（道路与铁道工程专业论文）压电双材料中界面裂纹与螺位错的相互作用.pdf

摘要 摘要 随着压电材料在工程中的广泛应用，含夹杂、孔洞、裂纹或位错等缺 陷压鬯固体的研究引起了人们的广泛关注，到目前为止许多学者对含单个 缺陷压电材料问题的研究已取得丰富的成果，但对裂纹和位错之间相互作 用问题的研究工作根对较少，而这个工作的开展对理解压电材料的断裂性 能是非常重要的。1 本论文着重对双压电材料中界面裂纹与螺位错的相互作用问题进行了 探讨。在前人工作的基础上，运用镜像法得到半无限大双压电材料以及含 界面圆孔无限大双压电材料中的位错解，利用所得到的两个解和保角变换 技术求得下面问题的解：( 1 ) 含边界面裂纹半无限大双压电材料中的位错； ( 2 ) 含半无限大界面裂纹的双压电介质条中的位错：( 3 ) 含中心界面裂纹的无 限大双压电材料中的位错。 在上面工作的基础上，通过应力强度因子、电位移强度因子和作用在 位错上的像力分析了三种界面裂纹与螺位错的相互作用问题，并给出数值 算例，其中针对不同问题分别着重讨论了材料特性、压电介质条厚度、裂 纹长度和机电耦合效应对相互作用的影响。 糕讯鼬删粕搽瓴咐翩再一 a b s t r a g t a b s t r a c t w i t h i n c r e a s i n g l y w i d e a p p l i c a t i o n o f p i e z o e l e c t r i c m a t e r i a l si n p r a c t i c a l e n g i n e e r i n g ，t h es t u d y o f p i e z o e l e c t r i cs o l i d sw i t hd e f e c t s ，s u c ha si n c l u s i o n s ，c a v i t i e s ， c r a c k so rd i s l o c a t i o n s ，h a sa t t r a c t e dm o r ea n dm o r e a t t e n t i o n u pt on o w , m a n y r e s e a r c h e r sh a v ei n v e s t i g a t e dt h ee l e c t r o e l a s t i cp r o b l e m o f p i e z o e l e c t r i cm e d i a w i t ha s i n g l ed e f e c t l i t t l ea t t e n t i o ni sp a i dt ot h ei n t e r a c t i o na m o n gd e f e c t s h o w e v e r , s u c h p r o b l e mi sv e r yi m p o r t a n tf o ru n d e r s t a n d i n gt h ep h y s i c a lb e h a v i o r so fp i e z o e l e c t r i c m a t e r i a l s 1 1 1 i sd i s s e r t a t i o ni n v e s t i g a t e st h ei n t e r a c t i o nb e t w e e na ni n t e r f a c i a lc r a c ka n da s c r e wd i s l o c a t i o ni n p i e z o e l e c t r i cb i m a t e r i a l b a s e do nt h ee x i s t i n gw o r ki nt h e l i t e r a t u r e ，t h es o l u t i o n st oas e m i i n f i n i t eb i m a t e r i a la n da ni n f i n i t eb i m a t e r i a lw i t h a ni n t e r f a c i a lc y l i n d r i c a lh o l ea r ef i r s td e r i v e du n d e ras c r e wd i s l o c a t i o nb ym e a n so f t h e i m a g em e t h o d u s i n g t h es o l u t i o n so b t a i n e da n d m a p p i n gt e c h n o l o g y , t h e f o l l o w i n gp r o b l e m s a r es o l v e d ： ( 1 ) a ni n t e r f a c i a le d