（基础数学专业论文）毕竟正则半群的夹心集及幂等元分离同余.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文毕竟正则半群的夹心集及幂 等元分离同余，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间 独立进行研究工作所取得的成果论文中除注明部分外不包含他人已经发 表或撰写的研究成果对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已 在文中已明确的方式注明本声明的法律结果将完全由本人承担 作者签名：砖永兰日期：纠口乒 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 毕竟正则半群的夹心集及幂等元分离同余系本人在曲阜师范大学 攻读硕士学位期间，在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成 果归曲阜师范大学所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本 人完全了解曲阜师范大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留 并向有关部门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅本 人授权曲阜师范大学，可以采用影印或其他复制手段保存论文，可以公开发 表论文的全部或部分内容 作者签名：屠署篷日期：口、夕 导师始到场柚： 曲阜师范大学硕士学位论文 毕竟正则半群的夹心集及幂等元分离同余 摘要 本文主要研究毕竟正则半群的夹心集及幂等元分离同余全文共分四 节 第一节是引言和预备知识 第二节主要研究毕竟正则半群的单边夹心集及幂等元邻域的性质证 明y s ( e ，f ) f 和e s ( e ，) 分别是左零半群和右零半群，给出y s ( e ，) 是左零半 群的充要条件，以及s ( e ，) 是右零半群的充要条件证明了夹心集同构于左 零半群和右零半群的直积，从而它是矩形带，并且给出了关系r 和f 的等价 亥0 画 第三节主要研究完全毕竟正则半群的单边夹心集及单元素的夹心集的 一些性质证明了s ( o ) 矿( 口) n 7 和a a ( 口) s ( o ) 分别是左零半群和右零半群，证明 了夹心集同构于左零半群和右零半群的直积 第四节利用完全弱自共轭子半群刻画毕竟纯正半群上的幂等元分离同 余，并刻画了毕竟纯正半群的关于日的中心化子的最大幂等元分离同余 关键词：毕竟正则半群，完全毕竟正则半群，毕竟纯正半群，夹心 集，幂等元分离同余，幂等元邻域，相容 t h es a n d w i c hs e t sa n d i d e m p o t e n ts e p a r a t i n g c o n g r u e n c e so ne v e n t u a l l yr e g u l a rs e m i g r o u p s i nt h i sp a p e r ，w em a i n l ys t u d yt h es a n d w i c hs e t sa n di d e m p o t e n ts e p a - r a t i n gc o n g r u e n c e so ne v e n t u a l l yr e g u l a rs e m i g r o u p s i ti sc o m p o s e do ff o u r s e c t i o n s t h ef i r s ts e c t i o ni sab r i e fi n t r o d u c t i o na n dt h ebs i cc o n c e p t sa n dn e c _ f e s s a r yp r e l i m i n a r i e s 。 。 i nt h es e c o n ds e c t i o n ，w em a i n l y s t u d ys o m ep r o p e r t i e so fo n 争s i d e ds a j l ( 1 - w i c hs e t sa n dt h ei d e m p o t e n t n e i g h b o r h o o di na n e v e n t u a l l yr e g u l a rs e m i g r o u p w ep r o v et h a ts ( e ，f ) fi sal e f ta n de s ( e ，f ) i sa r i g h tz e r os e m i g r o u p ，a n d g i v es o m es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rs ( e ，f ) t ob ea l e f t ( r i g h t ) z e r os e m i g r o u p w ea l s os h o wt h a tt h es a n d w i c hs e ti s i s o m o r p h i ct ot h ed i - r e c tp r o d u c to fal e f tz e r os e m i g r o u pa n da r i g h tz e r os e m i g r o u p 。