（基础数学专业论文）对径图与有q多项式结构的二部图.pdf

摘要 本文分为两大部分第一部分主要研究了对径图，首先利用组合方法，通过研究交叉表 和交叉阵列得到了对径图的一些充要条件；然后利用代数方法，根据图的代数性质研究了 对径图的一些新结果第二部分研究了c 2 = 2 ，3 的具有q 一多项式结构的二部距离正则 图，通过距离正则图顶点集的一个划分得到了交叉数间的一些关系 本文的主要结论如下： 设f = ( x ，e ) 足直径为d ，价k 3 的距离正则图若b 1 = c d 一1 ，b a = 1 ，则p 足对径图 设f = ( x ，e ) 足价k 3 的距离正则图，直径d = 2 e + 1 ，其中e n + ，e 2 如果 b i = c d - i i 1 ，2 ，e 一1 ，e + 1 ，则f 是对径图 设r = ( x ，e ) 足价k23 的罡巨离正则图，直径d = 2 e ，其中e n + ，e 2 如果b i = c d 而 i 1 ，2 ，e 一1 ) ，则r 足对径图 设r 足d 3 的二部q 一多项式距离正则图若b 1 = c d 一1 ，则r 足对径2 一覆盖 。 设r 足d 3 ，k 3 的对径图，e 为r 的非平凡本原幂等元，钟，足关于e 的 对偶特征值序列若r 关于e 足q 一多项式的，则 箜二堕 ： 箜二! i：箜二堕： = 一= = 一= 口：一2 一铭一l铭一3 一目：一1 一铭一l 呓一铭噬一铝够一- 一 p ；一3 一目：够一4 一铭0 ：一p ； 且比值为1 或者一1 设f = ( x ，e ) 足d 4 ，k 3 的具有q 一多项式结构的二部距离正则图，且满足c 2 = 2 ， 则下列情形之一成立 ( 1 ) r 是2 一齐次的 ( 2 ) c i + l = g + 1 与c i = c i l + 1 不能同时成立，其中2 i d 一1 设r = ( x ，e ) 足d 4 ，k 3 的具有q 一多项式结构的二部距离正则图，且满足c 2 = 3 ， 则交叉数有下列性质 ( 1 ) 2 q = c i + l 一1 与c i = q 一1 + 1 不能同时成立，其中2 i d 一1 ( 2 ) b i = b i + l + 1 与2 b i = b i l 1 不能同时成立，其中2 i d 一1 式 关键词：距离正则图对径图二部图交叉表正则薄拟( 2 d + 1 ) - 边形q 一多项 a b s t r a c t t h e r ea r et w op a r t si nt h i st h e s i s i nt h ef i r s tp a r t ，w es t u d ya n t i p o d a lg r a p h f i r s t ，b ym e a n o fc o m b i n a t i o nw eo b t a i ns o m ec o n d i t i o n so fa n t i p o d a lg r a p h ；t h e nb ys t u d y i n gt h ea l g e b r a i c a l c h a r a c t e ro fg r a p hw ef i n ds o m en e wr e s u l t sa b o u ta n t i p o d a lg r a p h i nt h es e c o n dp a r t ，w es t u d y q p o l y n o m i a lb i p a r t i t ed i s t a n c e r e g u l a rg r a p h sw i t hc 2 = 2 ，3 , a n do b t a i ns o m er e l a t i o na b o u t t h ei n t e r s e c t i o nn u m b e r so ff b yu s i n g ap a r t i t i o no fv e r t i c eo ff t h ef o l l o w i n ga r eo u rm a i nr e s u l t s l e tr = ( x ，e ) b ead i s t a n c e - r e g u l a rg r a p h sw i t hd i a m e t e rda n dv a l e n c yk 3 i fb t = c d 一1 ， 5 3 = 1 ，t h