g e c r a c ka n das c r e wd i s l o c a t i o ni nt h es e m i i n f i n i t e p i e z o e l e c t r i cb i - m a t e r i a l ； ( 2 ) t h ep i e z o e l e c t r i cb i - m a t e r i a ls t r i p 、i t l las e m i - i n f i n i t ei n t e r f a c i a lc r a c ka n da s c r e w d i s l o c a t i o n ； ( 3 ) t h ei n f i n i t ep i e z o e l e c t r i cb i - m a t e r i a lw i t haf i n i t e l e n g t hi n t e r f a c i a lc r a c ka n d as c r e wd i s l o c a t i o n w i t ht h ew o r k so b t a i n e da b o v e ，t h ei n t e r a c t i o no fa ni n t e r f a c i a lc r a c ka n das c r e w d i s l o c a t i o ni se x a m i n e db yc o m p u t i n gt h es t r e s si n t e n s i t yf a c t o r , e l e c t r i cd i s p l a c e m e n t i n t e n s i t yf a c t o ra n di m a g ef o m ea c t i n go nt h ed i s l o c a t i o n n u m e r i c a le x a m p l e sa r e g i v e nt o i l l u s t r a t et h ee f f e c t so fm a t e r i a lp r o p e r t i e s ，p i e z o e l e c t r i c s t r i pt h i c k n e s s ， c r a c k l e n g t ha n d e l e c t r o m e c h a n i c a lc o u p l i n g p e r f o r m a n c eo n t h ei n t e r a c t i o n k e yw o r d s ：p i e z o e l e c t r i cb i - m a t e r i a l ，c r a c k ，s c r e wd i s l o c a t i o n ，e l e c t r o - e l a s t i cf i e l d ， i n t e n s i t yf a c t o r , i m a g ef o r c e 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为 获得石家庄铁道学院或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中作了明 确的说明并表示了谢意。 签名：地鏖 日期：坐竺 关于论文使用授权的说明 本人完全了解石家庄铁道学院有关保留、使用学位论文的规定， 即：学院有权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校 可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手 段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：拙煎导师签名：塑! ! 叠日期：型! ：! ! 第一章前言 1 1 课题的背景及意义 第一章前言 压电材料特有的物理特征是实现变形和电场之间的相互耦合。压电体 在机械力的作用下可以产生电场，另一方面，在外加电场的作用下可以产 生变形，前者称为正压电效应( 如图1 1 所示) ，后者称为逆压电效应。压 电材料这种独特的力电耦合行为吸引了广泛的工业应用 2 1 ，例如，在电子 技术方面有谐振加速计、振荡器、谐振电路、电子脉冲探测器：在海洋工 程方面有水声换能器、声纳发射与接受器；在机械工程方面有声发射探测 器、阻尼控制和超声转动装置。另外在医学方面有映像诊断器，也可制成 气氛探测装置用于环保监测，除上述应用之外，集传感和执行于一体的特 有物理属性使压电材料成为智能结构中传感和执行元件的主导材料( 3 一。 一一一= 二二二二二= 一一一 图1 1力电转换的三种效应 目前工程中使用的压电材料主要包括压电晶体、各种改性的压电陶瓷 和压电复合材料。