（基础数学专业论文）等距和紧性两类问题.pdf

日u品 泛函分析是在上世纪三十年代才初步形成的一个数学分支它是应用广 泛，生机勃勃的新兴学科我喜欢数学，对泛函分析这门学问更是充满好 奇因此，我有强烈的愿望提高自己在此方面的学术水平定先生是泛函界 名师，我梦寐以求能成为他的的学生我很幸运，梦想得以实现来到了南 开大学学习，我耳目一新南开大学是学术的天地，在这里，我看见了导师的 严谨治学的风范，我体会到了导师在学术研究中永保青春，我也感觉到了导 师希望学生成龙的强烈心情导师领导的讨论班对于我们的学习研究有至 关重要的作用在这里，导师的引导，启发象阳光雨露，我们的想法如雨后春 笋我深知自己智力有限，因此加倍努力转眼毕业即将来临，收获的季节来 到我把我所得的想法整理出来，作为毕业论文献给我敬爱的导师，献给南 开大学，感谢导师和南开大学对我的教导和培养我自知自己水平所限，难免 有不足和错误，希望得到各位专家，学者的批评，鞭策和鼓励我将以此为起 点，更加努力 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名： 百灵之，料f ， o 争年月印日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 俊乏，木未j 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 瘫部5 年( 最长5 年，可少于5 年) 秘密l o 年( 最长l o 年，可少于l o 年) 机密2 0 年( 最长2 0 年，可少于2 0 年) 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学 位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名： 百安毒 享歹 d 岁 年6 月印日 摘要 近百年来，等距算子一直是空间理论和算子理论中最括跃的研究对象之 一。论文的第一章叙述了有关等距算子的表现和延拓问题的结论。 本文于1 1 节综述了等距表现和延拓问题的研究背景。 本文于1 2 节给出了关于五* 型空间的单位球面之问的满等距映射的表现 定理。 在1 3 节，给出了关于扩，( 1 p o o ，p 2 ) 型空间的单位球面之间的 满等距映射的表现定理。 在1 4 节我们将证明实a l p 型空间的单位球面之间的( 未必满) 的等距 映射可以延拓为定义在全空间上的实线性等距。 本文于1 5 节证明了s ( q ) 型空间的满等距只要将口点映为p 点，则必为线 性算子。 本文1 6 节给出了一般赋范线性空间的单位球面间的等距可延拓整个空 间上的等距的一些充分条件 本文1 7 节，我们给出一些使得p 空间( 具有平移不变距离得度量线性空 问) 闯的等距是仿射的条件 本文第：章讨论非完备局部凸空间中集合的相对弱紧、相对弱列紧，相 对可数紧相对凸紧概念的关系。 本文2 1 节。我们证明在可度量局部凸空闻中相对弱可数紧、相对弱紧 和相对弱列紧这三个概念是等价的。由此还得到了一些结果。 本文2 2 节，我们给出了局部凸空间中相对( 弱) 可数紧或相对( 弱) 凸紧集成为相对弱紧集的一个充分条件以及由此得到的一些结果。 2 a b s t r a c t i t h ei s e t r ko p e r a t o rh 铺b e e nb e i n go n eo ft h em o s ta c t i v es u b j e c t 8 i ns p a c et h e o 叮8 n do p e r a t o rt h e o r yd u r i n g 如el a s to n eh u n d r e dy e a r s i n c h a p 衙1o f t l l i 8d i 跚嘲t i o n8 t a t e st h e 嘟t l l t so nt h ei s o m e t r i cp r o b l 锄 i n c t i o n1 1 ，w e 跚衄盯i 舱t h eb a 础擎o i l n d t h es t u c 岍岫go ft h ei 8 0 - m e t r i c c 七a l s i o np m b l 鼬 h8 e c t i o n1 2w eg i 垤t h e 聪雄鲫她七i o n t 蛐o f t h eo n l i 吕0 础：t r i c o p e r a t o rb e 七w e t h e u n i t8 p h e r 器o f t h e 工咖e i i ls e c t i o n1 3 ，w eg | v e t h er e p r e 8 e n t a t i o n t h 删o f t h e 伽i s o m e t r i c o p e r a t o r b e t w e 姐t h e u n i ts p h e 】倦o f t h e 护，( 1 p o o ，p 2 ) 泖e h 鼬c t i o n l 4 ，砒8 h b l l 醇、r e t b e p r 0 0 t h e 蝤u l t t h a t t h e i s _ 蛐近乞0 m a p 她油煳t k 衄懒0 f 州艘哪潲( 1 ， 嘲伽b e 曲删e d t o b e a 舱b l l i n 龉r j 8 删珂d 面n e do n t h e w h o l e8 p 珊 1 1 1 c 乞1 5 ，啪8 h 佣七h a 主t h e i 跚曲酏m a p 咖g 缸m t h e 印a 鹏s ( n ) 伽t 0 1 l h e 嗍s ( i s a l i 瑚r 嘲加唧i t m a p 8 蛐口t o 口 h8 e c t i o n1 6 ，w e 西v es o m es l l f 丘d e n t 咖d i t i o nf b fai s o m e 乞r yb e 拥，e 啦 也e u n i t 印b e r 皓o f 衲g e n 觚l n o 珊e d s p a c 鹤c 衄b e 麟乞e n d