（工程力学专业论文）边界元网格自动生成系统开发研究.pdf

出东科技大学硕士学位论文 摘要 边界元的前处理技术是进行边界元核心程序计算，以及后处理实现的前提。雨其中 的网格割分是前处理中的关键。对二维结构化和非结构化网格的剖分以及三维表醢结构 化和非结构化网格的剖分是奉论文研究的主要内容。论文运用圈形学，几耐学，数据结 构理论以及v b 环境下的o p e n g l 编程技术对边界元的网格剖分技术进行了详缁的研究， 主要包括二维复杂区域的结构化和非结构化三角网格割分的方法和实现过程，三维曲面 的结构化和非结构化三角网格剖分的实现，交贯隧道的边界元捌格剡分，以及由地形等 离线提取数据获得边界元三维地形网格圈，和可视化在剖分结果显示中的应用等内容。 论文对结掬化网格的生成进覃亍了详细的研究。分别对二维和三维曲面的情况讨论了 单元节点编号的方法，数据结构的构成以及节点坐标的求解方法，提出了采用耀开的方 法对三维实体表面进行稚点和剖分的方法，樗到了较好的效果。 非结构化嘲格是网格发展的趋势，它的适用范围比较广泛，单元的布置不受相邻单 元个数的限制。本文也详细蕾寸论了平面多连通区域的菲结构化网格的生成方法以及实现 的详细步骤，砖三维盐面的网格剖分提崮了映射投影豹方法来进行剡分，并且提出了修 正由于投影产生的网格变形的方法。 任意断露形状的交贯隧道的羽格剖分，一般情况是遥过插值求解两条隧道表面的曲 匦方程组来求得交贯线的方程，本文避免了繁琰的计葬提出了采用追踪的方法来生成交 贯线上节煮的方法，较好的解决了曲面交贯处的瓣格闭合翔艇。 由地形等商线提取数据获得边界元三维地形网格，是模拟分析遗表边界问题的关键。 本文给如了采用等离线内括的方法来求解网格节点坐标的方法。 论文以v i s u a l 和o p e n g l 可视化图形平台为基础，开发了一个应用于二二维结构化和 非结构化三角网格剖分，三维结构佬和非结构化三角网格剩分的边赛元嬲格剖分程序 b e mg r i d ，通过对安例的剖分验证了程序的可行性和实用性，初步实现了边界元两格囊 动生成系统b e mg r i d 。 关键诲：边界元前处理结构化网格 b o m f e r - w a t a o n 算法交贯 非结构化网格d e l a t m a y 三角形 等高线内捕v bo p e n g lb e m _ g r i d 山东科技大学硕士学位论文 摘要 a b s t r a c t t h ep r e p r o c e s s i n gt e c h n o l o g yo f b o u n d a r ye e m e n tm e t h o d ( b e m ) i st h ep r e c o n d i t i o n o f b e mk e r n e lp r o g r a ma n d p o s t p r o c e s s i n gp r o g r a m a n dm e s hg e n e r a t i o ni st h ek e yp o i n ti n p r e p r o c e s s i n g t h ed i s s e r t a t i o nm a i n l yf o c u s e so nh o wt og e n e r a t e2 ds t r u c t u r e da n d u n s t r u c t u r e dm e s ha n dh o wt og e n e r a t e3 ds t r u c t u r e da n du n s t r u c t u r e ds u r f a c em e s h t h e d i s s e r t a t i o nu t i l i z e s c o m p u t e rg r a p h i c s ，g e o m e t r y , t h e o r yo f d a t as t r u c t u r ea n do p e n g l p r o g r a m m i n g i nt h ep r o g r a m m i n ge n v i r o n m e n to f v i s u a lb a s i ct os t u d yb e m m e s hg e n e r a t i o n i nd e t a i l s ，i tm a i n l yi n c l u d e st h er e a l i z a t i o nm e t h o da n ds t 印so fs t r u c t u r e da n du n s t r u c t u r e d t r i a n g u l a t i o n i n2 dc o m p l i c a t e dc o n n e c t e dr e g i o n ，t h er e a l i z a t i o nm e t h o da n ds t e p so f s t r u c t u r e da n du n s t r u c t u r e dt r i a n g u l a t i o ni n3 ds