s ot h a tt h e s a n d w i c hs e ti sa r e c t a n g u l a rb a n d a n dw eg i v et h ee q u i v a l e n tc h a r a c t e r i z a - t i o no ft h er e l a t i o n ra n d 鱼 i nt h et h i r ds e c t i o n ，w em a i n l ys t u d ys o m ep r o p e r t i e so fo n e - s i d e ds a n d _ w i t hs e t sa n ds o m ep r o p e r t i e so ft h es a n d w i c hs e t si nc o m p l e t e l ye v e n t u a l l y r e g u l a rs e m i g r o u p w ep r o v et h a ts ( a ) a r ( 吐) 0 ，i sal e f tz e r os e m i g r o u pa n d a s ( a ) a 7 ( 口) i sar i g h tz e r os e m i g r o u pa n dt h es a n d w i c hs e ti si s o m o r p h i ct ot h e d i r e c tp r o d u c to fal e f tz e r os e m i g r o u pa n da r i g h tz e r os e m i g r o u p i nt h ef o u r t hs e c t i o n w ec h a r a c t e r i z ei d e m p o t e n t s e p a r a t i n gc o n g r u e n c e s a n dg i v et h ec o n d i t i o nf o r6t ob ea nm a x i m u mi d e m p o t e n ts e p a r a t i n gc o n g r u e n c eo ne v e n t u a l l yo r t h o d o xs e m i g r o u p s w ep r o v et h a ta ni d e m p o t e n t n 曲阜师范大学硕士学位论文 s e p a r a t i n gc o n g r u e n c eo n8 2 1e v e n t u a l l yo r t h o d o xs e m i g r o u pc o n c e r n i n gc e i l - t r a l i z e rc s ( 日) o fhi ns k e y w o r d s ：e v e n t u a l l ys e m i g r o u p ，c o m p l e t e l ye v e n t u a l l ys e m i g r o u p ， e v e n t u a l l yo r t h o d o xs e m i g r o u p ，s a n d w i c hs e t ，i d e m p o t e n ts e p a r a t i n gc o n g r u - e n c ei d e m p o t e n tn e i g h b o r h o o d ，c o m p a t i b i l i t y l n 目录 1 - 引言和预备知识1 2 毕竟正则半群的夹心集4 3 完全毕竟正则半群的夹心集1 2 4 毕竟纯正半群上的幂等元分离同余2 3 参考文献2 8 曲阜师范大学硕士学位论文 1 引言和预备知识 设s 是半群e ( s ) 表示s 的所有幂等元的集，觑9 ( s ) 表示s 的所有正则 元的集对任意的a r e g ( s ) ，o 的所有逆元的集记为 y ( a ) = z sia = a x a ，z = x a x 对任意的a s ，o 的弱逆元的集记为 w ( a ) = z siz = x a x 若对于任意的n s ，存在扎z + 使得n n r e 9 ( s ) ，则称s 是毕竟正则 半群 1 】，【2 】( 在 3 1 中称为7 r 一正则半群) 元素。