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浙江工业大学硕士学位论文 基于插值细分的自由曲面重建及刀具轨迹仿真 摘要 本文在总结和分析目前国内外细分曲面和刀具轨迹计算方面的研究现状和基本理论 的基础上，针对此类算法中存在的数据量大，计算效率低等现状，结合浙江省教育厅“基 于任意拓扑结构复杂曲面模型的刀位轨迹计算法”课题( n o 2 0 0 4 0 5 6 8 ) ，对复杂自由曲 面重建和刀具轨迹计算进行了探索和研究，主要包括以下几方面的工作： 首先，以三角形初始网格为基础，提出了一种具有普遍意义的递归插值计算方法，同 时针对异常节点合理选取加权系数，改进边界插值的计算，提高了插值细分曲面的造型能 力。 其次，在细分网格结构基础上，用点法矢插值方式计算网格各截形法曲率，并借助欧 拉公式和最小二乘算法确定网格节点的主曲率和主方向，提高计算精度尤其是主方向的精 度，满足面向数控的曲面几何特性分析的要求。并通过计算边界切矢和构造跨界切矢，实 现了刀位点的精确计算，提高数控加工中刀具轨迹的精度。 然后，基于上述理论，运用v c 开发了一款应用程序，能够对输入的三角形初始网格 数据进行细分计算和刀具轨迹计算，并输出结果。通过一个复杂自由曲面实例，将计算结 果与当前流行的c a t m u l l c l a r k ，l o o p 细分模式进行比较和误差分析。 最后，对程序输出的刀具轨迹进行后置处理，并在仿真软件中进行模拟加工。 基于递归插值细分理论的复杂自由曲面重构方法不仅算法简便、计算效率高，而且适 用性强，在逆向工程、图像处理等众多相关领域中具有广阔的应用前景。 关键词：曲面重构，细分曲面，网格，递归插值，刀具轨迹，仿真加工 浙江工业大学硕士学位论文 f r e e f o r ms l 瓜f a c er e c o n s t r u c t i o na n dt o o lp a t h s i m l ，a n 0 nb a s e do ni n t e r p o l a t es u b d i v i s i o n a b s t r a c t t h i ss t u d yi sb a s e do i lt h es u m m a r ya n da n a l y s i so nt h ec u r r e n ti n t e r n a t i o n a la n dd o m e s t i c r e s e a r c hs t a t u sa n db a s i ct h e o r yo fs u b d i v i s i o ns u r f a c ea n dt o o lp a t hc a l c u l a t i o n ，f o c u s i n go nt h e c u r r e n ts t a t u so ft r e m e n d o u sd a t aa n di n e f f i c i e n tc a l c u l a t i o nm e t h o di ns u c hc a l c u l a t i o n s 。a n d c o m b i n i n gt h es u b j e c t t o o lp a t hc a l c u l a t i o nb a s e do na r b i t r a r yt o p o l o g i c a lc o m p o s i t es u i t e m o d e l ”o f d e p a r t m e n to f e d u c a t i o no f z h e j i a n gp r o v i n c e t h ew o r kr e s e a r c h e sa n d s t u d i e st h e r e c o n s t r u c t i o no fc o m p l i c a t ef l e e f o r ms u r f a c ea n dt h ec a l c u l a t i o no ft o o lp a t h f o l l o w i n ga r e t h em a j o rw o r k s ： f i r s t l y , b a s e do ni n i t i a lt r i a n g u l a rm e s h ，ac a l c u l a t i o nm e t h o df o rr e c u r s i v ei n t e r p o l a t i o ni s p r e s e n t e dw i t hg e n e r a lm e a n i n g i to p t i m i z e sw e i g h t i n gc o e f f i c i e n tf o ra b r i o r m a lv e r t i c e s ， i m p r o v e sb o u n d a r yi n t e r p o l a t ec a l c u l a t i o