e n1 - i sa n t i p o d a l l e tf = ( x ，e ) b ead i s t a n c e - r e g u l a rg r a p h sw i t hv a l e n c yk 3a n dd i a m e t e rd = 2 e + 1 ， w h i l ee n + ，e 2 1 f6 i = c a 一 ，i 1 ，2 ，e 一1 ，e + 1 ) ，t h e nri sa n t i p o d a l l e tr = ( x ，e ) b ead i s t a n c e - r e g u l a rg r a p h sw i t hv a l e n c yk 3a n dd i a m e t e rd = 2 e ，w h i l e e n + ，e 2 i f b i = c d t ，i ( 1 ，2 ，e 一1 ) ，t h e n r i s a n t i p o d a l l e tr = ( x ，e ) d e n o t eab i p a r t i t ed i s t a n c e - r e g u l a rg r a p hw i t hq p o l y n o m i a ls t r u c t u r e ，a n d w i t hd 3 i fb l = c d l ，t h e nl - i sa n t i p o d a l2 - c o v e r l e trb eaa n t i p o d a lg r a p hw i t hd 3 ，k 3 s u p p o s ee i san o n t r i v i a lp r i m i t i v ei d e m p o t e n t o fr ，a n d 8 ：，0 ：a r ed u a le i g e n v a l u es e q u e n c ew i t hr e s p e c tt oe i ffi sq - p o l y n o m i a l r e s p e c t t oe ，t h e n 箜二! i ： 箜二! i：箜二垡： 口：一2 9 ：一l口：一3 一口：一l 0 j 一目：一l 箜二笪：箜二笪：箜= ! 二箜 够一3 一铭够一a 一够0 ：一够 m o r e o v e rt h eq u o t i e n ti slo r 一1 l e tr = ( x ，e ) d e n o t eab i p a r t i t ed i s t a n c e r e g u l a rg r a p hw i t hq p o l y n o m i a ls t r u c t u r e ，a n d w i t hd 4 ，k 3 i f c 2 = 2 ，t h e no n eo f t h ef o l l o w i n gh o l d s ： ( 1 ) ri s2 - h o m o g e n e o u s ( 2 ) c i + 1 = c + 1o rc i = c i 一1 + 1 c a nn o th o l ds i m u l t a n e o u s l y ，w h e r e2 i d 一1 ，l e tr = ( x ，e ) d e n o t eab i p a r t i t ed i s t a n c e r e g u l a rg r a p hw i t hq p o l y n o m i a ls t r u c t u r e ，a n d w i t hd 4 ，k 3 i f c 2 = 3 ，t h e nt h ef o l l o w i n gh o l d ： ( 1 ) 2 c i = c i + 1 1o rc i = c i 一1 + l e a n n o t h o l ds i m u l t a n e o u s l y , w h e r e2 i d 一1 v ( 2 ) b i = b i + l + 1 a n d2 b i = b i 一1 一l e a n n o th o l ds i m u l t a n e o u s l y , w h e r e2si d 一1 k e yw o r d s ：d i s t a n c e - r e g u l a rg r a p ha n t i p o d a lb i p a r t i t eg r a p h i n t e r s e c t i o nd i a g r a mr e g u l a rt h i nn e a r ( 2 d + 1 ) 一g o nq - p o l y n o m i a l v i 学位论文原创性声明 本人所提交的学位论文对符图与有q 一多项i = 结构的二部图，是在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的原创性成果。