（基础数学专业论文）一类非线性演化方程的边界控制.pdf

学位论文版权使用授权书 l i i i i iii il 718 江苏大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、中国学术期刊( 光盘版) 电子杂志社有权保留本人所送交学位论文的复印件和电子文档，可以采用影印、 缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致， 允许论文被查阅和借阅，同时授权中国科学技术信息研究所将本论文编入中国 学位论文全文数据库并向社会提供查询，授权中国学术期刊( 光盘版) 电子杂 志社将本论文编入中国优秀博硕士学位论文全文数据库并向社会提供查询。 论文的公布( 包括刊登) 授权江苏大学研究生处办理。 本学位论文属于不保密口。 指剥币盘名：广膨秒 矿，7 年月7 了日 一类非线性演化方程的精确控制 e x a c tc o n t r o lo fak i n dn o n l i n e a re v o l u t i o n e q u a t i o n 姓 2 0 1 1 年0 6 月 江苏大学硕士学位论文 摘要 非线性偏微分方程边界控制是分布参数受控形式的一种，它一直受到控制理 论界的重视，得到了不断深入的研究和发展边界控制的理论和方法与其它许多科 学领域相互渗透，已成为非线性学科研究领域的一大热点，有着巨大的应用前景 近年来，人们越来越多地关注a c e i v e 、k d v 、k d v b 、m k d v b 以及k s 方程的边 界控制问题 本文第三章研究充分非线性a c e i v e 耗散色散方程在边界控制下的稳定性问 题在给定边界控制律u ( o ，t ) = “，( 0 ，t ) = “x g f ) = 0 ，u 就g t ) = “g f ) ， 一瓤 g f ) = k l u ( 1 ，t ) + k z u ( 1 , f ) 2 删下，通过b a n a c h 不动点定理和算子半群理论证明方 程解的存在性和唯一性，并应用分部积分理论和一些重要的不等式证明方程的解 是r 全局指数稳定的 本文第四章研究带有周期边界条件的k d v - m k d v 方程在有限时间区间 【o ，丁】上的精确边界控制运用r e i m a n n l e b e s g u e 收敛定理以及r i e s z 基函数的性 质证明了在给定的时间t 0 ，对于两个任意给定的函数u o ( x ) ，属于一定的 s o b o l e v 空间，总能找到一个控制函数使得线性化k d v - m k d v 方程有一个存在于 某一合适的空间的解u ( x ，t ) ，使其满足u ( x ，o ) = u o ( x ) ，u ( x ，t ) = u l ( 工) 在此基础上，定 义一个f r e d h o l m 算子，并由算子理论找到k d v - m k d v 方程的控制函数，使其达到 精确边界控制 关键词：充分非线性a c e i v e 耗散色散方程，k d v - m k d v 方程，边界反馈控制，精 确边界控制，全局指数稳定性 一类非线性演化方程的精确控制 a bs t r a c t r e c e n t l y ，b o u n d a r yc o n t r o lo fn o n l i n e a rp d eh a sb e e ni n t e n s i v e l ys t u d i e d b o u n d a r yc o n t r o li s o n ek i n do fd i s t r i b u t e dp a r a m e t e rc o n t r o l s ，w h i c hh a sb e e n e m p h a s i z e di nt h ec o n t r o lt h e o r ya n dh a sb e e ne x t e n s i v e l ys t u d i e da n dd e v e l o p e d n o w , p e o p l em o r ea n dm o r et a k en o t i c eo nt h eb o u n d a r yc o n t r o lo fk d ve q u m i o n ， k d v b e q u a t i o n ，k - se q u a t i o na n d a c e i v ed i f f u s i o na n dd i s p e r s i o ne q u a t i o n f i r s t l y , t h i sp a p e rs t u d i e st h ep r o b l e mo fe x p o n e n t i a ls t a b