（基础数学专业论文）点可数覆盖及其映射性质研究.pdf

摘要 ( 一般拓扑学从1 9 世纪由庞加莱开创为一个独立的科学分支至现在已经 历了一百多年的发展历史虽然它的独立与发展相对于其他一些古老的数 学学科如分析学，代数学，欧氏几何学和数论要晚了许多，但经过一百多 年，特别是2 0 世纪4 0 年代到7 0 年代的蓬勃发展，一般拓扑学日趋成熟与 完善如今，拓扑学的理论，成果和方法已应用或渗透到几乎每一个重要 的数学领域以及物理，化学，生物乃至工程技术中在一般拓扑学的研究和 发展中，拓扑空间的可度量化问题始终是一个中心课题，这是因为度量空 间具有许多良好的性质，在数学领域内有着重要的应用。但是在众多的重 要的拓扑空间中能够度量化的毕竟是极小部分，因此研究与度量空间密切 相关的广义度量空间具有重要意义。在广义度量空间理论研究中，映射和 覆盖的方法是一种非常重要的工具，特别是点可数覆盖起着举足轻重的作 用，例如，1 9 4 4 年法国数学大师d i e u d o n n d 引进的仿紧性概念使用的就是 一类特殊的点可数覆盖。比较重要的覆盖有点可数基，弱基，k 网，序列邻 域网；比较重要的映射有商s 映射，闭s 映射，开映射，开闭映射，紧开映 射，完备映射，可数双商映射，紧映射因此研究一些覆盖之间的关系，一 些映射之间关系以及覆盖在映射下的性质有着重要意义。j 本文不试图去定义新的广义度量空间类以及新的覆盖与映射，这是因为 近几十年拓扑学的发展，各种形式的“推广”所定义的空间类已达到泛滥 的程度，新空间的不断引入，过细的划分使得拓扑学似乎发展到了空洞的 理论边缘。本文试图用已有的拓扑空间与理论去讨论拓扑学和集合论中的 一些重要问题，并且解决了文献【1 】中所提出的一个公开问题，这也是 本文最精彩的部分同时，本文用拓扑空间的一些性质来讨论集合论中的 可数序数指数运算问题也比较精彩。此外，本文给出了大量的拓扑空间实 例，从而使得其理论不那么空洞无物。注意本文所论拓扑空间均满足瓦分 离性。 本文第二章主要包含两方面的内容： c e e d e 引入了一类重要的广义度量空间： 半层空间的一个等价刻画： 半层空间和点可数覆盖。( 1 9 7 0 年， 半层空间，在此章中，我们给出了 拓扑空间( x ，丁) 为半层的当且仅当存在函数g ：nx x 一丁满足如下的 两个条件： ( 1 ) v x x ， z ) = n g ( n ，z ) ：n n ) ( 2 ) 壬。x x ， z 。) cx 满足v n n ，x 9 ( n ，x n ) ，贝1 | z 。x 鉴于g 一函数在层空间及半层空间所起的重要作用，我们证明了关于g 函数的两个等价条件： 令g 为空间( x ，丁) 的一个g 一函数，则如下的两个条件等价 ( 1 ) 如y x h 丁，则存在m 使ygg ( m ，h ) = u9 ( m ，z ) 2 h i i ( 2 ) 对x 中的点x 及序列 x n ，若z g ( n ，z 。) ，则z 。斗z 第二章中关于 点可数覆盖的主要结果是： 如x 具有的可数覆盖满足( b ) ，则x 必为s n f 可 数空间。 1 9 9 5 年，文献【l 】中提出了一个公开问题：若p 是正则空间x 的弱 基，那么p 是否为x 的k 网? 本文第三章解决了这一公开问题。具体一点 讲就是我们给出了一个具体拓扑空间x 的一个弱基p ，但p 不为x 的k 网。也就是说此问题的答案是否定的。接着我们讨论了对空间或弱基附加 怎样的条件，弱基就成为k 网了，这方面有如下两个重要结果： 1 若p 是f r d c h e t 空间x 的弱基，则p 是x 的k 网 2 如p 是空间x 自点可数弱基，则p 为x 的k 网 这种对空间或覆盖附加一定条件从而使空间或覆盖满足一定性质也是我 们研究一般拓扑学的通常方法。 2 0 世纪公理集合论的蓬勃发展有力的促进了拓扑学的发展，特别是其基 数和序数理论为拓扑学提供了丰富的拓扑空间实例，使一般拓扑学变得更 加精彩生动。自然，拓扑学的发展反过来也应促进集合论的发展，但利用拓 扑学的理论来讨论集合论中的一些问题，这方面的论文和成果比较少见。乒 本文第四章有意做这方面的尝试，主要利用点可数基性质来讨论u ，中可数 序数指数运算问题。主要结果如下： l 1 满足等式p = 的p u ，可以具体的给出两种不同的形式。 2 利用由所有可数序数组成的线性序拓扑空间w o 不具有点可数基这一 性质证明了满足等式卢= 护的卢u 。除了这两种形式外还存在其他形式。 这一方面有助于我们理解w l 中序数的指数运算，另一方面也说明“，。中 序数指数的构造是非常复杂的。 第五章主要讨论占、可数基的映射性质和一些映射之间的关系，主要结果 有： 、 1 令：x _ y 为商s 一映射，如x 具有点可数基，则y 具有点可数k 网 2 闭s 一映射不保持点可数基性质 3 开映射不保持点可数基性质 4 紧开映射保持点可数基性质 本文第三章的结果已写成论文十一 关键词：点可数覆盖j 点可数基，、弱基，、k 网，、序列邻域网，半层空间，可 数序数：映射 本文得到了国家自然科学基金( 批准号1 9 9 7 1 0 4 8 ) 的资助 a b s t r a c t i i i g e n e r a lt o p o l o g yh a sg o n et h r o u g ho v e ro n eh u n d r e dy e a r s l d e v e l o p m e n ts i n c ei t w a si n i t i a t e dt ob e c o m eai n d e p e n d e n ts c i e n c eb r a n c hb yp o i n