（信号与信息处理专业论文）基于小波变换的图像边缘检测研究.pdf

山东大学硕士学位论文 中文摘要 数字图像的边缘检测是图像分割、目标区域识别、区域形状检测等图像分析 领域十分重要的基础，是图像识别中检测图像特征的一个重要属性，图像理解和 分析的第一步往往就是边缘检测，目前它己成为机器视觉研究领域最活跃的课题 之一。本文首先介绍了图像边缘检测技术的研究现状和小波变换的发展，阐明了 基于小波变换的边缘检测技术的研究意义。通过对现有图像边缘检测技术的分 析，针对图像边缘检测中噪声抑制和提取边缘细节的矛盾，引出了基于小波变换 的边缘检测算法来进行图像的边缘检测。 图像检测技术发展到今天，在工程、工业生产、农业、军事、医学以及科学 研究等各个领域中，许多边缘提取方法已经得到了广泛的应用。这些方法提高了 边缘检测的性能，具有较好的应用前景。比如说医学影像的降噪、农产品的外观 品质检测等。尽管如此，但数字图像的边缘提取问题并没有得到比较完善的解决： 边缘灰度变化的减少，使得边缘提取出现了一定困难；图像在生产和传输过程中 产生的噪声，使得边缘提取存在伪边缘、漏检测边缘等现象；受拍摄环境和条件 的限制，图像中总会有一些与目标无关的干扰存在。如何提高边缘检测的准确性， 使边缘提取算法具有更高的信噪比是图像处理的经典难题。所以好的边缘提取算 法一直是众多学者研究的重点，也是我们要为之努力的方向。 本文系统介绍了多分辨分析理论和二进小波快速算法。通过对小波变换在信 号奇异性检测方面的分析，阐明小波变换是检测信号突变点的强有力的工具。根 据边缘检测小波基函数选取准则及c a n n y 最优边缘检测准则，选取b 样条函数作为 边缘检测的小波基函数。在多分辨分析框架下构造b 样条小波函数。以b 样条为基 底的样条空间构成了信号空间的多尺度逼近，对不同分辨率下的逼近信号求一阶 导数和二阶导数，然后分别作模极值或零交叉检测，即构成了多尺度b 样条小波 边缘检测算子。由于模极值检测优于零交叉检测，最终确定了选取三次b 样条函 数的一阶导数来构成小波边缘检测算子。优点是可避免噪声的干扰，但同时会去 山东大学硕士学位论文 掉一些弱的边缘。为了避免这个不足，提出采用自适应阈值改进的b 样条小波边 缘检测算法：在多尺度b 样条小波的边缘检测算法基础上，加入自适应平滑滤波 来锐化图像边缘，以达到避免漏检微弱边缘的目的。利用计算机进行仿真验证， 结果表明：采用自适应阈值改进的b 样条小波边缘检测的算法，在消噪的同时， 很好的保留了微弱边缘。 关键词：边缘检测；c a n n y 准则；小波变换；三次b 样条；自适应阈值 2 山东大学硕士学位论文 a b s t r a c t m a n yf i e l d sr e l a t e dt oi m a g ea n a l y s i sa r eb a s e do nt h ee d g cd e t e c t i o no fd i g i t a l i m a g e s ，s u c h 豁i m a g es e g m e n t a t i o n , r e c o g n i t i o no ft a r g e tr e g i o n , s h a p ee x t r a c t i o n f r o mr e g i o n a la r e a sa n ds oo n t h ee d g ed e t e c t i o no fd i g i t a li m a g ei sa ni m p o r t a n t a t t r i b u t ef o re x t r a c t i n gi m a g ec h a r a c t e r i s t i c si ni m a g er e c o g n i t i o n i ti sa l s ot h ef i r s t s t e pi ni m a g eu n d e r s t a n d i n ga n di m a g ea n a l y s i s i th a sb e c o m eo n eo ft h em o s ta c t i v e i s s u e s i nt h ef i e l dr e l a t e dt om a c h i n ev i s i o nr e s e a r c h i nt h i st h e s i s ，t h ep r e s e n t s i t u a t i o ni ni m a g ee d g ed e t e c t i o nt e c h n o l o g yr e s e a r c ha n dt h ed e v e l o p m e n to f w a v e l e tt r a n s f o r ma r e a n a l y z e d ；m e a n w h i l e , t h er e s e a r c hs i g n i f i c a n c eo fe d g e d e t e c t i o nt e c h n o l o g