（通信与信息系统专业论文）awgn信道中的信噪比估计算法.pdf

摘要 首先介绍了四种典型的信嗓比估计算法，接着研究了加性高斯信道( a w c 烈) 中 的信噪比估计的三种算法高阶累积量估计法、自相关矩阵奇异值分解法和数据拟 合估计法，最后在统一的仿真模型和数学度量下，对上述三种估计算法的估计性能进 行了测试与比较，并给出了估计算法的克拉美罗界。 m o n t ec a r l o 测试法表示当数据观察长度在2 0 0 0 以上时，在实际信噪比为f 1 0 ， 2 0 l d b 内，高阶累计量估计法和自相关矩阵奇异值分解法可以控制估计标准差在 0 6 d b 内；数据拟合估计法在实际信噪比为【5 ，1 2 】d b 范围内，估计标准差在o 3 d b 内。自相关矩阵奇异值分解法的标准均方误差不超过o 0 3 ，而其它两种算法的标准均 方误差接近于克拉美罗界。 关键词：数字通信信噪比估计高阶累积量自相关矩阵数据拟合 a b s t r a c t t h i sp a p e ri n t r o d u c e st y p i c a lf o u rs n re s t i m a t i o na l g o r i t h m s t h e nt h r e es n r e s t i m a t i o na l g o r i t h m s ，w h i c hr r eh i g h - o r d e rc u m u l a n t s e s t i m a t o r , s i n g u l a r v a l u e d e c o m p o s i t i o no fs i g n a ls e l f - c o r r e l a t i o nm a t r i xe s t i m a t o ra n dd a t af i t t i n ge s t i m a t o r , a r e s t u d i e do v e ra w g nc h a n n e l a tl a s t , w ea s s e s sa n dc o m p a r et h ee s t i m a t o r s p e r f o r m a n c e u n d e ra l li d e n t i c a ls i m u l a t e dm o d e lu s i n gi d e n t i c a lp e r f o r m a n c em e t r i c - - t h em e a ns q u a r e e r r o r ( m s e ) ，a n dd e r i v et h ec r a m e r - r a ob o u n d ( c r b ) m o n t ec a r l os i m u l a t i o nr e s u l t ss h o wt h a tt h e e s t i m a t i o ne r r o r so f h i g h - o r d e r c u m u l a n t se s t i m a t o ra n ds i n g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o no fs i g n a ls e l f - c o r r e l a t i o nm a t r i x e s t i m a t o rc a l lb ec o n t r o l l e dw i t h i no 6 d bw h e nt h ea c t u a ls n rr a n g e sf r o m - 1 0t o2 0 d b ； a n dt h ee s t i m a t i o ne 盯o ro fd a t af i t t i n ge s t i m a t o ri sl e s st h a no 3 d bw h e na c t u a ls m rr a n g e s f r o m 一5t o1 2 d b n l en o r m a l i z e dm s eo fs i n g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o no fs i g h t s e l f - c o r r e l a t i o nm a t r i xe s t i m a t o ri sl e s st h a no 0 3 a n dt h en o r m a l i z e dm s eo fo t h e rt w o e s t i m a t o r si sc l o s et ot h ec r b k e yw o r d s ：d i g i t a lc o m m u n i c a t i o n ，s n re s t i m a t i o n ，h i s h - o r d e r c m n u l a n t s s e l f - c o r r e l a t i o nm a t r i x ，d a t af i t t i n g 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在 本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发 表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 已在论文中作了明确的说明。 