（工程力学专业论文）振动法和波动法测量拉索张力的研究.pdf

东南大学硕：i 二学位论文 摘要 作为一种造型美观轻巧，跨越能力大，结构型式简洁，受力明确的桥梁形式， 斜拉桥在全世界得到了广泛应用。近年来，我国的交通事业飞速发展，桥梁设计 施工水平有了较大提高，大跨度斜拉桥在我国不断增多。斜拉索是斜拉桥的主要 受力构件，拉索索力的变化是衡量斜拉桥是否处于正常营运状态的重要标志，精 确测量索力能为总体评价斜拉桥的技术状况提供依据。对高压输电线，矿井提升 机和架空索道等拉索索力的测量还能在一定程度上发现拉索的锚固系统，防护系 统是否完好，拉索钢丝是否发生锈蚀等，从而对结构的安全性做出评判。 本文从理论上对斜拉索的自由振动方程进行了推导，在线性振动理论的基础 上得出了简单实用的张力计算公式，同时全面分析了多种因素对索力测量误差的 影响并提出相应的修正方法。 对拉索在自然风激励下的主要振动形式进行分析，根据试验模态理论可以得 出，当拉索处于风载等环境激励引起的随机振动时，可以仅测试其输出响应谱， 并由其频谱图近似地识别拉索的各阶主频率，而不需要测试其输入响应。当拉索 出现非线性急驰振荡时，研究发现此时拉索仅依其固有频率振动，因此亦可仅测 试其输出响应谱，即可识别拉索的主频率。 针对实际测量中正弦脉冲激励下产生的应力波含噪声很大，走时时差难以分 辨的问题，根据小波变换下有效信号和随机噪声在多尺度空间中模极大值不同的 传播特性，采用近似对称的s y m 3 小波对含噪信号图进行分解，每一层的小波分 解系数用不同的软阙值处理。经过修正后的小波系数重构得到的信号图能够消去 大部分噪声，清晰地反映入射波和反射波之间的时差。 通过理论分析，数值计算与仿真试验的比较，表明本文提出的方法具有较强 的实用性，能为斜拉索索力的准确测量提供一定的理论与试验依据。 关键词：斜拉索：索力；振动；频率；波动；测试技术；小波变换；阚值 查童查堂堡圭兰堡堕苎 a b s t r a e t a so n eo fb r i d g ef o r mw h i c hb e a r sd e f i n i t ef o r c ea n dh a sl i g h ta n db e a u t i f u l p a t t e r n ，b i gs t a y e da b i l i t ya n dc o n c i s es t r u c t u r es h a p e ，t h ec a b l e s t a y e db r i d g eh a s b e e na p p l i e du n i v e r s a l l yi nt h ew h o l e w o r l d r e c e n ty e a r s ，w i t ht h er a p i d d e v e l o p m e n to ft r a f f i cf a c i l i t i e si no n rc o u n t r ya n d t h el a r g ei m p r o v e m e n to fb r i d g e d e s i g na n dc o n s t r u c t i o nl e v e l ，t h en u m b e ro fl o n g s p a nc a b l e s t a y e db r i d g eh a sb e e n i n c r e a s e dc o n t i n u o u s l yi nc h i n a a st h em a i nl o a d - b e a r i n gc o m p o n e n to fc a b l e s t a y e d b r i d g e ，t h ec h a n g eo fc a b l et e n s i o ni st h ei m p o r t a n ts i g nw h i c hc o u l dj u d g ew h e t h e r t h eb r i d g ei sw o r k i n gi nn o r m a lc o n d i t i o n t h ep r e c i s em e a s u r e m e n to fc a b l et e n s i o n c o u l dp r o v i d ee v i d e n c e sw h i c hc o u l de v a l u a t et h et e c h n o l o g ys t a t eo fc a b l e s t a y e d b r i d g ef r o mt o t a l i t y w h e t h e rt h ea n c h o ra n d t h ec a b l e sp r o t e c ts y s t e ma r ei np r o p e r c o n d i t i o no ri t ss t e e lw i r e sh a v eb e e nc o r r o d e dc o u l db ef o u n d 螽o mt h