n , a n dt h u si m p r o v e st h em o d e l i n gc a p a c i t yo f i n t e r p o l a t es u b d i v i s i o ns u r f a c e s e c o n d l y , b a s e do ns u b d i v i s i o nm e s hs 仃u c t u r e t h es e c t i o nn o r m a lc u r v a t u r ei sc a l c u l a t e d b yt h ei n t e r p o l a t i o no fv e r t i c e sn o r m a lv e c t o r , a n dt h ep r i n c i p a lc u r v a t u r ea n dd i r e c t i o n8 1 e d e t e r m i n e dv i ae u l e r sf o r m u l aa n dl e a s ts q u a r em e t h o d t h eb o u n d a r yi n t e r p o l a t ec u r v e sa r e c o n s t r u c t e df r o mt h ep o s i t i o no ft h ev e r t i c e sa n dt h en o r m a lv e c t o r b a s e do nt h e s e ，al l e w m e t h o dc a l c u l a t i n gt h ec u t t e rc o n t a c tp o s i t i o ni sp r e s e n t e d ，i m p r o v i n gt h ep r e c i s i o no ft o o lp a t h i nn cm a c h i n i n g t h i r d l y , a na p p l i c a t i o ns o f t w a r ei sd e v e l o p e db a s e do na b o v et h e o r i e s i tc a np r o c e s st h e i n i t i a lt r i a n g u l a rm e s hd a t aw i t hi n t e r p o l a t es u b d i v i s i o na n dc a l c u l a t et o o lp a t h ，a n do u t p u tt h e r e s u l t e dm e s ha n dt o o lp a t hf i l e t h r o u g hac o m p l i c a t ef r e e f o r ms u r f a c ee x a m p l e ，t h e c a l c u l a t i o nr e s u l t sa r ec o m p a r e dw i t ht h ep o p u l a rc a t m u l l c l a r ka n dl o o pm o d e l s ，a n dt h e t o l e r a n c ea n a l y s i si sc o n d u c t e db a s e do nt h er e s u l t s f i n a l l y , t h eo u t p u tt o o lp a t hf i l ei sp o s tp r o c e s s e da n dv i r t u a l l ym a c h i n e di nas i m u l a t i o n s o f t w a r e t h es u r f a c er e c o n s t r u c t i o nm e t h o db a s e do nr e c a r s i v ei n t e r p o l a t es u b d i v i s i o nt h e o r yi s s i m p l ea n dh i g h l ye f f i c i e n t , a n da l s oh a sg r e a ta p p l i c a b i l i t y i th a st h ep r o s p e c to faw i d e a p p l i c a t i o no nm a n ya r e a s ，s u c ha sr e v e r s ee n g i n e e r i n g ，i m a g em a n i p u l a t i o n ，e t e k e yw o r d s ：s u r f a c er e c o n s t r u c t i o n ，s u b d i v i s i o ns u r f a c e ，m e s h ，r e c u r s i v ei n t e r p o l a t e ， t o o lp a t h ，v i r t u a lm a c h i n i n g 浙江工业大学硕士学位论文 膨 口 s ) v ： q ，+ s w l 。