研究生签名：勤场! l沙。歹年c 月甥日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅 或上网公布本学位论文的全部或部分内容，可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的全部或部分内容。对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名：堑! f 旦劲。兰年b 月踢目 南京理t 人学硕f 学位论文 1 1 引言 第1 章绪论 通信按照传统的理解就是信息的传输与交换。在当今信息社会，通信则与传感、 计算技术紧密结合，成为整个社会的高级“神经中枢”。没有通信，人类社会是不 可想象的。一般说来，社会生产力水平要求社会通信水平与之相适应。若通信的水 平跟不上，社会成员之间的合作程度就受到限制，社会生产力的发展也必然最终受 到限制。可见，通信是十分重要的。 信道的信噪比估计对于蜂窝和卫星通信系统来说是非常重要的，也直是无线 通信领域一个重要的研究课题。方面通过信噪比估计可以自适应的采用更有效的 解调算法来提高解调性能；另一方面在移动通信中，系统使用信噪比作为通信质量 的衡量标准，提供越区切换、功率控制和信道分配等所需的信道质量信息。 在自适应无线通信中，信噪比作为信道质量的主要参数，可以控制通信频率或 调制方式切换。信噪比估计在软件无线电的调制识别中更是十分关键的，因为接受 信号信噪比与分类闽值关系密切，信噪比估计的f 确与否直接影响系统的正确识别 率。 i 2 信嗓比估计的研究背景 现今很多算法都需要信噪比的先验知识来进行性能的优化，这在客观上推动了 信噪比估计技术的发展。如果信噪比可以获得，则变化系统的性能将被提高。工程 实践中经常估计信号和噪声的总能量来代替信噪比的估计，而这样更为简单。然而 不断提升的硬件成本和系统性能要求的不断提高，致使信嗓比估计技术的研究迫在 眉睫。 一般地，估计信噪比是从基带、采样及接受信号数据得出的。该数据对接收机 来说可能为己知( 比如，利用训练序列提供同步和均衡) ，或者未知。那些通过未 知数据和对接受信号进行分析得出的信噪比估计，称之为自适应( i n s e r v i c e ) 估计。 一般不涉及信道的吞吐量。另方面，尽管使用己知数据盼估计器在数据可以获取 时可以进行估计，但是一些特殊应用中将确定获得已知数据是否可行。在传输系统 中使用训i 练序列来获得均衡和同步，在这种情况中的依赖己知数据的信噪比估计并 没有对信道吞吐量有额外的影响，并且这些估计性能表现更好。当估计算法依赖于 传输数据的先验知识时，我们称之为数掘辅助法( d a ) 。当数据辅助法利用了传输 南京理t 大学颂。l ：学位论文 a w g n 信道中的愤噪比估计算法 序列的全部先验知识时，称之为传输判决数据辅助法( t x d a ) ；当其利用的是接受 端对传输序列的判决估计时，称之为接受判决数据辅助法( r x d a ) 。 1 3 发展概况 1 9 8 6 年，s i m o n 和m i l e a n t t 7 1 针对b p s k 信号在宽带a w g n 信道中提出了分离 符号矩( s s m e ) 估计法，1 9 9 0 年，s h a h 和h i n e d i 8 1 又把s s m e 估计法应用于带 限信道，接着，s h a h 和h o l m e s 9 】做了进一步的工作，着力于改进s s m e 估计法应 用于窄带信道中的性能，这里系统的脉冲响应可以测量出来。在2 0 0 0 年，p a u l u z z i 与b e a u l i e u t 叫针对s s m e 法进一步利用等效基带模型进行推导，并说明由于算法本 身的缺陷，只限于估计a w g n 信道中的b p s k 信号的信噪比，而由于复杂性，对 高阶的m p s k 信号弗没有进一步分析。 最大似然估计理论( m l ) 被提出后i ”，1 9 6 6 年k e r r i l l l 和1 9 6 8 年g a g l i a r d i 和 t h o m a s i ”1 应用最大似然估计于信噪比估计，后者的方法更为细致，他们研究得出 在实a w g n 信道中b p s k 信号的信噪比最大似然估计法利用训练序列或判决 反馈序列来构造似然函数属于自适应( i n s e r v i c e ) 算法。他们先分析出信噪比 的两个参数s 和n ，其中s 为信号能量比例参数，n 为噪声比例参数，经过适 合的归一化处理，可得信噪比s n r = s n ，然后通过得出参数的最大似然估计值，计 算两者之比得到信噪比估计。