（基础数学专业论文）拟亚纯映射的充满圆与奇异方向.pdf

拟亚纯映射的充满圆与奇异方向 摘要 本文研究了拟亚纯映射的充满圆与奇异方向，得出了拟亚纯映射 在甄兰铲= o 。条件下存在充满圆与j i l l i a 方向，有限正级拟亚纯映 射存在b o r e l 方向及n e v a n l i n n a 方向。同时也给亚纯函数充满圆一个 ，苎里羹键调；拟亚纯映射f 馕盖茁齑；充满酊j u l i a 舅商；b 。谳亨，一“葜键调；拟亚纯映射f 覆盖临；充满氍a 舅商；b 。谳菇 4 豇妒一 ： a b s t r a c t i n t h i s p a p e r ，t h e f i l l i n g - u p d i s c a n d j u l i a d i r e c t i o n o f q u 稿i - m e r o m o r p h i c m a p p i n gi nt h e 甄点铲= a n dt h eb o r e ld i r e c t i o na n dt h en e v a n l i n n a ：d i r e c t i o no fq u a s i - m e r o m o r p h i cm 却她i nf i n i t e l yp o s i t i v eo r d e r 眦o b - l r a i n e d t k e y m r d s ：q u a s i - m e r o m o r p h i cm a p p i n g ；c o v e r i n gs u r f a c e ；f i l l i n g - u p 、d i s c ；j u l i ad i r e c t i o n ；b o r e ld i r e c t i o n ；n e v a u l i n n ad i r e c t i o n t j - 毒麦；匆x “。u 鼻y 激善、， 毒u j 、耍遣b 眨i 南知袭j 气寓易歹眨 ：国务j o ?妊_ 嚣，参垂。，o i jt 和j 吖# 。蒯鼬女垮。j 瘤纛i 拟亚纯映射的充满圆与奇异方向 简介 孙道椿教授。杨乐院士在【l 】1 文中定义了k _ 拟亚纯映射这一更加 广泛的函数类，并研究了它的值分布，导出了有限正级k _ 拟亚纯映射 的充满圆，b o r e l 方向等此后。许多学者对此作了大量研究，其中【2 】 文用型函数研究了在甄写笋= p ( o p o o ) ，甄篙铲= m 及 惩瑟纽霉4 9 蚴r = 0 0 条件下的k - 拟亚纯映射的充满圆与b o r e l 方向； 【3 】 文研究了无穷级k - 拟亚纯映射的n e v s , n l i n n 方向本文第一章研究 了k - 拟亚纯映射在甄墨铲= 条件下的充满圆。进而得到j u l i a 方向i 第二章用不同于【l 】1 文与【2 】文的方法得到有限正级k 拟亚纯 映射的充满圜与b 循e l 方向第三章研究了有穷正级k 拟亚纯映射的 n e v m a l i n n a 方向 2 第一章充满圆与j u l i a 方向 定义与记号 设f 是定义在平面区域d 内的复值连续函效如果在d 内的任一 矩形扛+ i t ：n 。 b ，c i 町中。对( o ，b ) 内8 e ( 几乎处处) 的 x , f ( x + i ) 是y 的绝对连续函数；对于( 口，b ) 内8 e 的y , f ( x + i ) 是x 的绝对连续函数，或简称为f 在d 内有a c l 性质若f 在d 内线段上 绝对连续，则f 在d 内几乎处处可微 定义1 1 设f 是区域d 到d ，的同胚若 ( i ) f 在d 内有a c l 性质l ( i i ) 存在k 1 ，使得f ( z ) = u ( 毛v ) + u 扛，v ) 在d 内b e 适合 i ，| i + i 列s k ( t a i 1 纠) 则称f 是d 内的单叶k - 拟正则映射若d ，是r i e m a n n 球面上的区 域。则称f 是d 内的单叶k 拟亚纯映射 定义1 2 设f 是区域d 内的复值连续函数若对d 内一点z o ，存 在翔的邻域v ( c d ) 与一正整数n ( 依赖与韧) ，使 f c z ，= g ：；! ：。