（基础数学专业论文）taf代数的表示.pdf

摘要 设4 = 墼( a ，协) 是t a f 代效( 三角逼近有限维的代数) ，p ：a 础g 厂 是h i l b e r t 空间咒上的套表示，其中n = 工帕印( 棚是个莓本文的主要结果是： 1 下列条件等价： ( i ) k c r p 是完全交不可约理想 ( i i ) o + = m ，硭= 【h i ，并且冗= g o h p ( ) 2 如果户( 月包含非零紧算子。则 ( i ) 相似于个完全原子套； ( i i ) 户( 棚在a 冶中弱稠密 3 如果p ( 一4 ) 是闭集，且e u a a 使得p ( e ) 是紧算子，则p ( e ) 可以写 成p ( u e a ) 中有限个秩一算子的和 4 如果户( 棚是闭集，则p ( 且) 中的紧算子集合是刎g 厂的闭理想 以上结果把e l i a sk s t 8 0 u l i s j u s t i n p e t e r s 在文【2 0 1 中的相应结果由强极大t a p 代数推广到t a p 代数上 关键词：t a f 代数，套表示，紧算子，完全原子套，秩一算子 a b s t r a c t l e tab et a f a l g e b r aa n dp ：a _ a l g nb e 也n e s tr e p r e s e n t a t i o nw h e r en = 胁p ( 4 ) i 8an e s t kt h i sp a p e r ，w eo b t a i nt h ef o l l o w i n gr e 札l m ： 1 t h ef o l l o w i n ga r ee q u i v a l e n t ： ( i ) 七e r pi sac o m p l e c t e l ym e e ti r r e d u c i b l ei d e a l 0 i ) 讹脯e x i s tn o n - z e r ov e c t o r s9 ，h 咒8 0 t h a to + = 翻，贮= h ia n d 冗= g o l 1 2 i fp c o n t a i n sn o n - z e r oc o m p a c to p e r a t o r s ，t h e n ( i ) i ss i m i l a rt oac o m p l e t e l ya t o m i cn e s t ； ( i i ) p ( 4 ) i s * - d e n s ei n 4 l g a r 3 l e t p ( 4 ) b e c l o s e d ，a n d l e t e u 4 b e a n e l e m e n t o f 一4 s o t h a t p ( e ) i s a c o m p a c t o p e r a t o r t h e n ，( e ) 伽b ee x p r e s s e d 酗t h e 咖o ff i n i t e l ym a l l yl a n ko n eo p e r a t o r si n p ( u n a ) 4 l e tp ( 棚b ec l o s e d t h e nt h ec o m p a c to p e r a t o r si np f o r mad o s e di d e a lo f a l g n t h e & b o m 8r e s u l t sg e n e r a l i z et h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t sw r i t t e nb ye l i a sk a t s o u l i sa n d j u s t i nr p e t e r si n 【2 0 jf r o ms t r o n g l ym a x i m a lt a fa l g e b r at ot a fa l g e b r a k e yw o r d s ：t a fa l g e b r a ，n e s tr e p r e s e n t a t i o n ，c o m p a c to p e r a t o r ，c o m p l e t e l y a t o m i cn e s t ，r a u ko n eo p e r a t o r y 1 0 0 1 3 9 7 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在 本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发 表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 己在论文中作了明确的说明。 