（流体力学专业论文）旋转曲线管道中不定常流动的研究.pdf

浙江大学硕士学位论文 摘要 曲线管道内的流动问题是流体力学的基本问题之一。作为一个典型的物理模 型，对曲线管道内流动特性的研究贯穿着流体力学这一古老学科的发展过程。有 关曲线管道的研究不仅具有理论意义，丽且在工程应用中有着广泛的应用。本论 文的内容是国家自然科学基金项目“旋转曲线管道中流动结构与传热特性研究 中的一部分。 本论文研究旋转圆截面弯曲管道中的非定常流动特性。采用摄动法和数值方 法进行求解。首先建立曲线管道流动的非正交旋转螺旋极坐标系和旋转螺旋直角 坐标系，然后根据张量分析的方法推导了这两个曲线坐标系中的流体运动控制方 程，采用双参数摄动方法求解旋转圆截面平面弯管中的振荡流，采用数值方法求 解旋转螺旋管道内的周期流和旋转平面弯管内的脉冲流。系统地分析了在不周无 量纲控制参数下的旋转曲线管道中的轴向速度分布、二次流结构以及壁面摩擦力 随各参数的变化情况。研究结果表明：曲率、挠率、科氏力和离心力之比、d e a n 数、g e r m a n o 数、r o s s b y 数、w o m e r s l e y 数以及其他无量纲参数对流动特征量有 着重要的影响。 本论文获得的小曲率圆截面旋转弯管内低频振荡流动的二阶摄动解，以及旋 转螺旋管道内的周期流动以及旋转弯曲管道内的脉冲流动的数值解，与已有文献 结果比较，结果吻合，表明所采用方法是正确的，结果是合理的。 关键词：旋转管道；非定常流动：摄动方法；数值方法 a b s t r a c t t h ef l u i df l o wi nt h ec u r v e dp i p e si sab a s i cp r o b l e mi nt h e f l u i dm e c h a n i c s ，t o o a sat y p i c a lp h y s i c a lm o d e l ，t h es t u d yo ft h e f l u i df l o wi nc u r v e d p i p e s i s t h r o u g h o u tt h e h i s t o r y o ff l u i d m e c h a n i c s t h es t u d yo nt h er o t a t i n gc u r v e dp i p e sn o to n l yh a s t h e o r e t i csi g n i f i c a n c e ，bu tal s oca l lbea p p l i e d t0e n g i n e e r i n g t h e c o n t e n t0 f t h e p a p e r isap a r t0 f t h ei t e r no f n a t u r a la n ds c i e n t i f i c f u n do fn a t i o n - - t h es t u d yo nt h ef l o ws t r u c t u r ea n dh e a tt r a n s f e ri na r o t a t i n gc u r v e dp i p e i nt h i s p a p e r , t h ec h a r a c t e r i s t i c s o ft h e u n s t e a d y f l o wi na r o t a t i n gc u r v e dc i r c u l a rp i p e a r ec o n s i d e r e d i nt h ep a p e rw eu s et h e p e r t u r b a t i o n m e t h o da n dn u m e r i c a lm e t h o d st oc a l c u l a t e f i r s t ，a r o t a t i n gh e l i c a lp o l a rc o o r d i n a t es y s t e ma n dar o t a t i n gh e l i c a lr i g h t a n g l e c o o r d i n a t e s y s t e m w i l lb ec o n s t i t u t ei nt h ec u r v e d p i p e s e c o n d ，w ep r e s e n tt h ec o n t r o le q u a t i o n su s i n gt e n s i o na n a l y s i si n t h et w oc o o r d i n a t es y s t e m s t h eu n s t e a d yo s c i l l a t o r yf l o wi nt h e p l a n a rc u r v e dp i p ei s s t u d i e db y b i p a r a m e t e rp e r t u r b a t i o nm e t h o d u