（基础数学专业论文）cp3中的常曲率等变极小3球面.pdf

abs t rac t abs tract i n t h e p re s e n t p a p e r t h e e q u i v a r i a n t m i n i m a l im me r s i o n fr o m t h e e u c l i d e a n s p h e re s = s u ( 2 ) w i t h c o n s t a n t c u r v a t u r e c i n t o t h e c o m p l e x p r o j e c t i v e s p a c e c p 3 is s tu d ie d . it is p r o v e d t h a t th e im m e r s io n h a s to b e l a g r a n g ia n a n d h e n c e is t o t a l l y g e o d e s i c . t h e t h e s i s i s d i v i d e d i n t o t w o s e c t i o n s . i n s e c t i o n 1 , a s a n i n t r o d u c t i o n , t h e h i s t o r i c a l b a c k gr o u n d o f t h e p r o b l e m a n d t h e p r i n c i p a l m e t h o d u s e d i n t h i s t h e s i s a re s t a t e d , a n d t h e m a i n r e s u l t a s w e ll . f i r s tl y , i n s e c t i o n 2 t h e c o n c e p t i o n o f e q u i v a r i a n t im m e r sio n fr o m t h e e u c l id e a n s p h e re 驴 a s l i e gr o u p s u ( 2 ) in t o c p is i n t r o d u c e d s e c o n d l y , a s t h e p r e l i m i n a r i e s f o r f u r t h e r s tu d y , t h e s t r u c t u r e e q u a t i o n s a n d 。 。 b a s ic f o r m u la s o f th e e q u iv a r ia n t m in im a l su b m a n if o ld驴w it h c o n s ta n t c u r v a t u re c i n c p a re p re s e n t e d . l a s t l y , t h e p r o o f o f t h e m a i n t h e o r e m i s g i v e n . ke y w o r d s : c o m p l e x p r o j e c ti v e s p a c e ; e q u i v a r ia n t ; l a g r a n g i a n s u b m a n i f o l d ; mi n i mg t i mme r s i o n 学位论文独创性声明 学位论文独创性声明 本人声明 所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。 据我所知，除了文中特别加以 标注和致谢的 地方外，论文中不包含 其他 人已 经 发 表 或 撰 写 过的 研究 成 果， 也 不 包 含为 获 得 击昌大李 或 其 他 教 育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学 位 论 文 作 者 签 名 ( 手 写 ) : 廿水 蝙签 字 日 期 : ?,0 1 年 月比日 入 . ， 兮r 学位论文版权使用授权书 本 学 位 论 文 作 者 完 全了 解 南昌大李 有 关 保留 、 使 用 学 位 论文 的 规 定 ， 有权保留 并向国家有关部门 或机构送交论文的复印 件和磁盘，允许论文被查阅 和 借阅 . 