i l i z a t i o nb yb o u n d a r y c o n t r o lf o rt h ef u l l yn o n l i n e a ra c e i v ed i f f u s i o na n d d i s p e r s i o ne q u a t i o no nt h ed o m a i n 【o ，1 】t h eg l o b a l e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h es o l u t i o n sw i t ht h eh e l po ft h e b a n a c hf i x e dp o i n tt h e o r ya n dt h et h e o r yo fo p e r a t o rs e m i g r o u pa r ev e r i f i e d u s i n g s o m eu s u a li n e q u a l i t i e sa n di n t e r g r a t i o nb yp a r t s ，w ed e r i v eac o n t r o ll a wo ft h e u ( o ，f ) = h ，( 0 ，f ) = h ，g f ) = 0 ，u x t f ) = 比g f ) ，“脓g t ) = q u ( 1 , t ) + k 2 u ( 1 , t ) 2 肿1 ，a n d p r o v et h a ti tg u a r a n t e e sl - g l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t y s e c o n d l y , b yt h ee x p a n s i o n so ft h ef o u r i e rb a s i sf u n c t i o n sa n dt h ep r o p o s i t i o n s o ff o u r i e rt r a n s f o r m a t i o n s ，t h ee x a c tb o u n d a r y c o n t r o l l a b i l i t yp r o b l e m o ft h e k d v - m k d ve q u a t i o nw i t hp e r i o d i cb o u n d a r yc o n d i t i o n si nt h el i m i tt i m ei n t e r v a l 【0 , t 】i sc o n c e r n e d e x a c tb o u n d a r yc o n t r o l l a b i l i t yo ft h el i n e a r i z e dk d v - m k d v e q u a t i o ni ss t u d i e d b yr e i m a n n l e b e s g u et h e o r e ma n dt h ep r o p o s i t i o n so fr i e s zb a s i s f u n c t i o n s ，o n ec a np r o v et h a tf o rg i v e nt 0 ，f o ra n yt w of u n c t i o n su 0 ( 力，( z ) g i v e ni n as u i t a b l es o b o l e vs p a c e ，o n ec a na l w a y sf i n dac o n t r o lf u n c t i o nt h a tt h e l i n e a r i z e dk d v - m k d ve q u a t i o nh a sas o l u t i o n s a t i s f y i n gt h a t t h ei n i t i a ls t a t e u ( x ，0 ) = n o ( x ) a n dt h et e r m i n a ls t a t eu ( x ，z ) = u l t h e nb yd e f i n i n gaf r e d h o l m o p e r a t o ra n du t i l i z i n gi t st h e o r i e s ，t h ec o n t r o lf u n c t i o no fk d v - m k d ve q u a t i o nc a nb e f o u n da n di tc a nb ee x a c tb o u n d a r yc o n t r o l l e d k e yw o r d s ：f u l l yn o n l i n e a ra c e i v ed i f f u s i o na n d d i s p e r s i o ne q u a t i o n ， k d v - m k d ve q u a t i o n ，b o u n d a r yf e e d b a c kc o n t r o l ，g l o b a l e x p o n e n t i a ls t a b i l i t y , e x a c tb o u n d a r yc o n t r o l i i 江苏大学硕士学位论文 目录 第一章绪论。