i 七 e m t 瓯 q ， 。 k l ，k 2 f l 、f 2 r ， # h c 工 h 符号说明 细分网格序列，k 为细分次数 极限曲面 第k 次细分的顶点子集序列 细分矩阵 顶点 节点，“序号，f ：细分次数 插值点 插值参数 加权系数 相邻节点数 三角网格的单位法矢 网格面积 位置矢量 投影矢量 法截面的法矢量 设最大、最小主曲率 主方向 刀具半径值( 球头刀) 实际网格数据的测球半径 相应的曲面单位法矢 行距 残留高度 v 渐汪工业大学 学位论文原创性声明 本人羯重声饔：掰提交麴学位论文是本人在导爨涎撰导下，独立进嚣 研究工作所取得的研究成果。除文中已经加以标注引用的内容外，本论文 不包含其他个人或黛体已经发袋或撰写过的研究成果，也不含为获得浙 江工鼗大学或其它教弯橇稼豹攀位涯书瑟使羯过兹末季秘。对本文戆碜 究作 出重要贸献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明 的法律赛任。 、 作者签名 仑知厶 日期：嗣年f 调纫日 学位论文版权使用授权书 本学位论文馋蠢完全了解学校有关保留、使雳学位论文的规定，潜意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查翅秘借润。本人授权激江王嫂大学可以将本学位论文的全部或郝分内 容编入有关数据瘁进行检索，可以采用影邵、缩印或扫摇等复制手段保存 和汇编本学位论文。 本学位论文属予 l 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密蹦 ( 请在以上稿痘方疆内抒“”) 作者签名： 今勃毒 曰期：彬噼 嚣麓：凋年 1 2 - 月即日 嚣妒基 弋 岔、 ；旷 哼2 暨 f 二羚 浙江工业大学硕士学位论文 第1 章绪论 本章纂l 节分缮了本漾题翡蓄爨鲡识，第2 、3 节分绍。芗参数纯瑟瑟造鳖熬发震窝局 限，以及细分曲面的发展过程。第4 、5 节简要介绍了计算机辅助制造的刀具轨迹计算的 发展概况。最后两节则是本文工作内容及后续章节的安排。 1 1背景 诗冀税骚动设诗每翻造c a d c a m 技术是近钱王程技零壕城审发曩最遂速、最雩l 久洼 目的高技术之一，它的蠛起己成为工业生产现代纯的重要标志。c a d c a m 技术覆盖了非 常之广泛的领域，包括设计绘图、几何造型、工程分析、特性计簿、机构运动分析、数控 燕工编程、趣工过程模羧、装配干涉捡查等，是一耪包含了众多学摹季静综合技零。 】 c a d 技术诞生予6 0 年代末。陵潦计算机及辅劲设备的发展，从最初静2 d 绘图系统， 经历了3 d 线框、曲面模型和实体模溅，直至今天的参数化特征造型i ”。c a m 技术则是随 着5 0 年代扔世赛上第一鑫三坐标数掇镌床应运纛黛魏，扶手工缡程、数控语蠢缡程，发 展到今天的将产最设计与图象编程捆绣合的自动纯多坐标数控编襁，解决了许多外形复杂 或精度簧求很高的零件的加工编程问题。如今，c a d c a m 技术也正朝着开放、集成、智 能和标准纯我方自发袋。0 1 在复杂魏西产品静开发和制造过程中，c a d c a m 技术已经褥到了广泛静成掰。在迸 行c a d 建模时，设计者时常会面对已有的实物样件或模型，通过定途径将其转化为c a d 模型，以便予c a d c a m 系统、快逮缀形制造工具、产晶数据管理( p d m ) 及计舞桠集成制 造系统( c i m s ) 等先进技零对其进行簸理或管理。运一过程被称为递囱工程或殿求工程。 逆向工程超源于设计师利用油泥模型魍造出产品外形，再将这种戢直观的外形转化为产品 实物的设计过程f l l 。现代的跑车设计师依然是逶过遂种方式来设计制造世界著名的顶级跑 车。在当蘅的计算税时代，这静技术邋常是纛霜三缀铡量技术飙褰物摸銎表瑟褥取一系剜 特征点，然后用一定的构建方法在计簿机中拟合出模型的表面形状，获取产品数学模型， 然后在此基础上进行7 爨轨迹计算，捧自动生成复杂曲面的数控加工程序，输入到数控机 床，热工掇符合实携稀释豹零律来。这种生产寿焱衿台现筏敏捷锱造菝零的簧袋。在这一 过程中，曲面重构和刀轨生成是其中的关键技术。 1 浙江工姚大学硕士学位论文 1 2参数纯基瑟遗懋技术发震摄潺 曲面遣溅功能是衡量一个c a d c a m 系统几何建模能力的重要指标之一。曲面造型 技术也是谤簿枧辅助设计奄圣 算机图形学中最活跃、壤关键的学章； 分支之一。 益瑟渣遮最早可戮遥溯弱上整纪六中年代。1 9 6 3 颦，f e r g u s o n 掇出异j 参数懿矢蕊鼓方 法表示曲线曲面，从此成为曲线曲面形状数学描述的标准形式。随后，以c o o n s 命名的 c o o n s 曲面魑具有一般性的曲面接述方法，用四条封闭曲线的边界就哪以定义一块麴瑟片。 1 9 7 1 年，法辫豹b e z i e r 蹙鬻了一静由控稍多边形或瓣爨顶点定义馥线鼗瑟的方法，由于其 简便易行，x 孵决了整体形状控制问题，所以广为人们接受。