针对实信道的情况下，1 9 6 7 年t h o m a s i ”】通过分析 m l s n r 估计的概率密度函数，发现浚估计存在偏差，提出通过修正因子可以减小 偏差，并给出了修f 因子。p a u l u z z i 与b e a u l i e u t ”i 又进一步把m l 估计法推广到复 a w g n 信道中的高阶信号调制模式一m p s k 信号，并给出了修f 后的方法。 1 9 6 6 年，平方信噪方差比估计( s n v ) 估计首次由g i l c h r i e s t 提出【1 ，同样的 也是针对实p 州g n 信道中的b p s k 信号来分析，这种方法属于r x d a 法。实际上， s n v 信噪比估计法属于m l 信噪比估计的特殊情况，然而m l 估计法在匹配滤波器 输出端对信号每符号进行n 次采样，而s n v 估计仅在匹配滤波器输出端进行最优 取样。同样地，原始算法中存在偏差，可以通过修f 因子来减少偏差。p a u l u z z i 与 b e a u l i e u 1 先提出原始的针对b p s k 信号的s n vt l x d a 估计式，然后给出如何减少 估计式中的偏差，并把该算法推广到复信道中的高阶调制信号。 1 9 6 7 年，b e n e d i c t 和s o o n g ”1 较早地应用了二阶、四阶矩来在实a w g n 信道 中对分离载波强度和噪声强度进行估计。1 9 9 3 年，m a t z n e r l l6 | 利用i j 者的结果，较 为详细地给出一种复信道中的信噪比估计法。接着，m a t z n e r 和e n g l e b e r g e r 1 3 1 用另 外一种途径重新得出对实信号的信噪比估计。p a u l u z z i 与b e a u l i e u 【l0 l 以1 9 9 3 年 南京挫t 人学颂学位论文a w g n 倩道中的信峨比估计算= 法 m a t z n e r 的结果t ”为基础，提出了基于实信道的相同估计法。利用信号的二阶和四 阶矩的相互关系来进行信噪比估计是一种自适应算法称之为二阶和四阶矩估 计法，它的优势是不用载波相位的恢复，而且不需要接收机进行判决。 1 9 9 4 年，b r a n d a o 等i ”l 提出了信号一方差比( s v r ) 估计算法，该算法也是基 于多阶矩方法，用于多径衰落信道的信道质量监控。b r a n d a o 等”给出了复信道中 的自适应s v r 估计。进一步地，p a u l u z z i 与b e a u l i e u t ”把它应用到实信道。但是， 缺点是该方法只是针对m p s k 信号，对于其他调制方式，则一般来说很难应用。 2 0 0 0 年，d a v i dr p a u l u z z i 和n o r m a nc b e a u l i e u ! ”i 对于a w g n 信道中的信噪 比估计算法作了详细的比较。前面所说方法，他们都在同一模型下给予例证，分实 信道和复信道加以讨论。最后，利用均方误差( m s e ) 对各种算法的性能做了详细 的比较。通过得出复信道的克拉美罗界( c r b ) 与实信道的克拉洛美界左比较，仿 真估计算法的性能都与在实和复a w g n 信道中的克拉美罗界( c r b ) 作比较。其 中，m 2 m 4 估计、s n v 估计和m l 估计取得了较好的效果。d a v i d r p a u l u z z i m 】还 于2 0 0 2 年针对q p s k 信号提出了四种信噪比估计算法，并进行性能比较。 1 9 9 6 年a n d e r s i n ! 捌针对窄带t d m a 蜂窝通信系统的信干比估计，利用训练序 列来构造接受信号的相关矩阵，基于信号子空间( s b ) 分解来得出信号与噪声功率 的估计，从而计算出较为精确的实时信噪比。通过仿真例证，s b 算法的性能在0 2 s 后与真实值的误差仅在o 3 d b 内，而在0 6 s 之后误差控制在0 1 d b 。进一步地，该 算法与i p 算法( 1 9 9 5 年，a u s t i n 等1 2 i l 提出) 干扰投影法作对比，仿真试验证 明s b 算法有更好的性能表现。 1 9 9 8 年，t u r k b c l y l a r i 等【2 2 1 同样针对t d m a 系统模型，通过信号投影( s p ) 算 法分别得出干扰功率的投影表达式和信号功率的投影表达式，从而得到信干比估计 算法。作者把s p 算法分别与i p 算法和s b 算法在i s 一5 4 1 3 6 系统中作了比较，发现 s p 算法性能最佳，s b 其次，i p 最差，只是s b 算法的起始误差较大。在g s m 1 i k e 系统中，s b 和s p 算法性能接近，但是s b 算法的起始误差还是较大。相比而吉， 1 在运算量上，s p 算法只需要m 2 工次乘法和- 兰m ( m 十1 ) 工次加法。而s b 算法利用奇 上 一 异值分解，运算复杂度为0 ( r ) 。