1 1 1 研究背景1 1 2 国内外研究现状 1 3 本文的研究台勺基本内容。8 1 4 本文的研究的意义及价值。8 第二章预备知识9 2 1 不! ；争式9 2 2b a n a c h 不动点定理一压缩映像原理1 l 2 3 算子半群论 2 4 散逸算子1 3 2 5s o b o l e v 空间 2 6f o u r i e r 变换的性质1 4 2 7f r e d h o l m 算子理论1 5 第三章在边界反馈控制下充分非线性a c e i v e 方程的稳定性1 6 3 1 符号表示。1 6 3 2 局部古典解的存在唯一性。1 7 3 3 全局弱解的存在性和全局指数稳定性2 l 3 4 本章结论。2 2 第四章k d v - m k d v 方程的精确边界控制2 3 4 1 精确边界控制。2 3 4 2 主要结果2 4 4 3 定理的证明2 5 4 4 本章结论。3 4 结束语3 5 参考文献。3 6 致 攻读硕士学位期间发表论文目录。 ：1 9 i i i 江苏大学硕士学位论文 第一章绪论 本章将对边界控制的发展概况和背景作一些简单介绍，同时阐明边界控制的 研究意义以及主要的研究内容 1 1 研究背景 从十九世纪初开始，在数学领域取得的前所未有的发展将人们带入了现代数 学的时代现代数学，实现了从代数运算到代数结构、从有限维空间到无限维空间、 从函数到算矗从序列收敛到网收敛、从导数到广义导数、从n e w t o n l e i b n i z 公式到s t o k e s 公式、从泰勒公式到学习理论、从矩阵的特征值到算子的谱、从 微分方程到动力系统、从随机变量到随机过程、从数学应用题到数学建模、从 。 。 s t i r f i n g 公式到积分的渐进逼近、从平坦的欧式空间到弯曲的黎曼空间等各领域 的转变这些转变带动了其他学科、特别是工程性学科的飞速发展，促进了许多新 兴学科的产生正是在这种背景下，控制理论学科应运而生，并在过去的六十年中 得到了长足的发展和广泛的应用 最先研究的控制系统都是线性的，线性控制理论是系统与控制理论中最为 成熟和最为基础的一个组成分支，是现代控制理论的基石系统与控制理论的其他 分支，都不同程度地受到线性控制理论的概念、方法和结果的影响和推动但是， 随着科学技术的不断发展，人们对实际生产过程的分析要求日益精密，各种 较为精确的分析和科学实验的结果表明，任何一个实际的物理系统都是非线 性的所谓线性只是对非线性的一种简化或近似，或者说是非线性的一种特 例因此，近年来非线性问题已成为控制领域的热门研究方向f 1 一现在，控制理论研 究的问题不仅是从系统的稳定性发展到讨论系统的能控性，能观性和最优控制等 深刻问题，而且从线性系统发展到非线性系统，确定性系统发展到随机系统，由集 中参数控制系统发展到分布参数控制系统 非线性科学理论的发展使人们对自然界的许多复杂现象有了新的认识，混沌 作为非线性系统中普遍存在的行为，在近二十多年来发展飞快因为复杂性系统 具有混沌的特点，在认识到混沌现象的同时，人们注意到更多的自然现象起源于 一类非线性演化方程的精确控制 高自由度系统，因而高自由度系统的复杂行为的研究也在近几年受到越来越多的 重视，逐步形成了以研究高自由度动力系统复杂行为为对象的复杂性研究热点 由于自然界中的现象都是在一定的时间和空间出现的时空复杂性广泛存在 于我们现实生活中同样，对复杂系统的研究不仅涉及到时间演化而且也涉及到空 间结构随机偏微分方程作为描述受随机影响的复杂系统的数学模型越来越引起 数学工作者的注意，并且在力学、化学、生物学、地球物理学、大气海洋气候学 等中得到了广泛的应用为了描述系统中空间的关联和随时间的发展，这就必须 使用无穷维的相空间，从而无穷维动力系统的研究就或为复杂系统研究的重要方 面 运动稳定性问题起源于力学系统，早在十七世纪就出现过托罩斯利( t o r r i c e l l i ) 原理，即物体仅受重力作用，当重心位置最低时其平衡是稳定的，反之是不稳定的 拉格朗日0 l l a g r a n g e ) 二j ：1 7 8 8 年提出了关于平衡稳定性的一个一般性定理：势能 极小的平衡是稳定的后来狄利赫罩( l d i r i c h l e