（基础数学专业论文）非齐次半线性椭圆型方程正解的存在性和不存在性.pdf

摘要 y6 t ；3 6 1 1 本文考虑有界区域qcr 上带齐次混合边值条件( 即第三边值 问题) 的非齐次半线性椭圆型方程 一a u = 妒+ a ，( $ ) ，。q ， 嘉+ 口钍= o ， z 踟，( 1 ) 让 0 ，o q 正解的存在性和不存在性其中常数口，a 0 , p ( 1 ，描】，n 2 ，p ( 1 ，c o ) ，1sn 2 , f ( x ) 满足下述条件 ( h ) 设，( z ) 工”( q ) ，且使得问题 l - a u = ，( 茁) ，卫n ， i 丽o u + 帆：。，z 砌 存在非平凡的非负解咖( 卫) 在讨论问题( 1 ) 正解的存在性时，假设( h ) 比一般文献中的假设 ，( 。) 0 要弱一些，这是因为在假设( h ) 之下，f ( z ) 可以在n 上变 号 本文主要应用上下解方法，变分方法及山路引理，得到如下结果 定理 设，( 。) 满足条件( h ) ，当n 2 时，p ( 1 ，倦】，而当 1 sn 2 时，p ( 1 ，o 。) ，则存在两个正数”k 0 ，使得当 a ( 0 ，a ) 时，问题( 1 ) 至少存在两个正解，而当a ”时问题( 1 ) 没 有正解 关键词：半线性椭圆型方程；第三边值；正解 a b s t r a c t w ec o n s i d e rt h ee x i s t e n c ea n dn o n e x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rt h e f o l l o w i n gn o n h o m o g e n e o u s s e m i l i n e a re l l i p t i cp r o b l e m a f ( x ) ，z n ， ，z a q ，( 1 ) z n w h e r eqcr 。i sab o u n d e d d o m a i n ，p ( 1 ，糟 ，f o rn 2 ，a n d p ( 1 ，o 。) ，f o r 1s n 2 ，f ( z ) s a t i s f i e st h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n ( h ) i ( x ) l 。( n ) ia n dt h el i n e a rm i x e db o u n d a r yv a l u ep r o b l e m i a u = ，( z ) ， l 爰= o h a sn o n e g a t i v es o l u t i o n 咖( 口) o q z a q ( 2 ) i nt h ed i s c u s s i o no ft h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so ft h ep r o b l e m ( 1 ) ，a s s u m p t i o n ( h ) i sw e a k e rt h a nt h ea s s u m p t i o nf ( x ) 0i nt h em o s to f r e f e r e n c e s s i n c ef ( x ) i sp e r m i t t e dt oc h a n g es i g nu n d e rt h ea s s u m p t i o n ( h ) t h em a i nt o o l su s e di nt h i sp a p e ra r es u b s u p s o l u t i o np r i n c i p l e ，v a r i a t i o n a l a p p r o a c h ，m o u n t a i np a s sl e m m a ie t c t h em a i nr e s u l to b t a i n e di nt h i sp a p e r i sa sf o l l o w s ： t h e o r e ma s s u m et h a t ，( z ) s a t i s f i e s ( h ) a n dt h a tp ( 1 ，等笔】in 2 , p ( 1 ，o 。) ，1 n 2 ，t h e n ，t h e r ee x i s t st w op o s i t i v en u m b e r sa + a 。 