yb a s e do nw a v e l e tt r a n s f o r m ai se l a b o r a t e d b yt h ea n a l y s i so f t h ec u r r e n ti m a g ee d g ed e t e c t i o nt e c h n o l o g ya n da c c o r d i n gt ot h ec o n t r a d i c t i o no f n o i s ec o n t r o la n de d g ed e t a i le x t r a c t i o n , e d g ed e t e c t i o na l g o r i t h mb a s e do nw a v e l e t t r a n s f o r mi sp r o p o s e dt oc a r r yo u ti m a g ee d g ed e t e c t i o n w i t ht h ed e v e l o p m e n to fi m a g ed e t e c t i o nt e c h n o l o g y , d i f f e r e n ta p p r o a c h e so f e d g ee x t r a c t i o n h a v eb e e na p p l i e dw i d e l yi nt h ef i e l d ss u c ha s e n g i n e e r i n g , i n d u s t r i a lp r o d u c t i o n , a g r i c u l t u r e ，m i l i t a r ya f f a i r s ，m e d i c i n ea n ds c i e n t i f i cr e s e a r c h t h e s ea p p r o a c h e si m p r o v et h e p e r f o r m a n c eo fe d g ed e t e c t i o na n dh a v eg o o d a p p l i c a t i o np r o s p e c t s f o re x a m p l e ，t h en o i s er e d u c t i o no fm e d i c a li m a g i n g , q u a l i t y i n s p e c t i o no fa g r i c u l t u r a lp r o d u c t s ，s u c ha st h ea p p e a r a n c e d e s p i t ea l lt h i s ，t h ee d g e e x t r a c t i o no fd i g i t a li m a g eh a sn o tb e e nf u l l ys o l v e d ：t h ed e c r e a s ei ne d g eg r a y - s c a l e v a r i a t i o ni sa c c o m p a n i e db yt h ed i f f i c u l t yi ne d g ce x t r a c t i o n ；t h en o i s eg e n e r a t e d d u r i n gt h ep r o d u c t i o na n dt r a n s f o r m a t i o no ft h ei m a g e sm a yr e s u l ti nf a l s ee d g ea n d u n d e t e c t e de d g e ；o w i n gt ot h er e s t r i c t i o no fs n a p p i n ge n v i r o n m e n ta n dc o n d i t i o n ， t h e r em a yb es o m ei r r e l e v a n ti n t e r f e r e n c e s i ti st h em a j o rc h a l l e n g ei ni m a g e p r o c e s s i n gt oi m p r o v et h ea c c u r a c yo fe d g ed e t e c t i o na n dt h es i g n a l - - t o n o i s er a t i oo f e d g ee x t r a c t i o na l g o r i t h m ，t h u sm a k i n gt h ea l g o r i t h ma l le m p h a s i so fp r o f e s s i o n a l s t u d y a l s ow eh a v et ow o r kt o w a r d si t 3 山东大学硕士学位论文 