的最小正则指数记为r ( 口) 设c ( s ) 表示s 的同余格规定 e ( a ) = e e i3 p c ( s ) ，a p a 2 兮口胪】， 称它为a 的幂等元邻域【4 | 设j d 是s 的关系，矿表示由p 生成的同余设a ，b s ，n a , b 表示由( o ，6 ) 生成 的s 上的同余 5 1 特别地，记= 口z 设e ，f e ( s ) 令 m ( e ，f ) = 切e ( s ) ip e = p = 如) ， s ( e ，) = 妇e ( s ) ip e = p = 如，印，= e ，) 称s ( e ，f ) 是e 和厂的夹心集【5 】 设e ，e ( s ) 若e n f ，则s ( e ，) = e ) 若e c ，则s ( e ，) = 厂) 规定s 的二元关系： a b 辛存在z ，y s 1 使得a = x b = 幻，x a = a 1 曲阜师范大学硕士学位论文 称为s 上的自然偏序【6 】【7 】 如果a ，b r e 夕( s ) ，那么o b 营存在e ，e s 使得a = e 6 = b y ，且如果 e ，e ( s ) ，那么e ，e i = i e = e 5 】 设对任意的e ，e ( s ) ，规定ls n r ( 【5 】) ： e l ，兮e = e ，；e r ，e = y e 罗彦锋和李小玲在 1 】中给出了毕竟正则半群d p m ( e ，) 的若干性质，其中包 括m ( e ，) 非空，但s ( e ，) 在毕竟正则半群上未必非空 众所周知，正则半群的研究已成为半群代数理论研究的主流课题之一， 这方面的文献参见( 【8 】， 9 】， 1 0 】，【1 1 】， 1 2 1 ，【1 3 】， 1 4 1 ， 1 5 1 ) p a s t i j n 和p e t r i c h 刻画 了正则半群的同余 1 6 】h a l l 给出了正则半群的同余和格林关系 17 1 b l y t h 和g o m e s 描述了正则半群的自然偏序关系【1 8 】我们知道最大幂等元分离同 余在正则半群上存在并且它是包含在关系饨中的最大同余h a l l 和m e a k i n l j 画了正则半群的最大幂等元分离同余【1 1 】，【1 9 1 e d w a r d s 引入了毕竟正则半 群【2 0 1 ，它包括所有的正则半群和所有的有限半群迄今为止，毕竟正则半 群的研究已受到国内外诸多学者的关注，已成为半群代数理论研究的热点 课题之一这方面的文献参见( 2 1 】，【2 2 】， 2 3 1 ，【2 4 】，【2 5 】，【2 6 】) p e t r i c h 在【5 】中研究了正则半群的夹心集，证明t s ( e ，i ) y 和e s ( e ，) 分 别是左零半群和右零半群在第二节中我们刻画了毕竟正则半群的单边夹 心集及幂等元邻域的性质，证明t s ( e ，f ) y 和e s ( e ，) 分别是左零半群和右零 半群，给出t s ( e ，) 是左零半群的充要条件，以及s ( e ，) 是右零半群的充要 条件证明了夹心集同构于左零半群和右零半群的直积，从而它是矩形带给 出了关系r 以及关系l 的等价刻画 p e t r i c h 在 5 】中刻画了正则半群的单边夹心集及单元素的夹心集的性 质在第三节中我们刻画了完全毕竟正则半群的单边夹心集及单元素的夹 心集的性质证明t s ( a ) a r ( 口) 0 7 和0 7 j s ( 口) o r ( o ) 分别是左零半群和右零半群，给 出了夹心集同构于左零半群和右零半群的直积 2 曲阜师范大学硕士学位论文 e d w a r s 2 0 给出了毕竟正则半群上的最大幂等元分离同余的刻画罗 彦锋和李小玲刻画了毕竟正则半群上的r - 幂幺同余 2 7 1 ，并刻画了毕竟正 则半群上的最大幂等元分离同余【2 】在第四节中我们利用完全弱自共轭子 半群刻画了毕竟纯正半群上的幂等元分离同余，并刻画了毕竟纯正半群的 关于日的中心化子的最大幂等元分离同余所得结果推广了【2 】中的相应结 果 3 曲阜师范大学硕士学位论文 2 毕竟正则半群的夹心集 p e t r i c h 在 5 】中研究了i e 贝, j 半群的夹心集，证明i s ( e ，f ) f 和e s ( e ，) 分 别是左零半群和右零半群，同时给出了元素的夹心集的概念和若干性质 本节我们主要研究毕竟正则半群的单边夹心集及幂等元邻域的性质，证明 y s ( e ，f ) f 和e s ( e ，) 分别是左零半群和右零半群，给出y s ( e ，厂) 是左零半群 的充要条件，以及s ( e ，) 是右零半群的充要条件证明了夹心集同构于左零 半群和右零半群的直积，从而它是矩形带，并且给出了关系r 以及关系z 的 等价刻画除非特别说明，本节中s 均表示夹心集s ( e ，) 非空的毕竟正则半 群 命题2 1令s 是毕竟正则半群若e ，厂e ( s ) 且e ，= f e ，则f e s ( e ，) 证明由于 ( f e ) 2 = f e f e = f e ( e f ) = f e 2 f = f e f = f 2 e = f e ， 即f e e ( s ) ，又 ( ，e ) e = f e ，f ( f e ) = f e ，e ( f e ) f = e ( e f ) f = e f ， 故f e s ( e ，) 。 