除文中已经注明引用的内容外，奉沦文小包含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人 和集体，均已在文巾标明。 本声明的法律后果由本人承担。 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解河北! j i | j 范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学 位论文的复印件和磁枯，允许论文被杏阅和借阅。本人授权河北! j i l j 范大学可以将学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保 存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在年解密后适j f j 本授权书) 论文作者( 签名) ： 二哆年饥【_ l 指导敦! j 1 1 j ( 签名) ： 洳夕年石月7 ， 魏诩4 朋丁 刀吼 、7 乙 二玑矿 刁 )1】 勖 日 签 ， 0 月 认厂 确 f啊年 iy， 榭哆 锄 知 指 水小 硪 h 日 名 ， 签 月 者 1 1 l 删年 趁 沙2 己i 古 jl r - - i 距离正则图这一概念足由英国数学家n l b i g g s 于上世纪七十年代提出来的，足距离 传递图的组合推广随后其理论框架由n l b i g g s 和一批数学家a d g a r d i n e r , d h s m i t h s ， a e b r o u w e r , e b a n n a i 和t i t o 等逐步建立p h d e l s a r t 在文【1 4 】中研究的p 一多项式方案 ( p - p o l y n o m i a la s s o c i a t i o ns c h e m e s ) 其实质就足距离正则图 距离正则图可视为秩为1 的对称空间的离散化，而秩为l 的对称空间足2 点齐次空 间( 2 - p o i n th o m o g e n e o u ss p a c e s ) 在距离正则图的定义中，尽管只假设了组合正则性而没 有考虑自同构群( a u t o m o r p h i s mg r o u p s ) 作用的对称性，但足大多数距离正则图有足够大的 自同构群，使得它在距离相等点对集合上的作用足传递的，所以国际上许多数学家把距离 正则图称为无群的群论”距离正则图是一类高度正则的图类，它与有限群、组合设计、 有限几何、编码等有深刻联系，已成为代数组合论的一个重要分支近几十年来，对距离正 则图的研究非常活跃 对径图是一类特殊的距离正则图设r = ( x ，e ) 足d 2 的距离正则图，满足条件： 若o ( x ，y ) = o ( x ，z ) = d ，g z 则o ( y ，z ) = d ，即r d = ( x ，e d ) 是不交团的并，则称r 为 对径图r 足对径图当且仅当对v i ，0 i 茎d ，i g 都有玩= c d 。由于对径图的交叉数 具有极强的对称性，所以对它的研究引起了许多数学家的兴趣在文献【3 】中，s u z u k i 教 授和王恺顺教授提出了一个关于对径图的问题：设r 足直径为d 3 的距离正则图如果 b l = c d “则r 是对径图，即b i = c d - i ，i 本文研究了这个问题，并且得出了结论：设 f = ( x ，e ) 是直径为d ，价k 3 的距离正则图如果b l = c d l ，b a = 1 ，则r 足对径图利 用同样的方法还进一步减弱了对径图的充要条件 本文还研究了另外一类图：具有q - 多项式结构的二部距离正则图设r 足一个具有 q 一多项式结构的二部距离正则图，交义数分别为c i ，a t 和吼在文【l l 】中作者研究了c 2 = 1 的二部q 