n s t e a d ys e a s o n a l f l o wi nt h er o t a t i n gh e l i c a lp i p ea n du n s t e a d y i n t e r m i t t e n tf l o wi nar o t a t i n gc u r v e dp i p ea r es t u d i e du s i n gt h e n u m e r i c a lm e t h o d t h em o v e m e n t so ft h ea x i a lv e l o c i t yd i s t r i b u t i o n s ， t h ese c o n d a r yf l o wst r u c t u r ean dth ewa l lf r i c t i o nst r e s su n d e rth e d i f f e r e n tp a r a m e t e r sa r ei n v e s t i g a t e di nd e t a i l t h er e s u l t sr e v e a lt h a t 塑鲨盔堂堡主兰垡丝塞 t h eu n s t e a d yf l o wism a i n l ye f f e c t e db yt h ef o l l o w i n g p a r a m e t e r s t h e c u r v a t u r e ，t h et o r s i o n ，t h e f o r c er a t i oi na c y c l e ( t h er a t i o o f c o r i o l i sf o r c et oc e n t r i f u g a lf o r c ei nt h ec y c l e ) ，t h ed e a nn u m b e r s ， g e r m a n o n u m b e r s ，r o s s b yn u m b e r s ，w o m e r s l e y n u m b e r sa n do t h e r p a r a m e t e r s t h es e c o n do r d e r p e r t u r b a t i o n r e s u l t so ft h e u n s t e a d y l o w f r e q u e n c yo s c i l l a t o r y f l o wi nah e l i c a lc i r c u l a r p i p e ，t h e n u m e r i c a lr e s u l t so ft h e u n s t e a d y s e a s o n a lf l o wi nt h e r o t a t i n g h e l i c a lp i p ea n d u n s t e a d yi n t e r m i t t e n tf l o wi nar o t a t i n gc u r v e dp i p e w e r eo b t a i n e di nt h i sp a p e r f u r t h e r m o r e ，t h er e s u l t sa r ec o m p a r e d w i t hs o m ep u b l i s h e dd a t aa v a i l a b l ei nt h eo p e nl i t e r a t u r e ，e x c e l l e n t a g r e e m e n th a sb e e no b t a i n e d f o ra l l c a s e s ，a n dt h em e t h o d sa r e p r o v e d c o r r e c t k e yw o r d s ：r o t a t i n gp i p e ；u n s t e a d yf l o w ；p e r t u r b a t i o nm e t h o d ； n u m e r i c a lm e t h o d 堂警兰垡型坠鳖! 竺竺 本论文是国家自然科学基金项目 ( n o 1 0 2 7 2 0 9 6 ) 的一部分工作。谨对国家 自然基金委员会的资助致谢! 第一章绪论 摘要：本章在大量文献阅读的基础上，对近一个世纪来已有的曲线管道内研究 成果进行了分类综述，简述了静止曲线管道内部定常流动，旋转曲线管道内部 定常流动，曲线管道内非定常流动的研究成果，并说明了本文工作的研究意义 以及创新性。 1 1 概述 曲线管道内的流动问题是流体力学领域的基本问题之一。作为个典型的 物理模型，对曲线管道内流动特性的研究贯穿着流体力学这一古老学科的发展 过程。曲线管道广泛地应用于化工设备和水电工程中的管道系统中，在各种动 力装置，运输机械以及核动力的冷却系统中，都采用管道系统进行流体的传输 和热交换。同时生物血管内的血液流动也是曲线管道内部流动的典型例子，对 它的研究是生物力学中的重要分支。