k e r 西，称s 满足日一同余条件得到了每一个满足爿一同余条 件的乘法双单逆u 半环的结构 在很多半环结构中，幂等半环成了很重要的基本构件，因此对幂等半环的研 究有重要的意义文 2 给出了加法带是矩形带的幂等半环的结构第三章第一 节给出了乘法带足矩形带的幂等半环的结构矩形带足左零带和右零带的直积 在 2 ， 3 中，给出了几类幂等分配半环的结构，其中包含了加法带是矩形带的幂 等半环通过证明，乘法半群的7 0 关系和c 关系都是半环同余，而且冗nc 是 恒等关系，得到乘法矩形带幂等半环是乘法左零带幂等半环和乘法右零带的幂等 半环的直积 解决带的结构，平移壳是关键，为了研究清楚幂等半环的结构，在第二节中， 建立了幂等半环的甲移壳，其中二者有相同的地方，也有很多不同的地方为此， 定义幂等半环的内左平移和内右平移形式上和乘法半群带的内左平移和内右平 移是一致的，用点点加定义内左( 右) 平移的加法映射的复合定义内左( 右) 平移 的乘法，类似带，抽象定义出幂等半环的左平移，右平移，相关联对，平移壳等，并 且证明了如此构造的平移壳按上面的加法和乘法构成幂等半环，而且幂等半环足 它的平移壳半环的同态像 在文 4 中，p a s t i j n 和x i a n z h o n gz h a o 给出了d 一关系是幂等半环的同余的 条件，所以在第三节中，考虑了d 一关系是半环同余，并且对所有的元素x ：y ，满足 等式x y x + y x + x y + y x y = x + y 的这一类幂等半环，借助幂等半环的平移壳给出了 类似半群的强半格，文 1 7 给出了半环的强分配格的定义，并且证明了加法是正 + 规带，口关系是强分配格同余的幂等半环是加法为矩形带的幂等半环的强分配 格在 1 6 】中，作者引入了半环的强b 一格，证明了广义的c l i f f o r d 半环是s k e w - 环的强b 一格在本章的最后一节中证明了加法正规幂等半环是加法矩形带幂等 半环的强b 格 下面图表给出本文研究半环之间的关系： 6 半群类和半环类的关系对照图 前言 图1 对于本论文中没有给出的术语和记号，请参阅 1 2 ， 1 0 ， 4 ， 1 7 第一章具有k 一理想的a r - 半环 逆半群的很多性质在 9 中都有介绍，尤其是b 酉逆半群，每一个逆半群都 是一个b 酉逆半群的同态像m c a l i s t e r ( 9 ) 用m c a l i s t e r 三元组建立了b 酉逆 半群的结构该定理称为p 一定理利用m c a l i s t e r 的p - 定理，o c a r r o l l ol ( 【1 8 】) 证明了每一个b 酉逆半群可以嵌入一个半格与一个群的半直积 在本章第一节中，定义加法是逆半群的半环为a i 一半环( 1 6 ) ，在每一个含k _ 理想e + ( s ) 的a i 一半环中，它的加法半群都是b 酉逆半群，由于7 各关系和c 一 关系都是乘法半群的同余，而且在加法逆半群中，加法最小群同余是a i 一半环的 最小s k e w - 环同余，那么由半格到b 一格，群到s k e w - 环，可以相应地构造一个半 环的m c a l i s t e r 三元组( r ，疋，y ) ，这里( 石，) 是一个偏序集，( y ，) 是石的加 法理想，而且( y ， ，) 还是一个b 一格半环的m c a l i s t e r 三元组的加法与半群的 m c a l i s t e r 三元组一致，但考虑乘法，增加了条件( 尸5 ) ( 具体见下文) 证明了每一 个含k - 理想e + ( s ) ，且e + ( s ) 是b 一格的a i 一半环是s 都同构于这样的一个半 环m c a l i s t e r 三元组( r ，彤，y ) ，给出了带k - 理想e + ( s ) ，且e + ( s ) 是b 一格的 a i - 半环的结构 文f 2 0 中，定义了六元组和一类p o 半群，给出了d 酉正则半群的一种结构 形式本章第二节构造了( r ，x ，人， 亿，p ) ， 叩口，p ) ) 是p o - 六元组，定义了p o 一 半环，p o 半环的加法半群是p o 一半群p o 一半环p o ( r ，x ，vi ，a ， ，序) ， 醒，口) ) ， 区别于p o 一半群，这里r 是左作用在偏序集x 上的序同构s k e w - 环，y 是一个 半环，它的加法半群( f + ) 是半格，而且是x 的序理想，考虑乘法半群，增加了条 件( 2 ) ，( 3 ) ，( 4 ) 和( p 0 2 ) 中的( g ) ，( 日) ，( ，) ，( j ) ，( k ) ，( l ) ( 见下文) ，得到p o 半环， 它是一个含k - 理想的加法是正则半群的半环 称加法半群是正则半群的半环为a r - 半环( 16 ) ，在每一个含k 理想e + ( s ) 的a r - 半环中，它的加法半群都是d 酉正则半群，( e + ( s ) ，+ ) 是带，因为了是半 环e + ( s ) 上的同余，而且( k + ) 是半格结合最小s k e w - 环同余仃( 6 ) ，证明了 每一个含k 一理想e + ( s ) 的a r - 半环是s 都同构于一个p o 一半环 在文f 1 5 中，已经详细的讨论完全正则半群的性质和各种特殊完全正则半群 的结构，尤其是纯整半群的结构群并半群称为完全正则半群，在文 5 中，研究 了环并半环，给出环并半环的若干结构定理在里面，关注了这样的一类半环，它 的加法半群是完全正则半群，每一个h 一类都足极大子环，而且加法幂等元集构 成子半环，它同构于幂等半环和加法交换的c l i f f o r d - 半环的织积 7 8第一章具有k 理想的a r - 半环 在本章第三节，思考某些s k e w - 环并半环的结构完全正则半环( 1 6 】) 的每 一个咒类都是一个s k e w - 环，即它是s k e w - 环的并注意到完全正则半环，它的 加法半群不一定是纯整半群，所以考虑加法幂等元集e + ( s ) 成为其子半环的这 样一类完全正则半环，将它定义为纯整群半环纯整半群是带和c l i f f o r d - 半群的 织积纯整群半环的加法半群是纯整半群，所以考虑纯整群半环的结构，可以借鉴 纯整半群的结构，和环并半环的结构，证明了纯整群半环的冗关系是最小幂等 半环同余，定义了关系z ( 详细见本文第一章) ，并且证明了是最小加法c u 舫r d 半环( 1 6 ) 同余，注意到n7 - 1 = 1 s ，得到每一个纯整群半环都是幂等半环和加 法不交换c l i f f o r d 半环的织积 1 1 具有k - 理想的a i 一半环 半环( s ，+ ，) 是一类( 2 ，2 ) 代数，这里( s ，+ ) 和( s ，) 都是半群，并且满足乘 法对加法分配，即对于任意a ，b ，c s ，有a ( b + c ) = a b + a c 和( b + c ) a = b a + c a 如果( s + ) 和( s ，) 都是带，那么称半环( s ，+ ，) 是幂等半环用e + ( s ) e 。( s ) 表示半环s 的加法( 乘法) 幂等元集( 见 1 2 】) 对于任意半环s ，它的加法半群上的g r e e n t - 关系记为h ，s 中任意元素a 所在的h 一类，记为咒o ，冗。中的零元记为0 。相应地，在s 的乘法半群上有记 号“和冗。关于其他的g r e e n 关系c ，冗，d 和歹也有类似的记号( 见 1 2 ) 如果半环( s ，+ ，- ) 的加法半群( s ，+ ) 是半格，乘法半群( s ，) 是带，称半环 ( s + ，) 为b 一格，见 1 7 如果半环( s ，+ ，) 的加法半群( s ，+ ) 群( 不一定交换) ， 称半环( s ，+ ，) 为s k e w - 环 半环s 的一个理想j 是一个k - 理想，如果a i ，并且对于某一x s ， a + x i 或者z + a i ，必有x ，( 见 1 6 ) 称半环( s + ，) 为a i 一半环( 1 6 】) ，如果它的加法半群( s ，+ ) 是逆半群如 果s 是一个含有k - 理想e + ( s ) 的a i 一半环，那么( s ，+ ) 是一个e 一酉逆半群 引理1 1 1s 是一个含有七一理想e + ( s ) 的a 半环，那么 ( 1 ) 在s 上定义关系7 如下： ，y 是s k e w 一环同余i + ( 2 ) 冗n7 = i s a t b 错( 3 e e + ( s ) ) e + a = e + b j 1 具有虹理想的a l 半环 证明：显然口 9 引理1 1 2s 是一个含有珏理想e + ( s ) 的a ，半环，那么，e + ( s ) 是一个b - l 格当且仅当s 上的格林关系冗是一个b 一格同余 证明：显然口 在这一部分，s 都是一个含有k 理想e + ( s ) 的a i 半环，而且e + ( s ) 是一 个b 格集合e + ( s ) 简记为e 设( 石，) 是一个偏序集，( y ，) 是石的子集，而且满足一下条件： ( p 1 ) y 是一个b 一格，它的加法用偏序定义，即对任意a ，b y ，有最大下 界aab ，使得a + b = aab ； ( p 2 ) y 是z 加法理想，也就是说，对任意a ，x z ， a y ，x a 令x y ； 说双射a ：x 一疋是一个序自同构，如果对所有a ，b z ， a b 售o l a a b 现在设r 是一个s k e w - 环，r 是从左边作用石的序同构集，即对所有g ， h r ，a ，b y ，有： ( 1 ) g a = g b 乍a = b ，( v b x ) ( 3 a y ) ，使得g a = b ，a b 号 g a g b ， ( 2 ) g ( h a ) = ( g h ) a ， ( 3 ) 如果a ab 存在，那么g aag b 存在，并且g aag b = g ( aab ) ( p 3 ) r y = 石；也就是说，( v x 疋) ( 3 9 r ) ( 3 a y ) ，使得g a = x ； ( p 4 ) ( v g r ) g yny 历； ( p 5 ) ( v a ，b ，c y ) ( v g ，k ，h ，i r ) ，如果( - g ) a ，( - k ) a ，( - h ) b ，( 一i ) c y ，那么 a ( bah c ) = a ba ( g h ) ( a c ) = a ba ( k h ) ( a c ) ( bah c ) a = b aa ( h g ) ( c a ) = b aa ( h k ) ( c a ) 称有上面性质的三元组( 冗，彤，y ) 为一个半环m c a l i s t e r 三元组给定一个 满足上面条件的m c a l i s t e r 三元组( r ，石，y ) ，定义 m ( r z ，y ) = ( ( a ，g ) y r ：( - g ) a y ， 1 0 其加法乘法定义如下： 第一章具有虹理想的a r - 半环 ( a ，g ) + ( b ，h ) = ( a a g b ，g + h ) ( a ，g ) ( b ，h ) = ( a b ，9 h ) 定理1 1 3 设( 冗，z ，y ) 是一个半环m c a l i s t e r 三元组，那么m ( n ，疋，y ) 是含 有髓理想y o 的a l 半环反之，每一个含k 一理想e + ( s ) ，且e + ( s ) 是b 一 格的a 半环s 都同构于这样的三元组 证明：设( 冗，疋，y ) 是一个m c a l i s t e r 三元组，由定理5 9 2 ( 1 0 ) ，( m ( n ，z ，y ) ，+ ) 是一个b 酉逆半群因为y 是b 一格，兄是s k e w - 环，( m ( n ，z ，y ) ，) 是半 群，只需证明( m ( n ，z ，y ) ，+ ，) 满足分配律对任意的( a ，夕) ，( b ，九) ，( c ，i ) m ( r ，疋，y ) ，有( - g ) a ，( - h ) b ，( - i ) c y ，那么， 和 ( a ，9 ) 【( b ，h ) + ( c ，i ) = ( a ，9 ) ( bah c ，h + i ) = ( a ( bah c ) ，g h + g i )( 根据条件( p 5 ) ) = ( a ba ( 夕危) ( a c ) ) ，g h + g i ) = ( a b ，g h ) + ( a c ，g i ) = ( a ，9 ) ( b ，h ) + ( a ，9 ) ( c ，i ) ( b ，h ) + ( c ，i ) ( a ，g ) = ( b ah c ，h + i ) ( a ，g ) = ( ( bah c ) a ，h g + i g ) = ( b aa ( h g ) ( c a ) ，h g + i g )( 根据条件( p 5 ) ) = ( b a ，h g ) + ( c a ，i g ) = ( b ， ) ( a ，g ) + ( c ，i ) ( a ，9 ) 因此，m ( r ，z ，y ) 是一个带k - 理想yx o ) ，且yx o ) 是b 一格的a i 一半环 反之，设s 是一个含有k - 理想e + ( s ) ，且e + ( s ) 是b 一格的a i 一半环，根据 引理5 9 3 和定理5 9 2 ( 1 0 ) ，存在一个s 到e r 的双射咿：s 一( s + ( 一8 ) ，7 s ) ， 工1 具有虹理想的a 工- 半环 1 l 这里r = s - r 定义s k e w - 环兄对e xr 的左作用为：( v 九冗) ( v ( e ，g ) ex 冗) ， 九( e ，g ) = ( e ，h - i - 夕) 设 y = 妒( s + a ) ：a s ) = 妒( s + e ) ：e e ) 定义爿= r y ，这里，对a s ，g r 和a = 妒( s + a ) y ， g a = 夕妒( s + a ) = ( s + ( - 8 ) ，g + ( 一y s ) ) ：8 s + 口) 可以看到exr 的子集是集合石的元素，按照集合的包含关系，疋是一个偏序 集，而且这里存在一个兄到石的保序左作用可见在y 中，自然地定义加法，乘 法如下： 妒( s + a ) + 妒( s + b ) = 妒( s + a ) n 妒( s + b ) 和 妒( s + a ) 妒( s + b ) = 妒( s + a b ) ， 由于对所有e ，f e + ( s ) 和a ，b s ，有( e + s ) n ( f + s ) = ( e + f + s ) 和 ( s + o ) ( s + b ) = s + a b ，可见加法和乘法是良定义，y 是个b 一格，还是疋的序 理想 根据定理5 9 2 ( 1 1 0 ) ，只需证明( r ，疋，y ) 满足条件( p 5 ) 注意到a y 和 g r ，如果( - g ) a y ，那么存在u s ，满足( a ，g ) = ( 妒( s + 让) ，y 乱) 因此，对 任意妒( s + 6 ) ，妒( s + c ) ，妒( s + a ) = 妒( s + d ) y ，有 妒( s + o ) ( 妒( s + b ) n ( 7 6 ) 妒( s + c ) ) = 妒( s + n ) 妒( s + 6 + c ) = 妒( s + a b + a c ) = 妒( s + a b ) n ( 一y 0 6 ) 妒( s + a c ) = 妒( s + n ) 妒( s + b ) n ( ，y 口) ( 7 6 ) ( 妒( s + n ) 妒( s + c ) ) 同时， 妒( s 十d ) ( 妒( s + b ) n ( ，y 6 ) 妒( s + c ) ) = 妒( s + d ) 妒( s + b + c ) = 妒( s + d b + d c ) = 妒( s + d b ) n ( 7 d b ) 妒( s + d c ) = 妒( s + d ) 妒( s + b ) n ( 7 d ) ( 啪) ( 妒( s + d ) 妒( s + c ) ) 1 2 因此， 类似地， 第一章具有k 理想的a r - 半环 