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硕士学位论文 跨中带裂纹三点弯曲梁动态应力强度因子的权函数法研究 摘要 权函数方法简化了应力强度因子的求解过程，权函数的一个重要特征是其仅取决 于裂纹体的几何特征，如果已知裂纹体的权函数可以求解任何载荷作用下的应力强度 因子。发展经济、简单的方法，在工程上解决复杂的裂纹问题具有很好的应用前景。 本文采用权函数方法研究三点弯曲裂纹( 张开型) 梁在冲击载荷下的动态应力强 度因子，首先选用均布载荷和线性分布载荷作为两种参考载荷，由它们作用下的应力 强度因子，得到了带边裂纹梁的权函数；然后，根据振动理论推导出无裂纹梁的动应 力响应，最后由权函数的思想导出动态应力强度因子公式，并且研究动态应力强度因 子的随裂缝长度变化规律性。 为了便于比较本文公式的准确性，同时采用a n s y s 软件进行了有限元数值计算。 在二维模型中，分别建立了三点弯曲梁的有限元分析模型。针对不同的三点弯曲试样 尺寸，分别进行数值计算，得到各自的裂纹张开位移。在不同时刻的应力强度因子与 裂纹张开位移之间的关系可以通过计算得到。并把两种数值计算结果进行对比表明， 本文建立的动应力强度因子方法是一种计算精度较好的简便的方法。 载荷加载速率对动态应力强度因子的影响很大。基于目前的研究，本文还深入研 究材料断裂的动态应力强度因子同加载速率之间的关系。编制了计算程序，计算了几 i 个实例。 关键词：裂纹，动态应力强度因子，权函数法，三点弯曲梁 a b s t r a c t 硕二l 二论文 a b s t r a c t w e i g h tf u n c t i o nm e t h o ds i m p l i f i e sc o n s i d e r a b l yt h ep r o c e s so fs o l v i n gf o rs t r e s s i n t e n s i t yf a c t o r s t h ei m p o r t a n tf e a t u r eo f t h ew e i g h tf u n c t i o ni st h a ti td e p e n d so n l yo n t h eg e o m e t r yo ft h ec r a c k e db o d y i ft h ew e i g h tf u n c t i o ni sk n o w nf o rag i v e nc r a c k e d b o d y , t h es t r e s si n t e n s i t yf a c t o rd u et oa n yl o a ds y s t e ma p p l i e dt ot h a tb o d yc a nb e d e t e r m i n e db yu s i n gt h es a m ew e i g h t f u n c t i o n d e v e l o p i n gas i m p l ea n de f f i c i e n t m e t h o dc a nb ea p p l i e dt om a n yc o m p l e xe n g i n e e r i n gi s s u e s i nt h i st h e s i s ，an e wm e t h o di sp r e s e n t e dt oc a l c u l a t et h ed y n a m i cs t r e s si n t e n s i t y f a c t o r so ft h et h r e e - p o i n tb e n d i n gb e a m 、析lt h es p r e a d i n g - o p e nt y p ec r a c k f i r s t l y , t h e e q u a t i o n sf o rs t r e s si n t e n s i t yf a c t o r su n d e rt w or e f e r e n c el o a d i n gc o n d i t i o n sa r ea p p l i e d o n ，a n dw e i g h tf u n c t i o nf o rb e a mc o n t a i n i n ga ne d g ec r a c kc a l lb ew o r k e do u t s e c o n d l y , t h eh i s t o r ya n dd i s t r i b u t i o no fd y n a m i cs t r e s s e si nt h et h r e e p o i n tb e n d i n g b e a ma r ed e r i v e db yv i b r a t i o na n a l y s i s f i n a l l y , t h ed y n a m i