压电复合材料是由压电陶瓷和非压电材料按某种连通方 式和含量复合而成，连通方式是指每相材料在空间分布上自我连通的方式， 它决定着压电复合材料中电场通路和组分材料的分布形式。按n e w n h a m 等人【1 2 1 的定义，连通方式用两个数字表示，第一个数字表示压电相，第二 氮芒 第一章前言 个数字表示非压电相，图1 2 给出几种常见的连通方式。压电复合材料克 服了压电陶瓷的固有脆性，并且有根据工程要求设计性能的优点。然而类 似于结构材料，压电材料在制造和使用过程中，也会产生各种形式的缺陷， 如夹杂、孔洞、裂纹或位错等，这些缺陷在力、电的单独或联合作用下将 产生应力和电场集中，这将导致压电材料及其器件断裂和介电击穿。因而， 开展含缺陷压电复合材料的力电耦合分析对压电器件的可靠性寿命预报以 及揭示因机电耦合效应所导致的新的物理现象具有实际价值和学术意义。 区趟锣匪瓣l棒笸步 ( b ) 1 - 3 型 p z t 环鲁9 弓t 多匠多璃 p z t 合物 图1 2 几种常见的连通方式 1 2 压电材料的基本方程 1 2 1压电方程 一块不受外力作用的压电材料，在外电场作用下，它的电行为可以用 电场强度e 和电位移d ( 或极化强度) 来描述，它们之间关系为： 2 一 第一章前言 b = h e ， ( f ，j = 1 , 2 ，3 )( 1 - 1 ) 式中，坼，称为介电常数，第一个下标表示电位移方向；第二个下标表示电 场强度分量的方向；它是二阶对称张量，单位为c v m 。 同时电场也将使材料发生机械变形，采用电位移e 和应变占来描述这 种力电耦合行为，它们之间的关系是： 岛= a , j e ， ( f - 1 6 , j = l 3 )( 1 2 ) 式中，d 。称为压电应变常数，第一个下标表示电场方向，第二个下标表示 应变方向。 压电材料的力学行为，即它们的应力盯和应变占之间的关系为： q = s o o j ( f ，j 1 - 6 )( 1 3 ) 式中，称为弹性柔顺系数，且邓胪 下面建立压电材料电学行为和力学行为之间的联系，即压电方程。首 先取应力1 7 和电场强度e 为自变量，这时就可以由式( 1 2 ) 和式( 1 3 ) 建立起 压电方程： 8 i = 5 品+ 办e j ( f ，m = l 6 ，j = 1 3 )( 1 4 ) 上式的意义是压电材料的应变是由于它承受的应力和电场两部分影响组 成。式中，第一项s 品吒是表示电场强度为零( 或常数) 时应力对应变的影响： 第二项d 。e ，是电场强度对应变的影响。式中代表电场强度为零( 或常数) 时的弹性柔顺常数，通常称为短路弹性柔顺常数，单位是r n 2 n 。 同样的情况，电位移d 也由应力和电场强度两部分影响组成，即 d f = + 簖e ，( f ，m = 1 6 ，_ ，1 3 ) ( 1 5 ) 上式中的第二项碍e ，是应力为零( 或常数) 的情况下，电场强度造成的电位 移；第一项d t 。o m 是应力造成的电位移。式中砰代表应力为零( 或常数) 时的 介电常数，单位是f m 。 为了适应不同的边界条件，就出现了不同自变量的压电方程表达式。 下面式( 1 6 ) 至( 1 9 ) 为常用的四类表达式： 毛= 颤e ，盯。+ d j 2 e j ，口= 九+ 群e s ( 1 6 ) 0 2 = c i m s m e 唬e l ，d i = e i m 6 m 七k ；e | q 。1 式中，8 。一为压电应力常数，是一个三阶张量，单位f m 2 , 它是应变为恒 定，由电场强度变化所产生的应力变化与电场强度之比，或是在电场强度 恒定时，由应变变化所产生的电位移变化与应变变化之比； 第一章前言 一应变占为零( 或常数) 时的介电常数，称为受夹介电常数； c 乞一电场强度e 为零( 或常数) 时的弹性刚度常数。 白= s 乞d 卅+ g m d ，互= 一g 埘d 卅+ 席d ， ( 1 8 ) 式中，g n 一压电电压常数，是一个三阶张量，单位是m 2 c 。它是电位移 恒定时，应力变化所产生的电场强度变化与应力变化之比，或是应力为恒 定时，电位移变化所产生的应变变化与电位移变化之比； 群一应力盯为零( 或常数) 时介质隔离率，称为自由介质隔离率； s l 一电位移d 为零( 或常数) 时的弹性常数，称为开路弹性柔顺常 数。 仃 = 西二一 m d ，e i = 一h i m + 厍d ， ( 1 - 9 ) 式中：h ， 一压电劲度常数，它是三阶张量，单位是n f 。它是应变恒定时， 由电位移变化所产生的应力变化与电位移变化之比，或电位移为恒定时， 由应变变化所产生的电场强度变化与应变变化之比； c 恐一电位移d 为零( 或常数) 时的弹性刚度常数，称为开路弹性刚 度常数： 厍一应变e 为零( 或常数) 时的介质隔离率，称为受夹介质隔离率。 