（基础数学专业论文）steinberg酉李代数与李三系.pdf

摘要 摘要 本文首先介绍- j s t e i n b e r g 李代数s t n ( s ) ，以及它的推广s t e i n b e r g 酉李代 数s t u n ( 冗，一，7 ) ，并讨论他们的结构和关系，其次利用李三系找s t e i n b e r g 李代 数s t 2 ( s ) 的平凡生成元的充分必要条件：即本文的主要结果： 定理：s 是含单位元的非结合k 一代数，则i 2 ( s ) = 0 当且仅当对任意的 a ，b ，c ，d ，e s 下面两个等式成立： ( a ，b ，c ) = ( c ，b ，a ) f 沈7 j ( a ，b ，( c ，d ，e ) ) = ( a ，b ，c ) ，d ，e ) 一( c ，( b ，口，西，e ) + ( c ，d ，( a ，b ，e ) ) 这里的( a ，b ，c ) = ( a b ) c a ( b c ) ，( a b ，c ) = ( a b ) c + c ( b a ) 。 最后，利用s t e i n b e 唱李代数s t 2 ( s ) 和s t e i n b e r g 酉李代数s t u 2 ( s 0s o p ，e z ，1 ) 的同构关系我们又给出了主定理的另一种证明。 关键词：s t e i n b e r g 李代数，s t e i n b e r g 酉李代数，李三系 a b s t ra c t a b s t r a c t a tf i r s tw ei n t r o d u c es t e i n b e r gl i ea l g e b r a ss t n ( s ) ，i t sg e n e r a l i z a t i o ns t e i n b e r g u n i t a r yl i ea l g e b r a ss t u n ( r ，一，7 ) ，a n dw ed i s c u s st h ec o n s t r u c t i o na n dt h er e l a t i o n s h i p 。t h e nw eu s el i et r i p l es y s t e mt oo b t a i nas u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nf o r g e n e r a t o r so fs t e i n b e r gl i ea l g e b r as t 2 ( s ) t ob et r i v i a l t h i si st h em a i nr e s u l to ft h e p a p e r ： t h e o r e m ：l e tsb eau n i t a ln o n a s s o c i a t i v ek - a l g e b r a t h e nj 1 2 ( s ) = 0 i fa n d o n l yi f t h e f o l l o w i n ge q u a t i o n sh o l d f o ra l la 1b 。c s ： r i 7 j ( a ，b ，e ) = ( c ，b ，a ) ( i i j ( o ，b ，( c ，d ，e ) ) = ( a ，b ，c ) ，d ，e ) 一( c ，( 6 ，口，回，e ) + ( c ，d ， ，b ，e ) ) w h e r e ( a ，b ，c ) = ( a b ) c 一口( b c ) ，缸，b ，c ) = ( a b ) c + c ( 6 口) f i n a l l y , w eu s et h ei s o m o r p h i s mb e t w e e ns t e i n b e r gl i ea l g e b r a ss t 2 ( s ) a n ds t e i n b e r gu n i t a r yl i ea l g e b r a ss t u 2 ( s0s 印，e z ，1 ) t og i v ea na l t e r n a t i v ep r o o ff o rt h em a i n t 1 1 e o r e m k e y w o r d s ：s t e i n b e r gl i ea l g e b r a s ，s t e i n b e r gu n i t a r yl i ea l g e b r a s ，l i et r i p l es y s t e m i i i 关于编号和符号的说明 项目编号：在全文中，引理，命题：定理，定义等项目按先后顺序，用 三个数码统一编号：第一个数码表示项目所在的章，中间的数码表示所 在的节，最后一个数码表示项目在该节中的顺序，不同数码之间用小圆 点隔开文中再引用时，采用项目名加编号的形式 公式编号：在全文中：公式用带有圆括号的两个数码编号：前一个 数码表示公式所在的章，后一个数码表示公式在该章中的顺序，两个数 码之间用小圆点隔开引用时，直接用带有圆括号的公式编号 符号：文中默认的符号如下 z 一整数环 z ，n 整数模 。