（应用数学专业论文）特征不为2的正交空间上的一类分组设计.pdf

中文摘要 非适应性群验有许多实际的应用，近年来对它的研究非常活跃构作窬镨 和纠错能力强的分组设计是非适应性群验的中心问题之一一个d 析取矩阵 恰对应一个用t 次试验从n 个对象中识别出至多d 个阳性对象的分组设计由 于多方面的原因，在试验的输出结果中出现错误是在所难免的，因此设计能够 容错的分组设计( 析取矩阵) 是非常必要的m a c u l a 首先提出了用d 。一析取矩 阵的概念来反映一个d 析取矩阵的容错和纠错能力 本文利用正交空问上的一类( m 2 s 8 ) 型子空问构作了一个d ：析取矩阵 m ( 2 v ，m ，m 1 ) ，并证明了当d q + 1 时，2 值是最佳的或者说。的界是紧的 对于上述扩析取矩阵m ( 2 v m m 1 ) ，我们利用( m ，2 s ，s ) 型子空间中( m 一 1 ，2 s ，$ ) 型予空间的摊列问题研究了当q + 1 d s ( m l ，2 s ，s ；m ，2 s ，s _ 2 v ，) 时，：的界的紧性问题 关键词：分组设计，正交空间，d 一析取矩阵，d 2 一析取矩阵 i nr e c e n ty e a r s n o n - a d a p t i v eg r o u pt e s t i n g ss t u d yi sv e r ya c t i v e l y , b e c a u s ei t i i a sm a n yp r a c t i c a la p p l i c a t i o n s d e s i g n i n gg o o de r r o r - t o l e r a n tp o o l i n gd e s i g ni s ac e n t r a lp r o b l e mi nt h ea r e ao fn o n - a d a p t i v eg r o u pt e s t i n g ad - d i s j u n c tm a t r i x c o r r e s p o n d sp r e c i s e l yt oap o o l i n gd e s i g nw h i c h 啪i d e n t i f ya tm o s tdn e g a t i v e i t e m su s i n gtt e s t sf r o m ，li t e m s d u et ov a r i o u sr e a s o i l s ，i ti si n e v i t a b l et op r o d u c e e r r o n e o u so u t c o m e s 缸t h et e s t d e s i g n i n gt h ee r r o r - t o l e r a n tp o o l i n gd e s i g n ( a i s j u n c t m a t r i x ) i sv e r yn e c e s s a r y m a c u l af i r s t l yp r o p o s e dt h en o t i o no f d z - d i s j u n c tm a t r i x t or e f l e c tt h ee r r o r - c o r r e c t i o nc a p a b i l i t yo f a d - d i s j u n c tm a t r i x i nt h i sp a p e r , w eu s es u b s p a c eo ft y p e ( m ，2 s ，s ) i nt h eo r t h o g o n a ls p a c el ? t oc o n s t r u c tad ：- d i s j u n c tm a t r i xm ( 2 u m 1 2 1 1a n dp r o v et h a t2i so p t i m a lw h e n d q + l ，t h a t i s ，t h e b o u n d i s t i g h t f o r d q + 1 f o rt h ea b o v ed 2 一d i s j u n c tm a t r i xm ( 2 v m m 1 ) ，w ei n v e s t i g a t et i g h tb o u n d s f o r t h ec a s e w h e nq + 1 ds n ( m 一1 ，2 s ，5 ；m ，2 s ，s ；2 1 , a ) u s i n g t h ea m n g e m e n t p r o b l e ms u b s p a c e o f t y p e ( m 一1 ，2 s ，s ) i n t h es u b s p a c e o f t y p e ( m ，2 s ，s ) k e y w o r d s ：p o o l i n gd e s i g n , o r t h o g o n a ls p a c e ，d - d i s j u n c tm a t r i x , d 。