t ) 于1 8 4 6 年给出了这个定理的证明 著名力学家劳斯( e j r o u t h ) 和赫尔维兹( a h u r w i t h ) - 于1 8 7 7 年和1 8 9 4 年分别独立给 出了关于线性定常系统稳定性的判别方法但在动力学方面，对应于稳定运动的严 格的解的选择原理却未建立1 9 世纪末，由于生产技术的需要和数学、天体力学的 发展，在p o i n c a r 6 理论的基础上产生了的运动稳定性理论它从理论上对运动稳定 性问题作了严格的论证和系统的分析 稳定性是有关扰动现象( p e r t u r b a t i o np h e n o m e n a ) 的稳定性的概念也曾经被 很多科学家所采用过，如拉普拉斯( l a p l a c e ) 、马克威尔( m a x w e l l ) 、英国力学家汤 姆爿e ( w t h o m s o n ) 与台特( p g t a i t ) 、数学家庞加莱( p o i n c a r e ) 等，但都没有给出精确 的数学定义和稳定运动的严格判别方法达朗倍尔a l a m b e r t ) 、拉格朗日、马克 威尔、魏尔斯特拉斯( w e i e r s t r a s s ) 、茹可夫斯基及斯图多( c t o d o l a ) 等曾采用一次近 似的方法，用线性系统研究非线性系统的稳定性，但并没有从数学上严格证明其合 理性因此可以说，在此之前，对稳定性的研究并没有形成系统的理论 直到1 8 9 2 年，俄国数学力学家李雅普诺夫( l y a p u n o v ) 发表了题为“运动稳定 性的一般问题”的博士论文，开创了运动稳定性研究的新纪元他给出运动稳定 性的严格的精确的数学定义，并提出了解决稳定性问题的一般方法从而奠定了现 代稳定性理论的基础此后，切塔耶夫、克拉索夫斯基、马尔金等俄罗斯科学家对 2 江苏大学硕士学位论文 李雅普诺夫所创立的稳定性的理论体系作出了重要发展 二十世纪五十年代中期，李雅普诺夫的稳定性理论开始在西方数学领域得到 重视并受到控制工程界的极大关注，并且美国数学家拉萨尔( l a s a l l e ) 的研究推动 了稳定性理论的发展随着科学技术的迅速发展，李亚普诺夫创立的运动稳定性理 论，不仅在力学、控制、工程及星际航行等科学尖端技术领域有其广泛深刻的应 用，而且在现代物理、生物、化学等自然科学中得到了进一步的发展，同时它亦逐 渐发展成为常微分方程学科本身许多课题理论研究的有力工具 稳定性理论研究时间趋于无穷时微分方程解的性态，稳定性理论的研究方向 就在于建立一些准则，借以判断所考察的运动是稳定的还是不稳定的这样就能对 所考虑的系统的长期发展状态作出预测，因而具有极其深刻的理论意义和非常重 j t o 大的实际意义它在现代很多学科领域得到广泛的应用，如工程技术、社会系统、 经济系统、生态系统、管理系统等领域，运动稳定性都是它们的最主要的问题之 一非线性耗散动力系统中形态不断发生变化，这是局部不稳定而整体上形态又 被限制在空间中即整体上是稳定的对一般非线性系统的稳定性的讨论，由于数学 上处理非线性问题的困难，至今依然进展不多 控制问题是指考虑一个用o d e ( 常微分方程) 或p d e ( 偏微分方程) 来描述的演 化系统，通过选取适当的控制装置作用于系统，对给定的时间区间、初始值和终点 值，我们可以找到一种控制使得系统的解既满足初始值也满足终点值这是控制理 论中的一个古典问题，在这方面已有大量的研究成果，例如l e e 和m a r c u s 的书介绍 了通过o d e 描述的有限维系统【3 1 ，r u s s e l 的调查报告及在l i o n s 的著作介绍了由 p d e 描述的无限维系统【拍】 用常微分方程来描述的线性系统，又称为集中参数系统，具有有穷多个自由 度；用偏微分方程来描述的非线性系统，又称为分布参数系统，具有无穷多个自由 度古典控制论主要研究集中参数控制，但现实世界中所发生的各种现象，从数学 角度来讲，大部分是非线性分布的，如物体温度变化，地下水渗流，汽油形成，生物种 群演化等都是通过分布参数系统来描述的现代控制论的研究方法从建立在传递 函数基础上的频域法，发展为建立在状态空间上的时域法，其研究对象从线性系统 发展到非线性系统，从确定性系统发展到随机系统，从集中参数控制系统发展到分 布参数控制系统对被控系统根据工程实际要求提出实现准则，寻求系统在满足一 3 一类非线性演化方程的精确控制 定条件下，使实现准则达到所要求的理想状态这里我们主要研究由非线性p d e 来描述的无限维动力系统的精确控制问题 随着人们对实际问题研究的不断深入和完善，很多控制系统都需要建模成分 布参数控制系统一般来讲，由偏微分方程或积分方程描述的系统称之为分布参数 系统，简称为d p s ( d i s t r i b u t e d p a r a m e t e rs y s t e