妒( s + n ) ( 妒( s + b ) n ( 7 6 ) 妒( s + c ) ) = 妒( s + n ) 妒( s + b ) n ( ，y a ) ( ，y 6 ) ( 妒( s + o ) 妒( s + c ) ) = 妒( s + d ) 妒( s + b ) n ( 7 d ) ( 7 6 ) ( 妒( s + d ) 妒( s + c ) ) = 妒( s + n ) 妒( s + b ) n ( 7 d ) ( ，y 6 ) ( 妒( s + o ) 妒( s + c ) ) ( 妒( s + b ) n ( 7 6 ) 妒( s + c ) ) 妒( s + a ) = 妒( s + b + c ) 妒( s + a ) = 妒( s + b a + c a ) = 妒( s + b a ) n ( 7 6 ) ( 7 口) 妒( s + c n ) = 妒( s + 6 ) 妒( s + a ) n ( 7 b ) ( y a ) c z ( s + c ) 妒( s + a ) = 妒( s + 6 ) 妒( s + a ) n ( ，y 6 ) ( 7 d ) 妒( s + c ) 妒( s + a ) 所以( r ，疋，y ) 满足条件( p 5 ) 因此，m ( 冗，z ，y ) 是一个半环根据定理5 9 2 ( 1 0 】) ，m ( 冗，z ，y ) 是一个含有k 一理想y 7 e ) ( e e + ( s ) ) ，而且y _ 【7 e ) ( e e + ( s ) ) 是b 一格的a i 一半环 定义下面映射 p ：s _ 朋( 冗，z ，y ) ，o a = ( 妒( s + n ) ，7 a ) 根据定理5 9 2 ( 1 0 ) ，显然臼是良定义，而且是双射，只需证口是同态映射就行 对任意a ，b s ， o ( a + b ) = ( 妒( s + a + 6 ) ，7 ( n + 6 ) ) = ( 妒( s + a ) n ( 7 口) 妒( s + 6 ) ，7 a + 7 b ) = ( 妒( s + o ) ，7 a ) + ( 妒( s + 6 ) ， y b ) = o ( a ) + o ( b ) 1 2 具有缸理想的a r 一半环 和 e ( a b ) = ( 妒( s + a b ) ，t a b ) = ( 妒( s + n ) 妒( s + 6 ) ，( ，y 口) ( ，y 6 ) ) = ( 妒( s + 口) ，一y n ) ( 妒( s + 6 ) ，( 一y 6 ) ) = p ( n ) 日( 6 ) 因此，s 同构于m ( 冗，z ，y ) 口 1 3 例子1 1 4 设石= a ，b ，c ) ，在疋上定义偏序4 b ，a c ，那么疋是一个 偏序集，设y = a ，b ) ，那么，y 是石的序理想，再设( y ，) 是左零带，r = o ，9 ) 是s k e w 一环，其加法与乘法c a y l e y 表如下： s k e w 一环r 对y 的序同构作用如下巾a = a ，o b = b ，g a = a ，g b = c ，容易验证 ( a ，o ) ，( b ，o ) ，( a ，9 ) ) 是一个含有k 一理想( ( a ，o ) ，( b ，o ) ，而且 ( a ，o ) ，( b ，o ) ) 是b 一格的a l 半环 1 2 具有k - 理想的a r - 半环 称加法是正则半群的半环为a r - 半环( 1 6 ) ，设( s ，+ ，) 是一个含有k 理 想e + ( s ) 的a r - 半环，那么( s + ) 是一个纯整半环，即( e + ( s ) ，+ ) 是带现在 假设( s ，+ ，) 是一个含有k - 理想e + ( s ) 的a r - 半环 设r 是左作用在偏序集x 上的序同构s k e w 环，y 是一个半环，它的加法半 群( + ) 是半格，而且是x 的序理想，满足条件兄y = x 和对所有的g r ， g y n y 妒，那么称三元组( r ，x ，y ) 为半环m c a