一多项式距离正则图，利用秩为2 的交叉表得到图的顶点集的一个公正划分，然后 根据边数的关系与q 一多项式结构的性质得到了交义数的一些整除关系，最后还得到了 结论，不存在d = 4 且c 2 = 1 的具有q 多项式结构的二部距离正则图本文继续研究了 c 2 = 2 ，c 2 = 3 的情形，同样利用顶点集的一个划分以及具有q 一多项式结构的二部距离正 则图与仉存在的关系得到了一些交叉数之问的关系 1 1 基本概念 1 距离正则图简介 首先给出图的定义和习惯记号关于距离正则图的其他知识，可参考以下专著a e b r o u w e r , a m c o h e n & a n e u m a i e r ( 1 】) 定义1 1 设x 足一个集合，e 是由x 一些元的无序对构成的一个集合，则称集合对 f ：= ( x ，e ) 为一个图( g r a p h ) ，其中x 称为图r 顶点集合( v e r t e xs e o 而e 称为图r 的边 集合( e d g e s e o 一般地顶点集合x 记为y r ，边集合e 记为e f 如果v ( r ) 和e r 都足有 限集合则r 称为有限图j 否则称为无限图 本文恒假定图为有限图 定义1 2 令f = ( x ，e ) 足一个图z 和y 足图r 的两个顶点，如果x y e ，则2 7 和y 称为相邻的( a d j a c e n o ，记为z y 设u 和u 足图r 的两个顶点 ( 1 ) r 中f + 1 个顶点序列( 让= w o ， 0 3 1 ，w l = t ，) 满足 i t2w o “w l “”w l2 称为从顶点u 到顶点v 的长为z 的一条路( w a l k ) ( 2 ) 设( u = w o ，叫1 ) 一，w l = v ) 是图r 的一条路，如果对所有的i ，j 以，j = 1 ，砂，都 有w i 哟，则称此路为道路( p a t h ) 一条道路( u = w o ，w l ，w l = u ) ，如果对任一个if ， i = 1 ，f 一砂，都有蚍一1 毗+ 1 ，则称此道路足约简的( r e d u c e d ) ( 3 ) r 中连接u 和 的最短路的长称为u 和v 的距离( d i s t a n c e ) ，记为o ( u ，u ) 如果在1 1 中 不存在连接u 和v 的路，那么规定a ( 仳，u ) = 0 0 ( 4 ) r 中任意两点间距离的最大值称为图r 的直径( d i a m e t e r ) ，记为d = d ( r ) ( 5 ) 如果图r 的直径有限，则称r 是连通的( c o n n e c t e d ) 也就足说对r 中任意两点z 和 y ，在r 中都存在连接z 和y 的路 ( 6 ) 设z r ，r 中与z 相邻的点数称为点z 的价( v a l e n c y 或d e g r e e ) ，记为k ( x ) ：= 娇( z ) 若对任一点z f ，k ：= k ( x ) 都足一个常数j 则r 称为k 价j f n 的( r e g u l a r ) 易知，对所有u ，u ，w x ，都有 a ( u ，v ) o ( u ，w ) + 0 ( w ，v ) 3 设r 足一个图且u r 令 f i ( u ) = u r l o ( u ，v ) = i ) 且r ( u ) = r 1 ( 让) 定义1 3 设r = ( x ，e ) 是一个直径为d 的连通图，如果对r 中任意两个距离为f 的 点u 和口，反j = l n ) nr j ( y ) l 仅依赖于i ，j 和f 的选取，其中0 i ，j ，：吐则称r 为距 离正则的( d i s t a n c er e g u l a r ) 设r 足一个直径为d 的距离正则图，则数 藏，j = m ( z ) nr a y ) 称为r 的交叉数( i n t e r s e c t i o nn u m b e r s ) ，其中0 i ，j ，l d 令r 是一个直径为d 的连通图对r 中任意两个距离为i 的点u 和v ( 0 i c o ，定 义 c ( u ，v ) = gu ，v ) = r l 一1 ( u ) nr ( ) ， a ( 札，v ) = a i ( u ，口) = r i ( u ) nr ( u ) ， b ( u ，v ) = b iu ，v ) = r i + l ( u ) nr ( 口) ， 用小写字母表示集合的基数，即 c i ( u ，v ) = l g ( u ，v ) l ，a i ( u ，v ) = i a i ( u ，v ) l ，和b i ( u ，v ) = l b i ( u ，口) 1 如果c i ( u ，口) ( a i ( u ，口) ，b i ( u ， ) ) 仅与i 有关，不依赖于v 和u 的特殊选取，则它们可分别记 为白( a i ，b i ) 在这种情况下，称色( u ) 存在或者q 存在 如果r 足一个距离正则图，那么c i ( u ，u ) ，a i ( u ，v ) 和b i ( u ，u ) 仅依赖于i = o ( u ，口) 因此 可以分别记为c f ，a 和b t 交叉数q ，a i 和b t 在研究距离正则图时有着相当重要的作用 定义1 4 一个距离正则图r 的交叉阵列( i n t e r s e c t i o na r r a y ) 定义为 易知，c i = 硝， 一1 ( 1 i d ) ，a i = p i ，i ( 0 i d ) 且b i = p l ，“1 ( 0 i d 一1 ) 例如，考虑立方体图q 3 ，它足一个直径为3 的距离i e n 图由图l ，我们能够给出它的 交叉阵列 4 龟 幸 q o o 彩 叫比 历 似阢 们 删加 水 肿 加 -_ljc、l_l = 、i， r “ 图l c ( q 3 ) = 1231 1 000 i 2i 木l ， q 职 1 鼯j i 碜务獗j 霈 定义1 5 令r 足直径为d 的距离正则图，如果0 1 = 0 2 = = o d = 0 ，则称r 足二部 的j 如果口1 = d 2 = = a d 一1 = 0 n d ，则称r 足几乎二部的 定义1 6 盯，聊设r 足直径为d 的距离正则图设4 i 足阶为i x i 的方阵其行与列都 是由x 中的点标定，它的( z ，可) 位置的元素定义为 c a t ，z 。= 0 ，则称为正则薄拟( 2 d + 1 ) - 边形 定义1 1 1 们力设r 是直径为d 之3 的距离正则图，则有 其中。表示点乘q i h d ( 0 危，i ，歹d ) 称为r 的k r e i n 参数若对所有不同的i ，j ( 0 i ，j d ) ，q l j 0 兮l i j i = 1 ，则称r 足关于有序本原幂等元e o ，e 1 ，玩足q 一多项式的 令e 足r 的一个非平凡本原幂等元如果存在本原幂等元序列岛，e l i 一，玩，使得r 足 关于它们q 一多项式的，则称r 关于e 是q 一多项式的 1 2 基本性质 本节介绍距离正则图的一些基本性质 命题1 1 聊设r 足一个直径为d 的距离正则图令= p o ；，那么我们有下述结果 ( 1 ) 磋j = 砖i ，0 i ，j ，k d ( 2 ) p j t + 1 = b i p l ，f = a i 且p l 。i - 1 = c i ，i = 0 ，1 ，d ( 3 ) 如果f i + 歹，j i + f 或i j + f ，那么p ：，f = 0 ( 4 ) 巧，z = 如刃，z = 七f p b 命题1 2 ( 1 1 1 ) 特别的 “ = 石1 l i 6 + 谚， ( a h - - a j ) + 窍, h + 1 c h + 1 - - “ 程= 誊， p = 紫， 7 既 - 芒o g d 脚 一 r矿 | l 已 。 已 啪p i + h = 秽堕堕l 鼍导型幽， p i - h 旷材生堕生等著坚幽 命题1 3 ( ) 设r 是一个直径为d 的k 价距离正则图那么下列七条成立 ( 1 ) k = c i + b i - 4 - a i ，i = 0 ，1 ，d ( 2 ) c o = a o = b d = 0 ，c 1 = 1 且b o = k ( 3 ) 令觑：= p o ，吸ub i k i = c i + l k i + 1 ，i = 0 ，1 ，d 一1 ( 4 ) 设钍和u 足r 的两个点且w c ( v ，u ) ，那么c ( w ， ) cc ( u ，u ) 且s ( w ，v ) ) b ( u ，u ) ( 5 ) c i c i + 1 且抚b i + 1f ，0 i ，j d 一砂 ( 6 ) 设u ，u ，t i j r ，如果a ( 札，v ) = o ( u ，w ) + o ( w ，u ) ，那么c ( u ，w ) cb ( v ，叫) ( 7 ) 如果i + j d ，那么b 勺 下面足关于q 一多项式距离正则图的性质 命题1 