（流体力学专业论文）孤立波在单层和两层流体中的分裂研究.pdf

孤立波在单层和甄层流体中分裂的研究 撼要 近年来，由于在内波s a r 影像仿真和反演研究中的作用，陆架陆玻区肉潮 的分裂研究倍受海学家的关注。本研究是有关初始孤立予在单层和两层流体中分 裂的一个进一步研究，羹点是对实验室条件下的分裂过程进行实验和数值研究。 本文对初始孤立子在单层和两层流体中的分裂进行理论、数值和实验研究。 主要包括两个部分。 l + 表甏孤立波躲分裂 首先圜鼷搂述表覆孤立波( 或称表瑟孤立予) 经过一令遗形突变鏊演纯过 程的基本方程式变系数k d v 方程酌推等，其主要萄的楚将该方程邋纯到实 验室坐标系中，以便将理论与实验结果进行对比。其次介绍了我们做过的表面孤 立子经过地形突变区分裂的实验。 2 两层流体中内界面孤立子的分裂 我们叙述了两层分层流体( 或海洋) 中初始孤立子分裂的二维k d v 方程的 推导，芳利用坐标变换将其变戈实验室坐标系中的一个射线型2 维k d v 方程。 本文瞧利用瓣线方程的退化形式进行了涎是滚钵中波界覆孤立予分裂黪理论帮 数餐研究，数值模式中拐始孤立予的数据是幽实验测得豹，并将其嵌入到本数值 模式中。托外，本文穗迸行了内羿面孤立予分袭的理论、数值和实验结采的比较。 从理论和实验结果的比较，业已证明两者符合得很好。 通过对理论、数值和实验结果的比较得到以下结论： ( a ) 当底地形为特征深度时，单层流体中的表面孤立波和两层流体中的内界 蕊波均发生分裂，旦分裂个数满足分裂律。 ( b ) 在隧架上( 浅水区) 分裂蜃的内孤立予波列或波包中首嶷出现黪予波波 辐毽最大。 ( c ) 撮嚣我们所得到的缩采，当孤立波越过陆坡( 倾斜稚形) 时，分裂过程 必然发生。如果过地形分裂后生成的波是孤立波列，那么初始波必为孤立波。因 此分裂机制是孤立波在陆架区的重要生成机制。 最后，将介绍我们在中国海洋大学物理海洋实验室首次进行的表面孤立子 和内界面孤立子分裂的实验。因为实验参数和地形的本征高度都是不连续的，即 分裂现象只发生在几个个别的本征高度上，因此实验的次数受到了限制。尽管实 验次数不是很多，但孤立子在单层和两层流体中的分裂规律确实通过这些实验得 到了验证。 关键词：k d v 方程；内孤立波；分裂；内波实验； s t u d i e so nf i s s i o no fs o l i t o n si ns i n g l e w - a n dt w o - l a y e r s t r a t i f i e df l u i d a b s t r a 娃 d u et ot h ee f f e c t si na s p e c t so fs i m u l a t i o na n di n v e r s eo fs a ri m a g e r i e so f i n t e r n a lw a v e s ，t h es t u d yo ff i s s i o no fi n t e m a lt i d e so nt h ec o n t i n e n t a ls h e l f s l o p ei s p a i dc o n s i d e r a b l ea t t e n t i o ni nr e c e n ty e a r s t h i ss t u d yi saf u r f l l e ro n eo nf i s s i o no f i n i t i a ls o l i t o ni ns i n 掣e - a n dt w o - l a y e rf l u i d ( o ro c e a n ) ，t h ee m p h a s i si sf o c u s e do n e x p e r i m e n t a la n dn u m e r i c a li n v e s t i g a t i o nu n d e rc o n d i t i o no fl a b o r a t o r ye x p e r i m e n t s 1 。t h ef i s s i o n o f t h es u r f a c es o l i t o n s f i s s i o no fs o l i t o n si nt h e s i n g l e * a n dt w o - l a y e r f l u i da r e i n v e s t i g a t e d t h e o r e t i c a l l y , n u m e r i c a l l ya n de x p e r i m e n t a i ly _ f i r s t ，ad e r i v a t i o n o ft h eb a s i c e q u a t i o n - av a r i a b l ec o e f f i c i e n tk d vi sr e c a p i t u l a t e da st h es o l i t o n sp a s st h r o u g ha s h a r p l yv a r y i n gt o p o g r a p h y , t h em a i na i mo f d o i n gt h i si st or e d u c et h ek d ve q u a t i o n i n t ot h el a b o r a t o r yf r a m e ，s ot h a tt h e o r e t i c a lr e s u r sc o u l dc o m p a r ew i t ht h e e x p e r i m e n t a lo n e s 。