（通信与信息系统专业论文）小波变换在电能质量暂态信号检测中的应用.pdf

华北电力大学硕士学位论 摘要 随着电力电子器件在电力系统中的广泛使用，电能质量问题已经成为供电系统 和用户共同关注的焦点。对其进行快速的检测和准确的分类，进而进行有效的治理 是提高用电效率的重要途径。 本文针对暂态电能质量信号的非平稳特性，采用小波变换这一方法进行处理。 小波方法是一种很好的电能质量信号检测和分析工具，但其性能往往受信号中嗓 声的影响。文中对比了几种阈值去嗓方法，通过实验指出单独用阈值方法去嗓效果 不够理想。在此基础上通过利用小波变换相关性和软阈值相结合的方法对电能质量 信号进行信号去噪处理，实现噪声和不必要信息的滤除，解决了单独利用软阚值方 法消除噪声不够理想的问题。 对于电能质量暂态扰动信号的分类，本文通过小波对扰动信号进行多分辨率分 析，将一定时间长度内的信号的能量映射到多个频段内，通过与标准正弦信号各频 段能量的比较，提取各类电能质量的能量变化特征，完成电能质量的分类。仿真实验 证明，该方法可以有效地对电能质量暂态信号加以区分，从而针对电能质量的暂态 扰动，便于采取相应的处理措施，提高电能质量。 关键词：电能质量，小波变换，信号奇异性检测，滤波，扰动分类 l i 华北也力大学硕士学位论 a b s t r a c t w i t ht h ew i d ea p p l i c a t i o no fe l e c t r i c & e l e c t r o n i cd e v i c e si np o w e rs y s t e m p o w e r q u a l i t yp r o b l e m sh a v ea l r e a d yb e c o m et h ef o c u sw h i c hb o t hs u p p l i e r sa n du s e r so fe l e c t r i c i t y h a v ep a i dc l o s ea t t e n t i o nt o i no r d e rt oi m p r o v et h ep o w c re f f i c i e n c y ，i ti sn e c e s s a r yt od e t c c t t h ep o w e rq u a l i t yq u i c k l y ，c l a s s i f yt h e ma c c u r a t e l ya n dd e s lw i t ht h e me f f e c t i v e l y d u et ot h en o n s t e a d yc h a r a c t e r i s t i co fp o w e rq u a l i t yt r a n s i e n t ，t h ep r o c e s s i n gm e t h o do f w a v e l e tt r a n s f o r mi sa d o p t e d t h et e c l a n i q n eo fw a v e l e tt r a n s f o r mi sg o o df o rd e t e c t i n g , l o c a l i z i n ga n da n a l y z i n gp o w e rq u a l i t yd i s t u r b a n c es i g n a l s h o w e v e r , a st h es i g n a l su n d e r a n a l y s i sa r ea l w a y sd i s t u r b e db yn o i s e s t h ee f f e c to ft h e 、tt e c h n i q u ei sd e g r a d e d s t r o n g n o i s e se v e nl c a dt oaw r o n gj u d g e m e n t s e v e r a lk i n d so ft h r e s h o l dd e n o i s i n gm e t h o d sa l e c o m p a r e di nt h i sp a p e r 1 1 l ee x p e r i m e n tp r o v e st h a tt h ed e n o i s i n ge f f e c ti sn o ti d e a li fu s i n g t l t ct h r e s h o l dm e t h o da l o n e b yu s i n gt h ed e n o i s i n gm e t h o db a s e do nt h ec d m b i n a t i o no ft h e w a v e l e tt r a n s f o r mc o r r e l a t i v i t ya n ds o f t - t h r e s h o l d 。