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中山人学颀上毕业论文 m o r r e y 空问的小波袁示 中文摘要 小波分析是从调和分析中发展起来的新的数学领域，近年来它广泛应用于 数学的各个分支，具有很高的价值。小波的好处体现在小波基上，小 波基是满足非常好性质的函数序列，而小波系数能很好的刻划很多函数空间。从 某种意义上说，小波系数就是函数的词典。很多经典的空间，如p 空间，空 问，b m o 空间，l i p s c h i t s 空间，都可以用小波来表示。本文研究m e r r o y 空间的 小波表示，函数f 属于m o r r e y 空间f 一，是指：对任意中的开球b ，存在只 依赖于f 的常数c = c ( ，) ，使得。s 。u p r ；2 l ，( x ) 一厶ra k _ c 成立，其中 厶2 南厂( y ) d y ，b 为肜中的球1 p o 。，日五( o ，胛+ p ) 。2 0 0 7 年，x u a n t h i n h d u o n g ，肖杰，颜立新的新结果m o r r e y 空间的l i t t l e w o o d - p a l e y 表示，很好的利 用了调和分析工具完成了对上尸4 的刻划；本文的主要工具是d a u b e c h i e s 小波， 利用紧支集和良好的光滑性，我们给出了m o n e y 空问的小波刻划。 关键词：m o r r e y 空间，l i t t l e w o o d p a l e y 表示，小波基，d a u b e c h i e s 小波。 中山人学顾上毕业论文 m o n e y 空日j 的小波表示 a b s t r a c t f o rr e c e n ty e a r sw a v e l e t sa n a l y s i sh a ss h o w ng r e a tv a l u eo n p u r em a t h e m a t i c sa n da p p l i e dm a t h e m a t i c s ，w h i c hd e v e l o p e df r o m h a r m o n i c a n a l y s i s t h ea d v a n t a g eo fw a v e l e t si sr e p r e s e n t e di n w a v e l e t s b a s e ，w h i c h a r e f u n c t i o ns e r i e sw i t h v e r yg o o d p r o p e r t y a l s ow a v e l e t sc o e f f i c i e n t ，w h i c h c a nc h a r a c t e r i z e m a n y f u n c t i o ns p a c e se f f e c t i v e l y , i sc o n s i d e r e da sad i c t i o n a r yo ff u n c t i o n m a n yc l a s s i c a lf u n c t i o ns p a c e s ，s u c ha s ，l ps p a c e ，h 9 s p a c e ，b d o s p a c e ，l i p s c h i t ss p a c e ，h a v ew a v e l e t sc h a r a c t e r i z a t i o nr e s p e c t i v e l y w es t u a y m o n e ys p a c ei nt h i sp a p e r , w h i c hi sd e f i n e df o l l o w i n g ： f o ra n yo p e nb a l l ，t h e r ee x i s tc o n s t a n tct h a td e p e n do n l yf u n c t i o n f ，删i s 鼢磐胍矿厶1 9 出气c w h e 2 高枷溉b i sab a l l o f 