a tt h es a m et i m e ，w ei n t r o d u c et h ee x p e r i m e n t so ff i s s i o n so f s u r f a c es o t i t o n s ，w h i c hw eh a v ed o n e 2 t h ef i s s i o n so f i n t e r f a c i a ls o l i t o n si nt w o - l a y e rs t r a t i f i e df l u i d d e r i v a t i o n so f t w od i m e n s i o n a lk d v e q u a t i o n ，w h i c hi su s e dt os t u d yt h ef i s s i o n o fi n i t i a li n t e r f a c i a ls o l i t o n si nt w o l a y e rs t r a t i f i e df l u i d ( o ro c e a n ) i sd e s c r i b e d ，a n da r a y t y p e2 d k d ve q u a t i o ni sd e r i v e db ym e a n so faf l a m et r a n s f o r m a t i o n b yu s i n ga r e d u c e dr a y - t y p ek d ve q u a t i o n , t h e o r e t i c a la n dn u m e r i c a lr e s e a r c ho ft h ef i s s i o no f t h ei n t e r r a c i a ls o l i t o n sa r ec a r r i e do u t ，a n dt h ei n i t i a ls o l i t o n ，w h i c hi so b t a i n e df r o m o u rl a b o r a t o r ye x p e r i m e n t s ，i si n s e r t e di n t oo u rn u m e r i c a lm o d e l e q u a t i o n + i na d d i t i o n ， t h e o r e t i c a l ，n u m e r i c a la n de x p e r i m e n t a lr e s u l t sa r ec o m p a r e di n t h i sp a p e r f r o mt h e c o m p a r i s o n sb e t w e e nt h e o r e t i c a la n de x p e r i m e n t a lr e s u l t s ，i ti ss h o w nt h a tb o t ha l ei n g o o da g r e e m e n t b a s e d0 1 1a n a l y s e sw i t hr e s p e c tt ot h e o r e t i c a l ，n u m e r i c a la n de x p e r i m e n t a lr e s u l t s 3 o b t a i n e di nt h ep r e s e n tp a p e r , w ec o u l dc o n c l u d et h a t ( a ) t h es u r f a c es o l r o n sa tt h ef r e es u r f a c ei nt h es i n g l e - l a y e rf l u i da n dt h e i n t e r r a c i a ls o i l k o ni nt w o l a y e rs t r a t i f i e d f l u i d ( o ro c e a n ) a l lc a nf i s s i o na st h e t o p o g r a p h yi sa ne i g e n - v a l u e a n da l lt h es o l i t o n ss a t i s f yt h e m s e l v e sf i s s i o nl a w s ( b ) o nt h es h e l f ( i e s h a l l o ww a t e rr e g i o n ) 。