因此，曲线管道的内部流动的研究，不仅 在流体力学领域有重要的理论意义，而且在工程应用中具有广泛的应用价值。 图1 1 弯管内的流动形态 众所周知，在曲线管道的流动中将在垂直于轴向主流方向的截面上产生 次流动，二次流动相对于主流虽然在量级上比较小，但对物质的输运，热量的 传递，管道的压降损失，以及流动结构产生重大影响，因此二次流动就物质输 送所起的作用而言，是需要特别关注的。在旋转曲线管道中，在离心力和科氏 力的驱使下，在垂直于管道轴线的截面上，流体将由截面中部向内侧或外侧流 动，并在壁面处形成回流，这种在垂直轴线的截面上形成的环流，称之为二次 流动。和静止直管内的流动相比，旋转曲线管道流动的一个重要特点是在垂直 于轴向的截面上存在二次流动，对二次流动特点的研究是旋转曲线管道流动研 究的主要内容之一。二次流动使流体流向壁面，在壁面处，流体的速度迅速减 小为零，压力损失增加，摩擦力增大；另外，二次流动和其他流动一样，截面 上的流体也受到壁面的作用力，这同样会使弯管内的摩擦力比相同情况下直管 的摩擦力大。又由于二次流的存在，流体质点沿管道轴向方向呈螺旋状前进( 如 图1 1 ) ，形成流管( s t r e a mt u b e ) ，并产生轴向涡量，二次流动理论( h o r l o c k l a k s h m i n a r a y a n a1 9 7 3 ，b r i l e y m c d o n a l d1 9 8 4 ) 认为，即使流动产生很 小的偏移，其产生的轴向涡量将占垂直于轴向方向的涡量的5 0 。另外，二次流 动能够增加流动的稳定性，曲线管道流动出现湍流时的临界雷诺数要远远大于 相同直管内的情况( t a y l o r1 9 2 9 ) 。因此，二次流动和轴向主流相比，虽然在 量级上较小，但其对传热、传质以及流动稳定性的作用却不可忽视。 早在1 8 7 6 年，t h o m o s o n 在观察明渠流动中就发现了二次流动，并明确指 出这种由曲率引起的二次流动的作用是明显的。同时在工程应用中，通常情况 下，二次流动的存在会增加壁面摩擦阻力，其作用非常明显，因此，要预测象 泵和风机一类旋转机械的功率，就必须要知道二次流所引起的压力损失。在冷 却系统中，由于二次流动的出现，使得曲线管道的对流换热效率相比较直管明 显提高。此外在血液流动中，二次流动的影响也不可忽视，k o m i a t a n i s h i t a ( 1 9 9 7 ) 和w a t e r s & p e d l “1 9 9 9 ) 在其研究中就曾指出由于二次流引起的轴向和周 向剪应力的分布不均匀性，剪应力大的地方会引起血管内皮细胞和血液细胞的 损伤，甚至坏死，从而导致人类疾病，而剪应力小的地方，会使血液中的物质 沉积，阻塞血液流通，引起动脉硬化。 引起曲线管道内出现二次流动的原因是多种多样的。离心力( 曲率的作用) ， 科氏力( 旋转的作用) ，浮力( 温度的作用) ，管道壁面作用力( 挠率的作用) 的作用下都可以使得垂直于管道轴向的截面上产生二次流动。自从d e a n ( 1 9 2 7 ，1 9 2 8 ) 采用摄动方法求解了圆截面弯管的流动以来，大量科学工作者分别从 理论分析、数值计算和实验三个方面分析和研究了在不同情况下的曲线管道流 动。 本论文根据文献综述，将曲线管道流动的研究，概括为以下几类： ( 1 ) 曲线管道充分发展定常流动研究。其中又分为以下几种类型： a 静止曲线管道充分发展流。一般只考虑曲率( 离心力作用) 和挠率( 管 道壁面的作用) 的影响。对平面弯曲管道( 只考虑益率的作用) 的研究始于 d e a n ( 1 9 2 7 ) ，他利用摄动方法求解了圆截面弯管内的粘性流动，并且发现了二 次流动，后人称为d e a n 类型的涡( 简称d e a n 涡) 。 b 旋转曲线管道充分发展流。最早研究者是l u d w i e g ( 1 9 5 1 ) ，他首次利 用动量积分法对正旋转正方形截面弯管内的流动进行了理论分析，并且得到高 r e 。数时摩擦系数比的方程式，该式已经被实验证明。 c 考虑温度效应的曲线管道充分发展流。最早研究者是m i y a z a k i ，他首次 采用差分法研究了正旋转圆截面( 1 9 7 1 ) 和矩形截面( 1 9 7 3 ) 弯管内的流动。 ( 2 ) 曲线管道入口流动以及二次流形成与发展的流动研究。最早研究者是 s i n g h ( 1 9 7 4 ) 和y a o b e r g e r ( 1 9 7 5 ) 。 ( 3 ) 曲线管道内非定常流动的研究。最早研究者是l y n e ( 1 9 7 1 ) 。他采用奇 异摄动方法中匹配原理，成功的求解了轴向压力按余弦振荡时圆截面弯管内的 流动，并指出d e a n 类型的涡被挤在靠近壁面的s t o k e s 边界层内，而在管道中 部，流动是无粘性的，在该区域二次涡与d e a n 类型的涡相反，后人称为l y n e 类型的涡( 简称l y n e 涡) 1 2 曲线管道内非定常流动 图1 2 动脉不意图 曲线管道中的非定常流动的研究具有广泛的工业背景，例如：各种传热交 换器中的流动，化学反应堆；而且也是生物力学研究的主要问题( p e d l e y ( 1 9 8 0 ) ) 已有的研究表明：血管的弯曲处是血管疾病发生概率最高的地方。