e d t o b e a l 妇 i s o m e t r yd e 6 n e do nt h ew h o l e8 p a c e h c t j o n1 7 ，w e 西、，es 0 i n e 咖d i t i o 璐u n d e rw h i c ht h ei s o m e t r yb e 押e e n p s p a c 船( t h en l e t r i cl i n e a r8 p a c e s 而t ht r a i l s l a t i o ni n v a r i a n t 掘t a n c e ) i s a 伍n e ，w h i c hg e r a l i z e ds o m ec l a s s i c a lr 酷u l t s k c h a p t e r 2 ，w e d 栅t h er e l 撕o b 曲e e t h e c o n 傀p t 8 0 f w e a l 【蒯- a t i v e 3 c o m p a c t n e s 8 ，w e a kr e l a t i v e8 e q u e n t i a lc o m p a c t n e s s ，w e a kr d a t i v ec o u n t a b l e c o m p a c t n e s 88 j 1 dw e a kr e l a c i v ec o n v e xe o m d a c t n e 8 8 i n8 e c t i o n2 1 w es h a w t h a t88 e t i n a m e t r i z a b k l o c a u yc o n v e ( 8 p a c e i 8 w e a 吣r e l a t i v d yo o u n t a b l yc o m p a c tj f a n d 训yi f i t 主saw 嘲d yf e 】a t i v e 】y 啪p a c t i fa n d 衄l yi fi ti 8a w e a ：i 【l yr e l a t i v e l ys e q u e n t i a l l yc a m p 8 c ta n ds o m e o o r l s e q u e n c e i n8 e c t i o n2 - 2 ，w e 舀8s u 伍c i e n tc o n d i t i o nf o rt h e ( w e 瑚y ) r e l a “y e j y c o u n t a b l yo o m p a c ts e ti nal o c a u yc o n v 秫8 p a c et ob ea ( w e a k l y ) r d a t i v e l y c o m 辫t8 e t 衄d 88 衄c i 衄0 0 n d i t i o f o r 8 砌心yr e 鼬州y e o n 咖m p a c t 8 e t g i na 1 0 c d u yc o n v 既8 p a c e e t ob e8 矾a l d y r e l a t i v e l yc o m p a c ts e t ，t h e l l w e 舀v es o m ec o n s e q u e n c e c h a p t e r0 i n t r o d u c t i o n l e t ( e ，如) b ea m e t r i c8 p a c e ，w h e r e 如i s t h e d i s t 眦c e 缸n c t i o no n e a n 诂d 仇e 打百ti s am a p p i n gb e t w e e nt w om e t r i cs p a d 簋( e ，如) a n d ( f d f ) t h a tp r e s e r v e sd i s t a n c 鹤，t h a ti s ， 靠( 死，珊) = 如( z ，暑，) f o ra l lz ，e k 脚j s a l s oc 8 l l e d 讯聊e 一c 口p e m 幻r8 n ds u r j e c t i v ei 8 0 m e t 】了括8 0 m e - t i m 簏伪l l e dc d 硼佰e 瓣t m r i 对b r m 8 “o 儿i ft h e r e d 8 t s8s u r j e c t i v ei 8 0 m e t 叮 b e t w e e nt w om e t d c8 p a o 瞄，t h e nt h e 栅om e t r i c 印a o 嘴a r er e g 肛d e da 8t h e s 唧e s 0 ，t h es t u d y i s o m e t 一i 8c o n d u c i v et 0t h er e c o g n i t i o no fn e w m “cs p 8 伪蚰dt ot h ec l 鹪s i 6 c a t i o no fm e t r i c8 p a c e s r e c a m n gt h eh i 8 t o r y m a t h e m a t i c s ，w ec a nk n ，t h 8 tt h es t u d yo ft h ei s o m e t r i c 叩e r a t o r sh a 3 b e e nb e i n ga na c t i v e8 i l df e r t i l er e s e a r c ha r e ai ns p 扯et h e o r ya n do p e r a t o r t h r y ( s e ef 1 】，【2 】，【3 j ， 4 】，f 5 j ，f 6 j ，f 7 j ，f 8 j ，f 9 j ，) t h e8 t u d i e so fi 8 0 m e t r i e si n c l u d em a r l ys u b j e c t s ，s u c ha st h ec h a r a