m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i st h e o r ya n db i n a r yw a v e l e tf a s ta l g o r i t h ma r e i n t r o d u c e di nt h et h e s i s t h r o u g ht h ea n a l y s i so ns i g n a ls i n g u l a r i t yd e t e c t i o ni n w a v e l e tt r a n s f o r m ，w a v e l e tt r a n s f o r mi sp r o v e dt ob ee f f i c i e n ti nd e t e c t i n gd e f o r m e d s i g n a l s a c c o r d i n gt ow a v e l e tb a s i sf u n c t i o ns e l e c t i o nc r i t e r i o ni ne d g ed e t e c t i o n a n dc a n n yo p t i m u me d g ed e t e c t i o np r i n c i p l e ，b s p l i n ei sc h o s e na st h ew a v e l e t b a s i sf u n c t i o no f e d g ed e t e c t i o n b s p l i n ei sc o n s t r u c t e di nm u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s f r a m e t h e s p l i n es p a c e o nt h e b a s i so f b s p l i n ef o r m s t h em u l t i s c a l e a p p r o x i m a t i o no fs i g n a ls p a c et h e nf i r s ta n ds e c o n dd e r i v a t i v e so ft h e a p p r o x i m a t i o ns i g n a l so fd i f f e r e n tr e s o l u t i o n sa r ee v a l u a t e da n dm o d u l ee x t r e m u m d e t e c t i o no rz e r o c r o s s i n gd e t e c t i o ni sd o n er e s p e c t i v e l y , t h u st h e m u l t i s c a l e w a v e l e td e t e c t i o no p e r a t o r so fb s p l i n ei sf o r m e d c u b i cb - s p l i n ef u n c t i o ni s c h o s e na st h ew a v e l e te d g ed e t e c t i o no p e r a t o r sb e c a u s em o d u l ee x t r e m u md e t e c t i o n e x c e e d s z e r o - c r o s s i n g d e t e c t i o n t h i s a p p r o a c he x c e l si na v o i d i n go fn o i s e i n t e r f e r e n c eb u ts o m ew e a ke d g e sm a ya l s ob em i s s e da sw e l l i no r d e rt o c o m p e n s a t ef o rt h i sd e f i c i e n c y , a l li m p r o v e db s p l i n ew a v e l e te d g ed e t e c t i o n a l g o r i t h mw i t ha d a p t i v et h r e s h o l di sp r o p o s e d ：o nt h eb a s i so fe d g ed e t e c t i o n a l g o r i t h mo fm u l t i - s c a l eb s p l i n ew a v e l e t ，a d a p t i v es m o o t hf i l t e ri sa d a p t e dt o s h a r p e nt h ei m a g ee d g et op r e v e n tt h eu n d e t