c a r f r o mt h ee n do ft h e 1 9 t hc e n t u r yt on o w a l t h o u g hl t si n d e p e n d e n c ea n dd e v e l o p m e n tw e r el a t em o r et e l a t i v et os o m eo t h e ra n t i q u em a t h e m a t i c a lc o u r s es u c ha sa n a l y t i c s ，a l g e b r a ，e u c l i d e a n g e o m e t r ya n dn u m b e rt h e o r y , t h r o u g ho v e ro n eh u n d r e dy e a r s ，e s p e c i a l l yt h ev i v i dd e v e l o p m e n t f r o mt h e1 9 4 0 st ot h e1 9 7 0 s ，g e n e r a lt o p o l o g ya r eg e t t i n gi n c r e a s i n g l ym a t u r e a n dp e r f e c t t on o w t h et h e o r i e s f r u i t sa n dm e t h o d so ft o p o l o g yh a v ea l r e a d ya p p l i e do r s e e p e d i n t oa l m o s te v e r y i m p o r t a n t f i e l do fm a t h e m a t i c se v e ni n t op h y s i c s ，c h e m i s t r y , b i o l o g ya n de n g i n e e r i n g i nt h er e s e a r c ha n dd e v e l o p m e n to fg e n e r a lt o p o l o g yt h em e t r i z a b l ep r o b l e mo ft h et o p o l o g i c a ls p a c e sw a sac e n t r a lt a s ki n t e r m i n a l l y t h i si sb e c a u s e t h a tm e t r i cs p a c e sh a v eal o to fg o o dp r o v e r t i e s ，a n dt h e yh a v ei m p o r t a n ta p p l i c a - t i o ni nt h ef i e l do fm a t hh o w e v e r t h e r ea r eo n l ye x t r e m e l yt i n yp a r tc a nb em e t r i z a b l ei n m a n yi m p o r t a n tt o p o l o g i c a ls p a c e s ，t h e r e f o r e ，i t w i l lh a v e i m p o r t a n ts i g n i f i c a n c et or e s e a r c h g e n e r a l i z e dm e t r i cs p a c e st i g h t l yr e l a t i v et o m e t r i cs p a c e s i nt h e r e s e a r c ho ft h et h e o r yo fg e n e r a l i z e dm e t r i cs p a c e s ，t h em e t h o do fm a p p i n ga n dc o v e r i n gi s a v e r yi m p o r t a n tt 0 0 1 e s p e c i a l l yt h ep o i n t c o u n t a b l ec o v e r sp l a yam o r ei m - p o r t a n tr o l e f 0 re x a m p l e ，t h ec o n c e p to fp a r a c o m p a c t n e s sw a si n t r o d u c e db yw a yo f u s i n gac l a s so fs p e c i “p o i n t - c o u n t a b l ec o v e rb yt h ef a m o u sf r e a c hm a t h e m a t i c i n n d i e u d o n n di n1 9 4 4 f a i r l yi m p o r t a n tc o v e r sh a v ep o i n t c o u n t a b l eb a s e s ，w e a k l yb a s e s k n e t w o r k s s e q u e n c e n e i g h h o u r h o o dn e t w o r k sa n d s oo n f a i f l yi m p o r t a n tm a p p i n g sh a v e q u o t m n ts - m a p p i n g s ，c l o s e ds - m a p p m g s ，o p e nm a p p i n g s ，o p e n a n d 。