同余类环 r - 一 一t 实数域 c f 。 复数域 数域 k 含么交换环 c h a r k 一含么交换环k 的特征 中国科学技术大学学位论文原创性和授权使用声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工 作所取得的成果。除己特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含任何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同志对 本研究所做的贡献均己在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权，即： 学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电 子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论 文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 幽易 作者签名：江釜彳氐 少f o 年月，j 日 第l 章引言 第1 章引言 s t e i n b e r g 李代数s k ( s ) ，n 3s 为环k 上的代数，由j r f a u l k n e r 于 1 9 8 9 年作为s t e i n b e r g 群的李代数类似物而首先引入，它是以s l n ( s ) 的生成元 e t f ( r ) ，1 i 歹n ，r s ，所满足的标准关系式作为定义关系来定义的抽象 l i e 代数。j r f a u l k n e r t e 文中证明了当n 3 时厶( s ) = o s l x , j ( 口) = o ) 不 依赖于i ，j 的选取和厶( s ) 是s 的理想，而且给出了当n 4 时厶( s ) = 0 充分 必要条件是s 是结合代数，当佗= 3 时, r 3 ( s ) = 0 的充分必要条件是s 是线性的 交错代数。郜云教授和尚士魁博士等人还对s t n ( s ) 的( 泛) 中心扩张及相关结 构进行了研究。s t n ( s ) ( n 3 ) 都是s l n ( s ) 的中心扩张：在多数情形下，s t n ( s ) 还是s l n ( s ) 的泛中心扩张，其扩张的核同构于s 的一阶循环同调群c 1 ( s ) ； 且当孔5 时鹧( s k ( s ) ) = 0 ，而玩( s t a ( s ) ) = 罐，h 2 ( s 亡3 ( s ) ) = 簧。 几年后，j r f a u l k n e r 又与b n a l l i s o n 一起以初等酉李代数e u n ( r ，一，7 ) ( r 为环k 上带有对合一的代数) 的生成元岛( r ) = e i j ( r ) 一m 百1 勺t ( f ) ，1 i 歹竹，_ r 所满足的标准关系式作为定义关系定义了s t e i n b e r g 酉李 代数s t u n ( r ，二，y ) ，佗3 。他们在 a n 文中证明了当他3 时厶( r ，一，y ) 三 口r i u 巧( 口) = o ) 不依赖于i ，j 的选取和厶( 兄，一，7 ) 是r 的理想，而且给 出了当佗4 时l ( r ，一，7 ) = 0 充分必要条件是( r ，一) 是结合代数，当 n = 3 时厶( 冗，一，y ) = 0 的充分必要条件是( r ，一) 是s t r u c t u r a b l e 的。 s t e i n b e r g 酉李代数s t u n ( r ，一，7 ) 及其( 泛) 中心扩张等问题也被人们多次研 究过。s t u n ( r ，一，7 ) ( 佗3 ) 都是e u n ( 冗，一，y ) 的中心扩张；在多数情形下， s t u 凡( 冗，一，y ) 也是e u 扎( r ，一，y ) 的泛中心扩张。郜云教授确定了此扩张的核， 并给出了此扩张为泛中心扩张的一些充分条件；同时还引入并研究了初等 s t e i n b e r g 酉李代数e u s t n ( 冗，一，y ) 和其它类型的初等李代数e n ( 二；r ) = ro p 三， s t e i n b e r g 李代数s t n ( 厶r ) ，初等酉李代数e u n ( l ；r ，一，肛) 及s t e i n b e r g 酉李代数 s t u n ( 厶r ，一，z ) 等，其中l 为复单l i e 代数，r 为交换的结合代数。 当佗= 2 时，s t e i n b e r g 李代数的定义是郜云教授在1 9 9 3 年【g 2 】文中给出 的，并且证明了厶( s ) = 口sj 粕( 口) = o ) 不依赖于i ，j 的选取，但是此 时h ( s ) 可能不是s 的理想。郜云教授【g 2 】中分别给出了厶( s ) = 0 的充分 条件和必要条件，本文将给出它的一个充分必要条件。