0 s u c ht h a tt h ep r o b l e m ( 1 ) h a sa tl e a s tt w op o s i t i v es o l u t i o n sf o ra ( 0 i a ) w h i l eh a sn o p o s i t i v es o l u t i o nf o ra a + k e y w o r d s ：s e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s ；m i x e db o u n d a r yc o n d i t i o n ；p o s j t i v es o l l l t j o n i i 0 扎 = = 口 ， u + o以钆一c 蔷岭 第一章前言 1 1 历史背景 自然科学中很多问题都和半线性椭圆型方程有关，例如非线性扩 散理论、气体的燃烧理论以及星球间的引力平衡定律等等因此对半 线性椭圆方程的研究已引起人们广泛的兴趣【q 一丽关于它的多解性 特别是正解的存在性研究又是偏微分方程理论的一个重要课题，是 近年来一个十分活跃的研究领域它吸引了众多的学者，取得了许多 有价值的结果例如，b r e z i sh ，a n dn i r e n b e r gl 1 1 、t a r a n t e l l og 3 】、 d e n gy h 删、x u - j i aw a n g 4 1 、y o n 鲒e n gg u a n d t o n gl i u t 6 1 等等但 关于半线性椭圆方程正解的存在性研究，人们大多只关注半线性齐次 方程的第一边值l 可题，而关于第三边值问题的文章甚少然而对非齐 次半线性椭圆方程第三边值问题的研究，在理论上和实际应甩上都是 非常有意义的，这是我们工作的出发点 下面简要叙述一下与本文所研究闻题相关的某些历史背景； 微分方程中的变分方法是把微分方程边值问题化为变分问题， 以证明解的存在，解的个数及近似解的求法 历史上第一个变分问题是由牛顿( i n e w t o n ) 提出并解决的在他 的巨著自然哲学的数学原理( 1 6 8 7 年) 中研究了在轴向以常速 度运动而使运动阻力最小的旋转益面必须具有的形状，约翰伯努利 ( j o h nb e r n o u h i ) 1 6 9 6 年在教师学报上提出了著名的最速下降线 问题，引起了许多数学家的兴趣牛顿、莱布尼茨( g w l e i b n i z ) 、约 翰伯努利及他的哥哥詹姆士( j a m s b e r n o u l l i ) 得到了正确的解答( 圆 滚线) 因此，约翰- 伯努利常被认为是变分法的发明者到了1 8 世 纪，由于欧拉( l e 1 e r ) 、拉格朗日( j l l a g r a n g e ) 等人的工作，逐渐 形成了一个解决数学物理问题的数学分支学科一变分法 古典变分法的基本内容是确定泛函的极值及极值点在一定条件 下，确定泛函的极值点与确定微分方程边值问题的解这两个问题是可 以互相转化的也就是说，微分方程边值问题常常可以化为变分问题 来研究因此，变分方法就成为研究微分方程边值问题的一种基本方 法 2 0 世纪6 0 年代以后，由于电子计算机的发展，基于变分方法发 展起来的求解偏微分方程的有限元素法，在物理力学及工程技术中 得到了广泛的应用，已经成为计算数学的一个重要分支学科 近几十年来，近代变分方法( 又称大范围变分方法或临界点理论) ， 得到了迅速的发展1 9 7 3 年，由a m b r o s e t t ia 和r a b i n o w i t zp h 提 出了山路引理所谓山路引理就是把求解泛函的临界点给出了一个 形象的说明从盆地中心出发到盆地外部，必有一条道路从周围山脉 的最低点越过，这个最低点是一个鞍点也是一个临界点山路引理及 它的各种变形在非线性微分方程问题的研究中取得的一系列重要结 果，吸引了不少学者加入到临界点理论的研究中来，致使临界点理论 及其应用研究变得十分活跃 1 2 本文的主要工作 本文主要利用变分方法及山路引理结合上下解方法讨论非齐次 半线性椭圆方程正解的存在性和多解性这里，让我们考虑下面的有 界区域上带齐次混合边值条件的非齐次半线性椭圆型问题 卜缸= 妒+ a m ) ， $ q ， 丽a u + 伽= 0 茹鳓，( i 2 ) l 壮 0 ， 茹q ， 其中常数a ，a o ，函数，扣) 俨( q ) ，p ( 1 ，等朔，当n 2 时， p ( 1 ，o o ) ，当n = 1 ，2 时 关于非齐次方程第一边值问题，在文献i t 中，b r e z i s 和n i r e n b e r g 考虑了下面的极小化问题 删( 赫舻。