- d i s j u n e t m a t r i x 学位论文原创性声明 本人所提交的学位论文特征不为2 的正交空间上的一类分组设 计，是在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的原创性成果。 除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已 经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中标明。 本声明的法律后果由本人承担。 论文作者( 签名) ：野双月 2 研年j - 月p 日 学位论文原创性确认书 学生旦巫县所提交的学位论文特征不为2 的正交空间上 的一类分组设计，是在本人的指导下，由其独立进行研究工作所取 得的原创性成果。除文中已经注明引用的内容外，该论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。 指导教师( 签名) ：峙琵钐 唧年，月如日 第一章绪论 1 1课题背景及其发展概况 群验阿题已经存在了几十年，这个问题起源干大数量血样经济型检测问题 按照使用模型的不同，群验可以分为可能性群验( 粥 和组合性群验( c o d 两 类按照试验步骤的不同，群验又可以分为有序算法和非适应性算法i t 珂两类 有序算法指对被测对象逐个地进行试验，允许后面试验使用前面所有试验的输 出结果非适应性算法是指所有试验同时进行，禁止用一个试验的输出结粟来 设计其它的试验有序算法只适用于被测对象数目较小的情况，而当试验对象 相当多时，非适应性算法可以节省很多时问 、 非适应性组合性群验( 简称非适应性群验) 脚在d n a 序列筛选，多 接口控翻u - t u ，纠错检错重叠码理论f j 删等方面有许多实际应用，因此近年 来它的发展更为活跃下面先来介绍一下非适应性群验的基本知识 假定，1 个被测对象中的每一个或者是好的f 下文中称为阴性的 或者是有 缺陷的r f 文中称为阳性的 同时阳性对象的个数相对很少，不超过整数d ，目 标是用尽量少的试验检测出所有阳性对象掩全部n 个被测对象分成若干子 集，分别对每个子集进行检测若输出结果为阴性，说明这个子集中所有被测对 象都是阴性的，否则说明子集中至少有一个是阳性的 构作客错和纠错能力强的分组设计是非适应性群验的中心问题之一，一个 d - 析取矩阵恰对应一个用t 次试验从t 1 个对象中识别出至多d 个阳性对泉的 分组设计一个t n 的0 1 矩阵m = ( o ) 叫做d 一析取的( d - d i s j u n c t m a t r i x ) , 如果矩阵的列表示n 个被测对象，行表示所进行的t 次试验，玎= 1 当且仅当 第i 个试验包含被测对象j 由于多方面的原因，在试验的输出结果中出现错误是在所难免的明，因此 l 特征不为2 的正交空问上的一类分组设计 设计能够容错的析取矩阵( 分组设计) 是非常必要的 如棚麒”首先提出了用 d ：一析取矩阵的概念来反映一个d 一析取矩阵的容锚和纠错能力 随着对析取矩阵( 分组设计) 的应用方面的研究的深入。对于析取矩阵作 为一个代数结构的理论探究也日益引起人们的重视l ，构作析取矩阵并且研 究它的某些性质就曼得尤为重要 下面我们介绍一下d ；析取矩阵构作的研究情况： w e i l iw h 等人利用单纯复形研究d 析取矩阵f j 盯 a n t h o n y z m a c u a 等人进一步用复形构作了n 一几乎柝取矩阵f h u n g - l i nf u 和e k h w a n g 利用一填充来构作扩一析取矩阵脚 h u n gq n g o 和d n g - z h u d u 则用图理论来构作舻- 析取矩阵口” a g d 等人用的是有限域上的向量空问构作舻析取矩阵脚 本文利用正交空问上的一类( m ，2 s ，8 ) 型子空闷构造了一个扩一析取矩阵 m ( 2 v , m ，m 1 ) ，并证明了当d q 十1 时，：值是最佳的或者说：的界是紧的当 g + l d sj v ( m ，2 8 ，5 ；2 v , ) 一l 时，本文部分的完善了：的界的紧性 2 河北师范大学硕士学位论文 5 1 2本文主要研究的内容与结构 本文共分三章第一章阐述了课题背景发展概况以及本文的主要结论第 二章为预备知识，主要介绍了特征不为2 的正交空问的一些基本概念和计数定 理以及d - 析取矩阵和d 。- 析取矩阵的概念和性质第三章是本文的核心，其 中第一节利用正交空问上的一类( m ，2 s ，s ) 型子空闻构作了一个扩一析取矩阵 m ( 2 v , 7 1 1 , ， 1 ) 并证明其正确性而且进一步证明了当d sq + 1 时o 值是最佳 的或者说。