本 人 授 权南昌大李可以 将学 位 论 文的 全部 或 部 分内 容 编 入 有 关 数 据 库 进行检索，可以 采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存、 汇编学位论文. ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学 位 论 文 作 者 签 名 ( 手 、 : o c 小 q 签 字 日 熟- 1 年 月 u 日 导师签名 ( 手写): 签字日期:年月日 学位论文作者毕业后去向: 工作单位: 通讯地址: 电话: 互 i引言 1引言 早 在十九 世纪六十年代就开始研究k a h l e r 流形的l a g a n g i a n 子流形 ( 或称 全实子流形) ，并取得了丰富的成果. 陈邦彦在他的综述文章u 中对k a h l e r 流形 的l a g a n g i a n子流形的研究成果作了 系 统的论述，该文的参考文 献中 列举了 大 量有 关i a g a n g i a n 子流形的 论文 . 在 这篇 综 述文章中， 陈邦彦 指出 ， 复 射影 空间 c p ” 中 常曲 率的l a g a n g i a n 极小 球 面s 一定 是 全 测地的 . 2 0 0 2 年， 黎镇 琦研究了常曲 率的3 维球面驴到c p . 中的极小 浸入2 ) . 文中， 作 者 将s 3 看成s u ( 2 ) . 利用s u ( 2 ) 的 李 群 结 构引 入 等 变 的 定 义， 给出 了 c p ” 中 两 类常曲 率等 变 极 小 护的 例子 一 类 是 弱l a g a n g i a n ， 另 一 类 是c r 的 . 文中 的 例 子说明 当 子流形 的 维数m 2 3 时， c p ” 中 的 弱l a g r a n g i a n 极小 球面s . 未 必是 绝 对 实的 文中 证明了， 在c r的 情况下， 刚性定理仍 然成立; 但在弱lag-颐 a n 的 情况下，刚性定理不再成立. 2 0 0 4 年， 黎 镇 琦 和陶 永 竿 研究了 c p 3 中 的 等 变lag-gin极 小驴13 1 ， 得 到 了 c p 3 中 等 变l a p -g i-极小s 3 的 完 全 分 类和 解 析 表 达 式 . 应用 等 变 映 射的 性 质 ， 文 中 证明 了 除 全 测地 的3 外 ， 只 有 唯 一的 一 个等 变l a g a n g l a n 极 小s i r 陈邦彦称之为“ 怪球面” ( e x o ti c s p h e re ) . 2 0 0 5 年， 黎 镇 琦 和 周 燕飞 研究了 等 变 弱l a g r a n g i a n 极 小 浸 入0 ? : 驴-+ c p 4 1 . 该文 指出 ， 若浸入 是 完 满的， 且诱 导 度 量的 截 面曲 率不是 常数， 则帆 驴 ) 是c p 4 的某个全测地的实 射影空间r p c c p 中的极小等参超曲 面， 具有3 个互异的主 曲 率 . 从 而帆 驴 ) 在h o p f 纤维 化下 的 原 象 是夕c 扩中 具 有3 个互 异 主曲 率 的 极 小 等参超曲 面， 浸入切 是刚性的， 井且给出了 浸入的 解析表达式. 在周燕飞的 硕 士学位论文中， 还证明了若浸入是完满的， 且诱导度量的截面曲率是常数c ，则 浸入p 是刚性的，并给出了该浸入的解析表达式. 等 距 浸 入v : 护一c p i 将cr 的k a h l e r 形 式。 拉回 到护上， 诱 导了 丛同 态 f 一 艺3j y m ,j _ , 。 戈: t ( s ) - s t ( s ) ， 其 中 几 是 甲 .。 在 t ( s ) 的 局 部 么 正 标 架 恤， 叱司下 的 分 量 : 节s 2 = 艺 j y m , . r , xx 2 , x , 为 r u z12 , w ; 的 对 偶 标 架 由 于 反 对 称 矩 阵 ( 几 ) 的 秩 为。 或 2 , 容 易 明 白 o a f 尸 5 2 . 当 f = 0 时 ， ol 是 ( 弱 ) l a g r a n g ia n 浸入 : 当i fh _ 2 时， 是c r 的 . 因 此 有一 个类似于c p . 中2 维 浸 1引言 入曲 面m的k a h l e r 角的函 数a ， 使 得i f 广 = 2 i c o s ( 2 a ) i. 