cs t r e s si n t e n s i t yf a c t o r s e q u a t i o n sf o rb e a m 、杭ma ne d g ec r a c ks u b j e c t e dt oi m p u l s i v el o a da r eg i v e n i n d y n a m i cw e i g h tf u n c t i o nm e t h o d a n dt h el a wo ft h es t r e s si n t e n s i t yf a c t o ri sg o tw h e n i tc h a n g e s 、i t ht h ec r a c kl e n 垂h i no r d e rt ob ev e r i f i e de a s i l y , t h en u m e r i c a lc o m p u t a t i o ni sc a r r i e do u tw i t l l a n s y ss o f t w a r ea tt h es a m et i m e at w od i m e n s i o n a lf i n l t ee l e m e n ta n a l y s i so f t h r e e p o i n tb e n d i n gb e a mb a s e do nf e m h a sb e e nc a r r i e do u ts t u d yt h ed y n a m i cs t r e s s i n t e n s i t yf a c t o r s t h em o d e lo ft h r e e - p o i n tb e n d i n gs a m p l ei sb u i l tt og e tt h ec r a c k o p e n i n gd i s p l a c e m e n to fd i f f e r e n ts a m p l ed i m e n s i o n t h ed y n a m i cs t r e s si n t e n s i t y f a c t o rc a nb ec a l c u l a t e df r o mt h ec r a c ko p e n i n gd i s p l a c e m e n tb yf e ma td i f f e r e n tt i m e t h er e s u l t so fd y n a m i cw e i g h tf u n c t i o na n a l y s i si n d i c a t et h a tt h ep r e c i s i o no ft h e d y n a m i cs t r e s si n t e n s i t yf a c t o ri ss a t i s f a c t o r ya n dt h i sm e t h o dc a ns i m p l i f yc a l c u l a t i o n m o r e o v e r , l o a d i n gr a t eh a v eag r e a ti m p a c to nt h ed y n a m i cs t r e s si n t e n s i t yf a c t o r s w ew i l ld e v e l o pa ni n d e p t hs t u d yo ft h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ed y n a m i cs t r e s s i n t e n s i t yf a c t o r sa n dl o a d i n gr a t eb a s e do nc u r r e n tr e s e a r c h c o m p u t e rp r o g r a m sa r e e d i t e d ，s e v e r a le x a m p l e sa r ec o m p u t e d k e yw o r d s ：c r a c k s ，t h ed y n a m i cs t r e s si n t e n s i t yf a c t o r s ，w e i g h tf u n c t i o nm e t h o d ，t h e t h r e e p o i n tb e n d i n gb e a m i i 声明户日i 刃 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在本 学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发表或 公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学历而使 用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均己在论文 中作了明确的说明。 