研究生签名：昱立卜 彬年月彳日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅 或上网公布本学位论文的全部或部分内容，可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的全部或部分内容。对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名：重量矽“年钼名目研究生签名：王盐矽“年钼名日 第一章引言和背景 在本文中，爿是指r i l b e r t 空间，i 表示单位元，算子p 表示t 的伴随算子子空间 都是指闭子空间，投影指正交投影，对于投影p ，用p 上表示其正交补 r 是个全序套 设名是个b a n a 血空间，z 上的所有有界线性算子做成的集合连同它的加法、乘 法和数乘作成个b a n a c h 代数，我们把这个代数记为b ) 很显然，咒上的所有有界线 性算子艿( 叼也作成个b a n a c h 代数 设闭子空间二胃，算子a b ( h ) ，若a l 厶则称l 是a 的不变子空问 在个偏序集( ，) 中，如果任意两个元素x , y 都有上确界2 v y 和下确界g a y ， 则称偏序集( c ，) 为个格这时霉v y 和互a y 分别叫做x 与y 的并和交如果c 的 任意非空子集s 都有上确界v 3 和下确界a , s ，则称( ，) 是个完备格个格满足分 配恒等式 z a 国v z ) = p a y ) v 扛a 力 或 z v ( y a 力= ( o v y ) a ( 善v 力 ( 比，y ，2 c ) ，则称( c ，) 是个分配格个格( c ，) ，对所有的 l h c ： a 有 八( v 职) = v 八，( a ) f e l l e a e a 或 v ( 八取) = 八v f ( x ) t e l l e a e a 成立，就说这个格( c ，s ) 是完全分配格 2 0 世纪2 0 年代，y o nn e u m a n n 为了给新生的量子力学建立数学基础，提出了现在 被称为y o nn e u m a n n 代数的算子代甄随后发现，这一代数在描绘量子力学时是有缺陷 的1 9 4 3 年，g e l f a n d 和n a i m a r k 为了弥补这个缺陷，提出更广的一类算子代数c 一代 数【1 4 y o nn e m n a n n 代数和c 一代数都是自伴代数，但个不可回避的现象是自伴代 数的子代数却不一定仍是自伴代数例如 a ：卅，a 1 2 1 ：a qe c 【d 2 l n 2 2j 是一个c 一代数，而其子代数 日= 卦州) 1 硕士论文 引言和背景 是个非自伴的三角代数这就是说要想研究清楚算子代数只借助于自伴代数的理论和 工具是难以凑效的 2 0 世纪6 0 年代，k a d i s o n ，s i n g e r r i n g r o s e 和h a l m o s ，先后提出了几种非自伴的 算子代数：三角代数【2 1 】套代数f 3 6 】自反代数【1 6 等 个代数s 为舀( 咒) 的子代效，记 p = ：a s ) ， d = 5 f j 矿 其中d 称为s 的对角如果d 为8 ( 咒) 中的极大交换v o nn e u m a n n 代数( e pm 蝴) ， 称5 为三角代数三角代数的有限维模型是上三角矩阵代数，而无限维情形则是比较复 杂的 在三角代数的基础上，1 9 6 3 年，s i n g e r 和r i n g r o s e 提出了套代数的概念在给出套代 数定义之前，先给出了套的概念设c 是h 的具有全序关系的族子空间，称c 是套，如 果满足下列条件： ( 1 ) ( 0 ) ，钾 ( 2 ) 对c 的任意一族子空间t 最 t n ，总有v 女a b c ，八e a 晟c ，其中v 表示子 空j 可的闭线性扩张， 表示集合交 记 a l g l ：= t t b ( 冗) l t l c 工，l c ， 则a 1 9 c 是弱闭的b a n a c h 代数易见，a l g f 是含有单位元的弱闭代数如果c 是套，则 称a l g c 是套代魏套代数的有限维模型是准上三角矩阵代数，而无限维情形同三角代数 一样是比较复杂的 对应的，设一4 是嚣( h ) 的子代甄记 l a t a = 纠l 是h 的闭子空间且对所有的t a ，t l q 对于l 口t 一4 的任意闭子空问l m ，定义l v m 是厶u m 的闭线性扩张，l a m 是l n m ，那么玩4 构成个格 显然，( o ) 、7 - 1 l a t a , 饿g c ( 包含有单位元i ) 是8 ( “) 的子代数 因为极大三角代数的子空间格是个套，所以三角代数与套代数有密切关系下面我 们举几个例子说明两者之间的区别与关系 2 例1 是三角代数， 例2 是套代数，而 不是交换的 例3 肛 口1 1 三 肚旷芝a 1 2 肚 i a l l 乏0 肛旷： 既是套代数，又是三角代数 a 1 3a 1 4 口o o a 4 嚣a 3 4 0 1 4 4 a 1 3a 1 4 o a s 口硝 a s s a 3 4 n “ 00 o - 2 30 o 0 0 , 4 4 a 1 3 口m a mo , 2 4 a s s 口驰 0 , 4 4 删 1 ：c j 1 9 7 1 ，h a l m o s 提出了自反代数的概念设b ( u ) 是一算子代数，称一4 是自反的， 如果一4 = a l g l a t a ；对偶的，称省上的子空间格c 是自反的。如果c = l a t a l g 一般地，算子代数的自反性定义如下 设5 b ( u ) 是子空间，记 m ，s = t b ( u ) ：t x 瓦比h ， 其中，瓦表示由 ：s 研生成的闭子空间称s 是自反的，如果s = 皿侈易知， j 跪，s 是弱闭算子空间，因此自反算子空间必是弱闭的此外可以证明，如果一4 是z 上的 含单位元的算子代数，那么 | a = a l g l a t a 3 1、，1 鲥 嘶 硕士论文引言和背景 因此对于这类代数，其自反性在上述两种定义下是一致的 在有限维咒空间，t b ( ) 总是存在特征值和特征向量，而当“是无限维情形时 t 8 ( 却可以没有特征向量人们因此提出了不变子空间问题：是否每个t 8 ( h ) 都有非平凡的( 即异于( 0 ) 或者“) 不变子空间? 传递代数和约化代数都是与不变子空 间问题有关的算子代数在引进自反代数的概念之后，人们发现传递代数和约化代数问题 都可以写成有关甚至等价的自反代数问题这说明自反代数与著名的尚未解决的不变子 空间同题有密切的联系 容易证明a l 夕c 是自反的，因此自反代数等价于子空问格代数在i q a l b e r t 空间上自 伴的自反算子代数是v o nn e u m a n n 代数；反之，任意v o nn e u m a n n 代数都是自反的阻4 】 自伴算子代数的理论目前比较成熟而非自伴算子代数的研究却进展缓慢，其主要原因 在于 运算的不封闭性以及不变子空间格结构的复杂性从某种意义下套代数是非自伴 算子代数中最简单，但它却既有实际意义又有理论价值的代数，它在控制论和自动化都有 应用【1 5 l ，并且在三角代数占有重要地位自6 0 年代开始研究套代数以来，人们也在其 它诸如完全分配格代数、原子b o o l e a n 格代数、c s l 代数( 交换子空间格代数) c d c s l 代数( 完全分配的交换子空间格代数) ，三角代数等非自伴代数上取得了大量的研究成 果f 1 】【4 】f 12 】【1 9 】【2 2 j 【2 4 】尽管如此，非t t 伴t l 反代数的发展仍然不完善，其中很多有意义 的问题等待解决 设p 是且上的个菲退化表示，且 l a t p ( 一4 ) = ( o ) ，咒 ， 则称p 是不可约表示设，是一4 的一个理想，若存在一4 的某个不可约表示丌，使 得了= 七e r ，r ，则称7 是本原理想不可约表示和它的核即本原理想，在c 一代数理论 中占据十分重要的地位例如，在c 一代数中，理想格的构造是由本原理想空间的h u l l - k e r n e l 