1 2 2 梯度方程 在小变形假设下，应变张量s 和电场矢量e 可以分别由机械位移矢量u 和电势毋表示为： 勺= ：1+ u j , i ) ( 1 - 1 0 a ) ， e ，= 一声，( 1 1 0 b ) 1 2 3 平衡方程 应力张量盯和电位移矢量d 满足： 盯+ = 0 ，d j ，一q = o ( i - 1 1 ) 式中，表示体力，q 表示体电荷密度。 第一章前言 1 2 4 压电耦合问题的边界条件 压电耦合问题的边界条件包括力学和电学两种，表达式为： “，= 玩在l 上( 1 一1 2 ) h ，= i在0 上 ( 1 - 1 3 ) 破= 。在r 上( 1 一1 4 ) d j = 一季在l 上 ( 1 1 5 ) 式中，上方的波浪线表示边界上电弹变量的给定值，吩为边界外法线矢量n 的分量。 1 3 含缺陷压电材料的研究现状 夹杂、孔洞、裂纹和位错是压电材料中常见的缺陷形式，这些缺陷可 以产生于材料的制备过程中，也可以是在压电器件的使用过程中形成和出 现的。含缺陷压电材料的分析对于揭示缺陷如何影响材料的物理性能是十 分重要的。 1 3 1含夹杂或裂纹压电材料的研究现状 夹杂通常用来模拟材料中的二相颗粒、空洞和复合材料中的纤维。 h o n e i n 等人【u l 首先得到了含圆夹杂横观各向同性压电材料的耦合场； p a k 1 4 1 考虑了同样的问题，并详细分析了材料参数对界面上应力和电场分 布的影响；从一般各向异性的角度出发，w a n g 1 5 】和b e n v e n i s t e 1 6 l 同时独立 地得到了无限大基体中含椭球夹杂的弹性场和电场，这里值得强调的是 w a n g ”1 首次将其结果用于预报压电复合材料的有效电弹材料常数。自上述 开拓性的工作之后，人们研究了各种各样的压电夹杂问题，详细的评述见 文献【1 7 】。 压电材料的断裂研究是压电器件或结构可靠性分析和寿命预报的基 础。p a r t o n t is l 最早考虑了无限大压电体中的的g r i f f i t h 裂纹问题，他认为由 于裂纹面之间距离很小，裂纹面的电学边界条件应该是上下连续的，即裂 纹面上下表面的电势和法向电位移相等。即： 驴+ = 妒一，d ：= d ：( 1 - 1 6 ) 第一章前言 式中的上标“+ ”和“一”分别表示裂纹的上表面和下表面。这种边界条 件称为可导通边界条件( p e r m e a b l eb o u n d a r yc o n d i t i o n ) ，所对应的裂纹称 为导通裂纹( p e r m e a b l ec r a c k ) 。1 9 8 0 年，d e e g 【1 9 】使用位错分布方法研究了 类似于p a r t o n 所分析的问题，但使用了下面的边界条件： 睇= 研= 0( 1 1 7 ) 这源于压电材料的介电常数比裂纹内空气或真空的介电常数高出1 0 0 0 倍 以上的事实，p a k 2 0 】详细讨论了其合理性，在文献中被称为d p 边界条件。 在近十年中，压电材料的断裂力学是材料领域内的热点研究内容之一，阶 段性的进展可参阅文献【2 l 2 5 】。 1 3 2 压电材料中的位错问题 在一般性晶体中，由于晶体某一部分原子排列的错位或由于塑性变形 而使晶体沿某原予面( 滑移面) 产生相对滑动，在原子层错排与未错排或 滑动与未滑动区域的交界处产生的线状晶体缺陷称为位错 2 6 】 ( d i s l o c a t i o n ) ，图1 3 中虚线平面上下两部分晶体相互间发生了位移，其位 移矢量为b ，把在晶体中产生位移的区域与未发生位移区域的界线a b 定 义为位错线，这个位移矢量b 称为布氏矢量( b u r g e r sv e c t o r ) 。在图1 3 ( a ) 中位错线与b 垂直，称为刃型位错( e d g ed i s l o c a t i o n ) ；在图1 3 ( b ) 中位错线 与b 平行，称为螺位错( s c r e wd i s l o c a t i o n ) ，这两种类型都含有的位错称为 混合位错( m i x e dd i s l o c a t i o n ) 。另外位错产生的形变具有这样的性质：当绕 着位错沿任一闭围道转过一圈时，位移矢量将获得有限增量，其量等于 b u r g e r s 矢量b 。 一一 ( a ) 刃型位错 图1 3 位错示意图 ( b ) 螺型位错 第一章前言 对于压电材料来说，位错包括滑移面间的位移间断和电势间断，前者 为传统的弹性位错，而后者称为电势位错1 2 ”。研究压电材料中的位错对于 理解压电介质的机械性能和介电性能是十分重要的，这是因为微缺陷的形 成与位错的稳定性密切相关。 