研究生签名：燧2 ，匆年矿f 月圹日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅或 上网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送交并 授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对于保密 论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名：莹焦篁 2 ，声年。f 月班日 硕士学位论文跨中带裂纹三点弯曲梁动态应力强度因子的权函数法研究 1 绪论 1 1 引言 随着生产技术的提高，新工艺、新材料的工件在工程中应用，而构件往往处 于高温、高压、高速的环境中，其结构也越来越大型化且变得复杂。部分符合经 典强度理论和常规设计方法设计、制造也经过严格审查达到标准，以及材料常规 性能满足条件的构件，也会引起很多重大事故的产生。例如，1 9 6 5 年美国著名的 2 6 0 s l 1 固体火箭发动机压力壳在水压试验时发生脆断，断裂时应力为6 5 7 m p a ， 而所用材料1 8 n i c o m o t i 的屈服应力为1 7 1 6 2 m p a ，根据大量探索调查，发生这 些事故大多因结构中存在缺陷甚至是裂纹。构件制作生产各流程中出现的微裂纹、 微裂隙，它们在外部条件的作用下会生长、汇合形成宏观裂纹。宏观裂纹不断延 伸，导致构件的强度持续下降，结果失去承载能力，构件彻底损坏。 断裂力学的研究对象是有缺陷的结构和材料，分析其力学行为的学科，由于 它在新兴行业中拥有良好的应用前景，自5 0 年代起断裂力学发展为- i 1 独立的研 究领域，正广泛地应用于航空、航天、能源、交通、材料科学及外科医学等领域。 在防止事故破坏、保护人员财产安全及充分发挥材料及结构的潜力等方面所带来 大量的经济效益已被世界各国所一致认同【l 】。 断裂力学的任务【2 j 有一下几方面： 1 分析带裂纹体的应力场、应变场和位移场，得出与材料开裂有关的参量； 2 分析材料承受裂纹扩展的能力即韧性指标的变化情况，准确得出其数值和 测定方法； 3 构件裂纹扩展的临界条件即断裂准则； 4 通过对不同含裂纹的各种几何构件的加载，从而有效掌握对材料开裂的物 理参量的计算。 由于在加工、装配的过程中，造成构件疲劳形成裂纹或缺陷，局部的应力集 中区域所产生的应力峰值甚至达到平均应力的数倍，因此造成构件的强度减小， 甚至导致结构失效，这样带来的严重危害，对结构的安全使用存在隐患。常常需 要对构件断裂和疲劳情况进行研究，保证其能够在承载能力范围内得到安全使用。 1 2 断裂力学的一些基本概念 1 2 1 裂纹三种基本类型 对于线弹性体材料，由裂纹面的受力和断裂特征情况，裂纹类型可以分为以 1 绪论 硕七学位论文 下三种情况【3 】：i 型( 张开型) ，i i 型( 滑开型) ，i 型( 撕开型) 。 i 型裂纹，外加拉应力垂直作用在裂纹面，裂纹张开扩展，扩展方向与原裂 纹方向一致。 图1 1i 型( 张开型) i i 型裂纹，沿平行于裂纹方向施加剪应力，裂纹滑开扩展，裂纹扩展与原裂 纹方向成某一角度，又称作面内剪切型裂纹。 2 卜一 图1 2i i 型( 滑开型) i i i 型裂纹，施加的剪切应力使上、下裂纹面错开，裂纹扩展方向沿原裂纹方 硕上学位论文跨中带裂纹三点弯曲梁动态应力强度因子的权函数法研究 向，又称作平面剪切型裂纹。 图1 3 型( 撕开型) 在以上所述的三种裂纹中，i 型裂纹最为危斛2 1 。 1 2 2 应力强度因子的概念 如果能够求解出精度较高裂纹体的应力强度因子是掌握应用线弹性断裂力学 理论的关键。应力强度因子是一个关于裂纹端部应力场强度的度量，对于带裂纹 的构件来说，应力强度因子是其承载能力的重要表征【2 1 。 应力强度因子具有物理、工程应用和数学定量等多方面的意义。 就应力强度因子的物理意义而言，它有以下两个方面： ( 1 ) 应力强度因子反映了线弹性体与准线弹性体裂纹尖端处关于应力场、应 变场和位移场强弱程度的参量。在裂纹尖端近， 图2 2 ( a ) 参考载荷一 ( 2 2 2 5 ) ( 2 2 2 6 ) ( 2 2 2 7 ) ( 2 2 2 8 ) ( 2 2 2 9 ) ( 2 2 2 1 0 ) ( 2 2 2 1 1 ) ( 2 2 2 1 2 ) 1 3 2 跨中带裂纹的三点弯曲梁的权函数硕士学位论文 仉函 习l 莎 - _ lp d b 图2 2 ( b ) 参考载荷二 在参考载荷二作用下裂纹尖端的应力强度因子为4 2 】： k ，：= f 石i 式中，修正系数f 为 f = 2 2 一- 4 。( 参) + 7 3 3 ( 参 2 一3 。8 ( 参) 3 + 4 。