的界是紧的第二节为了讨论当q + l d s ( m ，2 s ，s ；2 v , ) 一1 时，z 的界的紧性，我们首先把线性空问上的一些性质推广刭( m ，2 s ，s ) 型子空 问上，然后利用客斥原理公式和一个重要引理得出了特殊情形下( m ，2 8 ，s ) 型 子空闻中( m 一1 ，2 s ，5 ) 型子空f , 1 的 | 列问题，为第三节：值的分析傲了必要的 准备第三节分别具体地分析了当d 口+ 2 ，d 口+ 3 ，d q + 4 时，z 的界的 紧性 3 第二章预备知识 2 i 特征不为2 的正交空间的基本概念和计数定理 = 隅，三 一p ) 亿， 河北师范大学硕士学位论文 ( k + t j ( f 。) 中的元叫傲关于s 的正交变换。带有如上的正交群0 2 6 ( f 。) 作 用的向量空问f 铲叫做有限域f 。上关于s 的2 v + 6 维正交空间 令p 是2 v + j 维向量空间舻中的，n 维向量子空问那么尸s 尸r 是 m 1 1 1 对称矩阵p s p 7 是m m 合同于下列四种形式之一： 知 m ( m ，2 8 ，s ) = m ( m ，2 s + 1 ，s ，1 ) = 1 ， o 【一知j 1 o m 一知一1 ) j zc”m，zs+，s，。，=(二)：。一。一。，)， m ( m ，2 8 + 2 ，s ) = 5 1 o ( m 一2 一2 1 p o 0 扣 ， 、 l p o o p ，-，-_-。_-。-一， p o o p 特征不为2 的正交空间上的一类分组设计 我们用m ( m 2 s - 6 $ r ) 表示上述形式之一，这里s 是指数， f = d ( 1 ) 或( ：) 若= 0 若= 1 若1 = 2 若p s p t 合同干m ( m ，知+ - y , s ，r ) 那么尸叫做中卅中关于s 的 ( m ，2 5 + 7 s ，r ) 型子空问用( m ，2 s + ，s ，f ；2 v4 - 五) 表示奢 2 卧中关 于s 的( m ，知+ 7 ，。r ) 型子空闯的个数 定理2 1 关于( 2 p + j ) ( 2 + 6 ) 非奇异对称矩阵偿砂在2 p + 6 维正吏 空问砰”“中( m ，孙+ 1 ，s ，r ) 型子空问存在当且仅当 ， 2 。+ 1 m p s + 幽p 1 ，若停溅p 组r - 【+ s ， 若 ，= 6 = l ，且r a 数为 定理2 2 有限域f 口上2 p + 5 维正交空间中( m ，2 s + 1 s ，r ) 型子空问的个 ( m ，2 s + 仉s ，r ；2 l , + 正a ) 其中 = p 一“) + u 竹) 一1 “咄一，) ，l o ( m ，2 8 + 7 ，5 ，n 2 v + 最) ， i 嚣- i - s m 4 - 1 + 1 ( 矿一1 ) ( 矿+ 一14 - 1 ) z s + ，s m s ：+ “i n 矗7 萎：二：二：二嚣： 一 矿 r ( m 仉 ” + 矿 忏：l d 一 ，旷 。潮 河北师范大学硕士学位论文 1 1 0 ( 1 1 1 2 8 s ：2 v + 正a j = l ： n o ( m ，2 s + 1 s r ：2 王，+ 点) 矿一1 ( 矿“一”+ 一1 ) 若6 = o 矿一。( 矿+ 一”一1 ) ，若6 = l 且r ， 矿一( 矿+ ”+ 1 + 1 ) ，若6 = l 且i = ， r 一。( 矿+ 一”+ 2 + 1 ) ，若6 = 2 ； 书q2u=：-,)-2(qui+s-m+l：-篙1)(qu+s-m翟+2-1),笼若6=0, 推论2 j 有限域f 叮上2 y + 别隹正交空间中( m ，2 8 ，5 ) 型子空间的个数为 i v ( m ，2 s ，s ；2 u + 6 a ) = 口2 ( 一”) 椭 其中2 8 s m s l ，+ 5 ( 矿一1 ) ( 矿+ 扣1 + 1 ) l = p + j m + 1 0j i m - - 2 j ( 矿一1 ) h ( q + 1 ) ( q i 一1 ) i = it = 面k l 令p 是砭矽“中一个固定的( m ，2 s + 7 焉r ) 型子空坷，用朋而i ，知l + y l ，8 1 ，r l , m ，2 s + 一r ，s ，r ：2 u + 6 ，) 表示在p 中包含( m i 2 8 1 + 一r l ，s l ，r 1 ) 型子 空问的集合，令 n ( m l ，2 8 1 - i - l ，8 1 ，r l ；m ，2 s + 7 ，5 r t 2 u + 瓦a ) 7 特征不为2 的正交空间上的一类分组设计 = 1 m ( m j 2 s l + m s j f l ：m 2 s + $ r ：2 十6 a ) 显然，在l 伊+ 4 中( m 1 2 s l + 1 卜s 卜f i ：m 2 s + 1 s ，f ；2 u + 占，) 独立于 ( m ，2 s + ，s f ) 型子空问的选取 且 定理2 朋( m “2 s l + 1 t ，8 l ，r l ；m ，2 s + s f ；2 u + 正a ) 非空当且仅当 知+ 7 s m s ：，+ n l i n 似，y ) 萎：! ；二。