j f n ( 刚2 一，u ) 如p = 丽n + 2 ( 1 2 1 ) 众所周知，如果，= 0 ，( 1 2 1 ) 的极小值不能达到，当f 0 ，( 12 1 ) 的 极小值是可以达到t a x a n t e _ l o 由此受到启发，对下述问题 卜如卅m ) ， 蚝q ， m 2 ) 【u 2 0 ， $ 锄 他研究了泛函 ，( “) = i n f v “ 2 d z 一两1l 卜r 1 如一l 托出，“嘲 ) ， 其中1 ps 麓他证明了 i ) 闻题( 1 2 2 ) 至少有一个弱解如果，0 ，且 盎，诎 2 时，p ( 1 ，糟】，而当 1 n 2 时。p ( 1 ，o o ) ，则在两个正数a a 。 0 ，使得当a ( o ，a ) 时，问题( 1 2 ) 至少存在两个正解，而当a ”时，问题( 1 2 ) 没有正 解 本文的安排如下： 在第二章1 中，我们利用上下解的方法，得到了对v p 1 ，当 a ( 0 ， ) 时，问题( 1 2 ) 的第一个正解( 即最小正解) 的存在性， 其中九 0 是某个常数第二章2 主要讨论了次临界增长情形即 p ( 1 ，簧墨) ，当n 2 ，p ( 1 ，。o ) ，当n = l ，2 时第二个正解的存在性， 所使用的主要工具是变分方法及山路引理，其主要恩想来源于文献 【1 】， 4 1 及f 1 0 】，第二章3 是关于不存在性的结果在第三章中，我们讨 论了临界增长情形即p = 等等，当n 2 时，问题( 1 2 ) 的第二个正解 的存在性 1 3 若干预备知识 1 3 1 可微泛函 定义1 3 1 设e 是b a n a c h 空间，j ：e 叶置是e 上的泛函，若 对让，妒e ，极限 l i m 坐塑仁型 ( 1 3 1 ) t - 0 亡 、 存在，则称j 在u 处g a t e a u x 可微，极限( 1 3 1 ) 称为工在u 处( 沿方向 妒) 的g a t e a u x 微分，记为d 1 0 ，访，即 d l ( u , ) = 妇坐掣 ( 1 3 2 ) 定义1 3 2 设e 是b a n a c h 空间，j ：e _ r 是e 上的泛函， 让e ，如果存在a ( 铝) e ( 即a ( 钍) 是e 上的线性有界泛函) 使得 l ( u + 妒) = j ( 缸) + + ( t ，劝，( 1 3 3 ) 4 其中 = a ( u ) ( 妒) 表示泛函a ( 珏) 在妒处的值，( u ，妒) = o ( r l 妒1 1 ) ， 即 l i r a 。峰俨- 0 ( 1 s - 4 ) 则称泛函，在钍处f r e c h e t 可微，a ( 曲称为，在t 处的f r e c h e t 导数， 记为a ( u ) = ，( t ) ，a ( 让) 妒= ，( t ) 妒称为j 在u 处的f r e c h e t 微分于是 ( 1 3 3 ) 可以写成 ，扣+ 妒) = ，( u ) + + o ( 1 l 妒1 1 ) ( 1 3 5 ) 如果j 对任意u e 都是f r e c h e t 可微的，则记为，g 1 ( 曰，兄) 注；若一个泛函f r e c h e t 可微。则一定是g a t e a u x 可微的 1 3 2 s o b o l e v 空间日1 ( q ) 设qcr n 是个有界开区域，定义s o b o l e v 空间 h 1 ( q ) = t 口( q ) ；v u 驴( n ) ，v = ( u ；。，珏。) t ， 定义内积 ( u ，t ，) l 2 - n ( v u v 口+ u v ) d z ， ( 1 3 6 ) 则日1 ( j ) 构成一个h i l b e r t 空间。由该内积产生的范数为 删l ：( l ( f v u l 2 + u 2 ) 如) = ( 刚) ( 1 _ 3 7 ) 我们将用硪( q ) 表示c 矿( q ) 在i 范数下的完备化 引理1 3 1 在s o b o l e v 空间日。