幻，。加+ ，。翔，；。z 知o ，) 2 。0 0 是u 上的单叶k - 拟亚纯( 或正则) 映射，则称f 在z o 点是n 叶k 拟 亚纯( 或正则) 映射若f 在d 内每一点都是n 叶k - 拟亚纯( 或正则) 映射，则称f 是d 内的k - 拟亚纯( 或正则) 映射 用n ( 口1 ，0 2 ) ，( 0 1 如) 表示集合 z 1 0 1 a r g z 如，记直径为1 的r i e m a n n 球面为v 对于任意复数8 记f ( z ) 一。在 r 内零 点总数为n ( r ，n ) 若不记零点的重数，则记为再( r ，n ) ，相应地对于角域 ( r ) r l ( a r g z 一0 i ) 有记号n ( r ，0 ，e ，a ) 与瓦( r ，0 ，a ) 记h r 在映射，( ：) = u ( z ，v ) + i v ( x ，v ) 下到球面v 上的覆盖曲面为f r ，f r 对v 的平均覆盖次数为t 跳，) = 错= ；r r 黼r d r d o 茎r 其中i 耳i 与i y l 分别表示f r 与球面y 的面积 定义1 3 设，( z ) 是k - 拟亚纯映射，则 p ：蔚必 f - + 0 0 l g r 3 称为f 的级 引理 引理1 1 【1 】设i ( z ) 是 r 内的k 一拟亚纯映射，口1 ，口2 ，0 3 是 v 上3 个判别点。其中两两间的球面距离不小于j ，j ( 0 ， ) ，则对于 ( 0 ，r ) 上的任意值r 有。 州) 萎3 瓦( r d ) + 研2 1 1 5 1 - e k 帝一1 、 o 。，。 引理1 2h 取充分大的正整数q ，将区域r r 做如下划 分t 做q 条由原点发出的射线，两两问的夹角为警；再做圆弧h = r r ( 1 + 警) ，r ( 1 + 譬) 其中t = 妇( 1 1 e + a 譬) , + 1 于是r i z i 冗被分 为p 个曲边四边形功，其中 内( 【捣】+ 1 ) 学 记岛的中心为巧，则易含于圆d ：i z 一乃i 警i 巧l 内 定理 定理1 1 设，( z ) 是平面上k 拟亚纯映射，且 面掣：。( 1 ) r - 4 0 0 1 0 r 。 则必存在一列圆o ： = 一i l i 。h - + m i z , i 2 o 。，i l _ i m e i 2 0 使得在每个g 内。，( z ) 取任意复数至少n i 次。至多除去一些复数可 含于两个球面半径为( m ) 一 的圆内这l i mm = 0 ( 3 定理所述性质的 g 称为拟亚纯映射，( 。) 的一列充满圆 证明t 取一列趋于o 。的正数n 使： l i 。牲：。， 取定适当大的r h ，并保证半充分大，取使下式成立的最小的r b ： 箐28 ( r h ，) + 雠， s ( r b ，j ) s ( r k l ，) f g r b + ! 瓮导f 矿b ， 所以 s ( ，) 一s ( 飞；，) s ( r k ，f ) ( i g r k 。一1 ) + 学幻住： = 铧f f 口丑r k i + i g r k r k i 1 f 9 r b ) 1 矿 o 7 然后将区域b 而石而 所以 s ( d ，f ) 弘( r ，) - l 虮， 记这样的乃为钆那么，( 。) 在圆c ：l z z ，j0 亭l z ，j 内取任意复数至 少n 1 次这里 一志缸而，h = 2 1 5 , 7 r 6 乜 至多除去一些复数可含于两个球面半径为n i o 的圆内，否则，存在 n ，0 2 ，0 3 它们问的球面距离大于等于n i 5 而f ( z ) 在圆q 内取这些 值至多n 1 次。但由引理1 1 扣i 丽 $ ( r f ) = s ( r j ，f ) 摘獗i 万瓦+ 蒜瓶i 万瓦， 5 所以l ，矛盾 将这个过程继续下去。便得到一列圆具有定理要求的性质，证毕 定理1 2 设，( z ) 是平面上k 一拟亚纯映射，且适合条件( 1 ) ，则必存 在一条由原点发出的射线j ：a r g z = 如，使在角顶位于原点以j 为角平 分线的任意小的角域内，( 。) 