e c t e dw e a ke d g e a c c o r d i n gt ot h e c o m p u t e rs i m u l a t i o n ，t h em o d i f i e db - s p l i n ew a v e l e te d g ed e t e c t i o na l g o r i t h mu s i n g a d a p t i v et h r e s h o l dm a i n t a i n st h ew e a ke d g et o g e t h e rw i t hn o i s ee l i m i n a t i o n k e yw o r d s ：e d g ed e t e c t i o n ；c a n n yp r i n c i p l e ；w a v e l e tt r a n s f o r m ； 4 c u b i cb - s p l i n e ；a d a p t i v et h r e s h o l d 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名- 缮孽一一 e t 期：2 颦出鱼 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：隘宝导师签名：日期：兰翠兰笸 山东大学硕士学位论文 第1 章绪论 本章主要介绍了图像边缘检测技术的研究现状和小波变换的发展，阐明了 基于小波变换的边缘检测技术的研究意义。并对论文的内容安排进行了说明。 1 1 研究背景 1 1 1 图像边缘检测 视觉是人类从大自然获取信息的最主要的来源。每天我们都在报纸、杂志、 书籍、电视等各种媒体大量的图像信息包围中度过，这些图像信息包括文字、照 片、图表、插图等。据统计在人类获取的信息当中，视觉信息约占6 0 ，听觉信 息约占2 0 ，其它的如味觉信息、触觉信息等加起来约占2 0 。由此可见视觉信 息对人们的重要性，而图像正是人类获取视觉信息的主要途径。其中边缘又是图 像最基本的特征。 边缘是指其周围像素灰度后阶变化或屋顶状变化的那些像素的集合，它存 在于目标与背景、目标与目标、区域与区域、基元与基元之间。因此它是图像 分割所依赖的重要的特征，也是纹理特征的重要信息源和形状特征的基础；而 图像的纹理形状特征的提取又常常依赖于图像分割。p o g g i o 等说：“边缘或 许对应着图像中物体( 的边界) 或许并没有对应着图像中物体( 的边界) ，但是边 缘具有十分令人满意的性质，它能大大地减少所要处理的信息但是又保留了图 像中物体的形状信息。一并定义边缘检测为“主要是( 图像的) 灰度变化的度量、 检测和定位。” 边缘是边界检测的重要基础，也是外形检测的基础瞳1 。常见的边缘点有三 种，见图1 1 。第一种是阶梯形边缘( s t e p e d g e ) ，即从一个灰度到比它高好多的 另一个灰度。第二种是屋顶型边缘( r o o f - e d g e ) ，它的灰度是慢慢增加到一定程 度然后慢慢减小。还有一种是线性边缘( l i n e e d g e ) ，它的灰度从一级别跳到另 5 山东大学硕士学位论文 一个灰度级别之后然后回来。 边缘与图像中物体的边界有关但又是不同的，边缘反映的是图像灰度的不 连续性啪。如果灰度曲面在一个点的n 阶导数是一个万函数，那么我们就定义 灰度曲面在这个点是n 阶不连续的。那么线性边缘是零阶不连续的，阶梯形边 缘是一阶不连续的，而屋顶形边缘是二阶不连续的。 j j 。 屋顶式边缘 阶梯形边缘 线性边缘 图1 1 边缘的类型 数字图像处理就是利用计算机对图像信息进行加工以满足人的视觉心理或 者应用需求的行为。计算机视觉处理可以看作是为了实现某一任务从包含有大 量的不相关的变量中抽取不变量，总之就是简化信息。这就意味着要扔掉一些 不必要的信息而尽可能利用物体的不变性质。而边缘就是最重要的不变性质： 光线的变化显著地影响了一个区域的外观，但是不会改变它的边缘。更重要的 是人的视觉系统也是对边缘很敏感的 边缘检测是数字图像处理的重要内容。它在计算机视觉、图像分析等应用 中起着重要的作用，是图像分析与识别的重要环节。这是因为：首先，人眼通 过追踪未知物体的轮廓( 轮廓是由一段段的边缘片段组成的) 而扫视一个未知的 物体。第二，经验告诉我们：如果我们能成功地得到图像的边缘，那么图像分 析就会大大简化，图像识别就会容易得多。第三，很多图像并没有具体的物体， 对这些图像的理解取决于它们的纹理性质，而提取这些纹理性质与边缘检测有 极其密切的关系h ，。 1 9 5 9 年，文献上最早提到了边缘检测畸1 。1 9 6 5 年l g r o b e r t s 最早开始系 统研究边缘检测田1 。从那以后每年都会出现很多关于边缘检测的文章。 6 山东大学硕士学位论文 1 1 2 小波变换概述 小波分析口8 1 ( w a v e l e ta n a l y s i s ) 是半个世纪以来傅立叶分析( f o u r i e r a n a l y s i s ) 发展史上里程碑式的进展，是在现代调和分析的基础上发展起来的。 