弓i 理2 2 令e ，f e ( s ) j l e f = f e 若z y ( ( e ，) 7 ( 8 ，) ，贝| l e s ( e ，f ) = s ( e ，e f x ) = r 7 si7 - 7 ，= e f t z r e f 口 证明 设e ，e ( s ) ，e f = f e 令m = r ( e f ) 先证e s ( e ，f ) s ( e ，e f x ) 令p s ( e ，) 则p e = p = ，p ，e p f = e s 4 曲阜师范大学硕士学位论文 令r 7 = e p 则一= ( 印) 2 = e o e ) p = e p 2 = e p = r ，故7 e ( s ) 由于 ( e f ) m = e f e f = e m 尸= e f ， 故 t i e = ( e p ) e = e ( p e ) = e p = r 7 ， ( e ，z ) r ，= e f x e p = e f x e f p = ( e f ) m x ( e f ) m p ， e r 7 ( e f x ) = e ( e p ) e f x = e ( p e ) f x = e p f x = e f x ( 1 ) 故r 7 s ( e ，e f x ) 从而 e s ( e ，f ) s ( e ，e f x ) ( 2 ) 其次证明r 7 f = e ，7 钉e f ，其中r s ( e ，e 厂z ) 由7 7 s ( e ，e 如) 知，= r t e = e f x r 且e r 7 = e ( e f x r 7 ) = r 7 ，故7 7 一e 又 ，f = r t e f = e ，- 7 e f = ( e r 7 ) e f = ( e r ，) ( e ，) m = ( e r 7 ) ( ( e ，) 仇z ( e ，) m ) = ( e r ，( e ，) m z ) ( e ，) m = ( e r 7 e f x ) e f = e f = e f( 据( 1 ) ) = e f ， 故，= e f = r ，( e ，) ，从而r 7 f = e f t 已r 7 e f 最后证明s ( e ，e f z ) e s ( e ，) 令p s ( e ，) 下面证明p r 7 s ( e ，) ，其中r s ( e ，e 知) 由于 ( p r ，) 2 = p r 研7 = p r 7 ( 向) r 7 = p ( 7 ，) = p ( e ，) 7 = 0 e ) ( 如) ，= p 2 r = p r ， 5 曲阜师范大学硕士学位论文 即p r 7 e ( s ) ，又 ，) e = p ( r 7 e ) = p r 7 ， ，7 ) = ( f p ) r 7 = p r 7 ， e ) ，= e p ( r 7 ，) = e p e f = e p f = e f ， 故p r 7 s ( e ，) 设存在钞s 使得r ，= e l y 又 r 7 = e l y = e p f v = e ( p e ) f v = e p ( e f v ) = e p r 7 e s ( e ，) ， 从而s ( e ，e f x ) e s ( e ，) 由( 2 ) ，( 3 ) 失1 1 ，e s ( e ，) = s ( e ，e f x ) 综上，有 e s ( e ，) = s ( e ，e f x ) = r 7 sl7 7 f = e f 兄r 7 e l 类似可得 弓i 理2 3 令e ，e ( s ) j | e f = ，e 若x y ( ( e 厂) m ) ，贝i j s ( e ，f ) f = s ( x ( e f ) m ，) = 口sie q = ( e 1 ) m c q ，) 口 由引理2 2 的证明过程得到下面的 定理2 4 若e ，e ( s ) ，贝u e s ( e ，) 是右零半群 对偶地有 定理2 5 若e ，e ( s ) ，则s ( e ，f ) f 是左零半群 下面我们证明夹心集同构于左零半群和右零半群的直积，从而它是矩 形带 定理2 6 令e ，e ( s ) 则s ( e ，) 竺s ( e ，f ) f e s ( e ，) 6 曲阜师范大学硕士学位论文 证明定义如下映射： 妒：s ( e ，) _ s ( e ，f ) f e s ( e ，f ) p 卜( p f ，e p ) 设妒= 妒，且p ( p f ，e p ) = ，e p r ) ，则p = 矿= p ( f p ) = ( p f ) p = p f p = ) 2 = ，故妒是单射 