( 芳) 4 ( 2 2 2 1 3 ) ( 2 2 2 1 4 ) 代入式( 2 2 2 1 3 ) ，得 如砜矗( 1 1 2 2 a i 2 - 1 形_ _ 4 _ 4 扩+ 簪扩一等口7 2 + 矿1 4 0 扩) ( 2 2 2 1 5 ) 础瓦( 2 2 2 3 ) 代八瓦l 2 1 1 ) ，伺 k ，2 _ r 办( 口，x 皿 = “，一甜机皿 = r 乃g ，x 协一吾c r o r x 而o ，x 域 = h 砸，枷+ 谚2 时r ( 口一曲如枷一谚2 。订f 如枷 上式中可2 0 - o ，r q x ) 办g ，x ) d x = 鲁层心一矿+ 万m 1 + _ 3 ( 口叫t 筹g 叫2 r ( 口二x ) v 2 出= 一；( 口一x ) 3 2 l ：= ；口3 2 f ( a - x 边= 一兰g 刮：= 1 2 口2 f a - x ) 纠2 出= 一詈( 口一x ) 5 2 i ：= ；口5 2 1 4 ( 2 2 2 1 6 ) ( 2 2 2 1 7 ) ( 2 2 2 1 8 ) ( 2 2 2 1 9 ) ( 2 2 2 2 0 ) 硕上学位论文 跨中带裂纹三点弯曲梁动态应力强度因子的权函数法研究 f ( o - x ) 2 出= 一；( 口一x ) 3 l ：= 吾口3 代入式( 2 2 2 1 6 ) 得 “= 亨( 一等) 4 厄+ m 。厄+ 等- 石 砌。席扩+ 等瓮筹爿 ( 2 2 2 2 1 ) = 后呱 ( 1 _ 参) 4 石+ 器彬2 + ”仨q ( 1 - 等) f + 譬 + 鸠层 ( - 一等) 誓+ 嘉2 即, 7 ( 1 1 2 a v ：0 形2 3 1 ：+ 等扩一等扩+ 等扩) a 2 = ( ，一珈石+ 盖叫 驴黜，一甜石+ 爿 g = 仨 ( 一劳) 孚+ 万2 2 弘石+ ( 1 1 2 2 a v 2 - 1 矿4 扩+ 簪扩一笋儿害扩) 则式( 2 2 2 1 2 ) 、( 2 2 2 2 2 ) 表示为 ( 2 2 2 2 2 ) 1 5 析 石 厄丁层层层 = = = 么 b c 取 历历 = i i 坞坞 q q + + m m 西历 + 4 如 r(【 2 跨中带裂纹的三点弯曲粱的权函数 硕士学位论文 联立式( 2 2 2 1 2 ) 和式( 2 2 2 2 2 ) ，司。得 m ：坠二兰! ! ：! ! 二坠二尘! ! ； b i c 2 一b 2 c l m 2 = 3 m ，：! 垒二生! ：垦二! 垒二丝! ：刍 。 召2 c l b 1 c 2 代入式( 2 2 2 3 ) 得相应的权函数形式 m = 后卜叫叫2 + 万m 1 + ：3 g 叫牡+ 务( 口一叫 2 3 计算算例以及与边界配置法的比较 2 3 1 边界配置法 边界配置法是一种求解二维裂纹问题的近似数值计算方法。对含边缘裂纹板 尤为方便。对于裂纹分布复杂或有限板的情况，难以选择能全部边界条件和满足 控制方程的函数，于是就寻找近似解法。边界配置法的思路是选择满足裂纹表面 边界条件和控制方程的函数，该函数在其余边界上仅需满足有限个点的条件，而 不是满足这些边界条件上所有点的条件，从而得到近似解【2 1 。 边界配置法是计算二维有限体裂纹应力强度因子的常用方法，对含边缘裂纹 板尤为方便。此方法的基本原理女n t t 4 3 】： 弹性理论平面问题在极坐标系中的应力函数伊应该满足如下双调和方程 f 等+ 7 l 菇a 1 a 2 2 删 采用分离变量法以及如下裂纹表面边界条件( 见图2 3 ( a ) ) 口= 0 ，f 柑= 0 ， 口= 万 可得应力函数矽的级数表达式如下： 伊，p ) 二妻n = l ，；“c p ) = 喜c 。，；+ 1 c 。s ( 三一) e + o nc o s ( 三一) 臼) + 喜以，争1 s t n ( 三一) 乡+ 尾s m ( 三一) p ) + 仍 c 2 3 ， 式中，仍是不影响应力分布的如下线形函数 仍= 厶+ 砂+ c = ，0 c o s 0 + b s i n 0 ) + c 1 6 硕士学位论文 跨中带裂纹三点弯曲梁动态应力强度因子的权函数法研究 将( 2 3 1 1 ) 式代入( 2 3 1 2 ) 式即得到含边缘裂纹板的应力分量的级数表达式。 由( 2 3 1 1 ) 式与( 2 3 1 2 ) 式容易看出，当，专0 时，应力级数表达式中n = l 的项 趋向无限大。故该项代表奇异项并在裂纹尖端附近起决定性作用。令 k i = q 瓜k u = d l 历 ( 2 3 1 3 ) 则应力分量的奇异项具有如下形式 咿击盯：p ) + 丽k i i 盯：u p ) 旷去盯：p ) + 击t p ) = 面k if 名p ) + 丽k i i f 二p ) ( 2 3 1 4 ) 式中，仃：p ) ，f 柑u p ) 为秒的己知函数。含k 。与墨i 。的项分别产生对称与 反对称应力场，分别称为i 型与i i 型应力强度因子，由边界配位法决定。 边界配位法的基本步骤如下： ( 1 ) 在q o 的表达式( 2 3 1 1 ) 的和式中选前n 项，共有2 n + 3 个未知数叫个岛与 磊和么，b ，o ； ( 2 ) 在板边界上配置一个起点a 与n 个终点b ，玩，, b n 并在点a 与b n 间 列出2 n 个合力与合力矩形式静力边界条件如下 等i 圾= 一，= m 如， g = 1 ，) 以及以下3 个辅助简化条件 氧= 缸一o ，纨= 。 