几年后，郜云教授 和尚士魁博士在【s g 】文中定义了s t e i n b e r g 酉李代数s t u 2 ( 兄，一，7 ) 他们证明了 h ( r ，一，7 ) = o s l u , i ( a ) = o ) 不依赖于t ，j 的选取，但是h ( r ，一，7 ) 可能不是 r 的理想，同时他们也给出了h ( r ，一，7 ) = 0 的充分必要条件。郑业龙副教授则 l 第l 章引言 对s t i e n b e r g ( 酉) 型李代数的理想及单性对称不变双线性型与导子代数做了细致 的研究。 本文主要介绍了s t e i n b e r g 李代数，s t e i n b e r g 酉李代数的概念和一些基本 结果，介绍李三系的相关概念，并给出如( s ) = 0 的充分必要条件。第二章我 们将给出环上李代数以及中心扩张和泛中心扩张等基本概念，并给了一些常见 的例子以及相关的性质。第三章我们介绍n 3 时，s t e i n b e r g ( 酉) 李代数的一 般结构及其关系。第四章首先介绍n = 2 时s t e i n b e r g ( 酉) 李代数相关概念和一 些主要结论，其次利用李三系的相关性质给出h ( s 1 = 0 的充要条件。最后利 i f s t e i n b e r g 李代数s t 2 ( s ) 和s t e i n b e r g 酉李代数8 t u 2 ( s 0s 印，e z ，1 ) 的同构关系， 给出h ( s ) = 0 的另一种证明。 2 第2 章基本概念与性质 第2 章基本概念与性质 本章中，我们将主要介绍与文章关系密切的李代数的相关概念及其一些基 本性质。 2 1 环上的李代数 环上的李代数是通常域上李代数概念的自然推广。 定义2 1 考虑一个含么交换环k ，k 上的一个李代数g 是一个k 线性空间( 即 k 模) 且有g 上的二元映射 【，】：g x g g 满足下面的条件： ( i ) 【】是k - 双线性的， ( i i ) k ，司= 0 ， ( i i i ) 【k ，胡，刁+ 【f y ? z 】，叫+ 【孑，司，引= 0 对任意的z ，y ，彳i t 。 这里，我们没有对环k 的特征做任何限制。易见，( i i ) 可以推出反对称性， 即对于任意的z ，y g 有囟，扪= - v ，司。而当c h a r k 2 时，反对称性也可以 推出( 娩) ，即两者是等价的。( 讹) 式即是通常的j o c o b i 等式。 定义2 2 k 上的一个李代数g 称为p e r f e c t 的，如果g - - 【g ，g 】。 由于p e r f e c t 李代数和李代数的泛中心扩张等概念与李代数的同调理论联系 十分密切，我们先回顾一下关于李代数的同调的基本事实。对环k 上任意一个 李代数g ，我们可以定义一个复形( a g ，a ) ，这里a n g 是g 在k 上的n 次外积 目有 巩( x xa az n ) = ( 一1 ) i + j + l x 泓爿a x 1a a ：f ia e ja a t i j n 式子中也表示删除兢此项。应用李代数的反对称性和j a c o b i 等式，容易验证 巩巩+ l = 0 ，对任意的正整数几都成立。因此复形( a g ，a ) 给出李代数g 的同调 群 鼬) = 器 第2 章基本概念与性质 下面我们介绍李代数的中心扩张和泛中心扩张的有关知识。 定义2 3 ( 白，7 - ) 称为g 的一个中心扩张，如果7 ：自g 是李代数的满同态，而 且满足k e r r 包含在亘的中心z ( 白) 中当6 为p e r f e c t 的时，又称( 亘，7 - ) 为g 的一 个c o v e r i n g 。 注意到亘为p e r f e c t 时，蕴涵着g 也为p e r f e c t 的。当我们说g 的c o v e r i n g 白 时，就默认了g 和自都是p e r f e c t 的。 用k 上李代数的正合列表示g 的中心扩张( 自，7 ) ，则有 其中 同理，若有正合列 0 _ k e r r _ jg _ 0 ， k e r r z ( 6 ) 0 一yj jg _ 0 ， 满足 6 ( y ) z ( 舀) ， 则称6 为g 通过y 的一个中心扩张。 定义2 4 李代数g 的一个中心扩张( 百，7 r ) 称为g 的泛中心扩张，如果对9 的任一 个中- f i , 扩张( 6 ，7 - ) ，一定存在唯一的一个李代数的同态 使得 p ：g g ， 7 r2 丁op 也就是说，下面李代数同态的图交换， 0 _ k e r 7 - 。白 jg _ 0 ，上p 1 1 0 一k e r7 r _ 百与g _ o 用范畴论的观点看，我们以g 的中心扩张( 白，7 - ) 为对象，两个对象之间的态 射：( 白1 ，n ) _ ( 白，仡) 为满足 r x = 死。咖的李代数的映射：白l - - + 2 ，那么我 们得到一个范畴。g 的泛中心扩张即为该范畴的始对象，由此也可以得出g 的 泛中心扩张在同构意义下的唯一性。