动脉中的血 液流动是一种典型的曲线管道非定常流动，当然，应当注意到血管是一种非常 复杂的曲线管道( 如图1 2 ) 。目前，最常见的动脉疾病是动脉粥状硬化，据报 道西方社会中三分之一死亡是由冠状动脉粥状硬化有关的心血管疾病所引起 的。已经发现：粥状硬化的斑点分布在动脉壁上的某些确定部位：例如，一个 动脉分叉处的外壁上，弯道的内部，或者动脉管的横截面积扩大区域。早期粥 状硬化斑点的分布区域也已经被发现。现在，人们普遍认为这些早期斑点的发 展与动脉管壁平均剪应力的分布及其脉动有关( g i d d e n se ta l 堑鋈_ 大兰堡圭主垡适塞 ( 1 9 9 3 ) ，p e d l e y ( 1 9 9 5 ) ) 。观察发现，斑点倾向于在低平均剪应力处以及心动周 期过程中剪应力改变方向的区域中发展。这些区域正是血管中活跃而且有毒的 循环物质长期驻留之地。因此壁面剪应力较低或剪应力改变方向区域的血管内 皮比壁面剪应力升高或单向区域内的内皮能更多地与动脉粥状产生接触。 人体的血管血液流动是十分复杂的流体力学问题，这是由于人体血管的形 状是不断分叉的曲线管道，具有弹性壁面，血液又是非牛顿流体，血液流动是 不定常的脉动流，不过对它的研究可以从简化的模型入手，早在1 0 0 多年前， 法国学者b o u s s i n e s q 就采用管道流动模拟血管的血液流动。至今仍将曲线管道 流动的模型应用于血管流动的研究。 在小曲率且曲率恒定不变的管道中，由随时间变化的压力梯度所引起的充 分发展的非定常流动问题( 实验结果表明，弯管中的振荡流，在弯角小于9 0 度 的范围内，可获得基本充分发展的流动) ，在理论上已引起了相当的重视。 l y n e ( 1 9 7 0 ) 作了最早的分析研究，他求解了压力梯度以余弦曲线的形式振荡的 流动即： 一孚= r e w 。( 0 c o s 0 9 1( 1 2 1 ) u s 其中s 为管道中心所在的曲线，w 埘为特征速度，为振荡频率。并且定义 一无量纲的参数船( r s = 2 r r e o ) o ，月为管道的半径，w a t e r s & p e d l e y ( 1 9 9 9 ) 对这一定义合理性进行了理论推导) ，此时流动有两个参数控制：w o m e r s l e y 数 口( 9 2 = r o ) v ，代表s t o k e s 边界层和水力半径之比) 和如( 二次流雷诺数) ， l y n e 用两个匹配的渐近展开式得到了一个解( 大口的情况) ，认为流动由一个无 粘的中心区域以及围绕其外的一个粘性s t o c k s 边界层组成，s t o c k s 层的厚度， 即( 2 u ，妒，比管的半径r 要小，增大a ，会使无粘性区域向外扩展，最后，该 中心区域被一很薄的s t o c k s 边界层包围，如图1 3 所示。在s t o c k s 边界层内， 一个二次速度由方程中的非线性离心力项所产生。这些二次运动有一个非零的 平均值，二次流速度在边界层的边缘并不为零，而在中心区域引发一个稳定的 二次流( l y n e 涡) 。该流动的细节取决于一个二次流雷诺数血，但是，不管船取 什么值，该流动的方向总是横穿过管道中心线，从弯管的外侧流向内侧，正好 与弯管中稳定流动方向相反，流动显示实验已经证明了这种现象。 图1 3l y n e ( 1 9 7 0 ) 的流函数等值线( 左侧为外侧) 对于小口数( 即相当于压力梯度激励低频的情况) 的情况，流动可以看成拟 定常的流线和迹线几乎和低r e 数下模式相重合，此时，由于s t o c k s 边界层并没 有发展起来，二次流仍然表现为d e a n 类型的涡，m u l l i n & g r e a t e d ( 1 9 8 0 a ，b ) ) 得 到这种情况的摄动解，结果表明主导的轴向流和二次流都是准定常的d e a n 流动。 由于l y n e ( 1 9 7 0 ) 和m u l l i n & g r e a t e d ( 1 9 8 0 ) 研究的流动关于时间平均流 量为零，为了研究定常流动和振荡流之间的作用，有人将一个平均值叠加到振 荡的压力梯度激励上，例如：b l e n n e r h a s s e t t ( 1 9 7 6 ) 在一定的参数值下也发 现了多值性，s m i t h ( 1 9 7 5 ) 利用摄动方法，求解了带平均速度的弯管内的振荡流 动，并且给出可以求出摄动解的七种流动模型，h a m a k i o t e s b e r g e r ( 1 9 9 0 ) 利用 数值计算的方法，较为系统的研究了带平均速度的振荡流动，他们认为在小r e ， ( 平均速度雷诺数) 下，不会出现l y n e 涡，而且流动的特性受平均速度和振荡 幅值的影响。