t h en o i s ea n du n n e c e s s a r yi n f o r m a t i o ni s e l i m i n a t e da n dt h ep r e c e d i n gp r o b l e mi ss o l v e d t ot h ep o w e rq u a l i t yt r a n s i e n td i s t u r b a n c ec l a s s i f i c a t i o n ，t h es i g n a l sa l ed e c o m p o s e d w i 也w a v e l e tm u l t i - r e s o l u t i o na n a l y s i sa n dt h ef e a t u r ev e c t o r sa r ee x t r a c t e dt h r o u 时lt h e c o e f 矗c i e n t sa td i f f e r e n tl e v e l s a n dt h e nt h ep o w e rq u a l i t yd i s t u r b a n c ec l a s s i f i c a t i o nc a nb e a c h i e v e d t e s tr e s u l t ss h o wt h a tt h i sa p p r o a c hi se f f e c t i v et oc l a s s i f yp o w e rq u a l i t yt r a n s i e n t s i g n a l s t h e r e b y ，a i m i n g a t p o w e rq u a l i t y t r a n s i e n td i s t u r b a n c e ，i ti s e a s y t ot a k e c o r r e s p o n d i n gm e a s u r et oi m p r o v ep o w e rq u a l i t y d ul i d o n g ( c o m m u n i c a t i o na n di n f o r m a t i o ns y s t e m ) d i r e c t e db yp r o f t a n gl i a n g r u i k e y w o r d s ：p o w e rq u a i l t y ，w a v e l e t ，s i n g u l a r i t yd e t e c t i o no fs i g n a l s ， f i l t e h n g ，d i s t u r b a n c ec l a s s i f i c a t i o n i n 华北电力人学硕士学位论 y 8 8 7 7 8 1 声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文小波变换在电能质量暂态信号检测中 的应用，是本人在华北电力大学攻读硕士学位期间，在导师指导下进行的研究工作和 取得的研究成果。据本人所知，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得华北电力大学或其他教育机构的学 位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：趋墨堑： 日期：卫丛生1 8 1 缉 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解华北电力大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保管、 并向有关部门送交学位论文的原件与复印件：学校可以采用影印、缩印或其它复制手 段复制并保存学位论文；学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为 目的，复制赠送和交换学位论文：同意学校可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学 位论文的全部或部分内容。 ( 涉密的学位论文在解密后遵守此规定) 作者签名：盎皇暂、导师始泛参舷 日期：21 i 生绸! ：! ! i日期：尘一h 华北电力人学硕士学位论 1 1 研究电能质量的意义 第一章绪论 随着我国国民经济蓬勃发展，电力负荷急剧增加的同时，配电网中各种整流器、 变频调速装置、电弧炉、电气化铁路等负荷容量也不断增长。这些新型负荷的非线 性、冲击性和不平衡的用电特性，使得电网的电压、电流波形发生畸变，或引起电 压波动和闪变以及三相不平衡，甚至引起系统频率波动，对供电质量造成严重污染； 而大量新型电力电子装置在各行各业的广泛应用，给现代工业带来节能和能量转换 的同时也给配电系统电能质量造成了严重的污染，成为电力系统中新的主要谐波 源。此外电力系统中常见的闪电电击线路、投切电容器组、短路、断路等各种现象， 同样给配电系统电能质量带来严重的干扰1 1 1 。 另一方面，现代科学技术的高速发展促使工业生产过程高度自动化和智能化， 这些高技术工业对供电质量要求非常高，许多电子、电力电子设备对供电质量特别 敏感，只能在供电质量达到非常高的条件下才能正常工作【甜。