对于泛中心扩张的存在性，我们有： 4 第2 章基本概念与性质 定理2 1 ( 见【g 3 1 ) f 力李代数g 的存在泛中心扩张的必要且充分条件是g 是 p e r f e c t 的。 f i i ) 如果( 蚕，丌) 是p e r f e c t 李代数g 的泛c o v e r i n g , 那么则有 k e r r r 笺飓( g ) ， 定义2 5 设r 是特征0 数域f 上有单位元1 的代数( 结合代数或李代数等， 下同) ，一为r 的一个自同构( 或反自同构) ，即r 到r 自身的双射且满足： 对v a ，b r ，q f 有丽= q 瓦，a + b = 瓦+ 一b ，一a b = 葫( 或一a b = 两。显然 百= 0 ，一1 = 1 如果还满足云= a ( v a r ) ，则称一为r 的一个( 反) 对合 ( ( a n t i 一) i n v o l u t i o n ) 。 定义2 6 ( 反代数舻和代数ao 俨) 设( 4 ，) 为域f 上的( 结合) 代数，令 1 3 = a ，且对v a ，b 1 3 ，a ob = b a ，则( 召，o ) 作成一个代数，称为( 4 ，) 的反代 数，记为( 舻，o ) 。 显然妒：4 - - + 1 3 ，a 卜a 是代数，) 到代数( 召，o ) 的反同构，即对 v a ，b a ，o t 只妒( 口+ b ) = 妒( o ) + 妒( 6 ) ，9 0 ( a a ) = 口妒( d ) ，妒( 口b ) = 妒( 6 ) 0 妒( o ) 注1 令r = a o a , , p ，且对比jb ，c ，d a ，( a ，b ) ( c ，d ) = ( 口e ，h o d ) = ( a c ，d b ) ， e x ( a ，b ) = ( b ，o ) ，则( r ，) 作成一个代数，且e z 为r 的一个反对合( 称为交换对 合) 。事实上，显然e x ( ( a ，6 ) + ( c ，d ) ) = e x ( a ，b ) + e x ( c ，回，e x ( a ( o ，6 ) ) - - o t e x ( a ，6 ) 且e z ( ( o ，b ) ( c ，d ) ) = e x ( a c ，d b ) = ( d b ，a e , ) = ( d ，c ) ( b ，a ) = e x ( c ，d ) e x ( a ，6 ) ， e z ( ( e z ( 口，6 ) ) ) = ( a ，6 ) 。 2 2 一些例子 例2 1 一般线性李代数9 2 n ( r ) 和特殊线性李代数s l n ( r ) 设r 为k 上的一个带有单位的结合代数，为了方便起见，我们总是假设r 作为k 模是自由生成的，即r 具有一组k 基 n ) a a ( 其中a 为指标集) ，而且 满足1 r x x a 记m ( n ，r ) 为所有以r 中元素为矩阵的7 1 , 他矩阵构成的k 上的结合代 数，则可以得到k 上的一般线性李代数夕k ( r ) = m ( n ，冗) 一对于7 1 , 2 ，我们 可以定义特殊线性李代数s l n ( r ) 为由e i ja ) g l n ( r ) 生成的夕f n ( r ) 的子代数， 这里e 订即通常的矩阵单位且a r ，1 z j 亿。 当n 3 时，s k ( 尺) 还有下面等价的描述， 引理2 2 tr 面z - 个条件定义的g l n ( r ) 的子代数是等价的， 5 第2 章基本概念与性质 例s l n ( r ) 是由e i j ( a ) g l n ( r ) ( o r ，1 i j n ) 生成的g l n ( 冗) 的子代 f 别s l n ( r ) = b 2 竹( r ) ，9 z n ( r ) 】， ( i i i ) s l n ( r ) = 【x g l n ( r ) it r ( x ) 【r ，捌) ， 这里，t r ( x ) 即通常意义下nx 礼矩阵x 的迹。 证明记条件( i ) ( i i ) ( i i i ) 定义的g l n ( r ) 的李子代数分别为夕1 ，9 2 ，吼。 由于我们假设竹3 ，对于任意e i j ( a ) 总存在k i ，七j ，故有 这说明9 l 9 2 。 在9 2 n ( r ) 中， e i j ( a ) = b ( 口) ，e k j ( 1 ) f e f j ( 口) ，e 射( 6 ) 】= j j k e i t ( a b ) 一如e 酊( 6 n ) 这说明，s l n ( r ) 的导出子代数的元素的迹都是属于 r ，嗣中的。 由此可知，9 2 吼。 最后，设z 9 3 ，则有 z = 冬l e i i ( a i ) + 1 t 向如e i ( b i j ) ， 其中a i ，r 而且翟1 a i 【r ，r 1 不妨设， 则 翟1 a i = j b ，由】，勺，呜r z = e 1 1 ( i n = l a i ) 一墨2 ( e l l ( ) 一e “( 口t ) ) + 1 s i 扔s n e 巧( 6 巧) - e 1 1 ( j c j ，奶】) 一塾2 【e l t ( o t ) ，e t l ( 1 ) 】+ l j n e 派( 幻) ，e 幻( 1 ) 】 = e j ( e 1 2 ( c j ) ，e 2 1 ( d j ) 】一 e 1 2 c d j c j ) ，e 2 1 ( 1 ) 】) 一：2 【e l i ( 口i ) ，e t l ( 1 ) 】 + 1 喇n 【e 谤( ) ，( 1 ) 】 这说明z 包含在9 1 中，即岛9 l 。 