二竺? 2 乳+ 竹s m ls + i n i n 7 l ，若7 l 6 ，或7 1 = j 且f 1 = a 若7 l = 6 = 1 ，且r 1 a i ( 2 s + 7 ) 一( 2 s l + 7 1 ) + 1 7 一t i 之2 1 y 一1 1 i ， m m 1 2 若 r l 1 ，或1 l 。7 且r 1 2 r l ( 2 8 + 7 ) 一( 2 5 l + 7 1 ) + 2 4 ， i 若 7 1 7 = 1 且f l f 这个条件等价于下面两个条件 8 ( 2 2 ) s 8 + + r 河北师范大学硕士学位论文 且 。m e 打“n 卜篙冀? m i n m 一2 s 一7 m l 一2 以一7 l 盛m a x o ，, 一m - s - s 囊 - m n h l 篡2 嚣叫 l v ( m i ，2 s l + 1 1 ，8 1 ，r l ；m ，2 a + ms ，r ；2 v + 6 ，a ) = q 籼- + 1 州卜町n ”o 叩1 m r 籼1 r ”+ m 以m 卅加- ” 女 n o ( m r 一七，2 s t + ，l ，s l r l ；2 8 + 了r ) m 一2 ，一 ( 矿一1 ) ( p 一1 + 1 ) ( q 一1 ) 扭= + 1 1 一m i + ，l + i + 1 开2 a 一- y k + l 1 ( q i i = l 其中k 的取值范围为 而 m i n m 一2 s 一1 ，f n i 一2 s t 一1 l 七 总m a x o , 一, n l - s - 8 a 1 - 咖 7 埘篡, 鼠 h - - - - 越g r 1 _ r n o ( m z 一2 s t ，a t ；2 s + 1 ，i ) = 1 9 一 g 。日 d 一 徊 如n 科 一m 吣 + 徊 一m ” 特征不为2 的正交空问上的一类分组设计 1 1 0 ( m l k 2 s z + 1 s 1 f l ：2 s + 7 f ) 矿“1 1 ( 口”u + “一1 ) q ，”- ( 叮“一+ “1 + 1 ) 旷- 一1 ( g “1 一”1 + 1 一1 ) ， g - 1 1 ( g ，“1 一”+ + 2 1 ) ， 若j = 0 若= l 且f l = f 著? = l 且r l r 若 = 2 ； 隹鼍撼囊i 燕 2 2d - 析取矩阵 d 析取矩阵已经成为了构作分组设计的主要工具本节我们介绍d 一析取 矩阵 考虑t n 阶0 1 矩阵m 令皿和g 分别表示m 的第i 行和第j 列，同时 我们也用皿f 劬，表示对应1 元的列( 行，指标集所谓行( 列j 重为一行卜一列， 中1 的个数 定义2 6 m 叫敢出析取矩阵，如果任意d 列的并不包含另一玑 m 为d - 析取矩阵等价于如下定义 定义2 7 ，m 叫做出析取矩阵。如果任取m 的d + 1 个不同的列c o ，a ， c z 任意指定一列不妨指定g 列，则至少存在一行，使得岛列元素是1 ，而在 其它c k ( 1 s d ) 列元素都是o 1 0 t ， 河北师范大学硕士学位论文 例2 1 ：我们可以检验m = 11 lo 0l lo 01 0 o o o lo 10 0l 0l 11 是2 一折取矩阵，因为 的任 意两列的并都不包含另外两列中的任一列m 的列重为3 行重为2 2 3d 2 一析取矩阵及性质 定义乞& 珂一个t n 阶0 1 矩阵m 叫便扩析取矩阵，如果对于的任 意d + 1 个不同的列岛，a ，c 0 任意指定一列，不妨指定g 列，则至少存 在：行，使得c o 列元素是1 ，而在其它仉( 1 女d ) 列元素都是o 特别地，d 1 析取矩阵是d 析取矩阵在例2 1 中，m 是2 1 析取矩阵和1 2 析取矩阵，但m 不是2 2 一析取矩阵 定理2 9 2 6 舻析取矩阵能检查出( 包容) 精出向量( 即试验结果) 中的 z 。1 个错误并纠正【学j 个 u 第三章d ：一析取矩阵的构作 3 1d - - 析取矩阵的构作 在这一节中我们构作了一个d ：一析取矩阵，并证明了当dsq4 - 1 时，：值 是最佳的 定郯1 在正交空间呼中，令2 s m l m 2 v , m ( 2 t , , m ，m 1 ) 是以f 中的所有( 仇，2 s ，5 ) 型子空间作为列，所有( m l ，2 s ，s ) 型子空间作为行的0 1 矩 t g m ( 2 v , m ，m 1 ) 在( f ，j ) 上为1 当且仅当第j 列包含第i 行 由定理2 5 可得下面两个引理 引理3 2 n ( m l ，2 s ，s ；m ，2 s ，5 2 “) 一n ( m l ，2 s ，s ；n 一1 ，2 s ，s ；2 ) 扩训卜m m - 2 。