c t e r i - z a t i o n so fi s o m e t r i 髂，e 砒e s i o no f i s o m e t r i e 8 ，s t a b m t yp r o b l e 】 no fi s ( ) i n e t r y ， 蛆ds oo n 5 6 i h e r ea r em a n yb e a u t i f u lc o n c l 璐i o 璐w l l i c l lc h a r a c t e r i z ei s o m e t r i e so n n o r m e ds p a c e s f b ri 璐t a n c e ， m a z u ra n du l 眦g a et h ew e u - l 【n o w nt h e o r e m ： 盯r 妇口，l 妇o m e 州c 加瑚如r m 口t i o n ，b m8n 。m l 耐材e c t o r 印o c eo ，l t d 口t l d 境e r 肿r 盯l 甜 8 c t d r 粤弛埘矾t ( 0 ) = o ，执e 竹r 妇2 n 瞰r a n o t h e rw e - k n a nt h 咖n8 b o u ti s o m e t r yi st h ec l a s s i c 出b n a c h s t o n e t h e o r e m b yn 娟r ，i th 够渤lg e n e r a l i z e d md i 如r e n tr 鹤p e c t s 1 t sp r e s e n t f b 珊百v e n i n 【5 】s t a t e s 鲳f o l l o w s ： l e tx 她dyb el o c a l 王yc o m p a c th a u s d o 擅s p a o 蛆di e tea i l dfb e b a n a c h s p 扯档w h e r e f i ss t 蛐c 0 n _ v e x 岛( x ，e ) 蛆d 岛瞰f ) a r e b a n a c h s p a c e so fc o n t i n l l 洮sb v a i u e d 雠dj 乙v a l u 耐池c t i 咄d e 丘n e do nx 姐d y v a n 曲i n ga ti n 矗n i 七y r 镩畔t i v e l yt h 矿t 妇i n 幻跏l r 诂l e 打可加mc b c x ，e ) 讯如岛( e ) ，忱饥地e r b 蕊缸c d f l t 伽让。郴如c 缸o n p ，而m 口s t 6 s e t m 巧yd n t d x 帆d 口c o n “讹d 蛳 m 叩咖 加m ki m o ( b ( e ，f ) ，s 0 s u c 琥耐，。rn l f ，l n 岛( x ，e ) ， j r ，( 们= ( y ) ( ，( 妒( ) ) ) ，f 打口n 鲈掣m 工成( q ，z ，p ) b e8 缸i t em s u 阳s p a c ea n dxa 钾p a r 曲l eb 衄a c l l 印a c e a r s o 咖i n f 8 】s h 拥羽毛h a t b m q 咖r 括n 甜l ，= 如c 姗矗n e 甜。t s o m e 打曹d n p ( n ，x ) 矿甜谢o ，l 嘻矿 ( 玎) ( ) = s ( ) h ( ) 洚( ，) ) ( - 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t a t i o nt h e o r yw i t hr e s p e c tt ot h eo n t oi s o m e t r i co p e r a t o rb e t w e e nt h eu n i t s p h e 瑚o f f o o ( r ) 帅es p a c 鹄n o ww es t u d y t h i sp r o b l e m f o r t h ec a s e t h a t t h ec o r r 鹤p o n d i n gs p a o 船a r el t y p es p a d e sa n do b t 越nt h ec o r r e s p o n d i i l g e ) c t e n s i o nt h e o r e ma sa ne a s yc o r 0 a r y 2 m a i n r e s l l l t 丛q 巫t 煎旦盟盟 s u p p o s et h a t ( e ，p ) i sam e a s u r es p a c e ，w ed e n o t et h ec h a r a c t e r i s t i c f l l n c t i o no ft h es e tai b y 地w bd e o t et h es u p p o r to faf u n c t i o n ，o ntb ys ( ，) s u p p o t h a tk i st h ei s o m e t r i cm 印p i n g 丘o mt h eu n i t 8 p h e r e 岛【工”( e ，p ) lo fl ”( le ，p ) o n t ot h eu n i ts p h e r e 陋”( r ，) j o f 正( r ，f ，弘，) t 赴e n 吐l e r ei sa 盯一r i n g o p e r a t i o np r 髑e r v i n gb i j e c t i o ni pb e t w e e n a n d e a n d t h e r e i s a m e 鹊u r a b 王e “l c t i o n 矗d e 丘i l e d o n r s a t i s 母i n g ( i ) k ( x a ) = x p ( ) - 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