对任意的( p ，e p ) s ( e ，y ) f e s ( e ，) ，有p ，e p ) = 0 e ，e f p ) = p 妒， 故妒是满射若p ，矿s ( e ，) ，则 ( 矽) 妒= ( p p f ，e p p ) = ( p e p f ，e p f p ) = p e ，e ，矿) = ( p f ，) 由定理2 4 和定理2 5 知，s ( e ，) 厂和e s ( e ，) 分别是左零半群和右零半故 p 妒) 秽妒) = ( p f ，e p ) ( ，e p l 7 ) = ( 0 ，) ( p l l ，) ，( 印) ( 矿) ) = ( p f ，) ， 即渺) 妒= ( p 妒) 杪妒) 故妒是同态满射 从而 和 s ( e ，) 垡s ( e ，y ) i e s ( e ，) 口 定理2 7 令e ，f e ( s ) ，e y = f e ，z y ( ( e ，) ( 8 ，) ) 则 妒：s ( e ，f ) 一s ( e ，y ) f e s ( e ，) p 卜0 厂，印) 是互逆同构 砂：s ( e ，f ) i e s ( e ，) _ s ( e ，) ( 口，7 ) r - f fq x r 7 曲阜师范大学硕士学位论文 证明令r e s ( e ，) ，g s ( e ，f ) f ，z ，y y ( ( e 厂) r ( 8 ，) ) 则存在u ，u s 使得g = u e f ，r = e f v 由e ，= f e 知( e f ) r ( e ，) = e f 又 q x r = ( u e f ) x ( e f v ) = u ( ( e ，) r ( 8 ，) z ( e ，) r ( 8 ，) ) 铆= ( u e f ) y ( e f v ) 故砂是单值的 令p = q x r 则 p 2 = ( q x r ) 2 = q x r q x e = q x r ( f q ) x r = q x ( r f ) q x r = q x ( e f ) q x r = q x e ( f q ) x v = q x e q x r = q x e f x r = q x r = p p e = ( q x r ) e = q x r ， f p = f ( q x r ) = ( f q ) x r = q x r ， e p f = e ( q x r ) f = ( e q ) x ( r f ) = ( e f ) x ( e f ) = ( e ，) r ( 8 f ) x ( e f ) r ( 。，) = ( e ，) ( 8 ，) = e ， 故p s ( e ，厂) ，即 妒：s ( e ，f ) f e s ( e ，f ) _ s ( e ，f ) ( q ，r ) 一q x r ， 由引理2 4 知妒：s ( e ，f ) 笺s ( e ，) e s ( e ，) 是同构映射而 p 妒砂= ( p f ，e p ) t f 7 = = p f x e p = ( p e ) f x e ( f p ) = p ( e ，) ( e f ) x ( e f ) 7 ( 8 ，p = p ( e ，) 7 ( e f ) p = ( p e ) ( f p ) = p ， 8 曲阜师范大学硕士学位论文 且 ( q ，r ) 妒妒= ( q x r ) q o = ( q x r f ，e q x r ) 设存在u ，勘s 使得q = u e f ，r = e f v 则 q x r f = ( u e f ) x e f = u ( e f ) r ( e f ) x ( e f ) r ( e ，) = u ( e f ) r ( e ，) = u e f = q ， e q x r = e f x ( e f v ) = ( e f ) ( 8 ，) z ( e ，) 7 ( 8 f ) a d = ( e f ) 7 ( e i ) v = e f v ：n 故( g ，7 ) 矽妒= ( q ，7 - ) 从而妒和矽是互逆映射- 由妒是同构映射知，妒是同构映射 口 从引理2 2 ，引理2 3 和定理2 7 可以得到下面两个推论： 推论2 8 设对任意的e ，f e ( s ) ，以下条件是等价的： ( 1 ) s ( e ，) 是右零半群； ( 2 ) e s ( e ，) 是平凡的； ( 3 ) 对任意的z y ( ( e 厂) r ( 8 ，) ) ，s ( e ，( e f ) r ( e ，) z ) 是平凡的 推论2 9 设对任意的e ，f e ( 印，以下条件是等价的： ( 1 ) s ( e ，厂) 是左零半群； ( 2 ) s ( e ，f ) f 是平凡的； ( 3 ) 对任意的z y ( ( e ，) r ( 8 ，) ) ，s ( x ( e f ) r ( e ，) ，) 是平凡的 下面我们给出关系，的等价刻画： 定理2 1 0 设对任意的e ，f e ( s ) ，以下条件是等价的： ( 