它的基本思想同傅立叶分析是一致的，都是用一族函数来表示某信号或函数。近 年来它的理论研究与应用研究已为数学家、理论物理学家和工程技术人员所密切 关注。 小波变换是近年来兴起的一种热门信号处理方法，它良好的时一频局部特性 非常适合于图像处理，所以得到了广泛的应用。不同尺度下，图像灰度的急剧变 化点的集合对应图像的边缘，即表现为信号的奇异性，这就要求在提取边缘时运 用多尺度思想，而小波对图像信号的多分辨率分析非常适合检测信号的奇异性， 所以小波是图像边缘处理的一种有力工具阻1 0 1 “1 2 1 。在小波多分辨分析中，引入了 尺度函数矽( f ) 和小波函数( f ) 。多尺度小波边缘检测就是利用一个平滑函数口( f ) ， 在不同尺度下平滑所检测的信号，根据一次、二次微分找出它的突变点。一次微 分的极大值点对应二次微分的零交叉点和平滑后信号的拐点。用小波变换提取边 缘的思想如下：利用小波的多尺度特性可以实现在大尺度下抑制噪声，可靠地识 别边缘；在小尺度下精确定位；综合不同尺度下的边缘图像得到提取结果。多分 辨分析框架口1 为正交( 包括单正交和双正交) 小波基的构造提供了理论基础。在这 一框架下，基本小波的选取具有很大的灵活性，从这点看，小波分析比傅立叶分 析具有更广泛的适用性。 1 2 图像边缘检测的研究现状 现有的图像边缘检测方法可分为两大类：一类是经典的边缘检测方法，基于 某种固定的局部运算( 采用局部图像微分技术) ，对原始图像按像素的某邻域构 造边缘算子，女i r o b e r t s 算子、s o b e l 算子、p r e w i t t 算子、l o g 算子、c a n n y 算子 等；另一类是现代信号处理技术提取图像边缘的方法，以能量最小化为准则的全 局检测，运用严格的数学方法进行分析，给出最优检测的依据，从全局最优的观 点提取边缘，如小波边缘检测、小波包边缘检测、数学形态学边缘检测、神经网 7 山东大学硕士学位论文 络的边缘检测等。迄今为止许多边缘提取方法已经在许多领域得到了广泛的应 用，比如说医学影像的降噪、农产品的外观品质检测等。尽管如此，但数字图像 的边缘提取问题并没有得到比较完善的解决，如何提高边缘检测的准确性，使边 缘提取算法具有更高的信噪比是图像处理的经典难题。所以好的边缘提取算法一 直是众多学者研究的重点。 1 3 主要研究内容 本文通过对现有图像边缘检测技术的分析，针对图像边缘检测中噪声抑制和 提取边缘细节的矛盾，引出了基于小波变换的边缘检测算法来进行图像的边缘检 测，并对基于边缘检测的小波函数的选用问题进行了研究。同时在小波变换的边 缘检测算法的基础上进一步改进此算法：设计一种b 样条的滤波( 平滑) 算子， 对图像进行多尺度滤波，得到不同尺度的小波变换，再结合自适应阈值方法，能 较好的保留微弱边缘，以达到不漏检微弱边缘的目的，在每种尺度下分别提取图 像边缘。最后利用计算机进行仿真验证。 1 4 论文的主要结构 第一章绪论。介绍了图像边缘检测技术的研究现状和小波变换的发展，阐 明了基于小波变换的边缘检测技术的研究意义。 第二章图像边缘检测技术。简述了几种经典的边缘检测算法并进行了仿真 和分析。将c a n n y 最优边缘检测准则转换为数学模型。在深入分析c a n n y 最优边缘 检测准则的基础上，介绍3 c a n n y 边缘检测算法。 第三章小波变换。介绍了多分辨分析理论和二进小波快速算法。阐明小波 变换在信号奇异性检测方面的性质。分析小波变换在信号奇异性检测方面的特 性。依据边缘检测的小波基函数的选取准则和c a n n y 最优边缘检测准则，选用b 样 条小波作为基于小波变换的边缘检测算法的小波基函数。 第四章基于小波变换的边缘检测算法。以b 样条为基底的样条空间构成了信 号空间的多尺度逼近，对不同尺度下的逼近信号求一阶导数，然后作模极值检测， 即构成了多尺度b 样条小波边缘检测算子。推导出基于m a ll a t 信号分解及小波重 8 山东大学硕士学位论文 建算法中滤波器组分别在时域和频域的解析表式。并给出了b 样条函数窗算子的 设计。 第五章改进的小波变换边缘检测算法。在b 样条小波的边缘检测算法的基础 上，加入自适应平滑滤波来锐化图像边缘，以达到避免漏检微弱边缘的目的。并 用计算机进行仿真验证。 第六章总结与展望。 9 山东大学硕士学位论文 第二章图像边缘检测技术 本章先介绍了几种经典的边缘检测算子，这种微分类的边缘检测方法对噪声 太敏感。在深入分析c a n n y 最优边缘检测准则的基础上，介绍t c a n n y 边缘检测算 法。对这种算法进行分析，发现这种算法虽然能减轻一部分噪声的影响，但是高 斯滤波器会过度平滑图像，所以引入基于小波变换的边缘检测算法。 2 1 经典的边缘检测技术 图像边缘检测就是研究更好的边缘检测方法和检测算子。 边缘检测的实质是采用某种算法来提取出图像中对象与背景间的交线。我们 将边缘定义为图像中灰度发生急剧变化的区域边界。图像灰度的变化情况可以用 图像灰度分布的梯度来反映，因此我们可以用局部图像微分技术来获得边缘检测 算子。经典的、最简单的边缘检测方法是对原始图像按像素的某邻域构造边缘算 子。