如 果v 是 等 变 的 ， 则 i f 尸 为 常 数 上面 提到的 结果 都是i f i = 。 或 f 尸 = 2 的 情 况， 对于c p . 中 满 足 0 i f i 0 . 然后， 我们给出了浸入的结构 方程. 在定 理的条件下， 由 浸入的 极小 性得 到 一系 列的 方 程 . 若v 不是lag-8i-浸 入， 我们导出了 一个矛盾， 从而 证 明 了 定 理. 2 s 到c 尸 ， 中的 等变极 小 浸入 互 l s 3 到c p ， 中的等变 极小浸入 2 . 1等变浸入的基本公式 设4p : 驴- + c p ， 是等变的浸入，其诱导度量具有常曲率 . 根据 c a r =- h a d a m a r d定 理可知。 0 . 采用12 1 中的记 号 和定 义， 将s 3 与s u ( 2 ) 等同 . 用 s u ( 2 ) 表 示 s 3 ( = s u ( 2 ) ) 上 的 左 不 变向 量 场 全 体 的 集 合 ， s u ( 2 ) 表 示 s 3 上 的 左 不变 1 - 形式全体的集合. 约定指标的取值范围为 a , b , c , - - - = 0 , 1 , 2 , 3 ，i , j , k , - - . = 1 , 2 , 3 . 根据12 1 中命题4 .2 ， 有s 3 上平凡丛c = s 3 x c , 的整体定义的 酉 标架 e a , ee , e 3 ， 使 得9 = 二 。 e o := l e o i ， 其 中 二 : c 0 ) - c p ， 是自 然 投 影 . 且 有 复 值1 一 形 式气 s u ( 2 ) . c ， 使 得 d e a = 艺 b a b e b + o a b + 无= 0 . ( 1 .1 ) 显 然 气是 纯 虚 的 ， 故 可 记 气= p a ， 其 中 1 = 不了 ， p a 是 实 值1 一 形 式 . 外 微分 ( 1 . 1 ) 可 得 d b a b = 艺e a c n b c b . ( 1 .2 ) 因为p 的诱导 度量a r e 具有常曲 率c ， 在相差驴的一个等距的 情况下， 可取 s u ( 2 ) 的 一 组 基 m 1 + 6 2 + a 3 使 得 a r e = 艺 a , 。 ， ， 并 且 d rv , = 2 f a h n a )3 , d to 2 = 2 f a ; n6, d a d = 2 耘 n to e . ( 1 .3 ) 见 2 ， 中 ( 3 .7 ) 式 . 设(xx 2 , x 3 为 q a il , a e 的 对 偶 标 架 那 么 c+h i d h l % 和 执， 凡， 凡 分 别 是 t ( 8 3 ) 和 t ( s ; ) 的 整 体 定 义 的 么 正 标 架 ， 在( 1 . 1 ) 中 取a = 0 可得 d e o = ip o e o + 艺b ; e j ，( 1 .4 ) 其 中 ip o = b ao , 弓 = b o y . i = 石 ， p o e s u ( 2 ) . 因 为 弓 e s u ( 2 ) . c ， 可 设 b , = 艺a . m . ，( 1 .5 ) 其 中a n 是 复 常 数 . 令s 几j 分 别 为c p 3 的 度量， k m h l e r 形 式和 复 结 构 根 据 12 1 的 结果，有 艺a . a 4 = a n 一 i j y ， ( 1 .6 ) 互 2 s 到 :p 中 的 等 变 极 小 浸 入 f ( 中 几， 8 ( j p . x q, 戈) = - ( 9 f2) ( x , , 戈) ，( 1 .7 ) 由 于 j o 是 实 常 数 ， 反 对 称 矩 阵 ( j ) 的 秩 为 。 或 2 , 张 量 场 ， f 2 = 艺 j n rv , . m , 定 义 的 从 同 态 f = 艺j y m ,戈: t ( s ) -+t ( s ) 具 有 常 数 秩 假设p 不 是l a gr a n g ia n 浸 入 ， 则f的 秩 为2 ， 从 而t ( s ) 可 分 解 成f - 不 变 子 丛的d : 交直和:t ( s ) = ( k e r f ) . ( k e r f 犷= k o k，其中k = k e r f ,k= ( k - f ) - 都是f 一 不变子从. 