（基础数学专业论文）函数空间上的toeplitz算子及hankel算子.pdf

大连理工大学博士学位论文 摘要 t o e p l i t z 算子和h a n k e l 算子是函数空间上两类重要的的算子由于与算子理论、函 数论、b a n a c h 代数等数学分支的紧密联系和在物理、概率论、信息控制论等学科中的广 泛应用，这两类算子成为算子理论的热门研究方向，吸引了众多学者的关注上世纪5 0 年 代以来，数学家们对t o e p l i t z 算子和h a n k e l 算子进行了深入的研究，取得了大量重要的成 果但到目前为止，对于t o e p l i t z 算子和h a n k e l 算子还有许多重要的问题没有得到解决， 特别是多变量的t o e p l i t z 算子和h a n k e l 算子本文主要研究单位圆周上k 阶斜t o e p l i t z 算子的交换性和本性交换性、单位圆盘的加权b e r g m a n 空间上t o e p l i t z 算子的交换性和 亚正规性，以及单位球的加权b e r g m a n 空间上t o e p l i t z 算子乘积的有界性和h a n k e l 算子 乘积的有界性及紧性 第二章研究了l 2 ( t ) 上的k 阶斜t o e p l i t z 算子的性质，得到了两个k 阶斜t o e p l i t z 算 子可交换的充要条件及其乘积和换位子是紧算子的充要条件，特别地，给出了两个k 阶斜 t o e p l i t z 算子的交换性与本性交换性是一致的在此基础上，通过对单位圆周t 上本性有 界函数性质的研究，给出了以特殊函数为符号的两个k 阶斜t o e p l i t z 算子本性可交换的充 要条件 第三章利用m e l i n 变换研究了单位圆盘的加权b e r g m a n 空间上t o e p l i t z 算子的性质 首先得到了以有界函数为符号的t 0 e p l i t z 算子和以单项式函数为符号的t o e p l i t z 算子可交 换的充要条件，同时给出了f 0 ，1 ) 区间上的有界函数的m e l l i n 变换为有理函数的充要条件 其次，借助于有界函数的m e u i n 变换的性质，得到了以特殊函数为符号的t o e p l i t z 算子为 亚正规算子的一些充要条件和充分条件 第四章研究了单位球的加权b e r g m a n 空间上t o e p l i t z 算子乘积和h a n k e l 算子乘积 的性质设一1 7 o 。，对于满足s u p 山b 。b i l l 2 ( 叫) b i g l 2 ) 7 的参数q ，砰霹：a 苎一a ：确定了一个有界线性算子，以及对 每个满足- 1 o l 1 的参数o t ，即霹：a 三一a ：是一个有界线性算子其次，利用算 子搿o 楷) 的表达式给出了h a n k e l 算子乘积有界的充分条件和必要条件，同时指出了 h a n k e l 算子乘积紧性的充要条件 关键词：t o e p l i t z 算子；h a n k e l 算子；b e r g r n a n 空间；单位圆盘；m e l l i n 变换 大连理工大学博士学位论文 t o e p l i t zo p e r a t o r sa n dh a n k e lo p e r a t o r so nt h ef u n c t i o ns p a c e s a b s t r a c t t o e p l i t zo p e r a t o r sa n dh a n k e lo p e r a t o r sa r et w ot y p e so fi m p o r t a n to p e r a t o r so i lt h e f u n c t i o ns p a c e s b yr e a s o nt h a tt h e ya r ec l o s e l yr e l a t e dw i t ho t h e rb r a n c h e so fm a t h e m a t i c s ，s u c h 嬲o p e r a t o rt h e o r y , f u n c t i o nt h e o r y , b a n a c ha l g e b r a ，a n dh a v em a n yi m p o r t a n t a p p l i c a t i o n si np h y s i c s ，p r o b a b i l i t y , c o n t r o la n ds oo n ，t o e p l i t zo p e r a t o r sa n dh a n k e lo p - e r a t o r sb e c o m et h eh o tp r o b l e m sf o rd i s c u s s i o ni nt h ef i e l do fo p e r a t o rt h e o r y , a n dh a v e a t t r a c t e dm u l t i t u d i n o u ss c h o l