取任意复数无穷多次，至多有两个例外 值 这条直线称为，( z ) 的j u l i a 方向 证明t 设a r g z i = 巩，0 仇 0 ( 0 ，】o 薹) 使舡) 在角域n ：i a r g z 一如i r i o 内不取三个判别复数 口l ，0 2 ，幻，设这三个数相互问的球距不小于d ，由n = 司翻、s ( “；，) 1 旷h _ + 0 0 ，( i _ + m ) ，所以。当i 充分大时，则n i 充分小另一方面。有 b m 巩= 如，所以。当i 充分大时。圆c ：i 进入域角n 内因为，限一o o i ( c s i n r o ，又乜矗争 自，即有q 子列含于n ( o o t 7 0 ，o o + ，) o ) 内，( 。) 在g 内从而在角域n 内取任意复数至少n 次，最多除去一些能为两 个球面半径为n _ ；的圆盖住的值，但任意两个半径为n _ o 的圆不能盖 住d l ，0 2 ，a 3 点，矛盾证毕 当然由k - 拟亚纯映射的角域不等式也易证满足( 1 ) 的，( z ) 存在一 条j u l i a 方向 定理1 3 设函数，( z ) 于开平面亚纯，且 甄群= m 则必存在一列圆： c ：f ：k 一氟i 矗i 薯 ，1 且- + m 0 0 i 司i = o o ，。1 - + i r a e i = o 使得在每个q 内，( z ) 取任意复数至少n 。次，至多除去一些复数可 含于两个球面半径为h ) 一 的圆内，这i l _ + i m 。n 产m 同样这一列充满圆决定亚纯映射的一条j u l i a 方向 证明z 由甄器爷= o 。易得甄篙l = m ，这样由定理1 1 即可 得到以上结果，证毕 6 第二章充满圆与b o r e l 方向 定理 定理2 1 设f ( z ) 是平面上k - 拟亚纯映射，且 甄o r 盟_ p ( o p 酬2 ) r + l 则必存在一列圆g ： i 。一气i 6 i 罨i l _ t i m i 戤l 。”，l _ + i r a 6 。u ， 使得，( z ) 在每个q 内取任意复效i 麓i p 氐次。至多除去一些复数可含 于两个球面半径为陬l - 学的圈内。且恕蠡= o 面必：p(op 珩，) + 筹 即 ，) 一群刈，) 即 黼n 1 i 一击2 1 9 r k s ( n 。，)。”“ 这是显然的 将区域r b 吲 蚴 蔫 群 她，) 黼 这样 帆，) 艏 器兰譬竺为z j ：由是墨1 1 那么，( z ) 在圆c i ：i 。一。i ? 譬i 。l 内取 任意复数至少n 1 次这里 。 一高甜，日划5 飞 至多除去一些复数可含于两个球面半径为n i 的圆内，否则：存在 n 1 ，0 2 ，蜘它们间的球面距离大于等于g t i 而，( 。) 在圆q 内取这些 值至多n - 次，但由引理i ： s ( r ，f ) = s ( d ，f ) 琊s 圳6 s ( ( r k a , f ) ，) + 蒜黼 所以1 ；，矛盾 将这个过程继续下去，便得到一列圆： g ：f z 一五f k p _ i 扩吣 所以 h ) 一 p 7 g r 至多有薅个倒外值 这条赢线称为f ( z ) 的b o r e l 方向 证明设a r g z = = 仇，0 哦 0 和相应 的三个判别复数a , b ，c ，使 甄丝哮箬三型 a 黼 9 所以 百r - - i l o f o ! 翌f ! t 阜g z r ! i 兰! l 所以与假设矛盾，证毕 面。- * o o 埘喘紫- t - e 铲= l 烈m il 气i 】 甄帮 甄醉= p 1 0 第三章拟亚纯映射n e v a n l i n n a 方向的存在定理 定义与记号 用m ( r ) p ( r ) 表示函数m ( r ) sp ( r ) 且存在序列t r n ) _ o 。使 m ( r 。) = p h ) ，用( i p ) 表示一条从原点引出的半直线a r g z = i p ，用 n ( 口l ，0 2 ；r ) 表示集合 z l e l a r g z 如，例 r ) ，用亍i ( e ，n ) 表示k - 拟亚 纯映射( z ) 在集合e 上的a 点效。