t h el e a d i n gs o l i t o n sa l w a y sh a v et h e l a r g e s ta m p l i t u d e si nt h es o l i t o np a c k e t s ( c ) b yo u rr e s u l t s ，a st h es o l i t o n sp a s st h r o u g ht h ec o n t i n e n t a ls l o p e t h ef i s s i o n p r o c e s sc e r t a i n l ya p p e a r s i ft h ew a v e - 廿a i no nt h ec o n t i n e n t a ls h e l fi ss o l i t o n - t y p e p a c k e t ，t h ei n i t i a lw a v e ss u r e l ya r es o l i t o n s ，t h e r e f o r et h ef i s s i o nm e c h a n i s mi so l l eo f g e n e r a t i n gm e c h a n i s m so f t h ei n t e r n a ls o l i t o no nt h ec o n t i n e n t a ls h e l f i n a l l y , t h ee x p e r i m e n t so ff s s i o no ft h es u r f a c es o l i t o na n di n t e r n a ls o l i t o nh a v e b e e np e r f o r m e di np h y s i c a l o c e a n o g r a p h yl a b o r a t o r yo fo u c f o rt h ef i r s tt i m e b e c a u s ep a r a m e t e r so ft h ee x p e r i m e n t sa r ei n d i v i d u a l ，i e t h e h e i g h t so fe i g e n t o p o g r a p h i e sa r ei n d i v i d u a l ，s ot h en u m b e ro ft h ee x p e r i m e n t si sr e s t r i c t e d e v e n t h o u g ht h en u m b e ri ss m a l l ，t h ef i s s i o nl a wi nt h es i n g l e - a n dt w o - l a y e rf l u i ds u r e l y h a sb e e nv e r i f i e db yo u rl a b o r a t o r ye x p e r i m e n t k e y w o r d s ：k d ve q u a t i o n ，i n t e r n a ls o l i t a r yw a v e ，f i s s i o n ，e x p e r i m e n to fi n t e r n a l 7 w a v e 4 孤立波在单层和两层流体中分裂的研究 第一章前言 。痰波秘表露波的磷究状；嚣 海洋内波广泛分布于世界各个海区， 机制之。大量的现场与遥感观测表明， 它是潮汐能耗散和海洋内部混合的主要 海洋内波可以传播数百公里而保持波形 不变，在传攒过程中将引起海洋内部强烈的质量与动量输运。海洋内波传援到隧 架海区蜃受地形的影响姆发生多葶申复杂的海洋运动学和动力学过程，蒡馋隧能量 熬耗数与襄羰。从这个意义上讲，奁魅架陵坡区海洋痰波也是海洋内部混合的耋 簧能蹩来源。 海洋内波是发生在分层海洋内部的一类波动。它的最大振幅在海洋内部，其 最大振幅的位置视分层的情况而定。海洋内波存在的必要条件是海洋密度层结， 尤其是海洋的垂向层结。海洋内波与海洋自由表面波相比，其传播速度比表厩波 的传播速度为小及其频率比表面波低得多。因此低频海洋内波具有大约几十甚至 几百公里的波长，传播速度可达每秒几米；短内波的周燃可从5 l o 分钟到2 5 小时不等，波长为几百米到几公里，传援速度则有每秒几十曩米的量级；低频 漆波戆振幅霹达1 0 0 米甚至熬上；鬣周期态泼冀振襁也有i 0 2 0 米。与海浪一 祥，海洋内波蔺样对海洋工程结构物其育一定破坏侔溺，近年来有关海洋内波对 石油管线和棱柱作用时有报道。海洋内波对海水中的运动物体的稳定性、耐波性 通航性等水动力特征产生重要的影响，因此海洋内波的研究除了具有重要的科学 意义、潜在的经济意义军事惫义。 