a r sa t t e n t i o n s i n c e1 9 5 0 s ，t h e yh a v eb e e ns t u d i e di nd e p t h b ym a n ym a t h e m a t i c i a n sa n dal o to fi m p o r t a n ta c h i e v e m e n t sh a v eb e e no b t a i n e d b u t s of a rt h e r ee x i s tm a n yu n s o l v e dp r o b l e m sa b o u tt o e p l i t zo p e r a t o r sa n dh a n k e lo p e r a t o r s ， i np a r t i c u l a r ，o i lt h eh i g h e rd i m e n s i o n a lr e g i o n t h em a i nw o r ko ft h i st h e s i si st od i s c u s s t h e ( e s s e n t i a l ) c o m m u t a t i v i t yo fk t h - o r d e rs l a n tt o e p l i t zo p e r a t o r so nt h eu n i tc i r c l e ，t h e c o m m u t a t i 们田a n dh y p o n o r m a l i t yo ft o e p h t zo p e r a t o r so nt h ew e i g h t e db e r g m a ns p a c e so f t h eu n i td i s k ，t h eb o u n d e d n e s so ft o e p l i t zp r o d u c t sa n dt h eb o u n d e d n e s sa n dc o m p a c t n e s s o fh a n k e lp r o d u c t so nt h ew e i g h t e db e r g m a ns p a c e so ft h eu n i tb a l l t h es e c o n dc h a p t e rs t u d i e st h ep r o p e r t i e so fk t h _ o r d e rs l a n tt o e p l i t zo p e r a t o r s w e o b t a i nt h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h e ( e s s e n t i a l ) c o m m u t a t i v i t yo fk t h - o r d e r s l a n tt o e p l i t zo p e r a t o r sa n dt h ec o m p a c t n e s so fp r o d u c t so fs u c ho p e r a t o r s ，i np a r t i c u l a r ， t h ec o m m u t a t i v i t ya n dt h ee s s e n t i a lc o m m u t a t i 访锣o fs u c ho p e r a t o r sa r ei na c c o r d b e s i d e s ， t h r o u g ht h es t u d yo fe s s e n t i a l l yb o u n d e df u n c t i o n so nt h eu n i tc i r c l e ，w eg e tt h en e c e s s a r y a n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee s s e n t i a lc o m m u t a t i 讥t yo fk t h - o r d e rs l a n tt o e p l i t zo p e r a t o r s 祈t hs p e c i a ls y m b 0 1 j s b ym e l l i nt r a n s f o r mt h ep r o p e r t i e so ft o e p l i t zo p e r a t o r so nt h ew e i g h t e db e r g m a n s p a c e so ft h eu n i td i s ka r es t u d i e di nt h et h i r dc h a p t e r 。