u r f a c er e g i o n ，b e mm e s hg e n e r a t i o no f i n t e r s e c t i n gt u n n e l s ，b e m3 dt e r r a i nm e s hg e n e r a t i o nw h i c hb a s e so nt h ed a t ae x t r a c t e df r o m t e r r a i nc o n t o u r s ，a n dv i s u a l i z a t i o ni nd i s p l a y i n gt h er e s u l to f t r i a n g u l a t i o n ，a n ds oo n t h ed i s s e r t a t i o ns t u d i e ss t r u c t u r e dm e s hg e n e r a t i o ni nd e t a i l s a n di ti n c l u d e st h em e t h o d o fc e l l sa n dn o d e sn u m b e r i n g ，c o n s t r u c t i n gd a t as t r u c t u r ea n dh o wt og e tt h en o d e sc o o r d i n a t e s t h et e c h n i q u eu n w r a p p i n gs u r f a c et od e p l o yn o d e sa n dt r i a n g u l a t i n g3 ds u r f a c ei sb r o u g h t f o r w a r da n di tb r i n g se f f e c t i v er e s u l t u n s t r u c t u r e dm e s hg e n e r a t i o ni st h em a i nt r e n do f m e s hg e n e r a t i o n i tc a nb eu s e dw i d e l y a n dt h ed e p l o y m e n to fc e l l si sn o tb er e s t r i c t e db yt h ea m o u n to fn e i g h b o r i n gc e l l s t h e d i s s e r t a t i o na l s ob a t sa r o u n dt h ea p p r o a c ha n dd e t a i l e ds t e p so fu n s t r u c t u r e dm e s hg e n e r a t i o n i n2 dc o m p l i c a t e dc o n n e c t e dp l a n ea r e a m a p p i n gm e t h o da n da m e n d a t o r ym e a s u r e sa r ep u t f o r w a r di n3 ds u r f a c em e s hg e n e r a t i o n a st ot h em e s hg e n e r a t i o ni n3 ds u r f a c ej o i n tb yt w od i f f e r e n tt u n n e l sw h i c hh a v e r a n d o mc r o s ss e c t i o n s ，t h en o r m a lw a yt oc o n s t r u c tt h el i n eo fi n t e r s e c t i o ni st og e tt h e i n t e r s e c t i n gl i n ee q u a t i o nt h r o u g hs o l v i n gt h et w os u r f a c ee q u a t i o n so fi n t e r s e c t i n gt u n n e l s h o w e v e r , t h ed i s s e r t a t i o na v o i d sc o m p l i c a t e dc o m p u t a t i o nb yi n t r o d u c i n gt r a c i n gm e t h o dt o c o n s t r u c tt h en o d e so nt h el i n eo fi n t e r s e c t i o n , a n dt h em e t h o dt a i ls o l v et h em e s hc l o s e p r o b l e mn e a rt h ei n t e r s e c t i n gl i n ee f f e c t i v e l y t h ek e yo fs i m u