em e a s u r e m e n t o fc a b l et e n s i o ni nh i g hv o l t a g ew i r e s ，m i n ef r e i g h te l e v a t o r sa n dc a b l e w a y sb u i l to n s t i l t s ，t h u st h es e c u r i t yo f t h o s es t r u c t u r e sc o u l db e j u d g e d t h i se s s a yd e d u c e dt h ec a b l e sf i e ev i b r a t i o nf o r m u l ai nt h e o r y b a s e do nt h e l i n e a rv i b r a t i o nt h e o r y , as i m p l ea n dp r a c t i c a lf o r m u l ac a l c u l a t i n gc a b l et e n s i o nc o u l d b eo b t a i n e d a n dm a n yk i n d so ff a c t o r si n c l u d i n gn o n - l i n e a rf a c t o r sw h i c hi n f l u e n c e t h em e a s u r e m e n te r r o ro fc a b l et e n s i o nb 1 r ea n a l y z e do v e r a l l ，m o r e o v e r ，c o r r e s p o n d i n g r e v i s a lm e t h o d sa r ep u tf o r w a r d t h er e v i s e df o r m u l ac o u l ds a t i s f yt h em e a s u r e m e n t s r e q u e s ti np r a c t i c e t h em a i nv i b r a t i o nf o r m so fc a b l ee x c i t e db yw i n da r ea n a l y z e di nt h i se s s a y b a s e do nt h ee x p e r i m e n tm o d et h e o r y , i tc o u l db ec o n c l u d e dt h a tc a b l e si n h e r e n t f r e q u e n c i e sc o u l db ed i s c e r n e da p p r o x i m a t e l yt h r o u g hi t so u t p u tr e s p o n s es p e c t r u m f i g u r ew h i l en o tn e e dt e s tt h ei n p u tr e s p o n s ew h e nt h ec a b l ev i b r a t e sr a n d o m l yd u e t o t h ee n v i r o n m e n te x c i t a t i o n ss u c ha sw i n d i nc a s eo fn o n l i n e a rv i b r a t i o n ，r e s e a r c h i n d i c a t e st h a tt h ec a b l ev i b r a t e si ni t si n h e r e n tf r e q u e n c i e s ，s oc a b l e sm a i n f r e q u e n c i e sc o u l db er e c o g n i z e da l s of r o mt h eo u t p u tr e s p o n s es p e c t r u mf i g u r e i np r a c t i c a lm e a s u r e m e n t ，i th a sf o u n dt h a ts t r e s sw a v ee x c i t e db yt h es i n u s o i d i i 一 至堕查堂塑主兰垡堡苎 i m p u l s i o nc o n t a i n st o om u c hn o i s e ，s ot h et i m ed i f f e r e n c eb e t w e e nt w os i g r l a l sc o u l d h a r d l yb ed i s c e r n e d a c c o r d i n gt ot h et h e o r yt h a tt h em a x i m u mm o d u l a rv a l u e so f w