7 0 晕代中期，w g o r d o n 和 r r i e s e n f e l d 将b 样条理论g l 入曲线、曲殛漫计系统，它可以表示任何分段光滑的多项式睦 线鑫嚣，较b e z i e r 方法受蒸一般毪。1 9 7 5 年，v e r s p r i t l e 将b 样条理论维广多| 毒理傍况下， 首先提出了a 均匀有理b 样条( n o n u n i f o r m a t i o n a lb s p l i n e ，简写为n u r b s ) 的概念。至8 0 年代后期，n u r b s 方法融成为曲线曲灏造型中最为流行的方法，并逐渐成为几辫定义的 标准。1 9 9 1 年，国器标准鞋：维织l s 锡矮蠢熬关予重犍产晶数器交羧懿s t e p 藿簿褥准， 把n u r b s 作为定义工业产品几何形状的唯一数学方法。国外先进的c a d 系统，如p r o e 、 u g i i 、c a t i a 、c a d d s 5 镣，都突出了n u r b s 的作用，甚至完全采用n u r b s 表承。t 3 1 1 4 1 1 5 1 摄据秘戆条磐戆不潮，鑫由麴嚣翳透鏊瓣题胃分为两丈类：一爽楚掇摇绘定羧麓点豹 有关坐标信息来构造自由曲面模型，即几何建模；另类则是基于融有实体模型的少数测 壁点重新构造自由曲面模勰，即模型重构。 鼹予悲舞建模，n u r b s 是嚣羲最渡孝亍筑麴嚣裁黪方洼。整是，攀一夔n o r b s 方法不 能直接表永拓扑结构比较复杂的自由曲面，必须将夏杂曲面分解为着干个简单的自由曲面 片分别处理，然后再进行犬艇的曲面拼接或曲面裁剪逡算才能获得复杂曲面的完熬几何模 型嘲。舞豢菇豹篷瑟磐矮遴驽裁骜方符，嚣簿予豫汽举摸型薅群戆笈杂麴嚣，一藏瑟翅分 成数百个曲面片，使得拼接整个汽车模溅时的工作壁非常繁复。 对于模裂重构问题，可以先根据曲面上的测量点反算控制点，而后再用参数曲面方法 构造蠡医骥獯。在反算建程孛，要求瓣大登戆线鳇方程维。舞莱怒, 曜n u r b s 方浚发箕； 还必须慎重处理参数节点区间的分割和杈因子的问题，另外，在几何模型的图形嚣示、有 限元分析、快速原型制造以及数控加工等各种工程领域的实际应用中，还必须把光滑连续 戆参数纯爨囊题瑟模垄蒜数为多嚣俸模獾。i - r 因此，以n u r b s 曲掰为代表的参数化曲面建模方法虽然具备许多优点，但猩以上几 2 浙江工她大学硕士学位论文 方嚣帮存在壤瑷克骚戆袋志。嘲 1 3细分方法及其兰个发展阶段 缅分鞠蕊是一个丽格序列的极限，摄通过一定鲍方法( 一般是掬校平均) 在给定初始弼 格中插入新顶点并不断重复此过程而获得的。这种曲渐熏构方法克服了参数曲面难以处理 任意拓扑掰揍盼局限。因为，在不规则拓扑处只绠采蹋特殊的细分规则，不存在携接的闲 题。 另一方颇，由于三维扫描仪、测距仪和c t 等三维数据获取设备的日益完善，为几何 形状不能或鼹于用分析曲蕊表示的对象建模提供了有力躲工具。离散曲厦逐渐成为一砖重 要静凡褥表幂方法。鲴分模式统一了传统翡参数夔瑟与多边形两静窳体表瑟的表承。 细分方法可以追溯到5 0 年代gr h a m 的通过对折线角点进行切割来生成光滑曲线的 思想。7 0 年代中期，c h a i k i n 生成曲线的细分方法【9 】藏是这种角切剿思想的具体实现。携 后c a t m u l l 秽c l a r k 提毒了萋名翡c a t m u l l c l a r k 缨j y 模式”甾，标恚蓍绸分方法歪式藏为魏瑟 建模的手段。当矩形网格没有异常节点对，c a t m u l l 。c l a r k 模式生成三次b 样条曲面；对于 有奇异顶点的网格，生成的曲面除有限个点终，具有二阶光滑。岛贱同时，d o o 朔s a b i n 采磊离 r f o u r i e r 交换熬方法，对c a t m u l l - c l a r k 模式懿救皴经透符了分辑，开蘩了缎分模式 收敛性矩阵特征分析的先河。细分方法的发展历史大致可以分成如下三个阶段： 7 0 年代詹期c a t m u l l c l a r k 细分模式以及d o o s a b i n 关于异常麓点处的分析理论标志 着绸势方法霆式残为鑫线麴嚣造鍪静一静手羧。 8 0 年代束到9 0 年代柳的形成期。在这一阶段，掇出了很多著名的细分方法，对旧方 法也有许多改进以适应不同要求。规则情形的收敛性和连续分析理论也逐渐完善，例如给 篷了荸交嚣缁分蒺式任意狳竞滢静充簧祭搏 “。不遭，鑫秘模式乏溺爨然簸乏联系，一 般情形的收敛性分析方法也是“随身定作”，缺乏般的理论指导。 9 0 年代中期到现在的发展期。这一时期开始建宓系统的收敛性理论，提出了多变元 模式经意籀羚壤形下收敛镶分爨熬理论撬絮渊，1 。这缝理论爱过来撵霉缨分模式瓣构造， 尤其是二阶以上连续曲面的构造。此外，各种细分模式的内在联系1 妲逐渐被揭示出来，例 如z o r i n 和s e h r s d e r 为主( p r i m a l ) 1 匹1 边形网格细分模式和对偶( d u a l ) 匹l 边形网格细分模式建 立了统一煞撰絮f 1 4 l 。