l a t i n gt e r r a i nb o u n d a r yc o n d i t i o ni st h a tc o n s t r u c t i n gb e m3 dt e r r a i n 山东科技大学硕士学位论文 摘要 m e s hu t i l i z i n gd a t ae x t r a c t e df i o mt e r r a i nc o n t o u r t h ed i s s e r t a t i o na d o p t sc o n t o u r i n t e r p o l a t i o nt oo b t a i nt h ec o o r d i n a t e so f n o d e s t h ed i s s e r t a t i o nd e v e l o p sab e mm e s hg e n e r a t i o np r o g r a mb e m _ g r i do nt h eb a s i so f v i s u a lb a s i ca n do p e n g lv i s u a l i z a t i o nf i g u r ep l a t f o r m ，w h i c hc a nb eu s e di n2 ds t r u c t u r e d a n du n s t r u c t u r e dm e s hg e n e r a t i o na n d3 ds t r u c t u r e da n du n s t r u c t u r e ds u r f a c em e s hg e n e r a t i o n 。 t h ef e a s i b i l i t ya n dp r a c t i c a b i l i t yo ft h ep r o g r a ma l ec o n f i r m e db ym e s hg e n e r a t i o f ii np r a c t i c e t h eb e ma u t o m a t i cm e s hg e n e r a t i o ns y s t e mb e m g r i di sr e a l i z e dp r e l i m i n a l i l y k e y w o r d s ：b e mp r e p r o c e s s i n g s t r u c t u r e dm e s h u n s t r u c t u r e dm e s h d e l a u n a yt r i a n g l e t r i a n g u l a t i o n i n t e r s e c t i o nc o n t o u ri n t e r p o l a t i o n b o w y e r w a t s o na l g o r i t h m v b o p e n g lb e m g r i d 声骧 本人呈交给山东科技大学的这篇硕士学位论文，除了所列参考文献和世所公 认的文献外，全郝是本人在导师指导下的研究成果。该论文资料尚没有呈交于 其它任何学术机关作鉴定。 硕士生签名： 啊j 孝籀氏 n 日 期：弦f a f f i r m a t i o n id e c l a r et h a tt h i sd i s s e r t a t i o n ，s u b m i t t e di nf u l f i l l m e n to ft h er e q u i r e m e n t s f o rt h ea w a r do fm a s t e ro fp h i l o s o p h yi ns h a n d o n gu n i v e r s i t yo fs c i e n c ea n d t e c h n o l o g y , i sw h o l l ym yo w nw o r ku n l e s sr e f e r e n c e d o fa c k n o w l e d g e t h e d o c u m e n th a sn o tb e e ns u b m i t t e df o rq u a l i f i c a t i o na ta n yo t h e ra c a d e m i c i n s l i t u t e 魄鼬m 跣铲4 d a t e ： 山东科技大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 课题的提出及研究意义 随着近代计算机、计算技术的飞速发展，推动了边界元方法的不断完善，而边界元 法中的网格剖分是边界元数值模拟的前提条件，是边界元法的前处理部分。 在边界元分析中，与计算机的信息交换是一个重要的问题。对于大型复杂的工程问 题，输入数据繁多，输出数据更加惊人。因此近年来边界元分析中的前处理和后处理引 起了广泛的注意，成为当前边界元分析应用研究中的重要课题。 