拓扑决定理想格与本原理想空间的闭子集格之问是对应的，且每个理想是包 含它的本原理想的交集 1 9 9 3 年，为了弥补c 一代数在研究动力系统方面的不足和缺陷，l a m o u r u e x 【2 3 提 出套表示和套本原理想的概念 设p 是代数4 上的个非退化表示，如果l s t p ( a ) 是一个套，则称p 是个套表示 若存在一4 的某个套表示 j r ，使得，= k e r _ ，r ，则称7 是套本原理想大量事实表明- 套表 示的地位相当于不可约表示在c 一代数的地位，这是由l a l n o u r u ( ! x 在【2 3 】中发现的我 们知道，c 一代数理论中的表示大多数情况都假设为表示，而个表示，如果又是套 表示的话，它一定是不可约表示在具有逼近单位元的b a n a c h 代数上的套表示必然是一 个拓扑循环表示【2 3 】n a a g e r u p 1 7 证明了：在c 一代数中，个循环表示相似于个 4 确士论文引言和背景 表示因此，对非自伴算子代数上的套表示p 来说，p i 加十永远可以看作表示，在后面 定理的证明中，我们常常运用这一事实 个非自伴算子代效可能没有本原理想，但套本原理想是很普遍的i a k l n o u r u e ：x 赋予 套本原理想上的拓扑是h u l l - k e r n e l 拓扑，使得闭集的格同构于个理想的格，且每个理 想是包含它的套本原理想的交集同时，l a m o u r u e ! x 引出了交不可约理想的概念 设五了，是b 柚a c h 代数一4 的理想，z 只且z j c ，若z = 歹n 有 z = 了或者z ；， 则称z 是交不可约理想 交不可约理想和套本原理想之间的关系在 2 3 1 中已经有了探讨在【2 5 】中，不同算子 代数情形下，给出下面四个结果，通过这些结果可以看出交不可约理想和套本原理想之问 的密切关系 ( 1 ) 设，是可分c 一代数的闭理想，则了是套本原理想搴= 争了是本原理想搴= 亭， 是素理想 = 争了是交不可约理想 ( 2 ) 设歹是a l g n n ：的闭理想，这里是某个钾的闭子空间套，a z 是与相 应的套代数，是咒上的紧算子代数，则，是套本原理想 = 争了是交不可约理想 ( 3 ) 设j 是某个圆盘代数a c a ) 的闭理想，这里a ( a ) 是在单位圆盘内部解析， 在单位匮盘上连续的复变函数的9 一代数，则歹是套本原理想 = 净了是交不可约 理想 ( 4 ) 设歹是4 = 磊1 0 死o o ，这里是巧x 力上三角矩阵代数，则歹 是套本原理想 = 争歹是交不可约理想 表示和本原理想是算子代数中基本的概念和研究对象，若对这些问题有所改进或推 广，将会推动一系列问题的改进和解决目前，国际上一些研究非自伴代数，自伴代数和动 力系统的数学家正联合起来研究这些问题，可以预见有关套表示，套本原理想等的引入和 推广会使算子代数呈现出一个新的面貌，并进步推动自伴算子代数的研究我们努力追 踪最新文献( 有些下载的文章是尚未发表的) ，力争在这些热点问题上做些工作 自从l a m o u r u e x 的文章问世以来，许多数学家将套表示的概念移至其它的非自伴代 数上去，尤其是t a f 代数 6 i n 9 1 1 8 3 1 j 个逼近有限维矿一代数( 简记为a f 代数) 4 ，是指存在递增的有限维子代数 列 a 。 ，使得u 。a 在a 中稠，即 u 。4 ，i = 一4 例如，紧算子空间尼( 咒) ，( e ，1 ) 器1 是咒的正交集，r 是投影：l 自o b ，则r 是c ( “) 5 硕士论文引言和背景 的逼进单位元 r 咒( 何) r 是有限维口一代数，且 咒) = ( u 器l r ) 晶) ， 这说明咒) 是个a f 代觌在上述定义中的子代数序列中，对每个4 i ，可以选择个 矩阵单元系统 吃) 咖这里每个哆是f 学1 甜中元素的和对于个a f 代数，它的理 想和这个代数模去其理想的商代数都是a f 代数f 3 0 】 设a 是a f 代数的子代数，a n 是m a s a , ( 极大交换自伴代数) ，则称4 为t a f 代 数类似自伴a f 代数可以由有限维代数逼近的理论，非自伴t a f 代数可以由三角有限 维代数逼近【3 5 】对于一列递增的t a f 代数，其逼近序列的闭包是一个t a f 代数【3 5 】 个t a f 代数一4 