（基础数学专业论文）解析数论中的若干问题.pdf

i 茼妥 本工作报告主要研究了几种g o l d b a c h 型的丢番图方程 在前三章中，我们主要研究了一类带系数的素变数丢番图方程及方程组的可解 性在用圆法研究此类问题时，为了得到较好的结果，一般需要把主区间取得很大 在c h o i 和刘建亚的工作【7 】之前，对此类增大了的主区间都是应用d e u r i n 分h e i l b r o n n 现象来处理的在本文中，我们应用c h o i 和刘的办法，利用大筛法不等式，g m l a g h e r 引理，以及函数零点分布的经典结果，在方程的系数满足一类更强的条件时，改 进了关于此类问题的结果，并得到了解法的渐进公式 在第一章中，我们考察方程 b l p l + 6 2 p 2 + b 3 p 3 = b o 其中，( b i ，6 f ) = 1 ，0 i j 3 并改进了此方程的最小素数解的上界估计 同第一章相似的，在第二章中我们考察了三次素变数方程的情况，得到了其最 小素数解解所满足的上界估计 在第三章中，我们考察了含有五个素变数的一次方程组，改进了其最小解的上 界估计 在第四章中，我们考察算术级数中的奇数g o l d b a c h 问题， f = p l + p 2 + p 3 ， l 聊5b j ( m o d r ) ，j = 1 ，2 ，3 我们证明了此方程对几乎所有的r n 1 6 1 及所有的( r ，b ) = 1 可解一直以来， 这样的几乎所有模的算术级数中的g o l d b a c h 问题都是通过建立相应的b o m b i e r i v i n o g r a d o v 型均值定理来解决的，而我们采用了新的办法处理增大了的主区间我 们的办法不仅能得到更好的结果，还能应用于相应的b o m b i e r i - v i n o g r a d o v 型均值定 理不成立的非线性情况 最后，在第五章中，我们考察孑一个华罗庚的经典定理和p i a t e t s k i s h a p i r o 素 数定理的混合问题给出了这一类问题的非齐次形式的一个结果 关键词圆法，增大了的主区间，大筛法，算术级数，b o m b i e r i v i n o g r a d o v 型 均值定理，s h a p k o 素数，三角和 s o m ep r o b l e m si na n a l y t i cn u m b e r t h e o r y t h e p u r p o s eo ft h i sr e p o r ti st os t u d yt h es o l v a b i l i t yo fs o m ed i o p h a n t i n ee q u a t i o n so fg o l d b a c h t y p e t h ef o l l o w i n gi st h eo u t l i n eo ft h i sr e p o r t i nt h ef i r s tt h r e ec h a p t e r s ，w ed e a lw i t ht h ep r o b l e mo f s m a l lp r i m es o l u t i o n so fs o m e d i o p h a n t i n e e q u a t i o n sa n dg r o u po fe q u a t i o n s t og e tab e t t e rr e s u l ti ns u c hp r o b l e m sw i t ht h ec i r c l em e t h o d ， o n en e e d st ot a k et h em a j o ra r c sr a t h e rl a r g e a l lt h ep r e v i o u sw o r k st r e a tt h e e n l a r g em a j o ra r c sb y d e u r i n h e i l b r o n p h e n o m e n o nu n t i lc h o ia n dl i u 7 】w ee m p l o yt h e i rm e t h o dt os h o wu n d e rs o r e e e x t r ac o n d i t i o n s ，s u c hp r o b l e m sc o n l db ed e a l tw i t hs o m em e a n v a l u et h e o r e mo b t a i n e db yt h el a r g e s i e v ei n e q u a l i t y ，g a l l a g h e r sl e m m a ，a n dc l a s s i c a lr e s u l t so nt h ed i s t r i b u t i o no fz e r o so fl f u n c t i o n s w h i c ha v o i d sd e u r i n g - h e i l b r o n np h e n o m e n o na n dl e a d st ob e t t e rr e s u l t sa n da s y m p t o t i cf o r m u l a e i nc h a p t e r1 ，as p e c i a lc a s eo ft h ep r o b l e mo fb a k e r sc o n s t a n ti si n v o l v e d ，i e ，w h e n ( b i ，b ) = 1 ，0 兰i js 3 w e s t u d yt h es o l v a b i l i t yo ft h ee q u a t i o n b l p x + 6 2 p 2 + b a p 3 = b 0 a n dw ei m p r o v e dt h en u m e r i c a lb o u n df o rs m a l l p r i m es o l u t i o n so ft h i st e r n a r yl i n e a re q u a t i o n i nc h a p t e r2 ，a n a l o g o u st oc h a p t e r1 ，w es t u d yt h ec u b ec a s eo fs m a l lp r i m es o l u t i o n so ft h e d i o p h a n t i n ee q u a t i o n ，a n do b t a i n e dan u m e r i c a lb o u n df o rs m a l lp r i m es o