一般来讲，边界元分析的前处理主要包括：与几何实体建模相连接的通用边界元程 序接口；边界元模型网格的自动生成、网格的修改、节点或单元编号优化；定义边界条 件( 载荷、零位移、已知位移等的处理) ；模型错误诊断和编辑修改；网格图形显示。 计算机软件发展至今对于有限元和边界元的前处理中的网格自动剖分已经有了非常 成熟的大型专业软件。但是，在处理工程中的某些具体问题时，我们希望可以按照我们 的实际需求，而不受其他软件的约束来独立完成边界元的网格自动剖分，为下一步的边 界元计算打下良好的基础。由于大型成品软件的源代码都是不公开的，所以我们无法在 利用现成软件剖分网格时了解剖分网格的详细规则和步骤，以及软件中对特殊边界情况 的处理方法。这就限制了独立开发边界元软件的合理、随心所欲的应用，这就会产生瓶 颈效应。另外，利用成品商业软件而产生的研究成果是不具有独立的知识产权的，所以 本研究提出了在v i s u a lb a s i c6 0 环境下的o p e n g l 编程来实现边界元的前处理及显示。 边界元应用于矿山、隧道等地下工程，主要研究其围岩应力、位移及稳定性分析， 而由地形等高线提取数据获得边界元三维地形网格图，由各类巷道、洞室参数获得的巷 道、洞室及相互交贯隧洞的三维边界元网格图，以及单元、节点等参数的提取是边界元 数值模拟的重要前处理过程。前处理工作是后续的边界元主程序运行的必备程序，是衔 接现场数据和数值模拟计算的关键部分。另外，前处理还应具备完备的图形色彩功能和 工程特殊需要的处理功能。 1 , 1 1 边界元的产生与发展 在数值计算方法中，有限单元法为边界单元法的产生和发展奠定了基础。现代有 限单元法第一个成功的尝试，是将刚架位移法推广应用于弹性力学平面问题，这是 1 山东科技大学硕士学位论文绪论 t u r n e rc l o u g h 1 】等人在分析飞机结构时于1 9 5 6 年得到的成果。他们第一次给出了用三 角形单元求得平面应力问题的正确解答。1 9 6 0 年c l o u g h 2 进一步处理了平面问题，并 第一次提出了“有限单元法”的名称，使人们开始认识了有限单元法的功效。 有限单元法是利用计算机进行分析计算的一种数值分析方法。它的基本思想是将连 续的求解区域离散为一组有限个、且按一定方式相互联接在一起的单元的组合体。由于 单元能按不同方式进行组合，单元本身又可以有不同形状，因此可以模拟几何形状复杂 的求解域。有限元法的另一个重要特点是利用在每个单元内假设的近似函数来分片的表 示全求解域上待求的未知函数。从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由 度问题既而且从理论上也已经证明，随着单元自由度的增加及插值函数精度的提高， 解的近似程度将不断提高。如果单元是满足收敛要求的，近似解将收敛于精确解。 但是，有限元法也存在缺点。首先，有限元法认为离散的单元间仅在节点处相联， 用这种方式几何模拟连续介质必然带来误差；另外，有限元法要在整个域内剖分单元， 需要处理的信息量多，造成计算量很大；面对无限或半无限求解区域，有限元法只能采 取将求解区域近似取为有限域的办法。因此，2 0 世纪6 0 年代发展起来的边界元法既是 对有限元法的重要补充，又为计算力学开阔了新的领域。 二十世纪6 0 年代，有限元法的离散思想被应用到边界积分方程中，创建了基于边界 积分方程的数值解法一边界元法。在此期间，j a s w o n 5 1 和s y m m 6 】于1 9 6 3 年用间接边界 元法分别求解了位势问题：r i z z o 7 于1 9 6 7 年用直接边界元法求解了线弹性二维问题； c r u s e 踟于1 9 6 9 年将此法推广到三维弹性力学问题。1 9 7 8 年，b r e b b i a 编著了国际上第一 本边界元法专著，对边界元法的发展具有重要意义，它提出了如何用加权余量法建立边 界积分方程，初步形成了边界元法的理论体系，标志着边界元法进入系统性研究时期。 边界元法的发展经历了从间接边界元法5 删到直接边界元法8 1 。间接边界元法的解 函数往往不具有明确的物理意义，直接边界元法基于互等定理建立s o m i g l i a n a 等式，以 边界点作为源点，基本未知量正是需要的客观物理量【”。用于弹性力学的边界元法称为 常规边界元法 1 0 】，它以边界上节点的位移和面力作为基本未知量，待边界上未知量求出 以后，再通过内点积分方程得出内点参量。许多学者按扬长避短的原则，发挥边界元法 的优势，避开一些数学上难以处理的障碍，建立了边界元法的新形式。g h o s h t n l 等对二 维弹性问题推导出以位移沿边界的切向导数和面力为变量的积分方程，把基本解中强奇 异积分核降为弱奇异积分核。雷小燕对二维弹性问题和r e i s s e m 板问题建立了组新变 量的边界积分方程，可以直接求出边界应力。另外还有对偶互易边界元法，随机边界元 2 山东科技大学硕士学位论文绪论 法，位移杂交边界元法、应力杂交边界元法、自适应边界元法等。我国约在1 9 7 8 年开始 了边界元法的应用研究。 边界元法的优点是应用g u a s s 定理使问题降阶，将三维问题化为二维问题，将二维问 题化为一维问题，大大减少了计算工作量，并保持了较高的精度。