b a r n e t t 和l o t h e l 2 ”研究了各向异性压电材料中位错产生的弹性场和电 场；p a k 2 8 1 分析了受点源f 螺位错、集中力和点电荷) 作用的横观各向同性压 电体的耦合问题，应用复变函数方法得到了弹性场和电场的闭合解析解， 发展弹性问题中的e s h e l b y 方法，求得了作用于位错上p e a c h k o e h l e r 力的 一般形式，另外作为应用，他分析了两个平行螺位错之间的相互作用问题 以及具有应力电荷自由边界的半平面压电介质附近的位错的性能：l i u 等 人1 2 9 1 分析了横观各向同性压电双材料界面附近的位错，发现压电效应的存 在致使软相可以排斥硬相中的位错，这种现象对于非压电材料是不可能出 现的；l i 和d u a n l 3 0 1 研究了任意边界横观各向同性压电体的螺位错。运动 位错耦合场问题的研究工作主要有文献【3 1 3 4 】。 1 3 3 压电介质中位错与裂纹相互作用问题的研究现状 位错是材料中重要的缺陷形式，裂纹附近的位错可以促使或阻止裂纹 扩展，而位错的稳定性依赖于裂纹的构形，研究位错与裂纹的相互作用有 助于理解材料的断裂性能。非压电材料中位错与裂纹的相互作用问题已经 被广泛的研究，文献 3 5 4 5 】是螺位错与各种裂纹相互作用的代表性工作。 相比之下，压电材料中位错与裂纹的分析是非常有限的。l e e 等人【4 6 1 研究 了螺位错与半无限大裂纹的相互作用问题，基于复变函数理论和保角变换 方法推导了问题的解析解，并利用p a k 2 8 1 得到的广义p e a c h k o e h l e r 力的 般形式求得了作用于位错上的力，且分析了螺位错、线力和线电荷对场强 度因子和裂纹扩展力的影响，最后给出了裂纹扩展力与场强度因子之间的 关系式；c h e n 等人【47 】分析了含楔型裂纹和螺位错的压电介质的反平面问 题，利用保角变换方法以及扰动概念得到此问题的解析解，在此基础上深 入分析了楔角和材料参数对作用于位错上的力的影响；z h a n g 等人8 1 讨论 了压电介质中螺位错与有限裂纹的相互作用问题，详细分析了导通边界条 件和d p 边界条件对相互作用的影响；k w o na n dl e e 4 9 】研究了承受远场机 电荷载的压电介质中螺位错与有限长裂纹的相互作用问题，得到作用于位 一7 一 第一章前言 错上的像力以及场强度因子和能量释放率并对其进行了数值分析。 上面提到的工作均限于研究单相压电介质中的位错与裂纹的相互作 用。如第一节所述，压电复合材料以及含有压电元件的机敏结构在工程中 有着广泛的应用，裂纹易于在界面上形成并沿着界面扩展，界砸裂纹与位 错的相互作用是应该被研究的。l i u 等人1 5o 】分析了螺位错与半无限长界面 裂纹之间的相互作用，讨论了材料组合对裂纹尖端屏蔽效应和位错运动趋 势的影响。c h e n 等人【5 ”考虑了楔界面裂纹和螺位错的相互作用，计算了 材料常数的失配对位错像力的影响。 1 4 本文的主要工作 本文研究螺位错与几种界面裂纹的相互作用，类似于已存在的工作， 假定材料是横观各向同性的，工程中使用的多数压电材料具有这样的性能。 具体内容如下： ( 1 ) 螺位错与界面边裂纹的相互作用。应用扰动的概念和镜像法得到了 含位错的半无限大压电双材料的电弹场的解析解，利用此解和保角变换技 术得到了含界面边裂纹和螺位错的压电双材料的电弹场解，在此基础上给 出了场强度因子和作用于位错的像力的显函表达式，并提供了数值算例。 ( 2 ) 条型压电双材料中螺位错与半无限长界面裂纹的相互作用。利用在 ( 1 ) 中得到的含半无限长界面裂纹压电双材料的位错解，使用保角变换方法 推导了含位错和半无限长界面裂纹压电双材料条的解，给出了强度因子和 位错像力的数值结果。 ( 3 ) 螺位错与有限长界面裂纹的相互作用。首先应用镜像法求得了含界 面圆孔压电双材料的位错解，圆心是位于界面上的；然后利用保角变换方 法得到了含有限长界面裂纹压电双材料的位错解，重点分析了材料参数和 裂纹长度对相互作用的影响。 第二章半无限大压电复合介质中的螺位错 第二章 半无限大压电复合介质中的螺位错 本章首先介绍了横观各向同性压电介质反平面问题的一般解法，然后 研究了半平面压电复合介质的螺位错问题，这里自由面和界面是同时存在 的。镜像法被用来得到螺位错产生的电弹场，给出了作用在位错上的像力 的表达式，弹性场和像力的表达式是封闭的和解析的。本章的最后给出了 算例，揭示了压电性对位错性能的影响。 2 1 横观各向同性压电介质的反平面问题 考查的对象为横观各向同性压电介质，它以x y 平面为横观各向同性 面，z 轴垂直于x y 平面。压电方程为： 口h q y 盯一 。