l u t i o u so ft h ec u b ec a s e i nc h a p t e r3 ，w es t u d yt h ep r o b l e mo fs m a l lp r i m es o l u t i o n so fa p a i ro fl i n e a re q u a t i o n si nf i v e p r i m ev a r i a b l e su n d e ras i m i l a re x t r ac o n d i t i o n ，a n di m p r o v et h en u m e r i c a lb o u n df o rs m a l lp r i m e s o l u t i o n so ft h i sg r o u po f e q u a t i o n s i nc h a p t e r 4 ，w ec o n s i d e rt h et e r n a r yg o l d b a c hp r o b l e m w i t ht h ep r i m e si na r i t h m e t i c p r o g r e s s i o n s ， i e ，w ec o n s i d e rt h ee q u a t i o n 三p 枷l + p 2 + ，p 3 纠名。 a n dw es h o wt h a tt h i se q u a t i o ni ss t i l ls o l v a b l ef o ra l m o s ta l lr n i l 6 一a n da l lb 。a t t a c h e dt or t r a d i t i o n a l l y , s u c ha l m o s ta l lm o d u l ic a g ew a sd e a l tw i t hab o m b i e r i v i n o g r a d o vt y p em e a nv a l u e t h e o r e m ，w h i l ew eu s en e wi d e a st od e 胡w i t ht h ee n l a r g e dm a j o ra r e s ，o u ri d e a sn o to n l yl e a dt o n u m e r i c a li m p r o v e m e n t 、b u ta l s ol e a dt 彳r e s u l t so fn o n f i n e a rc a s e si nw h i c ht h eb o m b i e r i v i n o g r “l o v m e a nv a l u et h e o r e mc a bn o tb eo b t a i n e d i nc h a p t e r5 w ec o n s i d e ra h y b r i dp r o b l e mo fo fh u a 8t h e o r e ma n dt h ep i a t e t s k i s h a p i r op r i m e n u m b e rt h e o r e m ，a n do b t a i nr e s u l t si nt h i sd i r e c t i o no ft h en o n h o m o g e n e o u sc a s e k e y w o r d sc i r c l em e t h o d ，e n l a r g e dm a j o r a r c s ，l a r g es i e v e ，a r i t h m e t i cp r o g r e s s i o n ，b o m b i e r i - v i n o g r a d o vt y p em e a n - v a l u et h e o r e m ，s h a p i r op r i m e ，t r i g o n o m e t r i cs u m s 1 c h a p t e r 1 an u m e r i c a lb o u n df o rs m a l l p r i m e 1 1 一 1 s o l u t i o n so ts o m e t e r n a r yl i n e a r e q u a t i o n s 1 1 i n t r o d u c t i o n f o ra n yi n t e g e rb 0 ，w ec o n s i d e rt h es o l u b i l i t yo ft h ed i o p h a n t i n e e q u a t i o n b t p t + b p 2 + 6 3 p 3 = 6 0 ， ( 1 1 ) w h e r e 乃a r ep r i m ev a r i a b l e sa n dt h ec o e f f i c i e n t sb j a r en o n - z e r oi n t e g e r s s a t i s f y i n gt h ef o l l o w i n g n e c e s s a r yc o n d i t i o n s ： b 0 三b z + b 2 + b 3 ( m o d 2 ) a n d ( 机，b ，b k ) = 1 f o ra n y 0 s i j k 3 ( 1 2 ) w ea l s ow r i t e 占= m a x 2 ，1 6 1 i ，1 6 2 i ，1 6 3 l i nt h i sp a p e r ，w es o l v ea s p e c i a lc a s eo ft h i sp r o b l e mb y e s t a b l i s ht h ef o l l o w i n g t h e o r e m 1 s u p p o s e ( 1 2 ) b l ，b 2 ，b a o r en o td ，t h es a f n es i g na n d ( ，如) = 1如ra n y0 s i j 3 ， t h e n ( 1 1 ) h a ss o l u t i o n s 讯p r i m e sns a t i s f y i n g 功1 6 0 i + b 2 5 2 押 1 3 ) ( 1 4 ) w h e r et h ei m p l i e dc o n s t a n td e p e n d so n l yo ne b yt h e o r e m1 ，w ec a ni m m e d i a t e l yg e tt h ef o l l o w i n g c o r o l l a r y1 l e tn o t a t i o n sb ea s 咖t h e o r e m1a n db o = lo r2a c c o r d i n ga sb l + b 2 + bi so d do f e ”e n t h e n ( 1 1 ) h a ss o l u t i o n si np r t 。