但是，由于s p 算法需要t o e p l i t z 矩阵，故需要对 多径数有较为准确的估计，若对此估计偏差过大，则算法性能下降，甚至不能实现， 这是s p 算法的一大缺点。 由上述介绍，我们知道信噪比估计已有较多的研究，但是大多数的性能度量和 测试条件不统一，所以无法准确地了解到每种算法的优劣。d a v i dr p a u l u z z i 和 南京理工夫学碗k 学位论文 a w g n 信道中的信噪比估计算：法 n o r m a nc b e a u l i e u 在这一方面做了比较好的工作h 0 l 设定同一度量和同一试验 模型，对不同算法的性能做出了比较。 对于信噪比估计算法的研究。其性能优劣，不可一概而论，“最佳”估计器依 赖于观测数据长度、每符号采样率、调制类型以及感兴趣的信噪比范围，当然复杂 度、实时性和稳健性也是重要的指标。 1 4 本文的主要内容 本文总共分五章： 第一章为绪论，主要介绍了信噪比估计算法的研究背景及发展概况。 第二章介绍了信噪比估计的理论基础，包括通信系统的基本模型，信号与噪声 的概念，以及信号与噪声的表征方式，及其特性：信号子空间与噪声子空间的概念 与子空间的划分，信号子空间维数的估计方法最短描述长度( m d l ) 法。 第三章详细地介绍了四种理论分析比较成熟的经典信噪比估计算法。它们是： 最大似然函数( m l ) 估计法、二阶四阶矩估计法、信号投影( s p ) 估计法和信号 子空间分解( s b ) 估计法。 第四章主要基于上述估计法做了一些改进，并提出了一种基于数据拟合的信噪 比估计算法。基于二阶四阶矩估计法，从累积量的角度推导了新的算法并验证了 与从高阶矩角度出发的二阶四阶矩估计算法的一致性。基于s b 估计法，文中分析 了现存方法的不足之处，给出了改进，并且进一步地在a w g n 信道中推导了该算 法。最后通过数据拟合法提出了一种较为精确的信噪比估计算法。 第五章对前一章中的三种估计方法在同一的a w g n 信道试验模型和同一度量 标准均方误差( n m s e ) 下做了性能比较，同时给出了克拉美罗界( c r b ) ，比 较它们的标准均方误差与克拉美罗界，并分析了影响性能的主要因数。最后总结了 本文的研究结果，并展望了信噪比估计的后续工作。 4 南京理丁人学颂l 。学位论文a w g n 信道中的信噪比估计算法 第2 章信噪比估计算法的理论基础 信号可用若干种不同的方法来分类，例如随机与确定、离散时间与连续时间、 离散幅度与连续幅度、低通与带通、有限能量与无限能量、有限功率与无限功率。 噪声为相对于信号而言的无用信息。在通信理论中，它们有个自的特性。本章将对 信号与噪声、信号空间与噪声空间等做简单介绍，并对后续章节所需的基本理论作 些表述，例如，最短描述长度( m d l ) 算法原理。 2 1 通信系统的一般模型 最基本的通信系统出发射器、接收器和通常作为无线连接的信道组成【1 】，如图 2 1 所示。由于一般信号不能直接使用如语音那样的低频。因此需要在发射器中将 传递的低频信息加到高频载波信号上，这个过程叫做调制。使用调制也可以使多个 信息信号共用一个无线信道，只要对每个信息信号使用不同的载波频率即可。调制 的逆过程叫做解调，它是在接收器中进行的，目的是恢复出原始信息。图中的噪声 源是信道中的噪声以及分散在通信系统其他各处的噪声的集中表示。 幽2 1 通信系统一般模刮 信息信号称作调制信号或基带信号。理想的通信系统能够在接收器中准确地恢 复出信息信号，只是无法避免从发射器到接收器之间的传输时延，再有可能就是信 号幅值的改变。除此之外的其他任何改变都将构成失真。当然，任何实际使用的系 统都会引起一些失真。而且，由于噪声的存在，我们不可能完全在接受端恢复出信 号，但是我们可以利用一些技术手段，使得接受信号接近原始信号，这样，通信的 目的也就可以在允许的误差范围内达到。 南京理t 人学硎7 1 ：学位论文a w g n 信道中的情峨抛估计算法 2 2信号与噪声 2 2 1 信噪比的定义 各个通信系统在许多方面都不相同，但是有两个方面它们是一样的。一个是它 们都有信号，用于承载有用信息；另一个就是它们都有噪声，产生于各个噪声源， 并且进入系统，使信号退化，降低通信质量。保持一个足够高的信号与噪声之比( 简 称信噪比) ，是进行大量通信系统设计工作的基础。信噪比一般单位为分贝，表示 为s n r ，它是所有通信系统的一个重要指标。定义为： s n r = 丽茹瓣 ：， 信号带宽内噪声的平均功率 。 对于任何通信系统来说，保持一个合理的信号功率与噪声功率之比是至关重要 的。同样地，在已经确定好系统模型各部分参数后，如何准确地估计出信噪比对于 很多算法的优化也至关重要。 2 2 2噪声 在通信中，我们说干扰，一般是指对传输信号的干扰，也就是对信道的干扰。 对于信道的含义，从广义而言，通信中传输信号可以有基带信号和非基带信号( 经 过适当调制) 。因此，信道不仅包含各种传输媒质( 导线、自由空间、电离层等) ， 还包括天线、高频放大器、变频器等设备。