且a 点的重级仅计一次，特别当e 为 ： 0 ， 则称a 为f ( z ) 关于( 妒) 和e 的一个亏值，如( 口，i p ) 为f ( z ) 关于( p ) 和e 的一个亏量 定义3 2 对于f ( z ) ，若存在( p ) 对任意有现个亏值，有 口 6 e ( a i ，妒) 2 t = 1 ( 1 ) 若上式对e = i z i ) 成立。则称( 妒) 为f ( z ) 的一条全 n e v a n l i n n a 方向 ( 2 ) 若对e = n 一t ，i p + t ) ( t 是常数，0 t 7 t ) 成立，则称( 妒) 为f ( z ) 的子n e v a n h n n a 方向 ( 3 ) 若e = n 一，i p + e ) ( 随定义3 1 中极限过程趋于0 ) ，则称 ( 妒) 为“z ) 的局部n e v a n l i n n a 方向 显然( 1 ) 辛( 2 ) 号( 3 ) 定义3 3 设f ( z ) 是角域n 徊一6 ，0 + 6 ) 内的有限正级k 一拟亚纯映射， 则必有符合下面引理3 1 的u ( r ) ( 以下u ( r ) 均是这种匾效) 若对任意 0 e 6 ，及任意复数a ( 至多有2 个例外值) 恒有甄娅魁告俨 l ，则称a ( o ) 为“z ) 的关于函数u ( r ) 的b o r e l 方向 引理 引理3 1 1 5 设函数b ( r ) 在【b ，+ o 。) 上取正值，连续趋于无穷，且 甄丘铲= p ( o p 1 ，有u ( a r ) ( u p + o ( 1 ) ) u ( r ) 引理3 2 【2 l 设“z ) 是i z l i 内的k 一拟亚纯映射，n 1 ，口2 ，( 口 3 ) 是v 上q 个判别点，其中任意两点间的球距不小于j p ( 0 ， ) ) ，则 对于( 0 ，1 ) 上的任意值r 有： 口 ( 口一2 ) s ( r ) s 瓦( t d i ) + 鲁 i=1 其中。a 为与玑最有关的常数 引理3 3 设酗) 是n ( 一0 ，p ) ( o 0 r ) 上的k 一拟亚纯映射。 g 1 ，d 2 ，( 口3 ) 是q 个判别复数，则对于任意矿( 0 矿 1 ) 和任意正整数m ，只要r 充分大。就有t 口 国一2 ) s ( o ( 一矿，；r ) ) s ( 1 + 去) n ( n ( - o ，以r 盯孙1 ) ，d ”) + d ( 匆r ) = l 证明设r i = a 一，r j = d 而十j ，i = 0 ，1 ，2 ，j = 0 ，1 ，m 一1 ，显然 r i o = ，r i 。= n + 1 对于任意取定的r ( r r 1 ) ，存在一个正整数k ，使得 “sr sr + 1 又存在整数j o ，0 j 。m l ，使得t 口七+ 11覃 瓦( uf l ( - o ，o ；r j 。，+ 1 ) ) 去芤( q ( 一口，o ；r k + 2 ) ，o ”) v = li = 1v = l 作变换f = z r + l 面+ 1 ( o isk ) ，则n ( 一0 ，吼r i j o ，r i + l j o 十1 ) 和 n ( 一以0 ；r ：，1 ) ( 其中n = 丽f ；丽，r ：+ 1 = r i + l j o r i + l j o + 1 ) 分别变 为f 平面上的n ( 一巩巩l a m + l ，1 ) 和n ( 一0 ，；i o - r e + i 2 ，1 a ) 以及点 丽雨丽石变为f 平面上的a - - ( r e + 1 ) 2 再作单叶解析变换将 n ( 一0 ，巩i o “+ l ，i ) 变到f 平面上的圆吲 l ，以及点f = a - ( m + 1 ) 2 对 应于原点f = 0 显然，存在一个仅仅依赖于m 一0 和0 的常数x ，使 得n ( 一0 ，；1 a m + 1 2 ，l i o n ) 在f 平面上的像域含于圆 $ 内，应用 引理3 2 ，我们有 q ( 口一2 ) s ( n ( 一，矿；n ，n + 1 7 ) ) 瓦( n ( 一0 ，o ；r i j o , r + l j 。