s 叫 - - q 2 s ( m - m t - 1 ) m - 2 s - 。1 s 垃铲q 2 j ( m - m l - 1 ) m - 2 s - 1 引理3 3 n ( m l ，2 s ，弗m 一1 ，2 s ，5 ；2 虬) 一n ( m t ，2 s ，s ；m 一2 ，2 s ，2 u , ) 一i - l h - 2 墙s - 1 - - q 2 a ( m - m l - 2 ) m - - - 2 s - 2 = 熊专学q 2 s ( m - m 1 - 2 ) m - 2 s - 2 。 2 万石= r 一 i 河北师范大学硕士学位论文 定理3 4 设n l n l l22 令 p = 矿筹羊荨慕耥 那么m ( 2 v ，i 1 1 1 | ) 为d ：析取矩阵，对1 d p 且 。= z ! i ：= = ；i ；掣矿t m h l l ，f m m ，一- 2 2 s a 一- 1 1 1 j 一( d 一，) 监专学q 2 s ( m - m 1 - 2 ) m - - 2 a - 2 。 证明：令c o ，o l ，龟为 f 的d + 1 个不同列，则c 0 包含 n ( m l ，2 s ，s ：m ，2 s ，彤2 v a ) 个( m l 2 s s ) 型子空间为了获得白n ( uc a ) = i = 1 d u ( 白n 岛) 的最大元，我们可设每一个c t 交c o 为( 1 7 l 一1 ，2 8 ，s ) 型子空问， l = l 那么每一个白包含n ( m l ，2 文或m 一1 ，2 s ，s 2 ) 个( ”l ，2 s ，s ) 型子空问， 然而，每个q 和c j 相交是( m 一2 ，2 a ，s ) 型子空间因此，只有c 1 包含全部 n ( m l ，2 s ，彤m l ，2 s ，8 ；2 v ，a ) 个( i ，2 s ，s ) 型子空闻，而其它的c 2 ，c d 最 多能包含n ( m l ，2 s ，s ；m 一1 ，2 s ，2 v , ) 一n ( m i ，2 s ，s t m 一2 ，2 s ，s ；2 v ，) 个 ( m l 2 s ，s ) 型不被o l 包含的子空同结果( m 1 2 s ，s ) 型被匈包含不被c l ，q 包含的子空问至少为 ；一n ( m l ，2 s ，s ；r a ，2 s ，s ；2 u , ) 一n ( m l ，2 s ，8 ；，7 i l ，2 s ，s ；2 v ，) 一( d 一1 ) i n ( m 1 ，2 s ，s ；m 一1 ，2 s ，s ；2 u , a ) 一n ( m l ，2 s ，s ；m 一2 ，2 8 ，8 ；2 址) 】 = ：竺吾；2 丢掣q 2 s ( m - m 1 - 1 ) m m ，一- 知2 s 一- 1 1 1 j u 一- ) xq2,(qm-2,-i_1)-(q-1一1)q2*(m-ml-2)m-28-刁 特征不为2 的正交空间上的一类分组设计 由于j ，( 2 p m ”1 ) 为d ：析取矩阵从而：0 。于是 d 矿 或d p + 1 显然白中包含一个固定( m 一2 ，2 s ，8 ) 型子空间的( m i ，2 s ，8 ) 型子空问 的个数为q4 - 1 ，且d q 十1 ，我们有 推论3 5 设m 一”l 2 ，1sd q4 - 1 。那么m ( 2 u ，m ，m 1 ) 不是d z ”- 析 取矩阵，这王。取上述定理中的位 dd 证明：在定理证明过程中，我们可以得到c o n ( uc s ) = u ( c o n q ) 中包含 ( ，7 l l ，2 s ，8 ) 型子空间个数的最大值，我们可以从另一个角度来讨论设u 是c 0 中的一个( m 一2 ，2 s ，s ) 型子空问，由于句中包含u 的( m 一1 ，2 s ，s ) 型子空问 有q + 1 个，且1sd q + 1 。故我们可在q + 1 个( m 一1 ，2 s ，8 ) 型子空问中选 取d 个不同的子空问，记正( 1 d ) ，对每个互选取一个( m ，2 s ，8 ) 型子空间 q ，便c o nc l = 置，故每一对q 和q 的交都是同一个( m 一2 ，2 s ，s ) 型子空阃u 这说明定理中的子空闻个数的最大值存在，于是 ，( 2 “m ，m i ) 不是扩“- 析取 矩阵一 定理3 6 矩阵m ( 2 m ，m 1 ) 的行量是 v 4 - $ - - m !v 4 - s - - m l 一1 ( 矿一1 ) i i ( 矿+ 1 ) i 毒u + $ - r n 4 - l 蠹= u 4 - a - m 仃一1 ) t ：i 1 4 河北师范大学硕士学位论文 列重是 口h ( ” f m 一2 5 1 li p t 一2 叫 在一个分组设计中，如果可以用较少的试验( 行数) ，检测较多的被测对象 列数，那么表示这个设计较好通常我们用行数与列数的比值来衡量一个设 计的好坏，比值越小说明这个设计越好 我们也可以用如下定义来街量一个堤计的好坏， 定义3 7 在一个分组设计中，z 与t 宁致j 的比值叫做纠错率 比值越大，这个设计的容错能力越强，说明这个设计越好， 例：当q = 3 ，d = 3 ，s = 1 时，m ( 1 2 ，5 ，3 ) 是一个2 8 9 0 8 8 2 7 3 0 7 3 6 行 1 0 0 0 6 9 0 1 7 6 0 2 4 0 0 列的3 “7 析取矩阵我们这个设计是从1 0 ”个被测对象 中检测3 个阳性项，至多需要3 1 0 1 2 次试验并且允许9 4 7 个错误出现名= 0 0 2 8 ，孝= 0 3 2 8 1 0 一 特征不为2 的正交空间上的一类分组设计 3 2 ( m ，2 s 8 ) 型子空间中 ( m 一1 ，2 s s ) 型子空间的排列问题 在上一节中我们证明了当dsq + 1 时，：的界是紧的在下面的章节中 为了讨论当q + 1 d n ( m 2 s ，s ：2 u ，a ) 时。z 的界的紧性，我们先对矩阵 m ( 2 u , m ，”1 ) 作如下分析 若矩阵m ( 2 v , m ，m 1 ) 是矿，析取矩阵且z = m i n f 碌巧u u z 蜀 ，其 中c o ，a ，q 是酵上的d + 1 个不同的( m ，2 s ，s ) 型子空闻，那么我们要 找到 碌巧u u 砑的曩小值对于任意曲i = 1 ，毋，设置= n c o ， 剜 i _ 研u u 硼= i _ ( 西n _ ) u u 何n 两 = l - 飘( 西百刁- ) u u ( 历百巧) = i 瓦瓦u u 面i 要使i _ 、巧ij u 0 _ i 的值最小，我们可以假设所有的甄都是( m l ，2 s ，8 ) 型子 空问c 0 所包含的( m - - 1 ，2 s ，s ) 壁子空间的个数是( m l ，2 s ，s ；m ，2 s ，s ；2 虬a ) 个因此，在本节中我们假设d 曼( m 一1 ，2 s ，8 ；f r t ，2 s ，s ；2 u ，) 我们先介绍一些正交空问中的记号和重要的引理 对于任意( m ，2 s ，8 ) 型子空问a 令虿表示c 包含的所有( m i ，2 s ，s ) 型子 空闻的集合，那么 i c i = ( m l ，2 s ，s ；m ，2 s ，s ；2 , ) 对于任意( m ，2 s ，司型子空闯e 伽，2 s ，s ) 型子空问d ，我们有 移n 万；虿百西 1 6 河北师范大学硕士学位论文 由容斥原理，我们有 陌u d u h i = ( 一1 ) 。1 n 面 8 丐缸，_ ”盯 d 一 一( 一矿1 n h , l 置l t c _ i 一，t e t l r i = t d = ( 一1 ) “1 n ( m l ，2 8 , 8 ：n h e , 2 s ，s ；2 u , z x ) i ；1t c _ i 栅t e t i 钉= i 对于任意( m ，2 s ，s ) 型子空阃c ，( n ，2 s ，s ) 型子空问d ，我们有 d i m ( c ) + d i m ( d ) = c f n n ( s p a n ( c ud ) ) + d i m ( cnd ) ( 3 1 ) 特9 4 地，( m ，2 s ，s ) 型子空蚵的真子空问与它的( m l ，2 s ，s ) 型子空闻之问 有如下关系： 命题3 8 若x 是一个( m ，2 s ，3 ) 型子空间的( 竹l 一1 ，2 s ，s ) 型子空间，y 是 这个( m ，2 8 ，s ) 型子空问的真5 - 空j , l ，那么 y x 或者d t m w ) = d i m ( x o y ) + 1 证明：假设d i m ( y ) s m 一1 若y 垡x ，那么d i r a ( s p a n ( x u y ) ) = r n ，于 是我们有d i m ( r ) = m + d i m ( x n y ) 一d i m ( x ) 一d i m ( x n y ) + 1 _ 换句话说，( w 1 , ，2 s ，s ) 型予空间的( m l ，2 s ，8 ) 型子空间x 或者包舍y 或 者与y 的交比y 的维数少1 于是我们得到下面重要的引理， 引理3 9 设峨，一，也是有限域印上( m ，2 s ，s ) 型子空间的z 个( m l ，2 s ，5 ) 型子空间，且= 凰n n l 乙令日是任意一个不包含，的( m 一 1 7 特征不为2 的正交空闻上的一类分组设计 1 2 s s ) 型子空间，设= hn 且。ie 1 一， 那么冲干任意子集合 s 1 z ，我们有 d i m ( n - ，) = d i m ( n y , ) + l l sl e s 证明： n h 。