甜是强极大的t a f 代数，如果存在个有限维俨一代数序 列似) 器1 ，使得“= c 丽，并且n 编是玩中极大三角代数这个定义等价于4 + 在“中稠密【2 9 】 4 l 】 4 2 】 在代数分类方面，理想的结构是个重要的因素t a f 代数有许多闭双边理想，这些 理想集经过理想的f j 3 = 扩张和理想的交，形成个完备格【5 1 给出t a f 代数的理想格是一 个分配格在【3 3 】中，对个无限维上三角矩阵代数张量积来说，所有理想和交不可约理 想是一致的在【9 】中，作者给出了t a f 代数中理想是交不可约理想的个准则：个理 想是交不可约理想的充要条件是代数模去理想的商代数是本原的【1 0 1 中给出：对t a f 代数的谱在代数同构映射下是不变量作者在【6 】中得到：当 是强极大t a f 代数时 每个交不可约理想是套本原理想相反地，是否每个套本原理想是交不可约理想呢? 作 者在1 9 】中给了肯定回答【3 5 】给出个强极大t a f 代数是个极大t a f 代数 若 工= n 五，z 五， 存在口a ，使得z = z ，则称z 是完全交不可约理想此定义等价于对4 的理想格中 元素z 有且只有一个后继元五i x 0 完全交不可约理想在强极大t a f 代数的分类理论 中占据十分重要的位置 5 】【7 】【l0 】 设一4 8 ( 钾) 是个代数，能否在本原理想空间p n m ( 棚中引入h u l l - k e r n d 拓扑 的关键是p n m ( 棚中的本原理想是否为交不可约理想在【2 3 | 中l a m o u r t t e x 给出几种 代数的本原理想，证明了它们都是交不可约理想这样，在这些本原理想空间尸一m ( 棚= 七e r p l p 是套表示) 中都可引入h u l l - k 瞰l d 拓扑在【2 0 】中，作者证明了，当8 ( ) 是 个强极大t a f 代数，p 是套表示，则七e 即是交不可约理想显然，这样在p m ( 棚就 可以引入h u l l - k e z n e ! 拓扑，使p r 溉( 一成为个恰当的拓扑空间我们在这里将【2 0 】中 强极大t a f 代数放宽成t a f 代数 6 硕士论文 引言和背景 设一t b ( h ) 是个代数，p ：一4 a o n 是个套表示，如果p ( 4 ) 包含非零紧算 子，则p ( 一4 ) sa l g a f 但当4 是个强极大t a f 代数时，作者f 2 0 】证明了不是个 任意的亳一定相似于个完全原子套，而且石i 万“。| = a l g a l , 这表明p 几乎是满射我 们将这一结果推广到t a f 代效上 秩一算子是结构最简单的一类算子，它既是算子代数理论的研究对象又是研究算子 代数的重要工具在f 2 j 7 】中讨论了套代数c s l 代数和三角代数中有限秩算予的可分解 性所谓有限秩算子的可分解性是指某个算子代数中的有限秩算子是否能写成该代数中 的有限个秩一算之和在【2 0 】中，作者证明了，当g 占( h ) 是个强极大t a - ”代效， p ( 锄是闭的如果e 认a ，使得p ( e ) 是紧算子，p ( e ) 就可以写成p ( u 圯a ) 中有限 个秩一算子的和进步表明：p ( 棚中的紧算子集合在套代数a l g 厂中是个闭理想在 这里我们将这一结果推广到t a f 代数上 7 第二章套表示、紧算子和交不可约理想 2 1 预备知识 设卫，f 是h 的非零元素，定义咒上秩一算子z o y 为： ( o 剪) ( z ) = ( 二，) z 对任意z 咒 下面给出关于。oy 的几个简单性质： 对比，矿咒，缸8 ( h ) ，则 ( 。o z ) ( ”o3 ) = ( p ，$ ) ( 。固! ，) ； p o f ) = o g u ( x o y ) = u ( x ) 0 拼 ( 重o y ) u = z 0 矿( ) ； i ko 耖0 = i i z l l l l y l l 设n m ( 1 ) 的前继元定义为。