月”，1 s p o o a n d ；t ( o ，胛+ p ) b yt h es m o o t h n e s sa n dc o m p a c ts u p p o r t o fd a u b e c h i e sw a v e l e t s ，w eh a v ep r o v e dan e wr e s u l t ：w a v e l e t s c h a r a c t e r i z a t i o no fm o r r e ys p a c e ，w h i c hf o r mad e s c r i b et o g e t h e r w i t h l i t t l e w o o d p a l e yc h a r a c t e r i z a t i o n o fm o r r e ys p a c e ，t h a ti sa d e v e l o p m e n tl a t e s tb yx u a nt h i n hd u o n g ，j ix i a o ，l i x i ny a n k e y w o r d s ：m o r r e ys p a c e ，c h a r a c t e r a t i o no fl i t t l e w o o d - p a l e y , w a v e l e t sb a s e ，d a u b e c h i e sw a v e l e t s 1 1 中山大学硬上毕业论文 m o r r e y 空间的小渡表示 第一章综述 在调和分析中，函数空阀的研究占有重要的地位。从l e b e s g u e 空间p 到 h a r d y 空间h p , b m o 空间，爵到b e s o v 空间，t r i b l e l i z o k i n 空间，都在调和分 析以及微分方程中发挥了重要的作用。本文研究另外一个重要的空间 m o r r e y 空间。 m o r r e y 空间是1 9 3 8 年由c b m o r r e y 在研究拟线性偏微分方程解时引进的。 ( 见 1 3 ) 称一个彤上局部可积的复值豳数f 属于m o r r e y 空间f ，。( 彤) ， 1 p o 。，且五( o ，刀+ p ) ，对任意r ”中的开球b ，存在只依赖于f 的常数 c = c ( 门，使得 删s u rf ；。胁) 一硝d x _ c ( 1 1 ) 成立，其中厶2 高( y ) 砂，b 为中的球。 注意到，当五= 0 时，p 4 即为模去常数的空间； 当a = 丹时，p 。为b m o ( 有界甲均振动) 空间。这时由j o h n - n i r e n b e r g 不 等式( 见文 3 ) 知，4 空间都表示同一空间，v p f 1 ，+ 。o ) ； 当a ( n ， + p ) 时，f 2 为m o r r e y - c o m p a n a t o 空间，即齐次l i p s c h i t z 空间 “塑( 彤) 本文研究的m o r r e y 空间特指，0 2 门，1 p 0 0 的情形。在这种情形下 的m o n e y 空间的研究也有很长的历史。它的很多重要的结果被广泛应用于调和 分析和偏微分方程。 1 9 8 6 年，z o r k o 证明了f 。的一个前对偶空间为h ”，见文【4 】。该定理将在 本文证明中用到，后面部分将会列出。1 9 9 8 年，k a l i t a 证明了，。的另一个前对 中山大学硕士毕业论文 m o n e y 空问的小波表永 并揭示了o 空间与m o r r e y 空间的关系，即q 空间能看作m o r r e y 空间的分数次 定理1 ：设1 p o o ，o a i v ，且，肘厄p 。那么下列条件等价： c z ，c 厂，p ，= 墨黑咯弓4 r l r 言异，1 z ，孚) ；0 旷。肿 m c 3 ， 这里朋o = 厂坛p ( ) ：i m ) r 0 + 扩1 ) 一1 o ( r ”) 嚣考( ( 磊。1 2 2 ) 詈出) ； ( 1 4 ) p a ( r 1 ) = ，r = 2 一k + 2 1 _ 1 s ，z ，k 刀，占e ，e 是集合 o ，1 ) ” 除去( o ，o ，0 ) ，为具有紧支集的f 正则的d a u b e c h i e s 小波，l 。