c l o s e dm a p p i n g s ，c o m p a c t a n d o p e nm a p p i n g s ，p e r f e c tm a p p l r i g s ，c o u n t a b l eb i q u o t i e n tm a p p i n g s ，c o m p a c t m a p p i n g s t h e r e f o r e ，i tw i l l h a v ei m p o r t a n tm e a n i n gt or e s e a r c ht h er e l a t i o n sa m o n g s o m ec o v e r s ，t h er e l a t i o n sa m o n gs o m em a p p i n g sa sw e l la st h ep r o v e r t yo ft h ec o v e r s u n d e rm a p p i n g s t h ep a p e rd o n ta t t e m p tt od e f i n i t en e w g e n e r a l i z e dm e t r i cs p a c ec l a s s e sa n dn e w c o v e r sa n dm a p p i n g s t h i si sb e c a u s ei nt h ed e v e l o p m e n to fr e v e n ts e v e r n ld e c a d e si n t o p o l o g y ，t h es p a c ec l a s s e sw e r ed e f i n i t e db ya l l s o r t so ff o r m a lg e n e r a l i z a t i o n sh a v e r e a c h e daf o o d e de x t e n t c o n t i n u a li n t r o d u c t i o no fn e ws p a c e sa n do v e rt i n yd i v i s i o n h a v em a d et o p o l o g yd e v e l o pt oa ne m p t yt h e o r i c a l m a r g i n t h ep a p e rt 3 ，i e s t ou s e t o p o l o g i c a ls p a c e sa n dt h e o r i e st h a nh a v ee x i s t e dt od i s c u s ss o m ei m p o r t a n tp r o b l e m si n t o p o l o g ya n d s e tt h e o r y ，a n dr e s o l v e dao p e np r o b l e mt h a tw a s p r o p o s e d i nd o c u m e n t 1 ， t h i si sa l s ot h em o s tw o n d e r f u l p a r to ft h ep a p e ra tt h es a m et i m e i ti sr e l a t i v e l y c o l o r f u l l yt h a tt h i sp a p e rm a k e su s eo fs o m ep r o v e r t i e so ft o p o l o g i c a ls p a c e st od i s c u s s t h ep r o b l e m sa b o u tc o u n t a b l eo r d i n a le x p o n e n t i a t i o na r i t h m e t i c b e s i d e s 、t h i s p a p e r g a v eo u tp l e n t i f u le x a m p l e so ft o p o l o g i c a ls p a c e s ，t h e r e b ym a d ei t st h e o r i e sb en o t e m p t ya n dn o t h i n g n o t i c et h a ta l lt h e s et o p o l o g i c a ls p a c e si nt h ed i s c u s s i o no ft h e p a p e rs a r i s f yt h ea x i o mo ft 2s e p a r a t i o n t h ec h a p t e r2o ft h i dp a p e rm a i n l yi n c l u d et w o a s p e c tc o n t e n t s ：s e m i 。