= v m 厂：m 2 ) ； ( 2 ) n 的后继元定义为； = a m i v ：mg ) 易见- + 若n - ，则称n o n - 为的原子若v n e _ ：n 加= 咒，则称为完 全原子套 若对任意n 厂都有d i m ( e m ) 1 ，则称为极大套 在爿中，子空间和该空间上的投影是一一对应的，因此常用子空间所对应的投影来 代替该子空间空间e f 写为投影e f ，空间e 盛f 写为投影e 茹f 对于交换 子空间格来说e 和五| - 是无法比较的，但是e n e ，特别地，在套 厂中有 e e 一= e s e 引理2 1 1 p 叫在冗中，算子oz 是秩一投影算子的充要条件是z 是单位向量 8 硕士论文 套表示紧算子和交不可约理想 定理2 1 2 p s i 设一4 是7 l 上的啪e 僦埘m 代数，则一4 是由a 中投影算子的线性范 数闭包 引理2 1 3 口嗷一4 是t a f 代数，z 是一4 的闭理想，则 矿= 碱者d i m ( z + 厕= 1 这里? 是所有真包含z 的理想的交集 定义2 1 1 聊设4 是c ，一代数，p ：_ 一b ( 咒) 是同态，若p 是单射，则称p 是一 个忠实表示 定理2 1 4 穹陂一4 是t a f 代数，了是的理想，则下面条件等价： 何存在一个忠实表示r ：c ( 州刀z 3 ( x ) ，使得r ( 州了) 在某个套代数里弱稠 这里c 是指c 包络 o i ) j 是交不可约理想 定义2 1 2 s o 设 8 ( 是算予代数，用彳表示a 的一次交换子，简称交换子， 爿= t b ( “) ：t a = a t 4 ) ； 类似地，r 表示一4 的二次交换子 引理2 1 5 设p ：一4 一a 妇 厂是h 上t a f 4 愎a = 墼( a ，协) 的一个套表示，p 是4 的对角a n 一4 上的表示如果p 是“一4 n 4 ) ”的一个原子，则p ( a l g q ) p p i 证明：设p ：a b ( x ) 是套表示，假定a t = 胁p ( 一4 ) ，又 p ( 4 ) ca l g ( l a t p ( a ) ) = a l 口 厂， 因此可设 p ：4 a z 因为p 是p ( a n 力) ”的个原子，则存在个n 使得p 是p ( a 。n ) ”的个原子- 假定玩= 4 f i n ，则在玩中存在个原子序列，使得p 包含在p ( m ) 的下确界中 事实上，因为p 是4 的对角a n 4 上的$ 表示，所以p ( 孤) 是个投影算子，对玩中 任意的如，p ( p ( p n ) ) 为0 或者p 因为所有如的和是i ，所以对于任意的h ，一定有 p ( p ( h ) ) = p ， 9 硕士话文套表示，譬鼻干和交不可约理想 即是指p 包含在p ( h ) 的下确界中因为玩是自伴代数，所以艮的弱闭包是v o b n e u - m a n n 代数，由定理2 1 2 ，有 a i k 砌= p h 在p 的作用下取极限，有 p ( 棚矗 r 如= p i 定如1 3 刀设一4 是t a f 代数，d 是一4 的对角，则称 v v ) = 叫e4 i 埘= ( t u ) 2 ，t i ，d w d ，t t ，d t t ，d 是a 内d 的正规化子设e ，e v 刍( 一4 ) ，如果，= 印，p 是对角口中的某个投影，则称， 是e 的从属元 本文中， 胪= 卜l e 加= 胪i e 引理2 ，1 6 设p ：4 一a z g 厂是竹上t a f 代数一4 = 鱼( a ，忱) 的套表示，p 是一4 的 对角a r i a 上的表示如果p 是p ( 4 n ) “的一个原子，则出竹妒( 加= 1 证明：设g p 何) ，则有 【p ( 4 ) 夕】 厂 因为p 是个套表示，8 ( h ) 含有单位元i ，所以有 埘【p ( 4 ) 刎，【p ( 4 ) 9 1 = 【胡。坞， 其中，闭空间 毛c p ( 咒) 上事实上，令x = 【p ( 棚9 j ，由于它属于套，因此与p - - i p j , 交 换，并且x = + 矿x 对于任意a a l g a l , 由引理2 1 5 有 于是p x = l q ，从而有 p a g = p a p g = c g 屿c p ( h ) 上 设 g ，h p ( “) ，【p ( 棚鲥= m o 肘；， p ( 一4 ) 叫= f 纠o ， 因为p ( 4 ) 刎e ，p ( 一4 ) 川 厂，所以 p ( 4 ) 们c 【p ) 州或者【p ( 4 ) 1c 【p ( 一4 ) 鲥， 1 0 硕士论文 套表示，繁罩子和交不可约理恕 不妨设【p ( a ) 翻cl o ( a ) a ，即有 p l o ( a ) 咖+ f - p ( ) 别，p