m e s 胁s a t i s f y i n g 珊b 2 5 2 托( 1 5 ) w h e r et h el m p l i e dc o n s t a n td e 口e ，l d so n l yo ne t h ep r o b l e mo nb o u n d sf o rp r i m es o l u t i o n so f ( 1 1 ) w a sf i r s tr a t s e db yb a k e rf 2 1i nc o n n e c t i o n w i t hh i sw e l lk n o w nw o r ko nt h es o l u b i l i t yo fc e r t a i nd i o p h a n t i n ei n e q u a l i t i e si n v o l v i n gp r i m e s t h e i n f i m u m8f o ra l lp o s s i b l ev a l u e su n d e rt h eg e n e r a tc o n d i t i o nf 1 2 ) i nt h ep l a c eo f c o n s t a n t2 5 2i sn o w c a l l e dt h eb a k e r sc o n s t a n t l a t e rd e v e l o p m e n t ss h o wt h a tt h i sp r o b l e mh a si n d e p e n d e n ti n t e r e s t ，f o r r e f e r e n c e sa n di n t r o d u c t i o no ft h ep r o b l e m ，s e ea l s o 【2 7 1 i nf 2 1 】，l ih o n g z ep r o v e dt h a t8s3 8 1 w ep r o v eo u rt h e o r e m1b yt h ec i r c l em e t h o d h e r et h em a i nd i f f i c u l t ya r i s e si nt r e a t i n gt h e r i 心w d j 如- t h ei , h qo f 仆1t 、p rr 、一v 、j ：、沁 、( ! j l ! n o t a t i o n a su s u a l ，p ( n ) ，p l n ) ，a n da ( n ) s t a n df o rt i mf u n c t i o no le u i e r ，m o b i u s ，a n dv o n m a n g o l d tr e s p e c t i v e l y , d ( n ) i st h ed i v i s o rf u n c t i o n ，a n d 以( n ) i st h eg e n e r a l i z e dd i v i s o rf u n c t i o nw h i c h i sd e f i n e da st h en u m b e ro fr e p r e s e n t a t i o n so fna sp r o d u c t so fvp o s i t i v ei n t e g e r s w eu s eym o d q a n d x om o d 口t o d e n o t ead i r i c h l e tc h a r a c t e ra n dt h ep r i n c i p a lc h a r a c t e rm o d u l oq ，a n dl ( s ，x ) i st h e d i r i c h l e tl - f u n c t i o n f o ri n t e g e r sa ，b w ed e n o t eb y b ，】t h e i rl e a s tc o m m o nm u l t i p l e n 3 1 b o i i sal a r g ei n t e g e r ，a n dl = l o g n a n dr rm e a n sr r 2 r i f t h e r ei sn oa m b i g u i t y , w ee x p r e s s 宅+ 0 a so b + 0o r0 + n b t h es a m ec o n v e n t i o nw i l lb ea p p l i e df o rq u o t i e n t s t h el e t t e r d e n o t e sa p o s i t i v ec o n s t a n tw h i c hi sa r b i t r a r i l ys m a l l t h el e t t e r sca n do fs t a n d f o ra b s o l u t ep o s i t i v ec o n s t a n t s ， b u tt h ev a l u eo fcw i t h o u ts u b s c r i p tm a yv a r ya td i f i f e r e n to c c u r r e n c e s i nm a t h e m a t i c a lf o r m u l a e w ew i l lw r i t e “s t ”f o r “s i m i l a rt e r m s ”f 0 re x a m p l e ，“a l b 2 c 3 十s t ” m e a 朋st h es u mo fa l lp o s s i b l et e r m sa o 日疗c w i t h ( d ，芦，7 ) b e i n ga n yp e r m u t a t i o no f ( 1 ，2 ，3 ) 1 2o u t l i n eo ft h em e t h o d d e n o t eb yr ( b o ) t h ew e i g h t e dn u m b e ro fs o l u t i o n so f ( 1 1 ) ，i e r ( 6 0 ) = ( 1 0 9 p 1 ) ( 1 0 9 p 2 ) ( 1 0 9 p 3 ) ， b 0 = b l p l + b 2 p 2 + b 3 p 3 m l b j 畸” w h e r em = 1 0 0 0 w ew i l li n v e s t i g a t er ( b o ) b yt h ec i r c l e m e t h o d t ot h i se n d ，w es e t p = b 3 n 5 ，q = ( p l 。