口 q lc 1 2 c 1 2c l l c 1 3c i 3 oo oo o0 q 3 00 q 3 00 c ”0 0 0 c 4 4 0 00 q 4 0o0 0 o o 0 0 ( c i l c 1 2 - ) 2 f e l o ooo q 5 0 b = 10 00 e l ，0 0 l 【2jk e 3 1 岛0 o o j n s ” 气 2 g y 2 6 = 2 气 0 o o 0 e l5 o 0 o 0 e 1 5 o 0 e 3 i e 3 i e 3 3 o o 0 f e b ( 2 - 1 ) 【ej 卜oo h + l 0 k 0 | b ( 2 - 2 ) l 00 k 3 3 j 在反平面问题中，位移和电场强度中仅“：和e ，e 存在，并且它们与z 无关 仅是置y 的函数，即： “，= g y = 0 ，“：= “：( z ，y )( 2 3 a ) 疋= e ( x ，y ) ，q = b ( x ，y ) ，e = 0( 2 3 b ) 由式( 2 3 a ) 及机械场的梯度方程式( 1 - 1 0 a ) ，可知应变中仅屯和存在，且 弟一草半尢限大盐电夏台介质中的螺位错 _ - _ _ - _ _ _ _ _ _ _ - - - _ _ - _ - _ 一 1o u 1 o u ， 乞2 j 百，勺2 j 素 ( 2 - 4 ) 利用式( 2 3 b ) 以及电学的梯度方程式( 1 1 0 b ) 得： e = 一警，髟= 一雾 ( 2 s ) 咖 。 咖 、 将式( 2 - 4 ) 和式( 2 5 ) 代入式( 2 1 ) 和式( 2 - 2 ) ，则横观各向同性的压电材料反平 ：； = c “ 霉 + e 。， | | o v c z s ， 阱c “ 蔓卜 陆s ， | 却il 铂斜_ 一 | | o v l 却ll 其它应力分量和电位移分量均为零。式( 2 6 ) 和式( 2 7 ) 可以表示为 三。 锄： 叙 a 西 缸 锄： 勿 a 西 砂 ( 2 - 7 ) ( 2 - 8 ) 若压电体内不存在体力和体电荷，将上式( 2 8 ) 代入平衡方程式( 1 1 1 ) 得： q5 v 杈一一l v 2 = 0 c 4 4 v 2 “：+ q 5 v 2 = 0 由于c 4 4 k l + q 5 2 0 ，得： v 2 ”：= 0 ，v 2 = 0 式中，v 2 表示二维l a p l a c i a n 算子， v 2 = 导+ 萨a 2 式( 2 - 1 0 ) 用矩阵表示为： v 2 u = 0 ：2 c p l = 1j b 以 。，l d 动 办 j 0 0 0 q q 亿 第二章半无限大压电复合介质中的螺位错 式中，u = k ，纠1 ，其中t 表示矩阵的转置。 由式( 2 8 ) ，应力和电位移可用1 1 1 表示为： i t 讧t = g g 季 滔功 t ，= ，q 1 = g 票 ”“7 g 2 慨鼍i(214)kljl 8 l 5一l ” 由式( 2 - 1 2 ) 和复变函数理论可知，i i 可取为任意解析函数的虚部，即： u = i m f ( z )( 2 - 15 ) 式中，f ( z ) = 五( z ) ，( z ) 1 ，z = 工+ 砂为复变量，f - j ，i m 表示取虚部。 由式( 2 - 13 ) 和式( 2 - 15 ) ，应力和电位移可表示为： t y + i t ，= g f z )( 2 - 1 6 ) 将式( 2 - 4 ) 和式( 2 5 ) 用矩阵表示为： k 卜b ：k j 2 a “2 砂 a 西 砂 加： 苏 a 西 苏 ( 2 - 1 7 ) 式中，均= 2 勺( ，= x , y ) 。 式( 2 - 17 ) 可进一步表示为： ， = 黔* 掣m 掣 陋 式中， s y = 心一目 t ( _ ，= ) ( 2 - 1 9 ) 式( 2 - 1 8 ) 可写成： s y + 招，= f ( z )( 2 2 0 ) 由式( 2 1 5 ) 、( 2 1 6 ) g 式( 2 2 0 ) 知，横观各向同性的压电介质反平面问 题归结为寻求满足给定问题边界条件的函数矢量f ( z ) 。 第二章半无限大压电复合介质中的螺位错 2 2 半无限大压电复合介质的螺位错 2 2 1 问题的描述 图2 1 给出的是所考查的半无限大压电复合介质。它由两个不同的四 分之一横观各向同性压电材料1 、2 组成，x - y 平面为材料的各向同性面， 两种材料沿正的x 轴是完好粘结的，垂直于x 轴的边界上的面力和电位移 是零；螺位错b = 6 3 , 州1 位于材料l 的z o ( x o ，y o ) 处，这里b j 和分别表 示弹性位错和电势位错，位错线垂直于材料的各向同性面x - y 。对于此问题， 只有面外的弹性场和面内的电场是耦合的。 问题的边界条件是： u 。( x ，0 + ) = u ：( x ，0 一) ，t l y ( x , o + ) = t ：，( x , o 一) ，o 茎x 0 t 2 ，( o ，y ) = 0 ，y 时，乃由负无穷大趋于零，这表明界面 附近的位错是被界面吸引的；当。c 0 ) 西+ 时，毋由正无穷大趋于零，这表 明界面附近的位错是被界面排斥的。注意到c ：叶是与压电常数西；有关的， 这表明了压电性对位错性能的影响。上述的讨论对理解微裂纹的形成是重 要的。 善 箩 嚷 图2 - 4f v 随岛的变化规律 1 7 第三章界面边裂纹与位错的相互作用 第三章界面边裂纹与位错的相互作用 位错和裂纹是材料中两种重要的缺陷形式，位错可以促使或阻止裂纹 扩展，而裂纹的几何构形对位错的稳定性有着重要的影响，研究位错与裂 纹的相互作用有助于理解材料的断裂性能。