这样，对信道而言，它的输入信号和输 出信号之间的关系，常写成如下的形式2 1 瓯( f ) = k ( t ) s j ( t ) + n ( t ) ( 2 2 2 ) 式中 s o ( t ) ：信道的输入信号； s ；( t ) ：信道的输出信号； k ( t ) ：乘性干扰； n ( t ) ：加性干扰。 所谓乘性干扰是由于信道特性而引起的，加性干扰是由于各种噪声源引起的。 当我们假设信道为理想特性时，k ( t ) = 1 ，则 南京理下人学颂1 学位论文a w g n 俯道中的情噪比估计算法 ( f ) = s ( f ) + n ( r ) 加性噪声中最常见的是高斯白噪声，下面就此简单介绍下。 首先介绍白噪声，它是通信e e 噪声分析的一个理想化模型。噪声是一个随机过 程，称之为“白”，是因为噪声聆( f ) 的功率谱密度最( 厂) 在( 一，忡) 的整个频率范围 内都是均匀分布的。显然，白噪声的功率谱密度可以表示为 最( 厂) ：n o ( 2 2 3 ) 其中n 。为单边功率谱密度，单位为( w h z ) 。 根据维纳辛钦关系，可以求得自噪声的自相关函数为 r ( 咖五1e s ( f ) 矿7 - d c o = 等砸) ( 2 2 4 ) 即白噪声的自相关函数是位于f = o g k 、强度为o 2 的冲击函数。这表明白噪声在 任何不同的瞬间取值是不相关的。 确切地说，实际噪声的功率谱密度不可能具有无限宽的带宽，否则其平均功率 将是无限大，物理上是不可能实现的。然而，白噪声在数学上处理比较方便，所以 在通信系统的分析中有十分重要的作用。一般地说，只要噪声的功率谱密度的宽度 远大于它作用的系统的带宽，并且在系统带宽内，它的功率谱密度基本上是常数， 就可以作为白噪声处理。 其次我们来讨论高斯噪声。这是通信理论中研究最成熟的一种噪声形式。顾名 思义，这种噪声的振幅随机变量服从高斯分布，即 v ) _ 去_ 8 _ 等 池z 剐 式中 p 。( v ) ：随机变量v 的概率密度函数 v ：随机变量 o v ：v 的标准方差； 蠢：v 的方差，也n 4 _ 阶中心距； m 。：稍均值，即数学期望。 南京理t 大学硪b 学位论文a w g n 倩道中的倍噪比估计算：法 确定。因此，对于理论分析是方便的。所以对于其他随机变量，只要能近似成高斯 噪声的都按高斯噪声处理。实验表羁：这样做弓l 起的偏差是很小的。 从前分析可以看出，高斯噪声和白噪声是从两个不同角度来说明的。通常把服 从高斯分靠而功率谱密度又是均匀的噪声称为高斯型白噪声。 一个随机过程，如果它的概率特性不随时间而变化，我们称为平稳随机过程。 实际上我们所遇到的噪声大都是平稳的或近似平稳的随机过程。特别要强调的是： 平稳并不要求在箍个时域上，而只要在我们所要求的时段内是平稳的，就可以说它 是平稳的随机过程。这时，只要用一阶矩和二阶矩就能描述它的全部概率特性。7 根据式( 2 2 5 ) 可以计算出概率分布函数0 ( v ) 。它定义为 o ( v k ) 2 昂( 巧) 2 上：p r ( v ) 咖 ( 2 2 6 ) m 将( 2 2 5 ) 式代入( 2 2 6 ) 式，有 删。孺1 肛可咖 ( 2 z _ 7 ) ( v 一小。) 然而，0 ( k ) 不能用某个基本函数表示，所以不便于实际计算- 因此，常把它 变换成误差积分的形式，列出数值表以供查用。 变换过程： 用变量代换，“= 一掰，) q 。i ) ，可见：当v = k ( 常数) ，掰= z ( 掌数，完成 积分限的变换) ，d v = 盯，2 - d u ，代入式( 2 2 7 ) ，得到 粥) = 箍咖 z 又因为v = m v 时，“= 0 ，这是p vc v , ) 的中间值，即1 2 ，故式( 2 - 2 8 ) 可写成 州) = 击p 2 拼忑1p 幽 = 圭+ 去，如 南京理t 人学硕i 。学位论文 a w g n 情道中的佰噪比估计辫法 = 了1 呸1 + 忑2j ) 8 _ u 1 a u ) 2 i 与+ 忑j ) 8 = 争1 + e r f ( z ) 】 = l 1 + e 矿( 谐) 】 ( 2 2 9 ) 式中e 矿( z ) = 去r e l 2 _ 幽误差积分。对不同的z 值己列成表，供查用。 这里对p 矿( z ) 函数的一些性质就不再赘说了。 2 3 通信信号的表征 许多携带数字信号的信号是由某种类型的载波调制方式发送的。传输信号的信 道带宽在以载波为中心的一个频段上，如果满足带宽远小于载波频率的信号与信道 称为窄带带通信号与信道。通信系统发送端的调制产生带通信号，而接受端的解调 恢复数字信息，两者均包含频率转换。不失一般性及保证数学分析简便，最好将所 有的带通信号与信道简化为等效低通模型。 2 3 1 通信号的低通表示 由数字通信的知识，我们知道，定义低通复信号丑( f ) 为 毋= 瑚+ j 哟 ( 2 3 1 ) 式中x ( t ) ，y ( t ) 为实信号。则实际带通信号s ( f ) 可表示为 s ( f ) = r e s ，( t ) e j 2 唾】 = r e p 酊) + j 9 嘲矽2 哪 ( 2 3 2 ) 式中f 为载波频率。低通信号s 心) 通常成称为j ( f ) 的复包络，其本质上是等效低通 信号。 