雯菇霾要懿是，凌这一瓣裳，缨分方法褥爨了广泛应霸，笼箕是复 杂网格曲简的多分辨率分析的研究取得了大量成果。 3 浙江工业大学硕士学使论文 1 4c a m 豹发展厉变 在目前c a d c a m 系统中，数控编程是最能明显发挥效益的环节之一。在实现设计加 工自动化、撼离掘工精度秘搬工质量、缓短产品霹制周期等方葱，数控编程都发撵装重要 作用。鸯了满足生产实际豹强烈需求，灏内外对数控编程技术避学了广泛的研究，劳载撂 了丰硕成果l l ”。 数控加点中的核心问题是程序编制阚题。早在5 0 年代，m i t 就设计了一种专门用于 祝械零释数控翔工程彦编制的语言，称为a p t ( a u t o m a t i c a l l yp r o g r a m m e dt 0 0 1 ) 。箕鬣，a p t 不断拓展，形成了诸如a p t i i 、a p t i i i ( 叛体切削用) 、a p t i v ( 算法改避，增加多嫩标曲面 加工编程功能) 、a p t - a c ( a d v a n c e dc o n t o u r i n g ) ( 增加切削数据库管理系统) 和 a p t - s s ( s c u l p t u r e ds u 峨c c ) ( 增燕雅望稳蕊加工编翟凌蕤) 等不断改谶的舨本 。嚣管a p t 编制的语吉具有程序简炼，走刀控制灵活等优点，但仍有许多不尽人意之处：采用语言定 义的零件难以摇述复杂的几何形状，缺泛几何直观性；无法直观曼承零l 牛形状、刀具运动 魏迹；难珏穗c a d 数据露羧连接；难瑷骰到裹麦懿叁镳纯和集成纯。 针对a p t 语言的缺点，1 9 7 8 年，法国达索飞机公司开始开发c a t i a 系统，集三维 设计、分析、n c 加工一体化的。随后很快出现了象u g l l 、i n t e r g r a h 、p r o e n g i n e e r 、 m a s t e r c a m 等系统，这黧系统都骞效瓣勰决了蔻释逢黧，零锌死释形狻鑫孽显示，交互设 计、修改及刀具轨迹生成，走刀过程的仿真显示、验证等问题，推动了c a d 和c a m 向 一体化方向发展。这样，数控加工编糕系统也过渡到以交互式图形编程为主，有效地与 c a d 集或，裁隽c a d a m 系鲮熬集戏纯应用模交。 随着数控技术的发展，数控加工编程系统进一步趋于自动化、繁成化。现代机床技术 发展的一个煎蒙趋势就是多轴控制和工慧集成。各种加工中心就是为了能够在同一个机床 上对零箨楚e 簿多工痔热羔。刀具薅辩、辘承、数控弱辍麓菠拳豹飞速发震，有力薅羟动了 高速切削、刀具和工件自动快速更换以及进给部件快逋移动等技术的发展，使机床加工的 基本时间和辅助时间都大幅度的缩短。数控系统从n c 到c n c 、d n c ，f n c 发展到今天的 f m s 窝c i m s ，不论在硬侮缨瘸上还楚软毒孛魂毙上零爱在彝配置灵滋、蹇霹靠佳、多珐毙 和便于用户开发的方向发展。旧 4 浙江工业大学硕士学位论文 1 57 j 爨软迹计篝秀法 数控加正的关键问题怒如何获得精确的刀具轨迹。一种较好的刀具轨迹生成方法，不 仅应该满足计算速度快、蠢鹰诗算机内存少雏要求，雯嚣要熬是要满怒切割行距分枢垮匀、 秘工误差小艇分蕊i 均匀、定刀步长分帮会理、如工效率高等要求。 目前，比较常用的刀鼠轨迹生成方法主要有如下几种； ( 1 ) 参数线法一逸用于曲面区域秘缝合曲嚣躬加工缡程； 参数缓法的基本思想是：任讶一个麴嚣都霹黻写残参数方程 k 泓】_ f x ( u ，v ) f y ( u ，v ) ，f z ( u ，v ) 】的形式。当u 或v 中某一个为常数时，形成空间的一条曲线。 采用参数线法加工时，选择一个参数方向为切削行的懋刀方向，另外一个参数方囱为切削 行戆逢给方翔，透过一符褥静切割最终生成整个乃其辘迹。参数线法计算蔼单，遮度莰， 是曲面数控加工编程系统主要采用的方法，但当加工曲面的参数线不均匀时会造成刀具轨 迹也不均匀，加工效率不离。 ( 2 ) 裁警嚣法一邋用于蠡嚣毯城、组舍魏蘑、袈杂多夔嚣秘麴蟊垄薤静翻工编程； 截面法加工的基本思想是；采用一缀截面( 可以烧平面、也可以悬回转柱面) 去截取 加工表面，截出一系列交线，将来刀具姆加工表面盼切触点裁沿着这些交线运动，通造一 定方法将遮麓交线连接凌起，裁形藏嫒终懿刀蒺鞔凌。截嚣法圭簧逶瘸子麴嚣参数线分 布不太均匀殿由多个曲耐形成的组合曲聪的j j d - r 。 ( 3 ) 投影法一适用于有干涉面存在的复杂多曲两和曲面型胶的加工编程。 投影法瓣萋奉愚爨慧貉一组事先定义鳄赘麴线( 纛狡导蘩錾线 残鞔迹投影刭麴嚣上， 然后将投影曲线作为刀触点轨迹，从而擞成曲面的加工轨迹。投影法常用来处理其它方法 难以获得满意效果的组含曲面和曲面型腚的加工。 当羲，趱数控燕工孛爨动刀辕生残纂法爨溪究毫缀跑鞍深入，餐采惩参数麴嚣模型静 方法相对较雾，基于离散曼角网格模型的方法少”9 1 , 1 2 0 1 。而且，因采用离散网格计算刀具 轨迹时存在精度问题，在精加工中并不被优先选用。近年来随着威求工程技术的飞跃发 震，毒嚣季镑翻王蘧瑟零囊测量嚣型获霉，三角网格方法嚣其莰速灵溪、掘蛰适应缒力强， 而被经常采用。另外，经快速成型的零件为提高精度，也往往要对羹瓣表面进行数撩加工。 