( q ) 中定义范数i l il i 为u = ( 尼1 w 1 2 + 口正m u 2 ) m ，v u 口1 ( q ) ，则川等价于s o b o l e v 空间h l ( f 1 ) 中 的范数”i i ，也就是存在不依赖于u 的正常数a ，岛，成立不等式 白i l u l l 日- ( n ) si i u l l ls 岛| i u l l 口- ( n ) ，v 让日1 ( q ) ( 1 3 8 ) 证明：由迹定理【8 】可知，存在常数c ，使得 瓣( 铲) g ( n 酬2 + n 札2 ) ， ( 1 删 5 因此 川u i l l 2 = n i v 砧1 2 + a 铲s ( 1 + a g ) ( 上l v u l 2 + n 铲) ， 即存在常数伤 0 ，使i l | sc * l l 1 1 日t ( n ) 接下来，我们证明存在一常数q 0 ，满足a 1 日t ( n ) s1 1 1 鲇1 1 1 为 此，引入特征值问题 i 一t 上= 地，z q 娶+ 鲫二岍a o 矗1 0 设a 。是问题( 1 3 1 0 ) 的第一特征值，则 。 n 哪 地铬型) 因而 枢业铲，日l ( q ) o ) 则有 i 1 1 i l l 兰( n i v u l 。+ a j r 舰矿) t ，2 ( ；上l v u l 2l ；厶l v u l 2 + 詈鞠矿) 叫2 ( 犰咐+ 鲁，n 铲) “2 c , ( o , v 肌i n 札2 ) v 2 其中c i = 陋 ；，每m ，引理1 3 - i 正- , m 1 3 3 上下解与比较原理州 用比较原理求解椭圆方程边值问题的关键在于能否找到上下解， 一旦找到了上下解，不仅证明了边值问题解的存在性，而且还得到解 的某种估计式 6 为了要叙述上f 解方法，让我们来考虑半线性椭圆型方程的边值 问题的一般形式 乩b u 豢? 篡， s m ， i= 9 ( 茁) ，o a q ， 、。 其中 l u = 一；叠8 出) 哪0 2 哟u + 耋6 ( $ ) 器，石q ， b t = a ( 茹) 嚣+ 6 ( 茁) t ， 茹枫 目满足 1 。l 是n 上- - 致椭圆算子，勰c a + 。， 2 。 口材( z ) ，b i ( x ) ，d ( z ) c e ( 固( o 0 1 ) 这一节中，我们讨论了问题( 1 2 ) 的第一个正解的存在性，它对 应于相应的齐次方程的平凡解，主要结果是 定理2 1 设p ( 1 ，o o ) ，( 茹) 满足条件( 日) ，则存在常数k 0 ， 使得当a ( 0 ，九) 时，问题( 1 2 ) 至少存在一个最小正解u m | n ，且当 - + 0 ，让雾1 “- 0 证明t设丛= a u 0 0 ) ，卫西，其中t 0 ( z ) 是问题( 1 2 3 ) 的一个 非平凡的非负解，不难验证监( 髫) 是问题( 1 2 ) 的非负下解为了应用 上下解方法【9 】去得到( 1 2 ) 的正解，我们需要找到问题( 1 2 ) 的满足 瓦( 茁) 型( z ) ，z 孬的上解豇( $ ) 为此，我们令u l ( z ) 是边值问题 掣纛。，：i ： ， l 掣栅砘倒q 喁j j 的解，显然u l ( z ) 0 ，茁西 下面我们要验证。适当选择常数蝎 0 ，可使得西( z ) = 硒u - ( 茹) 就是问题( 1 2 ) 的一个上解 事实上，因为 雠兰兰 偿。1 0 f f , 翻1 向 瞄名) 【丽+ 旆2 o ，。 若选择满足 毛= 肘i 【m 謦讲( 茁) + m 警，( 茹) 】， nn 且令 a m o = 哪= m 删a x u ( x ) + m 卿a x f ( 嚣) 1 砖， 则不难验证当a 【0 ，a 胁) 时，函数硪动= 墒啦( 砷满足 一暂2e 尹+ a ，( 霉) ( 2 ：i ；3 ) 即西( z ) 为( 1 , 2 ) 的一个上解 更进一步令a m = 丽嗣m 灭。珂，知= m i n a m , a m o 则当。 a o ，忱孬因而u ( 。) 0 ，比豆选 择a 。= s u p a o 甜f ( 0 ，a o ) 时问题( 1 2 ) 至少有一个正解) 则当 a ( o ，a ) 问题( 1 2 ) 至少有一个正懈用心r 讯表示在上下解方法中 以笪。a 牡o ( z ) 为初始值迭代所得的解，则仿【1 1 】可以证明俨( 墨) 为最 小懈即( 1 2 ) 的任何解钍( 茹) o 都满足u 掣n 让( 茹) 最后，我们证明当a _ + 0 时，u 乒n _ + 0 事实上，对垤 0 ，可选 取炳满足 m i 聊嗡+ 鬻m ) 】，并且尬m 戤u t ( 茁) 令 = 孵= 【搿嵋( 引+ m ；印a r c f ( 茁) 尼 z n$ n 一 则当a o ，a 舰) 时，函数霞l ( 。) = 蝇牡。