s ( f ) 的傅立叶变换为 9 j 蒸塞些三：燮兰兰丝丝苎 型型堕堕生塑笪堡! ! 笪盐兰茔 s = 广划瑚砖 = e o y 动】矽硎碡 ( 2 3 | 3 ) 在式( 2 3 3 ) 中利用恒等式 r e ( 孝) = 丢( 孝+ n 可得到如下结果 s ( f ) = e s t ( t ) 9 2 们+ i ( 哆一2 艰】2 删d t = 去【置( ，一工) + 研( 一，一工) 】 ( 2 3 4 ) 式中，s t ( f ) 是鼻( ，) 的傅立叶变换。此式是实带通信号谱s ( ，) 与等效低通信号谱 s t ( f ) 之间的基本关系式。 信号能量定义为 s = 广2 ( t ) d t = r 如( r ) 一2 哪】y d t = 告m ) 阳 + 告m ) | 2 c o s 4 z f 。t + 2 0 ( t ) a t 2 3 2 白噪声的表示法 白噪声是随机过程，其特点是在整个频率范围内具有平坦的功率密度谱。由于 它的宽频特性，这种类型的噪声不能用正交分量来表示。 由白噪声过程通过一个频谱理想的带通滤波器所产生的噪声趁成为带通白噪 声。带通白噪声可以用下式表示。 门( ，) = a ( t ) c o s 2 z f j + 矽( ，) ：r e p m 搿 ( 2 - 3 - 6 ) n ( t ) 为零均值的广义平稳随机过程的样本函数，其中f 为载波频率，远大于 n ( t ) 频谱带宽。z ( f ) 为等效低通噪声，其功率谱为 1 0 i f l 1 。b i f l 1 ，b ( 2 3 7 ) 冥目相关函数为 屯( r ) _ n o s i n z 。r b r ( 2 3 8 ) 所 当b 趋向无穷大时，珐( f ) 的极限形式为屯( f ) = n 0 8 ( 0 ，因为自噪声和带通自噪声 的功率谱关于f - - - o 对称，故对所有f ，庐。( f ) = 0 。因此 屯( ) = 丸( 力= 丸( 力 即，f 交分量x ( f ) 和_ y ( f ) 对所有时间偏移r 都是不相关的，而且z ( f ) 、x ( f ) 和y ( r ) 的 自相关函数都是相等的。 2 3 3 数字调制信号的表示 我们知道调制信号按调制方式的不同分为调幅、调相和调频信号。这里只针对 调相信号做简单介绍。 在数字相位调制中，m 个信号波形可表示为 s 。( f ) = r e g ( t ) e7 2 8 ”一1 7 ”e 2 ”。】( m = l ，2 ，3 ，一，m ，0 t t ) = g ( t ) c o s 2 ：r f j + 等( m - 1 ) 】 g ( f ) c 0 s 等( 1 ) c o s 2 哪_ g ( 邮i n 吾( 肛1 ) s i n 2 卿 ( 2 3 式中，g ( t ) 是信号脉冲形状，= 2 万( m 一1 ) m ( m = l ，2 ，m ) 是载波z 的m 个可能的相位，用于传送发送信息。 当m = 2 时，信号称为b p s k 信号，对应式( 2 3 9 ) 表示为 s m ( t ) = g ( t ) c o s 2 n f d + ( m - 1 ) x ，( r 萨l 力 当m = 4 时，信号称为q p s k 信号，对应式( 2 3 9 ) 表示为 s m ( t ) = g ( t ) c o s 2 n f d + ( m 1 ) 刀j ，( i i f l ，2 3 4 ) 显然，q p s k 信号调制可由两路b p s k 信号正交产生。由此，它们的一些性质 有很大的相似，在以后的分析中会利用到这点。 帆 o ，1【 一一 )厂， 譬 中 南京理丁人学颂【? 学位论文a w g n 倩道中的信噪比估计算法 2 4 信道中的无码问干扰( i s i ) 的信号设计 实际中信号经过的信道是带限的，当信道带宽给定为w 时，信道可以建模为 一个线性滤波器，其等效低通频率响应为c ( f ) ，且当l 舻w 时c ( f ) 为零。 不同类型的数字调制技术的低通发送信号具有共同的形式 1 1 v ( f ) = 1 g ( t - n t ) ( 2 4 1 ) n = o 式中， ) 表示离散信息符号序列。g ( f ) 是一个脉冲且假定具有带限的频率响应特 性g ( f ) ，即当l f l w 时g ( ，) = o 。因此，接受信号可以表示为 删= i h ( t 一力r ) + z ( f ) ( 2 4 2 ) 式中 联f ) 2 _ i 二g ( f ) c ( 卜r ) d r ( 2 4 3 ) 且z ( t ) 表示加性高斯白噪声。 假设接受信号首先经过匹配滤波器，再以速率l 厂r 符号s 抽样得到 荆= ix ( t - n t ) + v ( t ) ( 2 4 4 ) 式中，x ( t ) 表示匹配滤波器对输入脉冲h ( t ) 的响应，v ( t ) 是匹配滤波器对噪 声z ( t ) 的响应。那么，若在f = k t + r o 时刻，k = o ，l ，对y ( t ) 抽样，则有 y ( k t + r o ) m y k = l 毫一。