a v e l e tt r a n s f o r m so fs i g n a l sa n dr a n d o m n o i s e sh a v ed i f f e r e n t s p r e a d i n g c h a r a c t e r i s t i c s ，w a v e l e ts y m 3w h i c hh a sa p p r o x i m a t e l ys y m m e t r i cc h a r a c t e ri s a d o p t e dt od e c o m p o s et h en o i s es i g n a l ，a n de a c hw a v e l e tt r a n s f o r mc o e f f i c i e n ti s c o n d u c t e d b yd i f f e r e n ts o f t t h r e s h o l d t h en o i s e e x t r a c t e d s i g n a lw h i c h i s r e c o n s t r u c t e db yt h er e v i s e dw a v e l e tc o e f f i c i e n tc o u l d c l e a r l yr e f l e c tt h et i m e d i f f e r e n c eb e t w e e ni n c i d e n c ew a v ea n dr e f l e c t i o nw a v e b yt h ec o n t r a s to ft h e o r y , i m i t a t i v ee x p e r i m e n ta n dm l m i v en u m e r m i o nr e s e a r c h i nt h i sp a p e r , t h ep r a c t i c a l i t yo ft h em e t h o di s i l l u s t r a t e d ，a n dt h et h e o r ya n d e x p e r i m e n tp r o o f so fm e a s u r i n gt h ec a b l et e n s i o ne x a c t l ya r ep r o v i d e d k e y w o r d ：c a b l e ，t e n s i o n ，v i b r a t i o n ，f r e q u e n c y , w a v e ，m e a s u r i n gt e c h n o l o g y , w a v e l e t t r a n s f o r m ，t h r e s h o l d i l l 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：纠l 关于学位论文使用授权的说明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位 论文的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人 电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论 文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包 括刊登) 授权东南大学研究生院办理。 签名：王谈 导师签名：垫鱼袅日期：至竺i ：! ：壁 东南大学硕士学位论文 第一章绪论 现代斜拉桥起源于欧洲，1 9 5 6 年瑞典建成第一座现代化斜拉桥s t r o m s u n d 桥， 跨径7 4 7 瑚r 卜18 2 6 m + 7 4 7 m 。其后斜拉桥在世界上迅速发展。它填补了当时短跨 和中跨之间的空白，并以其造型美观，且在中跨范围内施工简单等特点得到了蓬 勃的发展。当今，主跨超过3 0 0 m 的斜拉桥已成为常规设计。过去4 0 年里，全 世界修建了3 0 0 余座斜拉桥，中国建成了3 0 余座斜拉桥。然而由于斜拉索锈蚀 的影响，使得部分早期修建的斜拉桥结构状况损坏非常严重。特别是斜拉索，由 于腐蚀的作用，其使用质量均过早地衰退了。拉索是斜拉桥的主要受力构件，如 果某一根斜拉索突然断裂，则很可能导致结构遭到灾难性地破坏。 1 1 斜拉桥索力测试的意义 作为一种自锚结构体系，斜拉桥不需要拉索两端的巨大昂贵的锚墩结构，它 的索应力基本上是沿索长不变的，能充分利用材料。斜拉桥在跨内呈直线布置， 并具有相当的抗拉刚度，它对桥跨结构的主梁产生有利的压力，改善了主梁的受 力状态。 1 9 9 5 年1 月竣工的法国n o r m a n d y 桥，跨度8 5 6 m 。而日本的t a t a r a 桥则成 为当今世界上跨度最大的斜拉桥，它的跨度达到了8 9 0 m 。近年来，我国的桥梁 设计建设水平也有了较大的提高，1 9 9 3 年上海建成杨浦大桥，主跨6 0 2 m 。