边界元法本质上是求 解边界积分方程的一种数值方法，它与有限元法有某些相似之处，通过形函数对单元进 行等参变换，其基本未知量是边界单元上的函数值。边界元法可以方便的用于求解无限 或半无限域问题，这是因为在建立边界积分方程时就使用了适用于无限域的基本解，这 一点是有限元法所无法比拟的。 边界元法的缺点是必须求出问题的基本解，尤其对于非线性问题，基本解的求出十 分困难。关于刚度矩阵，有限元法一般导致对称的刚度矩阵，采用适当的节点编号还可 得到带状稀疏阵，而边界元法最后形成的系数矩阵一般为非对称满阵，求矩阵元素的值 需要计算大量的数值积分，特别是采用高度协调的边界元时计算量很大，这对求解非线 形和优化等问题尤其不利1 13 1 。边界元法的积分方程存在奇异性问题，如处理不当，可能 会导致结果失真。但是只要处理好就可以得到良好的计算效果，也正是这种奇异性保证 了计算的精度和数值的稳定性。 现在，边界元法的研究不断向纵深发展。在弹性力学、断裂力学、流体力学、位势 问题和板壳问题等中均得到广泛应用：在非线性方面的应用有：塑性力学、蠕变问题分 析、非弹性断裂力学及非弹性壳体分析等。 边界元法毕竟还是一门年轻的学科，仅在近三十年内才得到迅速发展，要想使其应 用能更加广泛，必须开发大型边界元程序包。国内虽然出现少数几个边界元法程序包， 但由于结构、功能等方面的原因，还不能广泛推广应用，研制计算能力强、具有可视化 界面、功能齐全的程序包将是今后边界元法发展的一个重要方向f 1 2 】f 1 4 】【1 5 。 1 1 2 网格自动生成的基本过程 通常，网格自动生成过程分为数据准备和自动剖分两步进行。 ( 1 ) 数据准备 任何一种生成法，其初始数据总是由人工准备的，其质量直接影响到单元质量。数 据准备一般包括以下几个方面： 子域的分解。由于边界元法所处理的目标域具有一定的复杂性和不规则性，很难 有一种生成方法可以覆盖整个区域。通常把待处理域按一定条件如材料介质分区、网格 密度分布、边界条件等进行分区( 如图1 1 ) ，然后对这些子区域( 也叫超单元) 逐个进行自 山东科技大学硕士学位论文 绪论 动剖分，并将其连接起来形成完整的剖分。因此子域化一般都是自动剖分的第一步。 图1 1 区域分解 f i g 1 1 s p l i t t i n gr e g i o n 边界描述。这是对待解区域的几何特征、连通情况、边界约束情况、材料介质分 区、荷载条件及网格密度分布等边界情况进行描述，即进行边界离散。离散后的节点数 目和节点位置要能用样条函数精确地表达其几何特征。 多连通处理。若待解域是一个单连通域，则边界由一个封闭环组成。情况复杂时 存在多连通域，这可有两种方法处理：一是对每个内部开口单独进行描述；另一种方法 是用线段将其与最近的子域边界连接起来从而形成封闭的单连通域( 如图1 2 ) 。 图1 2 多连通处理 f i g 1 2m a n a g e m e n to f c o m p u e a t e dc o n n e c t e dr e g i o n s 背景网格。为便于控制单元的密度分布和走向，常使用背景网格。控制参数位于 网格节点上，其内部各点参数则通过节点参数内插产生。背景网格一般采用三角形，它 应包含全部待解域( 如图1 1 3 ) ，在网格的各个顶点上主要设置单元密度函数s ，单元走向 总是沿一个固定方向，如沿逆时针方向。背景网格越密，控制性越强，单元性能也越好。 世一一一一一一一一， 图1 3 背景网格 f i g 1 3b a c k g r o u n dm e s h 4 山东科技大学硕士学位论文绪论 f 2 ) n 格自动剖分 数据准备好了以后，就可i 三l 将初始数据输入网格剖分程序中，程序运行后生成所需 格式的数据文件，必要时将剖分结果以图形的形式显示出来。三角形网格算法简单，生 成容易，有较强的控制性，单元往往具有较好的形状和较强的边界适应性，因此颇受青 睐，现在仍有很好的应用前景。无论那种网格剖分算法，都有两个重要步骤：第一步是 如何在计算区域内合理分布网格点；第二步是如何将网格点有效连接，形成三角形网格 单元。这两个步骤分别称为布点和单元格生成，在不同的算法中布点和单元格生成的方 法不同。可以将这两步分开进行，也可以同时进行。尽管网格剖分算法各不相同，但总 的来说，网格剖分过程大致可以分为节点生成、单元格生成( 剖分) 、单元格优化、节点 及单元格编号和数据输出等几个大的环节。一般的网格生成过程如图1 4 所示。 图1 4 网格生成过程图 f i g 1 4 f l o wc h a r to f p r o d u c i n gg r i d 1 1 3 边界元网格生成编程环境 ( 1 ) 边界元网格生成核心程序编写 边界元网格生成的核心程序采用v i s u a lb a s i c6 0 编写，程序中采用特定的算法实现 对初始数据的分析和对几何体的结构化或非结构化网格剖分，生成边界元计算所需的单 5 山东科技丈学碗十学位论文缮论 元一节点文件和节点一坐标文件。 f 2 ) 生成网格的图形显示 生成网格的图形显示采用v i s u a lb a s i e 环境下的o p e n g l 编程来实列”】。o r ，e n g l 是 一种图形与硬件的接口。