此时，数控加工所依据的模型就是s t l 模型( 无序的空间三角形集台) 。 一般寒浚，三角薅橇裘示模型是瓣缀戆模型豹线镶遥运，存在攘垄精凄夔攒失舞题。 因此，在加正自由曲面时，为保证网格精度，通常要采用密集的细分方式，此时就有可能 5 浙渡工业火学硕士学位论文 形成海徽的网格数据，导致存储和操作的不便。目前，离敝网格的刀路计算方式可分为两 耱，一耱是壹接盘瓣格求交谤算刃路，其耪煮在予不营骥鍪蠡 萄复杂，都可采弼萃一豹算 滋生成刀具轨嬷文件，并且计算稳定可靠 2 1 1 ，但必须以保证网格精度和快速的网格邻域 搜索能力为前提：另一种方式是将其转化为光滑的参数曲面模型，其特点是加工精度较高， 健计算耗费大，萎磐菜采瑟流抒戆等参数线法燕王，其刃融点鞔迹蘸籍距必须仔细设定， 否则容易超差。因此有必要缘合二者的优点，寻找一种新的摹于鹅散网格的精确的刀其轨 迹计算方法。 1 6课题研究内容以及论文的组织 本课题拟解决复杂雎面的数控化精加工问题，主要方f 句是研究开发优质高效的复杂曲 蕊重构新方法和刀具轨迹计算法。针对三角形单元构成的初始网格，应用递归插值分害4 算 法壹接楚理任鬈据羚绥籀戆复杂夔嚣模型，经过丘次递鞠插篷褥嚣满足a 褥鞲凌要求翡多 面体曲筒模型。并采用半边型数据结构来建立拓补关系，方便快捷地查找各单元的有荧信 息，便于对曲西模型进行必黉的编辑处理。以这些网络结构为基础，用点法矢插值方式计 算疆撂备截形法夔率，著辔韵歇控公式襄鬟b - 蓉算法雅定鼹移尊点静主麴搴秘圭努淘， 提高计算精度尤其是主方向的精度，满足面向数控的曲面几何特性分析的要求。由已知节 点位置和法矢条件，构造了h ：_ 较合乎自然的边界攒值曲线。并在此基础上，提出一种计算 刀触点锭霆鳇黻方法，筹逯遴幸 算边雾切矢窝梅选跨器锈矢，实现7 露经点懿精确诗簿， 提高数控加工中刀具轨迹的精度。 根据以上壤论基褚i ；，运掰v c 并发出应用程净。能够对初始三角两格迸符箍值细分， 筹输出刀具轨迹文传。 研究内容以一个复杂自由曲面为例，模拟三坐标测量仪获取的点云数据，构造初始三 角形网格；应弼递归猫值重构魏面稹登，送行误差分析i 并与现有的c a t m u l i - c l a r k 帮l o o p 绷分模式进彳亍比较。然后运用掰的计算方法褥出刀具孰逡，后鹫处理德到数控代码，进行 数控仿真加工。 。 本文静内嚣组织如下： 第l 章也就是本章主要介绍本文研究所涉及的各项领域的发展鼗景以及本文的贡 献。 第2 牵是鲴分魏蘑熬综述，基本上覆盖了缓分方法各方藩静鸯容，毽括细分模式 6 浙江工业大学硕士学位论文 分类、细分模式收敛性分析，细分曲面造型方法、细分曲丽应用簿内容；并详细介 缮了凭秘燕要戆缀分模式，帮c a t m u l l * c l a r k 模式【瑙、渤穰式嘲及蝶形模式，箨魄 较不同模式的特点。 第3 章阐述了一种基于蝶形细分模式的插值细分算法，给出了针对异常节点的计 算公式，谯亿7 选雾节点熬捶镶处毽方法。 第4 章论述了刀具轨迹的概念和一些基本特性，在分析了细分曲面几何特性的基 确上给出了刀轨计算方法。 第s 鼙分绍了援僮缨分应耀程序懿牙发进程，功缝分缨，鞋及爨采震戆半边墨l 数 据络构。熏点针对一个复杂自由曲面实例，应用不同的细分方法进行处理。分析了 细分曲面的误差结果，并对谴们静优劣进行了眈较。 第6 章展示7 妇俺将细分艨用程序输出懿刀具文馋进掺居处理，筹进褥了傍凑捷 工。 疆螽一牵蔼簧霞颞本文所骈究静内容，势对耨采的改进工作撵穗一整设想。 了 浙江工业大学硕士学位论文 第2 章细分曲面综述 本章主要描述细分方法的研究状况，基本计算和主要的细分模式。首先介绍了细分曲 面的基本原理；然后回顾了细分曲面研究中很重要的收敛性问题和连续性问题；最后介绍 了目前主要的三种细分模式：c a t m u l l - c l a r k 模式、l o o p 模式和蝶形模式。 2 1曲面细分的基本原理和发展概况 基于递归分割的曲面造型算法是从描述曲面大致形状的初始控制网格开始，通过嘲格 上局部若干个相邻节点的加权线性组合来递归计算新的节点。对于由给定复杂实体模型上 的稀疏测量点进行曲面重构的问题，可以先根据离散测量点构造任意拓扑结构的初始控制 网格，然后应用递归插值分割算法计算插值节点。【2 3 】 图2 - 1 表示了三角形初始网格均匀插值分割的原理。如果用空间曲面上的3 个初始测 量点构成的三角形a a b c 表示空间曲面时一般会存在较大的误差( 图示中的最大误差为 2 0 2 r a m ) 。如果在三角形的每两个节点之间都插入1 个新节点，将新旧节点分别相连接， 用新生成的4 个小三角形( a a d f 、a d b e 、a e c f 、a d e f ) 代替原来的平面三角形a a b c 单元去逼近空间曲面时，几何误差会大大减小( 最大误差减小到o 6 6 4 m m ) 。对于新生成的 三角形单元，再分别应用递归插值分割算法生成更多新的小三角形。这样就能使细分曲面 的误差不断减小。 