1 )e ，； ( 2 ) e s ( e ，n ( 3 ) s ( f ，e ) = 忌o ( ，) ，其中( f ) = p sip ，) 证明 ( 1 ) 号( 2 ) 设e ，f 则e = f e 兮，f 显然有e s ( e ，) 9 曲阜师范大学硕士学位论文 ( 1 ) 令( 3 ) 令p s ( s ，e ) 则 p f = p = e p ，f p e = s e ，p = e p = ( ，e 油= ( s p e 砌= 加2 = f p ， 故p ，由e = s e = f p e = p e 得p 冗e ，从而有p 疋o ( ，) 故s ( s ，e ) 见n ( ，) 反之，设p 忌o ( ，) 则e = ，e 且p s ( s ，e ) ，即见n ( ，) s ( s ，e ) ，从而 有s ( s ，e ) = r en ( ，) ( 3 ) 兮( 1 ) 设p s ( y ，e ) 侧存劫亿o ( ，) 使得e = p e = f p e = f e ，有 e ， 口 对偶的我们可以得到关系z 的等价刻画： 定理2 1 1 设对任意的e ，e ( s ) ，以下条件是等价的： ( 1 ) es l ，； ( 2 ) e s ( s ，e ) ； ( 3 ) s ( e ，f ) = 厶n ( ，) ，其中( ，) = 妇sip ，) 由定理2 1 0 和定理2 1 1 我们可以得到： 推论2 1 2 对任意的e ，f e ( s ) ，以下条件是等价的： ( 1 ) e ，； ( 2 ) e s ( y ，e ) os ( e ，) ( 3 ) s ( e ，) = l 。n ( ，) ，s ( f ，e ) = 忌n ( ，) ，其中( ，) = p sip 厂) 口 引理2 1 3 2 0 l 若p 是s 的同余，a p e ( 纠j d ) ，则存在e e ( s ) na p 使 得见h a 设p 是半群s 的同余集合 o sia p e ( s p ) 称为j 9 的核，记为k e r p 【1 】 若p 是s 的同余，则 k e r p = o si ( 3 e e ( s ) ) ( n ，e ) p ) ( 见【1 】) 1 0 曲阜师范大学硕士学位论文 对任意的a s ，集合 e ( o ) = e e ( s ) ip c ( s ) ，a p a 2 兮a p e 称为口的幂等元邻域若每个j 口一类最多包含一个幂等元，则称p 是幂等元分 离同余，用p 表示最大的幂等元分离同余【2 】 引理2 1 4 设a ( 1 ) 若存在仃1 ，使得a n e ( s ) ，则a 竹e ( 口) ( 2 ) a k e r # 兮咒 ( 3 ) e ( a ) = 口ne ( s ) = e e ( s ) ik 口= k a ，e ) 证明( 1 ) 设e = a n e ( s ) ，p c ( s ) 使得a p a 2 ，则0 2 p a 3 ，a s p a 4 ， 矿一1 胆n ，有a p a r t ，即a p e ，故e e ( o ) 从而a n e ( o ) ( 2 ) 若a k e r # ，则a # a 2 而仡口= ，a 2 ，有k 口p 咒反之，若咒， 则p ，从而有a 圪a k e r # 故( 2 ) 成立 ( 3 ) 设e e ( ) 由o k n a 2 和e ( d ) 的定义可以得到o e ，从而有e q n e ( s ) 下证= e 设e a n e ( s ) ，有o k 口e 又由 e 的极小性得仡叩圪口由。仡口i e e 知n ，e a 2 由k n 的极小性知k 叩故k 。= ，c 口，e 最后证明若e e ( s ) 使得k 口= ，e ，则e e ( 口) 设e j 5 7 ( s ) 使得= 仡。，e 则存在p c ( s ) 使得o p 0 2 由圪口的极小性 得k 口p ，k a ，。p 又由口，e e 可知n 班故e e ( n ) 口 1 1 曲阜师范大学硕士学位论文 3 完全毕竟正则半群的夹心集 罗彦锋和李小玲在【1 】中给出了毕竟正则半群中m ( e ，) 的若干性质，其 中包括m ( e ，) 非空，但s ( e ，) 在完全毕竟正则半群上未必非空本节我们刻 画完全毕竟正则半群的夹心集证明了s ( q ) q t ( 口) n 7 和口a r ( 口) s ( n ) 分别是左零 半群和右零半群，同时证明了夹心集同构于左零半群和右零半群的直积除 非特别说明，本节中s 均表示夹心集s ( e ，) 非空的完全毕竟正则半群 定义3 1 2 s 设s 是半群对任意的a s 存在a 7 s 使得a t v ( a r ( o ) ) 且 0 r ( o ) o = n 7 n ( 口，则s 是完全毕竟正则半群 定义3 2 2 s 设s 是半群若对任意的a s 使得a r ( a ) s a k e ) + 1 ( a r ( a ) a t ( 口) + 1 s ) ，则称s 是左( 右) 毕竟正则半群 定理3 3 对于半群s ，以下条件是等价的： ( 1 ) s 是完全毕竟正则半群； ( 2 ) 对任意的a s ，有a r c a ) a t ( 口) + l s a r ( d ) ； ( 3 ) s 既是左毕竟正则半群又是右毕竟正则半群 证明 ( 1 ) 兮( 2 ) 对任意的a s ，有a r ( 口) a 2 r ( 口) s a 2 r ( 引，即o r ( 口) a 2 r ( o ) sn s a 2 r ( o - ，存在z ，y s 使得 矿( 口) = x a 2 r ( a ) = a 2 r ( 。) 