q ( r 1 ) 表 中山大学硕上毕业论文 m o n e y 空r 日j 的小波表示 示由2 j x k 【o ，1 ) ”定义的二进方体，硒( w ( x ) 是q ( 刁) 上的特征函数，b 为中的 任意球，珞代表球b 的半径。 定理的证明我们将在第三章给出。 巾l l 丈学硕上毕业论文 m o r r e y 空闻的小波表示 第二章基本知识和概念 2 ，1l i t t l e w o o d p a l e y 理论 l i t t l e w o o d p a l e y 理论是由l i t t l e w o o d ，p a l e y 及m a r c i n k i e w i c z 等人在2 0 世纪 3 0 年代建立的，但其主要结果局限在一维的情形，多维的情形则是在5 0 年代至 7 0 年代实分析技术发展之后才逐步建立起来的，l i t t l e w o o d p a l e y 理论主要有三 个发展路线。其一是辅助g 函数方法，除了其应用外，g 函数方法揭示了诸多解 析情形( 例如核的有界性，点态收敛) 的许多行之有效刻画可以根据适当的 二次型表示式来给出；其二可根据f o u r i e r 分祈给出函数二进制分解，借此来建 立和发展l i t t e r w o o d p a l e y 理论；其三m a r c i n k i e w i c z 型的乘子定理，它给出了函 数f ( x ) 是乘子的一个有用的充分条件。 这里，我们来介绍一下l i t t l e w o o d p a l e y 理论的g 函数方法。 l i t t l e w o o d p a l e y 的g 函数本质上是一个非线性算子，借助于p o i s s o n 积分可 以给出其p 模的估计，这估计不仅在乘子理论e o 有用，在函数空间理论中也 有重要作用。 定义2 1 1 设厂( x ) p ( ) ，u ( x ，力2 p y ( t ) f ( 工一t ) a t 是其相应的p o i s s o n 积 分，称： g ( 力= ( f 陬五埘y d y ) j ( 2 1 ) 是厂( x ) 的l i n i e 、o 。d p a l e y g 函数，这里= 蒡+ 喜毒表示群“上的l a p l a c e 鼾i v 1 2 槲+ 刹2 m 2 = 刹2 。 定理2 1 1 设厂( 功p ( ) ，1 p o o ，则g ( 力p ( ) 且 ，- o g ( ) = ( f i ，+ ( x ) 1 2 孚) ；，1 p 。，八z ) l p ( 肜) ( 2 4 ) 空间，l i p s c h i t s 空间a 。( ) 定理2 i 2 ( h a r d y 空间的l i t t l e w o o d p a l e y 表示) 设厂( x ) h ”，o p - 1 ， m 抑功1 2 吼 m 旺s ， s u p c 两1 啦w j 2 挚丸佃 汜s ， 0 盯 1 ，则厂a 。( r ”) 当且仅当 磐专t 南计詈p + 八x ) 1 2 和； 佃 c z 大学硕上毕业论文 m o r r e y 空斛的小渡表示 2 2 小波分析理论 小波分析是近年来发展起来的极为活跃的数学分支，它几乎同时为纯粹数学 家及其他各种领域( 譬如地震预测，矿藏勘测，量子物理，声学分析，音乐合成 等) 的专家所发现，并得到越来越广泛深入的应用。 小波概念是法国地质学家j m o r l e t 和a g r o s s m a f l n 在分析地震数据时引进 的，但从数学理论上来看，小波理论的思想根源于经典的调和分析，特别是 l i t t l e w o o d p a l e y 理论。调和分析的一个重要内容是研究函数与分布，传统的 工具是f o u r i e r 展开。我们知道，f o u r i e r 展开的函数系 p “ 是r ( o ，2 万) 的正 交基。但是当l p o o ，p 2 时，它仅是r ( 0 ，2 万) 的s e h a u d e r 基，对于h o l d e r 空间c 7 来说，它甚至不是一个s c h a u d e r 摹，更不是无条件基。