f i r s t l y , w eg e tt h en e c e s s a r ya n d s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt o e p l i t zo p e r a t o r st h a tc o m m u t e sw i t ha n o t h e rs u c ho p e r a t o rw h o s e s y m b o li sam o n o m i a l ，m e a n w h i l e ，w ec o m p l e t e l yc h a r a c t e r i z ew h e nt h em e n i nt r a n s f o r m o ft h eb o u n d e df u n c t i o no nt h ei n t e r v a l 0 ，1 ) i sar a t i o n a lf u n c t i o n s e c o n d l y , b ym e a n so f t h ep r o p e r t i e so ft h em e l l i nt r a n s f o r m ，w eo b t a i ns o m en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n s f o rt h eh y p o n o r m a l i 锣o ft o e p l i t zo p e r a t o r sw i t hs p e c i a ls y m b o h t o e p l i t za n dh a n k e lp r o d u c t so nt h ew e i g h t e db e r g m a ns p a c eo ft h eu n i tb a l la r ei n v e s t i g a t e di nc h a p t e r4 l e t - 1 - y o o ，f o r 厂，g a ；s a t i s f y i n gs u p 风b 0 1 1 1 2 ( 训) b i g l 2 】( ) 7a n dt h eo p e r a t o r 刁瑁：a 苎_ a 三i sab o u n d e do p e r a t o rf o r 一1 o 日a + b g ，a f + 的i 垦日o 。+ c 当且仅当对每个支集s ， 下面的条件之一成立：( 1 ) i 。和g l 。属于h 0 0 l 。；( 2 ) 厂l 。和- l 。属于日o o l 。；( 3 ) 存在不全 2 大连理工大学博士学位论文 为零的常数n ，b 使得n ，+ 的i 是常数，这里日f ，1 是由己中的函数厂生成的d o u g l a s 5 oo 代数 在单位圆盘的b e r g m a n 空间上，对t o e p l i t z 算子交换性研究第一个完整的结果是由 a x l e r 和z e l j k oc u 芒k o v i d 得到的他们在f 1 5 】中证明了以有界调和函数为符号的t o e p l i t z 算子乃和e 可交换的充要条件是b r o w n 和h a l m o s 在h a r d y 空间中给出的s t r o e t h o f f 在1 6 1 中研究了以调和函数为符号的t o e p l i t z 算子的本性交换性，得到了两个以调和函数 为符号的t o e p l i t z 算子本性可交换的充要条件a x l e r 、z e l j k oc u 琶k o v i 6 和r a o 在17 中 证明了：若两个t o e p l i t z 算子可交换，并且其中一个t o e p l i t z 算子的符号是非常数的解析 函数，则另一个t o e p l i t z 算子的符号也是解析的此外，z 。e l j k oc u 琶k o v i 6 和r a o 研究了与 以单项式函数为符号的t o e p l i t z 算子可交换的t o e p l i t z 算子的性质，得到了充要条件f 1 8 近来，l o u h i c h i 和z a k a r i a s y 在f 1 9 1 中研究了以拟齐次函数为符号的t o e p l i t z 算子的性质， 得到了以8 次拟齐次函数为符号的t o e p l i t z 算子和以k 次拟齐次函数为符号的t o e p l i t z 算 子可交换的充要条件，这里s 和七都是整数，此外，他们还得到了带有一般符号的t o e p l i t z 算子和带有k 次拟齐次符号的t o e p l i t z 算子可交换的必要条件 在多复变量的b e r g m a n 空间上，情况更为复杂运用朋调和函数理论，z h e n g 在f 2 0 中研究了单位球风的b e r g m a n 空间上或单位球面& 的h a r d y 空间上以多重调和函数为 符号的可交换t o e p l i t z 算子的性质，证明了以多重调和函数妒为符号的t o e p l i t z 算子乃 和以多重调和函数矽为符号的t o e p l i t z 算子可交换当且仅当下面条件之一满足：( 1 ) 妒 和矽在玩上解析，( 2 ) 和妒在鼠上解析，( 3 ) 妒或妒在鼠上是常数，( 4 ) 存在非零常数 6 使得妒一渺在鼠上是常数；l e e 在f 2 1 1 中研究了加权的情况近来，q u i r o g a - b a r r a n c o 和v a s i l e v s k i 在2 2 和f 2 3 1 中研究了t o e p l i t z 算子的交换矿代数在f 2 4 1 中s u n 和z h e n g 证明了多元盘的b e r g m a n 空间上解析t o e p l i t z 算子的共轭算子口和解析t o e p l i t z 算子 已本性可交换当且仅当它们可交换l u 在f 2 5 1 中刻画了双圆盘的b e r g m a n 空间上带有 日o 。