s t r a t i f i a b l e s p a c e sa n dp o i n t c o u n t a b l ec o v e r s i n1 9 7 0 c r e e d ei n t r o d u c e da ni m p o r t a n tc l a s so f g e n e r a l i z e dm e t r i cs p a c e - - s e m i s t r a t i f i a b l es p a c ei nt h i sc h a p t e r ，w eg a v eo u ta ne q u i v a l e n td e s c r i p t i o no fs e m i s t r a t i f i a b l es p a c e s ： t o p o l o g i c a ls p a c e ( x ，丁) i ss e m i s t r a t i f i a b l e i fa n do n l yi fe x i s t saf u n c t i o n g ： n x 一丁s a t i s f y i n gt h et w oc o n d i t i o n sa sf o l l o w s ： ( 1 ) v z x ， z ：n 9 ( n ，c ) ：札) ( 2 ) i f z x ， x 。) cxs a t i s f y i n gv n n ，x g ( n ，z 。) ，t h e nz n 斗x a s g - - f u n c t i o n sh a v ei m p o r t a n t e f f e c ti nt h es t r a t i f i a b l es p a c e sa n dt h es e m i s t r a t i f i a 。 b l es p a c e s ，w ep r o v e dt h ei q u i v a l e n c eo ft w oc o n d i t i o n sa b o u tg - f u n c t i o n s ： l e tgb eag - f u n c t i o no fs p a c e ( x ，丁) ，t h e nt h et w oc o n d i t i o n sa sf o l l o w sa r ee q u i v a 。 i v ( 1 ) i f y x h 丁，t h e ni te x i s t sa nm n s a t i s f y i n gygg ( m ，h ) = u9 ( m ，z ) ( 2 ) f o rap o i n tx o fxa n ds e q u e n c e z n ) c x ，i fx g ( n ，z n ) ，t h e nx n _ x t h em a i nr e s u l t sa b o u tp o i n t c o u n t a b l ec o v e ri nc h a p t e r2i s ： i fxh a sap o i n t c o u n t a b l ec o v e r s a t i s f y i n g ( b ) ，t h e nx i sn e c e s s a r yas n f - c o u n t a b l e s p a c e i n1 9 9 5 ，i tp r o p o s e dao p e np r o b l e mi n d o c u m e n t 【1 ：i fp i saw e a k l yb a s ef o ra r e g u l a rs p a c ex t h e nw h e t h e rp i sak - n e t w o r kf o rxo rn o ? c h a p t e r3o ft h i s p a p e r r e s o l v e dt h eo p e np r o b l e m t os p e a kc o n c r e t e l y ，j u s tw eg a v eo u taw e a k l yb a s epf o r ac o n c r e t er e g u l a rs p a c ex ，b u tpi sn o tak n e t w o r kf o rx ，j u s tt os a y t h ea n s w e ro f t h i sp r o b l e mi sn e g a t i v e f o l l o w i n gw ed i s c u s sw h a tc o n d i t i o n sa r ea d d e dt oa s p a c eo r a w e a k l yb a s e t h e naw e a k l yb a s ew i l lb eak n e t w o r k t h e r ea r et w oi m p o r t a n tr e s u l t s a b o u tt h i sa s p e c t ： 1i fpi saw e a k l yb a s ef o raf r d c h e t s p a c ex ，t h e np i sak - n e t w o r kf o rx 2i f 尹i sap o i n t c o u n t a b l eb a s ef o rs p a c ex t h e npi sak - n e t w o r kf o rx t h i sk i n do fm e t h o dt h a ta d d sc e r t a i nc o n d i t i o nt oas p a c eo rac o v e rs ot h a tt h es p a c e o rt h ec o v e rs a t i s f i e sa g i v e np