4 仍功设1 1 足d 3 的距离正则图，e 足r 的非平凡本原幂等元钻，铭 足其对应的对偶特征值序列假设r 关于e 是q 一多项式的，则下列两条成立 ( 1 ) 铝，钟，铭足互不相同的 ( 2 ) 对任意l i d 一1 ，都有( 呓一够) ( 铝一田) = ( 0 ；一臼0 1 ) ( 钟一旺1 ) 命题1 5 似劬设r 是d 3 的距离正则图，e 是1 1 的非平凡本原幂等元铝，钟，铭 足关于e 的对偶特征值序列，则下列( 1 ) ( 2 ) 等价 ( 1 ) r 关于e 足q 一多项式的 ( 2 ) 铝以，1 i d ；且对任意h ，i ，j ( 1 h d ，0 i ，j d ) ，任意z ，y y r ，使得 o ( x ，y ) = h ，都有 e 2 一e z s p 。n e x e y z e y rz e y r o ( x ，z ) = o ( x ，z ) = j o ( y ，：) = a ( ”，2 ) = t 假设( 1 ) ( 2 ) 成宽则对任意h ，i ，j ( x h d ，0 i ，j d ) ，任意z ，y y r ，使得o ( x ，y ) = h ，都有 萎跏，；vf脏吃糕(ex-ey)zevv f i 、 o u 凡 a ( ，z ) = 0o ( u ，z ) = f 8 2 对径图 在文献【3 】中，s u z u k i 教授和王恺顺教授提出了一个关于对径图的问题：设r 足直径 d23 的距离正则图，如果b l = c d l ，则r 是对径图，即b i = c d 喃i 本章研究了这个 问题，并得到一些重要结论 2 1 准备知识 为了介绍本章的主要结果，先给出一些在证明过程中用到的结论 命题2 1 们，引理5 3 切设f = ( x ，e ) 是价k 3 的距离正则图若魄= 1 ，则直径 d 1 ，d = 3 i 一1 ，则r 是十二面体 命题2 3 以，定理删设r 足直径为d 价为k 的距离j e 则图若岛= 1 ，d 2 t ，则r 足对径2 一覆盖 命题2 4 伊，定理j 切设r 足直径为d 价为k 的距离正则图若b l = c d _ 1 5 2 = c d 一2 ，饥= c d 而对某些i 1 成丑则下列成丑 f ，ub d 一1 = c l ，b d 一2 = c 2 ，b d t = c i 纠若a = a d 0 ，则k = a ( a + 1 ) ，b l = 5 2 = = b i = a 2 ，1 = c l = c 2 = = q = c i + 1 命题2 5 仃7 ，定理j 劲设r 足直径为d 的距离正则图若b i = c d 而1 i e ， d 3 e + 2 且a d 0 ，则k d = a d + 1 命题2 6 仃j ，命题4 2 ，鲫设r 足距离正则图若r 满足k d = a d + 1 1 ，则a = f d 足正则薄拟( 2 d + 1 ) - 边形反之，若足正则薄拟( 2 d + 1 ) - 边形，d 1 ，则r = a 2 足 满足k d = a d + 1 1 的距离i l - ：n 图r 与间的距离对应关系为 r ：0 1 23 d 一3d 一2 d ld a ：0246 75 3 1 9 命题2 7 以_ 6 ，命题圳设r 足直径为d 且具有如下交叉阵列的距离正则图 胛，2b _ 1 设礼2 ，则d 1 3 并且若c d = 1 ，则d = 2 2 2b a = c d 一1 的情形 1 m 1 z 几 引理2 1 设r = ( x ，e ) 是直径为d ，价七3 的距离正则图如果b i = 1 ，i 3 ，则 d 3 i 1 证明：由命题2 1 可得d 0 ，b 1 = c 3 ，由命题2 5 可知后4 = 1 + a 另一方面 所以b 2 = n r 的交叉阵列如下 1 0 6 ( r ) = 木 0 a 2 + a ( a + 1 ) b 2 = 一 口 国 幻 木 、，j 矿 。 木 1 扩 一 口 阮 1 一 铲 口 0 木 0 + o ，、， i l 、， r 、 学 = b q幻一巩一晚一q = 、，j 铲 口 宰 - 护 一 0l 1 0 2 口，l 1 一 矿 因为k 4 = o + 1 1 ，由命题2 5 可知：a = f 4 是正则薄拟( 2 d + 1 ) 一边形，且与f 的距 离对应关系为 r ：0 a ：0 下面考虑的交叉阵列 显然k ( a ) = k 4 ( r ) = a + 1 因为a 是正则薄拟( 2 d + 1 ) 一边形，所以a l ( ) = a 2 ( ) = a s ( a ) = 0 ，因此 f 木 c 1 ( ) ( ) ： o o i ia + 1 a 、 下面计算c 4 ( ) 由定义知c 4 ( a ) = 畦3 ( ) = 磕3 ( r ) 由命题1 2 有 p 2 ，z2 丽c 3 c 4 - - _ a 4 , p ：4 ，s = p 4 。