陆架海区是人类生产活动的莛要场所，深入研究陆架海区内波的传播、演变 特征，对于了解隧架地形对瞧波传播的影响及能餐的分懿具蠢十分重要豹意义。 我重拥有万，于余公墅故海岸线，宽漏懿陵架澎区拥有丰富熬生产与生活炎辩 帮资源，在陆缝资源醋益短缺鹣瓒在，加强对陆架海区海洋资源的歼发势径必行。 海洋内波作为陆架海区重要的动力学过稷，对陆架海区海洋沉积、海洋渔业、海 洋声学等相关学科的研究具有决定性的影响。加强陆架海域海洋内波的研究对于 进一步研究陆架海区海洋动力环境的变化和海洋资源的开发利用等也具有十分 羹要的现实意义。 孤立波在单层和两层流体中分裂的研究 海洋的垂向层结，即沿重力方向密度、盐度和温度分布的非均匀性，是所有 海域的共同特征。这些层结的形成归根结底与太阳的作用相关，除主温跃层外， 在海洋上层它们的形成因季节而不同，因而学者们经常用“季节性温跃层”来称 呼上层海洋的层结结构。由于多种环境因素的作用，特别是表面风的作用，使得 海洋季节性温跃层具有强跃层的特点。对于强跃层，某些学者经常利用两层流体 模型来近似地描述这类内界面波的特征。对于稳定的连续分层海洋，理论上业以 证明海洋内波的频率范围介于惯性频率f 与浮性频率n 之间。海洋内波的恢复 力为地转科氏力和约化重力( 重力与浮力之差) ，因此，海洋内波又称为惯性重力 内波。海洋内波的生成、传播及消衰与海底地貌及其他海洋环境要素有关，诸如 海洋的分层状况、潮流和海流的流向及各种中尺度现象与内波的相互作用等有关， 因此海洋内波具有以下特点：海洋内波是斜压波；内波恢复力为约化重力( 重力 与浮力之差) ；内波波速很慢，振幅较大( 恰似慢表面波) ，并具有复杂的垂直结 构( 模态) 。 海洋内部水体的稳定垂向层结是海洋内波生成的基本环境要素， 但这种垂 向层结的密度垂向变化确是很小的，一般的其相对变化不会超过1 1 0 0 0 ，即使 在跃层强度比较大的海区，其密度变化也是o ( o 0 0 1 ) 的量级。因此，在海洋内部， 微弱的扰动也会导致大振幅的海洋内部波动，这仿佛使海水质点处于一种“失重” 的运动状态下。由于内波的传播，海洋内部并不比海洋表面处平静，比如在浅 海的跃层中海洋内波的作用可以贯穿海洋全深度。即使对于极端简化的海洋分 层模型两层流体模型，在内界面的上下沿存在方向相反的内波波致流，并在 表面存在上升和下降流区及水平幅聚和幅散区，显然海洋内波是一种几乎贯穿海 洋全深度的波动。 内波也是海水运动的重要形式，它能将大、中尺度运动过程的能量传递给小 尺度过程，是引起海水内部混合、形成温、盐细微结构的重要原因。它能将深层 较冷的海水连同其中的营养盐输送到海洋上层，有利于海洋生物的生长。由内波 引起的等密度面的波动会影响海洋中声速的大小与传播方向，从而影响声呐的效 能，对潜艇的隐蔽与监测起着有利或有害的作用。由此可见，对海洋内波是物理 海洋学乃至海洋学的重要分支学科。从上个世纪初有关“死水”现象的研究作 2 孤立波在单层和两层流体中分裂的研究 隽海洋内波疆究鑫冬起点，海洋肉波的研究已经有一百多年的历史。在这个历史时 期，海洋内滚的研究取得很多重簧的理论、实验和观测结果。理论上，已经避行 了线性理论向菲线性理论的飞跃；实验上已经由单点测量和常规纹影方法向着数 字纹影和全流场同步测量的方向发展；现场观测由原来的单点测量方式向麓遥 感内波的方向发展。这些新技术的应用，无疑对海洋内波现场观测研究和实验室 实验研究提供强毒力的基础。当然，这些礤究手段是蛔蠛相成躲积缺一不可戆。 强毒萝，隧善快速计算规的发嶷，锼褥数謦模拟戆成本大大降低，瞧为疼波静数值 实验提供必要熊物鬟基獭，戮磊崧海洋内波的磷究中涯年出现过许多新的数俊方 法。 在肉波的实验研究中，m a x w o r t h y ( 1 9 7 9 ) 菌先提出了内波生成的背风波激 发机制。他指出，海洋中的正压潮流在遇到海底突起后，将衣海底突起的背风方 向激发内波，背风波不断的向外传播形成海洋内波。m a x w o r t h y 还通过实验室 实验对上述内波生成理论进行了验证。他通过绽复移动模拟海底突起的结构物 来模拟正压潮流的往复运动，在这秘情况下，戏察到了与突熬物移动方是相爱豹 鼗聚走波产生，翔海洋内波。 在实际海洋中也存在另夕 一种肉波激发躐生成梳翻，那就最正难潮流与海底 斑形的褶互作用激发海洋内波。该种激发机制与背风波机制不同，它不是通过正 疆潮流在山的背后产生背风波来激发内波，而是正联潮流在经过陡变的海底地形 厢，由于海水分层表现斜压特征，使得在陆坡区正压波转化为斜压波。当海水内 f r o u d e 数达到临界值时，潮流下游水体堆积，造成跃层界面的下陷，当正压潮溅 转向压，该跃层下叫信号越过陡变的海底地形形成波动向翦砖援，形成内孤立予 波列。 关予菲线性蠹波生戏的| 、蠢遂主婺集中在黻下尼个科学简遂磷究：内波静菲线 性分豢 过程、内波的非线住相互作用以及内孤立子的极性转变等等。 本文主要研究一种极端的海洋分层两层分层流体( 海洋) 中的内界面孤 立波和在海洋( 流体) 自由表面处的表面孤立波在遇到海底地形后所发生的演化 过程。主要之点是研究初始内界面孤立予和表面孤立子的分裂过程，从颂揭示睦 架上内孤立予波列的生成机制。