它的缺陷在于函 数e “没有适当时间域上的局部性，只具备频率域上的局部性；而h o l d e r 函数也 无能为力。小波级数汲取了二者的优点，同时具备时间域和频率域上的局部性， 所以能很简单、很有效的处理函数或分布。 y v m a y e r 所著 w a v e l e t sa n d0 p e r a t i o n ( 1 5 ) 一书指出，适当的 小波摹是( 1 p ) 、h ”( 0 p 1 ) 、b m o 、( 哪 s o o ) 、c ( o ，1 ) 及b e s o v 空间b p ”( o 。 口 a o , o p , q ) 的无条件基。本文的目的是要证明 m o r r e y 空间的小波表示。 下面介绍些小波的摹本概念，本节的内容均可以从【1 5 】中查到。 定义2 2 1 ( 小波) 小波是函数空间r ( 彤) 中满足下列条件的一个函数或 者信号5 f ，( x ) ： 钵 。 ( 2 8 ) 式中r + = r - o 表示非零实数全体。有时，妒( x ) 也称为小波母函数，条件( 3 5 ) 称为：“容许性条件”。 6 巾i l i 大学硕士毕业论文 m r e y 空闻的小波袁求 很显然，如果多( 们在w = o 连续，则多( o ) = 0 ，从而( x ) d x = 0 这说明了“波 动”的特点。 定义2 2 2 ( 多分辨率分析) r ( 彤) 的一个多分辨率分析是r ( ) 的一列单 调上升的子空间一( _ ，z ) ，它们具有以下性质： ( i ) n 一= 0 ，u 在z ”) 中稠密； 。一o ( 1 1 ) v r ( 彤) ，w z ，f ( x ) e 匕f ( 2 x ) 一+ i ； ( i j i ) v r ( r ”) ，v k z ”，f ( x ) e v o f ( x 一女) ； 0 v ) 存在一个函数g ( x ) v o 使得g ( x - k ) ( k z ”) 是空间v o 的一组r i e s z 基。 多分辨率分析的一个简单例子是一维r 阶样条函数的嵌入空间，函数 f ( x ) 一的节点恰恰是在点后2 7 ( 七z ) 。 定义2 2 3 ( 小波基) 设n l 是一个非负整数，e = o ，l ” ( o o ) ，函数族 虮( x ) ，。称为m 类的摹小波，如果它满足下面的性质： ( i ) 虬( x ) 及它的直到n l 阶微商都属于r ( ) 并且在无穷远处部是速降的； ( i i ) p 。 ) d x = o ，只要l d l 小； ( 1 1 1 ) 函数列22 虬【2 x - k ) ( ，z ，t 刀，s e ) 构成r ( 掣) 的一组正交摹。 ， 函数2 2 妒( 2 x - k x j z ，七z ”) 称为由“母亲”生成的小波，而条件( 1 ) ( 1 1 ) 分别表示加到“小波的母亲”上的正则性，局部性及振动性。由简单的尺度 变换知，小波本身也满足这些条件。确切的说，如果用i 表示二进区间 【k - 2 ，( t + 1 ) 2 ) ，并设i t ，= 2 2 y ( 2 i x e ) ，用r 记所有二进区间i 的集合，那 么本质上是集中在区间l 上。 函数是小波，由定义，一个实直线上给定的函数的小波级数分解是等式 ( x ) = 口( ，) 妒，( 力，其中口( ，) = ( ，竹) ( 2 9 ) ，e r 当f l 2 ( r ) 时，由于( 2 9 ) 式右边按三2 ( ) 模收敛到厂( x ) ，这个等式完美 7 中山大学硕上毕业论文m o n e y 空问的小波袁示 无缺地成立。当l p o 。时，该等式仍有效，( 2 9 ) 式收敛至：l j f ，而且右边的级 数是交换收敛的。然而，当厂( x ) 属于r ( r ) 或( 胄) 时，( 2 9 ) 式就没有用了， 例如厂( ；l 。 一个可以解决的办法是引入第二个函数烈，我们称它为“小波的父亲”， 则刚才的困难就消失了。烈x ) 与( x ) 一样，具有性质( i ) ，但是条件妒( x ) 出= 1 代替了( i i ) ，又用条件“c # ( x - k ) ( k z ) 与，( ，r ，1 1 l o ，当i 叫 7 1 时，妒( f ) = o ) 的充分必要条件是： 滤波器何( w ) 的系数 ) 是有限长度，即存在n ，当h 时，厅( n ) = o 。 