对周期性振荡流的数值研究和实验研究还有：l i n & t a r b e l l ( 1 9 8 0 ) ， r a b a d i ，s i m o n & c h o w ( 1 9 8 0 ) ， z a l o s h & n e l s o n ( 1 9 7 3 ) ，c h a n g t a r b e l l ( 1 9 8 5 ) ， h a m a k i o t e s ，b e r g e r ( 1 9 8 8 ) 。 近年来，以人体血液流动为背景的曲线管道流动受到了广泛关注。研究者 分别用不同的流动模型来模拟人体血液流动。k o m a i & t a n i s h i t a ( 1 9 9 7 ) 认为大动 脉中的血液流动可以由脉冲流动( i n t e r m i t t e n tf l o w ) ，即流动周期由收缩期 和紧随其后的舒张期( 流量为零) 组成，并且利用s i m p l e 算法计算了圆截面弯 管内的脉动流动，给出四个控制参数d e 数，曲率k 和w o m e r s l e y 数a 以及玎( 收 缩期和流动周期之比) ，系统的研究了各参数对流动特性以及壁面摩擦力的影 响，他们认为在舒张期结束时末流动并没完全消失，在收缩期起始时，二次涡 明显受到残留涡的影响，舒张期的二次流型对整个周期的流动特性有很重要的 影响。w a t e r s & p e d l e y ( 1 9 9 9 ) 分别利用数值和摄动的方法研究了由振荡的压力梯 度所引起的，曲率随时间改变的圆截面弯管内的非定常流动。 z a b i e l s k i & m e s t e l ( 1 9 9 8 b ) 首次研究了挠率在曲线管道内非定常流动中所起的 作用，该文利用摄动方法和数值计算方法研究圆形截面螺旋管道内的非定常流 动问题，流体被两种压力梯度驱动：高频率的余弦振荡的轴向压力梯度和生理 振荡的轴向压力梯度。而且通过对摩擦力的研究指出：挠率对轴向平均摩擦力 的影响很小，但却明显的影响周向平均摩擦力，由于周向摩擦力相对与轴向摩 擦力很小，因此从总体上说，挠率对平均摩擦力的影响很小。 对弯管中振荡入口处的研究一般采用实验的方法( 作者还未发现有关这方 面的数值解的报道) ：c h a n d r a n ，y e a r w o o d & w i e t i n g ( 1 9 7 9 ) ， c h a n d r a n & y e a r w o o d ( 1 9 8 3 ) 都发表了用流动显形法和热膜风速法所得到的弯管 中脉动进口流的定量研究结果，t a l b o t g o n g ( 1 9 8 3 ) 用d o p p l e r 测速仪做了同样 的研究。l y n c h ，w a t e r s & p e d l e y ( 1 9 9 6 ) 认为心肌外的冠状动脉位于跳动的心脏表 面，当心脏跳动时，它们既旋转又平移，而且，由血管中心线的曲率和挠率来 描述的动脉管的总体几何形状，以及动脉的直径与长度都随时间而变化( 曲率 随时间改变) 。因此，动脉中的血液流动是不仅是脉动的而且曲率随时间变化， 为了揭示该流动特性首次提出了关于曲率随时间变化的管道中的流动问题。 1 3 旋转曲线管道流动特性研究背景及意义 对于旋转曲线管道的应用在1 _ 2 节中大致已经有了简单的介绍，旋转曲线 管道的研究虽然只有不长的历史，但是对旋转曲线管道的流动特性的研究能对 工程上应用提供重要的理论依据，这是一项具有重要理论意义和广阔应用前景 的基础性研究，也是流体力学领域中的基本理论问题之一。它的重要理论意义 与应用前景表现在以下几个方面： ( 1 ) 由于工程实际的旋转机械装置中存在流体的输运管道系统、液压控制 管道系统和冷却管道系统( 例如：大型双水内冷发电机的转子水冷却管道，核 工业中旋转冷却管道等) ，管路系统的设计需要深入了解这些曲线管道的几何结 构与旋转状态等参数对流动结构与传热效率的影响。同时旋转曲线管道又存在 于物质分离的某些萃取装置中，而曲线管道的研究将可以对这些萃取装置中的 分离机理及管路设计提供基本依据。 ( 2 ) 在航空航天飞行器中，存在各种油料输运管道系统、液压控制管道系 统和冷却管道系统。当飞行器作旋转运动( 如飞机急速转弯和高速回转运动) 时，这些管路中的流动将发生什么样的变化，尤其是控制管路中的流体流量与 压力将发生什么样的变化，显然对飞行器的性能与安全至关重要。 ( 3 ) 日前不少文献报道通过对曲线管道内流动的研究，可以了解人体血管 内血液的流动的状况，正确预测血管疾病发生的位置，为寻求解决疾病方法提 供理论依据。而当人体处在作旋转或曲线运动的飞行器或其它装置中，人体血 管内的血液流动将会发生什么样的变化，这方面的研究十分缺乏，显然有待深 入研究。 ( 4 ) 同时地球表面的大江河，大多是蜿蜒曲折的，在河道曲率及地球自转 的作用下，河道断面上复杂的二次流对于河床沙洲的变迁与堤岸冲刷有着很大 的影响，是河道治理中十分关注的问题。 ( 5 ) 离心风机和离心泵中叶轮通道，可以看作旋转的变截面管道。因此， 旋转曲线管道流动研究可以用于叶轮通道内部流动规律的研究，这可为设计性 能优良的离心风机和离心泵提供流体力学理论基础。 ( 6 ) 由于旋转曲线管道内将产生很强的二次流，因此可以成为一种物质混 合的管道装置。已经引起工程界的十分关注。 