它包括了1 0 0 多个图形函数，可以爿j 这些函数来建立三维模型 和进行三维实时交互。在v i s u a lb a s i c 环境下的o p e n g l 编程，通过调用d l l 动态链接 库来实现图形的处理。v i s u a lb a s i c 和o p e n g l 在三维造型方面具有很大的优势。应用已 经十分成熟，所以在边界元的网格剖分结果显示中本研究采用v i s u a lb a s i c 环境下的 o p e n g l 编程来实现。 1 2 国内外研究概况、水平和发展趋势 网格生成方法研究领域已取得许多重要成果，形成了独特的方法理论体系，提出了 许多有效的算法并研制出一些成功的一程化软件产品。许多学者对网格生成方法研究进 行了概括和总结，如t h a c k e r ，h o l ek ，s h e p h a r d 。b a k e r ，g e o r g e 和胡思球等陋7 ”对 7 0 9 0 年代初期该领域的研究进展作了系统的回顾与阐述；吕军，魏红。j 和b l a c k e r 等 7 4 7 6 对某些重要分支领域的研究进展进行了评述。 边界兀数值计算所采用的网格分为三类：结构网格、非结构网格及笛卜尔网格( 如图1 5 ) 。 图1 5 结构网格( 左) 、非结构网格( 中) 和笛卡尔网格( 右) f i g 1 5s t r u c t u r e dg r i d m e f t ) - u n s t r u c t u r e dg r i d ( m i d d l e ) a n dd e s c a r t e sg r i d ( r l g h 0 1 2 1 结构化网格 自8 0 年代开始，各国计算流体和工业界都十分重视网格生成技术的研究。首先发展 了结构网格方法。在结构网格上运用多块对接网格技术和多域重叠技术成功地对复杂几 何形状生成了空间流场网格。结构网格方法能保证生成的网格具有较好的正交性，网格 何形状生成了空间流场网格。结构网格方法能保证生成的网格具有较好的正交性，网格 6 山东科技大学硕士学位论文绪论 质量较好。在结构网格上能够实施多重网格加速收敛算法来加快计算的收敛速度，并且 在存取网格单元时无须一个特别的指针系统，数据结构比较简单，可以节约大量的内存， 这些特点使得结构网格在进行复杂几何形状网格剖分计算时具有省时、节约内存的优点。 但是结构网格也有两个主要的弱点：一是对于具有复杂外形的几何体，构造结构网格是 非常耗时并且是难度相当大的工作，如果复杂外形的物体需作局部修改或需改变其构型， 则必须重新剖分区域和构造网格，从而耗费了大量的人力和机时，面对当今外形日益复 杂的几何体，结构网格显得力不从心：二是在结构网格上很难进行网格的自适应。 结构网格所覆盖的计算域一般要求在拓扑结构上与一矩形域等价，它实际上是做了一 个坐标变换，将仅在拓扑上与矩形域等价的区域变换为真正的矩形区域，控制方程也要做 相应的变换，然后在变换后的矩形区域内做计算。目前生成结构贴体网格的常用方法有： ( 1 ) 用代数方法生成结构网格。 ( 2 ) 保角变换和变分法。 ( 3 ) t t m 法【1 8 】【1 9 1 1 6 1 1 ( 采用求解椭圆型方程生成空间的网格分布) 。 ( 4 ) 通过求解双曲型方程或抛物型方程生成空间网格【2 0 】。 随着岩土工程的不断发展，所需解决问题的外形也越来越复杂，如何有效地处理复 杂的物面边界，生成高质量的计算网格是当前所面临的一个重要课题。单纯用传统的结 构网格，是很难满足实际需要的，即使能够勉强生成网格，网格质量也得不到保证。在 此情形下，很多的专家学者开始致力于分区网格技术和非结构网格生成技术，常用的分 区技术有对接 2 1 】和分区重叠技术口2 1 【2 3 。 1 2 2 非结构化网格 为了处理曰益复杂的几何体，满足数值计算的要求，一种适合于任意形状的网格生成技 术在2 0 世纪8 0 年代应运而生，这就是非结构网格。非结构网格的基本思想基于如下假设： 在2 d 情况下三角形是二维空间最简单的形状，任何平面区域都可以被三角形所完 全覆盖，即任何空间都可以被以三角形为单元的网格所剖分。在3 d 情况下四面体是三 维空间最简单的形状，任何空间区域都可以被四面体单元所填满，即任何空间都可以被 以四面体为单元的网格所剖分。由于非结构网格舍去了网格节点的结构性限制，节点和 单元的分布是任意的，易于控制网格单元的大小、形状和网格点的位置，因而比结构网 格具有更大的灵活性，对复杂外形的适应能力强，能较好地处理物面边界。网格中个 点周围的点数和单元数是不固定的，可以方便的作自适应计算，合理分布网格的疏密， 提高计算精度。正因为有这一系列优点，非结构网格技术在8 0 年后得到了迅速的发展。 7 山东科技大学硕士学位论文绪论 非结构网格的生成方法有： ( 1 ) 规则剖分法。此方法借用差分法中规则网格的生成方法，差分网格可看作四边形 网格，将四边形一分为二，得到三角形网格。在三维时将六面体一分为六，得到四面体 单元。对于规则区域，这是一种十分常见而且有效的方法，这种方法直观简单，分布均 匀，易于对规则区域分析使用，但对区域限制大。 ( 2 ) 三角形细化法。