r o v e r t yi sa l s oac o m m o n m e a n sf o ru st or e s e a r c hg e n e r a l t o p o l o g y t h ev i v i dd e v e l o p m e n to fa x i o m a t i cs e tt h e o r ym i g h t i l yi m p r o v et h ed e v e l o p m e n t o ft o p o l o g yi nt h e2 0 t h c e n t u r y l e s p e c i a l l y i t sc a r d i n a la n do r d i n a lt h e o r ys u p p l i e d a b u n d a n de x a m p l e so ft o p o l o g ys p a c ef o rt o p o l o g y ，a n dm a d eg e n e r a lt o p o l o g yg e t m o r ew o n d e r f u la n dl i v e l y o fc o u r s e t h ed e v e l o p m e n to ft o p o l o g yi nt u r na l s os h o u l d i m p r o v et h ed e v e l o p m e n to fs e tt h e o r y ，b u tt om a k eu s eo ft h et h e o r yo ft o p o l o g yt o d i s c u s ss o m ep r o b l e m si ns e tt h e o r y ，t h ea r t i c l e sa n da c h i e v e m e n t sa b o u tt h i sa s p e c t a r er e l a t i v e l ys e l d o mc h a p t e r4o ft h i sp a p e rh a st h ep u r p o s et od os o m ea t t e m p t s a b o u tt h i sa s _ d e c t 一m a i n l yu s e st h ep r o v e r t yo fp o i n t c o u n t a b l eb a s et od i s c u s st h e p r o b l e m sa b o u tc o u n t a b l eo r d i n a le x p o n e n t i a t i o na r i t h m e t i ci n0 3 1 t h e m a i nr e s u l t s a r ea sf o l l o w s ： 1t h e 口u ls a t i s f y i n gt h ee q u a t i o n 卢= u 9m a yh eg i v e no u tt w oc o n c r e t e l y d i f i e r e n tf o r m s ， 2t h r o u g hm a k i n gu s eo ft h ep r o v e r t yt h a tt h el i n e a ro r d e r e dt o p o l o g i c a ls p a c ew 0 w h i c hi sc o m p o s e do fa l lc o u n t a b l eo r d i n a ln u m b e r sh a sn o tap o i n t c o u n t a b l eb a s e ，w e p r o v e dt h a tt h e 盆h ) 1s a t i s f y i n gt h ee q u a t i o n 口= u h a so t h e rf o r m sb e s i d e st h et w o f o r m s o no n eh a n d ，t h e s er e s u l t sw i l lc o n t r i b u t eu st ou n d e r s t a n dt h ee x p o n e n t i a t i o n a r i t h m e t i co fo r d i n a li nu 】，o nt h eo t h e rh a n d ，t h e ya l s oe x p l a i nt h ec o n s t r u c t i o no f o r d i n a le x p o n e n t i a t i o ni nu li sv e r yc o m p l i c a t e d c h a p t e r5m a i n l yd i s c u s st h ep r o v e r t i e so fp o i n t c o u n t a b l eb a s eu n d e rm a p p i n g s a n dt h er e l a t i o n sa m o n gs o m em a p p i n g s t h em a i nr e s u l t sh a v e ： 1 l e t ，：x _ yb eaq u o t i e n ts - m a p p i n g ，i fx h a sap o i n t c o u n t a b l