旋转曲线管道的研究始于二十世纪五十年代，由于其在工程上的重要性， 同时又是流体力学中的基本问题，近年来越来越受到科学工作者的重视。旋转 曲线管道内的流体在流动过程中受到曲线管道曲率与挠率的影响，同时受到科 氏力的作用，比较静止曲线管道流动，非线性效应更加突出，横截面上将出现 形态复杂的二次流，在某些条件下将出现分叉流动现象。深入研究旋转曲线管 道流动特性，对于了解流体流动的非线性效应，分析流动的稳定性，具有重要 理论意义。 同时从前面文献综述可以看出，旋转曲线管道的研究已经成为国内外学者 的热门研究之一。从将近半个世纪来对旋转曲线管道的研究不难发现，旋转曲 线管道的研究大多是定常流动，而本论文着重研究旋转曲线管道的不定常流动， 这对于深入了解旋转曲线管道中的流动结构，以及工程应用无疑是有重要意义 的。 1 4 论文的内容 从目前研究现状存在可以看出，旋转曲线管道的研究还需要进一步深入的 研究。本文在前人文献的基础上，进行了旋转曲线管道不定常流动的研究，具 体内容有以下几个方面： ( 1 ) 在曲线管道流动的非正交曲线坐标系中，采用摄动方法求解旋转圆截 面曲线管道内的振荡流，研究管道内的流动特性。 ( 2 ) 采用数值方法求解旋转螺旋管道内周期流动，研究管道内的流动特性。 ( 3 ) 采用数值方法求解平面弯曲管道内的脉冲流，研究管道内的流动特性。 ( 4 ) 系统地分析了上述三种流动状态下，曲线管道中的轴向速度分布、二 次流结构以及壁面摩擦力随各参数的变化情况，讨论了曲率、挠率、科氏力和 离心力之比、d e a n 数、p r a n d t l 数以及其他无量纲参数对流动特征量的影响。 各章的主要内容如下： 第一章介绍了本论文的研究背景和文献综述，以及论文的主要内容、研究 意义和主要创新点。 第二章我们介绍了本文工作的数学物理模型，并通过张量分析的方法，推 导了旋转螺旋坐标系下的流体控制方程，具体的介绍了本文采用的两种行之有 效的理论和数值求解方法：摄动方法和有限体积法。同时对控制方程进行了无 量纲化，分析了本文所涉及无量纲参数的物理意义，为下面的工作提供了铺垫。 第三章采用双参数摄动法研究了旋转小曲率弯曲管道内低频振荡流动，获 得二阶摄动解，系统分析了主流速度、二次流动以及壁面剪应力在科氏力和离 心力共同作用下特性的变化隋况。 第四章采用有限体积法求解了不同旋转速度下的螺旋管道内的周期流动， 重点分析了旋转对二次流动与轴向速度变化的影响，同时给出了不同旋转速度 下的壁面剪应力的分布变化情况，这对于旋转管道的设计和应用提供了理论基 础。 第五章采用s i m p l e 方法求解旋转平面弯曲管道的脉冲流，研究了旋转和间 歇频率对弯曲管道内的流动特性。 第六章总结了全文的工作，本文结果与己有文献相比十分吻合，为实际的 旋转曲线管道在工程设计应用提供了依据。并展望了未来的工作。 1 5 论文的创新之处 相比于前人的工作，本文的创新之处主要表现在采用多种模型系统研究文 献中很少涉及的旋转曲线管道内的振荡流，周期流与脉冲流。详细分析了各参 数对流动特性的影响，得到了若干前人没有获得的重要结论。具体的创新点主 要表现在以下三个方面： ( 1 ) 首次采用双参数摄动法，求解旋转平面弯曲管道内的振荡流，获得了 二阶摄动解。并系统分析了无量纲参数对于旋转曲线管道中振荡流的主流速度 分布，二次流结构以及壁面剪应力的影响。 ( 2 ) 首次采用有限体积法求解了旋转螺旋管道内的周期流动，并分析旋转 的无量纲参数，的变化对于流动结构的影响。 ( 3 ) 首次采用s i m p l e 方法求解旋转平面弯曲管道的脉冲流，并分析了旋 转的无量纲参数f 的变化对于流动结构的影响。 第二章数学物理模型及求解方法 摘要：本章详细地介绍了本文工作的数学物理模型，并通过张量分析的方法， 推导了旋转螺旋坐标系下的流体控制方程，具体介绍了本文采用的两种行之有 效的理论方法和数值求解方法：摄动方法和有限体积法。并且对控制方程进行 了无量纲化，分析了本文所涉及无量纲参数的物理意义，为下面的工作提供了 铺垫。 2 1 引言 尽管工程上所应用的旋转机械在控制管路系统、流体输送管路系统以及冷 却管路系统中的管道的存在形式是多种多样的，但平面弯曲管道和螺旋管道是 其基本部件之一。如图2 ，l 所示，圆截面螺旋管道以不变的角速度q 围绕其曲 率中心所在的轴o z 旋转。本文将以圆截面形状的旋转螺旋管道为基本物理模 型，来研究管道内的流动结构。 图2 1 圆截面旋转螺旋管道 在物理问题得到简化后，如何选择合理的数学模型，建立合理的坐标系统 是流体力学中一个重要的问题。任何一个物理问题或力学问题，都是在一定的 几何空间内进行的，虽然自然规律是协变的，即它的内在规律不应该依赖于所 选择的坐标系，但恰当的坐标系将使问题的数学描述和求解容易许多。由于曲 线管道模型的复杂性，如果在通常的坐标系下来求解曲线管道流动问题，其边 界条件的解析表示将是十分复杂的。因此如何选择合理的坐标系来满足边界对 是否能成功解决本文的问题变得尤为重要。对于管道内部的流动问题研究，大 多采用曲线坐标系，而对于一般曲线( 非正交) 坐标系，流体力学的微分方程 和边界条件的解析常常很复杂，张量分析的方法无疑为曲线坐标的建立提供了 一条捷径。