( 留) 是问题( 1 1 ) 的一个上解取 扣曲，) ， 则当a 知( ) 时，就有丝( z ) = a 咖( 茹) 炳牡l ( 茹) = 豇l ( 茹) 所以当a 知( 5 ) 时，有0 a 让o ( 茹) su j ：i l n s 炳t l 忙) s ，此即证明了当a - + 0 时， 解 2 2 第二个正解的存在性( 1 0 ，我们有 ，( 茹，口) i e v p + g ( ) ，( 2 2 8 ) 1 2 忡，口) i 南伊“+ g ( s ) ， ( 2 删 其中e ( s ) 为某一常数 由( 2 , 2 7 ) 一( 2 2 9 ) 得 旷1 士) 似啦上( 寿+ 触讲托+ 0 ”州“黜 取定8 充分小，可推导出 上) 1 g ( 1 + i i , 【j 1 1 日) ( 2 肌) 再利用( 2 2 5 ) ，( 2 2 i i ) 可得 f i 可i i h a 由于日( n ) l l 口+ 1 c a ) ，1 口 o o ，n 2 ，1 0 ，可以得到。垤 o ，j 知( e ) ，当a 0 ， ( 2 2 1 2 ) e 慨、7 ， 这里岛= 口日( q ) i , , 1 1 日r ) 又显然 圣( o ) = 0 ( 2 2 1 3 ) 令 帅) = 叩咖) = 勃训日一五脚州“) 一娜t + + l i ( ) t 1 4 i f ( _ ， ) i 洲”+ 2 g ， i f ( 托圳s 方而+ 饺t 产( 耻2 ；) 因此 仲) 0 由于 蚴) = 从胁卜寿译1 一脚，陋+ ；厶c w 2 d s ， 而”4 是垂( ”) 的临界点，所以 o = ( 西( 矿) ，”：) = a d v * 1 2 如+ 厶a ( w 二) 2 d s ，”一= m i n ( ”，o ) 利用引理1 3 1 ，得到u 二兰0 ，所以”0 ，再由强极值原理可得u + 0 2 3 不存在性( p 1 ) 这一节我们要讨论问题( 1 2 ) 正解的不存在性我们有 定理2 3 设p ( 1 ，o o ) ，则存在a + a 。，使当a a + 时，问题f 1 2 ) 没有正解 证明：考虑特征值问题 f a 妒：a 妒，：r q ， 箬佃妒_ 0 删q 归叫 1 设a 是i ：述特征问题的第一特征值，妒( ，) 是相应的第一特征函数， 易知a ， 0 ，妒l ( _ ：) 0 ，n 不妨对妒i ( 搿) 进行规范成1 2 妒- ( 叫以z = 1 没t z ( r ) 0 ，：，s2 ，是问题( 1 2 ) 对应于a o 的一个正解用妒- ( z ) 乘 ( 1 2 ) 的两边，并在i 2 上积分得 五一地妒- ( z ) = 五u ，妒- ( 茹) 出+ a 二，妒出 ( 2 3 2 ) 经简单计算后可得 上( a “ 一让9 ) 妒出= a 五，妒出 ( 2 3 3 ) 鉴于口( z ) 三a l t t 一有一个极大值q ( t 。) = ( 鲁) 舟( p 一1 ) 三q 从而由 ( 2 3 3 ) 可得估计 a 上，妒- d xsg 互i p - ( 写) 如= g ( 2 3 4 ) 设髓。( 。) 是( 1 2 3 ) 的非负解，根据假设( 日) 易知 五，妒t d x = a ，二u 。p 出 o ， 于是就有估计 a 2 时，问题( 1 2 1 ) 的第二个 正解的存在性这种情形下，嵌入失去紧性，p s 条件是不成立的 这是本章主要克服的困难本章的主要结果是 定理3 1 设a ( 0 ， + ) ，p = 而n + 2 ，则问题( 1 2 ) 至少存在两个正解 我们分若干步来给出定理3 1 的证明 第一步：我们考虑问题 一a u = + ，( z ，“) t o u + n u ：0 ， g n 让 0 正解的存在性 定义泛函 m ) = 。陟札卜两1 i up + l - - f ( 舭) 卜+ ；让2 d s ， 令 c = i n fs u p ，( 妒( 吡 p p 拒( 0 ，1 ) 。 s = 叫i n f 。嘞 n i v 让1 2 出；o , u i 州如= ) 易知当q = r n 时，s 由函数u ( z ) = g ( 1 + i x l 。) 一等达到，而当q 为有 界区域时s 不可达关于，k u ) 假定满足 1 i m 虹尘：n u - 4 0 “ 、 l i m 丝型：o “o t 且a ( x ) 充分小，使得 对$ q 一致 对茹n 一致， ( 3 2 ) ( 3 3 ) a t = i i f 帆( r v 圳2 ( 咖砷卅a n 铲幽。