( d 2 ) + 日o 。( d 2 ) 符号的可交换t o e p l i t z 算子c h o e 、k o o 和l e e 在f 2 6 中研究了多元 盘的b e r g m a n 空间上以多重调和函数为符号的( 本性) 可交换t o e p l i t z 算子的性质 ， 1 1 。2 t o e p l i t z 算子的亚正规性 到目前为止，对h a r d y 空间上t o e p l i t z 算子的亚正规性的研究已经取得了很多成果， 具体可见f 2 7 - 4 3 特别地，f a n 在f 2 8 1 中研究了以多项式函数为符号的t o e p l i t z 算子的 亚正规性，得到了以函数妒( 名) = ：一一，a k 为符号的t o e p l i t z 算子是亚正规的当且仅当 i a 2 1 2 一i a _ 2 1 2 l a 2 h - - j - i h - - 写_ 2 a 1 1 在 3 0 】中c o w e n 研究了以函数妒= ，+ 耍p ( t ) 为符 号的t o e p l i t z 算子已的亚正规性，这里，g 日2 ( ) ，得到了已是亚正规的当且仅当集合 恐日( ) ：l i k l l o 。1 ，妒一婶日o 。( ，) 不是空集，等价地，存在满足l i h l l 墨1 的函 数h 日o 。( - ) 及常数c 使得g = c + 死厂n a k a z i 和t a k a h a s h i 在3 1 1 中推广了c o w e n 的 这个结果g u 在3 2 1 中将c o w e n 的结果推广到向量值t o e p l i t z 算子之后z h u 在3 3 1 中 3 函数空间上的t o e p l i t z 算子及h a n k e l 算子 详细阐述了c o w e n 的结果，并且证明了以( 三角) 多项式函数为符号的t o e p l i t z 算子的亚正 规性的问题可以简化为函数论中经典的s c h u r 算法之后l e e 和其他学者对以多项式函数 等有界函数为符号的t o e p l i t z 算子的亚正规性进行了研究，相继取得了大量的成果 在单位圆盘的b e r g m a u 空间a 2 上，s 钺i r a o u 在中研究以函数，+ 虿为符号的 t o e p l i t z 算子乃粕的亚正规性，这里，和夕都是有界解析函数，得到了t o e p l i t z 算子 乃+ 誊是亚正规的当且仅当下列条件之一成立：( 1 ) 皤岛衅月；( 2 ) 对任意k a 2 ， | | ( ，一p ) ( 歹七) i i i i ( i p ) ( 一f k ) t l ；( 3 ) 对任意k a 2 ，i i 虿七1 1 2 一i i p ( 虿k ) 1 1 2 1 1 7 k l l 2 一i i p ( - f k ) 1 1 2 ； ( 4 ) 皤= c 三一，这里c 的范数小于等于1 p a t r i c ka h e r n 和z 。e 1 k oe u 邑k o v i 6 在f 4 5 中运 用均值不等式和b e r e z i n 变换将s a d r a o u 的结果一般化在【4 6 中h w a n g 讨论了以，+ 虿 为符号的t o e p l i t z 算子乃撕的亚正规性，其中厂与夕均是多项式，得到了一个充要条件及 一些必要条件h w a n g 和l e e 在f 4 7 1 中研究了以特殊函数为符号的t o e p l i t z 算子的亚正规 性，得到了必要条件最近，h w a n g 在 4 8 中讨论了以特殊函数为符号的t o e p l i t z 算子的 亚正规性，并得到了一些结果 尽管在t o e p l i t z 算子亚正规性方面成果众多，但t o e p l i t z 算子亚正规性问题的解决还 很遥远 1 1 3 t o e p l i t z 算子乘积 关于t o e p l i t z 算子乘积的问题是：什么时候t o e p l i t z 算子的乘积仍是一个t o e p l i t z 算 子，什么时候t o e p l i t z 算子的乘积是零算子及t o e p l i t z 算子的乘积有哪些代数性质这些 问题与算子所带符号之间存在着密切联系 在h a r d y 空间铲( t ) 上，s a r a s o n 首先在 4 9 中提出了稠定义的t o e p l i t z 算子乘积 乃码什么时候有界的问题，他猜想t r e i l 得到的必要条件也是t o e p l i t z 算子乘积有界的一 