低质量的供电水平将 导致低质的产品质量，特别是在重要的工业生产过程中，供电的突然中断将会带来 巨大的经济损失，对于现代化的化工企业等特殊负荷，短时停电制造系统( c i m s ) 则对配电系统中的各种电能质量扰动更敏感，秒级的不正常供电就可引起制造系统 混乱【3 l 。 在这种情况下，随着广大用户对电能质量问题了解的不断深入，必然会对电能 质量提出越来越高的要求；另方面随着电力工业市场化进程的不断加快，也会促使 供电部门把对用户服务放到很重要的位置，这就要求供电部门采取措施来提高供电 质量，以满足广大电力用户对电能质量新的要求。 高质量的电能对于保证电网和电气设备安全、经济运行、提高产品质量和保障 广大人民群众正常生活有着重要的意义。由于电能质量直接关系到国民经济的总体 效益，因此人们对电能质量问题的重视并非近几年的事，只不过过去对此认识并不 深入，主要集中在消除谐波、保证电网频率和电压在一定范围内波动以及提高供电 可靠性等方面。 近年来，电能质量暂态问题正f l 益引起电力工程师们的广泛关注，己经成为电 力公司、电力设备制造商和电力工程师急需解决的问题之一。电力公司为了赢得用 户的青睐，希望能提供质量好的电能，抢占电力市场：电力设备制造商为了延长该 公司电器产品的使用寿命，同样希望电网能提供干扰水平比较小的电能。 电能质量干扰的变化范围很广，从毫秒缴的冲击干扰到长期的f 1 压幅值波动i 引。 华北电力大学硕十学位论 随着人们电能质量问题的广泛关注，对检测设备提出了特殊的要求，也产生了对复 杂的数据分析软件的需求。传统的监测系统主要是针对稳态电压电流，而没有关注 到用户设备的电能质量的全部性能指标。因此，对电能质量监测系统的需求马上就 要来临，以用之进行快速、可靠的电能质量检测。 改善电能质量对于电网的安全、经济运行，保障工业产品质量和科学实验的正 常运行以及降低能耗等均有重要意义。合格的电能质量是电力系统安全稳定、经济 运行的必要条件，是电网运行水平高低的重要标志，同时也是用电企业管理水平考 核的重要指标。现代工业对电能质量的要求越来越高，对电压的波动及各种干扰十 分敏感，任何供电质量的恶化，都可能会造成产品质量的下降从而造成损失。因此 电能质量直接关系到相关产业的效益情况，进而影响到国民经济的总体效益。 1 。2 电能质量暂态信号的检测和分类方法 由于谐波是电能质量中最突出的问题，因此过去电能质量研究主要集中在与谐 波相关的稳态电能质量问题上，主要包括元件建模、谐波潮流分析、谐波检测、谐 波抑制等问题的研究，至今已取得了大量的成果【5 。”。由于受到监测技术的限制，对 配电系统中普遍存在的诸如电压骤降、电压骤升、暂态扰动等各种动态电能质量问 题的研究较少。随着配电系统中电能质量水平与用户对其要求之间的差距日益加 大，所带来的各种问题己引起各国电力工作者的高度重视，动态电能质量也己逐渐 成为供电部门和广大用户共同关心的问题，研究和开发电能质量领域的新技术己成 为近年来电力系统研究领域中的新热点【”。尽管谐波问题始终是电能质量研究的一 个重要课题，随着广大用户对电能质量问题的日益关注，对于电能质量的研究己不 仅局限于单一的稳态谐波 6 j ；而是需要进一步扩展到配电系统中出现的各种动态电 能质量问题，这表明了电能质量领域的研究已进入到个更深的层次。 由于电网干扰性负荷的日益增多，使得电能质量受到诸多方面的影响【9 1 。电能 这种商品的质量不仅仅取决于生产者( 如发电厂) ，还受到电力用户，尤其是干扰 性负荷用户的影响，而且这种影响带来的电能质量下降还会随电网的延伸而危及到 其它用户的正常用电。 我们有必要对电能质量变化进行控制，而有效的控制的前提就是对电能质量故 障进行及时的检测和准确的分类，以便有的放矢地采取相应的治理措施。目前关于 电能质量中常见的暂态信号分类问题的讨论很多1 6 - 1 4 】，本文在参考前人经验的基础 上，将主要考虑以下五种常见的暂念现象：电压凹陷、电压凸起、电压中断、暂态 振荡、脉冲暂态。如果电能质量的指标偏离正常水平过大，就会给发电、输变电和 用户带来不同程度的危害及损失，放电能质量的优劣会直接关系到国民经济的总体 效益。因此，对影响电能质量的各类扰动进行有效的检测评体和分析工作是很有必 华北电力人学硕士学僚论 要的。 电能质量故障被检测到之后，监控系统应对故障数据做进一步的处理。其中很 重要的一个处理步骤就是根据不同类别的电能质量的表现特征对各种问题进行分 类，从而能够进一步地针对不同种类的电能质量问题有的放矢地采取相应的治理措 施。 事实上，广泛使用的电能质量监控系统应该具有以下功能【6 l ： 1 、快速的扰动检测和定位； 2 ) 扰动分类( 提取特征量) ； 3 ) 对铡量而得的不同种类电能质量问题及其相应的指标进行分析； 4 1 采取有效的去噪措施及数据压缩和储存措施。 当系统中发生电能质量问题时，监控系统应根据收集到的数据及时地做出判 断，进行电能质量故障报警并启动相应的后继处理。由于实际运行的系统难免会受 到各种噪音的影响，因此，有效的电能质量检测方法应该能在有噪声的环境下对时 频干扰做出诊断。后文中对这一问题会有进一步的探讨。