如= 1 ) o ( 3 4 ) 1 7 l3 g 5 若q z z z 时九瘴数m ，“) 我们还假设已满足下述条件：存在函数，( n ) 使 得 ，( m ，) ，( “) ( 】，v z u ，n p ，( ：f ) m ，( 3 5 ) 其中w 是q 中一非空开集。且t “n 蕊2 咖，o q c 2 ，常数m ( ) 第二步：我i f 需要下面的两个引理 引理3 1 设 豁竿卜1 ( 高) 孚卜如， e ， 则c 0 是够小时， n f c z ，屯，。r f ( 石- = 篙蔷) 出， 常数a 。 所以 k 拶州) 以。r f ( 者斋) 抵 最后我们验证 棚l i m1 - 水r f ( 高斋) 虻o o 慨 矾1 水n f ( 斋斋) 出= 券序( 筛) 扩1 打 学f 叫2 f 1 4 ( 高) 孚卜如 其中叫是( 一1 ) 维单位球的面积，r = e x l 2 s 显然，( 31 8 ) 等价于 ! 粤3 e 盟尹z 刷一1 7 2f k i 5 - 7 1 - 7 v 。2 , 、 一2 7 2 s 一1 d s = 。( 3 1 9 ) 常数r 0 ，当r 芝1 ，由( 3 6 ) 可知( 3 1 8 ) 成立 当r 7 1 时，我们只须考虑 孙e 掣e ；f ( 高) 孚卜如 吲c e 掣f ( c e 午) e 一警 2 0 当s 斗( ) ，l 五i 是有界的，由( 3 6 ) 町知，( 3 1 8 ) 同佯成立 综l ， 】： 嘉s 2 ，即r 2v v 。墨b 。wc q ( 3 。) 当p 1 ，及 cq 填q t ( ) 是个充分小的数，口 0 是+ 个充分大的数，w = * 娜t ( r ) n ( t l ，( 3 2 2 ) 就是条件( ：j 5 ) 最后让我们来验证( 3 6 ) 显然( y ，+ l h ) ”一2 。x 一 ”0 搿n ， ，0 令_ r ( ) = 口6 x ，( ) ， 则 其中x ，( w ) 为定义在，= ( b ，+ o 。) 上的特征泛函因而 f ( ”) = f ，( s ) 如卢 o ，”b - 口，卢为一正常数 f ( ( 高) 孚) 揖 辄满足( ( 高) 竿卜地 因此有 吖5 f ( ( 高) 学卜蛇纠一扩难， 当_ 0 ，右边一+ 0 0 可得 训l i r a + e 孚f 5 f ( c 篙，学) s 拈恤 即( 3 6 ) 成立。 综上所述，我们完成了定理31 的证明 参考文献 1 b l e z i sh ，a t l ( 1n i r ( 1 n b ( u gl ，p o s i t i v es o l u t i o n so f n o n l i n 祭e l l i p t i cc q “a t i o n 8 i n v o l v i n g 【r i t i c a ls o b o l e ve x p o n e n t s ，c o m m p u r ea p p l m a t h ，3 6 ( 1 9 8 3 ) ， 1 3 7 4 7 7 2 d e n gy i nb i n g ，e x i s t e n c e o f m u l t i p l ep o s t i v e s o l u t i o n sf o r 一= a u + u 硒+ ，( z ) ，a ( t am a t h e m a t i cs i n i c a ，n e w s e r i e s1 9 9 3 ，v 0 1 9 ，n o 3 ，p p - 3 11 _ 3 2 0 3 t a r a n t e l l o ，g ，o nn o n h o m o g e n e o u se l l i p t i ce q u a t i o n si n v o l v i n g c r i t i c a ls o b o l e v e x p o n e n t ，a m i n s t h e i r p o i n c a r ea n a l y s en o n l i n e a r ，9 ( 1 9 9 2 ) ，n o ，3 ，2 8 1 。 