新建 成的南京长江第二大桥的主跨径也己达6 2 8 m 。 斜拉桥虽具有跨越能力大，结构型式简洁，受力明确，空气动力稳定性好， 结构轻巧美观等优点，但制约其结构使用寿命的拉索腐蚀退化和振动疲劳衰减两 大因素已构成了对结构耐久性的威胁和挑战，成为斜拉桥发展与营运中的严峻课 题。斜拉索是斜拉桥的一个重要组成部分，斜拉桥桥跨结构的恒载和活载绝大部 分或全部通过斜拉索传递到塔柱上。现代斜拉桥的拉索几乎全部采用高强度钢丝 或钢绞线制作。目前，单根斜拉索的破断索力已达3 0 m n ，耐疲劳应力幅值达到 2 0 0 m p a 2 5 0 m p a 。拉索是由若干根单丝，采用不同形式集合而成的，因此各根 单丝的强度受材料的均质性和下料长度的影响，其初应力很难完全相同，拉索的 东南大学硕士学位论文 拉力也不可能均匀分配给各根单丝。拉索受拉时，索中钢丝中受力最大，强度最 小的那一根将首先断裂。一旦索中钢丝开始逐根断裂，拉索的强度也就很快达到 极限。 斜拉索作为一种受拉构件，可承受其材料极限承载力5 0 的荷载。斜拉索的 钢丝是设计用来抵抗周期性拉应力而非弯曲应力的，弯曲应力会明显地降低钢丝 地预期疲劳寿命。索振达到一定的次数后，锚固区的钢丝就会由于疲劳和损伤而 断裂。因此，风，雨振中的大幅谐振会影响整体性，使用性和耐久性，自然也影 响了结构的安全性。最令人头痛的是无法检查潜在的破坏情况。在斜拉索锚固区 附近，用肉眼观察或非损伤检查都确实不可能。依目前的技术，探测被浆体封闭 的单根钢丝是否断裂是不可能的。射线探测仅可用于两锚固区之间的部分，对于 目前采用的构造细节，不可能对锚固区进行无损检测。 斜拉桥拉索的工作状态是衡量斜拉桥是否处于正常营运状态的重要标志之 一，精确测定索力对于了解斜拉桥的工作状态十分重要。 1 2 斜拉桥索力测试技术的发展状况 索力检测的方法有多种，传统的如油压表读数法，传感器读数法，频率法等。 此外国内也有学者将“三点弯曲法”，“磁通量法”等方法用于斜拉索拉力的检测。 这些方法各有特点，其中，频率法以其精度高、方便、适合观测等特点受到广泛 的应用。 目前工程中常用的斜拉桥拉索索力的测量方法有如下几种： ( 一) 油压表读数法 该方法的原理是根据张拉斜拉索时，油泵上油压表的读数来推算张拉千斤 顶的张拉力，并认为千斤顶的张拉力就等于拉索索力。用该方法测定拉索索力时， 事先要对张拉拉索的液压系统进行标定，建立油压表读数与千斤顶张拉力之间的 对应关系。 油压表读数法适合于施工阶段拉索张拉的同时确定张拉索索力的大小，对 于成桥后的斜拉桥该方法就不合适了，主要是因为安装和移动张拉千斤顶( 特别 是当拉索的拉力较大而需要用大吨位千斤顶时) 十分麻烦。 东南大学硕士学位论文 ( 二) 传感器读数法 该方法是在张拉千斤顶的牵引杆和活塞之间串联一压力传感器，张拉力大 小不是通过油泵上压力表的读数来确定，而是通过压力传感器及与之相匹配的二 次仪表来测定的。利用该方法来测量拉索的索力，同样需要事先对传感器系统进 行标定，建立传感器读数与它所受压力之间的关系。如果所用的传感器的性能稳 定，用它来测量斜拉索的索力可望得到比油压表读数法更高的精度。因为用该方 法时，传感器要与千斤顶配合使用，所以该方法与油压表读数法一样只适用于施 工阶段的索力测量，对于成桥后的索力测量并不方便。 ( 三) 频率法 用该方法测量拉索索力，需首先设法测出拉索的振动频率，因拉索的振动频 率与拉索的索力之间存在着一定的关系。对于某一根给定的拉索，只要测出拉索 的振动频率，便可求得该拉索的索力。 根据测定拉索振动频率的不同方法，频率法又可分为共振法和随机振动法。 采用共振法测量拉索振动频率时，要用人工激振的方法，使拉索作单一的基频振 动，然后用频率计测出拉索的基频。共振法测拉索振动频率的缺点是测量结果的 准确性与操作者的经验有关，经验丰富的测试人员能在较短的时间里激出拉索的 纯基频振动，而般人往往激不出纯基频振动，当然也就测不出拉索的基频。用 随机振动法测量拉索振动频率时，不用对拉索进行人工激振，而是利用风，桥面 振动等环境随机激振源对拉索的激励。在环境随机振源的激励下，拉索的振动也 是一种随机振动，可利用频谱分析仪对拉索的随机信号进行频谱分析，一般可以 得到拉索前几阶的振动频率。利用环境随机振动法测量拉索的振动频率具有不需 要对拉索进行人工激振，测得拉索振动频率准确可靠等优点。 ( 四) 波动法 该方法根据应力波在拉索中传播波速与拉索张力的关系，先测出激励脉冲与 反射波之间得走时时差确定波速，便可根据公式计算出拉索张力。波动法实施简 单，只需力锤敲击，击起应力波，由测出的应力波传播图即可分析得出结果。工 程中利用振动波法测定承载索的张力，是目前国内外一种比较简便，可行的方法， 其精度完全可满足建筑安装工程的实际需要。此方法在国外工程中已被广泛用来 测定高压输电线，矿井提升机和架空索道等拉索的张力，国内已成功地用在斜拉 东南大学硕士学位论文 桥施工钢索张力的测定。但用在拉索张力的测量过程中，由于拉索处于自然激励 或工况激励之下，本底振动噪声很大，有时甚至大于被测应力波信号。要想准确 得到拉索张力，必须从受随机振动信号干扰的信号中精确分离出应力波脉冲信 号。