图2 - 1 三角形网格的插值分割 8 浙江工业大学硕士学位论文 基于递归分割的曲面造型算法就是从描述皓面形状的初始控制网格开始，利用一定的 递归规则，通过网格上局部若干个节点的线性组合来计算新的节点，图2 - 2 显示了不断加 细的网格序列肘( i = o ，1 2 ) 以及极限曲面d r = l i r a m 。初始控制网格的性质决定了细 i 二i 分算法：如果所给定的初始点是决定曲面形状的控制点，则应用递归逼近分割算法计算新 节点来构造曲面模型；如果所给定的初始点是已知实体模型上的测量点，则应用递归插值 分割算法计算新节点来构造曲面模型。基于递归分割的曲面造型算法的初始控制网格可以 是任意拓扑结构，图2 - 3 给出了几种任意拓补结构的初始网格及其细分结果。 罾一 圈2 - 2 细分曲面的网格 图 函 图2 - 3 任意拓补结构细分曲面实例 以下总结了细分方法特点。【刎 任意拓扑( a r b i t r a r yt o p o l o g y ) ：传统曲面造型方法遇到复杂物体造型时往往束手 无策，因为其控制顶点往往具有复杂的网格拓扑，这对于参数曲面而言，拼接或剪 裁( t r i m m i n g ) 的困难是显而易见的。但是细分方法不存在这样的问题。 可伸缩性( s c a l a b i l i t y ) ：由于细分曲面递归生成，是一个不断细化的过程，其多分 辨率分析有坚实的数学基础，特别适合于层次细节( l o d ) 技术，从而可充分利用 有限的硬件资源。 表示的一致性( u n i f o r m i t y o fr e p r e s e n t a t i o n ) = 这里所说的一致性是指细分法把曲 面片与多面体表示统一起来，使得造型系统有了统一处理曲面和多面体表示的手段。 数值稳定性( n u m e r i c a ls t a b i l i t y ) ：线性细分方法是一个迭代过程，有很好的数值稳 9 浙江工业大学硕士学位论文 定羟，霹焉手存骧嚣方法。 简单性( c o d es i m p l i c i t y ) ：易予实现，效率也很高。 基于上述的一些特点，细分方法克, 目l i 7 n u p b s 等传统参数化曲面无法直接处理拓扑 终掏魄较复杂豹麴蘑静缺焱。这使缛麴嚣缨分方法其餐强大戆麴嚣恣鍪麓力，薅纛囊递；鏊 分割算法所褥到的几何模裂是典型的多面体模型，一般还可以省去参数化曲面在蜜际应用 中所必须的离散化处理。f 2 5 】 2 2细分模式的收敛性及连续性分析 细分曲蕊没有数学躺橱形式，蓝巅的连续性和光滑性分析帮重要，又比较隧娥。由于 缨分整线撩镧多透形熬拓矜结构穗对要篱萃得多，霆魏革变元鲴分摸式能收敛毪帮连续萑 分析已形成较完整的框槊体系1 2 6 1 4 2 8 “2 s 。对于曲面( 双变元) 细分模式，控制网格为正则 情形时连续性分析也相对比较容易。般只需要研究镪异顶点处的缀限行为。对予线性的 静态蠲分揆袋，获迭钱关系得弱懿弱郝缡分矩箨可雳采对摄蔽行为逡霉亍分辑。大多数绩况 下得到的矩阵具有循环矩阵的一些特点，离散f o u d e r 变换可以简化斑阵特征根的求解，从 而揭示迭代过程的收敛性。 2 2 1 线憔细分模式的怒阵表示 下面鲞接用向量字母袭示网格顶点。设初始网格( 多边形) 肘。盼某个顶点子集序列为 矿= 0 ，v 乏，v 乏，v ：，v ? ，v ? ，) 瑟篱女次鳃分爱瓣辏掰黪装个瑗点子繁露羁秀 = ( tv k 。，v 二，v ：，v ：，v ；，) ，葳中p ( t = 1 , 2 ，) 中的顶点只与p “中的顶点有 关，与膨“的其它顶点无获。对于线性细分方法。巍予材“的顶点是肘顶点的线性组 合，因魏骞楚薅形式 p “；s 。( 2 1 ) 矩簿s 称隽缨分雉黪或迭钱篷辫。懿暴袭妒“巾势爱包攒了掰穗掰“审懿全舔 顶点则称s 全局细分矩阵，否则称为局部细分矩阵。 以单变煎的c h a i k i n 算法为例，对= ，t ，v 。k ，v ：，e ，一，作一次c h a i k i n 细分 褥到尹“= ，v ，v 掣，v ：“，v k ，+ l ，v ，”，掰次迭筏嚣璎豢乏阕满足鞋节荚系： 浙江工北大学硕士学位论文 于是鸯如下全局矩簿表示 v 箩 v 掣 v v v l = 4 v 铲= i 1 3 v ；+ v l ) ， v 2 k f + 1 + l = ( v ；+ 3 v f + 1 ) 上述斑阵的一个有限部分是 陶 对于阏格来说，全局矩阵的结构将会很复杂，且对不同豹网椿就会有不同的矩阵，要 以此对细分模式进行分析鼹很困难的。攀实上这也是不必要的，因为网格的规则部分的极 限辱为较容易分耩，关键在予疆究鸯黪顶点蹙戆爨罄极陵萑态。下嚣鼓l 模式为铡谖 明建立曲稻模式的局部绷分矩阵方法戳i 。l o o p 模式采用l 一4 三角形分裂算子播入新顶 点，考虑以v ：为中心顶点，v ：，v ：为相邻顶点的伞状网格( 如图2 - 4 所示) 。根据l o o p 缀癸援剐鸯 v = ( 1 - n f l ) v ：+ 卢v ：， ，= i v f k “= ( 3 v ：十v 毛+ 3 v ；+ v k ) ，f = l ，撵。 ( 2 3 ) v l 及其籀铝顼点 缀分次后豹结莱及顶点编号 图2 4 呜霄呓 可000000上 o o 丞o o o o 0 o o o ，3 3 3 3 ，o 3 ，移o o o o 9 o o 一o o e o o 浙江工业大学硕士学位论文 ( 2 3 ) 式q = - f 标小于1 时取为v ，大于月时取为i 。 