在本文中，作者研究的重 点是上述的前二点，即电能质量的检测和分类。 电能质量的分析和计算涉及对各种干扰源和电力系统的数学描述，需要开发相 应的分析软件和工程方法来对各种电能质量问题进行系统的分析，为改善电能质量 提供指导。近年来，基于数字技术各种分析方法已在以下电能质量领域中得到应用： 1 1 分析谐波在网络中的传播； 2 ) 分析各种扰动源引起的波形畸变； 3 ) 开发各种电能质量控制装置，分析它们在解决电能质量问题方面的作用 【l o 1 1 1 。 按所采用的不同分析方法，这种技术主要可分为时域、频域和变换域3 种1 1 z - 1 3 1 。 基于变换域的方法主要指f o u r i e r 变换方法、短时f o u r i e r 变换方法以及近年来出现 的小波变换方法。 小波变换作为一种新的数字技术被引入工程界后，已在信号分析等领域得到广 泛应用。由于小波函数本身衰减很快，也属一种暂态波形，将其用于电能质量分析 领域，尤其是暂态过程分析领域将具有f f r ( 快速傅立叶变换) 、s t f r ( 短时傅立 叶变换) 所无法比拟的优点。近年来，己有文献介绍应用小波变换方法进行电能质 量评估、电磁暂态波形分析和电力系统扰动建模等电能质量问题的研究1 1 4 之引。随着 小波变换技术的进一步发展和性能更好的小波基函数的出现，小波变换技术必将在 电能质量研究中得到更广泛的应用。 华北电力人学硕士学位论 1 3 国内外研究现状 电能质量过去的研究主要集中在与谐波相关的稳态电能质量问题上。由于受到 检测技术的限制，对配电系统中普遍存在的诸如电压骤降、电压骤升、暂态扰动等 各种动态电能质量问题研究较少。随着配电系统中电能质量水平与用户对其要求之 间的差距日益加大，所带来的各种问题己引起各国电力工作者的高度重视，动态电 能质量也已逐渐成为供电部门和广大用户共同关心的问题，研究和开发电能质量领 域的新技术已成为近年来电力系统研究领域的新热点“。3 。尽管谐波问题始终是电能 质量的一个重要课题，但随着广大用户对电能质量问题的日益关注，对于电能质量 的研究已不限于单一稳态谐波，而是需要进一步扩展到配电系统中出现的各种动态 电能质量问题，这表明了电能质量领域的研究已进入到一个更深的层次。 为了解决电能质量问题，h i n g o r a n i 薄士在1 9 8 8 年首次提出了“用户电力技术 ( c u s t o mp o w e r ) 的新概念”，即利用各种电力电子控制器来提高配电网供电可靠 性及电能质量。主要包括动态电压恢复器( d v r ) 、配电用静止同步补偿器 ( d s t a t c o m ) 、有源滤波器( a p f ) 、固态断路器( s s b ) 以及固态转换开关( s s t s ) 等设备“。经过十几年的发展，美国西屋电气公司、德国西门子公司、日本三菱电 气公司、瑞典a b b 公司等各大电力设备制造厂都已制造出相应的产品，i e e e 和c i g r e 也都成立了相应的工作组进行理论研究。近年来，国内清华大学、电科院、西安交 大、浙江大学、哈工大、华北电力大学以及东南大学等众多科研院所也在该领域进 行了有益的尝试“。 小波变换的出现为电能质量分析开辟了新的研究方向。目前，国内外已有不少 学者开始这方面的研究，主要集中在应用小波变换方法进行电能质量扰动与定位、 电能质量扰动信号数据压缩、电能质量扰动识别以及暂态电能质量扰动建模与分析 等方面的研究。 1 9 9 4 年，r i b e i r o 在文献 1 5 中指出了传统傅立叶变换在电能质量扰动分析中 的局限性，首次提出利用小波变换对非平稳电能质量扰动问题进行分析。随后，国 外众多学者对小波变换在电能质量分析中的应用进行了广泛的研究”6 1 。为了判断 出各种电能质量扰动产生的来源和原因，对电能质量扰动进彳亍检测与定位是十分必 要的。在文献 1 6 中，s a n t o s o 等人提出一种基于离散正交小波变换多尺度分析的 电能质量扰动检测新方法，分析结果表明d a u b e c h i e s 正交小波是一种较适用于大 多数动态电能质量扰动分析的小波。此后，s a n t o s o 等人又在文献 1 7 中认为：采 用d a u b e c h i e s 正交小波对各种扰动信号进行离散正交小波变换后，得到的多尺度 小波系数经过开方后具有唯一性，因此可以作为指标来表征各种电能质量扰动，并 采用浚方法对电压骤降、电压骤升、振荡暂态等各种动态电能质量扰动进行了评估。 文献 1 8 对连续小波变换( c o n t i n u o u sw a v e l e tt r a n s f o r m - - c w r ) 、多尺度分析 4 华北电力人学硕士学能论 ( m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s m r a ) 以及二次变换( q u a d r a t i ct r a n s f o r m q t ) 等各种信号处理方法在电能质量分析中的应用进行了对比，指出连续小波变换是一 种比较适合电能质量扰动分析的方法。