选择一种适当的滤波方法是波动法测量拉索应力的关键。 1 3 信号处理技术的发展状况 传统的信号分析是建立在傅立叶变换的基础之上的。设厂( ，) 是一个给定的信 号，假定信号的能量有限。傅立叶变换的实质是把厂( f ) 这个波形分解成许多不同 频率的正弦波的叠加和。这样我们就可以把对原函数厂( f ) 的研究转化为对其权系 数，即其傅立叶变换f ) 的研究。从傅立叶变换中可以看出，这些标准基是由 正弦波及其高次谐波组成的，因此它在频域内是局部化的。通过变换，许多在时 间域内看不清楚的问题，在频率域下就变得一目了然，例如取样、滤波等。虽 然傅立叶变换能够将信号的时域特征和频域特征联系起来，能分别从信号的时域 和频域观察，但却不能把二者有机地结合起来。这是因为信号的时域波形中不包 含任何频域信息。而其傅立叶谱是信号的统计特性，从其表达式中也可阻看出， 它是整个时间域内的积分，没有局部化分析信号的功能，完全不具备时域信息。 这样在信号分析中就面临一对最基本的矛盾：时域和频域的局部化矛盾。 由于标准傅立叶变换只在频域里有局部分析的能力，而在时域里不存在这种 能力，d e n n i sg a b o r 于1 9 4 6 年引入了短时傅立叶变换。它的基本思想是：把信 号划分成许多小的时间间隔，用傅立叶变换分析每一个时间间隔，以便确定该时 间间隔存在的频率。短时傅立叶变换虽然在一定程度上克服了标准傅立叶变换不 具有局部分析能力的缺陷，但它也存在着自身不可克服的缺陷，当窗函数确定后， 只能改变窗口在相平面上的位置，而不能改变窗口的形状。可以说短时傅立叶变 换实质上是具有单一分辨率的分析，若要改变分辨率，则必须重新选择窗函数。 因此，短时傅立叶变换用来分析平稳信号犹可，但对非平稳信号，信号波形变化 剧烈的时刻，主要是高频，要求有较高的时间分辨率，而波形变化比较平缓的时 刻，主要是低频，则要求有较高的频率分辨率。而短时傅立叶变换不能兼顾两者。 东南大学硕士学位论文 小波分析的思想来源于伸缩与平移方法。小波分析方法的提出最早可追溯到 1 9 1 0 年哈尔( h a r t ) 提出的小波规范正交基及1 9 3 6 年利特尔伍得和佩利 ( l i t t l e w o o da n dp a l e y ) 对傅立叶级数所建立的l - p 理论。1 9 8 8 年，d a u b e c h i e s 从多分辨分析的框架出发，构造了一类具有有限支集的正交小波基，1 9 1 0 年哈 尔提出的哈尔正交基只是它的特别情形。1 9 8 9 年马拉等提出了多分辨分析的概 念，统一了在此之前人们提出的具体小波函数的构造，同时还给出了分解与重构 的快速算法，即马拉算法。这样，小波分析的系统理论初步得到了建立。1 9 8 9 年之后，出现了大量的工作，一方面是继续研究满足各种不同要求的小波展开以 及把小波展开推广到以外的各种情形；另一方面是小波展开在多学科领域得到了 许多应用。 小波分析方法是种窗口大小( 即窗口面积) 固定但其形状可改变，时间窗 和频率窗都可改变的时频局部化分析方法。即在低频部分具有较高的频率分辨率 和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率， 所以被誉为数字显微镜。正是这种特性使小波变换具有对信号的自适应性。在工 具和方法上具有重大突破的小波变换，能够把任何信号映射到由一个母小波伸缩 ( 变换频率) 、平移( 搜索非平稳性) 而成的一组基函数上去，实现信号在不同 时刻、不同频带的合理分离而不丢失任何原始信息。这些功能为动态信号的非平 稳性描述、故障特征频率的分离及微弱信息的提取提供了高效、有力的工具。 1 4 本文的研究内容及结构安排 用振动法测拉索张力是首先测定拉索的固有频率，然后根据其两端的受力同 固有频率的关系换算得到张力，是一种间接测量方法。振动法测量误差可以控制 在5 以下，测量精度高，适用于已经或正在张拉的拉索的张力的测定。本文将 推导拉索自由振动公式，全面讨论索力测定误差，并对公式进行修正，以使测量 结果和实际情况更为符合。 波动法测拉索张力的难点在于将有用脉冲信号从受随机振动严重干扰的信 号中分离出来。本文采用软阙值方法进行“过滤”，该方法比较简洁，计算量小， 可以满足通常的消噪需要，促使信噪分离。 东南大学硕士学位论文 1 4 1 课题研究的难点及主要内容 本文详细推导了拉索线性和非线性运动方程，讨论了三种边界条件下两 端铰支，两端固支，一端铰支一端固支的拉索频率方程和振型函数。 从对试验模态理论的分析可以得知：当拉索处于自然风激励或人工瞬态激励 时，可以仅测试其输出响应谱，并由其频谱图近似地识别拉索的各阶主频率，而 不需要测试其输入力信号。 将小波分析的方法引入波动法测张力中，根据信号和噪声在不同尺度的小波 变换下呈现的特性截然相反，即随着尺度的增大，信号和噪声所对应的小波变换 系数分别是增大和减小，因此连续做若干次小波变换之后，由噪声对应的小波系 数已基本去除或幅值很小，而所余系数主要由信号控制，根据这一原理对加噪信 号进行处理，能取得较好的滤波效果。 1 4 2 本论文结构安排 第二章讨论了张拉着的弦的横向线性振动理论，非线性运动方程和边界条 件的影响，以及拉索在风载下的各种振动形式。 