p ( a n p + 矿【p ( 棚叫p 上， 从而有 p l o ( a ) 咖p 【p ( 4 ) 叫p p z p ( 4 ) 夕】矿sf - 【p ( 一4 ) h i p l ， 进而有 g p l o ( a ) g p p p c a ) h p ， 因此存在- 4 0 a ，使得g = 知( 山) ，则有 d i m p ( 7 4 ) = 1 引理2 1 7 设p ：4 一a z g 厂是7 - 1 上似f 代数a = 丛翌( a ，协) 的一个套表示如 果冗刎g 厂是秩一算子，且 u p ( a ) = p ( 棚冗= 倪， 则存在非零元g ，h 咒使得o + = m ，贮= m ，并且冗= 9 固 证明：因为宠是秩一算子，所以可令 冗= 9 0 h ，g ，h 7 4 ， 又p ( a ) u = c u ，则有 l o ( a ) g = l q ， 即【g 】是p ( 棚的不变子空间又因为p ：一4 a l g f 是个套表示，所以有m ，因 此有0 + = m 设 矿：4 一+ a 幻。= ( a i g 厂) ，矿一【p ) 】， 因为n p ( a ) - - c u ，所以 陋( a ) 捌= 又l r 贮= ( p ) 一，所以 i 苎 ，1 从而有 【 j 胪， 进而有 贮= 嘲 1 1 啊士论文 套表示蘩算亍和交不可约理想 2 2 主要结果及其证明 本章中，把e l i a sk a t s o u l i s 和j u s t i nrp e t e r s 在【2 0 】的相应结果由强极大t a f 代 数推广到t a f 代数上，定理2 2 1 覆盖了【2 0 】中定理2 3 在【2 5 】中，作者讨论了可分c 一代数紧算子代数、圆盘代数和有限维代数上套表 示的套本原理想，本定理给出t a f 代效上套表示的套本原理想在非自伴代数中，一个 表示般不是表示所以在下面定理中，我们假定p 是v o n n e u m a n n 代数一4 n 上 的表示 定理2 2 1 设p ：一4 一训是咒上烈f 代数a = 蛰( a ，协) 的套表示，若p 是4 的对角n ，4 上的表示，则下列条件等价： 倒k e r p 是完全交不可约理想 俐0 + = l q ，芒= h i ，并且冗= g o h p ( 4 ) 证明：假定歹= k e r p 是完全交不可约理想，则，+ 真包含，倘若不然，由引 理2 1 3 ，则有 i f + = ， 因为7 + 是所有真包含了的理想的交集，所以 ，= i f + = n 五，7 c 兀，口a 又因为了是完全交不可约理想，所以存在某个n a 使得 了= 五， 这与j 足完全交不可约理想相矛盾因此，由引理2 1 3 存在个包含了的闭理想了+ ， 使得 d i m ( 3 f j 、= 1 因为极限代数的理想是诱导的，所以必然存在个矩阵单位e k ，n ，使得 ee j + i f ， 进而，在a ，i 竹中，除了e 的某个从属元外其余的从属元在p 作用下都为零，否则 d i m ( i f 4 i f ) 1 事实上，若 ，厶是e 的两个从属元，满足 p ( a ) o ，p ( y 1 ) 0 ， 1 2 确士论文 套表示紧鼻子和变不可约理想 从而， ，2 不属于歹设 ，l = e p t ，厶= e n ， 其中p l ，见是对角a n a 。中的投影由于7 牛是一4 闭理想，则有 ，尼，+ ， 又，1 ，2 ，所以有 d i m ( y + 1 刀1 因此，可以构造对角矩阵单元的递减序列 p p 。， g p 。，其中a ，嗷a ，i n ，使 得a 叼是e 的个从属元且有 p 慨e q l ) = p ( e ) ( 1 ) 由于p 是a 的对角a n 上的 表示，所以 p 慨) ) i 。， p ( 儡) 。，鼽，岱a ，t 竹 是自伴投影算子的递减序列，从而分男日强收敛于投影p 和q 下面证明p 和q 是与可 交换的一维投影算子 首先，由( 1 ) 式有 p p ( e ) q = p ( e ) ， 且p 和q 是非零元对个给定的i n ，对任意后 叠件如+ 七= a + 鼢a p 矾柚= ( 0 ，i + k 从而有 即) p = c p ， 因此有 p p ( a ) p = c p ， 尤其有p 是p n ) “的个原子倘若不然，不妨设g p 是投影算子，q p ( a n a * ) ”， 因为 p ( a n a * ) ”= 厕泖， 所以存在逼近序列 使得 d ( n 口) ，p ( 4 n 甜) ， 口2 咿( 0 a ) ， 1 3 硕士论文 套表示、繁鼻子和交不可约理想 从而有 q - - - - p q p 2 咿( 口口) p 2 警幻= 却， 其中k ，a c ，这与g 。