从而我们有 日( w ：( 兰三) x 绞r 一一)( 2 9 ) 、其中q ( z ) 是变量z 的实系数多项式。这时，l q ( p ) 1 2 = q ( p 一) q ( e ) 一定可以 写成正弦级数s - n 2 ) 的实系数多项式，简记为妖s i n 2 ( ，b p ： 防1 2 叫s i n 2 ( 争 这样，由( 2 8 ) 得到 ( 1 一y ) “p ( 力+ _ ) ，“p ( 1 - y ) = l ，p ( y ) - - 0v y 【o ，i 】( 2 1 0 ) 通过r i e s z 引理求得( 2 1 0 ) 中的p ( 力，从而得到y ( 2 9 ) 中的q ( e ) ，变 可以得到具有紧支集的d a u b e c h i e s 小波。 定理：对任意整数，l ，存在 ( r ) 上的一个多分辨分析形，它是r 正则的， 并且它决定的妒与少是紧支集的。更进一步，存在一个常数c 使得对任意的 r - i ，p 与妒的支集包含在【仃】中。 选定消失矩n = 2 ，旯( 力= 0 ，这时， 最( y ) = ，y ，= l + 2 y ，q ( z ) = 口o + a l z 。 j - - o | 9 2 ( f 叫s i n 2 - 1 + 2 s i n 2 睁 得方程组： f f f i f f 人学硕上毕啦论文 m o r r e y 空目j 的小渡表示 j ( + q ) 2 = 1 【- 4 a o a i = 2 隅= 学学 根据系数有限共轭滤波器的构造： 日( w ) = i ia 。+ l ( 2 a o + 啦+ 三( + 2 q ) e - 2 * + 丢a 1 矿 及定义h ( 协= 吃p 得：= 去( 1 + 局，啊= 去( 3 + 夙 鸣= 去( s 一西，岛= 去( 一向 则尺席方稃果： ：型独业血坐雩堑坐型地 小波方程 5 f ，j ) ：拒窆( 一1 ) t 丘纵2 f + 一1 ) ：! ! 堑亚堕二虹! 鱼丛望塑二鱼避业二! ! 二鱼丝垄 4 所以，尺度函数似，) 和小波函数l f ，( f ) 都是紧支集的。 下面，我们将依次给出胪，h ，b m o 的小波刻划。 定理2 2 1 ( 空间) 在( r ”) 中，l p o o ，下面三个模是等价的： ( 1 ) 。 c ：，8 ( 善l 口e 五，r q c 五，广，如c x ，) ；虬 ( 2 1 1 ) 中山人学硕士毕业论文 m e c r e y 空目的小波表示 c 。，畦萎i c r c j t ，1 2 i v ，zcx，j2于l。 f 2 1 2 ) 这里，口( a ) = ，q ( 五) 是表示由2 j x - k o ，1 ) ”定义的二进方体，虬 为r 正则小波，r 1 。 证明：参考【2 】第六章第二节定理1 。 定理2 2 2 ( h 9 空间) s h 9 ( 彤) 是满足条件： ( 萎k 到2 阮( 砷1 2 ) j f ( 彤) c z ， 的小波级数口( 五) ( x ) 的和。这里s = 五唧( x ) ，而吼( x ) 是p 原子，并且 k r m ，o p 满足以下的c a r l e s o n 条件： s u p 南。磊。i 酬2 c 证明：参考【2 】第五章第六节定理4 。 ( 2 1 4 ) 中i “太学硕上毕业 龟文 m o r r e y 空间的小波表示 第三章主要定理及证明 正如第一章所叙，本章的证明将使用以下对偶定理。 对偶定理：l p 一= ( h q , a ) 这里三+ 上：1 ，其中h 是由所有原子月线性组合构成的空间，对任意的 qp “曲h 原子，即a ( x ) 满足： ( 1 ) s u p p a ( x ) cb ( 2 妣( x ) 乳c 9 ( 3 ) i 甜( x ) 出= 0 证明：见文( 4 】。 下面的定理2 为本文的主要结果。 定理2 ：1 蔓p o o ，0 五 1 。绞节) 表 示由2 i x k 【o ，1 ) ”定义的二进方体，( x ) 是g ( 玎) 上的特征函数，b 表示科中 的任意球，吃代表球b 的半径。 注：为了避免繁杂的记号，我们仅对n = l 的情形给出详细的证明。