文献 1 9 对基于小波变换的时间一尺度分析 以及基于加窗傅立叶变换的时间一频率分析在电能质量分析中的优点与不足进行 了分析，指出在谐波检测问题上，小波变换方法并不优于加窗傅立叶变换方法。 在对利用小波变换对电能骤降的检测与定位的研究中，文献 2 0 ，2 1 采用了离 散正交小波对电压骤降的检测与定位进行了研究，并对不同情况下电压骤降的特性 进行了比较。文献 2 2 采用连续小波变换对电压骤降的检测与定位进行了研究。在 文献 2 2 中，a n g r i s a n i 提出了一种基于小波变换的电压骤降检测新方法。首先对 扰动信号进行连续小波变换，通过对得到的小波变换局部模极大值线进行分析处 理，实现了电压骤降开始时刻与结束时刻的精准定位；然后结合离散正交小波变换 对电压骤降的幅值进行检测。尽管该方法实现了电压骤降扰动的检测与定位，但由 于采用连续小波变换，因此存在计算时间长、计算量大的缺点，不太适合实际应用。 此外，该文献只是对认为构造的电压骤降信号进行检测，而没有采用实测或仿真得 到的扰动信号进行检验，因此该方法的有效性还待证实。在文献 2 3 ，2 4 中，p o i s s o n 提出一种变深度检测法来解决基于小波变换的电压骤降幅值检测中的误差问题，但 是检测精度仍然不如传统的基于均方根值的电压骤降幅值检测方法。在文献 2 5 中，h u a n g 采用了m o r l e t 小波，利用连续小波变换不仅对电压骤降扰动进行了检测， 而且还对电压骤升、周期性陷波、暂态振荡以及闪变等其他电能质量问题进行了研 究。 由以上文献可知，目前基于小波变换的电能质量扰动检测与定位所采用的小波 及相位算法大体上可以分为两大类：一是采用连续小波变换，尽管其具有检测精度 高、抗噪性能好的优点，但由于计算量太大，限制了它在实际中的应用。另外是采 用离散正交小波变换，该方法具有实现简单、计算效率高等优点，克服了连续小波 变换的缺点，已成为电能质量扰动分析中普遍采用的方法。但由于该方法抗噪能力 不如连续小波变换，当检测环境中的背景噪声较强时，该方法的检测精度将大大下 降。 电能质量扰动特征向量的提取是电能质量扰动自动识别中一个关键的问题。扰 动特征向量的选取不仅要考虑到计算量小、识别精度高、实现简单等条件，更重要 的是扰动特征向量只能与对应的扰动信号类型有关，而与扰动信号发生时间无关， 即扰动特征应具有平移不变的特点。尽管文献 1 7 认为基于离散f 交小波变换的各 种电能质量扰动的特征向量具有唯一性，但该文献并末在理论上对此进行证明，因 此需要对基于丁f 交小波变换得到的扰动特征向量的问题还有待进一步研究。 华北电力大学硕：l 学位论 1 4 本文的主要工作 本文的研究目标是寻找有效的方法对电能质量进行快速的检测和准确的分类， 考虑到电能质量信号的变化特性和实现方法的实时性，本文选择了小波变换作为主 要的分析方法。 本文通过小波变换对电能质曩扰动信号进行去噪，之后进行扰动检测和分类的研 究。针对实际信号检测中的去噪问题，采用了一种基于小波变换相关性和软阈值相结合 的方法，实现噪声和不必要信息的滤除，针对暂态电能质量信号的非平稳特性，通过信 号的多分辨率分解提取信号奇异点的小波变换模极大值，实现暂态电能质量信号准确的 故障定位。 第一章介绍了当前的研究现状以及本文的研究内容。 第二章将对小波变换傲深入的介绍。在这一章里把傅立时变换、g a b o r 变换和 小波变换的对比分析，介绍小波变换的优点，说明采用小波变换方法的理由。对多 分辨率分析与m a l l a t 快速算法等小波理论加以介绍，并对小波基的选择加以说明。 第三章将就小波在电能质量暂态信号去噪进行研究。介绍小波去噪的原理以及 五种电能质量暂态信号的特点，通过试验结果，说明单独使用软阈值去噪在电能质 量中很难达到理想的效果。归纳各层系数特点，把分解后高频部分进行相关处理， 并结合软闽值方法，通过试验说明可以很好的达到去噪效果。 第四章就小波在电能质量检测和分类方法做进一步的探讨。对奇异点波形变化 的小波系数特点进行归纳，对几种分类方法的可行性进行分析对比，对小波系数进 行归一化处理，画出图形，通过图形判断出暂态信号高频、低频信号出现的位置。 根据实验结果，说明这种方法可以比较准确的对几种电能质量信号就行分类判断。 华北电力大学硕士学位论 第二章小波变换的基本理论 小波变换( w a v e l e tt r a n s f o r m w t ) 这一新概念是由法国工程师m o r l e t1 9 8 1 年进行地质数据分析时提出来的。1 9 8 5 年，法国数学家m e y e r 构造出一个真正光滑 的小波基，从而掀起了小波研究热潮。1 9 8 9 年，比利时数学家d a u b e c h i e s 提出了 具有紧支集的光滑正交小波基，将小波分析研究向前大大地推进了一步。随后， m e y e r 和m a l l a t 在多分辨率的基础上，给出构造正交小波基的一般方法和相应的快 速算法- - m a l l a t 算法，使小波变换从理论研究走上了广泛的应用研究。小波变换， 作为近十年来应用数学的重大突破，不仅具有丰富的数学内涵，而且具有重要的应 用价值。小波变换是在傅立叶分析的基础上发展起来的，但小波分析与傅立叶分析 存在极大的不同。从微观上看，小波变换与傅立叶变换的根本区别是由小波和正弦 波的不同局部化性质产生的。