m s ) ，也称之为无限维系统，即 i p s ( i n f i n i t ed i m e n s i o n a ls y s t e m s ) 而严格地讲，所有物理系统都具有分布特性工 程实际和社会、经济系统中的许多过程都具有分布特性，属于分布参数系统将控 制理论拓展到无穷维系统，即分布参数系统中，可以看到我们用到了l e b e s g u e 积 分、b a n a c h 空间、线性算子等泛函分析的基本概念和工具随着控制理论和计算 机技术的迅速发展，对实际分布参数过程的控制要求不断提高，对分布参数过程的 建模和控制也就提出了更高的要求因而研究分布参数系统及控制，具有重大的理 论意义和实际应用价值 分布参数过程的控制方式一般有以下几种形式： ( 1 ) 分布式控制该方式的控制作用是分布式的，即为空间变量x 和时间变量 r 的函数分布式控制就是给定一个性能指标j ，在允许控制域u 内寻找一个最优 分布控制作用比【工，当系统在满足初始条件和边界条件的约束下，使性能指标 l ，达至u 极j 、 ( 2 ) 边界控制对于许多实际过程，尤其是工业过程，其过程特性属于分布参 数系统，但其控制作用往往不是分布式的，而是在系统的边界上实施，如橡胶工业 中的轮胎硫化过程中，热量均通过轮胎的边界向深部传送，这种控制就属于边界控 制因而研究分布参数系统的最优边界控制，既具有一定的理论意义，又具有实际 应用的价值，引起了广泛的关注对于实际过程的边界控制，一般采用逼近方法处 理 ( 3 ) 点控制许多实际过程的控制中，有时难以实施分布式控制，而且一般从 实际角度来讲，适当选取几个点对系统实施控制，比实施分布式控制更具有经济意 义这种控制采用的工具有动态规划方法，参数优化方法和函数逼近方法等 ( 4 ) 反馈控制反馈控制即最优控制策略是系统状态或是系统输出的函数 对于线性系统，考虑二次型性能指标时，可得出线性最优反馈控制律，而且类似于 4 江苏大学硕士学位论文 l p s 也可以导出r i c a t t i 方程 ( 5 ) 精确控制某系统在时间区间上具有精确能控性是指对于t 2 t ) 时任意 给定的初值以及仁丁时任意给定的终值磊一定能找到【0 ，丁】上的控制函数使 得系统的解精确地满足终端条件，也就是说，系统借助于控制，能将一个在t 2 0 时 任意给定的初始状态在t = t 时变为一个任意给定的终端状态( 通常为一个理想 状态) 利用边界控制就能实现的精确控制，称为精确边界控制 在工程实际中，每个分布参数控制系统，都是为着某个目的而设定的为了使 分布参数系统达到一定的工程目的，就必须对系统施加控制例如对于连续加热炉 1 6 】，常常需要控制连续炉的出口温度，使被加热材料满足下一道工序的工艺要求这 样就要求选取某个有限时刻t 0 ，对给定的被加热材料的进炉温度，选取满足约束 条件的控制，使被加热材料在出口地方，达到预定的温度细长的空间飞行器在推 力空气动力作用下，会产生弹性振动，对于这些振动，如果不加控制，将会引起飞行 器的损坏一般我们通过安装在飞行器上某些地方( 某些点或某些区域) ，测得几 个部位弯曲所引起的偏角或角速度作为状态反馈量，经过控制器的放大和变换，送 到执行机构，经过功率放大，产生控制作用，从而实现对飞行器的控制在飞行器重 返大气中，常用烧蚀防护罩来保护飞行器由于大气摩擦发热会引起结构破坏，所 以飞行器的速度和姿态应被精确控制，以便在重返飞行过程中的任一烧蚀速率不 超过某一最大容许值 精确控制理论是r e k a l m a n 于2 0 世纪6 0 年代初首先针对有限维线性系统 提出的它与能观性理论和反馈理论一起构成线性系统的结构理论的基本内容这 一理论很快被推广到非线性系统，分布参数系统，随机系统 2 0 世纪6 0 年代y u v e g o r o v 、h 0 f a t t o r i n i 和d l r u s s e l l 等人开始研究分布 参数系统的能控性理论1 9 7 8 ，r u s s e l l 的综述文章【7 】概述了该领域当时的主要工作， 描述了研究能控性问题的诸多工具和方法，比如乘子方法、矩量方法、非调和傅 立叶级数等，文献7 1 中引入的最重要的一个思想即是“由能稳性推能控 性 1 9 8 8 ，j ll i o n s 出版了专著【剐他倡导的h i l b e r t 空间唯一性方法( 简称h u m 方法，其实质是对偶方法) 极大刺激了精确控制理论的发展l i o n s 把精确能控性约 化到相应系统的唯一性，k o m o m i k l 9 】的专著及z u a z u a 的综述文章【1 0 】都展示了运用 5 一类非线性演化方程的精确控制 h u m 方法在该领域所取得的主要结果近二三十年来，精确控制问题一直受到控 制理论界的重视而得到不断深入地研究人们越来越关注b u r g e r s 方程、 k o r t e w e g d