由于原始图像往往含有噪声，而边缘和噪声在空间域表现为灰度有比较大 的起落，在频域则反应为同是高频分量，这就给边缘检测带来困难。下面列举了 几个经典的边缘检测算子。 2 1 1r o b e r t s 算子 r o b e r t s n 3 1 算子是根据任意一对互相垂直方向上的差分可用来计算梯度的 原理，采用对角线方向相邻两像素之差，即： ，f = f ( i ，) 一f ( i + 1 ，_ ，+ 1 ) ，厂2 f ( i ，+ 1 ) 一f ( i + 1 ，j ) ( 2 1 ) 因此当想寻找边缘的时候，最简单的方法是对每一个像素计算出( 2 1 ) 的向量， 然后求出它的绝对值，再进行阈值操作就可以了。利用这种思想就得到了 r o b e r t s 算子： r ( i ，) = ，2 厂+ y 2 厂r ( i ，) = l ，厂l + l ，fl ( 2 2 ) l o 山东大学硕士学位论文 它是由两个2 2 模板作用的结果( 标注的是当前像素的位置) 。 它们的卷积算子为，r 三)、，( ! j ： 有了，厶，之后，很容易计算出r o b e r t s 的梯度幅值r ( f ，门，适当取 门限t h ，作如下判断：且“，) n l - 0 ，j ) 为阶跃状边缘点。 且“，j ) 为边缘图 像。图2 2 是图2 1 被r o b e r t s 算子做边缘检测的结果。 察鼍 图21c 锄e 硼n 原酗像图22r o b e r t s 算子检测的结果 r o b e r t s 算予利用的是边缘点的一阶导数有极小值，采用对角线方向相邻 两像素之差近似梯度幅值检测边缘。检测水平和垂直边缘的效果好于斜向边缘， 定位精度高，对噪声敏感，常产生一些孤立点。 2 1 2p r e w i t t 算子和s o b e l 算子 r o b e r t s 算子是直观的也是简单的，但是显然效果不好。实践中人们做了 大量的实践，总结出了一些经验。1 9 7 0 年左右p r o w l t t “”和s o b e l “”分别提出 了一个算子，这就是p r e w i t t 算子和s o b e l 算子。 p r e w i t t 算子是一种边缘样板算子，利用像素点上下、左右邻点灰度差， 在边缘处达到极值检澜4 边缘，对噪声具有平滑作用。由于边缘点像素的灰度值 与其邻域点像素的灰度值有显著不同，在实际应用中通常采用微分算子和模板 匹配方法检测图像的边缘。这些算子样板由理想的边缘子图像构成。依次用边 缘样板去检测图像，与被检测区域最为相似的样板给出最大值。用这个最大值 作为算子的输出值p ( f ，) ，这样可将边缘像素检测出来。定义p r e w i t t 边缘检 测算于模板如下： 山东大学硕士学位论文 h ： i1 一l一1l 方向3 8 个算子样板对应的边缘方向如下图所示： 一 4 j 图2 3 样板方向 适当取门限t h ，作如下判断：p ( i ，j ) t h ，( f ，j ) 为阶跃状边缘点。 p ( i ，) 为 边缘图像。 p r e w i t t 边缘检测算子使用两个有向算子( 一个水平的，一个是垂直的，一 般称为模板) ，每一个逼近一个偏导数： 昂= ( ；了；昂= 三i 蚤i c 2 3 ， 如果我们用p r e w i t t 算子检测图像m 的边缘的话，我们可以先分别用水平 算子和垂直算子对图像进行卷积，得到的是两个矩阵，在不考虑边界的情形下 也是和原图像同样大小的m ，、m ，他们分别表示图像m 中相同位置处的两个 偏导数。然后把m 、鸠对应位置的两个数平方后相加得到一个新的矩阵g ， g 表示m 中各个像素的灰度的梯度值( 一个逼近) 。然后就可以通过阈值处理得 到边缘图像。 s o b e l 算子和p r e w i t t 算子的不同就在于使用的模板不一样。 对数字图像 f ( i ，_ ，) ) 的每个像素，考察它上、下、左、右邻点灰度的加权 差，与之接近的邻点的权大。定义s o b e l 算子： 1 2 1j 一 一 一 4 句。之。蒯 _-i 。l l 1一 。三施 l 1一 一 一 1 。以。旆 。之。旆 l 一 一 。之。旆 一 一 一 6 q 之。加 一 一 l l l 5。之。旆 一 l l ，。l 山东大学硕士学位论文 s ( i ，) aa ，fl + l ，fi i ( 朋一u d + 2f ( i 一1 ，j ) + v l ，+ 1 ) ) 一( 。u + l ，一1 ) + 2f ( i + 1 ，j ) + 厂o + 1 ，_ ，+ 1 ) ) i + i ( 厂( i 一1 ，j 一1 ) + 2 f ( i ，j - 1 ) + 厂( i + 1 j 一1 ) ) 一( 厂( i 一1 ，j + 1 ) + 2 厂( i ，j + 1 ) + 厂( i + l 叫引一帅y ，i 强 亿5 ， 适当取门限t h ，作如下判断：s ( i , j ) t h ，( f ，力为阶跃状边缘点， j ( i ，) 为边 则梯度是k ，) 。 