1 ) w h e r ec li sas u f f i c i e n t l yl a r g ec o n s t a n t b yd i r i c h l e t sl e m m a o nr a t i o n a la p p r o x i m a t i o n 【1 q ，1 + 1 q lm a y b ew r i t t e ni nt h ef o r m n = o q + ，l j 1 ( q q ) ( 2 1 ) e a c ha ( 2 2 ) f o rs o m ei n t e g e r sd ，qw i t h1sa q qa n d ( n ，g ) = 1 w ed e n o t eb y 习吼忙，q ) t h es e to f as a t i s f y i n g ( 2 2 ) ，a n dd e f i n et h em a j o ra r c s 弧a n d t h em i n o ra r c sma sf o l l o w s ： 口 嘶= uu 嘶( 。，q ) 口s p 茄：l m = 融1 + 劫 i tf o l l o w sf r o m2 p 0 t h a tt h em a j o ra r e s 弧( o ，q ) a r em u t u a l l yd i s j o i n t l e t s j ( a ) = o o g p ) e ( b j p d ) 7 im 0 s a m ea s 2 7 1 ，l e m m a7 2 ，i ti sa l s oe a s i l yc h e c k e dt h a t l e m m a 2 3 a s s u m i n g 1 2 ) a n d d 寸 _ 3 i b 0 1 ，t h e nw e h a v e 删- 一。lx 网n 2 b l 1 + b 2 m 2 + b 3 m 3 = b 0 m 。一 m l e h a v e c o n s e q u e n t l y ，w ea l w a y sh a v e c ( x ，n ) s ( n ，口) 1 2 q 1 2 扣南 矿：二 1 ( a ，q ) f o rj = 1 ，2 ，3 ，l e tx j ( m o d r j ) b ep r i m i t i v ec h a r a c t e r sa n dd e n o t eb yr = 【7 1 ，r 2 ，r 3 】i t i sk n o w n t h a t ( 【2 7 】，l e m m a4 ，5 ) ， l e m m a3 ，2 f o rr l q ，w r i t eq = 4 q ”s u c ht h a t ( r ，一) = la n de v e r yp r i m e 豇e t o r 可q d i v i d e s r w eh a v e ( 1 ) b ( b o ，q ，x i x o ，x 2 x o ，x 3 x o ) = b ( b o ，q l , x l x o ，x 2 x o , x 3 x o ) 妒3 ( 口，) a ( b o ，g ”) ， ( 2 ) b ( 6 0 ，一，x l x o ，】，2 x o ，x a x o ) = 0u n l e s s 矿= r w ea l s oc o p yt h ef o l l o w i n gl e m m a ，w h i c hi sl e m m a 4 4i n1 2 7 1 ， l e m m a3 3 l e ta ( b o ，q ) b ed e f i n e da 8a b o v e t h e na ( 6 0 ，q ) i snm u l t i p l i c a t i v e 如n c t i o n0 ，qa n d i a ( b o ，q ) l = 1 - i ( + i a ( p ) i ) l 0 9 2 l q = l ， l e m m a 3 4 l e t m o dr jw t h j = l ，2 ，3b ep r i m i t i v ec h a r a c t e r s s e tr = 【r l ，r 2 ，r 3 ，n n d l e t x o 6 ef k p r i n c i p a lc h a r a c t e rm o d q t h e n p r o o f b yl e m m a3 2 ，t h ea b o v es u m i se q u a lt o p ( r ) l b ( r ，x 1 x o ，x 2 妒，x 3 x o ) l a ( b 0 ，q ) ( q r _ 口v ) ；f 1 4 一曲r 盯 p u书 g 一吼g 一矿0“南 、鼍 护 f w 瓯 = g 胆 一 1。 妇 p b 葡 带 o nn o t i n gc ( x ，吣 ) = 5 c ( h ) c ( x , 吣) ，b yl e m m a3 1w eh a v e 3 i p 一3 ( r ) i b o ，) ( 1 x o ，) ( 2 x o , x 3 x o ) f = c p - 3 ( r ) i i l g ( x j ) ( o ，b ) l r j = o w h e r ex o = 丽j 西西n o wa s s u m e ( 1 3 ) ，w eg o t i p ( r ) l b ( r , x 1 地x 2 x d ，x 3 x o ) l r 一1 2 f b yl e m m a3 3 ，t h el a s ts u mi n ( 3 1 ) i s l ，t h i sp r o v e st h el e m m a f o rj = 1 ，2 ，3 ，l e t m j = m b ja n d n j = n i b i w ea l s os e t a n d 巧( ) = e ( b m ) m 1 m s n ， ( 3 2 ) ( x ， ) = ( 1 0 9 p ) x ( p ) e ( b p a ) 一奴巧( a ) ， ( 3 3 ) w h e r e 殴= 1 o r0a c c o r d i n g ) ( i sp r i n c i p a lo rn o t a l s o , 。d e f i n e 易2 萎r - 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