ev r i e s ( k d v ) 方程、k o r t e w e g - d ev r i e s b u r g e r s ( k d v b ) 方程以及 k u r a m o t o s i v a s h i n s k y ( k - s ) 方程的精确控制问题，并且在这一领域取得了丰硕成 果k d v 方程首先是由k o r t e w e g 和d ev r i e s 于1 8 9 5 年研究浅水波运动时提出的， 它的原始形式是仇= 三孚( 三q 2 + 了2a 7 7 + 三仍k ) ，人们经过研究知，当方程建立在 整个实数轴尺上或者是在一个周期性区域上时总可以通过一定的变量替换转化 为标准形式： u f + u u x + u x = = 0 k d v 方程不仅是描述水波运动的方程，也是描述电磁波和声波的方程其实它 对任何包含弱非线性和弱色散效果的非线性系统都是一个非常好的逼近模型特 别地，现在k d v 方程普遍被看成是一个非线性色散系统中的微小振幅单向传播长 波的数学模型k d v b 方程也是用来描述水波、电磁波及声波的方程它的一般形 式如下：u f 一翻搿+ 国脯+ u u 工= 0 其中g 和万是正参数当占= 0 时，如上k d v b 方程变为k d v 方程： u ，+ u u ，+ 巍。= 0 ，而当万= 0 时，如上k d v b 方程就变为b u r g e r s 方程： u i 一翻+ u u z = 0 k u r a m o t o s i v a s h i n s k y 方程( k s 方程) 则是由k u r a m o t o e ta l 研究在反应扩 散系统中的相湍流和s i v a s h i n s k y 研究飞机火焰传播时分别提出的这类问题也常 出现于膜震动【1 l 】和n a v i e r s t o k e s 方程的分叉解f 1 2 】等在文献【1 3 】中，n i c o l a e n k o 等 对于一维l ( s 方程的整体吸引予以及分叉解等进行系统的深入的研究在文献【1 4 】 中b n i c o l a e n k o 提出了一类广泛的k s 型的方程( 其中包括高维k s 方程) 1 9 9 3 年郭，苏在文献【1 5 】中对于高维广义k s 方程的整体吸引子的存在性首先给出了证 明，并对它的h a u s d o m 维数和分形维数作了估计m k d v 方程h ，+ “2 “，+ “。= 厂 是一个非常重要的方程，它用来描述非调和晶体中声波的传播和一个无碰撞等离 子体的f e n 波的运动，被广泛应用于等离子物理体，固体物理，原子物理，流体力学 和量子场物理等领域a c e i v e 耗散色散方程：u ，+ u u ，+ “搿+ 口“。+ “一= 0 ，它用 6 江苏大学硕士学位论文 来描述在耗散色散介质中波的传播【1 6 1 1 2 国内外研究现状 精确控制是分布参数受控形式的一种，它一直受到控制理论界的重视而得到 不断深入地研究和发展为解决变系数线性系统的精确控制，人们使用了一些深刻 的工具和方法，比如基于拟微分算子和微局部分析【1 7 ，1 8 】和基于c a r l e m a n 型不等式 1 9 - 2 1 】但是这些方法对系统的系数假定了较高的光滑性或需要相应系统的唯一性 延拓性质利用隐函数存在定理，m a r k u s l 2 2 1 得到某些常微分方程的局部精确控 制，c h e w n i n g l 2 3 】和f a t t o r i n i 2 4 使用不动点技术证明了半线性系统精确控制，对半线 性分布参数系统, s e i d m a n 用s c h a u d e r 不动点定理对一类双曲线证明了，在具次线 性增长的半线性扰动下，其能达集的不变性 2 5 】最近，结合h u m 方法和 ( l e r a y ) s c h a u d e r 不动点定理，z u a z u a 得到一系列关于半线性波方程的精确能控性 一 姑果【箱凋 近几年来，人们越来越多地关注k d v 、k d v b 、m k d v b 以及k s 方程的精确 控制问题从2 0 世纪6 0 年代以来，k d v 方程在数学和物理方面都得到了广泛研究 在研究k d v 方程时大部分学者通过直接解方程或者应用反散射( i n v e r s e s c a t t e r i n g ) 方法( 即非线性傅立叶变换) 来找到方程的解其中，b i n g - y uz h a n g 研 究了k d v 方程的精确边界控制【冽j a b u m s 、c i b y m e s 、h c h o i 等学者对 b u y e r s 方程进行了研究【3 0 彻，b y m e se ta l 研究了b u r g e r s 方程的局部指数稳定性 ( 若初始条件在三2 