，。竺兰! = _ 竺生兰二笔半= 。4 三_ - - a 3 由f 的交义阵列有 如：堕：0 3 ( 1 + o ) 因为七2 磕3 = k 4 p 4 t 3 1 所以旌。3 = 1 ，即c 4 ( a ) = 1 ，所以的交叉阵列为 若a = 1 ，则k = 2 ，这与k 3 矛盾，所以o 2 由命题2 7 可知d = 2 这说明，对任意 x ，y x ，都有九( z ，y ) 3 ，4 因此，砩( z ，y ) 3 ，2 这与r 的直径是4 矛盾 口 引理2 3 设f = ( x ，e ) 足距离正则图，直径d = 5 ，价k 3 若b 1 = c 4 ，b 3 = 1 ，则 a 5 = 0 证明：反证法假设a 5 0 ，设a 5 = o 0 因为a 5 0 ，b l = c 4 ，由命题2 4 可知 b 4 = 1 ，k = n ( n + 1 ) ，b 1 = a 2 ，c 2 = 1 ，所以交义阵列为 4 1 3 3 2 4 1 2 、i)ij 。忪忪木 出 m ， i、，l，l 彩 如、i，、l， ， ，、，l，、 q 幻 、，i-， 1 口 木 1 0 o 1 0 0 1 0 凸l 木 0 口 ，if、l【 = 、l， ，il l c c r ，= 口：三n 口三芝1 ：c a 。a ：2 ：) 因为a 0 且b l = c 4 ，由命题2 5 可知，k 5 = a + 1 另一方面， 所以 显然， = 6 0 6 1 6 2 6 3 6 4 c l c 2 c 3 c 4 c 5 ( a 2 + a ) a 2 b 2 = 一 c 3 a 2 a 2 ( a + 1 ) 6 2 = 一 c 3 n = 1 + a ， 6 2 = a c 3 七3 ：b o b l b 2 c 1 c 2 c 3 一( a 2 + a ) a 2 b 2 c 3 = a 4 ( 1 + o ) 下面考虑秩为5 的交叉表，如图3 所示 d 2 i 、 d 2 + d i i i i d 2 + d j + d i i l i i d 2 ln 3 ln 4 ld l j 5 , l r 3 t a 2 5 武江江姆冀 d 2 一d j 一磁一d ；一d 一d 8 图3 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 所以 又因为 = l d 引+ l d l i + i d ；i + i d i i + i d ；l + i d ；i = 1 + a ， d 引= i d 引= l d ；i = i d l = 0 因为b 4 0 ，所以d 2 = d i = d ，所以交叉表可以化简为图4 形式 由命题1 2 可知 显然， d j 一明一d ；一删一讲 d 2 一d j 一明一硝一研一磁 p 5 4 = 建3 + 1 = p ；3 图4 口2 + 0 3 + 0 4 + n 5 一0 1 一n 2 一0 3 e ( d ；，d ；) = j d i l b 2 = i d 3 b 3 a 4 a 3 2 彳2 n o 所以i d 引= a 3 b 2 又因为k z = l d 引+ i d 引= a 3 b 2 + a 4 ，由等式( 2 2 ) 可得0 3 6 2 + a 4 = 0 4 ( 1 + n ) ，所以b 2 = a 2 由等式( 2 1 ) 可得c 3 = a ，所以r 交叉阵列为 。r - 1 ，= 。三。三一口三1n z 凸a ：2 喜) 下面的证明同引理2 2 口 引理2 4 设r = ( x ，e ) 足直径为5 ，价k23 的距离正则图如果b t = c 4 ，b a = 1 ，则 r 足对径图 证明：因为c 2 b a = 1 ，所以c 2 = 1 因为b 3 = 1 ，所以b 4 = 1 由引理2 3 可得a 5 = 0 ， 所以r 的交叉阵列为 其中b o = c 5 ，b l = c 4 ，b a = c 2 ，b 4 = c l ，因此r 足对径图 口 1 3 、，、 七 0 木 饥 虮， 以 幻 眈阮 研h 木 o 七 ，-，、【 = q r i ，l 定理2 5 设【、= ( x ，e ) 是直径为d ，价七3 的距离正则图如果6 l = c d 乩6 3 = 1 ， 则r 是对径图 证明一因为6 3 = 1 ，由引理2 1 可知d 7 ，所以d = 4 ，5 ，6 ，7 当d = 4 时，由引理2 2 ，r 是对径图 当d = 5 时，由引理2 4 ，r 足对径图 当d = 6 ，7 时 由命题2 3 ，r 足对径图 口 2 3 玩= c d i 的情形 c c r ，= 扩三。