譬日 i s 由上面的命题。 妇( n 凰) = d i m ( h n ( n h , ) ) + 1 s e $i e s = d i m ( n ( h n n , ) ) + 1 = e s = d i m ( n k ) + l _ 实际上，是比日低一维且包含于日的( m 一2 ，2 s ，s ) 型子空闻同时这 个引理告诉我们m ，匕在日中形成了比h l ，也低一维的子空闻，且 日l ，一，凰与m ，一，砼之问有相同的内部关系 下面给出特殊情况下( m ，2 s ，s ) 型子空阃中( 仇一l ，2 a ，s ) 型子空问的捧列 问题这样的谗列是我们下一节证明z 的界的基础 设c 是酵上的( m ，2 8 ，s ) 型予空问，用冗表示包含于c 的( m 一1 ，2 8 ，s ) 型子空问的任意集合侄少是2 工用。( 何) 表示符中相交是同一个( m 一2 ，2 8 ，s ) 型子空问的最大个数且2 sz ( h ) s 口+ 1 定义3 1 0 定义g ( n ) = lu 霄i h e h 首先，考虑爿中有4 个元素的集合 1 8 河北师范大学硕士学位论文 空问的集合， ( i ) 若z ( h ) = 土那么 旦e珂，=口：舢=帮“mmi一”rrl-2$-1一却“imml一2)m-2s-2sl t 1 1 1 2 s 2 jj 且当q 3 时此情况成立 ( i i ) 若z ( 爿) = 3 ，那么 gch，=毋=4产。n_1l一”m-2$-1一s矿mm17”-2s-mljsm l ；2 fi 一1 叫m - 2 s - ，3 ( i i i ) 若z ( 爿) = 2 ，那么 9c村，=毋=t产tmmi一”。ra-2一s。-。1一向。帅一ml一”。m-2一sml7 7 1 1 。2 i z s li z s l +4q“(m-ras-3)。ra。-。2一s-3。1一p忡一mi哪。mm-。2一s-2s2 s 4 】 l m 1 一 l m l i 积m 一耐qm-2s-1卜l-2扣ml-2一sml 2 s 2 s 2 il 一一h - - 2 一s - - 2 s 3 lm l i 证明：( o ( i i ) 两种情况可由公式p 1 ) 和引理3 9 直接得到 下证第( 以f ) 种情况设z ( 符) = 2 那么w = 日i n 2 0 3 是( m - 3 ，2 s ，s ) 型子空问若w 譬风，那么日l f l 凰n 玛n 风是( m - 4 ，2 s ，s ) 型子空问，可得 特征不为2 的正交空间上的一类分组设计 硝若l l c 风。令= 凰n 风i = 1 2 3 因为，( 爿) = 2 k 是h 的三个不 同的子空问且i 1 k 1 1 = i i ：c u m ( k ) = ，一2 i = 1 2 3 由引理3 9 可得 夕( h ) = j _ 两u h 2u h 3 i + 厩h j 一h ju 面u 两i = f - 两u 两u 1 + i 瓦- u 巧u 囡 ；i - 两u 蕊u 硼+ 同一| _ u 巧u 丙 ；卜h ，m - - 2 s - - ，1 _ 3 q 2 ( m - m l - 2 ) m - 2 s - ，2 + 一t m 1 n i 一舢。r a 。- - 。2 一s 。- - 。3 。) + q 知( m - m l - 1 ) m - 2 s - ，1 一3 q 2 i ( m - m l - 2 ) - - 2 s - - ，2 _ _ 2 q 2 s ( m - m i - s ) m - 2 地s - 3 ) 接着，考虑h 中有5 个元素的集合 引理3 1 2 设咒= ( 风，凰，玛，凰，风，是酵上g 的5 个o n l ，2 s ，s ) 型子空问的集合 0 ) 若z ( 村) = 5 那么 ，t h ，= ，p = s 产( m m l 一”。m - - 2 一s 一- - 1 一t a 2 ( l 一2 1 n-2s-ffl,1 2 s ，2 l ii 且当口4 时。此情况成立 ( i i ) 若z ( h ) = t 那么 州一s 一”m - 2 5 - ，1 卜一一jm - 2 s - 2 s 2 ii 河北师范大学硕士学位论文 + 。“t m m l 一却 ”：2 一s3 i l i 且当口3 时此情况成立 ( i i i ) 若z ( m ) = & 那么 州硝k s扩一”。m-2一s一-1一12)m-2s-ml 2 s i n i 2 s 2 l il + 4 p ( r a - m l - 3 ) 。r n - - 2 一s - - m l2 s 3 i l ，ch，=并=s产hmi一”m-2s-1】_9q2*(m-m,-2)。-2一s-2s f n l 2 s 2 il l +7q2s(m-m1-3)。ra-2一s-3一zp佃一ml一4。