可，：t a r ( 口) = z ( n 2 r ( 口秒) = x ( a 2 ( a ) ! ，= 矿( d 秒 令e = x a ( 口) = 口r o 秒则e 2 = ( x a r ( 口) ( 0 7 ( 口) 可) = x a 2 r ( 。可= a t ( 口! ，= e ，f i e 矿( 口) s n s a k a ) 又 a r ( 。) e = 口( 口) ( n r ( 口秒) = a 2 r ( 口! ，= 矿( 口) = x a 2 r ( 口) = ( x a ( 口) 矿( 口) = e a r ( 口) ， 1 2 曲阜师范大学硕士学位论文 故a r ( 口) e s ns e ，即矿( a ) g “从而有 a r c 口) = a 2 r ( a ) 可= a t ( 口) 口7 ( n ) 秒= a t ( 口( z 0 2 7 ( 口) ) 管 = a t ( 口) z ( 0 2 r ( 。) 可) = a r ( a ) x a r ( 口) = a 2 r ( a ) 可z 矿( a ) a t ( n ) + 1s a r ( 引 ( 2 ) 令( 3 ) 设a r c 。a t ( 口) + 1 s a 7 ( 引则n r ( n s a ( 口) + 1na t ( 口) + 1 s 故s 既是 左毕竟正则半群又是右毕竟正则半群 ( 3 ) 兮( 1 ) 对任意的o s ，存在z s 使得 a t ( a ) ：a r ( a ) + l x l 矿( o ) = a a t ( q ) z l a r ( 口) = a a t ( 口) + 1 2 1 a ( 口) z l a 7 ( 口) = a a t ( 口) z l a r ( 口) z l a r ( 口) b pa ( a ) = a 2 r ( a ) x a r ( a ) 又 = a 2 r ( 口) 口r ( 。) z 1 o ”( 口) z l a t ( a ) = a 2 r ( n ) x a ( 引， n r ( d ) ：a 2 r ( a ) x a r ( a ) ：口2 r ( 口) q 2 t ( a ) x a r ( a ) ；口2 r ( a ) z a r ( a ) a r ( a ) x a r ( a ) = 0 2 r ( 口( 矿( d ) z ) 2 a t ( 口) = a a r ( 口( o ( 口) z ) 3 a t ( 口) = 扩r ( 口( o r ( 口) z ) n 口r ( d ) = ， 曲阜师范大学硕士学位论文 故存在k z + ，y s 使得( 口r ( 口) z ) 知= ( 矿( 口) z ) 3 知y ( a ( 口) z ) 知 又 a t ( 口) ( 矿( 口) z ) 鼬= a t ( d ) o r ( 口) x a r ( 口) z ( 矿( 口) z ) 3 知一2 = a 2 r ( 口) x a 7 ( a ) z ( 矿( a ) z ) 3 知一2 = a r ( 。) z ( 矿( n ) z ) 3 眦 ( 据( 1 ) ) = ( n r ( b ) z ) 3 k ， 故口h ( 口) ( 口7 ( a ) z ) 3 七= ( 矿( n ) z ) 驰 又 矿( 口) = a k r ( 口( ，( 口) z ) 七a r ( 。) = o 知r ( 口( 矿( 口) z ) 3 詹y ( a r ( 口) z ) 知矿( a ( 据( 2 ) ) = ( 矿( d ) z ) 2 七y ( a r ( 口) z ) 七a 7 ( a ) ( 据( 3 ) ) = ( 口r 。) z ) 4 七可( 口r ( 口z ) 知y ( a r ( 口) z ) 七a t ( 口1 ( 据( 2 ) ) 令z = y ( a r ( 口) z ) 七秒( q ( 口) z ) 南贝0 q r ( d ) = ( a k 口) z ) 4 知z a r ( n ) ，从而 矿( 。) z n 2 r ( 。) = ( 口r 似) x a r ( 口) 矿( 。) = ( a t ( n ) z 矿( 口) ) ( 矿( 口) z ) 4 七z a r ( 口) = ( 口r ( d ) z o r ( a ) ( o ( 口) z ) 3 知( n