由于f是左不变的，故v 和y z 都是 左不变的，可重新选取s u ( 2 ) 的基 x , 一 g . u x , 使 得 么 是 v , 的 整 体 单 位 标 架 ， 且 d e t ( u y = ， ， 从 而 x , 的 对 偶 标 架 冲= 艺 u n m , 仍 满 足 ( 1 .3 ). 不 妨 设 在 原 来 的 标 架 xxx , 中 ， x , 是 y , 的 标 架 则 j ig = j 13 = 。 ， j 2 3 ， 。 记 人 ， 二 a . 由 ( 1 .7 ) 00 , a 件 1 ， 根 据2 1 中 定 理6 .1 ， 不 存 在 常 曲 率 的驴到c p ， 中 的 等变 c r极 小浸入， 故。 闷 a 林 1 . 可设a 二 c o s 2 a ， 其中2 a 创。 ， 川是 相当 于 c p ， 中 极小 曲 面的k a h l e r 角的几 何量: c o s 2 a = 几= d s 2 ( fx2 , 凡) = 8 夕 件 凡, 9 戈) . 它 与 代 的 定 向 么 正 标 架 x z , x 3 的 选 取 无 关 ; 2 a 2 a = 。 或r 时，q7 是c r浸入. p 是l a g r a n g i a n 浸入， 在 ( 1 .2 ) 中 取a = b = o ， 再 将 ( 1 . 5 ) , ( 1 .6 ) 代入其中， 得 。 _，一_a d a o = il = 艺a ,e , 则 由 ( 1 .6 ) , 有 ( e , 动= 6 a _ i r a ， 即 有 ( 1 . 9 ) i 式 目 雌 1- l e e , h e 2 3 ， ( e ; 2 卜( e , f 3 卜0 l- i a = 一 ( e ; , 7 2 ) . ( 1 . 1 0 ) 令 r 2 二 1 ( 一 i 3) g， ， = 告 “ + “ ， ， ( 1 . 1 1 ) 则由( 1 . 1 0 ) 式知 夸 2s 3 到c p ， 中的 等变 极小浸入 (: ，: = 。 ， 。、 12= 合 (1+ a )= cos2a 0 , .， i2= 告 (，一 )= sin 2a 0 .(， ， 、卫，.月少 五 1一b - 记 一 ， ， 一 、 。 则 由 (，。)，(1.12)可 知 ，属 = “= 1 .f2 +e 3 仍 为 少的 酉 标 架 . 将 ( 1 .5 ) 代 入 ( 1 .4 ) ， 利 用 ( 1 .9 ) , ( 1 . 1 1 ) 可 得 d e o = ip o e o + 艺w ; e , = ip o e o + m ,i , + a w i 2 + b 不 是1,a g ra n g ia n 浸 入 ， 则 在 相 差 ( 5,3, d s 2 ) 的 一 个 等 距 的 意 义 下 ， 存 在 二 (2 ) 的 一 组 满 足 ( 1 .3 ) 的 基 u ), 和 少的 整 体 酉 标 架 e p , e , , e 2 , e 3 ) ， 使 得 q, = ( e a 1 , 诱 导 度 量 d s 2 = 艺 ， 。 ， ， 且有 i p o e o +rv , e , + a m e 2 + b w e 3 , = 一 m , e . + i 八e , 十召 : e 2 十叹 3 e 3 , = - a a m e . 一 瓦el 十 俩e 2 +内e 3 , = - b m e o 一o b e , 一内e 2 + p 3 e 3 . 其中 。 = w z 十 im 3 , p o , ap 2 , p 3 e s u ( 2 ) * , 凡e s u ( 2 ) . c ( 1 0 将( 1 .2 ) 式写成 二 - i0 ; n 8 , , 艺艺 = z p a 二一 0 , n 0 , + n 0 , + b t 人 a q , 0 ) ，( 2 . 1 刀 其中a : 是实常数 . 于是 3 p a + p , 不一 a ,) 。 一 “ 。 “ “ ( 2 . 1 8 ) /卫、 一一 将 ( 2 . 1 4 ) 和 ( 2 . 1 8 ) 代入( 2 . 1 1 ) 的 第2 式， 可得 f一 a , ( 2 . 1 9 ) 了1石几、 ab 一一 八 以及 ( 风一 v , m , + a b a w ) n g j = 0 . 通过取上式的复共扼，可设 0 2 3 = f a+ 两 。 一 a 2 b 2 不 厉 . 由 ( 2 . 1 8 ) 可知 ( 2 . 