从宏观上看，傅立叶分析是整体分析，用单独的时域 或频域表示信号的特征；而小波分析是局部化时频分析，它用时域和频域的联合表 示信号的特征。作为时一频分析方法，小波分析比傅立叶分析有着许多本质性的进 步。它能够从信号中提取许多有用的信息，是各种信号处理方法( 如时频分析、多 尺度分析和子带编码) 的统一处理框架，它的快速算法为分析和解决实际问题带来 极大的方便，是近年来应用数学和工程学科中的一个迅速发展的新领域。是目前国 际上公认的信号信息获取与处理领域的高新技术，是多学科关注的热点，是信号处 理的前沿课题。 2 1 傅立叶变换和g a b o r 变换 2 。1 1 傅立叶变换 对于非周期函数厂p ) f ( 月) ，其傅立叶变换定义为： ，( 叻2 f r f ( t ) e - j “d t( 2 1 ) 逆变换定义为： ，o ) 2 石1 正f ( ) e 埘如( 2 - 2 ) 函数f ( t ) 的傅立叶变换和其逆变换构成了一个变换对，傅立叶变换是时域到频 域相互转化的工具，从物理意义上讲，傅立叶变换的实质是将时域的信号分解成许 多不同频率的正弦波或余弦波的叠加和，这样我们就可以把对原函数，“) 的研究转 化对其权系数的研究，即傅立时变换及“) 的研究。 虽然傅立叶变换能够将信号的时域特征和频域特征联系起来，能分别从信号的 1 华北电力火学硕十学位论 时域和频域观察，但却不能把二者有机地结合起来。这是因为任何时刻的信号的时 域波形中包含了信号全部频域的信息。而傅立时谱是信号的统计特征，它是整个时 间域的积分，没有局部化分析信号的功能，完全不具备时域信息，也就是说，对于 傅立叶谱中的某一频率，不知道到这个频率是什么时间产生的。这样在信号分析中 就面i | 缶一对最基本的矛盾，时域和频域的局部化矛盾。傅立叶变换理论具有一定的 局限性： ( 1 ) 傅立叶变换的三种形式中的傅立叶系数都是常数，不随时间t 变化，因而只 能处理频谱成分不变的平稳信号，相反的，在处理非平稳信号时会带来很大误差， 甚至与实际情况大相径庭。 在实际信号中，若高频与低频差别很大，在相同的时间间隔内，高频信号衰减 了而低频信号尚未衰减，所以，在不同时刻，信号的频谱成分是不同的。如果想用 傅立叶变换找出所有时刻的频谱成分，或者想把幅值的变化用频率的变化来补偿， 这样是不现实的。这不仅使高频的傅立叶系数有误差，低频的傅立时系数也会有很 大误差，包括求出的频率当然也有误差。 ( z ) 求傅立叶系数是全时间域上的加权平均。局部突变信息被平均掉了，局部 突变信息的作用很难反映出来。差别很大的信号，如方波、三角波、正弦波，都可 以得到相同的频率，所以，处理、捕捉突变信号如故障信号，灵敏度很差。处理、 捕捉突变信号应使用能反映局部信息的变换。 为了克服以上两点局限性，这就要求： ( 1 ) 将变换系数视为随时间变化的，级数求和由一重变为两重。 ( 2 ) 使用能反映局部信息的变换，则函数组不能使用全域上的函数，只能使用 有所谓紧支撑的函数，即“小波函数”或加窗傅立叶变换的窗函数。 2 1 2g a b o r 变换 为了解决傅立叶变换在时域的局部化分析能力，d e n n is6 a b o r 于1 9 4 6 年引入 了短时傅立叶( s h o r t t i m ef o u r i e rt r a n s f o r m ) 。短时傅立叶变换是傅立叶变换的 自然推广，它是通过窗函数来实现信号的时一频分析的。窗函数不是唯一的，当采 用高斯函数作窗函数时，短时傅立叶变换称为g a b o r 变换啪1 。短时傅立叶变换的基 本思想是把信号划分成许多小的时间间隔，用傅立叶变换分析每一个时间间隔，以 便确定该时间间隔存在的频率。 g a b o r 变换定义如下： ( ( 矿) ( ，f ) 暑g ，( ，f ) 昌f f ( t ) g ( t f ) 】= c i ( t ) g ( t f 扣叫耐，f _ r ( 2 3 ) 1 一盟 其f 占( f r ) = g 。( f r ) = 击e 4 。，盯 0 , r e r ( 2 4 ) 见u r 华北电力火学硕七学位论 式( 2 - 4 ) 当取盯= 瑟时，高斯函数变成了芷态函数。当t = o ，j = 1 时就变成了标准正态 分布函数。 加窗傅立叶变换的“时间一频率窗”的宽度对于观察所有的频率是不变的。在 较长的时间窗内，对于高频信号，可能经过了很多周期，因而求出的f o u r i e r 变换 系数是很多周期的平均值，局部化性能不能得到体现。若减小时间窗( 减小a ) ，高 频信号局部化性能得到体现，但对于很低的频率信号来讲，检测不到。综上所述， 加窗傅立叶变换对于高频与低频差别很大的信号仍不是很有效的。 通过对以上两种函数的介绍可以知道： ( 1 ) 傅立叶级数的正弦与余弦系数为常数，不能反映振幅变化的情况； ( 2 ) 求傅立叶系数需要所考虑的时间域上所有信息，不能反映局部信息的特 征； o ( 3 ) 加窗傅立叶变换时间窗是固定不变的，高频与低频的时问局部化不能同 时满足。 由于上述原因，必须进一步改进，克服上述不足，这就引入了小波分析。 2 2 小波变换 综上所述，由于g a b o r 变换仍然不能解决低频信号要求高的频率分辨率，而高 频信号要求高的时间分辨率的变分辨率问题。