rn-2一s-d11 2 s ；7 1 2 s 4 l il i 删一s p l - 1 ) m - 2 s - 1 _ 9 q 2 s ( , - m 1 - 2 ) m - 2 5 - f r t i 2 s f l * t i 2 s 2 ll + s a 知( m m i 一”l r a 。- 。2 一s - 3 j 2 s ， lm l i 且g ( s 5 ) 只在q 23 时成立 ( i v ) 若z ( h ) = z 弹么 夕c h ，= = s 产( m m l 一”m - 2 s - 1 一- 脚“( m - m l 一动f m m l2 -82一s2s 7 1 1 1 2 ii 十，。产m m j 一3 ) m - 2 s - 3 - - 4 q 2 ( m - m 1 - 4 ) m - 2 s - 2 s 2 s 4 i ，c 爿，= = s 产m m l 一”m - 2 s - 1 _ l o q z ( m - m , - 2 ) 。m - - n2 一s：-2s 。2 lim l z 8l 特征不为2 的正交空间上的一类分组设计 + l o q “( m - n q - 3 ) 卜- 2 s 一3 1 【m j 一2 sj + q “ m - m l - 5 ) n 1 - 2 s r 5 1 【m l 一2 sj 咱挪p “叶i 捌 州一一一 m - - 2 8 - - 1 _ l o q 2 z ( m - m , - 2 ) r n - - 2 8 - - m l 2 s 2 s 2 ll + 9 产( m - m s - 3 ) 。m m - 。2 一s 。- 。3 一s 矿州m m i 一射m - 2 s - ，4 朋坩k 扩1 叫。r a - 2 8 - i _ l o q 2 ( m - m l - 2 ) 。一- - 2 s - - r n i 2 s 2 s 2 】 l li m l i + 6 口2 帅i - 3 ) l ”2 8 q i 【m j 一2 sj 且必只在g 3 时成立 证明：( i ) ( ) 两种情况可由公式p j ) 和引理3 9 直接得到 下证第( i i i ) 种情况设z ( h ) = 3 ，v = 研n 吼n 风的维数是i t $ 一2 设k = 凰f 1 日t ，i = l ，2 ，3 ，u = h in 如n 飓n 风因为z ( 咒) = 3 ，所以 日4 2 u d i m ( c 厂) = m 一3 我们考虑三种情况： 情形j ：若凰包合莱个k ，i = 1 ，2 ，3 因为两个不同的k 恰恰张成凰，所 以j k 不能包含两个不同的m 不失一般性，假设hcz f 5 因为风和f f 4 与 凰相交是同一个子空问，所以h i ，日2 ，丑0 风与风相交是三个不同的子空 闯由引理土岁和公式p 得 f _ u u 目= | _ u 面u _ l + f _ 瓦u 瓦u i + j - 两u u _ f = 3 q 2 。( m - m , - 1 ) 。m 一- 2 s ：- 。1 一妒帅一。m 一- 2 s 。- 。2 ) 河北师范大学硕士学位论文 + ”2 s o , + - q - 1 ) m - - 2 s - ，1 _ _ 3 q 2 s ( m - , 1 - 2 ) p 爿 + z 。h i m i 一 ”。- ，2 一s ：- 。3 1 ) = 毋 情形2 ：若日5 包含u 但包含任意i k ，i = 1 ，2 ，3 ，则j = r l ，月2 ，j ，3 ，z f 4 与 r 5 相交是包含u 的4 个不同的子空问因此 两u u 瓦l = 陌u 两u 瓦i + l 两两u 瓦u 瓦i + l 丽u u 司 = 3 q 2 , ( m - - , - e 捌_ 2 q 2 s ( m - , n l - 2 jh i r a - - 2 砌s - - 2 1 ) 一叫e 斗一一- - 2 s - - 2 + z 产【m m l 一。 m m - 。2 一s 。- 。3 ，1 ) + ( q “( m m l 一”。m 。- ，。2 一s 知- 1 一t 产m m l 一2 ) f m m l2 - 5 2 一s2 1 j + s 矿l m m i 一舢l m 。- ，2 一s ：- 。3 j ) = 情形3 若日5 不包含u ，我们有 i 两u u 目= | - u u 同+ i 飘两u u 面 “神i _ i j + 2 产i “一“l 一3 h m - 2 刮s - 1 1 一扩一种m - 2 s - 。2 。i r a m - 。2 一s 钿- 3 ) + ( p c m m l 一”。m 。- - 。2 一s 。- 。1 特征不为2 的正交空间上的一类分组设计 一4 一1 i j 一2 ) 一2 户i 1 ”舢 。m 。- ，。2 一s ：- 。2 1 。+ s 。2 剐m j 一3 ) m - 2 s - ，3 e m - 2 s 知- 4 。 ) 硝 下证第( i v ) 种情况