综上可知， 9 1 = 幺= 9 3 即( i ) ( i i ) ( i i i ) 描述了g l n ( r ) 的同一个子代数s l n ( 冗) 。 6 口 第2 章基本概念与性质 注2 s l n ( 兄) 的生成元e q ( 口) 之间满足下面的典范关系： r e 订( r ) 是一线性的， r e 莳【r ) 是k 一线任阴， e 巧( 口) ，e j 知( 6 ) 1 = e i k ( a b ) ，对不同的i ，j ，k ， 【e 巧( 口) ，e 射( 6 ) 】- 0 ，如果歹k ，i f ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 对环k 上任一带有反对合一的代数( 4 ，一) ，令下( 口) = 一瓦，v a a 则下 的不动点集q ( 4 ，一) = a 4 1 7 - ( 凸) = 口) = a a i 瓦= - a = 4 一，是4 的子 空间。 如果4 是结合代数，则4 一是李代数( 李括号运算为 a ，b 】= a b b a ，a ，b 4 ) ，且r ( a ) = 一- v a a 是李代数a 一的对合，其不动点集q ( 4 ，一) = 4 一是 4 一的李子代数。 例2 2 设( 兄，一) 为环k 上带有反对合一的含单位元1 的结合代数，取m k ( k 中全体可逆元集合) ，i = 1 ，2 ，n ，y = d i a g 7 1 ，7 2 ，) 。在结合代数 地( r ) 中定义= ；如下： 木：( r ) - ( 兄) ，x 一7 - 1 x 7 则枣是结合代数眠( r ) 的反对合。于是r ( x ) = 一x 是l i e 代数夕z n ( 冗) = 咄( 矗) 一的对合，其不动点集n ( g l n ( r ) ，木) 是g l n ( r ) 的李子代数，称为酉李代 数( u n i t a r yl i ea l g e b r a ) ，记为( r ，一，y ) 。当m = 1 ，i = 1 ，2 ，n 时，简记 u n ( r ，一，y ) 为乱n ( r ，一) 。 例2 3 9 k ( r ) 中由岛r ) = e q ( r ) 一仇百1 e 剪( _ ) ，1 i j n ，7 r 生成的李子 代数，称为初等酉李代数( e l e m e n t a r yu n i t a r yl i ea l g e b r a ) ，记为e u n ( 冗，一，7 ) 。 注3 e 乱n ( 兄，一，7 ) 的生成元岛r ) = ( r ) 一m 百1 ( ) 满足下列的标准关系 式： r 一岛( r ) 是k 一线性的， ( 2 4 ) 对互不相同的i ，j ，后，【邑j ( r ) ，易七( s ) 】= 易七( r s ) ， ( 2 5 ) 对互不相同的i ，j ，k ，仇，【( r ) ，& m ( s ) 】= 0( 2 6 ) ， 岛a ) = 岛( 一m 百1 f ) ， ( 2 7 ) 其中r ，8 r ，1 i ，j ，k ，m n 。 注4 由( 2 5 ) 和( 2 7 ) 知e u n ( 冗，一，7 ) 可由邑+ l ( r ) ，1 i n ，r r 生成。如果 j e 7 为r 的一个生成元集，且1 b ，则e u ，。( r ，一，7 ) 可由毛件l ( r ) ，1 i n ，r b 生成。特别地，当j e i 有限，即r 为有限生成( 结合) 代数时，e l 。( r ，一，y ) 为有 限生成李代数。 7 第3 章 s t e i n b e r g ( 酉) 李代数s n ( s ) ，( s t u i v ( r 一，7 ) ) ，n 3 第3 章s t e i n b e r g ( 酉) 李代 数s t n ( s ) ，( s t u n ( r ，一，y ) ) ，n 3 在本章我们将介绍n 3 时的s t c i n b e r g 李代数s t n ( s ) 和s t e i n b e r g 酉李代 数s t u ( a ，一，7 ) 的基本概念和一些重要的结论。 3 1 s t e i n b e r g 酉李代数s t u n ( r ，一，y ) ，佗3 我们可以利用关系式( 2 4 ) 一( 2 7 ) 作为定义关系来定义抽象的李代数。