在( 2 3 1 5 a ) 式中，y 是边界任意点外法线方向的坐标；r 峨是边界上由点a 至 点b n 外力主向量在b 。切线方向的向量；而m 凡则为该段上外力对玩的主矩， 1 7 2 跨中带裂纹的三点弯曲梁的权函数硕士学位论文 如图2 3 ( b ) 所示； r i | | 一 i 一 图2 3 ( a ) 边界配置法 v 图2 3 ( b ) 边界配置法 ( 3 ) 将( 2 3 1 1 ) 式代入( 2 3 1 5 a ) 式与( 2 3 1 5 b ) 式，即可得到包含2 n + 3 个待定常 数的2 n + 3 个方程式。求解此方程组，即可得到以上常数并由( 2 3 1 3 ) 式得 ：到应力强度因子k 。与k u 。n 的选取以结果收敛为准。 边界配置法的优点是计算简单方便，节省计算时间。在工程上适用于多种图 形平面裂纹问题。这种方法的缺点是： 1 8 硕士学位论文跨中带裂纹三点弯曲梁动态应力强度因子的权函数法研究 ( 1 ) 不能适用于具有比较复杂几何形状的构件与复杂分布状态的载荷； ( 2 ) 不能给出配置边界点的指导原则； ( 3 ) 收敛性得不到证明。 为了对本文的权函数解的准确性进行评定。本节对l w = 4 和l w 车1 0 的两 种三点弯曲试样，在静载凡作用下，与精度较高的边界配置法推导出应力强度因 子进行对比，边界配置法推导出应力强度因子为4 2 州： k = 茄 2 捌“2 4 引2 吼捌纠2 川捌 2 瑚捌吖2 旺3 6 ， 式中b 为梁的厚度o 2 3 2 权函数法应用算例 静载作用下，根据图2 4 中的坐标系，梁中间截面上应力为： 盯：尘型眨3 2 。) 4 1 、。 代入式( 2 2 2 2 4 ) 中，用权函数法得到静载作用应力强度因子： k = 等层p 2 必+ 昙心+ 料峨+ 圭m + 三必邵1m ) 旺3 2 2 ， 篓t n - - 密度p = 7 8 0 0 k g m 3 ，弹性模i r e = 2 0 0 x 1 0 9 p o ，跨度为l w = 4 的标准 三点弯曲试样，在跨度中间的集中力f o = 1 0 k n ，厚度b = 0 0 7 m ，梁的长度 算例- - 密度、弹性模量同上，跨度为l w = 1 0 的弯曲试样，在跨度中间的集中 力f o = 1 0 k n ，厚度b = 0 0 4 m ，梁的长度l = i 2 m 。 2 3 3 结果分析 经过计算，在裂纹长度a 与梁高度的比值取不同数值的情况下分别用以上两 1 9 2 跨中带裂纹的三点弯曲梁的权函数 硕士学位论文 种算法得出三点弯曲梁的应力强度因子并进行比较，如图2 5 所示。这表明本文的 应力强度因子公式同边界配置中数据符合情况良好，本文的权函数方法导出的三 点弯曲梁应力强度因子公式具有较好的精度。表2 1 为分别用本文结论和边界配置 法得到的梁在静载作用下裂纹尖端应力强度因子。从表2 1 所列出的结果可以看出， 当梁的长宽一定时，裂纹尖端的应力强度因子随裂纹的长度增加而增加。 表2 1 ( a ) l w = 4 裂纹尖端应力强度因子两种算法的比较 a 删0 1 0 20 30 40 50 60 7 权函数法( p a m v 2 ) 9 1 5 e 5 1 3 1 e 61 7 0 e 62 2 0 e 62 9 3 e 64 1 0 e 66 0 5 e 6 表2 1 ( b ) l 、= 1 0 裂纹尖端应力强度因子两种算法的比较 q 霹 3 0 0 0 0 0 0 汀 - - i i - - 本文结果 图2 5 ( a ) l w = 4 两种算法中a w - 与k 。的关系 果 一 一 一 一 1 。 硕士学位论文 跨中带裂纹三点弯曲梁动态应力强度因子的权函数法研究 4 5 0 0 0 0 0 d 4 0 舢 3 5 0 0 0 ) 0 3 0 0 0 壑2 5 0 0 0 0 冬 逞2 0 0 0 0 0 0 0 迎 1 5 0 0 舢 1 0 0 0 0 0 0 哪 0 2 4 本章小结 + 本文结果 0 00 10 20 3o 40 50 60 7 扪 图2 5 ( b ) l w = 1 0 两种算法中a r r - 与k 。的关系 结果 本章首先介绍了权函数法的基本原理，然后根据两种参考应力强度因子推导 出跨中带裂纹三点弯曲梁权函数公式，为下面计算在动态应力条件下的动态应力 强度因子计算打下了理论基础。并通过与边界配置方法进行比较，以评估本文推 导出的梁的权函数公式的精度。分析和算例表明，该方法可准确、有效地计算梁 裂纹在各种应力条件下的应力强度因子。 3 动态应力强度因子的权函数方法 硕士学位论文 3 动态应力强度因子的权函数方法 3 1 动态应力强度因子的权函数方法简介 根据前面章节提到的权函数理论， 成如下形式【4 5 1 ： k l a ( a ，f ) = r o ) 办g ，x 协 三点弯曲梁的动态应力强度因子可以表示 ( 3 1 1 ) 其中o ) 表示冲击载荷下无裂纹梁动应力的响应历程和分布规律。