从本章开始，将分别对三类不 同的裂纹与螺位错相互作用问题展开探讨。本章考虑了半平面压电双材料 中界面边裂纹与位错之间的相互作用问题。利用上章的解和保角变换技术 得到了问题的解答，并进一步推导了应力强度因子、电位移强度因子和作 用于位错上的像力的计算公式，给出了数值算例并进行了详细的讨论。另 外，从本章的解中可得到几个特殊问题的解。 3 1问题的描述与求解 3 1 1 问题的描述 图3 - 1 给出研究问题的力学模型。研究的对象是半无限大压电复合介 质，它由两种不同的横观各向同性的压电材料l 、2 组成。材料1 、2 分别 占据上下四分之一平面，且沿x 轴上的口x 段完好联结，x - y 平面为它们 的横观各向同性面；材料l 、2 的z = 0 边界上面力和电位移为零，材料1 的z o ( x o ，) 处存在一螺位错b = 【6 3 ，声r ，这里的b 3 和婊示弹性位错和 l y 了 z o 上 材料1 i 一 叫1 二毒；一1 一工 图3 1半平面压电双材料中的裂纹与位错 第三章界面边裂纹与位错的相互作用 电势位错，位错线垂直于各向同性面x - y ：在x 轴上的0 x a 部分是一长 为a 的边裂纹。 问题的边晃条件： u 。( x ，0 + ) = u ：( x ，0 一) ，t j y ( x ，0 + ) = t ：，x ，0 一) ，口x * t l ，( o ，y ) = 0 ，y 0 t 2 ，( o ，_ y ) = 0 ，y s 0 d u l = b ，4 t l y d x - t h d y = 0 ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 - 3 ) ( 3 - 4 ) 裂纹面上引用文献 2 0 】中电边界条件式( 1 1 7 ) ： t 1 ，( x ，0 + ) = t 2 y ( x ，0 一) = 0 ，0 x a ( 3 - 5 ) 3 1 2 保角变换简化力学模型 由3 1 1 节知研究问题为一横观各向同性压电介质的反平面问题。根据 2 ，1 节，我们只需找到满足边界条件式( 3 - 1 ) 一( 3 5 ) 的函数矢量f ( z ) 。一般来 说，对于复杂的裂纹问题直接求f ( z ) 有困难，通常利用保角变换方法将原 平面内具有复杂边界的边界几何图形映射到另一个复平面内成为简单的几 何图形。针对本章边裂纹问题，引入变换函数： 掌= z 2 一口2( 3 6 ) 很明显此变换函数为多值函数，如果z 的值域为整个x y 平面，为得到它 的单值解析分支，需在x 轴上的 口做割破线。本章研究对象为以y 轴、 0 z 口) ；( z = o ，y o ) 变换为( 5 = 0 , r l 一口) ； 裂纹的上表面 ( o x a ，y = 0 + ) 变换为( f = o ，0 r _ a ) ， ( = o ，一口t 1 0 ) ；位错作用点z o 变换为彘 0 x 6 1 ，y = 0 1 变换为 ，如图3 - 2 所示。 r 声 了r 一 一 图3 - 2 保角变换图形 边界条件式( 3 1 ) 至( 3 - 5 ) 变换为： 1 1 1 1 ( f ，o ) = u 2 ( f ，o ) ，t l 目( f ，o ) = t 2 。( f ，0 ) ，o s f 佃 t 培( o ，r t ) = t ：。( o ，叩) = o ， 一 1 0 5 。时，c 2 。对几乎没有影响，这亦来源 喜 墨 o o 善 图3 - 5 c 随岛的变化规律( c 2 i 取不同值) 图3 - 6 0 随岛的变化规律( c 2 l 取不同值) - 2 6 - 第三章界面边裂纹与位错的相互作用 于裂纹的屏蔽效应；当位错在界面附近时，c 2 ，对e 影响很大，且 c 2 。 ( 1 + v ) ( 1 + 2 v ) 时e 为正值，这意味着界面排斥位错，也就是说 言 墨 o ? g o ( d e g r e e ) 图3 - 7 e 随e o 的变化规律( r o 口取不同值) 嚷( d e 辨e ) 图3 - 8 随o o 的变化规律( r o ，口取不同值) c 2 | = 0 5 2 7 第三章界面边裂纹与位错的相互作用 ( 1 + v ) ( 1 + 2 v ) 为g 的临界值，当c 2 t 大于此值时e 里凸型，小于时e 曲线 出现一个拐点，在纯弹性情况下即v = 0 时，c 2 。的临界值为l 。图3 - 7 至图 3 - 9 给出了r o , t 取不同值时，只和e 随岛的变化规律。从图中看出位错的 g k s o s j 【o 图3 - 9 日随o o 的变化规律( r o 口取不同值) c 2 l = 1 5 e 守c o l c 譬 图3 一l o f 随c 2 i 的变化规律 2 8 第三章界面边裂纹与位错的相互作用 位置对只和e 的影响很大。