一- - o ! - - f l 厂+ 卜7 卜嚣厂 亿7 ， 一+ 厂厂+ 厂 i ( 2 ) a p + y o 【+ ya 十p + y ) i ；j ( 三三三三 c 2 8 ， g 一= 2 ( 2 口+ 2 ( 2 9 ) g ，= 2 a ( 2 a + 6 ) 、。 g = 2 ( 2 a + b ) 4 a 2 + 2 ( 2 1 0 ) 1 3 山东大学硕士学位论文 2 ( 2 a + 们= 1 ( 2 1 1 ) 如果我们取ab - 1 1 6 则得到的模板就是i 6 乘p r e w i t t 算子。 如果我们取a - l 8 ，b - l 4 则得到的就是1 8 乘s o b e l 算子。 哪一个算子是好昵? 这个问题的答案取决于图像的噪声，如果在每个点噪 声都是相同的那么p r e w i t t 算子是比较好的：如果靠近边缘的噪声是沿着边 缘的2 倍，那么s o b e l 算子是比较好的。也就是算子的好坏取决于噪声的结构。 事实上，它们存在一些共同的问题： 1 他们的结果对噪声很敏感，图像的离散差分对噪声比对原图像更敏感； 2 可以通过先对图像做平滑以改善结果，但是又会产生一个问题：会把一 些靠在一起的边缘平滑掉，而且会影响对边缘的定位； 3 用这些模板卷积后得到的边缘可能是跨跃好几个点而不是一个点。 翻24j jp r e w i t t 算子检测的结果图25 用s o b e l 算子检测的结果 2 1 3 l o g 算于 利用图像强度二阶导数的零交叉点来求边缘点的算法对噪声十分敏感，所 以，希望在边缘增强前滤除噪卢。为此，m a r r 和h i l d r e t h 将高斯滤波和拉普 拉斯边缘检测结合在一起，形成l o g “”( l a p l a c i a no fg a u s s i a n l o g ) 算子， 即拉普拉斯一高斯算法，也常称为马尔( m a r r h i i d r e t h ) 算子。有趣的是，人 的视觉系统中一些早期的神经元就具有类似l o g 的性质“，并且文献 _ i s l l l 9 1 说他们是当时所用的检测方法里最优的所以这个算子引起了人们的很大兴趣。 1 9 8 6 年whl u n s c h e r 和mpb e d d o e s 在文献 2 0 2 1 】中对这个算子做了进一 步的讨论，并研究了在高斯噪声下的l o g 算子的性能，使得l o g 算法更加实用 化。 山东大学硕士学位论文 该算子先用高斯算子对图像进行平滑，然后采用拉普拉斯算子根据二阶微 分过零点来检测图像边缘。l o g 滤波器的基本特征是： 1 平滑滤波器是高斯滤波器。 2 增强步骤采用二阶导数( 二维拉普拉斯函数) 。 3 边缘检测判据是二阶导数零交叉点并对应一阶导数的较大峰值。 4 使用线性内插方法在子像素分辨率水平上估计边缘的位置。 拉普拉斯高斯算子是两种算子的结合，既具备高斯算子的平滑特点又具备 拉普拉斯算子锐化特点。平滑和锐化，积分和微分是一对矛盾的两个侧面，统 一在一起后就变成了较佳因子。因为图像中包含噪声，平滑和积分可以滤掉这 些噪声，消除噪声后再进行边缘检测( 锐化和微分) 会得到较好的效果。 这种方法的特点是图像首先与高斯滤波器进行卷积，这一步既平滑了图像 又降低了噪声，孤立的噪声点和较小的结构组织将被滤除。由于平滑会导致边 缘的延展，因此边缘检测只考虑那些具有局部梯度最大值的点为边缘点。这一 点可以用二阶导数的零交叉点来实现。拉普拉斯函数用作二维二阶导数的近似， 是因为它是一种无方向算子。为了避免检测出非显著边缘，应选择一阶导数大 于某一阈值的零交叉点作为边缘点。 l o g 算子的输出h ( x ，y ) 是通过卷积运算得到的： h ( x ，y ) = v 2 【g ( x ，j ，) 宰厂( x ，y ) 】 ( 2 1 2 ) 一 根据卷积求导法有： h ( x ，y ) = 【v 2 9 ( x ，y ) 】厂( x ，y ) ( 2 1 3 ) 其中： v ：如加f ，生之习p 一等 ( 2 1 4 ) 仃。 滤波( 通常是平滑) 、增强、检测这三个边缘检测步骤对使用l o g 边缘检测 仍然成立，其中平滑是用高斯滤波器来完成的；增强是将边缘转换成零交叉点 来实现的；边缘检测则是通过检测零交叉点来进行的。 可以看到，零交叉点的斜率依赖于图像强度在穿过边缘时的变化对比度。 剩下的问题是把那些由不同尺度算子检测到的边缘组合起来。在上述方法中， 边缘是在特定的分辨下得到的，为了从图像中得到真正的边缘，有必要把那些 通过不同尺度算子得到的信息组合起来。 1 5 生童查兰翌圭兰竺兰兰 国26 用l o g 算于检测的结果 2 2c a n n y 准则“2 3 和c a n n y 边缘检测算法 jc a n n y 对过去的一些方法和应用做了小结【2 3 】 2 4 】，在此基础上1 9 8 6 年 他在i e e e 上发表了划时代意义的文章ac o m p u t a t i o n a la p p r o a c ht oe d 2 e d e t e c t i o n ，证明了一维空间的指数滤波器的最佳性，并提出了边缘检测的三 条准则：好的检测结果、精确定位准则和边缘点的一对一响应( 这就是著名的 c a n n y 准则) 。