，协 i 劲，其中a ，儡a ，i ，l ，使 得a e q ：i 是e 个从属无且有 l i p c p , e q l ) 0 = l i p ( e ) l l 由于p 是4 的对角a n a * 上的表示，所以协) i 扫， 岱 i 孤，其中a ，佛a ，i n 是 自伴投影算子的递减序列，从而分别强收敛于投影p 和q 下面将证明，投影p 就是p ( a n ) ”中原子 首先证明p 是非零投影事实上，序列 p 慨) p ( e ) p ( 舔) 勘强收敛于p p ( e ) q ，因为p ( e ) 是紧算子，所以序列( p 慨) p ( e ) 户( 啦) 龟。范数收敛于p p ( e ) q ，从而，对所有i n l i p ( p t ) p ( e ) p ( 啦) l i = l l p ( b ) 0 ；i i p ( e ) l i 进而有 i p ( p ) p ( e ) p ( q ) l l = j i p ( e ) l l ， 这说明p 是非零投影 对给定的i n ，对任意后n p 件 a 鼽+ = ( 飘舳 从而有 即( a 扫= 印， 进而有 即( 4 ) p = 印， 尤其有p 是p ( 一4n 力) ”的个原子由引理2 1 6 ，p 是与可交换的一维投影算子 1 7 啊士论文 值城中含有鬻鼻子的套表示 3 2 主要结果及其证明 本章中，把e l i a sk a t s o u l i s 和j u s t i nmp e t e r s 在【2 0 】的相应结果由强极大t a f 代 数推广到t a f 代效上，定理3 2 1 覆盖了【2 0 】中定理3 2 如果套表示的值域中含有紧算子，由下面定理，我们可以看出这样的套表示几乎是满 射的，它所涉及的套相似个完全原子套这种性质使我们很好地了解套表示的结构 定理3 2 1 设一4 是t a f 代敷，p ：a - 饿g 厂是一个套表示，如果p ( 棚包含非零紧算 子。则 御相似一个完全原子套i 例p ( 棚在饿夕 厂中弱稠密 证明：( i ) 由【1 7 】中定理3 1 3 ，p 相似个套表示a 且声是的对角a n 4 上的 表示不妨设s 是可逆元使得对任意a 一4 有 声( a ) = 却( 棚 l 由引理3 1 5 ，声n ) ”包含个原子由f 1 8 】中命题3 5 的r e m a r k 知，声n ，4 ) ” 是一个完全原子v o l ln e u m a n n 代数由引理2 1 6 ，声( 一4n ) ”中的原子是一维的因 为声( a n 岸) “是一个m a s a , 所以由引理3 1 1 有一 p ( a n a ) ”= ( 一4 n ，4 ) ”) = 声( _ n ，4 ) 对任意的 s es a r s “，卢( a ) 声( 一4 n ，4 ) ，a 一4 ，n 厂， 为证s 厂与声( 4 n ) “可交换，只需要证 删声( 4 n ) 事实上， t s n = s p t 铲s n 矿= s 氓n 伊 又因为 p ( a n r ) a 冶a f n a 幻册= 帅= 厂， 所以 p ( a ) = p ( a ) ， 1 8 硕士论文 值域中合有紧算子的套表示 从而有 声( a ) s l v s l = s n p ( a | i 一 又 s n s 4 声( a j = s n 争s p l = s n p l 矿。 即证得 s a f s 。声( 4 n ) ， 从而证明s a f s “与声n 衍) ”可交换，所以 s j ( 声( 4 n 4 ) ”) = 声( a n ，4 ) ” 又因为声n ) ”是个完全原子v o nn e u m a n n 代数，所以s a f s 。是个完全原子套。 即 厂相似个完全原子套 ( i i ) 因为声( 4n 4 ) ”是8 ( “) 的个完全原子m a s a 所以声( 棚的弱闭包石i ：矿 包含个m a s a ，因为l a t p ( a ) = a f , 所以 因