第三章阐述了系统的试验模态理论和应力波动理论。 第四章分析了振动法和波动法测拉索张力的原理，对索力测定误差提出改 进。全面介绍了拉索张力的动态测试技术和方法。 第五章引入小波分析的方法对含噪信号进行分解，根据信号和噪声在小波 变换下呈现的不同特性，每一层设置不同的阙值，将含噪信号的小波系数进行软 阙值处理后再重构，重构后的信号保留了有用信号，滤去了大部分噪声，使得用 波动法能够简便，精确地测定拉索张力。 6 东南大学硕士学位论文 第二章拉索振动理论 2 1 张拉着的弦的横向振动( 线性) 假设弦是均匀，各向同性的理想弹性体，在o x y 内做横向微幅振动。由于拉 索的长度和截面高度之比值相当大( 大于l o ) ，于是任意微段的转动同横向位移 相比可以忽略不计。 图2 1 表示运动方程具有一维波动方程形式的弹性系统，它由一根紧紧张拉 y f 一、n 1 7 l ， 一， 、一一， 。 i 卜 _ _ p- + 一| _ ! _ i _ 一一 - - 一 - s ，； 图2 1 张拉着的弦横向振动图 的，可以自由横向振动的弦组成。假设当弦在x y 平面内微小振动时，该弦的张 力s 保持常数。用y 表示弦上距左端x 距离处任一点的横向位移。图2 2 表示长 度为d x 的典型段的自由体图式，其中顺y 方向的力是最主要的。对于微小斜度， 此动力平衡条件可以写成 d 2 v p 紊l d v a 孙鞍夕 幺i 、， 弋j jm 七等a x j 扩 ) j | ：_v o y + 0 2 。y 出 矿+ 里出 图2 2 微段动力平衡图 一 窭壹奎堂堡主兰焦兰兰一 一 此图中，剪力v 和弯距m 的方向遵循梁的正负号惯例，p 为线密度 s 陪+ 窘却出一s 罢一面8 v 出一肚窘= 。 即 s 窘出一警出一- 础扩：一。 由力矩平衡条件给出 一胁+ 丝出。0 盘 将式( 2 | 2 ) 代入式( 2 1 ) 得 s 窘威一等出一础害- o ：m 划繁 - s 萨3 2 y 一等( 肼一p 睾= 。 即e s a 矿 r _ ys 害+ p 害= 。 令y = y b k o ) e i a = 一 p ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 6 ：曼( 2 4 ) p y “) 称为振型函数，表示弦的振动型式，它是空间变量x 的函数q ( t ) 反映 了各点振动大小的变化，是时间变量t 的函数，称作广义坐标 p y b ) 学+ 肋o ) 掣一印o ) 掣= 。 杰一d i q ( t ) d t ：别p l s 掣一彤掣d x 卜 ) q 0 ) 2 y b ) 出2 1 j 上式左端是t 的函数与x 无关，右端是x 的函数与t 无关，因而上式必等于 一常数，令其为a _ d 2 q ( t ) 一叼o ) ：o ( 2 6 ) d t a 可d v ( d 山掣瑚g ) = 。 8 ( 2 7 ) 东南大学硕士学位论文 得 由式( 2 6 ) 可知，只有口 。 c 3 = 。 c 2 = - c j 厂( 上) = c g 肛一e 一肛) + c 4s i n a l = 0 y ”犯) = c ，2 g 皿一e 一肛) 一c 。a 2s i n 吐= 0 由( 2 2 6 ) 及( 2 2 7 ) n 司f 得 c 1 = 0 频率方程为s i n a l = 0 z 7 a = = 三 求得频率p 为p = 。b f b 。2 。qp 。2 一五b 振型函数 f g ) = c 。s i n a ：z 2 + 口2 p 。s i n a l = 0 若边界条件为两端固支则端点处挠度及转角均为零 1 3 i = l 2 ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) r 2 2 8 ) r 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) 、j 22 g 2g 2 3g0 丘r 3 2g毛 + 2叮g + gq坼 + 2 jg氏 + 2 2g 6+ g钆 + 吼如 3 6 = + 2 吼 埘k 轨 + + 2 g 巩 岛 + 磊 一 + 厂小 万一p 一r 东南大学硕士学位论文 y ( o ) = 0 y ( 0 ) = 0 由y ( 0 ) = 0 m ) = 0 y 7 乜) = 0 c 1 + c 2 + c 3 = 0 = c ，= 一( c l + c 2 ) ( 2 3 1 ) 由y 7 ( o ) = o c l 卢一c 2 卢+ c 。口= o = c 4 = c 2 p - - c , p ( 2 3 2 ) 】，( 工) = 0 有 c l e 皿+ c 2 p 一皿+ c 3c o s a 正+ c 4 f i n a l = 0 】，7 0 ) = 0 有c 1 房皿一c 2 p 一一c 3 a s i n a l + c 4 a c o s a l = 0 将( 2 3 1 ) ，( 2 3 2 ) 两式代入( 2 3 3 ) ，( 2 3 4 ) 两式，有 c l p 肛+ c 2 e 一皿一( c l + c 2 ) c o s a z +c 2 p - c , ps m 以：0 口 c l 屉皿一c 2 辟一肛+ ( c l + c 2 ) 口s i n v z + ( c 2 卢一c 1 p ) c o s 瑾z = 0 = c ( e i l l - c o s 瑾c 一鲁s i n 础 + c ： e - 皿- c o s 吐+ s i n 以一鲁 = 。 ( 2 3 3 ) ( 2 3 4 ) c i 幢皿+ 口s i n 越一f l c o s a l ) + c 2 ( _ 摩一皿+ 口s i n 缸+ c 。s 比) = o p 一皿一c o s 以+ s i n 砒+ 笪 口 e 皿一c o s a l 一生s i n 础 口 一瞳扯+ as i n a l 七p c o s a l = 一 8 e 噩+ a s i n a l p c o s a l ( e 一一c 。s 以+ 鲁s i n 础) 江皿+ a s i n 血 l口， f l c o s l ) = ( - f i e - p l + a s i n 以+ c 。s t y , l ( e p l _ c o s 以一鲁s i n 以 z 帅吐竿 例c o s 比( 竿卜i n 比l ( 一e w _ o - n - o 2 叩一a 2s i n a l s h f l l 一2 a f t c o s c t l c h f l l + f 1 2s i n a l s h f l l = 0 频率方程为： 2 a f t ( 1 一c o s 础c h p l ) + ( p2 一口2 1 s i n a l s h f l l = 0 ( 2 3 5 ) 4 东南大学硕士学位论文 ( 2 3 6 ) 振型函数z ( x ) ：c i e 且x + c 2 。一即一( c 。+ c ：) c o s 口i x + 坦呈旦s i n x 若边界条件为一端铰接一端固定则 y ( o ) = 0l ，0 ) = 0 y j l ( o ) = 0y 仁) = 0 由】，( o ) = 0c i + c 2 + c 3 = 0 y “( o ) = 0 c ，= 0 ( c l + c 2 妒2 一c 3 a 2 = 0 c 1 + c 2 = 0 c l e 肛+ c 2 p 一肛+ c 4s i n 吐= 0 c l 居肛一c 2 肛一皿+ c 4 a c o s 础= 0 c i 如皿一e - g ) + c 。s 血碰= 0 c 1 t 皿+ e - ) + c 4 a c o s 吐= o p 皿一e - 卢s i n 础 两硐3 g c o s 以 即堕：塑堕 犀 肛口c o s 础 频率方程为t a i l o 正= 甜h 肛 振型函数i g ) = c l e 。一c 1 p 一屏1 + c 4s i n a ，x 2 c 1 s h p ；x + c 4s i na ；x 2 4 拉索在风载作用下的振动 1 5 r 2 3 7 ) f 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) r 2 4 0 ) r 2 4 1 ) r 2 4 2 ) 詹 2 一 堑r = p 厚 塑r 一一 p 东南大学硕士学位论文 随着大跨度斜拉桥的发展，单索的长度也随着跨度的增大而增加。索振与拉 索的空气动力特性，拉索及斜拉桥上部结构的动力特性有关。观察发现，拉索发 生风振时，有些拉索的最大振幅超过其直径的5 倍，且振动一般以前三阶振型之 一的形式出现，是典型的低频大幅振动。 边界层 图2 5 气流经过拉索时尾涡的形成 当空气从拉索旁流过时，在下游要形成显著的尾涡，如图2 5 所示的圆形横 截面，尾涡由一个剪切层和外面的流动区分开。剪切层在上游表面的所谓边界层 的a 点和b 点( 分离点) 处出现，并成为自由剪切层。这些分离点的精确位置 和许多因素有关，例如拉索表面的粗糙程度，气流中的湍扰和雷诺数r = 班么， ，i 其中v = 气流速度，d = 物体的直径，y = 动粘度系数。 i 振i 幅i ， 、，7 一一一一 图2 6 风引起的振荡类型：( a ) 湍流引起的振动 ( 1 3 ) 涡流脱落引起的振动 ( c ) 空气动力失稳引起的振动 、|，厶 一 、 ，一 八、磊 勘 东南大学硕士学位论文 风引起的拉索振荡的主要类型如下： 1 湍流引起的振荡。拉索的某些类型的振荡可以几乎毫无例外地归因于来 流中的湍扰。对于风，这类振荡称为“阵风引起的振荡”( 或湍流引起的振荡) 。 阵风可以引起结构的纵向、横向或扭转振荡，其大小随风速而增加( 图2 6 a ) 。 当拉索暴露在风的作用下时，波动着的风速转化为波动的压力，这些压力使结构 产生随时间而变的响应。这种响应是随机性的，并且代表了风引起的振荡的基本 类型。 2 尾涡引起的振荡。由于这些脉动通常是以交替流动为特征的先从物 体的一侧绕过，然后又从另一侧绕过，所以在分离点后边的尾涡中，有最明显的 压力脉动作用在物体的侧面上；这些脉动主要产生横向或扭转作用，纵向的作用 很小。所产生的运动称为“涡流引起的振荡”。垂直于风向的振荡是最主要的类 型。这种振荡常常有个显著的共振峰( 图2 6 b ) ，通常几乎是周期性的。