3 0 4 4 x u j i aw a n g ，n e u m a n np r o b l e m so f s e m i l i n e a re q u i p t i ce q u a t i o n si n v o l v i n gc r i t i c a ls o b o l e ve x p o n e n t s ，j d e ，9 3 ( 1 9 9 1 ) ，2 8 3 - 3 1 0 - 5 x i p i n gz h u ，ap e r t u r b a t i o nr e s u l to np o s i t i v ee n t i r es o l u t i o n so f as e m i l i n e a rd l i p t i ce q u a t i o n ，j ，d e 9 2 ( 1 9 9 1 ) ，1 6 3 1 7 8 6 y o n g e n gg u a n dt o n gl i u ，ap r i o re s t i m a t ea n de x i s t e n c eo fp o s t i v es o l u 。 t i o n so fs e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o nw i t ht h et h i r db o u n d a r yv a l u ep r o b - l e m s y s t e m ss c i a n dc o m p l e x i t y ，1 4 ( 2 0 0 1 ) ，n o 。4 ，3 8 8 3 9 8 7 陈亚浙，吴兰成，二阶椭圆型方程与椭圆型方程组，科学出版 社，1 9 9 7 8 g i l b a r gd a n dp r u d i n g e rn s ，二阶椭圆型偏微分方程，上海科学 技术出版社，1 9 8 1 9 叶其孝，李正元，反应扩散方程引论，科学出版社，1 9 9 0 1 l 】郭大均，非线性泛函分析，山东科学技术出版社，2 0 0 1 11 a l l l i ) r ( ) s t j i ，t ia b r ( z i sh 。a n dc e r a m ig ，c o m b i n me f f e c t so f c o n e a r ea n d c ( j l l w xn o n - l i n e a r i t i e si ns o n i ce l l i p t i cp r o b l e m s ，j f u u e t a n a l ，1 2 2 ( 1 9 9 4 ) ， 5 i f 一5 4 置 2 3 1 2 i 。融蜘址t w oi m s i ( ，i v ( 、s o l u t i o n sf b ra ：l a , s so f1 2 ( ) l t h o n l o g t ! n ( 2 0 ) 1 sd i l l ) t i ( 、t i l l “i o n s ，i ) i f f e i ( ! i l l ，i a li n t e g r a le q t l a t i o n s ，1 0 ( 1 9 9 7 ) ，6 0 9 6 2 4 1 3 1 m a w h i nl l i l ( 1m w i l h m l c r i t i c a lp o i n tt h e o r ya n di f a m i l t o n i a ns y s t e l n n ，s i ) ii n g e rv c ll a g ，n e wy o r k ，1 9 8 9 1 4 d e n g ，yb ，e x i s t e n c e o fm u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n so fi n h o m o g e n e o u s s e m i l i n e a re l l i i ) t i cp r o b l e mi n v o l v i n gc r i t i c a le x p o n e n t s ，c o m m p a r t i a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，1 7 ( 1 9 9 2 ) ，n o ，1 - 2 ，3 3 5 3 1 5 z h u ，x p a n dz h o u ，h s ，e x i s t e n c eo fm u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n so f i n h o m o g e n e o u s s e m i l i n e a re l l i p t i cp