按照张量分析的方法，在八十年代，w a n gf 1 9 8 1 ) ，m u r a t ae ta lf 1 9 8 1 ) 以及g e r m a n o ( 1 9 8 2 ) 等分别建立了曲线坐标系的流体控制方程。本文将基于 g e r m a n o 的思路，通过张量分析并借助于计算机符号运算，建立旋转曲线坐标系 下的相对运动方程。 2 2 正交曲线坐标系下的控制方程的建立 2 2 1 旋转坐标系统下的流体力学基本方程 由于本文所研究的为旋转皓线管道，因此我们将建立曲线坐标系下的相对 运动方程。从理论力学可知，绝对速度k 为相对速度一及牵连速度k 之和： k = 一+ k( 2 1 ) 其中k = + o ，为运动系中的平均速度，8 是其旋转角速度，为 质点矢径。 绝对加速度盯。为相对加速度口，及牵连加速度4 。及科氏加速度口。之和： a 。2 a ，+ a 。+ a 。( 22 ) 其帆= 警+ 罢n ( 脚) 瑚 根据流体力学的基本知识，对于矢量形式的粘性不可压牛顿流体的流体力 学基本方程可以表示如下： 西v = 0( 23 ) 鲁= f 一去印+ 胛2 v a 。一z q v ， ( ：4 ) 上式中“为动力粘性系数，p 为流体的密度，p 为压力， f 为作用于单位质量 流体上的质量力，d i v 为矢量的散度运算符，v 为矢量的旋度的运算符。 2 2 2 旋转螺旋曲线坐标系及控制方程 1 旋转螺旋极坐标系下控制方程 图22 旋转圆截面螺旋管道及旋转螺旋极坐标系 如图2 2 ，圆截面螺旋管道以不变的角速度q 围绕其血率中心所在的轴o z 旋转，螺旋管道的中心线为s ，管道中心线与水平面的夹角为卢，其曲率半径为 r ，螺距为2 r d ( 。螺旋管道的曲率和挠率可以表示为： k ：i ，f ：i ( 2 5 ) 壮丽弘丽 螺旋管道中心线s 上任意点0 的切向t ，法向n ，副法向b 为： r ：车，：土鼻，嚣：t 。n ( 2 6 ) 出kd s 。 其中乞为0 的失径。 根据f r e n e t 公式，则有 d ，r ：t e n ，掣：r b x t ，警：一r n( 2 7 ) a sa sa s 根据b o l i n d e r ( 1 9 9 6 ) ，对曲率茁和挠率r 为常数的管道中心螺旋曲线而言有 t ( s ) = c o s 居d ( s ) + s i n 庳z n ( s ) = 一e ，0 ) b ( s ) = 一s i n z e d ( s ) + 1 3 0 8 脾： 其中p ，p ：分别为柱坐标( ，妒，z ) 下的单位矢量。 ( 2 8 ) 在( n , b ) 平面内建立极坐标( r ，0 ) ，固定在螺旋管道中心线j 上，我们建 立旋转螺旋极坐标系坐标系统( ，0 ，s ) 。任一点c 的矢径可以表示为 r o ( s ) = r or ( s ) + r c o s o n ( s ) + ，s i n o b ( s ) 在旋转螺旋极坐标下，其自然基可表示为： 晶= 譬= c o s o n ( j ) “n 凹向 o r 酽嘉= - r s i n o n ( 卅s 例 9 3 ：o r e ：m t ( j ) 铲s i n o n ( j ) + c o s o b ( s ) 其中m = 1 一灯c o s 0 。 由于自然基不正交，采用自然基建立坐标系统将带来许多不便 入标准正交物理基如下： g f k g f 、l = g 。tg n k 配 = 导g n = 即r = t 在正交物理基( g l , g ：，g ，) 下，速度的矢量形式可表示为 v = u g f l l + v g ( + w g f ( 2 9 ) ( 2 1 0 1 因此我们目 ( 2 1 1 ) f 2 1 2 ) 冥中“，v ，w 分别为正交物理基f 径向，周向和轴向相对速度分量。我们可以求出 科氏加速度和牵连加速度如下： = ( 2 f a w c 。s a 2 q s i n a ) 一2 q u c 。s a r + 2 q u s i n 础( 2 1 3 a ) 口e = 笔；“，c + 。x “，。：。，。， = q 2 ( 尺- - r c o s o ) n + t u 2 2 r s i n 2 as i n o t q 2 rs i n 口s i n2 a b 其中u = hc o s 8 一v s i n 0 ，= 2s i n 0 + v c o s o 。 运用张量的基本知识，同时借助计算机符号运算，通过推导整理可得到旋转 螺旋极坐标下的相对流体控制方程以及能量方程( 有关张量的具体推倒过程可 参照b o l i n d e r ( 1 9 9 6 ) 和张金锁( 2 0 0 1 ) ，由于篇幅的原因这里不给出) ： 连续性方程： 丝+ ! 旦一三丝+ 上丝十( 三一x c o s o ) ”+ k s i n o v ：0( 2 1 4 a ) a rra 8ma 8m 氆、rm 。m 、 。 动量方程： 丝+ “丝+ 岸一竺、堕+ 旦丝一一v 2 + 。c o s 0 o to r 、rm 0 0mo s ，m f 2 1 4 b 1 ：一0 _ p 一2 n ( w c o s 口c 。