+ v k ( _ j = o ，l ，1 ) ( 2 4 5 ) n f f i o 式中，t o 是信道的传输延时。抽样值可以表示为 x o 看成一个任意的标尺因子，为方便计令其等于1 ，则 ( 2 4 6 ) ( 2 4 7 ) 1 2 + 、j 叫k 。裟 一葡 + ，l = 非 v+ 一k x n ， 。嬲 + 女 ， | i y 南京理1 一人学l | j j li ：学位论文 a w g n 傣道中的信噪比估计舅罐 i k 项表示在第k 个抽样时刻的期望信息符号，l h 一。表示符号闯干扰( i s i ) ，k 是 n 1 0 h ，p 在第k 个抽样时刻的加性高斯噪声变量。 我们假定带限信道具有理想频率响应特性，即当q 蔓w 时，c ( f 产l 。其次，脉 冲x ( t ) 具有谱特性x ( f 产i o ( f ) j 2 ，这里 瑚= 己飙圳 ( 2 4 8 ) 我们希望得到无符号干扰的脉冲x ( t ) 以及发送脉冲g ( t ) 的谱特性。由式( 2 4 7 ) 可知，无符号干扰的条件是 x ( t = n t 同= 托：i 暑 q 4 m 由奈奎斯特定理知道，满足式( 2 4 9 ) 的充要条件是其傅立叶变换x ( f ) 满足 x ( f + m t ) = t ( 2 4 1 0 ) 实际情况中，w 等 式中称为滚降困予，其取值范围为。具有升余弦谱的脉冲x ( t ) 为 哟= 等铲器 = s i n 叫t ) l c o s ( n - # 。，7 3 i ( 2 伽) 注意到，x ( t ) 被归一化，所以x ( o ) 2 1 。 由于升余弦谱的平滑特性，因此设计实用的发送和接受滤波器来近似实现整个 期望的频率响应是可能的。 、卅 盟玎 一 厂 曾o + ，“0 南京理t 丈学硕士学位论文a w g n 信道中的信噪比估计算法 2 5 信号予空间与噪声子空间 2 5 1 相关函数矩阵 考虑一离散时间的平稳随机信号x ( n ) ，n = l ，n ，令 x ( n ) = 【x ( 1 ) ，- ，x ( ) 】 ( 2 5 1 ) 表示随机信号 x ( ”) 的观测向最，则其相关函数矩阵定义为 r = e x ( n ) x “( 肛) ) 屯( 0 ) 疋( 1 ) 月工r ( 一1 ) 如( o ) r 。( 一n + 1 ) 以( 一+ 2 ) r 。( 一1 ) r 。( 一2 ) 一r 。( o ) ( 2 5 2 ) 式中x “( m ) 表示向量的麸轭转霹。 式( 2 5 2 ) 的相关矩阵具有一种特殊的结构：不仅主对角线元素相同，而且其 他对角线也分别具有相同的元素。这种结构的矩阵称为t o e p l i t z 矩阵。由于 如( 一k ) = 月二( ) ，故一个n n 阶t o e p l i t z 矩阵r 由它的n 个自相关函数如( o ) ， 如( 1 ) ，如( 一1 ) 所决定。 通常要求相关函数矩阵r 半f 定，即它的所有特征值是正的或零值，不能为负 值。因此，个n n 阶t o e p l i t z 矩阵的半正定性由它的n 个自相关函数的半正定 性完全决定。若对于每组复常数吼，0 k n l ，恒有 一l 一i 口：月，( t f ) 睇，0 ( 2 5 3 ) = 0 ，= 0 则称相关函数序列k ( o ) ，如( 1 ) ，如( n - 1 ) 是半正定的，从而t o e p l i t z 矩阵r 是半 正定矩阵。半正定性是相关函数矩阵的一个重要性质。 2 5 2信号子空间与噪声子空间定义 在阵列信号处理中1 3 1 ，观测模型中若阵列由m 个阵元组成，则信号s ，( f ) 到达个 阵元的相位差所组成的向量 口( 印= 【1 ，e 一“，es ( m - i ) 4 r = a 1 ( t 9 ) ，口m ( 包) r 称为信号( 珂) 的方向向量或响应向量。如果总共有p 个信号位于远场( 其中p m ) ， 4 南京理丁人学硕士学位论文 a w g n 信道中的信噪比 i l i 计算法 则在第k 个阵元上的观测或接受信号吒( n ) 为 故( n ) ：兰口七( ，) ( 行) + 吒( 九) ， 七= l ，m( 2 5 4 ) 式中e k ( n ) 表示第k 个阵元上的加性观测噪声。将m 个阵元上的观测数据组成m x l 维 观测数据向量 x ( n ) = 一( 珂) ，( 门) r 类似地，可以定义m 1 维观测噪声向量 8 ( n ) = 【e l ( n ) ，一，e 。( ) 】。 这样，式( 2 5 4 ) 就可以用向量形式写作 x ( 聆) = 艺口( 甜) 墨( ，1 ) + e ( n ) = a ( a o s ( n ) + e ( n ) ( 2 5 5 ) 篁l 式中 a ( c o ) = 【d ( 出1 ) ，d 。) 】 1 e 一屿 p j ( m - t ) 。口一( m - 1 ) 。2 s ( n ) = b ( ”) ，s 。( h ) 7 1 e - ) c a ， 分别为m p 维方向矩阵和p x l 维信号向量。 考虑由式( 2 5 5 ) 描述的阵列信号观测模型。