低阻 尼结构对旋涡脱落特别敏感。脱落的频率在许多情况下差不多是常数，它和拉索 的形状及大小、气流的速度都有关，但和表面粗糙程度以及气流干扰的关系就要 小一些。 旋涡脱落的主要频率工由下式给出 正= s 古周秒) ( 2 - 4 3 ) 其中s 是无量纲常数；矿是平均风速，d 是迎风面的宽度。 简谐激励是旋涡激励传统模型的代表，它仅对很低的雷诺数( 3 0 0 ) 才被 证明是正确的；当振动幅度较大，以至运动能以“同步”现象的形式同时控制尾 涡和升力的时候，它可能也是对的。 当旋涡脱落很规则地出现时，升力和升力系数不是纯简谐地，而是随机的。 对于圆形截面的拉索，在亚临界和跨临界区升力是窄带随机分布的，拉索的前三 阶固有频率通常在2 h z 以下，在这个范围内，旋涡脱落的激励谱是平滑的。在 超临界区，功率谱是宽的。雷诺数r 3 x 1 05 为亚临界区，3 x 1 0 5 r 3 1 0 6 为 超临界区，r 3 1 0 6 为跨临界区。 3 急驰和颤振机制。这种振荡是由运动本身产生气动力引起的。这样的力可 东南大学硕士学位论文 能来自压力分布的振荡性变化，当风吹向结构的角度连续改变时就能引起这种变 化。这类振荡通常有发散的趋势，它被简略地称作“气动力失稳”、“颤振”或“自 激振荡”。这一现象的典型特征是突然开始而且振幅很大( 图2 6 c ) 。 这种自激振荡的基本类型是横向( 垂直于风振荡) ，由仅和振动速度有关的 气动力引起，这种振荡称为“急驰”。急驰振荡的典型特征是振荡频率等于固有 频率，而运动方向垂直于风向，突然开始，振幅大且稳定，但会随风速而增加。 东南大学硕士学位论文 第三章试验模态理论和应力波理论 3 1 试验模态分析理论 3 1 1 多自由度模态理论 一个n 自e h 度的振动系统，需要n 个独立的物理坐标描述其物理参数模型。 在线性前提下，物理坐标系中的自由振动响应为n 个主振动的线性叠加，振动频 率即系统的主频率，振动形态即系统的主振型，对应每个阻尼系统的主振动有相 应的模态阻尼。 具有粘性i ：l f f , i 阻尼的系统，其运动微分方程 附l ( ；) + 【c x ) + k k ) = f ( s 1 ) 阻尼矩阵可表示为质量矩阵与刚度矩阵的线性组合【c = a m l + b k 】 由系统的特征方程p m + 肥+ 世i = o 可解得系统的2 n 个共扼对形式的互异 特征值旯，正( i = 1 2 n ) ， 。的实部代表衰减系数，虚部为阻尼固有频率。它反映 了系统的固有特性，且具有频率量纲。 由系统的特征值a ，z 可进一步解得2 n 个共扼对形式的特征矢量 纯，p 殛= 1 2 n ) 在这2 n 个特征矢量中对应于共扼特征值的特征矢量是相同的， 即纯= 妒_ 故独立的特征矢量只有n 个。这些矢量具有关于m ，k ，c 的正交性。 即由仍，构成的n x n 矩阵妒与阻】，k 】，【c 】满足以下关系 妒7 阻k = d i a g m 。】 ( 3 2 ) 妒7 陋k = d i a g k 。 ( 3 3 ) 妒7 【c k = 胡昭胁。+ 肚，】= d i a g c 。】 ( 3 4 ) 这n 个满足正交性的，线性无关的特征矢量仍是n 维矢量空间的完备正交基， 构成模态空间或模态坐标系。若物理坐标系中矢量x 在模态坐标系中的模态坐标 东南大学硕士学位论文 为y i ( f = 1 , 2 ，”) ，则 系。 x = 识) ，= 缈 ( 3 5 ) 上式是以妒为变换矩阵的线性变换，反映了物理坐标系与模态坐标系的关 将式( 3 5 ) 代入( 3 1 ) 并设口 = 0 ，左乘妒7 ，n f f ( 3 2 卜( 3 4 ) 可得如下解耦方程 a i a g m 。l y ”+ d i a g e ，1 y + d i a g k ，p = 0( 3 6 ) 考虑初始条件，由以上方程可以解得系统的自由响应。 式( 3 6 ) 的意义在于方程可以解耦，解耦后的模态坐标中的质量和刚度矩阵都 不是原来离教化时对应的物理参量，而是根据( 3 2 ) ( 3 4 ) 进行了正交分解后所 得。经相应处理，可得物理坐标中的参量，并研究相应参量的改变对模态参数的 影响。 用拉普拉斯变换求线性系统对任意激励的响应比较方便，它将系统运动微分 方程变换成简单的代数方程来求解。 根据定义，f o ，z ( f ) 的拉氏变换 z 0 ) = 上b 删= f z 协“d t 式中s 为一复数。 对方程( 3 1 ) 两端进行拉氏变换得 她1 2 + 【c b + 瞰肛o ) = f ( s ) 州= 裂= 阿研1 两 7 ) 系统输出与输入的拉普拉斯变换之比称作系统的传递函数。 当s = i c o 时 荆。裂2 阡硒1 蕊阿 s ) 系统输出与输入的傅立叶变换之比称作系统的频响函数。 一般情况下，若系统的脉冲响应函数为h ( t ) ，则在任意作用力f ( t ) 下系统的 响应是 东南大学硕士学位论文 z o ) = f 厂p 一r m = 厂( f ) + o ) ( 3 9 ) 只要知道系统的脉冲响应函数h ( t ) ，就可以由任意输入躺求出系统的响应 x ( t ) 。因此用h ( t )