eb a s e ，t h e n 、r h a sap o i n t c o u n t a b l ek - n e t w o r k 2 c l o s e ds - m a p p i n g sd on o tp r e s e r v et h ep r o v e r t yo fp o i n t c o u n t a b l eb a s e 3 o p e nm a p p i n g sd on o tp r e s e r v et h ep r o v e r t yo fp o i n t c o u n t a b l eb a s e 4 c o m p a c t a n d o p e nm a p p i n g sp r e s e r v et h ep r o v e r t yo fp o i n t c o u n t a b l eb a s e t h er e s u l t so fc h a p t e r3i nt h ep a p e rh a v eb e e nw r i t t e ni n t oa r t i c l e k e y w o r d s ：p o i n t - c o u n t a b l ec o v e r ，p o i n t c o u n t a b l eb a s e ，w e a k l yb a s e ，k 。n e t w o r k ，s e q u e n c e n e i g h b o u r h o o dn e t w o r k ，s e m i s t r a t i f i a b l es p a c e ，c o u n t a b l eo r d i n a l ，m a p p i n g 2 q 鲤生麴生垡煎主! 毒互熬五互盈甚哇数蝗厦盟宝 l 第一章引言 5 11 综述 一般拓扑学的发展已经历了一百多年的历程，其理论，成果和方法早已 应用和渗透到几乎每一个重要的数学领域，如函数和复分析理论，泛函分 析，动力系统和偏微分方程的定性理论，算子理论和代数学等等。数学大 师h i l b e r t 在1 9 0 0 年巴黎国际数学家大会上作的( ( 数学问题自著名演讲中 指出，只要一门科学分支能够提出大量的问题，它就充满活力，而问题缺 乏则预示着独立发展衰亡或中止。2 0 世纪一般拓扑学的发展雄辩地证实了 h i l b e r t 的名言1 9 4 4 年法国数学大师d i e u d o n n d 引进仿紧性的概念是一般 拓扑学进入全盛期的重要标志随后拓扑空间论以惊人的速度迅猛发展， 其表现形式是为适应不同的目的而定义或发现了各种各样的拓扑性质，其 基本方向是为了解决各类问题而对仿紧性与度量性作各式的推广。这些工 作产生了近四十年一般拓扑学研究的重要课题一覆盖性质与广义度量空间 理论。 广义度量空间理论与覆盖性质理论中的许多问题涉及点可数覆盖的研 究。在这里特别值得一提的是，我国优秀的拓扑学家林寿所著的两本专著 广义度量空间与映射( 科学出版社，1 9 9 5 ) 和点可数覆盖与序列覆 盖映射) ) ( 科学出版社，2 0 0 2 ) 比较系统的总结了2 0 世纪6 0 年代以来广 义度量空间和覆盖性质理论方面的重要研究成果，特别是我国优秀拓扑学 家在这方面的贡献这两本书中的理论可以说是广义度量空间理论探索的 最前沿，其中包括了许多有趣的且相当重要的尚未解决的公开问题本文 所用的大部分已有理论，概念以及所解决的公开问题就来源于这两本书。 2 0 世纪7 0 年代拓扑学中引入了弱基，弱邻域这两个概念，随后证 如p 是空间x 的弱基，则p 是x 的c s 一网但若p 是i f a t j 空间x 的 那么p 是否为x 的k 网? 是一个至今尚未解决的问题与此同时， 则空间x 的弱基p 不必为其k 网，那么对空间x 或覆盖p 附加什 条件7 9 就成为x 的k 网了呢? 在集合论中，有v p u ，卢成立 明了： 弱基， 如果正 么样的 ，是否 有v 口eu 1 ，卢 n o ，使z 。莹u ，如取珊= 1 ，则存在 n l n o ，使z n ，gu ，对n 1 ，可取n 2 n 1 ，使x 。gu ，这样归纳地就可以定义 z 。) 的子序歹4 z 。 ，使z 。gu ，= 1 ，2 ， 由于。u = x ( x u ) ，则由( 1 ) 可知，j m n ，使z 仁g ( m ，x u ) ， 对m ，3 k n ，使n k m ，由于g 为廿函数，则有9 ( n k ，z 。) cg ( m ，2 c n k ) ，而 g ( m ，z 。) cg ( m ，x c 厂) 且zeg ( n k ，x n k ) ，从而z g ( m ，x u ) ，这是一个矛盾 因业已z 。+ 正 ( 2 ) 号( 1 ) 对y x h 丁，假设v m n ，有y g ( m ，日) = ug ( m ，t ) ，则对 每一个m n ，j z 。h ，使y g ( m ，z 。) 由( 2 ) 可知z 。叶y ，由于h 为闭集， 则y h ，这与y x h 矛盾因此必存在m n 使yg9 ( m ，日) 证完 22 点可数覆盖 我们先给出一些概念的定义 定义2 2 1 ( 文献【2 ) 条件( b ) 设p 为x 的覆盖，称p 具有( b ) ，如果 zeu 丁，则存在芦p “使得z i n t 。( u ，) cu ，c “，且zen ， 定义22 2 ( 文献1 2 ) 设x 是一个空间，pcx ： ( 1 ) 若x 中的序列 茁。) 收敛于x ，称 z 。) 是终于p 的，如果存在m n ， 使得 z u ( x 。：n m c