如果能够 确定任何冲击载荷下无裂纹梁动应力o a o ) ，再利用本文中所得到的三点弯曲梁的 权函数；代入到式( 3 1 1 ) 中，则跨中带裂纹三点弯曲梁裂纹尖端的动态应力强 度因子即可确定。 3 2 无裂纹三点弯曲梁在冲击载荷下的动态响应 3 2 1 梁的弯曲振动m 1 下面讨论的梁的弯曲振动限于这样的条件：梁的截面的中心轴在同一平面内， 且在此平面内作弯曲振动，在振动过程中仍应用平面假设，不计剪切变形和转动 惯量的影响；同时与横向位移相比，截面绕中心轴的转动可以忽略不计。 以缈( x ，f ) 表示梁的得横向位移，它是截面位置x 和时间f 的二元函数，以( x ，f ) 表示作用于梁上的单位长度的横向力。系统的参数是单位体积质量为p ( x ) ，横截 面积a ( x ) ，弯曲刚度日( x ) ，这里e 是弹性模量，( x ) 表示在横截面上垂直于x 枷 轴并且通过形心的轴的惯性矩，如图3 1 ( a ) 所示。取微段出，如图3 1 ( b ) 所示，用 q ( x ，f ) 表示剪切力，m ( x ，f ) 表示弯矩。 图3 1 ( a ) 梁的载荷分布示意图 硕士学位论文跨中带裂纹三点弯曲梁动态应力强度因子的权函数法研究 铅垂少方向的运动方程为 p ( x ) a ( x ) d x 0 2 器t 2 x t ) o t = q 一( q + 挈o x 叫+ 厂妇协 简化后得 p g ) 警+ 瓦o q = f ( x ，f ) 由于忽略截面转动的影响，微段的转动方程为 ( m + 尝寸m i q + 罢寸瓜f 协害= 。 略去包含出的二次项，方程( 3 2 1 3 ) 简化为 d ：丝 代入方程( 3 2 1 2 ) 得 p g ) 窘+ 可0 2 m = i ( x ，于) ( 3 2 1 1 ) ( 3 2 1 2 ) ( 3 2 1 3 ) ( 3 2 1 4 ) ( 3 2 1 5 ) 在整个区间中必须满足上式。由材料力学知弯矩和挠度有如下关系 m g ，f ) ：e i ( x ) a 2 y ( x , t )( 3 2 1 6 ) o x 。 将式( 3 2 1 6 ) 代入方程( 3 2 1 5 ) 得 p ( x ) a ( x ) 0 2 尝t 2 x t ) + 萨0 2 可0 2 y ( x , t ) 卜力 ( 3 2 1 7 ) 3 动态应力强度因子的权函数方法 硕士学位论文 这就是梁横向振动的偏微分方向，其中包含四阶空间导数和二阶时间导数。然后 进行求解，又分别己知两个初始条件和四个边界条件。由材料力学知识可知铰支 端的边界条件是： y g ，f ) ：o ， 日g ) 冬掣：o ( x = o 或x ：三) ( 3 2 1 8 ) 其中对位移和转角的约束为几何边界条件，对剪力和弯矩的约束为力的边界 条件。另外，也有一些其他情况的边界条件，例如端点处弹簧支承或集中质量等。 如果厂( x ，f ) = 0 ，即为梁的自由振动的对应的偏微分方程为 p g ) 掣+ 萨0 2 卜，可0 2 y ( x , t ) - o ( 3 2 1 9 ) 此时方程( 3 2 1 9 ) 的解在空间和时间上是分开的，令 y ( x ，t ) - - r ( x ) f ( t ) 将式( 3 2 1 1 0 ) 代入方程( 3 2 1 9 ) ，同前面波动方程的讨论一样，可得 掣耐f o ) = 。 筹掣卜以n 眺脚湫赳， 根据前面的分析，方程( 3 2 1 1 1 ) 的通解为简谐函数 f g ) = 彳s i n 耐+ b c o s 研= c s i n g 劈+ 9 ) 式中，彳和b 为积分常数，由两个初始条件确定。通过解方程( 3 2 1 1 2 ) 可以得到 振型函数的一般表达式，这里振型函数】，g ) 必须满足相应的边界条件。把方程 ( 3 2 1 1 0 ) 代入方程( 3 2 1 8 ) ，并消去依赖时间的函数，便得到边界条件为铰支 端的振型函数： y 啪? g ) 掣= 。晤。或h ) 若单位体积质量p g ) = p = 常数，横截面积彳g ) = 彳= 常数， 轴的惯性矩，g ) = ，= 常数，则方程( 3 2 1 1 2 冀化为 掣y g ) = 。 式中 2 4 横截面对中心主 硕上学位论文跨中带裂纹三点弯曲梁动态应力强度冈予的权函数法研究 肚鲁 方程( 3 2 1 1 5 ) 是一个四阶常系数线性常微分方程。设其解为 】，g ) = g “ 代入方程( 3 2 1 1 5 ) 得特征方程 s 4 一b 。= 0 四个特征根为 q 。2 = f l ，s 3 ，4 = 泸 故方程( 3 2 1 1 5 ) 的解为 】，g ) = d 1 p 摩+ d 2 e 一压+ d 3 p 忸+ d 4 e 唯 因为 亡西= c h p x s h 犀x 。e t 西= c o sb x + s i nb x 可将上述改写为 r ( x ) - c , s i n f l x + c 2c o s f l x + g s h f l x + g c h f l x 这就是梁振动的振型函数，其中o ，q ，o ，a 为积分常数及导出特征方程，从 而确定梁弯曲振动的固有频率缈和振型函数r ( x ) 。 