个充分条件，这个问题与l 2 ( t ) 上的双权h i i b e r t 变换的有界性有着紧密联系f 5 0 1 在f 5 1 1 中c r u z - u r i b e 研究了以外函数为符号的t o e p l i t z 算子乘积的有界性和可逆性z h e n g 在 5 2 1 中证明了只要比s a r a s o n 猜想的条件稍强一点就是t o e p l i t z 算子乘积有界的一个充分 条件，部分地回答了s a r a s o n 的问题在5 3 1 中z h e n g 还给出了单位球的h a r d y 空间上两 个t o e p l i t z 算子的乘积是一个t o e p l i t z 算子的紧扰动的一个充分条件尽管在h a r d y 空 间上t o e p l i t z 算子乘积有界性方面已取得了很多成果，但在f 5 4 1 中n a z a r o v 否定地回答了 s a r a s o n 提出的这个猜想 在b e r g m a n 空间上，s a r a s o n 也提出了稠定义的t o e p l i t z 算子乘积什么时候有界的问 题 4 9 在【5 5 】中s t r o e t h o f f 和z h e n g 给出了t o e p l i t z 算子乘积有界和紧的充分条件及必 要条件，这些结果与f 5 2 1 中h a r d y 空间上的结论相似s t r o e t h o f f 和z h e n g 在5 6 1 中讨论 了h a r d y 空间和b e r g m a n 空间上t o e p l i t z 算子乘积的可逆性，此外他们还研究了单位圆盘 的加权b e r g m a n 空间、多圆盘的b e r 目m a a 空间和单位球的加权b e r g - m a m 空间上t o e p l i t z 算子乘积的有界性 5 7 5 9 1 p o r t 和s t r o u s e 在【6 0 1 中讨论了单位圆盘的加权b e r g m a n 4 大连理工大学博士学位论文 空间上t o e p h t z 算子乘积的有界性，得到了一些充分条件和一个必要条件，并得到了若 ，夕铲( ) ，t o e p l i t z 算子乘积碍碍有界的充要条件在f 6 1 1 中p a r k 研究了单位球的 b e r g - m a n 空间上t o e p l i t z 算子乘积的有界性，得到了与f 5 5 1 类似的结论 尽管对t o e p l i t z 算子乘积有界性的研究已经取得了很多成果，但是这些结论中几乎 都不是充要条件，也就是说以上几乎所有的结论都没有肯定地回答s a r a s o n 的问题最近， d i e u d o n n ea g b o r 在 6 2 中证明了若函数厂，g a 2 ( d ) 满足s u p u d b i f l 2 】p ) b f 2 】( ) o o ，则t o e p l i t z 算子乘积乃巧在b e r g - m a n 空间上是有界的这与s t r o e t h o f f 和z h e n g 在 f 5 5 1 中所得结论一起完整地刻画了b e r g m a n 空间上t o e p l i t z 算子乘积t ，码的有界性 在h a r d y 空间上，a x l e r 、c h a n g 和s a r a s o n 找到了两个t 0 e p r i t z 算子乘积是一个 t o e p l i t z 算子的紧扰动的一个充分条件f 6 3 v o l b e r g 在f 6 4 1 中推广了他们的研究，得到了 一个充要条件对t o e p l i t z 算子有限乘积的有限和是否是一个t o e p h t z 算子的紧扰动这个 问题，在f 6 5 1 中g u 给出了单位圆盘的h a r d y 空间上的一个充要条件由于多圆盘的复杂 性，d i n g 仅给出了这个问题的一个必要条件f 6 6 1 在b e r g - m a n 空间上，许凤和卢玉峰找到 了两个t o e p h t z 算子的乘积是一个t o e p l i t z 算子的紧扰动的一个充分条件f 6 7 1 1 1 4h a n k e l 算子乘积 众所周知，h a n k e l 算子、t o e p l i t z 算子和乘法算子之间存在着密切联系以单位圆盘 的b e r g m a n 空间为例，在分解l 2 ( d ) = a 2o ( a 2 ) 上下，以有界可测函数，为符号的乘法算 子m j 可以表示为 m s ：r 一手1 ， h fs f ) 这里乃、毋和毋分别是以函数，为符号的t o e p l i t z 算子、h a n k e l 算子和对偶t o e p l i t z 算子 在h a r d y 空间h 2 ( f ) 上，b r o w n 和h a l m o s 在 3 中证明了日；凰= 0 当且仅当 日，= 0 或岛= 0 ，其中，或9 是解析函数v o l b e r g 和a x l e r 等人利用函数代数方法给出 了一t t t , = 巧是紧算子的充要条件 6 3 ，6 4 在单位圆盘的b e r g - m a n 空间上，a x l e r 及g o r k i n 在【6 s 中和z h e n g 在 6 9 】中证明 了对有界调和函数，和9 ，日；岛是紧算子的充要条件是对每个h o f f m a n 映射k 都有 ，ol m h o 。