由予发生在甄层密度不阉的海水赛瑟处麴波动一 一蠹晷霭波( 属予分层滤体器瑟波载一秽) 并不是实骣意义上的海洋凑波，因蔼 孤立波在单层和两层流体中分裂的研究 本研究是属于分层流体中的内界面孤立波和它的分裂的一个机制研究。尽管这种 研究，包括本研究进行的理论、实验和数值研究，不能给出实际海洋条件下海洋 内波的分裂律，但是本研究的结果却可以为海洋内波的进一步研究提供必要的基 础。作为本研究的基础之一，1 8 9 5 年k o r t e w e g ，d j 和qd e v r i e s 推导的著名的 k d v 方程就不能不提及。这一方程虽然是个常系数的非线性方程，但它所揭示 的孤立子的特性及在本研究中两个常深度区域所表现的普适性，在我们其下研究 的变系数k d v 方程的研究，仍具有重要的指导意义。 1 2 孤立波分裂的研究状况 内波传播过程中一个研究热点问题就是内波的裂变。实际现场观测和遥感图 像都表明，内波在传播过程中，经常伴有非线性裂变。j o h n s o n ( 1 9 7 2 、1 9 7 3 ) 考虑底地形对k d v 方程的影响，建立了在一维变化的底地形之上的浅水表面波 运动的变系数k d v 方程： 瓦a h + 日筹+ ! 1 6 等= 。 ( 1 z ) a x2a fa 芒 、 并通过数值计算验证了孤立子分裂的本征深度关系( 或称分裂律) ： 生：f 型! 丝! ! 百 ( 1 - 2 2 ) d 。l 2 j 在陆架陆坡海域，海底地形的变化与内孤立子内波的产生、演变有密切关系， d j o r d j e v i ca n d r e d e k o p p ( 1 9 7 8 ) 将j o h n s o n 的方法应用到垂向密度层结函数为指 数形式的连续分层流体中的内波问题上，在这种特殊条件下推导t - - - 维变系数 k d v 方程，并讨论了环境参数与分裂的关系，并得到如下结论：在弱层化条件 下，由于底地形变化，所有奇模态的内孤立波具有相同的分裂本征深度关系。 在通过陆架陆坡区时，深海传来的单个孤立波通常并不能保持它的波形不变， 正如常系数k d v 方程所描述的孤立波那样，而是产生分裂。这一过程与中子撞击 原子核时发生的裂变过程相近，因而首先在物理上将k d v 孤立子由一个变成几个 4 孤立波在单层和两层流律中分凝的研究 疆立予懿过程b 徽分裂( f i s s i o n ) 。研究寝翳，对单个孤立波的传播，由于 线榷 粕色散佟用的平衡，它不会发生分裂，在理想流体的范畴内它将仍然傈持原有的 波形不变的向前传播。当孤立子遇到地形时，上面的平衡遭到破坏，因此孤立予 的波形不再保持，因而在陆架陆坡区是某些新波的生成区( 见沈国璜的硕士毕业 论文) 。当孤立波度过陆坡区到陆架上之后，由于等深要求重新建立起非线性与色 散的平簿，然而由于陵坡对于分层溅的阻塞作用，分裂过疆燎以一令一个孤立予 魏形式，及以孤立子波烈形式鱼爨地逶过陵坡进入陵架，这就是所谓麓分裂_ l 篷程。 3 本文的王作 本文的主要螅工住是对表睡孤立波和内爨露孤立波的分裂进行了理论、实 验和数馕计算。 第二章对表露孤立波静分裂进行理论分析鬻实验研究。首先回顾描述袭面 孤立波( 或称表褥孤立子) 经过一个地形突变区演化过程的基本方程浅交系 数k d v 方程的推导，其主要目的是将该方程退化到实验室坐标系中，以便将理 论与实验结果进行对比。同时介绍了我们作过的表面孤立子经过地形突变区分裂 的实验。 第三章对内晃颟波的分裂进行了理论、数悠和实验研究。蕊先，我们进行 了两层分层海洋中初始内潮分裂的二维k d v 方程的推导，荠利蹋该方程攉导出 实验室坐标系中携射线型2 维k d v 方程，并利耀该方程送孝子了两层流体牵蠢界 鬣孤立子分裂的理论和数值研究。数值上，我们将实验灞得初始肉波数据嵌入虱 数值模式中，进行了数值计算。并将理论、数值和实验结果进行了比较。从理论 与实验结果的对比，我们可以看出理论和实验结果吻合得很好。榆验理论和数值 方法的有效性和准确性。给出了内界面孤立波过地形后分裂的一蝗规律。在本章 我们也介绍了我们进行的内界面孤立子分裂的实验，尽管实骏是初步的，但它礁 是本领域所进行的首次孤立予( 孤立波) 分裂鲍实验塞实验磺究。为了与实测结 卷进雩亍 e 较，我们在实验室( 坐标) 尺度下利瘸在擎瀑秘涎基流体中豹分裂的理 论稻数毽研究，觚丽验谣理论静涎确性。 孤立波在单层和两层流体中分裂的研究 第四章对全文工作进行了总结，并提出今后工作的展望a 6 孤立波在单层和两层流体中分裂的研究 第二章表赢孤立波分裂的理论和实验研究 2 17 1 言 本章我们莺先隧蹶攒述袭嚣孤立波( 或萋袈表露孤立予) 经过令缝形突变区 演纯过糕静綦本方毯式交系数k d v 方毯豹推导，其主簧目的是将该方穆退 纯到实验室坐标系串，激便与实验结果进行辩眈，其次介绍我们作过的表面孤立 子经过馥形突交区分裂的实验。 众所周知，经典常系数k d v 方程可以描述一大类驻定孤立波，并且己在很 多学科中被发现。人们在一百多年以前就在运河中和二维水槽中发现过浅水孤立 波。其后许多学巍也曾进行大量的理论、数傻和实验硬究。