对此模型，我们作以下假设： 假设1 ：对于不同的0 9 值，向量a ( c o ，) 相互线形独立： 假设2 ：加性噪声向量e ( f ) 的每个元素都是零均值的复白噪声，它们不相关， 并且具有相同的方差仃2 ； 假设3 ：矩阵p = e s ( n ) s ”( n ) 菲奇异，即r a n k ( p ) = p 。 对于等距线阵，假设1 自动满足。假设2 意味着加性白噪声向量e ( n ) 满足以下 条件： e ( p ( n ) ) = 0 ，e e ( n ) e “( ，0 ) = c r 2 ，e e ( n ) e 7 ( n ) ) = 0 南京理1 = 人学顾 ：学位论文 a w g n 佰道中的情噪比估计算法 式中0 和0 分别表示零向量和零矩阵。如果信号源相互独立，则假设3 满足。因此， 上述三个假设条件只是一般的假设，在实际中容易得到满足。 在假设1 3 的条件下，由式( 2 5 2 ) 容易得到 疋= e x ( n ) x ”( 行) = a ( e o ) e s ( n ) s ”( 竹) ) 爿”( ) + 盯2 ， ( 2 5 6 ) = a p a 8 + 0 - 2 式中a = 一 ) 。可见，r x x 是一个对称矩阵。令其特征值分解为 r x x = u e u ” 式中= a i a g ( , # ，吒2 ) 。 由于a 列满秩， r a n k ( a p a ”) = r a n k ( p ) = p ，这里假定p m 。分别定义孵( 爿) 和n ( a 7 ) 为矩阵a 的值空间和零空间a 同时，令 q = d i m ( 孵( 一) ) 和p = d i m ( n ( a ) ) 。令乜，e ，) 为值空间孵( 4 ) 的正交规范基，令 郎。，气) 为零空间n ( a 7 ) 的正交规范基。假设x 为w 在n ( a 7 ) 上的正交投影。 因为 譬 i | 4 南京理t 大学珂i ：t 学位论文a w g n 信邀中信噪比估计算法 p i p e l i x t i 2 】= e l i 1 2i = 研怖w ) 1 2 】 ( 3 3 3 ) l ，一1ai m l 式中( x ，w ) = x h w 为内积，i l x l l 2 = ( x ，x ) 。 然而， l 硎托，w 1 2 】_ e e e , 。，如题一】 j ；ik = l ( 3 3 4 ) 联立式( 3 3 3 ) 、( 3 3 4 ) ，得盯五。=e l x h x 】，这样，得出无偏估计 t 2 1 1 1x 2 = 婚( w ) 1 2 ( 3 3 5 ) 因为，e i n ( a 7 ) ，i = 1 ，p ，所以 ( 弓，y ) = ( 弓，+ w ) = 矽+ 舒咖( e 【，w ) 由( 3 3 5 ) 、( 3 3 6 ) 得到 2 1p 盯= 吉，y 1 2 f = 1 ；! 。( iy l l y l l z 一圭：( q ，”i z ) 2 ， 一，竟：i q j 川 这里向量被投影到整个信号子空间豫( 一) 上。 ( 3 3 6 ) ( 3 3 7 ) 通过从信号与噪声总能量中分离出信号能量，我们可以估计出信干比 s ( j + n ) 。信号和噪声总功率为 蠢州= 圭吼y “炉+ 吐。 所以。信干比估计为 2 2 s ( i + n ) = 孚= 。o * s + i + n _ - 1 ) 盯i + n叮i + n ( 3 3 8 ) ( 3 3 9 ) 2 “ 仃 = 2 h 盯 2 ， b 。一 = 南京理- t 人学硕士学位论文 a w g n 倍道中信噪比估计算法 联立( 3 _ 3 7 ) 、( 3 3 9 ) 两式，则得 目y “y 】 s ( i + n ) = _ l t 一一l ( 3 3 1 0 ) 扣y 忙y 1 2 ) 如果是从n 个不同的接受向量y 来估计信干比，则式( 3 3 1 0 ) 有更一般的表 达式 1 2 s ( 1 + ) = 百_ 兰捌1 一一i ( 3 3 1 1 ) 扣m 忙e 慨m ) l “ ，t 1 1 ，i t r + 由于上式估计是由接受向量投影到信号子空间上得出，故该估计称为信号投影 估计( s p 估计) 。 矩阵a 的列向量可以作为值空间暇( 彳) 的一组基底。只要对列向量进行 g r a m - s c h m i d t 正交化就可，这需要m2 l 次乘法和去m ( m + 1 ) 次加法。这种情况下 矩阵a 是由训练序列得到的，所以基底向量 e 。，气) 可以事先计算并存储在接收 机端。同时注意到，式( 3 3 1 0 ) 中的估计性能可以通过提高p 值来改善，并且计 算基向量的计算量也随着p 的增加而减少，当然，前提是l 尽可能比m 大。 最后，当构造矩阵a 时，选择适合的m 值是必需的。我们知道在一个典型的 无线电接收器中包括一个均衡器，这种均衡器确定了m 的某个特定值，丽这个m 值可以用来构造矩阵a 。 3 4基于信号子空闯分解( s b ) 估计法 在本节中，我们仍然考虑t d m a 蜂窝无线系统，并且针对通常的某一时隙进 行分析【2 0 l 。这