空间下非常小) ，v a nl ye ta l 将这一结果进一步完善( 把它延 伸到r 空间) 但仍是局部的m i r o s l a vk r s t i c 对b u r g e r s 方程的全局稳定性进行了 研究【3 3 1 k d v b 方程是同时表现了扩散和色散特点的最简单的非线性数学模型之 一b i l e r 、r a s s e l 和z h a n gb i n g y u 对周期边界条件下的k d v b 方程进行了研究 【3 钙6 1 ，b i l e r 、b o n a 和s m i t h 对空间区域是整个实数轴的k d v b 方程进行了研究 3 7 , 3 8 】，r o s i e r 对系统在一个闭域上的可控性进行了研究【捌，“u 和k r s t i c 研究了 k d v b 方程在一有限区域中的边界反馈稳定性问题【加1 ，a n & a sb a l o g h 和k r s t i c 研 究了k d v b 方程的稳定性和数学模型，曹海霞对充分非线性的k d v b 方程解的稳 定性作了研究对k s 方程的研究也已取得了丰硕成果，f o i a se ta l 和n i c o l a e n k o e ta l 对k s 方程全局吸引子和惯性流形进行了研究【4 2 】，h ee ta l 研究了k s 方程稳 7 一类非线性演化方程的精确控制 定性的数学模拟及它的最优控制，王景峰也对k s 方程的稳定性作了研究【4 3 1 ，程悦 玲对充分非线性k s 方程在周期边界条件下的稳定性进行了研究【删，c h r i s t o f i d e s 基于一个g a l e v k i n 方法构造了线性控制项研究k - s 方程的局部稳定性【4 5 1 1 3 本文的研究的基本内容 本文主要研究充分非线性a c e i v e 耗散色散方程解的存在性、唯一性以及全局 指数稳定估计和k d v - m k d v 方程在周期边界条件下的精确边界控制问题对充分 非线性a c e i v e 耗散色散方程，在给定边界控制律u ( o ，f ) = u x ( o ，f ) = u x t ) = 0 ， u x x q f ) = u ( 1 , t ) ，“。g t ) = k l u ( 1 , f ) + 七2 u ( l t ) 2 肿1 下，通过b a n a c h 不动点定理和算子 半群理论证明解的存在性和唯一性，并应用分部积分理论和一些重要的不等式证 明方程的解是全局指数稳定的运用f o u r i e r 基函数的展开以及f o u r i e r 变换的方 法研究带有周期边界条件下的k d v - m k d v 方程在有限时间区间【0 ，r 】上的精确边 界控制应用r e i m a n n 1 e b e s g u e 收敛定理以及r i e s z 基函数的性质证明了在给定的 时间t 0 ，对于两个任意给定的函数m 。( x ) ，u ( 功属于一定的s o b o l e v 空间，总能找 到一个控制函数使得线性化k d v - m k d v 方程有一个存在于某一合适空间的解 u ( x ，t ) ，使其满足u ( x ，0 ) = u o ( x ) ，u ( x ，t ) = u l ( z ) 在此基础上，定义一个f r e d h o l m 算 子，并由算子理论找至u k d v - m k d v 方程的控制函数，使其达到精确边界控制 1 4 本文的研究的意义及价值 边界控制是分布参数受控形式的一种，它一直受到控制理论界的重视而得到 不断深入地研究和发展由于一些技术上的原因，许多系统需要在区域的边界上设 置控制装置来进行研究a c e i v e 耗散色散方程描述的是在耗散色散介质中传播的 波，k d v - m k d v 方程经常出现在流体力学，物理学及量子理论中，此类方程具有很 广泛的物理背景，所以，对此类方程的解的存在性、唯一性及稳定性的研究意义广 泛不仅如此，边界控制问题在水利、电磁学、国防等方面都有很重要的应用，特别 是水利方面 8 江苏大学硕士学位论文 第二章预备知识 我们所研究的精确控制就是在系统上加上某种可行性条件，从而保证系统的 解存在且唯一，并在一定的空间上保证此解是稳定的在证明解在给定的边界反馈 条件下的稳定性时，我们经常会用到某些不等式和分部积分理论在证明解的存在 唯一性时我们经常采用先建立非线性映射，然后证明此映射是压缩映射，应用 b a n a c h 压缩不动点定理说明此映射存在唯一不动点，则这个不动点即为方程的唯 一解 因此，本章我们将介绍一些常用的不等式、b a n a c h 压缩不动点定理、半群理 - 一一 论、稳定性理论以及s o b o l c v 空间等知识 2 1 不等式 ( 1 ) g r o n w a l l 个等式 设g ， ，y 是定义于t o ，佃) 上的三个局部可积函数，使得譬也是定义于 o o ，佃) 上是局部可积的，并且对任意的f t o 满足： 立d t g y + j i l ，厂g ( s ) 凼 - a l , + ，j i l ( s 迹a 2 , ， y ( s 口， 其中，a 1 ，a 2 ，a 3 是正常数贝l j 对任意的f t o ，有 y o + ，) ( ! 