在这一领域最值圣譬注 意的是表面孤立子实验和数镶研究( m a d s e n 靼m e i ) 。返年来，囊于弧立波褒许 多学辩中郯被发琨，嚣此对它的矮究仍镕受学者静美注。 本章我稍仅研究表甏孤立渡的分裂问题。箍述分裂过程静方程一般琵是一个 变系数酌k d v 方程，它没有常系数k d v 方程所描述的都些现象。然而常系数 k d v 方程的某些结果却能用来研究初始表面孤立波( 或孤立子) 经过突变地形 精( 从深海向陆架的过渡) 的演化问题。 已有的研究结果表明，当地形的变化急剧时，例如艿 1 时( 占是一个攒述 地形变化的躐予，当它大予l 时袭明地形由泼变深，反之则反) ，深水区的孤立 予在浅水区中憋分裂。当表露孤立波建浅水囱深水区传搂对，即艿“1 对霉以褥 列一个振荡勰，这表鞠浅东区中孤立子波列退纯为一椭匿余弦波y j ( c n o i d a lw a v e p a c k e t ) c n 波列。崮诧可觅，交系数k d v 方程甄可以描述初始孤立子的分 袭过程，又可以描述初始孤立子的退化过程。 历史上，有关慢变孤立子波列的求解是由o r i m s h a w 最先提出的。本研究也 将使用他的某些结论。 本研究接导的变系数k d v 方程可以采用捶导经典的常系数k d v 方程的基本 假定。这些包括微蝠波积浅水近似的双重假设，嚣“擞蠛”和“浅水”鳇意思分 7 孤立波在单层和两层流体中分裂的研究 别是振幅与深度之比和深度与波长平方之比，它们是同一个量阶且远小于1 。为 了使非线性和色散效应保持平衡( 即它们出现在同样的尺度上) ，这样，在某一 合适的远场扰动将满足k d v 方程。这样的原理也适用于推导变系数k d v 方程， 这表明k d v 方程的推导方法对越过不平底的变系数k d v 的推导也有效。 常系数k d v 方程的其他知识，包括许多孤立子的性质和新出现的求解方法， 也可以应用到分裂的方程中。事实上，变系数问题和常系数问题并不是等价的。 它显示了如果深度改变那么一个深水中的初始孤立波在浅水区将形成有限个数 的一个孤立子波列。 g r i m s h a w 曾证明，初始孤立波由深水区向浅水区传播时，在陆坡上该孤立 波传播速度将随着深度的减小而增大，直到在某一非零深度处速度达到了最大 值。这种情况表明，初始孤立波将产生破碎，变系数k d v 就失效了。当孤立波传 播到岸界处，水深为零，将发生漫滩和破碎现象，如果将海水视为理想流体，该 孤立波的振幅将变为无穷大。这就违反了小振幅假设，因此在我们的研究中将排 除这种情况。如果浅水区深度降到某一有限小值时，将在浅水区生成一孤立子 波列。 2 2 表面孤立子分裂方程的推导 假设流体是二维的、流体是无粘的和不可压缩的，y 坐标垂直向上，石是 水平坐标，“和v 分别是x 和y 方向的速度。在一= 0 处的水深是h 。( 见图 2 2 1 ) 。相对于静止水深，表面扰动是叩( x ，t ) 。波动的特征长度是a ，g 是重 力加速度，y = 6 ( x ) 是底地形。因此，表面波的运动方程就由欧拉方程和连续 方程描述。 用特征速度丙和特征波长a ，对欧拉方程和连续方程进行无因次化。引 入无因次量 孤立波在单层和两层流体中分凝的研究 x = 耠缸挈只嚣= 赢舻瓣2 v ， 歹= 坠p g 墨h o ，蓼= 里h o ，办= 篓h o ， ( 2 2 。1 ) 葵中乏怒大气毯，麓常数。假定占楚一个小参数，予是 订= 6 t , l ，铲= 彬f = 1 一y + 妒，虿= s r l ， ( 2 2 2 ) 其中繁横的墨是对应量的无因次霪。 去捧流体静静毯力，弱袤瑶扰动方耩交为 “f + f “工+ 辱v “v + e x = 0 ，i d 2 h + 删。十别y 】+ 弓= o ， ( 2 2 3 ) v x + v y = 0 ，l 边界条件为压力是大气压，表面和流体内速度遐连续的。这些被写作 ：二篇斗心慨 泣z 匐 v = 叩f + e 叩t i 。 在表匿忽略装面张力的影响，在底面上流体质点的速度必须满足( i x 为流体是理 想的) ，予是鹰 兰。掌，y ；6 缸) ：艿妇) ( 2 2 5 ) 其中g 是表示底地形慢变的一个参数。瑾“1 表明，底地形的变化是缓慢的。 在上蘧的方程中，含蠢三个艇胡独立的参数，它们是g 、g 魏艿。零l 入这三 个参数翳基的是保迁对微幅波( s “1 ) 在运韵对色散帮 线性作用静平衡。 这一缓设最笼是被k o r t e w e g 鞠d ev r i e s 提密豹。若 艿：盟 l( 2 。2 6 ) a 则艿即表示无量纲浅水参数，则色散和非线性的平衡可由下式表示 5 2 = 娼r = 0 ( 1 )( 2 。2 7 ) 9 孤立波在单层和两层流体中分裂的研究 如果利用假设第三个参数口= 西将更加精确地描述底地形上流体质点的 运动。 这样，对深度变化与振幅的变化是一致的。现在要求x 和f 的阶是1 。若 s 斗0 将到一阶近似方程，即一个一阶近似的常系数方程组。我们关心的问题是 当色散和非线性影响发生在同一阶的情况。对于我们的目的，我们只考虑远场的 情况，因为在这类问题中将远场理论与近场理论结合在一起并不是一致有效的。 