将式( 3 2 1 2 2 ) 和式( 3 2 1 1 3 ) 代回式( 3 2 1 1 0 ) ，即得等截面均质梁的固 有振动为 y b 爹) = ( c ls i n f l x + c 2 c o s f l x + c 3 s h f l x + c 4 c h f l x x a s i n c o t + b c o s c o t ) ( | 3 2 1 2 3 ) 或者写为 y ( x ，f ) = ( c ls i n f l x + c 2c o s f l x + g s h f l x + c 4 c h f l x ) s i n ( c o t + 缈) ( 3 2 1 2 4 ) 式中有c ，c 2 ，g ，c 4 ，国和够六个待定常数。因为梁每个端点有两个边界条件， 共有四个边界条件，加上两个振动初始条件，恰好可以决定六个未知数。 3 2 2 简支梁固有频率和固有振型1 4 6 1 现在讨论等截面均质梁弯曲振动的固有频率和固有振型。 简支梁的边界条件为 y ( o ) - 0 ，掣_ 0 ，y 乜) _ o ，掣= 。 将第一组边界条件代入式( 3 2 1 2 2 ) 及其二阶导数，得 2 5 3 动态应力强度因子的权函数方法 硕士学位论文 c 2 = c 4 = 0 又将第二组边界条件代入式( 3 2 1 2 2 ) 及其二阶导数，得 c 1 ，s i n 肛+ c 3 s h i l l = 0 一qs i n 肚+ c 3 s h i l l = 0 因为当肚0 时，s 办肛0 ，故得 c 3 = 0 于是，特征方程为 s i n i l l = 0 ( 3 2 2 1 ) 它的根为 i l r l = ，万 = l ，2 ，) 由此得特征值为 n r 冗 所2 了 l = l ，2 ，) ( 3 2 2 2 ) 与此相应的固有频率为 一r 。一 驴等懵，2 ，) ( 3 2 2 3 2 ) 相应的振型函数为 r r ( x ) = c , rs i n p r x = c l rs i n 罕o = 1 2 ) ( 3 224 ) 因为振型只确定系统中各点振幅的相对值，不能唯一地确定幅值的大小，故其表 达式无需再带常数因子，则其振型函数表达式为 r x x ) ：s i n 罕( ，：1 ，2 ，) ( 3 2 2 5 ) 3 2 3 振型叠加法1 4 6 i 利用系统的振型矩阵进行坐标变换，可以将系统相互耦合的物理坐标运动方 程变换成解耦的固有坐标运动方程，从而使多自由度系统的响应分析问题按多个 单自由度的问题分别来处理。也可以将类似的分析工程来计算系统的响应应用于 具有无限多个自由度。通过振型函数的级数形式来表示连续系统的位移，再有正 交性可知，把系统原来物理坐标的偏微分方程转变为一系列固有坐标的二阶常微 分方程组。这样，就可以把问题作为一系列的单自由度来处理了，从而非常方便 地求得系统对初始激励、外部激励或既有激励又有外部激励的响应。 式( 3 2 1 7 ) 中梁弯曲振动的微分方程的全解由两部分组成：一部分是齐次方 程的通解，相当于自由振动的解，一旦给定初始条件，立刻可解出相应的响应； 硕上学位论文 跨中带裂纹三点弯曲梁动态应力强度因子的权函数法研究 还有一部分是对应于非齐次项的特解，在给定激励函数厂b ，) 后，即可解出激励的 响应。 设在给出的边界条件下的固有频率为国，对应的振型函数为r g ) ，引进正则 坐标g ，o ) ，由振型叠加法，可将方程( 3 2 1 7 ) 和给定边界条件的解y ，力转化为 y g ，f ) = r g b ，o ) r = l 将式( 3 2 3 1 ) 代入方程( 3 2 1 7 ) ，得 弘以m 喜嘉m 掣p 矶力 2 3 2 ， 方程( 3 2 3 2 ) 两边同时乘以e g ) ，在整个区间( o x 三) 内积分，并考虑正交条 件，得到独立的常微分方程组为 。 虿，( t ) + f 0 2 r q ，o ) = q o ) = 1 ，2 ，) ( 3 2 3 3 ) 式中 q o ) = f f ( x ，以g 协= 1 2 ) ( 3 2 3 4 ) q o ) 定义为对应于广义坐标( 正则坐标) q r o ) 的广义力。 方程( 3 2 3 3 ) 和受外部激励的无阻尼单自由度系统的运动微分方程形式完全 相同，故其响应可写成如下的一般形式 q r o ) = 一1e q g ) s i n q o f p f + q r o c o s c o t + 红s i n q f ( 3 2 3 5 ) f o ，“c o ， 式中，g ，。和圣加分别表示广义坐标和广义速度的初始值， 入式( 3 2 3 1 ) 计算。 设t = o 时，有初始条件 y ( x ，o ) - - x v , ( x b ，( 0 ) = r g b ，。= 厂g ) t o y ( x , o ) = 喜r m ( o ) = 喜r 。