( d ) 或g ol m h 。( d ) l u 和s h a n g 研究了单位圆盘的加权b e r g m a n 空间 上h a n k e l 算子乘积的有界性和紧性f 7 0 1 ，得到了h a n k e l 算子乘积有界的一个充分条件和 一个必要条件，并得到了权为非负整数时h a n k e l 算子乘积紧的充要条件l u 和y a n g 在 7 1 】中研究了单位圆盘的加权b e r g m a n 空间上h a n k e l 算子乘积的有界性和紧性，得到了 对任意大于1 的权h a n k e l 算子乘积有界和紧的一些结论 在单位球的b e r g - m a n 空间上，z h e n g 在【7 2 】中证明了对有界多重调和函数厂和夕， 5 函数空间上的t o e p l i t z 算子及h a n k e l 算子 日；峨是紧算子的充要条件是对每个映射都有，o 矽铲( & ) 或g 。h 2 ( & ) ，并证明 了在单位球的h a r d y 空间日2 ( & ) 和b e r g - m a n 空间a 2 ( b n ) 上，日；h e = 0 等价于，或夕是 单位球鼠上的解析函数z h e n g 在5 3 1 中对单位球的h a r d y 空间上h a n k e l 算子乘积做 了研究，对有界函数，和9 ，给出了算子日；凰是紧算子的一个充要条件 g u 和z h e n g 在f 7 3 1 中研究了双圆盘的h a r d y 空间上h a n k e l 算子乘积日；鼠的 紧性，得到了一个必要条件，且对变量可分离的有界函数，( z 1 ，2 ：2 ) = l ( z 1 ) ( 2 2 ) 和 g ( z 1 ，z 2 ) = g l ( z 1 ) 夕2 ( 勿) ，给出了h a n k e l 算子乘积日；凰是紧算子的一个充要条件在 5 5 中s t r o e t h o f f 和z h e n g 得到了h a n k e l 算子乘积有界的一个类似于充分条件的必要条件 l u 和s h a n g 在f 7 4 ，7 5 1 中研究了多圆盘的b e r g - m a n 空间上h a n k e l 算子乘积的有界性和紧 性，得到了一些结论 对于多个h a n k e l 算子的乘积也有一些成果在经典的h a r d y 空间上，x i a 和z h e n g 在7 6 】中给出例子证明了日ig s 2 日乞= 0 与日，1 、日如和日厶中至少有一个等于0 是不 等价的，这与b r o w n 和h a l m o s 在3 1 中得到的结论是不同的，并证明了对所有的置换仃， 吒( 1 ) 地( ：) 屹( 3 ) = 0 的充要条件是鲰( 1 ) = 0 或觋( 。) = 0 或g s o ( 。) = 0 成立此外，在 7 7 中g u 研究了h a r d y 空间上h a n k e l 算子的乘积在什么条件下仍是一个h a n k e l 算子的 问题 1 1 5 斜t o e p l i t z 算子 斜t o e p l i t z 算子是算子理论中一类特别重要的算子自上世纪九十年代以来，国内外 很多学者对斜t o e p l i t z 算子及其谱的性质展开了深入的研究，并取得很多结论 过去的几十年间，在数据压缩、特殊类微分方程的求解等一些应用中，逐渐将对 f o u r i e r 变换的兴趣转移到小波变换上，并对其进行了深入的研究在小波分析领域中，许 多学者已经将斜t o e p l i t z 算子巩在l 2 ( t ) 的不同子空间上的限制的谱性质与小波的光滑 性联系起来( 见f 7 8 - 8 3 ) 例如，v i l l e m o e s 已经将标度函数的b e s o v 正则性和驴( r ) 上斜 t o e p l i t z 算子乩的谱半径联系起来；c o h e n 和d a u b e c h i e s 已经运用斜t o e p l i t z 算子矾1 2 在c o o ( ) 的子空间上的谱半径给出了显式公式来计算标度函数的h s l d e r 指数 在单位圆周上，m a r k 首先在8 4 1 中介绍了l 2 ( t ) 空间上的斜t o e p l i t z 算子，研究了这 类算子的范数、谱、紧性、特征向量等基本性质和一些代数性质，并得到了l 2 ( t ) 空间上 的有界线性算子a 是一个斜t o e p l i t z 算子当且仅当尥a = a 必。