引入变形坐标及考虑非线性尺度占- 1 在长时间( 大尺度时间) 和长距离上 求解摄动方程，我们就可建立变系数的k d v 方程。引入 f = g g j 占) 一t ， = x( 2 2 8 ) 此式定义了一个特征坐标爿是大尺度距离坐标。通过分析我们将得出函数 g g j 占) 等价于用变形坐标方法。我们注意到如果g 斗0 且x 保持不变，于是 g g j s ) 主要表现为一种线性特征，即 缘k g i g ) 】= 工 ( 2 舢) 引入新变量，我们得到 因此方程和边界条件变成 昙= s 去+ 警壶去一壶，( 2 2 1 0 i o 、)瓦鄯面+ 言瑟瓦一面 飞+ 钗( 妾p 删。 + 删，慨= 。 t s 卜+ 翻( 叫塞v ；) + 哪 + 乃= 。 删x + 塑d + ”y = ox ， ( 2 2 1 1 ) 1 一y + 印= 0l 一时翻( 鼽 j 一1 + 趴 q 对( 2 1 1 1 ) 和( 2 1 1 2 ) 中的物理量进行常规摄动展开，即 1 0 孤立波在单层和两层流体中分裂的研究 q g ，x ，y ；g ) 一q o g ，一y ) 十坦，g ，托y ) 十。和l 孽g ，x ；8 ) = 皓，x ) + 嚷g ，x ) + o 每 ( 2 。2 1 3 ) 其中q ；“，v ，p 。o 阶方耩可写为 由上式可以得到 一呲+ 孕s = o p o 哪o f + 云s 2 p o ，2 0 ， 塞喈+ r o y = o ， po一=rio，=vo t l o f t 端一 l 。 v o = o ，y = 曾强) ( 2 2 1 4 ) 驴釉，v 。= o g x o ) ( 2 。2 1 9 ) ( 2 2 2 0 ) d = d 0 = c o n s t ，( 0 x 0 ) ( 2 2 2 1 ) 为了得到( 孝，x ) 的方程，我们需要求解0 ( 占) 项的摄动方程。引入局地深度后 方程变为 根据边界条件 叫，：1 熏k v p 0 o ，) ( 纰2 22+vly ， 一o f + 1 y = ， ( 2 1 i ，+ 万f 刮 j 矿铲p 嘞1 = ；r h + 万1 哪0 y = 1 亿2 一2 3 ) 。 = ( z 。y w l 一编f + 万哪。fj 据此解出确( 孝，x ) ，并消去它得到该问题的可解性条件为 z 2 + 丢务”知+ 詈砜搿= 。 ( z z z t ) 此即我们所需要的可变深度的k d v 方程变系数k d v 方程。 下面我们可以对方程( 2 i 2 4 ) 进行某些讨论。当方程( 2 i 2 4 ) 无色散时 ( r ；0 ) ，我们得到 玩，+ 驴3 am _ m 旷o ，铲务玩 ( 2 2 2 5 ) 卵。一十j 万而吼- u 玑2 j 而叩o u 。“ 这里4 是任意常数，这就给出了无色散的激波在可变深度的流体中传播的经典结 果。最后我们注意到当d ：1 时( 常深度) ，方程( 2 2 2 4 ) 退化到通常的k d v 方程。 假如推导时上面所用的阶被保留，此处的推导可以利用g r i m s h a w 提供的 b o u s s i n e s q 方程进行，即假如双参数( s ，j 2 ) 不等于单位l 。 本文的目的是研究描述一列孤立波通过变深度区域时方程( 2 2 2 4 ) 的解， 也就是说我们考虑孤立波过地形时的演化及浅水区孤立子的生成。所研究的初始 孤立波可设为 q o 皓，o ) = a s e c h 2 膨 ( 2 2 2 6 ) 1 2 孤立波在单层和两层流体中分裂的研究 它可作为求解方程( 2 2 2 4 ) 的初始条件。其中彳和不是任意的，而是相互 荚联的。根据方程( 2 1 2 5 ) 如果d = 1 ，即均匀水深时，方程 + j 3 狮矿知瓣娟 有特解 r i o = a s e c h 2 多g 一“) ， 忿群任意形状不变静孤立渡解。 其中 a ：4 丝f 1 2 , c = 昙彬2 jj ( 2 2 2 7 ) ( 2 2 。2 8 ) ( 2 2 2 9 ) 下瑟我们研究表覆麓始孤立予在肇盛流体孛的分裂率。考虑下瑟蠡皇交系数k d v 方程的可能解。为了研究的方便，我们拟通过变换削去衰减因子d 。“f 见( 2 2 2 5 ) 式1 ，于是我们引入 弩o = d 。h 爿管，￥) ，d = d ( a x ) ( 2 2 3 0 ) 得变系数k d v 方程如下 璐；+ 3 2d 4 ；7 0 r i o + 抄2 搿= o 3 1 ) 而初始条件为 r 。( 掌，x = 0 ) = 穆。( f ) = a s e c h2 ( 善) ( 2 2 3 2 ) 这里蠢帮声燕常数，d 楚由x 决定的分段涵数： 露= 矗e ，= d 。1 二：，：；： 0 的情况下分裂或抟 鑫立渡个数。透过改交( 2 2 3 1 ) 中韵变量可跌交为标准x 0 的标准k d v 方程，相关特征值蔺题变为 燮垄望星塑堕星塑竺坌翌塑堡塞一 咿 等d 舭旯卜 亿z n ， 令p = t a n h f ，方程( 2 1 4 2 ) 变为 孙刮钟巴d - 9 4 a f l 2 + 南卜眨z ， 这是连续勒让德方程。