至于疗 1 的情形，证明过程完全沿袭n = l 的过程，并没有本质的区别。 当n = l 时，定理2 叙述为： 1 p 。，0 a 1 ，则以下条件等价： 1 4 中l l f 大学硕士毕业论文 m o r r e y 空间的小波表示 ( i ) f _ ( r ) c i 。嚣方。蒹。陬m 牡2 j 小工萨出声 0 ，对任意f i 向a ( x ) h q 一，都有： 少( x ) 口( 工) 出ls c ( 3 5 ) ! 尸 出 p 一2 ” 球 y 孙厶 一 厂 肚 r 上兰 一 8旷 厶 一 、 上兰 c p 玩幻( y ) 】；方 0 ( ，t ) c 4 b ( j ( l a ( j ，j i ) 1 22 j z e “”( y ) ) i d y ) 9 p - ( j ( b 1 2 2 jz 。u , k ) ( y ) ) ；砂) q ( j k = 4 b ( ( ，) 1 2 2 知。) ) i 咖) 9 l l a r s ，即 2 一，珞，于是我 门按q ( ，) 的区问长度分类，分成2 一e 2 “1 r b ，2 。】，z = l ，2 ，3 ； q ( j ，j i ) n b 矿，月q ( j ，后) 的区间长度2 一e 2 “，2 7 白】，故9 ( ，七) 2 b 从而将积分区域放大，得到( 3 1 2 ) ； 又( 3 1 3 ) 式用了c a u c h y s c h w a r z 不等式； 而( 3 1 4 ) 用了h o l d e r 不等式； 对于( 3 1 5 ) 式，可由以。卜推出： l i 1 p 止口( x ) 出l k 口( 上) l 出 = e b z * 班口c 叫出 地b z * t ，p 陋i i ， 。l ( 上( c 2 j ) ，a x ) i i i c 2 铀b i i 口 而( 3 1 6 ) 基于以下计算： 1 8 中山火学硬上毕业论文m o n q 空问的小波表示 皿，：1 ：毛洲汹h l i 帝：，c 球砂) ； “1 1 口1 t 弘鼬，：、。毛，p ，；砂 ； “1 1 , , 1 1 州磊z 1 ；砂 i 姊虬吲抽。砖助 i 蚓川弘口饼； 对于( 3 1 7 ) 式， 陋e 吲；簪 = 去埠铂b ；荨 ( 2 7 r d 98 s c 上蜊声； ( 2 7 ) j 2 - 1 而( 3 1 8 ) 式，由2 筇= 1 可知( 2 ，) 9 c ： ，= 1 最后，( 3 1 9 ) 可由( i i ) 可得。 于是结合( 3 5 ) ，我们便完成了对定理2 的证明。 1 9 中f i i 犬学硕上毕业沦文 m o r r e y 空闻的小波表示 参考文献 【】c b m o r r e y , o nt h es o l u t i o no f v a r i a f i o n sa n dr e l a t e dt o p i c s ，p r o c ，a m e r m a t h s o e i ( 1 9 4 3 ) ，1 1 3 0 【2 】m e y e l d 、波与算子，世界图书出版社，1 9 9 0 【3 】f j o h na n dl n i r e n b e r g ，o nf u n c t i o n so fb o u n d e dm e a no s c i l l a t i o n c o m m p u r e a p p l m a t h 1 4 ( 1 9 6 1 ) ，4 1 5 4 2 6 【4 】c t z o r k o ，m o n e ys p a c e p r o c a m e r m a t h s o c 9 8 ( 1 9 8 6 ) ，5 8 6 5 9 2 【5 】d r a d m a sa n dj x i a o ，n o n l i n e a rp o t e n t i a la n a l y s i so nm o r r e ys p a c e sa n dt h e i r c a p a c i t i e s i n d i a n au n i v m a t h j 5 3 ( 2 0 0 4 ) 1 6 2 9 1 6 6 3 【6 】z j w ua n d