即下 面的s t e i n b e r g 酉李代数( 参见【棚) 定义3 1 设( r ，一) 为环k 上带有( 反) 对合一的含单位元1 的( 结合) 代数， 讯k ，i = 1 ，2 ，n ，7 = d i a g t x ，仇，) ，n 3 由符号让巧( 口) ，a r ，1 i j n 满足下列关系式( 3 1 ) 一( 3 4 ) 所生成的环k 上的李代 数称为( 结合) 代数r 上的s t e i n b e r g 酉李代数，记为s t u n ( r ，一，7 ) 或，当 讯= 1 ，i = 1 ，2 ，n 时，简记s t u n ( r ，一，y ) 为s t u , , ( r ，一) 。 a 卜u i i ( a ) 是k 一线性的， 对互不相同的i ，j ，k ，【u 谚( q ) ，哟七( 的】= u i k ( a b ) ， 对互不相同的i ，j ，k ，m ，m 巧( 口) ；缸h ( 6 ) 】= 0 让巧( a ) = 哟t ( 一讯百1 石) ， 其中a ，b r ，l i ，j ，七，m n 。 ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 3 ) ， ( 3 4 ) 注5 ( i ) 由定义知s t u n ( r ，一，7 ) = u t j ( r ) o 【u 巧( r ) ，吻( r ) 】；【，】= 即= s t u n ( r ，一，y ) 是p e r f e c t ；且有李代数满同态：s t u 仃( r ，一，y ) _ e ( r ，一，7 ) ，u o ( r ) 卜毛j ( r ) ，1 is 歹n ，r ，s r ，从而有短正合 序列 。一k e r - - + s t u n ( r ，一，1 ) - - e u n ( r ，一，7 ) 一0 ( i i ) 由( 3 2 ) 和( 3 4 ) 知s t u n ( r ，一，y ) 可由u i 件1 ( r ) ，1 i n ，7 r 生成。如 果b 为r 的一个生成元集，且1 b ，则s t u n ( r ，一，7 ) 可由u t 件l ( r ) ，1 i n ，r b 生成。特别地，当b 有限，即r 为有限生成( 结合) 代数时， s t u n ( r ，一，7 ) 为有限生成李代数。 9 第3 章 s t e i n b e r g ( 酉) 李代数s 霸( s ) ，( s t ( r ，一，y ) ) ，n 3 定理3 1 g = i j 【( r ) ，u 巧( r ) 】是58 t u 竹( r ，一，7 ) 的子代数，g 包含5 ( r ，一，7 ) 的中心，且由，u 巧( r ) 】u 巧( r ) 进而s t u n ( r ，一，y ) = 夕0 t j 缸巧( r ) 证明设z 【u 巧( r ) ，u 巧( r ) 】那么l 扫j a c o b i 等式及( 3 1 ) 一( 3 4 ) 可得【9 ，( r ) 】 【阻巧( r ) ，( r ) 】，u 巧( r ) 】( r ) 其中这里如，g 【 ，歹) 从而由u 巧( r ) = 【u k ( r ) ，u 幻( r ) 】可得忙，( r ) 】( r ) ，显然由夕是李子代数，【。，夕】9 ，又 因为s t u n ( r ，一，7 ) 是由u i j ( t t ) 生成，所以s t u n ( r ，一，7 ) = g + i ju u ( r ) 。 下面利用阶化来证明和是直和。在刁中指定u i j ( a ) 的阶为龟+ e ，从而得到 由u i j ( a ) 生成的自由李代数的阶化，再关系式( 3 1 ) 一( 3 4 ) 相对这个阶化都是齐 次的，而g 的阶是0 ，故从而和是直和。 最后，如果z 属于s t u n ( r ，一，7 ) 的中心，且有地，( q ) 部分，那么由0 = 【z ，七( 1 ) 】得u 让( 口) = 0 ，所以u i j ( a ) = 【u 谤( o ) ，u 巧( 1 ) 】= 0 ，因此z g 口 定义3 2 厶( r ，一7 ) = a r l u i ( a ) = o ) ，仡3 其中这里的1si j n 是 固定的。若厶( r ，一，7 ) = 0 ，我们称( r ，一) 是忠实的。 定义3 3 对任意的a ，b ，c ( r ，一) ， ( i ) 如果r 满足 ( a ) ( a ，b ，c ) + ( b ，a ，c ) = o ，其中口= 5 一蚕，( a ，b ，c ) = ( a b ) c 一口( 6 c ) 。 ( b ) 令k ，b ( c ) = ( 口_ ) c + ( 西) 一( 匝) 6 ，【k ，l ，v b ，c 】= 比b c k ，l c 。 我们称r 是s t m c t u r a b l e 的。 ( i i ) ( a ，a ，b ) = ( b ，a ，a ) = 0 ，则称r 是交错代数。 ( i i i ) ( a ，c ，b ) + ( c ，a ，b ) = ( b ，a ，c ) + ( b ，c ，a ) = o ，则称冗是线性交错代数( 或 弱交错代数) 。 例3 1 对任意的非结合代数b ，b o p 是它的反代数，那么a = bob o p 是带有 交换对合自同构( e z ：( b ，c ) 一( c ，6 ) ) ，如果b 是线性交错代数，那么( a ，e z ) 也是 线性交错代数，因此是s t r u c t u r a b l e 的。