= g g ) 可以用已知初始条件代 将上面两式两边乘以p g n g 以g ) ，在梁全长进行积分，并利用正交条件，可得 g 加= r p g n g ) 旷g 皿g ) 出毒加= f 以皿g k g ) 巧g ) 出( ，= 1 ，2 ，) ( 3 2 3 7 ) 将式( 3 2 3 5 ) 代入式( 3 2 31 ) 俐= 喜z g ) 击f 洲咖础却咖，o c 。s 叩+ 等咖叫 2 3 8 ， 3 动态应力强度因子的权函数方法硕士学位论文 3 3 4 梁在集中载荷下的响应 尺寸如图3 2 所示的梁，长度为三，横截面积为4 ，根据机械振动理论【4 7 1 可知等 截面均质简支梁的固有频率和振型函数为 ? = 等厝m ) - s ；n 型l 啡，) 对搌型凼数迸彳丁止则化，即令 口；r 硝y ；协= 1 = 1 2 ) 则有 j12 口：= = 7 r s i l l 2 孚咖三 得正则振型函数为 驰) = 壶s i n t r n y ，2 ，) 作用于y = y 。= 昙处的集中力刑可表示为 厂，f ) = f o 妙一y 。) 式中万一y 。) 为艿函数。于是广义力9 为 州= 胁r 澎哕- j 壶腓训咖孚砂 = 壶聃n 孕 所以广义坐标q r ( o 的运动微分方程为 ( 3 3 4 1 ) ( 3 3 4 2 ) ( 3 3 4 3 ) ( 3 3 4 4 ) 硕l 二学位论文跨中带裂纹三点弯曲梁动态应力强度因子的权函数法研究 抛舢玩舻屠协；n 孕 ( 3 3 4 5 ) 方程( 3 3 4 4 ) 和受外部激励的无阻尼单自由度系统的运动微分方程形式完全相同， 故其响应可写成如式( 3 2 3 5 ) 的一般形式 g ，o ) = 击f g 峨。一r d r + q ，oc osco q h 詈s i 峨， ，”缈， 式中，q ，。和口，。分别表示广义坐标和广义速度的初始值，由式( 3 2 3 6 a ) 和式 ( 3 2 3 6 b ) 知q ，= 尊，= 0 ，故 q r o ) = 一1 ( g g ) s i n q o f p f = 寿压胁t n 孕咖矾却r 根据振型叠加法，系统的响应为 w b , ，) = e r k ，o ) r = l ( 3 3 4 6 ) = 壶喜击如孚肌) 如- ! s i n c o , o f 如 3 a 7 ， 根据材料力学知识【4 8 】，梁截面的弯矩可表示为 u ( y ，f ) = e 1 w ，) ( 3 3 4 8 根据图2 4 中的坐标系，梁中间截面处的应力的响应历程和分布规律可表示为 小，：型掣b - 4 将式( 2 2 2 2 4 ) 、( 3 3 4 9 ) 代入式( 3 1 1 ) 就可以得到在任意载荷作用下三点弯 k ，d q ，t - - - f ) 向g ，x 协 ：f 坚i 幽仨p 脊删：学仁斗3 a 3 动态应力强度因子的权函数方法 硕士学位论文 3 4 本章小结 本章主要工作是完成对动态载荷作用下三点弯曲梁在中间截面处的动态应力 强度因子的权函数方法研究。首先采用静态载荷下的应力强度因子作为参考解， 得到了裂纹梁的权函数；然后用振型函数方法推导无裂纹梁在冲击载荷下的动应 力响应，分析中根据简支梁固有频率和固有振型，应用振型叠加法，得到受外部 激励的连续系统的运动微分方程形式；再推导出了梁内动应力的响应历程和分布 规律；最后由动应力权函数方法导出梁在动态冲击载荷下的动态应力强度因子计 算公式： 3 0 硕上学位论文跨中带裂纹三点弯曲梁动态应力强度因子的权函数法研究 4 有限元法确定动态应力强度因子 目前有限单元法是一种比较实用的数值模拟方法，在各种研究领域的应用范 围相当广泛。使用该方法计算动态应力强度因子不失为一种有效手段。因此为了 检验本文所推动出的公式的准确程度，在本文中将会用本文的结论与有限元法的 求解结果进行比较。 4 1 有限元法简介 有限单元法的基本前提是：将连续的求解区域划分为一组有限多个单元的组 合体。这些单元组能近似地代替或逼近求解区域。由于每个单元按照各种不同的 方式连接在一起，且单元本身也有着不同的几何尺寸和形状，所以可以近似地分 析几何形状复杂的求解域【4 9 1 。单元之间仅由节点连接，单元内部点的未知量可运 用单元节点通过选定的函数关系插值求得。因为单元形状简单，容易由平衡关系 或能量关系构建节点量之间的关系式，然后将各个单元方程联立在一起，而成为 总体代数方程组，再加上边界条件后即可解出方程组。单元划分的越多，计算结 果精度就越高。 有限单元法分析的工程，有以下几个基本步骤4 9 】： 1 将实体划分为若干个单元。 2 单元特性分析。 1 ) 对单元位移的变化作出假设。 2 ) 分析单元的力学性质。 3 ) 换算出等效节点力。 3 建立集合体的求解方程； 4 解方程组，求得节点位移。 4 1 1 有限元的基本原理 根据实体的几何尺寸、载荷条件以及要求解的情况，再根据单元的性质和精 度要求，根据各节点的平衡方程得到单元集合体求解方程。 再加上节点处的边界条件，建立以口表示的节点位移 q 。= l 。hm “2v 2w 2 】 并写成 求f 1 及口= c 一1 q 8 ， q 8 = c a 并代入d = - s a ，得 ( 4 1 1 1 ) ( 4 1 1 2 ) 4 有限元法