+ 1 ) ，o 。) + 丁兰； = 1 一 这i = 0 ，l ，进一步计算得： i口七 ( 口一2 ) s ( n ( 一，；r i ，r i + l ) ) s n ( n ( - o ，口；r i j o ，r i + u o + 1 ) ，a 。) i = ot ，= l = u + 崔 】2 r i 十2 。r m c k + 2 ) r 口2 m ，k + l l g r ；+ i 矿m l g a ，k r 所以 m k l g a l g r , 焉k + l 曼采 所以 伯一2 ) s ( f l ( 一0 。，矿；r ) ) s ( 1 + - k ) 意瓦( o ( 一吼口；r 口2 ”) ，b v ) + ( 口一2 ) s ( n ( - o ，；d “) ) + 鬲撩- = ( 1 + 去) 壹再( n ( 一口，o ；r o 知n ) ，) + o ( t o , - ) 定理 定理8 1 设卿) 是角域n ( 一正内的有限正级k - 拟亚缚映射 ( 1 ) 若存在以 0 ) 则a ( o ) 是“z ) 的子n e v a n l i n n a 方向，特别当t = 1 ，d = 时，a ( o ) 是 f ( z ) 的全n e v a n l i n n & 方向 ( 2 ) 若对任意，6 ，0 0 ，对以上2 种情况有： 甄螂掣- 卜+ 口u rj 即( o ) 是关于u ( r ) 的b o r e l 方向 证明( 1 ) 若a ( o ) 不是f ( z ) 的子n e v a n i i n n a 方向，则存在复数 d 1 ，口2 ，o 口( q 3 ) 使 砉( t 一戛l i ml 甄i m 器舔群p z 所以 蓦砉甄器舔等 0 ，当e 6 1 时有 妾甄器蒜群 q - 2 - m 又由条件，存在南 6 ，当e 以 6 时恒有 甄掣= t 0 ，n 充分大 再由条件d 1 t 一万t m ( 1 1 1 )u ( r n ) 由引理3 3 及( j ) 式，对充分大的n 有 抽一2 ) s ( q ( 一2 ，2 ；r n ) ) s ( 1 + 击) 毫瓦( q ( 岛6 ；r n c r 2 m ) ，啦) + o ( 1 9 r n ) = l s ( 1 + ；1 。q 一2 一 f ) s ( n ( 一6 ，d ；r n - 7 2 ”) ) + o ( t g r 。) 对上式应用( ，n ( 1 i i ) 两式，则有 ( q - - 2 ) ( t 一等) ) ( 1 + 熹) ( q - 2 - 咧抖警) 一) + o ( 1 蚓 两边除以t u ) ，令n _ 一得 ( g 一2 ) ( 1 一万m ) ( 1 + ) ( q - 2 - m ) ( 1 + 万m ) 口2 m 9 所以 ( i - 丙m ，+ 扣一兰) ( 1 + 等炉一 先取较大1 2 1 ，使 ( - + 扣一再m ) 一揣 1 4 ( i - 万m ) ( i - 志) ( 1 + 舻w 在取口_ 1 + ，使 ( 1 - 搞) 0 2 r n p ( - 一志) 则 - 一万m 丽+ 4 ( q - 2 ) n 所以当n 充分大时，显然矛盾( 1 ) 证毕 ( 2 ) 的证明与( 1 ) 类似，只要把( 1 ) 中( i ) ( i i ) ( i i i ) 式相应换成下面 的( i v ) ( v ) ( v i ) 式即可 砉甄错 q - 2 - m ( 卅 b s 甄掣 ( 如一警) u ( ) ( y j ) ( 3 ) 若结论不真，则对充分小的s 及3 个复数a ，a 2 ，a 3 有 甄绁掣 0 ，当r 充分大时 堕鲤二塑：鱼剑 l j l g u ( n ) 一 所以 瓦( q ( 一，gr ，o 。) ) u ( r ) 1 6 由引理3 3 对 o 则称妒为n - 方向 在【0 ，2 ”) 上至少有一个n - 方向，否则有甄辩= 0 与s ( r ) v ( r ) 矛盾 ( i ) 在l o , 2 ”) 内仅有一个n 方向妒l ，用甄( n n + 6 n ) 廷矛n 十 甄l i mb 。即可证得对任意e 0 ，甄整盥与产= 1 ，所以由定理 3 1 ( 1 ) 得证 ( 2 ) 在【o ，