r ( 口) z ) 知z a r ( 口) = a k 口) z ( 矿( 口) z ) 3 k - 1 ( n r ( a ) z ) 知z a r ( 口( 据( 2 ) ) = ( o r ( 口) z ) 驰z a r ( 口) = a t ( 口i ， 即o ( a ) x a 2 r ( 口) = 0 r ( 引， ( 4 ) r e ( 1 ) ，( 4 ) 得o r ( 口) a 2 r ( 口) sns a 2 r ( 引，故q t ( d ) 包含在s 的一个子群里从而s 是 完全毕竟正则半群口 对任意的o s 0 7 y ( n r ( 。) ) ，定义 s ( a ) = s ( 口a r ( 引，口r ( 口) 口，) 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 称为a 的夹心集 下面的元素a 是指满足定义3 1 的条件的元素 弓i 理3 4 若z y ( 矿( 。) 口) ，贝i j a t o r ( a ) s ( o ) = s ( a 7 0 r ( 引，a t ( g ) 口z ) = _ r ，sir 7 n 7 ( 口) n 7 = o ，( 口) 口7 7 已r 7 a t a ( 。) 又 证明 先证a 7 a r ( 口) s ( o ) s ( a l a r ( 引，a t ( a ) z ) 设p s ( o ) 则 p a 7 a r ( 口) = p = a t ( 口) 口_ ， 令7 7 = a l a r ( 口) p 则 ( a l a r ( a ) p ( o r ( a ) n ) = = n r ( 口) 口7 一= a v a 7 ( a ) p a r a s ( n ) p = a r q r ( 口) p = ， 7 ， r v a 7 a 7 ( 。) = a l a r ( 口) p a 7 a r ( 口) = a a 7 ( 吐0 矿( 口) ) = a v a r ( 口) p = r 7 由于 ( a r ( a ) a l x ) r = ( a t ( 口) 0 7 z ) ( n 7 a t ( 口p ) = ( 矿( a ) 0 7 z ) ( 口7 a t ( 口) ( q r ( n ) 0 7 p ) = ( a t ( 口) 0 7 ) z ( n a 7 ( a ) 0 7 ( 口) 0 7 功 = ( a t ( 。) n 7 ) z ( 0 7 ( 口) n ，如 ( 矿( n ) 0 7 功 = ( n 7 矿( 。) 功= r 7 ， a l a r ( 口) r 7a r ( 口) z ) = a ( d ) q r ( 口p ( 口r ( n ) 0 7 z ) = ( a 1 0 7 ( a ) p ( n ( 口) q 7 ) z = 矿( 。) q 7 z 1 5 ( 1 ) 故r s ( a 7 n r ( 引，a t ( a ) n 7 z ) 从而有 矿 ) | s ( o ) 互s ( n ，( 引，矿( 口) z ) 其次证明r ，a t ( a ) o ，：a t ( 口) d r r a t n r ( 口j 其中，_ 7 s ( a 7 a t ( 0 j ，a r 口) z ) 由，s ( a ，o r ( o l ，a t ( 。) 0 ，z ) 得r 7 = r l a t a r ( a ) = n r ( 口) n z r 7 ， d a r ( 口) 7 = u p o ( n ( 口r ( 口) d x r 7 ) = o o ) d x r 7 = r ， 由( 2 ) ，( 3 ) 可得r 7s 矿( 口由于 r ，( 0 r ( 曲n 7 ) = 0 7 0 r ( ，口r ( 口) = 口矿( d ) r ，( 矿( 口) n 7 ) z ( 矿 ) a t ) ：( 口a t ( n ) ，q r ( z ) ( 0 r ( ) = ( a t ( a ) o z ) ( 口r ( 口) o ) = a r ( a ) a i ， 故r ，n r ( 口) = a t ( 。) n 7 r r a t a r ( 引 最后证明s ( a 7 a t ( 口) ，a r ( a ) a t x ) 0 7 矿( 叻s ( o ) 豸妇s ( n ) ，r 7 s ( a a r ( 引，o r ( 口) o z ) - v i 正p r | s ( n ) 由于 72 = p r l p r ，= p r 7a r ( 口) q 仞) ，= p ( r 7 a t ( a ) o ) 7 ：p a r ( 口) a p r = p ( a r ( 口) o 匆) r 7 = 矿r 7 = p r 7 ， p r 7a 矿( 口) = p ( r 7 a l a r ( 口) ) = 7 ， ( a t ( 口) 0 7 ) 7 = ( 矿( 口) a l p ) r 7 =