首先把区域剖分成几个大的三角形网格，然后对每个三角进一步剖 分，具体的剖分方法可以有增加三个边界点一分为四【2 4 j ，亦有增加一个中心点一分为三【2 引。 ( 3 ) 修正四叉树、八叉树法。修正四叉树法是基于四叉树编码技术的完全自动的二维 有限元网格生成方法 2 6 】 2 7 】，推广到三维就是修正八叉树法。这种方法比较有效，但它是 一种十分复杂的方法。y e r t y 和s h e p h a r d t ”1 首先将用于近似表达几何对象的四( 八) 叉树空 间分解法引入到网格剖分领域，其后又有许多学者对该方法进行了完善和发展，形成了 有限四( 八) 叉树方法。 r 4 ) d e l a t m a y 三角化法幽1 1 2 9 。这种方法要求事先知道区域内点的分布，然后用这些己 知的点作顶点，根据区域中任意点到这些顶点的距离，将区域分为与顶点数相同的小区 域。每个顶点对应一个区域，其原则是处于一个顶点的区域内的点，到该顶点的距离比 到其它任意顶点的距离都小。如果两个顶点的区域相邻，那么将所有的这样的两顶点连 接起来，便得到了整个区域的三角形剖分或四面体剖分。 ( 5 ) 推进波前法( 阵面推进法) 3 0 1 3 1 】1 3 2 】【3 3 】【翊。经过近年来的发展，推进波前法 ( a d v a n c i n g f r o n t m e t h o d ，a f m ) 已成为目前最流行的通用的全自动网格生成方法之一。 该方法的提出应归功于l o h n e r 和l o 7 8 1 。a f m 方法没有d e l a u n a y 三角剖分算法那样成 熟的理论依据，在很多情形下a f m 方法是靠经验解决问题，但是这并不妨碍它的成功 应用。a f m 算法的时间复杂度与d e l a u n a y 三角化算法、有限四( 八) 叉树法相当，但其生 成单元的质量是三者中最好的。 这种方法是在己知边界的基础上，根据给定的网格尺度分布，在区域内生成网格。 计算区域的边界是由一系列有向线段构成的闭和环路，外边界为逆时针走向，内边界为 顺时针走向，这样计算区域永远位于边界左侧。所有的边界线段，构成初始阵面，阵面 上的边都可以作为新三角形的边，这样的边成为活动边。在阵面上，选择一条边为基边， 向区域内生成三角形单元，也可以用基边与阵面上的点构成新的三角形单元，然后进行 阵面更新，再选择基边，继续生成新的三角形，如此反复直到阵面上无活动边为止。 1 2 3 笛卡尔网格 8 山东科技大学硕士学位论文 绪论 笛卡尔网格是流体计算力学中最早使用，也是最易生成的一种网格。它不同于传统 的贴体网格，笛卡尔网格中的单元基本按照笛卡尔坐标方向( x ，y ，z ) 排列，但是在 与模型表面相交的单元处需要给出特殊的处理，为此必须准确计算和判断网格单元与模 型表面的相交情况。笛卡尔网格可以通过简单的再割分来达到准确拟合几何物面的目的。 当前，采用笛卡尔网格的计算方法虽不如采用前两种网格的计算方法那样众多，但该方 法具有网格建立简单、快速、数据结构简单及网格自适应容易等特点，而且可以实现网 格生成的自动化，所以在近几年受到人们更多的关注。 近年来人们开始采用自适应( a m r ：a d a p t i v em e s hr e f i n e m e n t ) 的笛卡尔网格来计 算复杂几何形状的区域 3 5 】【36 ，即在原始的均匀笛卡尔网格基础上根据几何外形特点或 整体区域特点在局部区域内不断进行网格细化，得到精度符合要求、分布又是最理想的 非均匀笛卡尔网格，达到准确模拟区域外形的目的。相比于结构网格和非结构网格，采 用笛卡尔网格和实现网格自适应具有以下优点： ( 1 ) 由于笛卡尔网格的生成不是从模型表面出发，而是采用先空间后物面的方式，模 型表面网格仅仅用于物理外型的描述，因此对模型表面网格的要求不如结构网格和非结 构网格那样严格，对于多部件模型，可以采用模型部件分开描述的方式，容易重新移动、 旋转部件，而且不用考虑部件之间的相互关系，可以一次性生成计算所需的计算网格， 使网格生成过程简单、省时。 ( 2 ) 相比于贴体结构网格，不需要从物理空间向计算空间的转换，不需要在分块网格 之间交换复杂的区域信息，使区域计算简单，节约计算时间。区域计算中实现自适应也 比较容易，较简单。 ( 3 ) 笛卡尔网格不存在分区结构网格中不同外形有不同的网格拓扑结构的要求，网格 生成过程容易统一。对模型表面处理的依赖程度较低，因而容易写出通用的网格生成程 序，网格生成过程中不需要人为干预，因而可以实现网格生成的自动化。 ( 4 ) 笛卡尔网格对区域空间的填充效率高，能够缩短区域计算时间。相对于贴体结构网 格和非结构网格，笛卡尔网格虽然在数据交换、数据结构、空间网格生成等方面有优势， 但它在生成贴近物面的一层网格( 物面层网格) 时却需要做大量的工作，即在编制笛卡尔 网格生成程序时，以处理物面层网格的复杂性、多样性，替代了分区结构网格中网格拓扑 结构的复杂性、多样性。但一个非常重要的结果是它可以实现网格生成的自动化。 1 2 4 边界元网格生成技术的发展趋势 一个好的网格生成方法应当具有以下特点： q 山东科技大学硕士学位论文绪论 ( 1 ) 首先该算法应当具有较高的自动性，也就是说尽可能减少人为的干预。 ( 2 ) 算法应当尽可能减少人工输入，要求输入简单，使用方便灵活。 ( 3 ) 算法应当具有较高通用性和可靠性。 ( 4 ) 算法应当具有计算的高效性。 ( 5 ) n 格质量要尽可能满足计算要求。 ( 6 ) 数据结构的组织和编程应尽可能的简单。 到目前为止，中外许多致力于数值计算前处理的专家学者开始致力于研究满足以上 六个特点的网格生成技术，并取得了丰硕的成果【删【6 ”。 1 3 本文的主要研究工作 本课题研究的最终目的是开发边界元网格自动生成系统，并与导师开发的三维 f s m - d d m ( 应力不连续位移不连续) 边界元软件配套。基于网格剖分对边界元数值计 算的重要意义，在前人工作的基础上，本文主要作了以下几方面的工作： ( 1 ) 讨论了二维和三维表面的结构化网格生成方法，并编制了结构化三角网格的生成 程序，并给出了算例。 ( 2 ) 研究了b o w y e r - w a t s o n 算法和内插点自动生成技术，给出了b o w y e r - w a t s o n 算法 与内插点自动生成技术相结合生成二维非结构网格的方法和步骤。 ( 3 ) 研究了一种能够有效生成适用于任意复杂边界区域的高质量的二维非结构网格 生成技术，即d e l a u n a y 三角化方法。 ( 4 ) 利用d e l a u n a y 三角化方法与内插点自动生成技术相结合，编制了适用于具有任意 复杂外边界和多个复杂内边界多连通区域问题的二维非结构网格生成软件b e mg r i d ， 并通过算例进行了验证。 ( 5 ) 采用分块和映射的方法，生成任意断面形状的隧洞边界表面非结构网格，以及相 贯隧道的边界表面非结构网格，成功实现了交贯线上节点的快速生成，并且用v i s u a l b a s i c 语言编写了实现程序。 ( 6 ) 分析了d e l a u n a y 三角形网格在由等高线生成数字高程模型中的应用。 ( 7 ) 通过在v i s u a lb a s i c 环境下的o p e n g l 编程实现网格剖分结果的可视化，可以直 观的看到网格剖分的结果，便于网格的进一步优化。 ( 8 ) 初步实现了边界元网格自动生成系统b e mg r i d 。 1 0 山东科技大学硕士学位论文结构化髓格生成方法 2 结构化网格生成方法 2 1 二维结构化网格的生成方法 结构网格所覆盖的计算域一般要求在拓扑结构上与矩形域等价，它实际上是做了一 个坐标变换，将仅在拓扑上与矩形域等价的区域变换为真正的矩形区域，控制方程也要 做相应的变换，然后在变换后的矩形区域内做计算。如图2 1 和图2 2 所示，般称图 2 1 为物理平面( x y 平面) ，图2 2 为变换平面( 毒一叩平面) 。从图2 1 到图2 2 相当于一 个坐标变换，数值计算通常是在变换平面上进行。 图2 1 物理平面 f i g 2 1 p h y s i c a lp l a n e 图2 2 变换平面 f i g 2 2 t r a n s f o r m e dp l a n e 2 1 1 代数方法 所谓代数方法指的是通过代数插值的办法，由边界点的分布来得到内部网格点的位 置。这种方法具有计算公式简单，生成速度快的优点。通常用来生成比较简单区域的网 格，或用来形成一些迭代求解的网格生成方法的初始网格。它的一般过程是：给出一个 包含某些待定系数的特殊曲线坐标i ( 毒，椰，即插值函数，根据拟合边界上或某些中间点 上给定的笛卡儿坐标值，以及可能还有的导数值的要求来确定这些待定系数。这样，在 曲线坐标的常值处用插值函数来确定笛卡儿坐标值，从而确定整个网格系统。因此，插 值函数是代数方法的核心，一维插值函数的一般形式可以写成： n i ( 考) = o 。e ) 五 ) 舻j 1 1 一 山东科技大学硕士学位论文结构化网格生成方法 其中函数中。为插值基函数，满足： o 。( 粤) = 疋。 ( 2 ，2 ) 若采用不同形式的插值函数，即可形成不同的代数方法。 以拉格朗日插值函数为例： 设l 为自变量，其定义域为0 善1 ，而因变矢量i = 矗+ 谚+ 磊表示物理空间中 点o ，y ，力的矢径。若已知矢量函数i = 尹( 善) 在n 个离散点：盏( - o ) ，邑，乞，知( = j ) 上 的值分别为亏，乏，墨，欲找一个多项式来近似地表达函数i = f ) ，使得在上述n 个 离散点上刚好等于已知的相应离散值。那么拉格朗日插值公式可以表示为式( 2 1 ) 的形式， 其中的中。是( n 一1 ) 次多项式： 。夸= n i = 1 簧 ， 显然式( 2 - 2 ) 有。( 争) ：疋。： ? ” i m = 甩 在实际中我们常用的双线性插值是二维结构网格的代数生成方法。所谓双线性插值， 认为待剖分的区域与单位正方形 0 ，1 p ： 0 ，1 等价，在已知边界点的分布的情况下，通 过插值公式得到内部节点的坐标。 2 1 2 保角变换方法和变分法陋4 1 保角变换方法采用解析函数的办法来得到网格，一般用s c h w a r z ，c h r i s t o f f e l 变换将 一开放的无界区域变换为上半平面，在变换后的上半平面均匀剖分网格，再反变回原来 的区域内，得到需要的网格剖分，这种方法得到的网