反之，若似，e z ) 是s t m c t u r a b l e 的，那么 ( a ，b ，c ) + ( b ，a ，c ) ，0 ) = ( a ，0 ) 一( o ，口) ，( b ，o ) ，( c ，o ) ) + ( ( 6 ，o ) ，( a ，0 ) 一( o ，口) ，( c ，o ) ) = 0 ，所以b 是线性交错代数。即我们证明了( a ，e z ) 是s t r u c t u r a b l e 的当且仅当b 是线性交错代数。 例3 2 下面给出的代数4 是交错代数( 参见呻“1 l9 3 ) 设e 1 ，e 2 ，e 3 为3 维复线性空间y 的一组基。在y 上定义了通常的( 对称的) 双线性的数量积和( 反对称的) 双线性的向量积：设u ， v ，对应的数量积和 向量积分别记为( u ，u ) 和u ，且e 1 ，e 2 ，e 3 满足 1 0 第3 章 s t e i n b e r g ( 酉) 李代数。s n ( s ) ，( s t u n ( r ，一，7 ) ) ，n 3 ( e i ，e j ) = 如，i t ，j 3 ； e ixe i20 ，1 i 3 ；e lxe 22e 3 ，e 3xe l = e 2 ，e 2xe 32e 1 设f q u l ，q ，c ，p ，u a 则4 对通常的分量加法和数乘法是c up ， 上的8 维线性空间，且有基 q = ( 三0 0 ，c 2 ：00 1 ) ，q “= ( 兰：) ，c 5 “= 0 ；兰) ，t 2 1 ，2 ，3 在a 中定义乘法如下 o z l 分k = 2 0 1 u 2 卜# 2 u 1 3 li ) 1x 也) 则它是双线性的，从而4 是c 一代数，称为c a y l e y 代数或八元数代数。 利用乘法表不难验证a 中的乘法满足交错律，但却不满足结合律和交换 律，如( c 3 c , ) c 5 = 一c 2 ，c 3 ( c 4 c 5 ) = - - c 1 ，c 3 c 4 = c s ，c 4 c 3 = - - c 8 。 c a y l e y 代数a 的导子代数d e ra 是单l i e 代数g 2 ( 的一个实现) 。 定理3 2 ( j a i l ) f f ) 工= 厶( r ，一，7 ) 是( r ，一) 的理想，且不依赖于1 i j 3 的选取，进而有厶( n z ，一，7 ) = 0 ，和s t u ( n z ，一，7 ) 竺s t v 吼( n ，一，7 ) 。 f i i ) 当n 4 时，厶( 冗，一，y ) = 0 当且仅当r 是结合代数。 f i i i ) 当n = 3 时，厶( r ，一，y ) = 0 当且仅当r 是线性交错代数 3 2 s t e i n b e r g 李代数s k ( s ) ( t , 3 ) 类似于s t e i n b e r g 酉李代数的定义我们可以用关系式( 2 i ) 一( 2 3 ) 作为定义关系 来给出抽象的李代数这就是下面的介绍s t e i n b e r g 李代数s t n ) ，n 3 定义3 4 设s 为k 上的一个带有单位的( 结合) 代数，具有一组k 基 n ) a a ( 其中a 为指标集) ，满足l r a x a 。通过给出生成元和生成关系， 可以定义k 上的s t e i n b e r g 李代数s t n ( s ) 。对n 3 ，s t e i n b e r g 李代数s t n ( s ) 定 义为由生成元 叉0 ( 口) ，n s ，l i j n 生成的k 上的李代数，它们之间满足下面的生成关系： ( o ) 是k 线性的， 阢( o ) ，x j k ( b ) 】= x a , ( a b ) ，对彼此不同的i ，j ，k ， ( 3 5 ) ( 3 6 ) 11 第3 章 s t e i n b e r g ( 酉) 李代数s t n ( s ) ，( s t u n ( r ，一，1 ) ) ，n 3 如( o ) ，( 6 ) 】- 0 ，对歹k ，i f ， ( 3 7 ) 这里口，b s ，1 i ，工七，f n 。 因为1 s 而且b ( n ) = x ( 口) ，x k a l ) ，所以对所有的o s ，1 i 歹 n 有杨( 口) 【s t n ( s ) ，s t n ( s ) 】即s t ( s ) 的生成元都包含在 s t n ( s ) ，s t n ( s ) 】中，故 s t n ( s ) = s t n ( s ) ，s t n ( s ) 】，即s t n ( s ) 是p e r f e c t 的。 注6 由s k ( s ) 的生成元( n ) 满足的典范关系( 2 1 ) 一( 2 3 ) ，从而根据由生成元和 生成关系定义的李代数s k ( s ) 的泛性质，我们可以得到一个k 上李代数的满映 射： ：s t n ( s ) _ s l n ( s ) ， 使得( x i j ( 口) ) = e 巧( 口) 。