他还证明了最佳滤波实际是用高斯函数的一阶导数来滤波，并导 出了二阶边缘检测最佳算子。由于c a n n y 算子的良好特性，它已成为很多边缘 检测滤渡器设计的比较标准。 2 2 1 图像边缘检测技术中的最优准j i - - c a n n y 准则 c a n n y 考察了以往的边缘检测算子和边缘检测的应用发现，尽管这些应用出 现在不同的领域，但是他们都有一些共同的要求： 1 好的检测结果( 最优检测) ：不漏检真实存在的边缘，也不把非边缘点 检出来，使得输出的信噪比最大。这是显然的，所有使用边缘检测做更深入工作 的系统，它的性能都依赖于边缘检测的误差； 2 精确定位准则( 最优检测精度) ：检测到的边缘点的位置要距实际边缘 点的位置最近； 在实践中发现仅仅满足这两条的算子并不好，有的算子会对一个边缘产生多 个响应。也就是说图像上本来只有一个边缘点，可是检测出来就会出现多个边缘 山东大学硕士学位论文 点。于是再添加一个要求： 3 对同一边缘要有低的响应次数( 检测点与边缘点一一对应) ：每一个实 际存在的边缘点和检测到的边缘点是一一对应的。 这就是c a n n y - - - 准则。事实上，在c a n n y 之前就有人提出了类似的要求乜州矧， 但c a n n y 是第一个明确提出这三条并完整解决了这个问题的人。更重要的是c a n n y 给出了这三条准则的数学表达式( 以一维为例) 。这就使得寻找给定条件下最优算 子的工作转化为一个泛函优化问题，从而为寻找给定条件下最优滤波器开辟了新 的也更有效的道路。 假设滤波器的脉冲响应厂( f ) ，t 【- - c o ，佃】，假设要检测边缘的数学模型为 g ( t ) 即图像边缘，并且我们假设它的边缘就在t = o 处，高斯白噪声为聍( f ) ： 1 最优检测( g o o dd e t e c t i o n ) 就是要把是边缘但是没有检测出来的和不是边缘却检测出来是边缘的这种 概率降到最低。由于这两个概率都随着信噪比提高而单调下降，所以这第一令 准则就等价于求f ( t ) 使得检测后的图像在边缘点的信噪比最大化。 经过厂( f ) 滤波后，边缘点处的图像信号的响应是： 。l g ( 一t ) f ( t ) d t ( 2 1 5 ) 而噪声的响应的平方根是： 只= 腼 这里以；的是单位长度上噪声振幅的均方，即方差。 于是c a n n y 第一个准则的数学表达式就是： s n r ( f ) = l u 巩o l = ( 2 1 7 ) 2 最优检测精度( g o o dl o c a liz a ti o n ) 设检测出的边缘位置在气( 记住：实际的边缘在t = 0 ) ，则有： ( 1 ) ( f ) + 1 4 ( f ) 在气处取得最大值，所以： 厶( 气) + 厶曙( 气) = o ( 2 1 8 ) 1 7 山东大学硕士学位论文 ( 2 ) 日g ( f ) 在t = o 取得最大值，所以： 日：( o ) = 0 ( 3 ) 于是就有： 磁( ) = 磁( o ) + 磁( o ) t o + d ( 坛) 磁( o ) 岛 即： 磁( o ) 气= 一叫( t o ) 从而： ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) 础，= 鬻h w t 2 = 器 亿2 2 ， 这里的e ( f ) 表不的是t 的期望。 因为气越小定位越准确，所以c a n n y 第二准则的数学表达式定义为： icg ( 一t ) f ( t ) d t | l o c ( f ) = 监与一 ( 2 2 3 ) e 厂比o ) a t 则我们的目标是求一个函数厂( f ) ，使得下面这个式子达到最大值。 w ，：唑竺些垫竺型 亿2 4 ， 2 c 厂2 ( f ) 出e 厂吐( f ) 出 3 检测点与边缘点一一对应 在理想情况下，我们用滤波器对噪声响应的两个峰值间的距离来近似滤波 器对一个边缘点响应的长度。因为输出信号中相邻两个极大值点的距离是相邻 两个零交叉点距离的2 倍，而r i c e 在 2 7 中给出了高斯噪声在函数g 滤波后输 出信号中相邻两个零交叉点的距离： 其中： x t 2 兀 ， r ( o ) = i 9 2 ( t ) d t j m ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) 山东大学硕士学位论文 r ”( o ) = g 2 ( t ) d t ( 2 2 7 ) r ”( o ) = l 坨 ( ) ，日 所以噪声在厂( f ) 滤波后两个相邻极大值点的距离为： 。= 2 r e = 七矿( 2 2 8 ) 这里的形是滤波器f ( t ) 的半宽度。 所以在2 w 长的区域里出现最大值的个数的期望为： ，n ：堡：堡：寻 ( 2 2 9 ) = 一= 一= 一 tz z 9j 4 k w 七 显然，只要我们固定了七，就固定了2 w 长的区域中出现最大值的个数。这 就是第三个准则。 我们注意到如果