s 卢一v s i n ) + u ( 矿) 。 。 丝+ “丝+ 仁一当塑+ 兰一o w 一t c c o s o i w + 型塑w 一+ “一+ ( 一一) + 一 十v w 魂甜 。7 誓。西 吖m ( 2 1 4 d ) ：上。罢一i o p ) + 2 n ( u c o s s i n p ) + d ( ) ， p m 、a 口 击7 。、 其中u 动力粘性系数；p 为流体密度。 c 堋1 = 窘+ 专+ 鲁，嘉+ 嘉窘一紊嘉+ c 吉一警，豢 4 加口a “2 却 一万历+ 矿石一7 丽 2 9 r c o s 0 挑2 x c o s 00 w m 2 丽+ 丁i c 吉+ 学1 r 2s 血妒半肌熹w ( 2 1 5 a ) c 堋2 = 窘+ c 吉+ 音窘+ 嘉窘一紊蔫+ c 吉一半，昙 一三生+ 尝丝+ 丝+ 2 k r _ s i n 0 一& v 一2 t o s i r n 0 一o w ( 2 1 5 b ) m 2 0 0m 2 o s - 20 0 m 2 3 0m 2 o s 、 。7 一c 吉+ 学 m 1 - - - - t ( t r 2s i n o c o s 0 + 一m t c ，s i n 0 ) v 芬w 警一 釜| ，- 蠹兰m 铊 望舢 c 3 = 窘+ c 专+ 斋，窘+ 嘉窘一斋翥+ c 一x c 。o s 0 ) 0 出w 一姜坐+ 三一o u + _ 2 t c r c o s 0 一o u 一2 x c o - s 0 0 u 一2 t c z - s i - n 0 0 v ( 2 1 5 c 1 m 20 0m 2o s m 2 a 口m 。0 sm 。a 口 、 2 x r s i n 00 vc dk 2 一i r j 百一j i 了“一j 函了一i 7 j - ” 其中 a ：堕s i n 口一坐s i n 0 mr b ：旦s i n 0 m c ：笠曼s i n 日c o s 曰+ k r s i n 0 m d = 一! 三二旦s i n 2 臼+ k r c o s 目 埘 m = 1 一 c o s 0 需要指出的是，上述公式中的压力p 为广义总压力，其定义为 脚一譬p ( r - r c o s 0 ) 2 - 譬棚n 脚叫2 ( 2 1 6 ) 它吸收了由旋转产生的离心力项( 即牵连加速度项) ，以后出现章节涉及到 的离心力项是具体指流体做曲线运动，由于管道的曲率所引起的离心力。 2 旋转螺旋直角坐标下控制方程 图23 旋转圆形截面螺旋管道及旋转螺旋直角坐标系 塑o x + 暑+ 旦m 罢一旦m 詈+ 土m 票一羔m “= o ( z m a ) 匆 缸 a v 丞 。 ”w 乱锄钆wf o uo u e , u 加 1_uu 面蝴磊万+ 万p m 砂+ 云一+ 叫 ( 21 7b)13 p ：一- = = 一一2 r x w c 。s 一v s i n ) + u ( 矿) ， 、 o dx o 乱v + u o 如v w 考+ 兹( 秒塞一- 麦+ 祟+ 似 ，。， ：一! 娑一2 觚i n p + u ( y ) ： 一。 o w 舢 mwfo wo wo w 1 百面+ v 万+ 万1 秒瓦一伍万+ i 一“j ：一* 扣等+ 小哪州刎，q 1 7 由一面【纠瓦一甜万+ i j + 2 n 0 8 声【矿厂 ( v 2 v ) 【”= 击卜2 y2 ) 窘+ 2 z2 ) 窘+ 象砌2 叫意 + 2 可茜一z 饿裔+ 4 瓦o u b 考+ c 丝8 s z r2 y 罢+ z r 2 x 堡o y 一2 r 祟+ z 何苦_ 2 a ：v x 8 。w 。+ z 盯宴一+ 2 ) u - d v + o s西dxd v ( 2 1 8 a ) 勺2 p y ”= 击卜2 y 2 ) 象+ z 仔 0 2 歹v + 萨o z v 2 叫丽0 2 v + z 未一z 茯意+ z r 2 y 警一z r 2 并考+ ：r 謇+ 一妻一曰考 + c 宴d 。- 2 。+ 一 出 j ( v 2 y y 3 ( 2 1 8 b ) + z 秒塞一z “蒜一z k 罢+ z r 优考一z r 警+ 爿豢一曰考 + c 警也w ( 2 ，1 8 c ) 其中4 = 譬x 一川，曰= 鲁，c = 鲁，。= 害，e ：鲁， 肘= l 一积，| p = p 一了1 卢q2 ( 月j ) 2 一i 1 肛z 2 y 2 s i n 2 。 2 2 3 控制方程的无量纲化 为了使控制方程无量纲化，我们将采用如下特征量： 特征时间：1 m ，6 0 为管内流量的波动频率； 特征长度：d 。，对于圆截面螺旋管道，d = 2 r 。，r ，为管道的半径 二次流特征速度：o l d ； 轴向特征速度：w m 取为管道内轴向平均速度； 各物理量的无量纲形式可以表示如下： t ：耐，( u ，v ) = v = 二- 。d ( “，v + ) d u 牡芒w ，p = 等p o 一丢d q k2k d ， f q ：旦望 u 将上述无量纲的方程代入旋转螺旋极坐标和旋转直角坐标下的控制方程 盟蛐 砂 矿一 堕铲 + 堕西 + + 盟执 y 竹舻 一一 上胪 +旦以 =