这也蕴涵着s l n ( s ) 是p e r f e c t 的，因为p e r f e c t 李代数的 同态像也是p e r f e c t 的。 定义3 5 厶( s ) = 口s i ( 口) = o ) ，n 3 其中l i j n 是固定的。 定理3 3 ( 【棚) f f j 歹= 厶( s ) 是s 的理想，且不依赖于i 歹的选取，进而有 厶( 酬歹) = 0 和s t n ( 酬歹) 型s t n ( s ) 。 f ，如果节是含单位元j 的代数，那么厶( s ) = 0 当且仅当几冬s 是结合代 数，或者n = 3 时，s 是弱交错代数。 i ) 如果s 是含单位元的结合代数，( r ，e z ) 是含单位元j 的结合代数，其中 r = s o s 印，e z 是交换对合，则s t u n ( r ，e z ，1 ) 竺s t n ( s ) 。 注7 例3 1 提供了本定理( t e ) 的一种证明方法。 下面是关于s 亡n ( s ) 结构的一个定理，证明可参见【s “】和圆。 定理3 4 4 t ( a ，6 ) = 阮j ( o ) ，冯i ( 6 ) 】，这里的口，b s1 i j n 设 互：= ( s ，s ) z 一 o 、 l j t l 则互构成s 亡n ( s ) 的一个子代数，满足 降，叉0 ( s ) 】叉0 ( s ) ， 并且有， s t n ( s ) = 互。曰p 义b ( s ) 1 i j n 进一步，我们有互包含了s t n ( s ) 的中心3 并且k e r 3 。因此，由s t n ( s ) 是p e r f e c t 的可知( s 亡n ( s ) ，) 是s l n ( s ) 的一个中心扩张，特别是s t ( s ) 的一个 c o v e r i n g 。 1 2 第3 章 s t e i n b e r g ( 酉) 李代数s t n ( s ) ，( s t u n ( r ，一7 ) ) ，n 3 s b l o c hc k a s s e l 和j l l o d a y 在【b 1 】，k l 等文献中，进一步研究了s t e i n b e r g 李代数s t n ( s ) ，得出 定理3 5 当n 5 时， ：s t 。( s ) _ s l n ( s ) 是s k ( s ) 的泛c o v e r i n g 。而且，该中心扩张的核 k e r 竺h c l ( s ) 这里日q ( s ) 是k 上结合代数s 的第一循环h o c h s c h i l d 同调群。根据李代数的 同调理论，有趣( s k ( s ) ) 笺0 且 凰( s f 礼( s ) ) 竺h c l ( s ) 而尚士魁博士在f s h 】中则给出了s t 3 ( s ) 和s t 4 ( s ) 的泛中心扩张： 定理3 6 m ( 盈4 ( s ) ，7 r ) 是s t 4 ( s ) 的泛中心扩张，则有盈4 ( s ) = k e r ( t r ) os t 4 ( s ) ， 其中n 2 ( s t 4 ( s ) ) 2k e r ( t r ) = 磴，= s m s + s s ，剐。 f ，柳( 盈3 ( s ) ，丌) 是s 3 ( s ) 的泛中心扩张，则有爵3 ( s ) 兰k e r ( 1 r ) 0 s t 3 ( s ) ，其中 凰( s t 3 ( s ) ) 2k e r ( 7 r ) = s 雪，s t = s m s + s s ，s q 。 第4 章 s t e i n b e r g ( 酉) 李代数s 疋( s ) ，( s t u ：( r ，一，7 ) ) 第4 章s t e i n b e r g ( 酉) 李代数s 亡2 ( s ) ，( s t u 2 ( r ，一，7 ) ) 本章主要我们介绍s t e i n b e r g代数s t 2 ( s ) 和s t e i n b e r g 酉李代数s t u 2 ( r ，一，y ) 的 概念及其一些基本的性质，由于它与第三章的一般的s t e i n b e r g ( 酉) 李代数有着许 多不同的性质，所以我们单独做一章，在本节我们假设s 是含单位元1 非结合 的k 代数，( r ，一) 是含单位元，带有对和自同构一的非结合- 代数。 4 1 s t e i n b e r g 酉李代数s t u 2 ( s ) 本章节我们总假设s 是含单位元的非结合代数，r 是含单位元的带有对合 自同构一的非结合代数，i a ( a ，b ，c ) = ( a b ) c a ( b c ) a ，b ，c s 或者r ，注意在 本章中( a ，b ，c ) 代表两层意思，当a ，b ，c s 时有( 口，b ，c ) = ( a b ) c + c ( 6 0 ) ；而当 a ，b ，c r 时，记( a mb ，c ) = ( a ，b ) c + c ( 6 ，o ) ，其中( 口，b ) = a b 一_ o 定义4 1 s t e i n b e r g 酉李代数s t v a ( r ，一，7 ) 是定义在生