羔+ 口2 ) e x p ( a 1 ) ( 2 ) p o i n c a r e 不等式 设c 彳( q ) 表示有界开区域qcr “上一切m 次连续可微，并在边界施的某邻 域内为0 的函数集合即 c o ( a ) = uec “( _ ) i n , x ) ：0 ，当z 勰的某邻域 那么对任意的u c o ( n ) 有 l 毛妒酬2 出c i 。l = m 妒酬2 出 ( 2 1 ) 9 一类非线性演化方程的精确控制 兵甲c 是仅依赖于区域q 及m 的常数 证明因为q 是有界的，我们可以把q 放在某个边长为a 的立方体q 。内，适当 选择坐标系，使得 q 。= ( 五，) r ”i o 薯口( 扛l ，2 ，2 ) ) 在q 。q 上补充定义甜= 0 ，经补充定义后，“o ) 在q 。上m 次连续可微，而且在 边界上等于0 对任意的x q ， 叫= f 秘 渺 再利用c a u c h y s c h w a r z 不等式，我们有 u ( x ) 1 2 口r 斟如 在q 。上积分不等式( 2 2 ) ，我们得 肌扩出姘l | 剖2 出站g r a d u ( 刮2 出 然后逐次应用不等式( 2 3 ) - p0 “比( z ) ( 川 聊) ，即得不等式( 2 1 ) ( 参阅文献 【4 6 4 8 1 ) ( 3 ) a g m o n 不等式 对任意缈c 1 【o ，1 】，有下面不等式成立： 罂帚苒缈( x ) 2 缈( 。) 2 + 2 而r ) 厩 ( 2 4 ) m ，。h a x 。，缈( x ) 2 矿( ) 2 + 2 丽1 | 两 ( 2 5 ) 证明：由计算基本理论可得 缈( x ) 2 = 缈( o ) 2 + 2 r 缈( 孝臃( 善) d 善 纠o ) 2 + 2 厮厮 上述过程利用了c a u c h y s c h w a r t z 不等式从而( 2 4 ) 式得证 令f ：1 一x ，同理可证( 2 5 ) 式 1 0 2 2b a n a c h 不动点定理压缩映像原理 改婵，p ) 是一个完备的距离空间，z 是僻，p ) 到其自身的一个压缩映射，则r 在彳上存在唯一的不动点 汪明：( 存在性) 若r ：( x ，p ) j ，纠是一个压缩映像，则取初始点x o x ， 构造迭代产生的序列 x 棚= t x 。0 = o ，1 ，2 ) 则有p ( x 肿1 ，z 。) = p ( r x 。，t x 。一1 ) a p ( x 。，x 。一1 ) 口“尸( t ，x o ) ，其中： 0 盯 1 从而对任意的p n ，有 p ( x n + p ，x 。) 圭p ( x 州，x n + h ) ( 口4 + ，_ 1 + + 口”_ 1 ) 尸( 置，) 篙p “，x o ) 。俏疗专o o 时) 由此可知& 。) 是一个基本列 y f x ：i y g ( x ，p ) 是完备的，所以存在z x ，使得一x jo 。) 3 l x 。丑= t x 。，两边取极限，则有x = t x + ，故x + 为不动点 ( 唯一性) 若x 、z ”均为不动点，则 p x ”i - - i z x 一戥” a l x 一x ” 由此推出x = x ”，故不动点是唯一的 综上所述，定理得证 2 3 算子半群论 定义2 3 1 设x 是b a n a c h 空间，一个单参数有界线性算子族s o ) ，t 0 ： 一类非线性演化方程的精确控制 zj x 称为是有界线性算子半群( 简称半群) ，如果 ( 1 ) s ( o ) = i ( 2 ) s “+ t 2 ) = s ( t i 芦( t 2 ) ，对任意e lt 2 0 定义2 3 2 对任意x d ，令 触：l i m s ( t ) - ix ：d + s ( t ) x i h 0 + td t l r - o 我们将a 称为半群s o ) 的无穷小生成元，d 称为a 的定义域 定义2 3 3 设x 是b a n a c h 空间，若x 上的有界线性算子半群s ( f ) ( o t o 。) 满足对任意x x ，有 l a m + s ( t ) x = z 卜0 + ( 2 6 ) 则称s ( t ) 为有界线性算子的强连续半群，x 上的有界线性算子强连续半群将 简称为c 。半群 定理2 3 1 设s ( f ) 是c o 半群，则存在常数缈o 与m 1 ，使得 f i s ( t ) | j 甩由一致有界性定理可知，存在工x ，使得 l s ( t 。) 删无