因此，理论上追切需要研究一种新的 数学手段，解决信号的多分辨率分析问题。小波分析正是由于上述需求而发展起来 的。 2 2 1 连续小波变换的定义 设妒( r ) 三( r ) n 三2 僻) ，其傅立叶变换为妒( ) ，如果妒( ) 满足如下容许条件( 称 为容许条件) c ，；善铎 沿s ， 则称妒o ) 为基本小波( 或母小波，小波母函数) 。妒( f ) 通过尺度伸缩和平移生成的如 下函数族： 。= j n i 妒( 等) 胙如扎6 r ( 2 - 6 ) 称为由妒( f ) 生成的连续小波。其中口称为尺度参量，b 是平移参量。根据( 2 5 ) 式的 9 华北电力人学硕士学位论 容许条件要求，当m 一0 时，为使被积函数为有效值必须有妒( o ) = 0 ，所以可得到( 2 - 5 ) 式的等价条件为： 妒( 0 ) 。j = 。t p ( t ) d t = 0 ( 2 7 ) 此式表明妒p ) 中不含直流，只含有交流即具有振荡性，故称为“波”。为了使1 ；f ，o ) 具有局部性，即在有限的区间之外很快衰减为零，还必须加上一个衰减条件： 陋o ) 1 5 赤p 吣。为常数 2 吨 ( 2 - 8 ) 的含义是：当f - + t * 时，妒o ) 的衰减比1 i t l 快，衰减条件要求小波具有局部 性，这种局部性称为“小”，故( 2 5 ) 式称为小波。小波变换定义为： ) 一正，( f 厩砸一l 刮气，弦( 半卜| ，成， ( 2 _ 9 ) 2 2 2 小波的时频窗 小波是时域和频域中的局部函数，因此也可以类似窗口函数，定义其时频中心 和半径，用来衡量它的局部化程度。然而式( 2 4 ) 和( 2 5 ) 是按照一般窗口函数来定 义的，但小波有其特点，即小波必须满足( 2 7 ) 式的必要条件。该式表明小波无直 流分量，如按式( 2 4 ) 和( 2 5 ) 的形式定义小波的频率中心和半径，不能更好地反映 小波的特性，因此按照正、负两个频段( 0 ，o o ) 和( 一o 。，0 ) 来定义小波的频域中心和 半径。 嘁2 蒂印j 2 如) o ( 2 砌) 叫茅蝴驯卜 甜；击f 二m 陟l 2 d 甜co 。开p 陟l 咖如 叫茅蝴制卜 按照上述定义小波妒。8 ) ( 拉) o ) 的时频窗中心和半径经计算分别为 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 一1 3 ) 华北电力人学硕十学位论 t 。6 = a t o + 6 ，a t 。 = a a t 。 ( 2 - 1 4 ) 二2 丢甜；，o 。砉“( 2 - 1 5 )n口 吒一三蛎；一吒，吒一三埘i 一碥( 2 - 1 6 ) a 。s a t a m o b a t o a m o ( 2 - 1 7 ) 从上述三个式中我们可以看出，当a 较大时( 相当于低频) 时域分辨率较低， 频域分辨率较高；当a 较小时( 相当于高频) 时域分辨率较高，频域分辨率较低。 因此当a 从小逐渐大时，时频分辨率就会发生相应的变化，这种特性称为小波的“交 焦”特性或多分辨率分析。然而，从式( 2 1 7 ) 可知，无论a 如何变化窗口的面积是 保持不变的，即时域分辨率的增加，必然导致频域分辨率的减小，反之亦然。 2 2 - 3g a b o r 变换与小波变换的对比 在时域中分析信号就是要知道某一时刻信号的值，而在频域中分析信号就是求 出其频谱。显然傅立叶变换仅仅确定了信号在整个时间域上的频率特性。但在实际 应用中，我们往往需要知道，信号在某一时刻附近的频谱特性。例如，在处理一个 音乐或语音过程中，人们感兴趣的往往是全过程任意时刻附近的音调结构，尤其是 好听的那一段的频谱，也就是说，我们要同时对信号在时域和频域实行局部化处理。 简单地说，就是要知道信号在某一时刻附近的频谱，显然，傅立叶变换是作不到的。 通过上述分析可知，g a b o r 基( 窗口函数) 和小波基( 紧支撑) 都是有限支撑的， 对信号进行时一频分析( 或局部分析) 就是将信号，o ) 按族( 连续或离散的) 具有 局部特性的基元展开，从而达到了局部分析的目的n “。 我们知道g a b o r 变换的基元一旦选定后，在整个分析过程中就是不变的，即时 问域分辨率和频率域分辨率是固定的。而小波基通过改变尺度因子a 使被分析信号 在高频时( a 小) 时间域分辨率高，低频时( a 大) 频率域分辨率高，达到了多分 辨率分析的效果。小波分析的这种特点适合非平稳信号的处理。图2 1 和2 2 分别 给出了g a b o r 变换的相平面和小波变换的相平面，从图中可以清楚地看出两者的差 别与联系。 华北电力大学硕：b 学位论 图2 - 1g a b o r 变换的相平面 2 3 离散小波变换 图2 - 2 小波基函数的相平面 2 3 1 连续小波变换离散化满足的条件 如式( 2 8 ) 所示，小波无直流分量，因此分别在正频轴上和负频轴上考虑其频 域中心和半径。当小波为实函数时，且取口) 0 ，正负频中心对称，两个频半径相等。 由2 2 节可知，当母小波的频率中心和半径己知时，那么任何一个小波基元的频率 中心和频率半径也就知道了。