n 三1 ! ；n 三1 耄1 。c e ：+ 1 。；。；：) 七d ：! ! ! ! 竺：丝二! 丝坠! ：堡! 二! 丝! ：型掣：1 + 口 ，鼬2 一= _ 一2 十 钆= i 珑i = 1 + n ， i d o l = 0 ， 1 4 d ：一跟厂跟广一d = + r 赡ld ：+ l 枷g l 鹋一一d ：一l j d ：一2 所以 由命题1 2 可得 d 筹il = p 。2 + 1 e + l 。+ l 显然， 由上可得， 2 p e 2 + e + 1 1 e = a 2 e d ：；j d 玉l 娥+ 1 图5 d l 。i = 旌妣 c e + lc e - i - 2 c 2 e c 2 e + l c 1 c 2 c e + l 2c e + 2 岛+ 3 c 2 e c 2 e + l = a 2 c 一一d ；一d 一一础 a e + 1 + a e + 2 + + a 2 e 一1 + a 2 e + a 2 e + l a l a 2 一a e 一1 一a e a e + l a e + a c e + 1 c e + 1 e ( d 玉l ，一m 。e + + 1 1 ) = j 域+ 1 l ( 6 e c e 一1 ) = i d 。e + + l l l ( c e + 1 一b e + 1 ) n 2 8 ( 6 e c e + 1 ) = a 2 e a e + l a e + a 联立等式( 2 3 ) 和( 2 4 ) 有c 。+ 1 = a ，6 c = 0 2 c e + l ( c e + l 一1 ) ( 2 4 ) 因为k a = 1 + a 1 ，由命题2 6 可知= f a 是正则薄拟( 2 d + 1 ) 一边形，r 与之间的距 离对应关系为 f ：01 2 34 e 一1ee + 1e + 2 2 e 一22 e 一12 e2 e + 1 ：024 6 8 2 ( e 1 ) 2 e2 e + 12 e 一1 753 下面考虑的交叉阵列 显然k ( a ) = k e ( 1 1 ) = 1 + a 因为足正则薄拟( 2 d + 1 ) 一边形，所以o l ( ) = a 2 ( a ) = - = a d 一1 ( ) ，因此 掰 、-i、，i_， 。忪忪木 础 甜 “0 “ k ， ，i，l，、 晓 幻 1 0 0，i 术 0 + 0 ，_-，、-【 = “1 其中 由r 的交叉数可得 再由命题1 2 有 因为 所以 c d ( a ) = 矗d _ l ( ) = 耽p e 。+ + 1 1 。( r ) + 1 6 0 6 l 6 e 一2 6 。一1 6 e c l c 2 c e l e e c e + 1 a 2 e ( 1 + o ) c e + 1 c e + 2 c 2 e c 2 e + l c l c 2 c e c e + l = a 2 e k e + 1 p ；嚣1 ，e = 后2 e + 1 y _ e 2 e ，e + + 1 1 ， y p 2 e e + + 1 1 e = l ， 即c d ( a ) = l ，o d ( ) = a a 的交叉表为 6 ( ) = ，k 0 a + 1封 如果a = 1 ，则七= 2 ，这与k 3 矛盾，所以a 2 由命题2 7 有d ( a ) = 2 所以对任 意z ，y x ，o a ( z ，y ) 3 ，也就有砩( z ，y ) 2 e ，这与d = 2 e + 1 矛盾从以上的证明可知 a d = 0 ，所以r 足对径图 口 定理2 7 设r = ( x ，e ) 是价七3 的距离正则图，直径d = 2 e ，其中e n ，e 2 如果b i = c d _ i ，i 1 ，2 ，一，e 一1 ) ，则r 足对径图 证明同定理2 6 定理2 6 ，2 7 减弱了对径图的重要条件，见定义1 9 口 1 0 0 2 4 对径图的若