在 8 5 中m a r k 得到了 以连续函数妒为符号的斜t o e p l i t z 算子玩的谱是闭圆盘，并且如果妒在单位圆周，上没 有零点，则观的谱的内部是由无限重数的特征值组成之后，m a r k 在【8 6 ，87 】中研究了斜 t o e p l i t z 算子的共轭算子的一些性质，例如谱的性质在 8 8 中t a d d e s s ez e g e y e 和a r o r a 研究了斜t o e p l i t z 算子在h a r d y 空间上的压缩的谱半径和谱的性质a r o r a 和b a t r a 研究 了推广的斜t o e p l i t z 算子的性质，例如紧性、亚正规性、等距性8 9 1 ，并在f 9 0 中研究了推 广的斜t o e p l i t z 算子在h a r d y 空间上的压缩的代数性质和谱性质 6 大连理工大学博士学位论文 在b e r g - m a n 空间上，a 卫和j i a uf 9 1 】首先研究了斜t o e p l i t z 算子的若干性质，并证明 了如果s 是斜t o e p l i t z 算子有限乘积的有限和，则s 为紧算子的充要条件是雪( 名) 一0 ( z 一 锄) 之后，y a n g 、l e n g 和l u 在【9 2 中定义了k 阶斜t o e p l i t z 算子，并讨论了一些性质， 例如，谱性质和交换性最近，m a 和x i a of 9 3 给出了加权b e r g - m a n 空间上斜t o e p l i t z 算 子的定义，讨论了加权b e r g * m a n 空间上斜t o e p l i t z 算子的性质，证明了斜t o e p l i t z 算子的 有限乘积的有限和是紧的当且仅当它的b e r e z i n 变换在边界上趋向于零，并利用b e r e z i n 变 换的方法讨论了加权b e r g m a n 空间上斜t o e p l i t z 算子的紧性问题 斜t o e p l i t z 算子的研究刚刚起步，仍有大量问题有待解决 1 2 本文主要工作 本文主要研究了单位圆周上k 阶斜t o e p l i t z 算子的交换性和本性交换性、单位圆盘 的加权b e r g m a n 空间上t o e p l i t z 算子的交换性和亚正规性，以及单位球的加权b e r g m a n 空间上t o e p l i t z 算子乘积和h a n k e l 算子乘积的性质 在第二章中，我们研究了工2 ( r ) 空间上k 阶斜t o e p l i t z 算子的性质首先给出了 两个以有界函数妒和矽为符号的k 阶斜t o e p l i t z 算子和的乘积为紧算 子当且仅当兰0 当且仅当妒( z 七) 矽= 0 其次，给出了两个以有界函数妒和妒为 符号的k 阶斜t o e p l i t z 算子和可交换当且仅当和本性可交换当且仅当 妒( 扩) 矽一妒( ) 妒= 0 最后，通过研究单位圆周上有界函数的性质，给出了以特殊函数为符 号的k 阶斜t o e p l i t z 算子和本性可交换的充要条件是存在不全为零的常数q 和p 使得q 妒+ 卢矽= 0 在第三章中，我们运用m e l l i n 变换研究了单位圆盘的加权b e r g m a n 空间上t o e p l i t z 算子的性质首先讨论了t o e p l i t z 算子的交换性，给出了以有界函数移为符号的t o e p l i t z 算子乃和以有界径向函数妒( r e 舶) = 7 m 为符号的t o e p l i t z 算子乃可交换当且仅当矽为 径向函数，并得到了以有界函数妒( r ) = k - - 一。e i k k ( r ) 为符号的t o e p l i t z 算子码与 以单项式函数妒( z ) = 名s 为符号的t o e p l i t z 算子死可交换的充要条件接着，对于【0 ，1 ) 区间上满足 妣，= 亟等等器粼 的有界函数帆( r ) ，讨论了五，知( z ) 的性质，得到了玩，j c ( z ) 为有理函数的充要条件其次，研 究了以有界函数为符号的t o e p l i t z 算子的亚正规性，得到了一个充分条件，并给出了以有 界函数e 湖( r ) 和：一o 。e 浓8 吼( r ) 为符号的t o e p l i t z 算子为亚正规算子的充要条件 在第四章中，我们研究了单位球的加权b e r g m a n 空间上t o e p l i t z 算子乘积和h a u k e l 算子乘积的性质设- 1 7 。，对满足s u p 风b i f l 2 ( 似) 日 i g l 2 】( 叫) ，y 的参数q 和每个满足一1 7 的参数p ，算子 碍碍：a 三一a 乏和霉露：a ；一a ；均是有界线性算子其次，利用算子船o 船) 的表 7 函数空间上的t o e p l i t z 算子及h a n k e l 算子 达式，给出了h a n k e l 算子乘积有界的一个充分条件和一个必要条件，虽然不能证明我们所 得的必要条件也是充分条件，但这个必要条件已很接近充分条件最后，讨论了h a n k e l 算 子算子乘积的紧性，得到了一个充要条件 8 大连理工大学博士学位论文 2 单位圆周上k 阶斜t o e p l i t z 算子的交换性 2 1引言 在本章中设忍2 是固定的正整数，c 是复平面，- 是单位圆周设l 2 ( i ) 为t 上平 方可积的复值可测函数全体所构成的h i l b e r t 空间，其上的内积记为( ，) 设l ( ) 为 上本性有界可测函数全体 设妒( z ) = e 鐾一a i z t