为简译记，省去参量上的上角标+ 。山式( 2 一1 4 ) 、 ( 2 15 ) 、( 2 一1 6 ) 可计算出小波的中心频率和频窗宽度( 直径) 之比为： 1 2 华北电力大学硕士学位论 r ：且：卫生；l ( 2 1 8 ) 2 a w 。2 a o j o a2 a o j o 显然，上式中的r 值与a 、6 无关，即任何一个小波基元的，值都相同，均等于 母小波的，值。在滤波器理论中，中心频率与带宽之比和中心频率无关的带通滤波 器称为常q 滤波器。 由于妒。的中心频率o j a b = o ) 。a ，当a 越小时，中心频率越高，而r 值不变，所 以所占带宽越大，这一性质与位移参量b 无关。当将式( 2 - 6 ) 中的a 按照下式离散化， 则式( 2 6 ) 称为二进小波，式( 2 9 ) 称为二进小波变换。 口；0 ，= 2 一m ，m e z j ( 2 1 9 ) 而b 应保持取连续值，妒。的频窗区间、频窗直径和中心频率分别为： 见一2 丢d 0 观坩【- ，f j o “】( 2 - 2 0 ) 2 a 0 9 0 6 = 2 a 6 0 0 a 。；2 4 2 a w o ( 2 - 2 1 ) b = a ，一2 o ( 2 - 2 2 ) 2 3 2 二进小波的稳定条件 若小波1 1 f ，o ) 三a l 2 ，并存在两个正整数a ，b 满足o o 的固定数) 。 2 4 小波变换的多分辨分析 2 4 1 小波变换特点 小波变换具有如下特点，当尺度因子a 较大时，视野宽而分辨率低，只能观察 1 4 华j b 电力大学硕士学位论 概貌；当尺度因子a 较小时，视野窄而分辨率高，便于观察细节部分。这种由粗到 精对事物逐级分析的方法就称为多分辨分析。下面给出小波变换的多分辨分析定 义，为目标检测提供理论基础。 首先定义空间工2 ( r ) 中的一列闭予空间e 。称为工2 ( 尺) 的一个多分辨率分析 或逼近，并且这些空间须满足如下条件： ( 1 ) 一致单调性：对于任意聊z ，c 圪一。； ( 2 ) 渐进完全性n k ； 0 ) ，u 瓦一工2 僻) ； ( 3 ) 伸缩性：，( f ) 吒一，一f ( 2 t ) e ，v 。z ； ( 4 ) r i e s z 基：存在o ) ，使得如o 一七) k 构成的标准正交基； ( 5 ) 平移不变性，o ) 圪一f ( t 一2 ”七) k ，y k z ： ( 6 ) 函数空间的逐级剖分性，即一k 暇，k 一心o ，i 。 职。 因此，空间列慨】施中任一空间圪的基可由其中另一空间的基经过简单的 伸缩变换得到，若协( f 一七) k 。是的标准i f _ 交基，则对于任意m z ，函数基 丸t ；z 詈庐c z l r 一刮一 构成的标准正交基。函数妒称为尺度函数c s c a n g f u n c t i o n ) 。 空间l 2 ) 中的一个多分变率( 多尺度) 分析( m r a ) 是指2 c r ) 中的一列闭子空 间帆l 满足上述的条件所构成的一个空间系列。如果妒( f ) 生成的空间系列中。是正 交系，则称为正交m r a 。 2 , 4 2 正交m r a 的物理意义 在e 交m r a 中，m 。和叱均为j 下交系，而且，+ 。= 圪o ，k 上既对于 ，o ) 2 ( r ) 可在心中分析和重建。 ，( f ) 8 荟，妒m t 丸t2 乏。m 九t 2 3 1 式中右边称为，( f ) 在中的投影，记为吃，2 荟。m t 显然州越大 所占频带 越宽，在t j 重建f ( t ) 的过程1 h 其近似程度越好：当m 较小时，。所占频带较窄 兰! ! 皇垄查堂堡：兰堂堡堕 在变换重建过程中，必然丢失掉了f ( o 的。部分高频分量，近似程度较差。因此 帆l 是一系列不同的近似空间，将圪看成是其带宽随肌而变化的低通滤波器，当 输入为，( f ) 时，其输出为吃；由于+ 。一o 既。，因此厂( f ) 即可用九+ t 来展开，也 可用基九和，匕共同来展开。 ，( f ) 4 _ ，+ 荟， 妒m 2 啦 其中是低通滤波器，而为带通滤波器。尺度函数庐( f ) 生成垂。，c o s e ，。 小波( 幻生成妒。c l o s ek = 既，因此尺度函数和小波之间存在着一定的联系， 通常是先找出尺度函数，然后根据尺度函数求出小波。 尺度函数庐( f ) 的双尺度方程。因为垂。c 屹c v + l 因此中。中的任一元素都可 用k + ，中的r 基零。来展开。将中。中的元素。= 2 刚2 妒( 2 ”t ) 用中“来展开得： 2 m 2 庐( 2 “f ) ；罗以2 雎( 2 ”1 t - k ) 即： 妒( 2 ”f ) = 压孓以妒( 2 “f 一七) ( 2 3 3 ) 对上式作傅立叶变换得： 乒 = 击乏怡廿哥# 毋m 唠) 乒书) ( 2 - 3 4 其中h ( 埘) 称为尺度滤波器。 2 4 3 小汲函数妒( f ) 的双尺厦万栏 采用与尺度函数类似的处理过程可得到小波函数的双尺度方程为： 妒( f ) = 2 荟g t ( 2 t - k )f e 帅) ；击乏即廿：每( 争g ( 秘争 在多分辨率分析中，尺度函数驴( f ) 和小波函数妒o ) 可以分别表示为 妒和) = 2