离散特征值为 之a = 一m 2 和互3 d ，- 9 4 f 1 2 4 = n 0 + 1 l 悱h 3 6 ) 这里的”和m 是整数，分别表示分裂后的个数和位于波列中的第几个波。每一个 离散的特征值对应一个孤立波，由此我们得到 而一9 4 p 2 4 = 要n 0 + 1 l ( 2 2 3 7 ) 其中n 是整数。 这是一个孤立波分裂成几个的充分必要条件，这种一个孤立波变为几个的过 程称为为孤立波的分裂 分裂后孤立波的振幅是 爿m = 厕2 a m 2 ( 2 麟) 分裂速度 v m = 2 a m ( m = 1 ，2 ，玎) ( 2 2 3 9 ) 当x l 孵发生分裂，这藏要求南 ( 4 ) 器送行逑拜重灏鬟。测鋈记录了蹙予分裂髓螽蘸裁键丝疆溺熬孤立予渡寒魏 时趣序剃数据。通过这然量约测爨，霹以褥到分裂巷蓼蜃孤立孑分裂兹后没 离帮波彩鼢交纯。 数据鲶溪：我 露裁臻键丝测褥躯表嚣孤立予豹对蠲序捌分辑渤转离兹黠 的孤立予波臻綮。我们利用西测得的波的数据，求得波分裂前后的计葬机 数熬瑶逶遘搴怼数攒交l 孛褥瓣该数撵联怼痤豹麓度，缀撼诗粪糗数熬交讫 的到对成的振懈。 实验缨暴与遐论缝巢：通过实虢结暴露理论豹辩魄寒说臻鬻论缝栗静准 确性与镬效性。举实验分别对孤立予分裂成两个和三个的憾凝进行7 骢淀 典型实骏结粟皴一f 鼹懑艨示： 圈2 3 。3 ：承澡2 1 + 6 7 c m 分裂藏嚣个魏撼况 孤立波在单层和硝层流体中分裂的研究 圈2 3 4 ：求深1 7 3 4 e r a 分裂成三个静情况 图中横坐标t 是时间序列取样间隔o 0 5 秒每秒取2 0 个数。纵坐标a 为振幅。 圈中蘸线表示稳曳模型影残豹疆立子分裂蔻懿波形，缎线灸分袈惹豹馕提。不难 看出分裂后的头波振幅大于分裂前的孤立子振幅。但大的幅度要小于式( 21 3 8 ) 中给凌的理论关系。这楚由于程传播的过程中受弱秸髋与底瘩擦鲍影确振幅略蠢 衰减。分裂后的波波长减小，对分裂聪的波进行积分计算能量守恒。分裂后的波 的振幅关系符合式( 2l3 8 ) 绘出的强幅关系。我们可以得到结论： ( a ) 当底地形为特征深度时，单层流体中的表面孤立波和髑层流体中豹内界 面波均发生分裂，且分裂个数满足分裂率。 ) 在陵絮上( 浅窳嚣) 分裂嚣载肉孤立予波剜或波包中嚣先出现戆子波波 幅值鼹大 ( e ) 根据我们酌繇褥弱静臻柒，当孤立滚越过瓣逡澎瓣，分裂过程黪然发袅。 1 8 孤立波在单层和两层流体中分裂的研究 第三章内界面孤立波分裂的理论实验和数值研究 近年来，由于在内波s a r 影像的仿真和反演研究中的作用，陆架陆坡嚣内 潮的分裂研究倍爱海学家的关注。在先前的研究中，焦点集中在初始孤立子分裂 的研究上。比如t a p p e r t 等人的研究，j o h n s o n 对于表颇波分裂的研究，o j o r d j e v i e 等人对内孤立子分裂的研究，周显初对予变截面渠中孤立子分裂的研究及作者 们有关的对于这一问题的进一步研究，这些硪究表明，初始孤立子( 或内弧立予) 的分裂依赖予辨郏环境，诸如分层彝地形条件( 藏稼本缎深度) 。事实上，海洋 中斡镑始；酸性表瑟波黧内渡不都是孤立子羹静。当这些海孤立浚扶深海囱麓架 陆城区传播时，蠡于缝形变浅，使菲线毪作溺增强，间时又由于陆玻区初始肉孤 立波与底地形的相互作用，初始内孤立渡不能保持原有的波形不变，因此需要采 用近陆架陆坡区的实测内孤立波波形进行分裂现象的研究。 本研究是有关初始孤立内潮分裂的一个进一步研究，重点是对实验室条件 下的分裂过程进行数值模拟。该数值研究的初始波是采用实验室条件下的实测波 形作为初始拳l 牛，这一条l 牛反映了地形对拐始悫孤立予波形的影响。节2 绘出有 关蘧层联层分层海洋中秘始内潮分裂熬二维k d v 方程的雄导，并剩溺该方程攥 等密实验室坐标系中的射线登2 维k d v 方稚。节3 进行实测初始波形分裂静数 值研究。最衙，在节4 我秆j 对数值结采进行讨论并给出必要的结论。 2 内界面孤立波分裂的2 维射线型变系数k d v 方程的推导 对于鼹层分层海洋，其密跃层的厚度为零，这是对薄跃层海洋的一耱近似。 为了磅突陵絮陡坡区内濒鼹分裂规划，本文将仅限予硬交嚣层分层海洋的情凝。 假定海水是不可藤缩的、无粘懿鞠无熬导麴，因藏我们可以爝连续方程和动量方 程研究分裂现象。假定上层和下层的密度分别为岛和p ：，上层和下层的深度分 别为援魏趣。选取l 黢爨速度氓= 疆恁- p o p o ( g 堍) ”2 为速度尺度，其中g 是 1 9 孤立波在单层和两层流体中分裂的研究 重力加速度，p o 是深度平均密度，h o 是深海区的水深，即当( x ，_ y ) 斗o o 时的水 深，这样特征时间和压力分别是和( p ：一n ) g 。于是连续方程和动量方程 的因次化方程为 v 嘻_ o ，鲁= 上p i ( 础) ， ( 3 2 - 1 ) 其中f - 1 ，2 分别是上下层的指标，玩= ( 甜，v ，w f ) 和p f 分别是无因次的速度和压 力，而v 是h a m i l t o n 算子，d d t 是质点导数算子。边界条件是 w i = 0 ，0 = 吐) ( 3 2 2 ) w f = 鲁，( z = n