2 0 ) 。 一 a - a )f。 一 ( w 一 司 ( 2 . 2 1 ) 利用 ( 2 .7 ) ， 上式和( 2 . 1 3 ) 结合可得 。 = b2t, + f (a2c 一 2b2 一 小+ iab (.1, 口一 a 0- 5 ) -( 2 .2 2 ) 2梦到c p 3 中 的 等 变 极 小 浸 入 。 = 一 ; _ 金 (a 2 + 2a2c “ 一 月 。 ” “ 。 一 i) ( 2 . 2 3 ) 2 . 3极小条件 由 ( 2 .3 ) 可 知v w , = - w , . w , tr a c e ( v b ) : , . 1 =1, 2 , 3 . 从 而tr a c e ( v w , ) = 0 ， 因 此 (3.l)(3.2) = 0 , v o e s u ( 2 ) . 根 据文c2 1 , 7 是 极小 的 ， 当 且 仅当 ” 叭一 ip o . b , 十 艺 0 4 ， 叼一 “ ， 1 二 1,2 , 3 因为 t r a ce w , 口 = 七 a c e w , .口二 加ce口q口= t r a c e面 .m= 0 ， t r a c e 码。叭=1 ，t r a c e w函厉= t r a c e 币0w=2 ， 所以tr a c e p n . 8 2 = t r a ce p o (& 8 3 二 0 ， 由 极 小 条 件 ( 3 .2 ) 和 ( 3 .1 ) 可 得 下 列3 个式子 ， t r a c e f i ( a一 p o ) .d 一 a o , . w 一 b a , 司= 0 , t r a c e ( b ,2 . w , + t a p 2 . w 一 b 0 , (9 u m ) 二 0 , tr a c e ( b . w , + a 凡.w + i b p , 0n ) = 0 . ( 3 . 3 ) 于是由 ( 2 .1 5 ) , ( 2 .2 0 ) ( 2 .2 3 ) ， 有 杯一 2 i 兄 泥十 4 a b a 二 0 , 7 ( 4 ,1 2 b 2 一 1 ) = 0 . 由 ( 1 . 1 6 ) , ( 2 . 1 9 ) 得 a , 代入前面的式中 2 ( c 一 2 + 2 a 2 ) = 一 新 ，有 a= 0 ,八 2 i a b ( 2 一 c ) = a ir 一 ( 3 . 4 ) 一 1 v 0 . c c 力8) (4(4 v , = 0 , a 2 c + 4 a + 3 ( c 一 2 ) ( 2 .1 2 + c 一 2 ) = 0 . 现在从 ( 2 . 1 4 ) , ( 3 .4 ) , ( 3 .5 ) , ( 4 . 7 ) 可知 二2 i a b ( 2 一c ). ， _ 二4 i a b - b伏 2 +a姚 3 =八q i = 一 , : - r - 一 一6 ) , a 0 1 2 +a a = ,- m. 滩甘cvc 外微分( 4 . 8 ) 第1 式，得 2 i a 泥 a 八 。 二 八 如= - b d 0 ,2 十 a d 瓦 = - b ( - a a ， 口 + i ( p , 一 八) 入 日 : 一 尽 3 ， 凡 + a - b c q 八 山十 i ( p , 一 八) a 6 ,3 + 0 ,: 八 内 = i ( p i 一 几) 八 ( 一 姆2 ) + ? ( p 3 一 八 ) n ( a 反 3 ) + ( a 瓦+ 姆3 ) a 风. 注 意 。 b ,2 + b 瓦 ， 二 ， 石。 ， b二 乃 。 ， 从 而 ( a 8 ,2 十 b0 13 ) n 瓦= p . 利 用 (4 .1 ) , ( 4 .2 ) 和( 4 .8 ) ，上式可化为 1 0 2驴到c p 3 中 的 等 变极小 浸入 4 a b ( 2 一c 、二r - 一 码 a口=奋两n / c 码 八口 孟 = 丢 叭一 p 2 ) 十 (3 p , 十 p o ) l (- b o ,2 卜 丢 r a 一 p 2 ) 一 ( 3 a 十 p o ) j a ( 4 3 ) l 二 丢 (。 一 。 ) h (- b 9 ,2 十 a 8 ,3) 一 委 (3 a + p o ) n (b e i2 + a 3) l l 2 i ( c - 1 ) f 2 2a b ( 2 - c ) i ， = - r - 一 一 码八 i -r - 口1 + -r