图3 - 1 0 给出在压电和弹性两种情况下，位错 作用于点( t o , 岛) = ( o 5 a ，3 0 。) 时，e 和0 随弹性模量比c 2 。的变化规律。注： ( r o , 岛) 表示以裂纹尖端为坐标原点的极坐标系下位错位置。 3 3 特殊问题的解 3 1 节中得到了压电双材料中的界面边裂纹的位错场，利用它将得到 一些相关己知或未知问题的解。 ( 1 ) 位错作用于界面上时，z = ；，则式( 3 1 3 ) 和式( 3 1 4 ) 简化为： f l ( z ) = - l n ( g + g ：) 。1 g ：b t n ( z 2 一z 0 2 ) 划n ( 厅+ 厅i ) ( 3 - 2 7 ) f 2 ( z ) = i ( g i + g 2 ) - i g l b - n ( z 2 一气2 ) 划n ( 厨+ 厅i ) ( 3 z s ) ( 2 ) 含边裂纹的单相压电材料的解 当g 。= g 2 = g ，转化为单相压电材料的边裂纹问题。由式( 3 - 1 3 ) 或式 ( 3 1 4 ) 得： 心) = 廿z 2 - - 2 0 2 ) 山( 厢+ 耵h 厨+ 再) b ( 3 - 2 9 ) 由式( 3 2 0 ) 得： 一肛l 南j 舶 仔3 当a 一+ 时，式( 3 2 9 ) 和式( 3 3 0 ) 与文献【4 6 】中得到的一致。 ( 3 ) 在本文的解中，令口+ m ，可得到半无限长界面裂纹问题的解，其 中复势函数为： ( z ) = 去 t n ( z 一气) + i i , 21 n ( z i ) 一( i + l i i a ) ，n ( 以+ i ) + n ( 压+ 届) b ( 3 - 3 1 ) f 2 ( z ) = 去( - - 1 2 ) - n ( z 一) 乩( 五+ i ) 山( 以+ 店) b 。2 9 第三章界面边裂纹与位错的相互作用 ( 3 - 3 2 ) 关于该问题s o h 等人【5 0 】已经进行了详细研究。 ( 4 ) 当材料没有压电性时，本文研究问题简化为文献【4 4 】和【3 8 】中纯弹 性材料的相关问题。 第四章压电双材料条中界面裂纹与螺位错的相互作用 第四章压电双材料条中界面裂纹与螺位错的相互作用 压电双材料条是2 - 2 型连通形式压电复合材料和压电类智能结构的基 本力学模型，人们已经对其在均匀力电载荷作用下的反平面断裂问题进行 了分析，但对裂纹位错相互作用的研究尚未见报道。本章考虑了压电双材 料条中半无限长界面裂纹与螺位错的相互作用。利用上章得到的含半无限 长裂纹双压电介质的解和保角变换方法推导了问题的解答，接着利用应力 强度因子、电位移强度因子和作用于位错上的像力研究了裂纹与螺位错的 相互作用。最后给出了数值算例，重点讨论了条的厚度对相互作用的影响。 4 1 问题的描述与求解 4 1 1 问题的描述 图4 1 为沿x 方向无限长的压电双材料条，上、下层分别为厚度为h 的 横观各向同性压电材料l 、2 ，它们沿( x o ，y = 0 ) 完好联接，z ( x y ) 平面 为它们的横观各向同性面。材料l 的z 0 位置存在一螺位错b = 6 3 ，1 1 ；在 材料l 、2 联接面的( x 0 ( 4 1 ) ( 4 2 ) ( 4 - 3 ) ( 4 4 ) 第四章压电双材料条中界面裂纹与螺位错的相互作用 4 1 2 保角变换分析 解析函数所构成的变换，在其导数不为零的点处具有保角的特性，它 的这种特性在解决弹性力学、电学等学科的某些实际问题中，都是一种使 问题化繁为简的重要方法。本节引入变换函数： = p ”m 一1( 4 5 ) 很容易看出( 4 - 5 ) 式为一初等解析函数，且孝( z ) o ，所以它为保角函数。通 过它将图4 - l 变换为图4 - 2 ，即将含半无限长界面裂纹的条型区域变换为 含半无限大界面裂纹的无限大区域。其中联接面( x o ，y = 0 ) 变换为掌平面 内的6 - 正半轴；裂纹尖端f ( o ，0 ) 变换为f ( o ，0 ) ，裂纹上、下表面分别变换为 一1 f 0 , 0 + ) ；两自由面y = 】；i 变换为 一0 0 x 一1 ，0 1 ) ；位错位置z o 变换为 矗= e ”知m 一1 ：材料l 、2 由原来的各占上、下无限长条型区域变换为上、 下无限大区域。 - 吖 材料1纽 z 二 材料2 图4 - 1条型双压电介质图4 - 2 无限大双压电介质 4 1 3 位错产生的电弹场 有了上述的保角变换，我们便可以利用第三章给出的含半无限长界面 裂纹压电双材料的结果得到本章问题的解。 将式( 4 5 ) 代入式( 3 3 1 ) 和式( 3 - 3 2 ) 得到： 坼卜蒯篙：拦蒿1 猫+ 一1 ) 旷i b ， f1 1 1 f 孑= 鬲- = j + ；雨1 + n f 孑忑? r 二i + e t i m 一1i 、。 - 3 2 第四章压电双材料条中界面