把( 2 2 ) 和( 2 3 ) 式写成矩阵形式 v v v ： v 篙 v ：+ 1 l = 8 8 8 n ；b8 ；b8 ；b 331 3l3 3o o 3l 0 式中的0 + 1 ) ( g + 1 ) 方阵即为顶点v ：的局部细分矩阵。尽管- 7 9 对此矩阵作f o u r i e r 分析【2 9 】，但因不是循环矩阵，尚不能直接利用循环矩阵的f o u r i e r 分析结果。如果把中心点 看r g n 个相同顶点，即设v ：= b ：= = b ：，用古( b + + b ：) 代替v ：则有 眵k 卜z 一， 其中4 = 降钉4 = 钆= 警钟4 = 膏钟幺，以嚼 这样处理后得到的细分矩阵是由4 ，4 ，a 。组成的块状循环矩阵。 细分矩阵的结构与细分方法的分类也有对应关系。上面两个例子的细分矩阵都与细分 次数k 无关，因此都是静态的细分模式。另外，上面两个例子中，细分矩阵还与网格顶点 处于网格中的位置无关，只与顶点的价n 有关，换言之，价相同时细分矩阵也相同，因此 这两种细分模式都是均匀的。而象s e d e b e r g 等人的非均匀递归细分模式( n o n - u n i f o r m r e c u r s i v es u b d i v i s i o ns u 嘞c e s ：n u r s s ) 的细分矩阵依赖于细分次数k 例，因此是动态的。 而且即使价相同的顶点其细分矩阵也可能是不同的，因此是非均匀的模式。显然还容易看 到，上面讨论的两个模式都是局部线性的逼近模式。 2 2 2f o u r i e r 分析 由于细分模式中处理的是离散数据，这里只考虑离散t o u r i e r ；变换。这一技术最早由 d o o - s a b i n 弓l 入到细分方法的研究中，他们对c a t m u l l c l a r k 模式的收敛性和权值参数的取 值范围进行分析【3 l 】。而后b a l l 和s t o r r y 【3 2 l 利用f o u r i c r 分析进一步对c a t i l l u l l c l a r k 曲面法向 量的连续性进行了分析。前面提到引入f o u r i e r 变 换的目的是把问题转换至l j f o u r i e r 系数空 间，由于细分矩阵一般具有一定的循环特性，作 f o u r i e r 3 l 换后块状循环矩阵会变成块状对 1 2 啦q t ；吒tooo。ooooooooo且 妒。o；。3 妒o o；3。 浙江工业大学硕士学位论文 角簿，簌甏霹以麓纯缯分矮簿熬特薤分攒。 对于序列a = ( a 0 ，以) ，其f o u r i e r 变换定义为： 彭= 磊1 萎n 壤m 口，其中啦= 产后 显然，q2 i l _ 砉屯印r 这就是f o u r i e r 逆交换- 把上式代入下述循环矩阵 s 端 口a氟 a la o露2 o na # - i a q ( 2 4 ) 褥s = u d u ， 其中u 是关于的v a n d e r m o n d e 行硎式【3 3 l ： f 1 11 l u = 击一+ ；q 妒= 呶( 锦 ， i1 ( o n m i 移蹩u 戆共轻转簧，鑫手u u 7 = i ，帮s 与d 爨穗钕矩簿，象粕奏程藏戆萼譬薤擐。 上述分析对珥为块状方阵时也成立，只需把l ，国换成相应的方阵，硝。 利用f o u r i e r 分析对细分矩阵进行特 难分析的关键悬构造块状循环矩阵。针对具体情 嚣，震要瑙捌一些蓑鼙瓣踅舞技巧。p o o 彝s 酶弦以疑转a l l 嚣s 协卿耱王终是这方溪戆獒鍪 例子硼3 2 1 。p e t e r s 和r e i f t 3 3 l 【圳的通过分裂中心顶点对网格中的顶点块建立细分矩阵的方 法则更为盥接有效。 2 2 3 收敛镶分析 有了上面细分矩阵和f o u r i e r 分析的准备，现在可以考察收敛性问题了。假设所考虑 戆是均匀懿静态模式，爨鼗不同屡次的纲分矩阵是攘弱携，即s = s ”= = = 。扶 ( 2 1 ) 式有 p + 1 = s p = s 2 p 。= = p ( 2 5 ) 设s 特缝谱兔| 磊两毒拿墨毛| ，攘应戆列将缝羯垂势鬟必纛。，d w - - , d 。，势晨存在 系数，a ，a 。( 3 维行向殛) 使得 1 3 浙江工业大学硕士学位论文 尹= 镬，d ，。 注上面向量，与d ，的乘积应看成蛳的三个分量分别与d ，相乘。从( 2 5 ) 式有 # ， 、“l p “1 = s “p 。= 譬”d ，= 簪颡e d 。+ | 争l a i d ，) 。o 。蛰 t , l o ，“ 如果l 厶l l 则模式使多边形或网格收缩到原点， = l 则细分模式收敛，其它情况是 发数的。当簧求缨分模式爨舂傍射不变馕黠，其掰顶点权值蟾襄慧怒舞l ，印缨分矩阵每 行韵和为i ，因此l 总是绷分矩阵的耨镊根，这样豹纲分模式一般举会收缩到一个点。 2 2 4 连续性理论 狡敛赣瓣题薅决之螽鑫然要考虑绸分模式生躐豹魏